第四章 第四章 线性方程组线性方程组

4.1 消元法

4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法

4.3 线性方程组的公式解

4.4 结式和判别式

4.1 4.1 消元法消元法1. 内容分布 4.1.1 线性方程组的初等变换

4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵

4.1.3 线性方程组有解的判别

2. 教学目的 :会用消元法解线性方程组3. 重点难点 :线性方程组的消元解法

前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组的方程个数和未知量相等 , 并且方程组的系数行列式不等于零 , 在这一章我们要讨论一般的线性方程组：

在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法 .

（ 1）

例 1 解线性方程组：

,

,

.

1 2 3

2 2 3

1 2 3

1 11

2 35

3 334

2 5 23

x x x

x x x

x x x

（ 2）

从第一和第三个方程分别减去第二个方程的 1/2 倍和 2 倍，来消去这两个方程中的未知量 , 即把 的系数化为 0.1x 1x

得到： ,

,

.

2 3

1 2 3

2 3

1 1 1

2 2 25

3 332 4

x x

x x x

x x

,

.

1 2 3

2 3

2 3

53 3

31

2 4

x x x

x x

x x

为了计算的方便 , 把第一个方程乘以 -2 后 , 与第二个方程交换，得：

2x把第二个方程的 2 倍加到第三个方程，消去后一方程中的未知量 ，得到

,

.

1 2 3

2 3

3

53 3

31

2

x x x

x x

x

1 2

2

3

59

33

2

x x

x

x

1

2

3

4

3

2

x

x

x

现在很容易求出方程组（ 2 ）的解 . 从第一个方程减去第三个方程的3 倍，再从第二个方程减去第三个方程，得

再从第一个方程减去第二个方程的 5/3 倍，得：

这样我们就求出方程组的解 .

① 交换两个方程的位置；② 用一个不等于零的数某一个方程；③ 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程 .

4.1.1 4.1.1 线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换

以上例子 ,我们实际上做了这样的工作 ,那就是对方程组施行下面三种变换：

这三种变换叫作线性方程组的初等变换 . 易知

定理 4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组 .

在上面的讨论中，我们看到在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数与常数项进行了运算，而未知数没有参加运算，也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项 . 因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，来解决求解问题，此可转用另一种形式表述 . 为此引入：

4.1.24.1.2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换

stss

t

t

ccc

ccc

acc

21

22221

11211

ijc定义 1 由 st 个数 排成一个 s 行 t 列的表

叫做一个 s 行 t 列（或 s×t ）的矩阵，ijc 叫做这个矩阵的元素 .

注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表 . 当 s=t 时 , 称为方阵 .

线性方程组的（ 1 ）的系数可以排成下面的一个表：

而利用（ 1 ）的系数和常数项又可以排成下表：

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

（ 3）

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA

a a a b

（ 4）

系数矩阵

增广矩阵

一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组 . Note ：线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的 .

定义 2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：

3)( 消法变换 ) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列） , 即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上 .

1) 交换矩阵的两行（列）2)( 倍变换 ) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；

显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵 . 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题 . 下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出 . 在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量 , 也就是说 , 把方程组的左端化简 . 因此我们先来研究 , 利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题 . 在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换 . 后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究 .

在例 1 中，我们曾把方程组（ 2 ）的系数矩阵

53

42

33

51

13

1

2

1

100

110

33

51

先化为

100

010

001然后，进一步化为

通过行初等变换和第一种列初等变换能把 A 化为以下形式：

00

0

00

**1000

****10

*****1

行r

(5)

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211定理 4.1.2 设 A 是一个m 行 n 列的矩阵：

这里 ,,, nrmror * 表示矩阵的元素，但不同位置上的 * 表示的元素未必相同 .

ija证 若是矩阵 A 的元素 都等于零，那么 A 已有（ 5 ）的形式

进而化为以下形式，

00

00

1000

0010

0001

1,

21,2

11,1

rnrr

nr

nr

cc

cc

cc

（ 6）

ija

1 乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数，矩阵 A 化为

ija设某一 不等于零，必要时交换矩阵的行和列，可以使这个

元素位在矩阵的左上角 .

**0

**0

**1

B

若 B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么 B 已经

有 (5) 的形式 . 设 B 的后 m – 1 行中有一个元素 b 不为零，把 b 换到第二行第二列的交点位置，然后用上面同样的方法，可把 B 化为

**00

**00

**10

***1

如此继续下去，最后可以得出一个形如（ 5 ）的矩阵 .

形如（ 5 ）的矩阵可以进一步化为形如（ 6 ）的矩阵是

显然的 . 只要把由第一，第二，…，第 r – 1 行分别减去第 r 行的适当倍数，再由第一，第二，…，第 r – 2 行分别减去第 r – 1 行的适当倍数，等等 . Note ： 1 ）定理结论中首次出现了矩阵在要求的允许变

换下的最简形式（标准形式），可明确步骤为两步，目的是程

序整齐，计算量较小，实际中做法不一；但必须注意在具体

允许变换下，最简形式是相应的 .2 ）在此要求仅作行初等变换和列的换法变换是因为与解

方程有关 .

4.1.34.1.3 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组

考察方程组（ 1 ）的增广矩阵（ 4 ） . 由定理 4.1.2 ，我们可以对（ 1 ）的系数矩阵（ 3 ）施行一些初等变换而把它化为矩阵（ 6 ） . 对增广矩阵（ 4 ）施行同样的初等变换，那么（ 4 ）化为以下形式的矩阵：

m

r

rrnrr

nr

nr

d

d

dcc

dcc

dcc

00

00

100

010

001

1

1,

221,2

111,1

(7)

与（ 7）相当的线性方程组是

,

,

,

1 1

2 1

1

1 1 1 1

2 1 2 2

1

10

0

r n

r n

r r n

i r i n i

i r i n i

i r r i rn i r

r

m

x c x c x d

x c x c x d

x c x c x d

d

d

（ 8）

由于方程组（ 8）可以由方程组（ 1 ）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理 4.1.1 ，方程组（ 8）与方程组（ 1 ）同解 . 因此，要解方程组（ 1 ），只需解方程组（ 8） . 但方程组（ 8）是否有解以及有怎样的解都容易看出 .

niii ,,, 21 这里 是 1 ， 2 ，…， n 的一个全排列 .

这时方程组（ 8）无解，因为它的后m – r 个方程中至少有一个无解 . 因此方程组（ 1 ）也无解 .

情形 1 ， , , ,1r mr m d d 而 不全为零，

当 r = n 时，方程组（ 9）有唯一解，就是

ntdx tit,,2,1,

这也是方程组（ 1 ）的唯一解 .

这时方程组（ 8）方程组

rirnirri

iniri

iniri

dxcxcx

dxcxcx

dxcxcx

nrr

nr

nr

1

12

11

1,

221,2

111,1

同解 .

(9)

情形 2 ， mr ddmrmr ,,1 而或 全为零，

当 r < n 时，方程组（ 9）可以改写成

nrr

nr

nr

irnirrri

iniri

iniri

xcxcdx

xcxcdx

xcxcdx

1

12

11

1,

21,22

11,11

(10)

nr ii xx ,,1

1, ,

r ni ik k

于是，给予未知量 以任意一组数值

，就得到（ 9）的一个解：

nn

rr

nrr

nr

ii

ii

irnirrri

iniri

kx

kx

xckcdx

kckcdx

11

1

11

1,

11,11

这也是（ 1 ）的一个解 . 由于nr ii kk ,,

1

nr ii xx ,,1

任意选取，用这一方法可以得到（ 1 ）的无穷多解 . 另一方面，由于（ 9）的任一解都必须满足（ 10 ），所以（ 9）的全部解，亦即（ 1 ）的全部解都可以用以上方法得出 . 我们把未知量

可以

叫做自由未知量，而把

（ 10 ）叫做方程组（ 1 ）的一般解 .

0563

1242

725

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

例 2 解线性方程组

这样，线性方程组（ 1 ）有没有解，以及有怎样的解，都可以从矩阵（ 7）看出 . 因此，我们完全可以就方程组（ 9）的增广矩阵来解这个方程组 .

05631

12412

71215

1121670

72432140

05631

施行行初等变换，并且注意，我们是要把其中所含的系数矩阵先化为（ 5 ），再化为（ 6 ）的形式 . 由第一和第二行分别减去第三行的 5 倍和 2 倍，然后把第三行换到第一行的位置，得

解：对增广矩阵

由第二行减去第三行的 2 倍，得

1121670

50000

05631

虽然我们还没有把增广矩阵化成（ 5 ）的形式，但已经可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程是 0 = 5所以原方程无解 .

215921

82321

31042

51321

21592

8232

342

532

4321

4321

421

4321

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

例 3 解线性方程组

解：这里的增广矩阵是

2661200

133600

133600

51321

继续施行行初等变换，这一矩阵可以化为

00000

000006

13

2

1100

51321

这个矩阵本质上已有（ 5 ）的形式，这一点只要交换矩阵的第二和第三两列就可以看出 . 进一步由第一行减去第二行的三倍，得出相当于（ 6 ）型的矩阵

把第一行的适当倍数加到其它各行，得

00000

000006

13

2

1100

2

3

2

1021

1 2 4

3 4

1 32

2 21 13

2 6

x x x

x x

对应的线性方程组是

42 , xx

1 2 4

3 4

3 12

2 213 1

6 2

x x x

x x

把 移到右边 , 作为自由未知数 , 得原方程组的一般解：