Турбулентные потоки в плазме (и на бирже)

Н.Н. Скворцова

Отдел физики плазмыИнститут общей физики РАН

Н.Н. Скворцова, О.В. Шестаков, Д.В. Малаховчисленные методы анализа временных выборок стохастических сигналов (на примере плазменных флуктуаций)Курсы лекций и лабораторных работ. МИРЭА, 2011. (МИРЭА, МИФИ, 2009-2013)

Ансамбль из четырех последовательных реализаций флуктуаций турбулентного потока частиц структурной ионно-звуковой турбулентности.

Норильский никельЦунами

2 см

0

www.rbc.ru

Исследования низкочастотной флуктуаций в тороидальных и линейной магнитных системах показали существование состояния сильной структурной низкочастотной турбулентности в магнитоактивной плазме. Такое состояние возникает в стационарной плазме (в открытой термодинамической системе) с притоком и стоком энерегии , как результата развития целого ряда процессов: нарастания и насыщения неустойчивостей, формирования стохастических плазменных структур, нелинейных процессов взаимодействия между структурами.

Особенности спектральных, корреляционных и вероятностных характеристик делают временные выборки сигналов в структурной турбулентности удобным объектом для обучения численным методам анализа данных, т.к. они подобны временным выборкам случайных сигналов в экономике, геофизике, океанологии и т.д.

www.brill.nl

Л-2М (ИОФ РАН, Москва)TJ-II (CIEMAT, Мадрид)LHD (NIFS, Токи, Япония) ФТ-2 (ФТИ РАН, С.-Петербург) Т-10 (Курчатовский центр, Москва) TJ-1U (CIEMAT, Мадрид)ТАУ-1 (ИОФ РАН, Москва)

Измерения флуктуаций плазмы были проведены на установках: с низкотемпературной плазмой, и высокотемпературной плазмой — стеллараторах, токамаках, торсатроне.

A.A. Rukhadze, K.A. Sarksyan, N.N. Skvortsova. Stimulated Cherenkov radiation of plasma waves and plasma turbulence. Journal of Physique IV – Colloques. 1995. 5. P. 53-59.G.M. Batanov, O.I. Fedianin, N.K. Kharchev, et al. Statistical properties and radial structure of plasma turbulence in the boundary region of the L-2M stellarator. // Plasma Physics and Control Nuclear Fusion. 1998. 40. P. 1241- 1250. Н.Н. Скворцова, К А. Сарксян, Н.К. Харчев. Ионно-звуковая турбулентность как автомодельный случайный процесс. // Письма в ЖЭТФ. 1999. 70. С. 203-207.Г.М. Батанов, В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев, и др. Турбулентный перенос в плазме как диффузионный процесс со случайным временем. // Письма в ЖЭТФ. 2001. 73(4). C.143-147.B.P. van Milligen, E. de la Luna, F.L. Tabares, et al.. Ballistic transport in TJ-II. // Nuclear Fusion, 2002. 42. P. 787-795.Г.М. Батанов, В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев, и др. Структурная плазменная низкочастотная турбулентность в стеллараторе Л-2М.//Письма в ЖЭТФ, 2003. 78. C. 974-983.Н.Н. Скворцова, В.Ю. Королев, Т.А. Маравина, и др. Новые возможности математического моделирования турбулентных транспортных процессов в плазме. // Физика Плазмы. 2005. 31(1), С. 64-83.N.N. Skvortsova, D.K. Akulina, G.M. Batanov, et al.Effect of ECRH Regime on Characteristics of Short-Wave Turbulence in Plasma of the L-2M. Plasma Phys. Control. Fusion, 52 (2010) 055008 Г.М. Батанов, В.Д. Борзосеков, Л.В. Колик, Д.В. Малахов, А.Е. Петров, А.А. Пшеничников, К.А. Сарксян, Н.Н. Скворцова, Н.К. Харчев. // Длинноволновая турбулентность в плазме стелларатора Л-2М при электронно-циклотронном нагреве. ВАНТ, №2, 2011, с.70-75. G. M. Batanov, A. K. Gorshenin, V. Yu. Korolev, D. V. Malakhov, and N. N. Skvortsova. The Evolution of Probability Characteristics of Low-Frequency Plasma Turbulence Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, V.4, No.1, pp. 10–25

Исследование структурной плазменной турбулентности (1993- …)

……………………………………………………….

Движение пробной частицы:

а) в случайном гауссовском поле (в плазме),

b) в поле процесса, являющегося дробно-устойчивым случайным процессом.

Л. А. Арцимович. Элементарная физика плазмы. 3-е изд. — М.: Атомиздат, 1969.

Наиболее явное сходство между исследуемыми в разных установках НЧ турбулентными пульсациями такой природы наблюдается в схожести их вероятностных характеристик, в первую очередь, в отличии плотностей вероятности значений временных выборок от нормальных распределений.

PDF амплитуд флуктуаций плотности: (a) в области нагрева и (b) на краю плазмы.

Л-2М

R/S — зависимость для амплитуд флуктуаций плотности с k = 6 cm-1.

Длина анализируемого временного ряда ~100 тыс. точек.

TJ-II

Плазма в стеллараторе Л-2М создается и нагревается 2 гиротронами на частоте 75 ГГц на второй гармонике гирочастоты электронов (электронно-циклотронный нагрев). В краевой плазме Л-2М на радиусе плазмы a = 0.9 ( a радиус сепаратрисы), плотность плазмы n = (1-2) x 1012 cм-3 и электронная температура Te = 30-40 eV.

V. V. Abrakov et al., Nucl. Fusion 37, 233 (1997)

Стелларатор Л-2M(ОФП ИОФ РАН)

The FT-2 tokamak with parameters R = 0.55m, a = 0.079m, Ipl = 22kA and Bt = 2.2T, PLHH = 90–100kW is concerned with plasma under q = 6 where the effective

LHH and improved confinement transition are realized. The L-H transition with ETB has been observed after RF pulse end.

S.I. Lashkul, A.B. Altukhov, A.D. Gurchenko, Czechoslovak Journal of Physics, Vol. 55 (2005), No. 3, p.343.

Токамак ФТ-2Большой радиус R, cм 55

Малый радиус, cм 7.9

Магнитное поле B, T 2.2

Вводимая мощность P0, kW 80-200

Средняя плотность <n>*1013, cм-3 3 - 6

Температура электронов (центр) Te, эВ

300-800

Относительный уровень флуктуаций на краю (δn/n)edge

0.1

Ток, kA 20 - 40

Длительность разряда, мс 60

СТРУКТУРНАЯ ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И АНОМАЛЬНАЯ НЕБРОУНОВСКАЯ ДИФФУЗИЯ (анализ турбулентных потоков)

В физике плазмы существует уникальная возможность по исследованию диффузии частиц в плазменной турбулентности – это прямые измерения.

Л-2М

Значения локального потока во времени представляет временную выборку, соответствующую движению ансамблей частиц для случайного диффузионного процесса.

Вспышечный вид временных выборок локальных потоков характерен для всех режимов плазмы в ТАУ-1, ФТ-2, Л-2М. Временные выборки локальных потоков описываются негауссовской статистикой.

Зависимость вейвлет - спектров локального дрейфового потока (б) и его приращений (а) от времени.

ТАУ-1

Анализ на основе равноотстоящей выборки временных приращений амплитуд потока дает возможность определить характеристическое («динамическое») время процесса локального потока в плазме Л-2М и ТАУ-1; в обоих случаях это время оказалось на порядок меньше корреляционного времени пульсаций в структурной турбулентности.

deccor

lD

2)(~

Принимая в Л-2М характерный радиальный масштаб флуктуаций ~ 0,2-1 см и «динамическое» время ~ 1-2 мкс,

D ~ 105 -106 см2/c.

l

decorr

Экспериментальная оценка:

Моделирование локального турбулентного потока.

1. Модель броуновского блуждания 5.0tx

-60 -40 -20 0 20 40 601E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0.01

# 60001

1

2

Вер

оятн

ост

ь по

явл

ения

в си

гнал

е ам

плит

уды

Амплитуда приращений, отн.ед.

Р-значение = 0 (μ=0.031, σ=8.445)

Броуновский процесс отвергается в качестве модели блуждания частиц в НЧ сильной структурной турбулентности.

2. Модель неброуновского блуждания, определяемая автомодельным процессом

Одномерная модель Дрейзена-Дыхне

75.0txHtx

66.0tx Модель Дрейзена-Дыхне с корреляционной размерностью 6. Эксперимент

Н =0.58

Автомодельный (устойчивый) процесс отвергается в качестве модели неброуновского движения частиц в НЧ сильной структурной турбулентности.

ТАУ-1

3. Модель неброуновского блуждания, определяемая дробно-устойчивым процессом

Дробно-устойчивые случайные процессы описывают однородные случайные блуждания с непрерывным временем. Эти процессы имеют вид

/V

YX , .

/tx

0 5 10 15 201

2

3

4

5

Броуновскоедвижение

# 46805

# 46804

x (с

мещ

ени

е)

Временная задержка, N

Дробно-устойчивый процесс также отвергается в качестве модели неброуновского движения частиц в НЧ сильной структурной турбулентности.

Неадекватность такой модели связана не только с невозможностью мгновенных перескоков частиц между ловушками, но и тем, что ансамбль частиц плазмы нельзя считать однородным. Известно, что холодные частицы примеси могут двигаться от края к центру плазменного шнура по баллистическим законам (супердиффузия), что наблюдалось в наших экспериментах по распространению азота в стеллараторе TJ-II.

Л-2М

4. Модель неброуновского блуждания, определяемая случайным процессом Лапласа

Для выборки приращений дрейфового потока в 500 точек - P-значение = 0.3982. Для более длинной выборки в 20000 точек - P-значение = 0.12.

0,

2

11

0,2

1

2

1)(

2

2

2

xe

xedxexL

x

xx

xТАУ-1

Экспоненциальное распределение обладает наибольшей энтропией среди всех законов с конечным первым моментом сосредоточенных на неотрицательной полуоси, и также соответствует устойчивым состояниям в открытых системах.

0

dex

)x(L

Дважды стохастический процесс с непрерывным временем и экспоненциальным смешивающим распределением не отвергается в качестве модели неброуновского движения частиц в сильной структурной НЧ турбулентности для коротких временных выборок зашумленных сигналов.

Дважды стохастический пуассоновский процесс N(t), называемый также процессом Кокса, определяется как суперпозиция и : .В этом случае говорят, что процесс Кокса N(t) управляется процессом .

В качестве модели неоднородного случайного блуждания, описывающих регистрируемые процессы структурной турбулентности, использовались дважды стохастические процессы Пуассона - обобщенные процессы Кокса.

1( )N t( )t

1( ) ( ( ))N t N t ( )t

Используя общие предельные теоремы для обобщенных процессов Кокса, были получено теоретические обоснования моделей распределений приращения процессов плазменной турбулентности, имеющих вид более общих конечных сдвиг-масштабных смесей нормальных законов.

1

( )k

jj

j j

x ap

Моделирование распределений приращения процессов плазменной турбулентности (неоднородных случайных блужданий) конечными сдвиг-мастабными смесями нормальных законов.

Приращения

Волатильность характеризуется вектором, содержащим компоненты : вес (положительные величины, в сумме составляющие 1), конвективные значения(средние значения), and диффузионные значения (среднеквадратичные отклонения ) соответствующих компонент.

Королев В.Ю., Скворцова Н.Н. Новый метод вероятностно-статистического анализа процессов плазменной турбулентности. Сб. Системы и средства информатики. Институт проблем информатики РАН. 2006. С. 126-180.

,)(1

2

k

jjj aapDV

“Динамическая компонента"

.1

k

jjj apa

“Диффузионная компонента “

,2

1

2j

k

jjpU

Полная (многомерная) волатильность случайного двойного Пуассоновского процесса (обобщенного процесса Кокса) вычисляется как корень квадратный из сумм квадратов двух компонент, один из которых показывает скорость локального тренда, а второй характеризует диффузию.

Вероятностно-теоретическое определение волатильности случайного плазменного процесса

Понятие волатильности широко используется в финансовой статистике.

Волатильность случайного процесса определяется двумя факторами. Динамический фактор. В плазменной турбулентности динамическая компонента соответствует дрейфу, который показывает изменчивость процесса, например, это баллистический транспорт. Стохастический (или диффузионный) фактор. С использованием специальных математических процедур диффузионная компонента в турбулентности может быть представлена как сумма субкомпонент, каждая из которых связана с определенным типом стохастических структур, их возникновением, взаимодействием между ними и т.д.

В базовой модели неоднородного случайного блуждания, который описывается обобщенным процессом Кокса, волатильность представляется суммой динамической и диффузионных компонет

Л-2М

)(~

)(~~

11 jjjjj ttНезависимость и однородность временной выборки приращений локального потока

Сравнение хвоста нормального распределения плотности вероятности с хвостом гистограммы приращений дрейфового потока .

ТАУ-1

10-3

-0.20.00.20.40.60.81.0

10.10.001 0.01

AC

F в

б

Ам

плит

уда,

отн

.ед.

Временная задержка, мс

56.0 56.5 57.0 57.5 58.0

-6-3036

Время, мс

Разряд N 44479a

56.0 56.5 57.0 57.5 58.0-5

0

5

10

Время, мс

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 00

5

10

15

20Разряд № 30016

Гаусс

Чис

ло с

чето

вАмплитуда приращений, отн.ед.

ЕМ - алгоритм

:E-E-stepstep (expectation): evaluation of the conditional mathematical expectation of the logarithm of the likelihood function by thedata and the current parameter estimates;M-M-stepstep (maximization): unknown parameters are estimated by maximization E-step function.Some special modifications of EM algorithm (e.g., stochastic EM algorithm, SEM algorithmSEM algorithm) can be used for improvement results of base method.

Например, плотность вероятности приращений турбулентного потока частиц на краю алвзмы в стеллараторе Л-2м является смесью трех сдвиг масштабных нормальных распределений.

k=3

k=1

k=2

k=4 k=4

}2

)(exp{

2),,;(

2

2

i

i

ppf

Р-value = 0 (μ =0.0039, σ =8.4481).

}2

)(exp{

2),,,,;(

2

22

12121

k

ki

k

k

ki

ppf

Р-value = 0.2606 (p1=0.6136, μ1=-0.0989, σ1=4.4038; p2=0.3864, μ2=0.1471, σ2=12.4016).

P-value is estimated by Kolmogorov-Smirnov test for fitting shift-scale mixture(model) with experimental histogram

Estimation – Maximization AlgorithmTurbulent flux (linear device TAU-1). 128000 points

Р-value = 0.9963 (p1=0.5095, μ1=-0.5739, σ1=8.3935; p2=0.0984, μ2=2.2537, σ2=17.319; p3=0.309, μ3=0.344, σ3=4.0359: p4=0.0831, μ4=-0.4753, σ4=1.4474).

Модель неброуновского блуждания, определяемая масштабной смесью нормальных законов

ТАУ-1

Л-2М

Р-значение = 0.9963

Р-значение = 0.9747

k=3

k=4

Модель неоднородного блуждания частиц (в виде масштабной смеси нормальных процессов) представляется оптимальной в качестве модели неброуновского движения частиц в сильной структурной НЧ турбулентности.

1. Число компонент смеси (для выборок локальных потоков) – число процессов блуждания. Совпадает с числом компонент смеси при анализе выборок флуктуаций.

2. Математическое ожидание – знак и величина показывают тенденцию (снос).

3. Дисперсия – среднее значение изменения потока частиц (диффузия).

Так как распределения приращений процесса блуждания частиц в структурной турбулентности успешно моделируются конечными смесями нормальных законов, то локальный (во времени и пространстве) характер этих процессов описывается классической нормальной (броуновской) диффузией. Это совсем не означает, что суммарное движение частиц также будет броуновским. Приращения этих процессов обусловлены конечным числом типов диффузии.

Число независимых параметров, необходимых для описания НЧ структурной турбулентности.

k = 3 j = 8 k = 4 j = 11

“… и должно рассматриваться в рамках статистических подходов.”

ФТ-2 Турбулентный поток частиц при L-H переходе в токамаке ФТ-2

Experiment #260504 Low Field Side (LFS)

N.N. Skvortsova, V.Yu. Korolev, et al Plasma Phys. Contr. Fusion. 2006. 48(5A). P. A393.

Моделирование плотности распределения приращений турбулентных потоков смесью Гауссовых распределений позволяет определять число процессов, участвующих в переносе частиц в краевой плазме тороидальных установок. Получено различие в числе процессов переноса в L- и Н-режимах в ФТ-2.

Анализ конвективных и диффузионных компонент в турбулентных потоках

Компоненты в турбулентных потоках частиц выделяются мо методу разделения смесей со скользящим окном ("sliding separation of mixtures" - SSM). В этом методе волатильность потока интерпретируется как многомерная (вектор) функция во времени, что позволяет оценивать конвективную и диффузионную компоненты .

t = 0.2 – 1 ms, s

Конвективные и диффузионные компоненты волатильности при переходе в Н-режимФT-2

0 500 1000 1500 20000

20

40

60

L - режим

Диффузионная компонента

Диф

фуз

ионн

ая, к

онве

ктив

ные

ком

поне

нты

, отн

.ед

.

Время, мкс0 500 1000 1500 2000

0

20

40

60

H - режим

Конвективная компонента

Время, мкс

Интенсивность диффузионных субкомпонент после перехода в Н-режим уменьшается, также как и разброс значений. Временные зависимости каждой из диффузионных субкомпонент после перехода становятся более гладкими. Несмотря на то что число процессов после перехода возрастает (с двух до четырех) в среднем полная диффузионная и конвективные компоненты волатильности уменьшаются.

L-режим

Н-режим

Диффузионных субкомпоненты

Диффузионный портрет (диффузионные субкомпоненты волатильности) для приращений турбулентного потока частиц в Л-2М. Вычисление по скользящему окну 200 точек (верхние графики) и 300 точек (нижние графики.

Диффузионные субкомпоненты волатильности

200points

300points

Л-2M

Временной ход полной диффузионной компоненты и конвективной компоненты волатильности потоков на разных расстояниях от сепаратрисы в трех разрядах: 1 мм (No.55613), 4 мм (55617), и 6 мм (55619).

Л-2М

диффузионная компонента

конвективная компонента

Сравнение величин полных диффузионных и конвективных компонент волатильности в стандартных режимах плазмы

Л-2М

5 10 15 200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 конвективная диффузионная

Ди

фф

узи

онны

е, к

онве

кти

вны

е ко

мпо

нент

ы, о

тн.е

д.

Время, мс

10 11 12 13 140

1

2

Ко

нве

кти

вна

я, д

иф

фуз

ио

нн

ая

ком

пон

ен

ты о

тн.е

д.

конвективеая Диффузионная

Время, мс

Временные выборки турбулентного потока частиц до (a) и сразу после (b) проведения процедуры боронизации стенки камеры.

Выводы (по плазменным турбулентным потокам)

Определен модельный процесс, который описывает блуждание частиц. Дважды стохастический процесс Пуассона (обобщенный процесс Кокса)

Для турбулентных потоков в Л-2М, ТАУ-1, ФТ-2: определено число процессов, которые участвуют в формировании турбулентного потока частиц, определен временной ход диффузионных и конвективных компонент, показано существование суммарной конвективной компоненты, сравнимой по величине с диффузионной компонентой. при переходе в режим улучшенного удержания плазмы (L–H переходе). число процессов, определяющих турбулентный поток частиц, возрастает, амплитуда диффузионных компонент уменьшается также. как и полная диффузионная компонента потока. ……..

Использование «плазменного» подхода к анализу экономических данных

«Эхо» взрыва в Лондонском метро

Гистограммы - плотность распределения вероятности (PDF):

NNxpnxn /)(

nnn xxpxF *)()(

Приращение амплитуд флуктуаций:

)()( 11 jjjjj txtxx

Автомодельные вероятностные процессы, для которых дисперсия среднего убывает,

как n при любом между 0 и 2:

R n

S n

W W W W W W

S n

n n( )

( )

max( , , ,..., ) min( , , ,..., )

( )

0 01 2 1 2

2

)(...21 nxkxxxW kk 2

1

2 ))(()( nxxnS i

n

i

Hn

nnSnRE )](/)([Параметр Херста H=1- :

ЕМ – алгоритма (Estimation-Maximization algorithm ):

11

k

jjp

Задача расщепления смеси распределений. Построение статистических оценок для числа

компонент смеси k, удельных весов компонент ( , ), и параметров самих

компонент по выборке .

1 1,..., kp p

1

1

1k

k ii

p p

1 1 1( , ),..., ( , )k k k

Возврат