第七章 解三角形

第 1讲 正弦定理和余弦定理

考纲要求 考纲研读

1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2 ．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

会解四种基本类型的斜三角形问题．(1) 已知两角和任一边，求其余两边和一角：可

(2) 已知两边及一边的对角，求其余两角和一边( 可能无解或一解或两解 ) ：可先利用正弦定理求出另一边的对角，再求出其余边角；(3) 已知两边及其夹角，求第三边和其余两角( 有唯一解 ) ：可先利用余弦定理求出第三边，再求出其余两角；(4) 已知三边，求三角：可利用余弦定理求出三内角 .

先求出第三角，再利用正弦定理求出其余两边；

1 ．正弦定理

＝ ＝ ＝ 2Ra b c

sinA sinB sinC______________________(R 为△ ABC 的外接圆半径 ) ．

2 ．余弦定理___________________.c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2abcosC

3 ．已知三角形的内角分别是 A ， B ， C ，命题 A>B⇔sinA>sinB

的依据是 _____________________ ．大边对大角和正弦定理4 ．已知三角形的内角分别是 A ， B ， C ，命题 A>B⇔cosA<cosB

的依据是 ____________________________ ．余弦函数在 [0 ， π] 上是减函数

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

1．在△ ABC中，“ A＝π6” 是“ sinA＝

12” 的( ) A

解析：sinA＝12⇔A＝

π6或 A＝

5π6，选 A.

90°

2．在△ ABC中，sinA＝13，角 A的对边长度为 2，则外接圆半

径是( )

A．3 B．6 C. 2 D. 3

A

解析：由a

sinA＝2r，213

＝2r⇒ r＝3.

的最大的角为 _____.

3 ．△ ABC 中，三边 a ， b ， c 之比为 3 4 5∶ ∶ ，则这个三角形

解析：∵ cosC＝a2＋b2－c2

2ab ＝32＋42－52

2× 3× 4＝0，∴ C＝90°.即最大

角为 90°(注：也可用勾股定理的逆定理)．

4．△ ABC的外接圆半径为 1，角 A，B，C的对边分别为 a，

b，c.若 ab＝4cosAcosB，则角 C＝___.

解析：由正弦定理得a

sinA＝b

sinB＝2，故 a＝2sinA，b＝2sinB.

所以 4sinAsinB＝4cosAcosB，整理得 cos(A＋B)＝0，从而 A＋B＝π2，

则 C＝π2.

π2

5 ．在△ ABC 中， sin2A ＝ sin2B ＋ sin2C － sinBsinC. 则 A 的大小

是 _____.π3

解析：由正弦定理得 a2＝b2＋c2－bc⇒ b2＋c2－a2＝bc⇒

b2＋c2－a2

bc ＝1⇒ cosA＝12⇒A＝

π3.

考点 1 正弦定理、余弦定理的使用

例 1：在△ ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知

向量 m＝

2cosA2，sin

A2 ，n＝

cosA2，－2sin

A2 ，m·n＝－1.

(1)求 cosA的值；

(2)若 a＝2 3，b＝2，求 c的值．

解析：(1)∵ m＝

2cosA2，sin

A2 ，n＝

cosA2，－2sin

A2 ，

m·n＝－1，∴ 2cos2A2－2sin2A

2＝－1.∴ cosA＝－12.

(2)由(1)知 cosA＝－12，且 0<A<π，∴ A＝

2π3 .

∵ a＝2 3，b＝2，由正弦定理得a

sinA＝b

sinB，

即2 3

sin2π3

＝2

sinB，∴ sinB＝12.

∵ 0<B<π，B<A，

∴ B＝π6.∴ C＝π－A－B＝

π6.

∴ c＝b＝2.

(1) 已知三角形的两边和夹角求第三边时，通常使

用余弦定理，无论这个角是什么方式给出的，都要求出其余弦值．

(2) 当给出两边和其中一边所对的角，通常使用正弦定理．

(3) 当已知三角形的三边时，可以求出所有角的余弦值和正弦

值，还可以求出此三角形的面积．

【互动探究】

1 ． (2011 年上海 ) 在相距 2 千米的 A ， B 两点处测量目标 C ，

若∠ CAB ＝ 75° ，∠ CBA ＝ 60° ，求 A ， C 两点之间的距离．

解：由条件知：C＝180°－75°－60°＝45°，

由正弦定理得ACsinB＝

ABsinC，

即AC

sin60°＝2

sin45°.

解得 AC＝ 6.

考点 2 判断三角形的形状

例 2 ：在△ ABC 中，若 2cosBsinA ＝ sin ，试判断 CABC 的形

状．

解析：∵ 2cosBsinA ＝ sinC ＝ sin(A ＋ B) ＝ sinAcosB ＋ cosAsinB ，

∴sinAcosB － cosAsinB ＝ 0.∴sin(A － B) ＝ 0.

∵0°<A ， B<180° ，∴ A ＝ B 故 .ABC 是等腰三角形．

(2) 边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理．

(1) 三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等

边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角

三角形等．

【互动探究】

2 ．在△ ABC 中， sinA ＝sinB ＋ sinC

cosB ＋ cosC，试判断这个三角形的形状．

解：应用正弦定理、余弦定理，

可得 a＝b＋c

c2＋a2－b2

2ca ＋a2＋b2－c2

2ab

，

所以 b(a2－b2)＋c(a2－c2)＝bc(b＋c)．

所以(b＋c)a2＝(b3＋c3)＋bc(b＋c)．

所以 a2＝b2－bc＋c2＋bc.

所以 a2＝b2＋c2.所以△ ABC是直角三角形．

考点 3 正弦定理、余弦定理在交汇处的应用

例 3：△ ABC的面积是 30，内角 A，B，C所对边长分别为 a，

b，c，cosA＝1213.

(1)求AB��������������

·AC��������������；

(2)若 c－b＝1，求 a的值．

解析：(1)由 cosA＝1213，得 sinA＝ 1－

12

132＝

513.

又12bcsinA＝30，∴ bc＝156.

∴ AB��������������

·AC��������������＝bccosA＝156×

1213＝144.

(2)a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA＝ (c－ b)2＋ 2bc(1－ cosA)＝ 1＋

2× 156×

1－1213 ＝25，∴ a＝5.

在三角形中，向量的数量积给出了两边与夹角余弦的积，这个积与面积之间的关系是解题的关键．

【互动探究】

3 ． (2011 年安徽 ) 已知△ ABC 的一个内角为 120° ，并且三边长

构成公差为 4 的等差数列，则△ ABC 的面积为 ______. 15 3

解析：设三角形的三边长分别为 a－4，a，a＋4，最大角为 θ，

由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)cos120°，则 a＝10.

所以三边长为 6,10,14.则△ ABC的面积为 S＝12× 6× 10× sin120°＝

15 3.

易错、易混、易漏

12 ．对三角形中的角所受到哪些限制不清楚

例题：在△ ABC 中，设 BC ＝ a ， CA ＝ b ， AB ＝ c ， c ＝ 1 ， a ＝ 2.

(1) 将 cosC 表示成 b 的函数，并求 b 的取值范围；

(2) 求 cosC 的取值范围．

正解：(1)由三角形任意的两边之和大于第三边得：

1＋2>b，1＋b>2，2＋b>1，

解出 1<b<3.

又∵ cosC＝a2＋b2－c2

2ab ＝22＋b2－12

2·2·b ＝b2＋3

4b

＝14

b＋3b ，b的取值范围 1<b<3.

(2)设 f(b)＝14

b＋3b ，(1<b<3)．

∵ 1<b<3，∴14

b＋3b ≥

14·2 b·

3b＝

32 .

当且仅当 b＝3b时，即 b＝ 3时，等号成立．

由于 f(b)在区间(1， 3)上单调递减，在区间( 3，3)上单调递

增，而 f(1)＝f(3)＝1，

∴ cosC的取值范围是

3

2 ，1 .

【失误与防范】求函数的值域时，要先求出或知道函数的定

义域，这是解函数值域问题的通法 在△ ABC 中，自变量 b 受到三

重限制，要通过这三个不等式求出 b 的取值范围 .

1 ．解三角形时，首先要保证边和角的统一，用正弦定理或余

弦定理通过边角互化达到统一．

2 ．在三角形中，若“角＋角＝定角”，不定的角将受到双重

限制．

3 ．三角形中任意一边的长，受到三重限制，当已知三边大小

的关系时，如： a>b>c ，则只要 b ＋ c>a 即可．

意．

2 ．三角函数是一种特殊的函数，经常会通过换元法转化为普

通的函数，但要注意其定义域．

1．遇到AB��������������

·AC��������������时，学生容易理解成| AB

��������������|·| AC��������������

|.这一点要特别注