Upload
mercury
View
77
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде:. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ)
Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде:
mnmnmmm
nn
nn
bxa...xaxaxa
.......................................................
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
332211
22323222121
11313212111
Здесь x1, x2,…, xn – неизвестные величины, aij (i = 1,2,…, m; j =1,2,…, n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс фиксирует номер уравнения, второй — номер неизвестной), b1, b2,…, bm – числа, называемые свободными членами.
РешениемРешением системысистемы будем называть упорядоченный набор чисел x1=c1, x2=c2, …, xn=cn, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.
РешитьРешить системусистему — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Система, имеющая решение, называется совместнойсовместной.
Если система имеет только одно решение, то она называется определеннойопределенной.
Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределеннойнеопределенной (совместнойсовместной и неопределеннойнеопределенной).
Если система не имеет решений, то она называется несовместнойнесовместной.
Система, у которой все свободные члены равны нулю (b1 = b2 =…= bn = 0), называется однороднойоднородной.
Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы. Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.
Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), то система называется квадратнойквадратной.
Две системы, множества решений которых совпадают, называются
эквивалентнымиэквивалентными или равносильнымиравносильными.
Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентнымэквивалентным или равносильнымравносильным преобразованиемпреобразованием.
Опр.: Матрица А, состоящая из коэффициентов при неизвестных называется основной матрицей СЛАУ.
aaa
aaaaaa
mnmm
n
n
A
...
............
...
...
21
22221
11211
Опр.: Матрица состоящая из коэффициентов при неизвестных, в которой в качестве последнего столбца записан столбец свободных коэффициентов называется расширенной матрицей СЛАУ.
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
...
............
...
...
21
222221
111211
*
Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца:
nc
c
c
C...
2
1
Для того, чтобы СЛАУ была совместна необходимо и достаточно,
ранг А = рангу А*.
Теорема Кронекера-Капелли
Если система совместна и
1) ранг системы равен числу неизвестных (r(A)=n), то система имеет единственное решение;
2) ранг системы меньше числа неизвестных (r(A)<n), то система имеет бесчисленное множество решений.
Методы решения СЛАУ:
• матричный метод,
• метод Гаусса,
• метод Крамера.
Матричный способ решения СЛАУ
СЛАУ запишем в виде АХ=В.
Если det A≠0 (А - невырожденная), то для матрицы А существует обратная А-1.
Умножим обе части СЛАУ слева на А-1:
А-1А Х = А-1 В;
Е Х = А-1 В;
Х = А-1 В.
Получили решение СЛАУ в матричном виде.
Метод Крамера
Если в СЛАУ n=m и det≠0, то СЛАУ имеет единственное решение.
Где 1, 2 ,…, n получены из определителя матрицы системы заменой последовательно 1-го, 2-го и n -го столбцов на столбец свободных коэффициентов.
Ax det1
1
Ax det2
2
An
nx det
- Если det A= 0 и все i = 0, то СЛАУ имеет множество решений и применяется метод Гаусса.
- Если det A = 0, а хотя бы 1 из i ≠ 0, то СЛАУ несовместна.
Метод Гаусса
Метод основан на последовательном
исключении неизвестных из уравнений:
• Если в 1-ом уравнении а11≠ 0, то с помощью элементарных преобразований х1 исключается из оставшихся уравнений (кроме первого).
• Если в новой системе а22≠ 0, то во всех уравнениях начиная с 3-го исключаются х2 и так далее, пока не прейдем к треугольному виду.
Если процессе приведения системы к треугольному виду появятся нулевые уравнения (равенства вида 0=0), то их отбрасывают. Если же появится уравнение вида 0=bi, а bi0, то данная система несовместна.
Решение треугольной системыЕсли в последнем уравнение новой системы содержится одно неизвестное, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим xn, из предпоследнего уравнения – xn-1, далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные.Если в последнем уравнение новой системы содержится более чем одно неизвестное, то исходная система имеет множество решений. Из последнего уравнения выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные. Затем подставляем в предпоследнее уравнение и выражаем второе неизвестное и т.д. Придавая свободным неизвестным произвольные значения (Cj), получим множество решений системы.
Рассмотрим квадратную систему:
225
3223
164
1123
4321
4321
321
4321
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
(1)
Проведем следующие элементарные преобразования системы:
1) поскольку a11≠ 0, первое уравнение оставим без изменений;
2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;
3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3;
4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.
Полученная новая система эквивалентнаэквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x1 (это и являлось целью преобразований 1 – 4):
539134
30775
4581310
1123
432
432
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
(2)
Замена любого уравнения системы Замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на уравнения системы, умноженного на любое число, являетсялюбое число, является эквивалентным эквивалентным преобразованием системыпреобразованием системы..
Далее:
1) первые два уравнения оставим без изменения, поскольку элемент a22 0;
2) вместо третьего уравнения запишем разность между вторым уравнением и удвоенным третьим;
3) четвертое уравнение заменим разностью между удвоенным вторым уравнением и умноженным на 5 четвертым.
Получили:
1752939
156
4581310
1123
43
43
432
4321
xx
xx
xxx
xxxx
Теперь исключим неизвестную x3 из четвертого уравнения:
1) первые три уравнения оставим без изменения, т. к. a33 ≠ 0;
2) четвертое уравнение заменим разностью между третьим, умноженным на 39, и четвертым:
410205
156
4581310
1123
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
2
156
4581310
1123
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
Из последнего уравнения этой системы получаем x4 = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x3 = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x2 = 1, а из первого - x1 = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x4, затем x3 и т. д.).
Другой способ решения Исходную систему (1) можно представить в Исходную систему (1) можно представить в виде расширенной матрицы:виде расширенной матрицы:
21215
31223
10164
112311
(3)
С помощью элементарных преобразований приведем основную матрицу к треугольному виду.
Системе (2) соответствует расширенная матрица:
5391340
307750
45813100
112311
175293900
156100
45813100
112311
410205000
156100
45813100
112311
Полученная матрица соответствует системе:
Итак, x1 = –1
x2 = 1
x3 = 3
x4 = 2
410205
156
4581310
1123
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования:
1) перемена местами двух строк;
2) умножение строки на число, отличное от нуля;
3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.
Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали трапецеидальной матрицы (это значит, что эти коэффициенты отличны от нуля), называются базиснымибазисными.
Остальные неизвестные называются свободнымисвободными.
Если свободным неизвестным приданы конкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное решение называется частным частным решениемрешением.
Если свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое называется общим общим решениемрешением.
Если всем свободным неизвестным приданы нулевые значения, то полученное решение называется базиснымбазисным.
Если получены два различных набора базисных неизвестных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число неизвестных, называемое рангом рангом системысистемы.
Однородные СЛАУ
0
0
0
332211
2323222221
1313212111
nmnmmm
nn
nn
xa...xaxaxa
.......................................................
xa...xaxaxa
xa...xaxaxa
Однородная система всегда совместна (r(A)=r(A*)), она имеет нулевое решение
x1 = x2 =…= xn = 0.Для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных (r<n).Если число уравнений m системы совпадает с числом неизвестных n (m = n), то основная матрица системы является квадратной, в этом случае условие r<n означает, что определить основной матрицы системы =0.
Пример: Решить систему уравнений
0392
02
321
321
xxx
xxx
05
02
32
321
xx
xxx
Получили две ненулевые строки, поэтому r(A)=r(A*)=2.
Число неизвестных в системе уравнений =3, r<n, поэтому данная система имеет ненулевые решения.
Из второго уравнения выразим x2 через x3, при этом x3 – свободная переменная.
x2 подставляем в первое уравнение и выразим x1 через x3:
32 5
1xx
31331 5
3,
5
12 xxxxx
Пусть x3=c, тогда общее решение системы будет:
cx
cx
cx
3
2
1
5
15
3
Пример: Решить систему уравнений
0243
0352
023
321
321
321
xxx
xxx
xxx
02
0711
023
32
32
321
xx
xx
xxx
03
0711
023
3
32
321
x
xx
xxx
x3 = 0, x2 = 0, x1 = 0 – единственное решение.
Это также вытекает из того, что
r(A)=3, n=3.