第十四讲 : 运动存在性

考点解读考题解析

【概念解读】 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个

或多个动点 ,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 .解决这类问题的关键是动中求静 ,灵活运用有关数学知识解决问题

动点问题一般分为两种情况：一是运动后研究其位置或图形形状的变化；二是运动后研究其函数模型的建立。

【考题解析】

【考题解析】例 1、如图，已知在直角梯形 ABCD 中， AD BC ∥ ，

∠ B=90° ， AB=8cm， AD=24cm， BC=26cm，AB 为⊙ O 的直径，动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D ，以 1cm/ 秒的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 向点 B 以 3 厘米 / 秒的速度运动， P 、 Q 分别从点 A 点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t秒，求：1 ） t分别为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形、等腰梯形？2 ） t分别为何值时，直线 PQ 与⊙ O 相切、相交、相离？ A DP

B

O

Q C·

【考题解析】解⑴∵ AD∥BC ，∴只要 QC=PD ，则四边形 PQ

CD 为平行四边形， ∴ t=6 ，∴当 t=6 秒时，四边形 PQCD 为平行四边形 . 又由题意，只要 PQ=CD ， PD≠QC ，则四边形 PQCD为等腰梯形则 EF=PD ， QE=FC=2 .

∴t=7 ，∴当 t=7 秒时，四边形 PQCD 为等腰梯形。

A DP

B

O

Q C

·

)]24(3[2

12 tt

A DP

B

O

Q C

·

【考题解析】2 ）设运动 t 秒时，直线 PQ 与⊙ O 相切于点 G ，过 P

作 PH⊥BC 于点 H ，则 PH=AB=8 ， BH=AP ， ∴ HQ=26-3t-t=26-4t 由切线长定理，得 PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t 由勾股定理，得 222 HQPHPQ

即 (26-2t)2=82+(26-4t)2

∴3t2-26t+16=0 8,3

221 tt 或

, 直线 PQ 与⊙ O 相切。秒时或秒当 83

221 tt

A DP

B

O

Q C

·

G

【考题解析】

C

A DP

B

O

Q

·

t=0秒 C

A DP

B

O

Q

·

秒3

2tA DP

B

O

Q C

·

t=8 秒

A DP

B

O

Q C

·

秒3

26t

当 （秒）时， Q 点运动到 B 点， P 点尚未运动到 D 点，但也停止运动，此时， PQ 也与⊙ O 相交。

3

26t

【概念解读】

C

A DP

B

O

Q

·

秒3

2t

A DP

B

O

Q C

·

A DP

B

O

Q C

·

t=8 秒当时 ，直线 PQ 与⊙ O 相离。83

2 t

【考题解析】

, 直线 PQ 与⊙ O 相切。

秒时或秒当 83

221 tt

当 0≤ 或 8<t≤ （秒）时，直线 PQ与⊙ O 相交；

3

2t

3

26

, 直线 PQ 与⊙ O 相切。

秒时或秒当 83

221 tt

当时 ，直线 PQ 与⊙ O 相离。83

2 t

【重点讲解】例 3 、如图，把一张边长为 a 的正方形 ABCD 的纸

片进行折叠，使 B 点落在 AD 上，问 B 点落在 AD的什么位置时，折起的面积最小，并求出这个最小值。

E

N

M

C

D

B

G

A

解：设 MN 为折痕， AE=x，折起部分为梯形 EGNM ， B 、 E 关于 MN 对称，连结 BE ，交 MN 于 O ，则 MN BE⊥ ， ME=MB. 设 MB=ME=l.则 AM=a-l在 Rt AME△ 中， 作 NF AB⊥ 于 F ，

∴ ∠BMO+ MBO=90°∠∠FMN+ MNF=90° ∠

l2=(a-l)2+x2

a

axl

2

22

∴ ∠MBO= MNF∠ ∵ FN=AB=a ∴ Rt MNF Rt EBA △ ≌ △

【能力提高】∴FM=AE=x 从而 CN=BM － FM

= x

a

ax

2

22

设折起部分为梯形 EGNM 的面积为 y

BCBMCNy )(2

1

aa

axx

a

axy

)

22(

2

1 2222

22

8

3)

2(

2

1a

axy

∴ 当 时，梯形 EGNM 的面积最小2

ax 2

8

3a

学以致用学以致用【思维拓展】例 . 如图 , 在矩形 ABCD 中， AB=12 厘米， BC=6 厘米。点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 B 以 2 厘米/ 秒的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点A 以 1 厘米 / 秒的速度移动。如果 P 、 Q 同时出发，用 t（秒）表示移动的时间（ 0≤t≤6 ），那么：当 t为何值时，以点 Q 、 A 、 P 为顶点的三角形与△ ABC 相似？ D

A B

Q

C

P

【思维拓展】 学以致用学以致用解：根据题意，可分为两种情况来研究。在矩形 ABCD中： 1 ）当 时，△ QAP~ ABC△ ，

BC

AP

AB

QA

那么有 ， 6

2

12

6 tt

解得 t=1.2( 秒 ) ，

即当 t=1.2( 秒 ) 时，△ QAP ABC∽△ 。

2 ）当 时，△ PAQ ABC∽△ ， AB

AP

BC

QA

那么有 ，解得 t=3 （秒）。12

2

6

6 tt

即当 t=3 秒时，以点 Q 、 A 、 P 为顶点的三角形与△ ABC 相似

作业作业

1、基础练习。2、提高练习。