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数の表現方法 ・ 演算. 基本情報技術概論 ( 第２回 ). 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史. 前回の復習. 単位 bit, byte n 進数 ２進数 0, 1, 10, 11, 100, 101, … ８進数 0, 1, 2, … , 6, 7, 10, 11, 12, … 16 進数 0, 1, 2, … , 9, A, B, C, D, E, F, 10, … 基数の 変換 - PowerPoint PPT Presentation
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数の表現方法 ・ 演算
基本情報技術概論 ( 第２回 )
埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史
2________________
前回の復習
単位 bit, byte
n 進数 ２進数 0, 1, 10, 11, 100, 101, … ８進数 0, 1, 2, …, 6, 7, 10, 11, 12, … 16 進数 0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E,
F, 10, … 基数の変換
2A . 18 (16) … 2 x 16 + 10 x 1 + 1 x 1/16 + 8 /
162 (10)
1011 . 1 (2) … 001 011 . 100 (2) = 1 3 . 4 (8)
k, M, G, T / m, μ, n
3
数値の表現方法
前回の復習 （２）
整数 符号なし整数符号付き整数 絶対値表現
１の補数２の補数
小数 固定小数点数浮動小数点数
1 0 0 1
最上位ビットを符号として使う
91
0 0 0 1
-11
-61
-71
例 )
4
小数の表現方法
固定小数点数
小数点の位置を固定 浮動小数点数に比べて、数値表現の範囲が狭い （大きな数、小さな数が扱えない）
例） 1000000 (2) は？ 0.00001 (2) は？
演算が容易 最上位ビットを符号とみて、符号付きの数も
扱える
________________
5
浮動小数点数
固定小数点数に比べて、数値表現の範囲が広い
例） 1000000 (2) は 0.1 x 2 7
0.00001 (2) は 0.1 x 2 -4
注意： 正規化が必要 仮数部の左端から０が並んでいると、 有効数字が小さくなる。これを防ぐた
め、 0.1 x 2 ○ という形にする。
符号部 指数部 仮数部
________________
小数の表現方法- 0.1 x 2 11
符号部 仮数部
指数部
6
浮動小数点数 （形式その１）
符号部 ： 仮数部の符号 ０：正 １：負 仮数部 ： 符号を取り除いた絶対値
正規化 0.1○○○
指数部 ： 正の数も負の数も、ありえる ２の補数表現
符号部 (S) 指数部 (E) 仮数部 (M)
1 bit 7 bit 24 bit
小数の表現方法- 0.1 x 2 11
符号部 仮数部
指数部
(-1) S x 0.M x 2 E
7
浮動小数点数 （形式その２）
符号部 ： 仮数部の符号 ０：正 １：負 仮数部 ： 符号を取り除いた絶対値
正規化 1.○○○
指数部 ： 正の数も負の数も、ありえる 指数部にバイアス (127) が加わっている
符号部 (S) 指数部 (E) 仮数部 (M)
1 bit 8 bit 23 bit
小数の表現方法- 0.1 x 2 11
符号部 仮数部
指数部
(-1) S x 1.M x 2 E-
127
バイアス 127 を加える
バイアス 127 を引く
8
IEEE 浮動小数点数 単精度 （４ バイト ： 32 ビット）
倍精度 （８ バイト ： 64 ビット）
形式その２を使う （倍精度のバイアスは
1023 ）
符号部 指数部 仮数部
1 bit 8 bit 23 bit
符号部 指数部 仮数部
1 bit 11 bit 52 bit
小数の表現方法- 0.1 x 2 11
符号部 仮数部
指数部
float
double
9
四則演算 （＋ , － , ×, ÷ ）
10
１例）４ bit 符号なし整数
１
加算
10 進数の加算と同様に、下位の桁からの 桁上がり （ キャリー ） を足していく
０１００＋ ０１１０
________________
００１
１
０
１１１１＋ ０００１
０００
１
注意： オーバーフロー 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 超えてしまうことがある
________________
１１
１
11
？
１
０
減算
10 進数の加算と同様に、下位の桁からの 桁借り （ ボロー ） を引いていく
１０１０－ ０１１０
________________
０１０
１
１
００００－ ０００１
１１１
１１１
注意： オーバーフロー 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 超えてしまうことがある
例）４ bit 符号なし整数
12
１
例）
０
減算 （方法２）
２の補数表現を使って、加算
０１００＋ １１１１
１０１
１
４ － １ ＝ ４ ＋ (-1)
２の補数表現では無視する
… ４… －１… ３
１
13
１
２の補数表現の加算
２の補数表現を使って、加算
０１００＋ ０１００
０００
１
注意： オーバーフロー 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 超えてしまうことがある
４ ＋ ４
… ４… ＋４… ８？
例）
正＋正＝負負＋負＝正
14
シフト演算
論理シフト ビット列を左や右に移動させる あふれた値は捨てる 空いたところには ０ を入れる
１ １ ０ １ １ １ ０ １
例）
左シフト 右シフト
１ ０ １ ０
ｘ
０ １ １ ０
ｘ
15
シフト演算
算術シフト 符号ビットを保持する ２の補数表現で、 ２倍（左シフト）や １ / ２倍（右シフ
ト）に対応
０ ０ ０ １
例）
左シフト
０ ０ １ ０
ｘ
… ２
… １ １ １ ０ １
１ ０ １ ０
ｘ
… - ６
… - ３
16
シフト演算
算術シフト 符号ビットを保持する ２の補数表現で、 ２倍（左シフト）や １ / ２倍（右シフ
ト）に対応例）
右シフト
０ ０ １ ０
０ ０ ０ １ … １
… ２ｘ
１ ０ １ ０
１ １ ０ １ … - ３
… - ６ｘ
17
乗除算
シフトと加減算を組み合わせて実現する
１１０１ｘ ０１０１
… 13… 5
１１０１ ００００ １１０１００００１０００００１ … 65
… １１０１ １００００１１ … 67１１０１ １１１１ １１０１ １０
０１０１ … 5
… 2
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用語： 誤差
オーバーフロー 演算結果が、表現できる数値の範囲より 外側に超えること
アンダーフロー 浮動小数点演算では、オーバーフローの他に
アンダーフローも起こりえる 演算結果が、表現できる数値の範囲より
細かな数になること
アンダーフロー
オーバーフロー
オーバーフロー
数値範囲０数直線
________________
________________
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用語： 誤差
情報落ち 浮動小数点演算において、 絶対値の大きな数 と 絶対値の小さな数 の 加減
算で、絶対値の小さな数の有効桁数の一部または全部が 演算結果に反映されないことで生じる
例） 0.10100(2) x 24 – 0.10001(2) x 2-8
桁落ち 浮動小数点演算において、 値がほぼ等しい数同士の加減算で、 有効桁数が大幅に減ってしまう
例） 0.10000011 x 24
- 0.10000010 x 24 = 0.10000000 x 2-3
意味があるのはこの桁のみ
________________
________________
20
用語： 誤差
打切り誤差 演算を途中で打ち切ったことで発生する誤差
例） sin x を x – x3/3 ! で計算
( 本当は、 x – x3/3 ! + x5/5 ! – x7/7 ! + ・・・ と続く )
丸め誤差 最下位桁より小さい部分について、 丸め（四捨五入や切り上げ、切捨て）を 行うことによって生じる誤差
例 ) 10/3 = 3.333… → 3.3
________________
________________
21
文字の表現方法
文字コード 文字集合（扱う文字の集合）の 符号化方式（どのように２進数を対応させるか）を 定めたもの
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ASC I I コード
ANS I (American National Standards Institute) で
制定された７ビットのコード 英数字、記号、 制御コードからなる
例） Ａ の文字コード
１ ０ ０ ０ ０
０ １
________________
23
より多くの文字を取り扱うために ...
J I S コード ISO-2022 を符号化方式とした
７ビット １～２バイトのコード 電子メールのやりとりには、 ISO-2022-JP の
符号化方式を用いるのが主流
シフト J I S J I S コードと同じ文字集合 （８ビット １～２
バイト） 以前の Windows や MacOS では、内部処理用のコードとして主に利用された（現在でも、ユーザはファイル保存時に使える）
________________
________________
24
より多くの文字を取り扱うために ...
EUC (EUC-JP) ： 拡張 Unix コード J I S コードと同じ文字集合 （８ビット １～２
バイト） 主に Unix で用いられる
Unicode 世界中の言語で使う文字を
１つのコード体系に納め（ようとしてい）るコード
Window，Mac OS X， Unix 等の最近の OS で 標準的に扱える
符号化方式には、 UTF-8 や UTF-16 が用いられる
________________
________________
25
論理演算
26
論理演算
２進数の四則演算 （＋ , － , ×, ÷ ） は、 ０ , １ を操作すれば実現できる
与えられた ０ , １ （入力） から、 計算結果の ０ , １ （出力） を得る仕組みを作ろう！
27
論理演算 真理値表回路記号 論理式
Ａ ｆＡ ｆ０ １１ ０
ｆ = Ａ
ｆ = ￢ Ａ
ＮＯＴ（否定）
ＡＢ
ｆ
Ａ Ｂ ｆ０ ０ ００ １ １１ ０ １１ １ ０
ｆ = Ａ ＋ Ｂ
ＸＯＲ（排他的
論理和）
Ａ Ｂ ｆ０ ０ ００ １ １１ ０ １１ １ １
ｆ = Ａ ＋ Ｂ
ｆ = Ａ ∨ Ｂ
ＡＢ
ｆＯＲ
（論理和）
ｆ = Ａ ・ Ｂ
ｆ = Ａ ∧ Ｂ
Ａ Ｂ ｆ０ ０ ００ １ ０１ ０ ０１ １ １
ＡＢ
ｆＡＮＤ（論理積）
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論理演算： ＮＡＮＤ論理演算 真理値表回路記号 論理式
Ａ ｆＡ ｆ０ １１ ０
ｆ = Ａ
ｆ = ￢ Ａ
ＮＯＴ（否定）
ｆ = Ａ ・ Ｂ
ｆ = Ａ ∧ Ｂ
Ａ Ｂ ｆ０ ０ ００ １ ０１ ０ ０１ １ １
ＡＢ
ｆＡＮＤ（論理積）
ｆ = Ａ ・ Ｂ
ｆ = Ａ ∧ Ｂ
Ａ Ｂ ｆ０ ０ １０ １ １１ ０ １１ １ ０
ＮＡＮＤＡＢ
ｆ
29
ｆ = Ａ ＋ Ｂ
ｆ = Ａ ∨ Ｂ
ＡＢ
ｆ
論理演算： ＮＯＲ論理演算 真理値表回路記号 論理式
Ａ ｆＡ ｆ０ １１ ０
ｆ = Ａ
ｆ = ￢ Ａ
ＮＯＴ（否定）
Ａ Ｂ ｆ０ ０ ００ １ １１ ０ １１ １ １
ＯＲ（論理和）
ＡＢ
ｆｆ = Ａ
＋ Ｂ
ｆ = Ａ ∨ Ｂ
Ａ Ｂ ｆ０ ０ １０ １ ０１ ０ ０１ １ ０
ＮＯＲ
30
31
32
論理演算： 否定 (NOT)
入力の否定 （０ , １ を反転させる）
Ａ ｆ
入力 出力
Ａ ｆ
０ １
１ ０
真理値表 回路記号 論理式
ｆ = Ａ
ｆ = ￢ Ａ
33
論理演算： 論理積 (AND)
Ａ と Ｂ どちらも １ なら、 f も １
ＡＢ
真理値表 回路記号 論理式
ｆ = Ａ ・ Ｂ
ｆ = Ａ ∧ Ｂ
ｆ
Ａ Ｂ ｆ
０ ０ ００ １ ０１ ０ ０１ １ １
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論理演算： 論理和 (OR)
Ａ または Ｂ が １ なら、 f も １
ＡＢ
Ａ Ｂ ｆ
０ ０ ００ １ １１ ０ １１ １ １
真理値表 回路記号 論理式
ｆ = Ａ ＋ Ｂ
ｆ = Ａ ∨ Ｂ
ｆ
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論理演算： 排他的論理和 (XOR, EOR, EXOR)
Ａ または Ｂ 一方のみが １ なら、 f も １
ＡＢ
Ａ Ｂ ｆ
０ ０ ００ １ １１ ０ １１ １ ０
真理値表 回路記号 論理式
ｆ = Ａ ＋ Ｂ
ｆ
36
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この powerpoint ファイルの著作者 堀山 貴史 2007-2009 [email protected]
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