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量子化学における超大規模半正定値計画問題と並列計算による高速求解

神奈川大学工学部情報システム創成学科

山下真Makoto.Yamashita@is.kanagawa-u.ac.jp

東京工業大学 Mituhiro Fukuda東京大学 　　　　　　 中田真秀

RAMP 18th 2006/10/13

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Outline 量子化学の基本的で重要な問題に

基底状態のエネルギー (Ground State Energy) そのときの電子構造

を求めることがある この問題は、半正定値計画問題

(SemiDefinite Programming, SDP) に緩和できる 並列計算を用いて実用時間内に解くことができる

量子化学＋数理最適化＋並列計算の３つの分野

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目次

1. 量子論と SDP2. 基底状態におけるエネルギーとは3. SDP への帰着4. 並列計算による高速化5. 数値実験

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量子論と SDP( その１：座標回転） まずは、大まかな話から 波動関数と物理量のオペレータの行列表現を

それぞれ　　　　とすると、物理量は　　　　　　　の２次形式で計算できる

適切な回転行列　　を用いると対角行列　　で

本質的な量（固有値）と座標回転を同時に考えることが必要

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量子論と SDP （その 2 ：対称行列） 本質的な量（固有値）と座標の回転を同時に

考えることが必要

対称行列で変数の表現 電子構造を対称行列で表現すると、

（直観的には）固有値が電子の個数となる 変数が半正定値行列に制約される 半正定値行列を変数に持つ線形計画問題が

半正定値計画問題

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半正定値計画問題（ SemiDefinite Programming, SDP)

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基底状態におけるエネルギーとは 直観的には、原子・分子系の

最も安定した状態が基底状態 化学反応で発生するエネルギーなどを

計算するときに必要となるエネルギー

これを求めることは、量子化学における基本的なこと

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量子力学における定式化 Heisenberg の行列力学

Schrödinger の波動方程式

これらは、 Hilbert 空間の内積が一致するため、物理学的には等価

時間座標と空間座標を変数分離

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時間に依存しない Schrödinger 方程式 .

最小固有値がＧＳＥ 水素原子のときには

微分方程式を解かずに最小固有値のみを求める

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行列表現 水素原子の場合、全空間での電子の数は 1 であ

るため、波動関数は Hilbert 空間 　　　に属している

Hilbert 空間での基底を

とすると、波動関数を展開できる

このとき波動関数　　とベクトル　　を同一視できる

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行列の最小固有値 Schrödinger 方程式を行列の固有方程式に

ただし、 したがって、

(Ritz の変分原理ともよばれている）

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多電子ハミルトニアン ハミルトニアンに電子 - 電子間などの項が

必要

原子核の位置を固定して近似 (Born-Oppenheimer approximation)

.

constant

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多電子波動関数は Pauli の排他原理を満たす必要がある

一電子波動関数の基底をとすると、 電子波動関数の基底全体は

である。ただし、

多電子波動関数の基底

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既存手法 一般の多電子波動関数は

と展開される

GSE 計算の既存手法 Hartree-Fock Full CI CCSD,CCSD(T), etc

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Hartree-Fock Self Consistent Field 法で得られた

一電子波動関数 エネルギーの低い順に 基底状態の波動関数を　　　　　　　　　　　　　

　　　とする

使用しているのは、のひとつの項のみ

GSE と誤差１％程度とされている

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Full CI

一次結合に現れるすべての項を用いて最小固有値計算

与えられた基底については、厳密解を与える 計算量が膨大

　　　　　　　　　の行列の固有値分解が必要

大きな分子に適用できない

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CCSD(T) Coupled Cluster expansion using Single and Double

excitations with perturbation treatment of Triples

一次結合　　　　　　　　　　　　　　の中で効果の高い項のみで計算

量子化学の分野で信頼されている手法 これと同等の精度を出すことがひとつの目

安

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SDP による GSE 計算 Full CI 同様に最小固有値の計算をベース Full CI では、 von Neumann 密度行列と同等

必要な情報量は、２次の縮約密度行列のみ

２次の縮約密度行列を変数とすることで計算量を抑える

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SDP による GSE 計算の歴史（１） 1960 年代： Coleman, Garrod ら

半無限線形計画問題への帰着 ＳＤＰ緩和

Erdahl による独自のアルゴリズムでの数値実験 SDP 緩和が不十分なため良い結果を得られず

1990 年代：数理最適化の分野で主双対内点法の研究が活発に

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SDP による GSE 計算の歴史（２） 2001 年：中田ら

主双対内点法のソフトウェアSDPA [SemiDefinite Programming Alogorithm]を用いて計算

P,Q,G 条件などで良好な精度 2004 年 :Zhao ら

T1,T2 条件を導入して精度向上 並列ソフトウェア

SDPARA [SDPA paRAllel version] を使用

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SDP への帰着 主問題側　　　へと帰着させる方法と

双対問題側　　　へと帰着させる方法がある 計算効率は　　　の方がいいが、まずは分かり

やすい へと帰着させる

ハミルトニアンも電子間に相互作用がないところから帰着

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ＧＳＥ計算と１次縮約密度行列 .

ここで、行列 を

で定義すると

新しい変数離散化１次縮約密度行列

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N-representability 密度行列は N-representability とよばれる条件

を満たす必要がある。１次なら

直観的には、それぞれの波動関数上の電子の数を 0 から 1 に制約していることになる

まとめると、

SDP のひとつだが標準形ではない

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標準形への変形とSDP としてのサイズ 対角行列で標準形の SDP へと変化させる

このとき標準形は

2K を基底関数の数とする

は、それぞれが の２つのブロックに分解

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双対問題側への定式化による効果

Primal

Dual

少ないメモリで計算できる

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２次縮約密度行列 電子間相互作用に関するハミルトニアンを組み込

む

この項を計算するために 2-RDM Γ を導入

Γ が波動関数に対応するための必要十分条件もN-representability である

組み合わせ的な要素を含んでいるため、全部の条件を列挙して計算することは不可能

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P,Q,G 条件の導入 P,Q,G 条件は N-representability の中でも効率的

で効果的に Γ の領域を表現できる それぞれ、次の行列の半正定値条件に対応

P,Q,G 行列は Γ からの線形変換で得られる これらを P,Q,G の半正定値条件を SDP の制約条

件に追加する（ SDP 緩和が得られる）

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GSE 計算のための SDP 2-RDM は物理量を計算するのに

十分な情報を持っている

PQG T1T2

3-RDM の知識から得られる2-RDM の制約を追加

計算時間と数値精度に影響する

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2-RDM があるときのSDP のサイズ

2K=28 のときには、単一 CPU 上の SDPA で8.6GB のメモリを使用する

並列計算へと移行する

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

16 18 20 22 24 26 28

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SDPARA SDPA parallel version

(generic SDP solver) 主双対内点法

PC クラスタ上の分散メモリで超大規模な SDP を格納 並列計算による計算時間の短縮

実装に使用しているライブラリ MPICH 　　　　 （通信用ライブラリ） ScaLAPACK 　（並列版 LAPACK ）

マルチプロセッサ化にともなって、普通の PC でも並列計算が標準の時代に

http://homepage.mac.com/klabtitech/sdpa-homepage/

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SDP の標準形

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KKT 条件 最適解は KKT 条件で特徴付けられる

主双対内点法では、行列の正定値性を維持しながら反復的に最適解を求める

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主双対内点法のフレームワーク

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探索方向の計算

Schur complement equation

Schur complement matrix ⇒ Cholesky Factorizaiton

1.ELEMENTS

2.CHOLESKY

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単一プロセッサ上でのボトルネック

SDPARA でボトルネックを並列化 計算時間の単位は秒Opteron 246 (2.0GHz)

LiOH HF

m 10592 15018

ELEMENTS 6150( 43%) 16719( 35%)

CHOLESKY 7744( 54%) 20995( 44%)

TOTAL 14250(100%) 47483(100%)

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SDPA における疎性を活用した計算

行方向に計算式を変えて計算

これを維持したまま並列計算へ

F1

F2

F3

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Row-wise distribution for evaluation of the Schur complement matrix

CPU が 4 個の場合を表示それぞれの CPU は　行方向を担当

. CPU 間の通信は一切なし効率的なメモリ管理

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並列 Cholesky 分解 Schur complement matrix の Cholesky 分解に

は ScaLAPACK のルーチンを使用 行方向のメモリ管理から２次元巡回配置に分散メモリ

上で再配置して効率的に

再配置

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分子 LiOH に関する計算時間

14250

3514969

414

61501654

30884

7744

1186357

141

1

10

100

1000

10000

100000

1 4 16 64#processors

second TOTAL

ELEMENTSCHOLESKY

AIST super clusterOpteron 246 (2.0GHz)

6GB memory/node

40

分子 HF の計算時間のスケーラビリティー

1

10

100

1 2 4 8 16 32 64#processors

scalability TOTAL

ELEMENTSCHOLESKY

Total 29 times

ELEMENTS 63 times

CHOLESKY 39 times

ELEMENTS の行方向分割が非常に強力

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計算時間

一番大きな分子 (NH) にも並列計算は効果 単一プロセッサの場合には、メモリスペースの関係で解くことができない

22 日 ( 単一プロセッサ上の計算時間の予測値 ) → 7 時間に短縮

（単位は秒）

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数値精度比較 得られた GSE の精度を Full CI からの差で表現す

る 既存手法

HF (Hatree-Fock) CCSD(T) (Coupled Cluster expansion using Single and

Double excitations with perturbation treatment of Triples)

SDP 緩和 (PQG, T1T2)

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数値精度

PQG は HF よりも精度がよい T1T2 は CCSD(T) とほぼ同等の精度 T1T2 は化学的精度の 1kcal/mol より高い精度

in Hartree (1 Hatree = 4.36x10^(-18) Joule)

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まとめと今後の展開

ＧＳＥ計算は SDP緩和に帰着できる SDP緩和は GSE を高い精度で計算できる メモリ消費や計算時間から、並列計算をすることが必要

Hubbard モデルへの適用 双極子モーメントの計算などなど 数値的安定性の向上 メモリ消費の抑制

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ご清聴ありがとうございました

Ｔａｎｔｅ　Ｇｒａｚｉｅ