เลขยกก��ล�งฟั�งก�ชั�นเอ็�กซ์�โพเนนเชั�ย

ลโดย ครู�ปรู�ชั� หย�ดน�อ็ยโรูงเรู�ยนจุ�ฬ�ภรูณรู�ชัวิ#ทย�ล�ย

เชั�ยงรู�ย

1 .เลขยกก��ล�ง บทน#ย�ม เมื่��อ a เป็�นจำ��นวนจำริ�งใดๆ และ n เป็�น

จำ��นวนเต็�มื่บวก an หมื่�ยถึ�ง a a a a …..

a จำ��นวน n ต็�ว เช่!น 25 = 2 2 2 2 2

บทน#ย�ม a0 = 1 เมื่��อ a เป็�นจำ��นวนจำริ�งใดๆ ที่#�ไมื่!เที่!�ก�บศู&นย'

บทน#ย�ม a-n = 1/an เมื่��อ a เป็�นจำ��นวนจำริ�งใดๆ ที่#�ไมื่!เที่!�ก�บศู&นย' และ n เป็�นจำ��นวนเต็�มื่บวก

เช่!น 3-2 = 1/32 = 1/9

สมบ�ติ#ขอ็งเลขยกก��ล�ง ทฤษฎี�บท เมื่��อ a , b เป็�นจำ��นวนจำริ�งที่#�ไมื่!เป็�นศู&นย' และ m , n เป็�นจำ��นวนเต็�มื่ 1) am.an = am+n

2) (am)n = amn

3) (ab)n = anbn

4) (a/b)n = an/bn

5) am/an = am-n

ติ�วิอ็ย,�ง จำงห�ค่!�ของ (2-3x2y4/2x-1)-2

2. รู�กท�- n ในรูะบบจุ��นวินจุรู#ง และจุ��นวินจุรู#งในรู�ปกรูณฑ์� บทน#ย�ม เมื่��อ x , y เป็�นจำ��นวนจำริ�ง y เป็�นริ�กที่#�สองของ x ก�ต็!อเมื่��อ y2 = x

สมบ�ติ#ขอ็งรู�กท�-สอ็งxyyx .

y

x

y

x

1) เมื่��อ x 0 , y 0

)245)(273( ติ�วิอ็ย,�ง จำงห�ค่!�ของ วิ#ธี�ท��

2) เมื่��อ x 0 , y > 0

)245)(273( 2)2(2823521215

22341

3. เลขยกก��ล�งท�-ม�เลขชั�3ก��ล�งเป4นจุ��นวินติรูรูกยะ บทน#ย�ม เมื่��อ a เป็�นจำ��นวนจำริ�ง n เป็�นจำ��นวนเต็�มื่ที่#�มื่�กกว!� 1 และ a มื่#ริ�กที่#� n

nn aa 1

qa

1

pqqp

aa )(

1

q pq

p

aa

53

2

ติ�วิอ็ย,�ง จำงที่��ให+ส!วนไมื่!ต็�ดกริณฑ์'

บทน#ย�ม เมื่��อ a เป็�นจำ��นวนจำริ�ง p , q เป็�นจำ��นวนเต็�มื่ที่#� (p,q) = 1 , q > 0 และ R โดยที่#� p < 0 แล+ว a ต็+องไมื่!เป็�นศู&นย' or

4. ฟั�งก�ชั�นเอ็กซ์�โพเนนเชั�ยล บทน#ย�ม ฟั0งก'ช่�นเอกซ์'โพเนนเช่#ยล ค่�อ f = {(x,y)RR / y = ax , a>0 , a1} y

ข�อ็ส�งเกติ 1) กริ�ฟัของ y = ax ผ่!�นจำ4ด (0,1) เสมื่อ 2) ถึ+� a > 1 แล+ว y = ax เป็�นฟั0งก'ช่�นเพ��มื่ 3) ถึ+� 0 < a < 1 แล+ว y = ax เป็�นฟั0งก'ช่�นลด 4) y = ax เป็�นฟั0งก'ช่�น 1-1 จำ�ก R ไป็ R+

5) โดยสมื่บ�ต็�ของฟั0งก'ช่�น 1-1 จำะได+ ax = ay ก�ต็!อเมื่��อ x = y

5. ฟั�งก�ชั�นลอ็ก�รู#ท5ม จำ�ก f = {(x,y) RR / y = ax , a>0 , a1} ซ์��งเป็�นฟั0งก'ช่�น 1-1 จำ�ก R ไป็ R+

จำ�งมื่#ฟั0งก'ช่�นอ�นเวอริ'สค่�อ f-1 = {(x,y) R+R / x = ay , a>0 , a1}

จำ�ก x = ay ส�มื่�ริถึเข#ยนในริ&ป็ y = f(x) ได+ โดยก��หนดเป็�น y = logax

เช่!น 9 = 32 เข#ยนในริ&ป็ลอก�ริ�ที่�มื่เป็�น 2 = log39

32 = 25 เข#ยนในริ&ป็ลอก�ริ�ที่�มื่เป็�น 5 = log232

บทน#ย�ม ฟั0งก'ช่�นลอก�ริ�ที่�มื่ค่�อฟั0งก'ช่�นที่#�เข#ยนอย&!ในริ&ป็ f = {(x,y) R+R / y = logax , a>0 , a1}

เช่!น y = log2x , f(x) = log5x

y

x

ข�อ็ส�งเกติ 1) กริ�ฟัของ y = logax ผ่!�นจำ4ด (1,0) เสมื่อ

2) ถึ+� a > 1 แล+ว y = logax เป็�นฟั0งก'ช่�นเพ��มื่

ถึ+� 0 < a < 1 แล+ว y = logax เป็�นฟั0งก'ช่�นลด

3) y = logax เป็�นฟั0งก'ช่�น 1-1 จำ�ก R+ ไป็ที่��วถึ�ง R

4) โดยสมื่บ�ต็�ของฟั0งก'ช่�น 1-1 จำะได+ logax = logay ก�ต็!อเมื่��อ x = y

สมบ�ติ#ขอ็งลอ็ก�รู#ท5ม เมื่��อ a , M , N เป็�นจำ��นวนจำริ�งบวกที่#� a 1 และ k เป็�นจำ��นวนจำริ�ง

1) logaMN = logaM + logaN

2) loga M/ N = logaM – logaN

3) loga Mk = k logaM

4) loga a = 1

5) loga 1 = 0

6) logakM = 1/k logaM

7) logb a = 1/ logab

6. ก�รูห�ค,�ขอ็งลอ็ก�รู#ท5ม ลอ็ก�รู#ท5มส�ม�ญ หมื่�ยถึ�งลอก�ริ�ที่�มื่ฐ�น 10 ซ์��งน�ยมื่เข#ยนโดยไมื่!มื่#ฐ�นก��ก�บ เช่!น log107 เข#ยนแที่นด+วย log 7

log1015 เข#ยนแที่นด+วย log 15

พ�จำ�ริณ�ค่!�ของลอก�ริ�ที่�มื่ของจำ��นวนเต็�มื่ที่#�ส�มื่�ริถึเข#ยนในริ&ป็ 10n เมื่��อ n I

log 10 = log 101 = 1

log 100 = log 102 = 2

log 1000 = log 103 = 3

ด�งน�6น log 10n = n

จำ��นวนจำริ�งบวก N ใดๆ ส�มื่�ริถึเข#ยนในริ&ป็ N0x10n ได+เสมื่อ เมื่��อ 1 < N0<10 และ n เป็�นจำ��นวนเต็�มื่

เน��องจำ�ก N = N0x10n

ด�งน�6น log N = log (N0x10n)

= log N0+ log 10n

= log N0 + n

log N0 เริ#ยกว!� แมื่นที่�สซ์� (mantissa) ของ log N

n เริ#ยกว!� แค่แริกเที่อริ�สต็�ก (characteristic) ของ log N

ติ�วิอ็ย,�ง จำงห�ค่!�ของ log 4520 พริ+อมื่ที่�6งบอก แมื่นที่�สซ์�และแค่แริกเที่อริ�สต็�ก วิ#ธี�ท�� เน��องจำ�ก log 4520 = log (4.52x103)

= log 4.52 + log 103

= 0.6551 + 3

= 3.6542

ด�งน�6น log 4510 = 3.6551

แมื่นที่�สซ์�ของ log 4520 ค่�อ 0.6551

แค่แริกเที่อริ�สต็�กของ log 4520 ค่�อ 3

แอ็นติ#ลอ็ก�รู#ท5ม ติ�วิอ็ย,�ง ก��หนดให+ log N = 2.5159 จำงห�ค่!� N วิ#ธี�ท�� เน��องจำ�ก log N = 2.5159

= 0.5159 + 2

= log 3.28 + log 102

= log (3.28x102)

= log 328

ด�งน�6น N = 328

7. ก�ริเป็ล#�ยนฐ�นของลอก�ริ�ที่�มื่

ก��หนดให+ y = logbx

จำะได+ x = by

loga x = loga by

loga x = y loga b

y =

b

x

a

a

log

log

b

x

a

a

log

log ด�งน�6น logbx =

ติ�วิอ็ย,�ง จำงห�ค่!�ของ log224

ลอ็ก�รู#ท5มธีรูรูมชั�ติ# (Natural logarithms)

ลอก�ริ�ที่�มื่ธริริมื่ช่�ต็� ค่�อลอก�ริ�ที่�มื่ฐ�น e เมื่��อ e เป็�นส�ญล�กษณ'แที่นจำ��นวนอต็ริริกยะซ์��งมื่#ค่!�ป็ริะมื่�ณ 2.7182818 หริ�อเริ#ยกอ#กอย!�งหน��งว!�

ลอ็ก�รู#ท5มแบบเนเป7ยรู� “ ” (Napierian

Logarithms) ในก�ริเข#ยนลอก�ริ�ที่�มื่ธริริมื่ช่�ต็�จำะไมื่!น�ยมื่เข#ยนฐ�นก��ก�บ ด�งน#6 logex เข#ยนแที่นด+วย ln x

loge3 เข#ยนแที่นด+วย ln 3

loge20 เข#ยนแที่นด+วย ln 20

ก�ริห�ค่!�ลอก�ริ�ที่�มื่ธริริมื่ช่�ต็�ที่��ได+โดยก�ริเป็ล#�ยนฐ�นให+เป็�นลอก�ริ�ที่�มื่ส�มื่�ญซ์��ง log e = log 2.7182818 = 0.4343

ติ�วิอ็ย,�ง จำงห�ค่!�ของ ln 25

8. สมื่ก�ริเอ�กซ์'โพเนนเช่#ยลและสมื่ก�ริลอก�ริ�ที่�มื่ สมก�รูเอ็�กซ์�โพเนนเชั�ยล ค่�อสมื่ก�ริที่#�มื่#ต็�วแป็ริเป็�นเลขช่#6ก��ล�ง ในก�ริห�ค่��ต็อบของสมื่ก�ริที่��ได+โดยใช่+สมื่บ�ต็�ของฟั0งก'ช่�นเอ�กซ์'โพเนนเช่#ยลและสมื่บ�ต็�ของฟั0งก'ช่�นลอก�ริ�ที่�มื่ ติ�วิอ็ย,�ง จำงห�เซ์ต็ค่��ต็อบของสมื่ก�ริ 2x.22x+1 = 4x-2

วิ#ธี�ท�� 2x+2x+1 = (22)x-2

23x+1 = 22x-4

จำะได+ 3x+1 = 2x-4

x = -5

ด�งน�6น ค่��ต็อบของสมื่ก�ริ ค่�อ {-5}

ติ�วิอ็ย,�ง จำงห�เซ์ต็ค่��ต็อบของสมื่ก�ริ 4x + 2x+1 – 24 = 0

สมก�รูลอ็ก�รู#ท5ม ค่�อสมื่ก�ริที่#�มื่#ลอก�ริ�ที่�มื่ของต็�วแป็ริ ก�ริห�ค่��ต็อบของสมื่ก�ริที่��ได+โดยใช่+สมื่บ�ต็�ของฟั0งก'ช่�นลอก�ริ�ที่�มื่ ติ�วิอ็ย,�ง จำงห�เซ์ต็ค่��ต็อบของสมื่ก�ริ log2(x-2) + log2(x-3) = 1

วิ#ธี�ท�� log2(x-2) + log2(x-3) = 1

log2(x-2)(x-3) = log22

จำะได+ (x-2)(x-3) = 2

x2- 5x + 4 = 0

(x-1)(x-4) = 0

x = 1 , 4

ด�งน�6น ค่��ต็อบของสมื่ก�ริ ค่�อ {4} เพริ�ะว!� เมื่��อต็ริวจำค่��ต็อบ x = 1 ห�ค่!�ไมื่!ได+