第五章離散型隨機變數及其常用的機率分配

教科書 :應用統計學徐世輝著

第五章離散型隨機變數及其常用的機率分配


5.1.1 隨機變數的意義隨機實驗時，真正關心是將這些確切結果經由一有意義的實數值函數轉換，進而改以函數值表示的事件。經實數值函數轉變後以數值表示的事件即稱為實數值事件 ( real

value event) ，在實數裏有很多數學運算可應用，如加法、減法、積分、微分。例如 : 觀察投擲兩枚骰子的實驗中，〔確切結果〕 : （ 1,3 ）或（ 3,1 ）或（ 2,2 ）〔重要意義〕：是兩枚骰子總合〔函數〕為 4 〔函數值〕事件。經一特定實數值函數，並以轉換後的函數值來表示事件，則此實數值函數即稱為隨機變數。

5.1 隨機變數


以大寫英文字母來表示此函數，也就是隨機變數。以小寫英文字母來表示函數值，也就是隨機變數可能值。如投擲兩枚骰子實驗，若定義隨機變數Ｙ〔函數〕：其面朝上點數總合。而其相對的可能值〔函數值〕Ｙ＝ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 。以｛Ｙ＝ y ｝表示原樣本空間，經此函數轉變後的實數值事件。

定義 5.1.1 隨機變數（ random variable ）即是以樣本空間為定義域而值域為實數的實數值函數。

5.1 隨機變數 (續 )


【例 5.1 】

考慮投擲三枚硬幣實驗，定義隨機變數Ｙ：出現正面的次數。試著將每一樣本點所對應的函數值列出，並列出所有轉換後的實數值事件，所各自包含的樣本點。

5.1 隨機變數 (續 )


解：投擲三枚硬幣其樣本空間為：　 H ：正面　 T ：反面　　Ｓ＝｛ HHH， HHT， HTH， HTT， THH， THT， TTH， TTT ｝隨機變數Ｙ定義為出現正面的次數，其對應關係如本頁圖 5-1 所示。由此圖可知，隨機變數的可能值Ｙ＝ 0,1,2,3 。原樣本空間經由隨機變數而轉變成 4 個實數值事件。其各自包含的樣本點為｛Ｙ＝ 0 ｝＝｛ TTT ｝｛Ｙ＝ 1 ｝＝｛ THT， TTH， HTT ｝｛Ｙ＝ 2 ｝＝｛ HHT， HTH， THH ｝｛Ｙ＝ 3 ｝＝｛ HHH ｝

5.1 隨機變數 (續 )

教科書 :應用統計學徐世輝著5.1 隨機變數 (續 )

S Y(s ) = y 定義域(樣本空間) Y 值域，函數值

函數(隨機變數) (隨機變數之可能實數值) HHH 0 HHT HTH 1 HTT THH 2 THT TTH 3 TTT

圖 5-1


5.1.2 隨機變數的分類 : 可區分為兩大類：離散型隨機變數（ discrete type random variable） :當一隨機變數其可能值的個數為有限個（ finite ）或可數的無限多（ countably infinite ）時，稱為離散型隨機變數。

連續型隨機變數（ continuous type random variable） : 若一隨機變數其可能值為不可數的無限多（ uncountably infinite ）時，稱為連續型隨

機變數。

5.1 隨機變數 (續 )


【例 5.3 】

1. 定義隨機變數Ｘ：投擲一枚硬幣次，其出現正面的次數。則Ｘ的可能值為 x ＝ 0,1,2,3,…... 〔有限個〕。Ｘ為離散型隨機變數。2. 定義隨機變數Ｙ：一小時內某一路口通過之車輛個數。則Ｙ的可能值 y ＝ 0,1,2,3,…….. 〔可數的無限多〕。Ｙ為離散型隨機變數。3. 定義隨機變數Ｔ：某一電視機之使用壽命。則Ｔ的可能值ｔ≧ 0

〔不可數的無限多〕。Ｔ為連續型隨機變數。

5.1 隨機變數 (續 )


定義 5.2.1 一離散型隨機變數之機率分配（ probability distribution），即是以表格、圖表、或公式，將隨機變數所有可能值而成的事件之機率一一列出。

定義 5.2.2 一離散型隨機變數Ｙ之機率分配則有下列性質：1. 0 1≦ ≦ ，對每一可能值。2. ＝ 1

)()( ypyYP

)(yp

y

yp )(

5.2 離散型隨機變數之機率分配


【例 5.4 】台灣某一大學，企管系大二班。班上成績前五名中，有三名為男同學，二名為女同學。由於五名同學都十分優秀，老師想以公平之標準，隨機抽取二人擔任統計學助教。定義隨機變數Ｙ：抽取二人中，女同學之人數。試以表格、圖表、或公式列出隨機變數Ｙ之機率分配。

5.2 離散型隨機變數之機率分配(續 )


解：隨機變數Ｙ定義為抽取二人中女同學之人數，Ｙ可能值 y ＝ 0,1,2 。欲求Ｙ之機率分配，必先將 P ( Ｙ＝ 0)， P ( Ｙ＝ 1)， P ( Ｙ＝ 2) 求出。由於採隨機抽出，此實驗之所有樣本點，發生機率皆相同。是故我們試著以古典法，求算事件機率。先行介紹一組合符號或。此值＝＝代表著在個不同的個體中，隨機抽取 x 個，其各種不同可能抽取結果之總數。故就本題而言，在五名學生中，抽取二名即有個各種可能結果。也就是此實驗之樣本空間有＝ 10 個樣本點。

Cn

x nx Cn

x nx )!(!

!xnx

n

52C

52C



P (Ｙ＝0)＝ p (0)＝3 2

2 05

2

3 1 35 4 10

2

C CC

同理 P (Ｙ＝1)＝ p (1)＝3 2

1 15

2

3 2 65 4 10

2

C CC

P (Ｙ＝2)＝ p (2)＝3 2

0 25

2

1 1 15 4 10

2

C CC

p (0)＋ p (1)＋ p (2)＝1，且 p (0)， p (1)， p (2)皆小於 1


教科書 :應用統計學徐世輝著5.2 離散型隨機變數之機率分配(續 )

Ⅰ（）表格 p ( y ) y 0 1 2

p ( y ) 0.3 0.6 0.1

Ⅱ（）柱狀圖

0.6 0.6

0.3 0.3

0.1 0 1 2 y

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Ⅲ（）公式

P (Ｙ＝ y )＝ p ( y )＝

3 2

25

2

3! 2!(2 )! 3 2 ! 2 ! !

5!2! 3 !

y y y y y yC CC

，

y＝0,1,2


累積機率 F (x) ，我們又可將之稱為累積分配函數（ cumulative distribution function），簡稱 c.d.f.。

定義 5.2.3一離散型隨機變數Ｙ之累積機率（ cumulative probability ）：F ( )＝ P ( Ｙ≦ ) = ，意即將離散型隨機變數，由 Y 最小的可能值的機率，累加至Ｙ＝的機率為止之值。y y

y


:

( )x x y

p x

教科書 :應用統計學徐世輝著5.3 期望值及變異數

描述一組資料之集中趨勢及離散程度，最常用為樣本平均數 x及樣本變異數 2s 。由實際操作實驗所得的資料算得樣本平均數 x及樣本變異數 2s 是為實驗值。

先前所討論的機率分配，是由機率理論推導：以母體平均數測知此機率分配之中心點，以母體變異數 2 來測量此機率分配之離散情形，則為理論值。

實際操作次數增多，甚至是無限時，實驗值必會趨近於理論值。


5.3.1 離散型隨機變數之期望值假設考慮投擲一公平骰子 36 次，進而出現之點數如下：　　　　 2,1,2,4,5,6 5,3,1,6,6,3 3,6,4,1,1,5　 4,5,3,6,6,3 6,2,1,4,6,1 3,3,5,6,1,6就以上資料 36 個數值，我們可計算其樣本平均數為

再將這些資料稍加整理之後，可得如下表所示75.3)135(

361

361 36

1

iixx

5.3 期望值及變異數 (續 )

可能值 1 2 3 4 5 6 次數分配 7 3 7 4 5 10


經由上表所表示各可能值之次數分配，我們可以行另一方式，求算該樣本平均數：

計算法則即是為 ( 樣本平均數 )＝ Σ 〔點數（可能值） × 相對次數〕

7 3 7 4 5 101 2 3 4 5 6 3.7536 36 36 36 36 36

x

x



期望值的運用相當廣泛，因為期望值為一理論平均值，也就是長期趨勢下的一可能平均值。故其在衡量風險、保費規劃等實務應用上，著實為推導過程中，一個相當重要的基礎。

定義 5.3.1 一離散型隨機變數Ｙ的期望值（ expected value）或平均數

（mean）Ｅ[ Y ]：定義為μ ＝Ｅ[Y ]＝y

yyp )( ； )(yp 為此隨機變數

之機率分配或機率質量函數。



【例 5.6 】

考慮投擲三枚公平硬幣，定義隨機變數：三枚公平硬幣正面朝上之個數。試求隨機變數之期望值。解：此隨機變數Ｙ之機率分配為：

根據期望值定義Ｅ [y]＝

y

yyp )( 1 3 3 1= 0 1 2 3 1.58 8 8 8


教科書 :應用統計學徐世輝著5.3 期望值及變異數 (續 )

定理 5.1 一離散型隨機變數Ｙ，機率分配 p ( y )，則Ｙ之函數 g (Y )，其

期望值為 E [ g (Y )]＝y

ypyg )()(


5.3.2 離散型隨機變數之變異數5.3 期望值及變異數 (續 )

定義 5.3.2

一離散型隨機變數Ｙ，其機率分配 p (ｙ)，期望值Ｅ[ Y ] μ＝，則Ｙ之變異數（variance）為 2 ＝Ｖ( Y )＝Ｅ[(Ｙ μ－ )2]

Σ＝ ( y μ－ )2 p ( y )

將變異數的正平方根＝ )(YV ＝SD ( Y )，稱為標準差（standard

deviation）。


5.3.3 期望值及變異數之基本定理

定理 5.2 給定 a， b兩常數，則Ｅ[ a Y＋ b ]＝ aＥ[Y ]＋ b


定理 5.3

給定 a， b兩常數，則 V ( a Y＋ b )＝ a 2Ｖ( Y )

教科書 :應用統計學徐世輝著5.3 期望值及變異數 (續 )

定理 5.4

1g (Y )， 2g ( Y )……… kg ( Y )為隨機變數 Y之 k個函數，則 E [

1g ( Y )＋ 2g (Y )………＋ kg ( Y )] ＝E [

1g (Y )]＋E [ 2g ( Y )]………＋E [ kg (Y )]

定理 5.5 給定隨機變數Y，期望值 E [ Y ] μ＝，則 V (Y )＝E [ 2Y ]－(E [Y ])2＝E [ 2Y ] μ－ 2


【例 5.10 】再以例 5.6 為例，並利用定理 5.5 ，求出隨機變數之變異數。


解：由例 5.6 得知，E [ Y ] μ＝＝1.5，Y之機率分配為

y 0 1 2 3 p ( y ) 1/8 3/8 3/8 1/8 y 2 0 1 4 9

根據定理 5.5，V ( Y )＝E [ 2Y ]－ 2

＝ 0.75(1.5)8198

348318

10 2


接著將介紹幾個特殊且常見的機率分配：二項分配　（ binomial distribution）超幾何分配（ hyper-geometric distribution）卜瓦松分配（ Poisson distribution）隨機變數的機率分配本是透過此隨機變數所定義的函數關係，由原實驗樣本空間轉換而來。

5.4 二項分配及超幾何分配


5.4.1 二項分配5.4 二項分配及超幾何分配 (續 )

考慮一隨機實驗，其可能發生的結果只有單純兩種：其一為“成功”( S )，另外一個便是“失敗”( F )。假設發生結果為“成功”時，令隨機變數Ｙ＝1，而若發生結果為“失敗”時，則令Ｙ＝0。 P (Ｙ＝1)＝ p 或可寫成 P (Ｙ＝0)＝ q 其中 p為結果發生“成功”的機率， pq 1 結果發生“失敗”的機率，若符合以上條件，則此隨機實驗過程稱為伯努利試驗（Bernoulli trial），此隨機變數Ｙ稱為伯努利隨機變數（Bernoulli random variable），上述機率分配稱為伯努利分配（Bernoulli distribution）。

教科書 :應用統計學徐世輝著5.4 二項分配及超幾何分配 (續 )

定義 5.4.1

若有一實驗具有以下特性，即稱為二項實驗（binomial experiment） 1. 重複執行 n個相同的試驗。 2. 每一次實驗必僅含有二種可能發生結果，其一為“成功”(S )，另一則為“失敗”( F )。

3. 單一試驗其發生結果為“成功”的機率為 p，理所當然的，發生結果為“失敗”的機率為 pq 1 。且此機率 p並不隨著不同試驗而有所變動。

4. 每一次試驗彼此互為獨立。


對於上述二項實驗之定義，下有幾點略加說明： 1. 所謂 n個相同試驗，當然指的是“伯努利試驗”。 2. 可能發生結果分類為“成功”、“失敗”，這樣的分類方式，並不意謂好或壞的價值判斷。其目的只是單純的將結果區分為兩類：例如檢驗燈炮時，其結果不是良好，就是損壞。投擲一硬幣，其可能發生結果亦只有正面、反面之分。像這樣的例子都屬於此限制條件之範疇。

3. 所謂每一試驗彼此互為獨立，意即為每次試驗發生的結果，都不影響其他試驗可能發生的結果。

4. 當 n＝1時，二項實驗即為伯努利試驗，換句話說，伯努利試驗其實為二項實驗之一特例。簡而言之，若某一實驗符合上述定義之四項特性，即可將該實驗歸類為二項實驗。




5.4.2 超幾何分配5.4 二項分配及超幾何分配 (續 )

定義 5.4.4 超幾何實驗（hypergeometric experiment）具有下述特性： 1. 從一含有 N個物品的母體中，採不放回方式抽取 n個樣本。 2. 母體中 N個物品，有 r個歸類為“成功”(S )，N－ r個則歸類為 “失敗”( F )。定義 5.4.5

考慮一超幾何實驗，定義隨機變數Ｙ表示抽取 n個樣本中，是“成功”類的個數。則Ｙ稱為超幾何隨機變數（hypergeometric random variable）。




【例 5.16 】超幾何分配在一水塘池中，計有 20隻魚，其中有 15隻金魚， 5隻吳郭魚。今從池中抽取 2隻魚，並定義隨機變數Ｙ表示抽中吳郭魚隻數。試求出：(a) 隨機變數之機率分配(b) 期望值 E [Y] ，變異數 V (Y)

5.4 二項分配及超幾何分配 (續 )


解： (a) 隨機變數Ｙ表示抽中吳郭魚隻數。且一次抽取 2隻，如此即可視為採不放回，故 Y 必為超幾何隨機變數。根據定義 5.4.6 N＝ 20， r＝ 5， n＝ 2

P ( Ｙ＝ｙ ) ＝，　　ｙ＝ 0,1,2CCC yy

202

152

5



(b) P (Ｙ＝0)＝5 15

0 220

2

15 141 21220 19 38

2

C CC

,

P (Ｙ＝1)＝5 15

1 120

2

5 15 1520 19 38

2

C CC

,

P (Ｙ＝2)＝5 15

2 020

2

5 4 1 2220 19 38

2

C CC

則 E [ Y ] μ＝＝212

3821

38150

3821



5.4.3 二項分配與超幾何分配的關係實務上很多抽樣檢驗，都是以一次抽取，也就是抽取不放回方式來進行。理論上我們應以超幾何分配來求算機率，不過在例 5.13 中我們曾經提及，當母體所含個數與抽取樣本個數相差很大時，此時雖採不放回方式，不過試驗間還是逼近“獨立”，故依舊以二項分配來估算，為什麼呢？玆以下例說明：



【例 5.18 】科學園區某一工廠，元月份共出產產品 1000 件，可惜此批產品中有100 件為不良品。令隨機變數 Y 表示抽取 5 件中，不良品個數。則分別以 (a)超幾何分配 (b) 二項分配，求算機率並比較差異 !解： (a) 採超幾何分配求算， N＝ 1000， r＝ 100， n＝ 5

P ( Ｙ＝ y) ＝， y＝ 0,1,2,3,4,5

CCC yy

10005

9005

100




由上可知，當 N， n差距很大時，分別用二項分配及超幾何分配求算的機率值非常接近，可是求算過程中，經由超幾何分配可比起二項分配計算繁雜的多。所以當母體所含物體個數與抽取樣本個數差距很大時，以二項分配估算 b（ n； p＝ n/N ）顯得容易的多，且又逼近超幾何分配求算值。



事實上，由數理可證明：當 N 時，超幾何分配趨近於二項分配

CCC

Nn

rNyn

ry

Nlim ynyn

y ppC )1( ， p＝Nr

抽取放回二項分配抽取不放回 (N, n差距小) 超幾何分配 H (N, n , r ) (N, n差距大) 二項分配 b ( n , p＝ r /N )

這是到目前為止，就抽樣檢驗問題所下的一個結論。不過式中所提差距大小概念模糊，故在此提供一量的描述。一般而言，當採抽取不放回時：( n /N )> 0.05 時，仍用超幾何分配求算；而( n /N )≦ 0.05 時，二項分配會是超幾分配良好的近似值，且較容易求算。


5.6.1 卜瓦松分配的意義考慮一隨機實驗，此實驗特色為，在某一特定區間內（一段時間、一段距離、一部分面積、體積），觀察某特定“稀少”事件發生的次數。所謂“稀少”，意指該事件發生的機率低，故發生的次數少，不過理論上而言，此稀少事件發生的次數，也可能至無限次，只不過其可能性非常的低。若令隨機變數Ｙ表示在此實驗中，此特定事件發生的次數。則此觀察過程，我們稱之為卜瓦松實驗（ Poisson experiment），隨機變數Ｙ稱為卜瓦松隨機變數（ Poisson random variable），其可能值 y＝ 0,1,2,….. 為無限但可數。

5.6 卜瓦松分配


卜瓦松實驗有下列特性： 1. 在一單位區間，如單位時間或單位面積內，此特定稀少事件發生平均次數（ λ），通常為已知且固定。 2. 此事件在單位區間內發生平均次數（ λ），通常與區間大小（ t）成正比。 3. 不管此事件在該區間中何點發生，發生的機率必皆相同。 4. 假設此實驗可分割成極小的區間，每一區間至多可發生一件此特定事件 ( 成功 ) ，或是無該事件發生 (失敗 ) 。換句話說，每一小區間，可能發生結果只有兩類。 5. 事件在各小區間中發生與否，相互獨立。

5.6 卜瓦松分配 (續 )

教科書 :應用統計學徐世輝著5.6 卜瓦松分配 (續 )


【例 5.23 】台北市每天平均一小時內，發生一次搶案。若令Ｙ表示一小時內，發生搶案次數。假設Ｙ符合卜瓦松分配，試問：(a) 一小時內，完全無搶案發生的機率。(b) 一小時內，發生搶案超過兩次的機率。(c) 兩小時內，恰巧只發生一次搶案的機率。　



解： (a) 由題目可知，Ｙ符合卜瓦松分配， λ＝ 1 一小時內，完全無搶案發生，即Ｙ＝ 0 P ( Ｙ＝ 0) ＝ (b) 一小時內，發生搶案超過兩次，即　Ｙ＞ 2 P ( Ｙ＞ 2) ＝ 1－ P ( Ｙ＝ 0)－ P ( Ｙ＝ 1)－ P ( Ｙ＝ 2)

3679.0!0

1 10

e

0 1 21 1 11 1 11 0.0803

0! 1! 2!e e e



(c) 令卜瓦松隨機變數Ｘ表示兩小時內發生搶案的次數。根據特性第二點，其平均搶案發生次數 λ＝ 2。兩小時內，恰巧只發生一次搶案，即　Ｘ＝ 1 P (Ｘ＝ 1)＝ 2707.0

!12 2

1e



利用卜瓦松分配公式，期望值及隨機變數之定義，可導出期望值、變異數之公式。

λ卜瓦松分配較特殊的一點為，其期望值及變異數都為。

定理 5.9 卜瓦松隨機變數 Y 以符號 P (λ )表示，其期望值及變異數分別為 E [ Y ] λ＝，V (Y ) λ＝


5.6.2 卜瓦松分配與二項分配的關係5.6 卜瓦松分配 (續 )

先前我們曾經提及卜瓦松實驗的特性，由這些特性可知，卜瓦松實驗可經由某特定方式分割成 n個小區間( n很大，甚至為無限)，使得分割後實驗，一一符合上述卜瓦松實驗特性。而經由分割後的卜瓦松實驗 P（），由特性 3,4,5 點可看出，相當類似於二項實驗 b( n； p λ＝ / n )。

換句話說，卜瓦松分配相當類似二項分配，並且可用來估計， n很大； p相對很小的二項分配。

通常二項實驗 n很大， p很小時，因其計算過程可能相當繁雜，所以改用卜瓦松分配 P λ（＝ n p）來估計機率值，則顯得較為容易。理論上，由數理可證明：當 n 時，二項分配趨近於卜瓦松分配

ynynyn

ppC )1(lim!y

y e ，其中 λ ＝ n p


事實上，當二項分配 n很大， p很小時，當 100n ， 0.01p ，且 n p ≦ 7 時，用卜瓦松分配 P λ（＝ n p）來估計二項分配，較為準確，結果相當逼近用二項分配求算值。

教科書 :應用統計學徐世輝著5.7 總結

教科書 :應用統計學徐世輝著5.7 總結 (續 )

機率分配伯努利分配

二項分配

前提實驗 1. 試驗可能發生的結果只有單純兩種；“成功”,“失敗”

2. p為結果發生“成功”的機率， p為 0 1p 之常數，如此即是伯努利試驗

n個彼此獨立的伯努利試驗

隨機變數Y表示

“成功”出現的次數在 n次伯努利試驗中“成功”出現的次數

機率質量函數 P (Y= y )

yyqpyYP 1)( ， y＝0,1

P (Ｙ＝ y )＝ nyC ynyqp ，

y＝0,1,2,..., n 期望值E(Y )

p np

變異數V(Y )

pq ，其中 pq 1 npq


機率分配超幾何分配幾何分配

前提實驗

1. 從含有 N個物品的母體中，採不放回方式抽取 n個樣本。

2. 母體中 N個物品，有 r個歸類為“成功”，N－ r個則歸類為“失敗”。

彼此獨立的伯努利試驗

隨機變數 Y 表示

“成功”出現的次數直到第 1次“成功”出現，所已執行的試驗總次數


P (Ｙ＝ y )＝CCC

Nn

rNyn

ry

，

max[0, n -(N- r )]≦ y ≦ min[ r , n ]

pqyYP y 1)( ，

y＝0,1,2,3...

期望值E(Y ) N

rn p1

變異數V(Y ) N

rNNrn

NnN

1 2p

q


機率分配負二項分配卜瓦松分配

前提實驗彼此獨立的伯努利試驗某一單位區間內，觀察某特

定事件隨機變數 Y表示

直到第 r次“成功”出現，所已執行的試驗總次數

此特定事件發生次數


ryryr qpCyYP 11)( ，

, 1, 2,...y r r r !

)(yeyYP

yy

，

0,1,2,3,...y 期望值E(Y ) p

r

變異數V(Y ) 2p

rq

教科書 :應用統計學徐世輝著5.8 EXCEL 範例說明

【例 5.18】 (a)步驟

1. 選取插入 > 函數 > Hypgeomdist 2. Sample s依序輸入所抽取出不良品的個數0,1,2,3,4,5 Number sam 輸入所抽取的個數5

Population s輸入不良品個數100， Number pop輸入產品個數1000，

教科書 :應用統計學徐世輝著5.8 EXCEL 範例說明 (續 )


3. 結果 Sample_s probability 0 0.589832182 1 0.329147423 2 0.072654615 3 0.0079289 4 0.000427755 5 9.12544E-06 此分別代表抽取出 0~5個不良品的超幾何分配機率值


(b) 步驟 1. 選取插入 > 函數 > Binomdist 2. 依序在 Number_s 輸入所抽取出不良品的個數 0,1,2,3,4,5

在 Trials輸入抽取的個數 5 在 Probability_s 輸入不良率 0.1 若 Cumulative輸入 TRUE時，所得到的輸出值為累加分配函數。若 Cumulative輸入 FALSE 時，所得到的輸出值為機率密度函數在 Cumulative 輸入 FALSE


教科書 :應用統計學徐世輝著5.8 EXCEL 範例說明 (續 )3. 結果 Number_s Probability 0 0.59049 1 0.32805 2 0.0729 3 0.0081 4 0.00045 5 0.00001 此分別代表抽取出 0~5 個不良品的二項分配機率值

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第五章 離散型隨機變數及其常用的機率分配

第五章離散型隨機變數及其常用的機率分配