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低出生人口構造と概念上の拠出建て年金制度 ( 年金理論研究会）

2004 年１２月１３日　　　　　　　　　社会保険診療報酬支払基金　審議役　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　畑　　　満

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公的年金改革を巡る議論 公的年金改革を巡り百家争鳴の状況　→国民の不安感・不信感は極大化 低出生社会では賦課方式は「負のねずみ講」だとの主張がある。　→払い込んだ保険料に見合った年金がもらえるようにすることが公的年金制度維持の要諦だとの主張がある。

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払い込んだ保険料に見合った年金がもらえることと老後生活を基本的に保障する公的年金とは低出生社会で両立するか？ 公的年金のすべて積立方式に委ねることは、資本市場

のボラティリティーの大きさから不適当。　→ 3 年連続のマイナス運用 (▲ ３６．９％）　→ Gary 　 Burtless 　 (Brookings 　 Institute) は株式と長

期国債のリターンに関する歴史的データでは、米国よりも日本の方が変動率が高いことを示している。

人口変動の方が変動スピードは緩慢であり、制度変更の時間的余裕が得られ、社会として対応しやすい。

経済変動リスクを避けて両立する方式はあるのか？

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現在の年金制度の行き詰まりの打開策としてスウェーデンの NDC が有力視されている。 スウェーデンの NDC は個人が積み立てた額が給付額に連動する仕組みであることから、積立方式論者は反論しにくい構造。 スウェーデンの NDC における財政運営は賦課方式であり、資本市場の変動よりリスクの小さい賃金変動をみなし運用利回りとしており、賦課方式論者からも反論しにくい構造。

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低出生社会では賦課方式は維持不可能との主張がある一方で、払い込んだ保険料に見合った年金がもらえるスウェーデンのNDC は賦課方式で財政運営ができ、日本の少子高齢社会における年金問題の解決策だとの主張がある。

それぞれの主張のどこに問題があるかを定量的に明確化することが必要。

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低出生社会で賦課方式は成り立つのか？ 低出生社会のシンプルなモデルとして、ロトカの安定人口理論を援用。 ロトカの理論によれば、出生率（ TFR) が人口置換水準 ( 純再生産率１）を下回っても、出生率（ TFR) と死亡率が長期に一定であれば、年齢構造は不変である。 従って、 TFR が 2 を下回る低出生社会でも、賦課方式の年金制度は成り立ちうる。　→世代間の公平性は同時点での生活水準バランス（ Musgrave 的基準 ) で測られるべき。

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安定人口 人口の出入りがない封鎖人口のもとで、女性の年齢別出生率と、

男女年齢別死亡率が時間によらず一定で持続すれば、初めの年齢分布の歪みが消えて安定した年齢分布となるに至る。そのとき、普通出生率と普通死亡率はともに安定し、従って自然増加率も安定する。これを、安定人口 (stable population) という。安定人口では、自然増加率が安定するのであるから、静止人口とは異なり、一定の増加率 ( もしくは減少率 ) で人口が増加 ( もしくは減少 ) する。

男女それぞれについて、 x 歳における安定人口の年齢構造係数を c(x),

女性の年齢 x 歳における出生率を f(x), 安定人口出生率を b, 人口増加率を λ 　 ( 人口増加力として ) 、 x 歳における生存関数を l(x) とする。但し、 l(0)=1 とする。

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ある年 tに x歳である人口 N(t,x)の年齢構造係数 c(t,x)は、 当該年 tの総人口 N(t)に対して、 c(t,x)＝N(t,x)/ N(t) この年 tに x歳である人口 N(t,x)は、（t－x）年に出生した人口 B(t－x)の x歳までの生存数だから、N(t,x)＝B(t－x)＊l(x) よって、c(t,x)＝B(t－x)＊l(x)/ N(t) 安定人口の定義から、毎年の出生率 b、人口増加率 λ は一定だから、t年から x年前の出生数 B(t－x)は、x年前の人口に出生率を乗じたものであり、 B(t－x)＝bN(t－x) また、毎年の人口増加率 λ は一定であるから、x年前の人口 N(t－x)は、

N(t－x)＝N(t)exp(― λ x) 従って、B(t－x)＝bN(t)exp(― λ x)

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以上から、c(t,x)＝bl(x)exp(― λ x) ・・・① これは、時刻 tによらない値となっており、安定人口においては、年齢構造は時間によらないことが分かる。 ① の両辺を xについて x=0から ω まで積分すれば、

ω ω c(t,x)dx＝ bl(x)exp(-λ x)dx

0 0

ω 1=b l(x)exp(-λ x)dx 0

１ これより、b= ・・・② ω

l(x)exp(-λ x)dx 0

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ω また、B(t)＝ N(t,x)f(x)dx 0

B(t)= bN(t)、N(t,x)＝bN(t)l(x)exp(-λ x)より、 ω

1= l(x)f(x)exp(-λ x) dx ・・・③

0 ③を解くために、ダブリン-ロトカに従って、純再生産関数 l(x)f(x)を、同じ R0、平均値、分散を持ったガウス分布で近似することにより、

λ 2＊β /2＋λ α ―＊ ln R0＝０

∫

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ロトカの安定人口理論 ある年 t に x 歳である人口 N(t,x) の年齢構造係数 c(t,x) は、 　　　 c(t,x) ＝ bl(x)exp(―λx) 　・・・①　　→安定人口においては、年齢構造は時間によらない

ダブリン - ロトカの公式　　　安定人口増加率 λ は、　　　　 λ ＝（－ α ＋（ α2 ＋ 2β ＊ ln R0 ） 1/2 ） /β 　　　ここに、 R0 ＝ ΣnLx ＊ f(x) 　 ( 純再生産率 ) 、　　　　　　　　　　　　 nLx≒ （ l(x) ＋ l(x+1) ） /2　　　　　　　　 R1 ＝ Σx ＊ nLx ＊ f(x) 　　　　　　　　　 R2 ＝ Σx2 ＊ nLx ＊ f(x) 　　　　　　　　　 α ＝ R1/ R0

　　　　　　　　 β ＝ α2―R2/ R0

　　　　　　

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( 参考）平成 14 年 1 月日本の将来人口推計に　　　　おけるコーホートの年齢別出生率関数 f(x)

ここに

出典：国立社会保障・人口問題研究所「平成 14 年 1 月日本の将来推計人口」より

nnnnnnnn

n buxbuxCxf /)(),,;()(4

1

nnnn

nnn

nnn

nnnnn buxbux

bbux n /)(exp1/)(1exp)/1(

)/1(),,;( 2

22

2

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低出生社会での人口減少率 λ を実際に計算 　→ TFR=1.39 の安定人口では、　　　　人口は年率１．３％減少　　 TFR=1.10 の安定人口では、　　　　人口は年率２．０％減少　　　

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スウェーデンの NDC の基本構造 個人の仮想勘定を設け、個人が拠出した保険料に、みなし運用利回りとして賃金上昇率を用いていること。 年金制度の財政運営自体は、賦課方式を基本として行っていること。 年金額は、賃金スライドされること。

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スウェーデンの概念上の拠出建年金制度（NDC）を上記の低出生安定人口に適用したときの保険料率 P(δ )を、時刻 tのときに出生したコーホートについて計算すると、みなし運用利回りを δ (利力)として、

r

P(δ ) bN(t)l(x)w(x)a(x)exp(μ (t+x))exp(δ (r-x))dx e ω

= K(t+r)exp(ν (x－r)) bN(t)l(x)exp(-δ (x-r))dx ・・・④ r

ここに、w(x)は時刻 0における年齢 x歳の賃金、 μ は賃金上昇率(賃金上昇力)、 a(x)は年齢 x歳の人口に対する被保険者数の割合、 K(t+r) は時刻 t+rにおける裁定時の一人当たり年金額で、

ν は裁定後の年金スライド率(スライド力)とする。 スウェーデンでは、ν ＝μ -φ (φ =ln1.016) としている。

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スウェーデンの概念上の拠出建年金制度（NDC）では、みなし運用利回りは賃金上昇率を用いているから、δ =μ であるので、 ω

K(t+r) l(x)exp(-φ (x－r))dx r P(μ )= r

exp(μ (t+r)) l(x)w(x)a(x)dx e

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低出生安定人口における賦課方式の保険料率 PAYは、時刻 t+sで、 r PAY bN(t)exp(λ s)l(x)exp(-λ x)w(x)a(x)exp(μ (t+s))dx e ω

＝ K(t+s-(x-r)) exp(ν (x－r))bN(t)exp(λ s)l(x)exp(-λ x)dx r となる。K(t+s-(x-r))= K(t+r) exp(μ (s-x)) であるから、 ω

K(t+r) l(x)exp(-λ x) exp(-φ (x－r))dx r

PAY＝ ・・・⑤ r

exp(μ (t+r)) l(x)exp(-λ x) w(x)a(x)dx e

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低出生安定人口においては、λ ≨0であるから、P(μ )≨ PAYとなる。 また、④及び⑤より、みなし運用利回り δ を、δ ＝μ ＋λ とすると、

P(μ ＋λ )＝PAY 即ち、みなし運用利回りを μ ＋λ とすると、構造的に NDCが構成できる。

○ 裁定時の年金額が現役被保険者時の賃金をそれぞれ裁定時に賃金再評価して平均するという給付設計(厚生年金の報酬比例部分と本質的には同じ)の場合、

r K(t+r)= k w(x)a(x)exp(μ (t+r))dx (kは給付乗率であり定数)

e これより、上記モデルにおける NDCの保険料率や、賦課保険料率が計算できる。

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安定人口の各歳人口数の時間的推移

t=tのとき t=t+1のとき ・・・・・ t=t+rのとき ・・・・・ t=t+ωのとき ・・・・・ t=t+sのとき0歳 bN(t)*l(0) bN(t)eλ *l(0) bN(t)erλ *l(0) bN(t)eωλ *l(0) bN(t)esλ *l(0)1歳 bN(t)*l(1)*e- λ bN(t)eλ *l(1)*e- λ bN(t)erλ *l(1)*e- λ bN(t)eωλ *l(1)*e- λ bN(t)esλ *l(1)*e- λ

： ： ： ： ： ：r歳 bN(t)*l(r)*e- rλ bN(t)eλ *l(r)*e- rλ bN(t)erλ *l(r)*e- rλ bN(t)eωλ *l(r)*e- rλ bN(t)esλ *l(r)*e- rλ

： ： ： ： ： ：ω歳 bN(t)*l(ω)*e-ωλ bN(t)eλ *l(ω)*e-ωλ bN(t)erλ *l(ω)*e-ωλ bN(t)eωλ *l(ω)*e-ωλ bN(t)esλ *l(ω)*e-ωλ

r（参考）歳裁定時の人口１人当たり年金額t=tのとき t=t+1のとき ・・・・・ t=t+rのとき ・・・・・ t=t+ωのとき ・・・・・ t=t+sのとき

0歳1歳：

r歳 K(t) K(t+r) K(t+ω) K(t+s)： ： ： ： ：

ω歳 K(t- (ω-r)) K(t+r- (ω- r)) K(t+ω-(ω- r)) K(t+s- (ω- r))

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低出生社会でスウェーデンの NDC は成り立つのか？ スウェーデンの NDC は、純再生産率が１である定常人口のもとでは、財政構造上安定的な年金制度である。 純再生産率が 1 を下回る低出生社会では、スウェーデンの NDCのようにみなし運用利回りが賃金上昇率だと財政構造上安定的でない。財政構造上安定的な年金制度にするためには、 NDC におけるみなし運用利回りを、賃金上昇率＋人口増加率として構成すればよい。　→ TFR が長期的に１．３９ならばみなし運用利回りは、賃金上昇率よりも１． 3% も少ない率になってしまう。　→ ( 自らの選択した低出生がもたらす帰結に納得して上記みなし運用利回りで制度構築が出来ればよいが、）払い込んだ保険料に見合った年金がもらえるべきだとの観念が強い若年世代が受容するか疑問。

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低出生社会でスウェーデンの NDC が無理なら積立方式しかないのか？ 稼得能力を喪失した長い高齢期に、現役世代の生活水準と均衡の取れた生活水準を維持出来るような年金を支給するのが公的年金の基本的役割である。 公的年金のマクロ的規模は GDP の１０％前後の大きな規模に将来なる。 大規模な費用を賄うための積立方式はリスクが大きい (即ち、給付水準を安定的に確保できない）　→日本の運用利回りはボラティリティーが高い＆賃金上昇を上回る運用利回りは確保できるのか？もし確保できなければ、保険料率が賦課方式の保険料率より低いというのは画餅になってしまう。　→積立方式は限定的に行うのが妥当

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低出生人口構造を取り扱う簡素なモデルとしてのロトカモデル 公的年金制度を大きく規定する人口構造に関して、年金制度の議論においては、従来、定常人口もしくは将来人口推計に基づくシミュレーションに依拠して議論がなされてきた 低出生社会での年金制度を端的に論じる手段としてロトカの安定人口理論は有用である ロトカの安定人口理論を活用して、低出生人口構造での NDC の保険料率と賦課方式の保険料率はどのくらいギャップがあるのか試算

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ロトカの安定人口理論を活用した低出生人口構造での年金保険料率試算の前提１．給付体系は、所得比例給付とする。２．給付水準としてのグロス所得代替率は４０年加入の者について４０％とする。 /即ち、支給乗率は１０１０００とする。３．年金額のスライドは、裁定時は賃金スライドとし、 裁定後は物価スライド＋８割保障とする。４．出生率は、人口研平成１４年将来人口推計の高位推計、中位推計、 または低位推計ベースにおける２０５０年の女性年齢別出生率。５．死亡率は、人口研平成１４年将来人口推計の２００５年生命表 もしくは２０５０年生命表。６．厚生年金加入率は、平成１６年再計算の男女別年齢別加入率。７．厚生年金の給与指数は、平成１６年再計算の男女別年齢別給与指数。８．厚生年金のボーナス割合は、平成１６年再計算の男女別年齢別ボーナス割合。９．老齢給付のみ計算する。

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ロトカの安定人口理論を活用した低出生人口構造での年金保険料率試算結果保険料率 倍率

２００５年生命表TFR=2.07)定常人口（ 15.3% 1.0TFR=1.63)高位推計（ 19.8% 1.3TFR=1.39)中位推計（ 23.5% 1.5TFR=1.10)低位推計（ 30.1% 2.0

２０５０年生命表TFR=2.07)定常人口（ 17.4% 1.0TFR=1.63)高位推計（ 22.7% 1.3TFR=1.39)中位推計（ 27.0% 1.5TFR=1.10)低位推計（ 35.0% 2.0

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試算結果のまとめ グロス所得代替率を 40% と仮定して NDC を日本に導入すると、老齢給付だけで 15.3% の保険料率が必要。 高位推計の場合でも安定人口下での賦課保険料率は、

NDC の保険料率の 1.3倍であるから、低出生人口構造が持続する社会においては、賃金上昇率をみなし運用利回りとする NDC は恒久的制度としては成立しない。　　 (注１）　このほかに障害年金や遺族年金のための保険料が更に必要。　　 (注 2) 　２０５０年出生コーホートの所要保険料率は、１７．４% であるから、　　　　　保険料率を１５．３％として固定する NDC 制度においては、この　　　　　コーホートのグロス所得代替率は３５％程度に低下する。　　　　　

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日本の年金制度にスウェーデンの NDCを導入する際にさらに検討すべきこと 日本の年金制度がスウェーデンの NDCタイプ

の年金制度に移行するためには、　　現在の積立金残高をベースに、 TFR の低下はどの程度まで許容されるのかについて、

　①運用利回りと賃金上昇率の差　　　　　・・・１６年再計算では１．１％　② 国際人口移動入超の規模　を織り込んで計量評価して、 NDCの限界につい　ても適確な情報を国民に提供する必要。

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その際、将来の経済や人口には変動があるが、その変動が年金制度に与えるリスクについては十分な認識がされているとは言い難い。　　→将来の財政状況、給付水準、ネット所得代替率などについては、確率分布で示すことにより、年金制度の持つリスクへの認識が深まるようにする必要。 今回の試算結果は簡素なモデルによるものであり、現実の日本人口は安定人口へ概ね収斂するまで相当の時間的長さがあることから、その期間内における制度として、 NDC が構築できるか、更に要検討。

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スウェーデン型 NDC の支払持続期間に関する一つの仮定試算 次の微分方程式より F(t)=0 となる時刻ｔ 0

を求める。

ここに、　

)()()()( tFtBtCdttdF

r

e

tx dxpexaxwexltbNtC )()()()()()(

r

xrx dxexltbNexrtKtB )()()()( )(

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TFR=1.63 、運用利回りが賃金上昇率を年率１．１％上回るケース 時刻 0 の積立金を 145兆円とし、　　人口を 1億 2500万人として、　　直ちに、 TFR=1.63 の安定人口の年齢構成になると仮定して計算すると、スウェーデン型 NDC の支払持続期間は、　　　所得代替率４０％の場合・・・２６．８年　　　所得代替率５０％の場合・・・２２．６年（注１）この結果は、実際の日本の将来推計人口の年齢構成にもとづいて得られる結果とは異なることに注意しなければならない。（注２）支払持続期間は、以下の式に基づき計算される。

})()()()}()({)0(

)0()(1{log10

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