現在計算移動的電荷（電流）產生的磁場

qQB

移動的電荷在周圍產生磁場，磁場對當地的移動電荷施磁力！

已經討論了磁場對移動電荷所施磁力！

長直導線電流周圍的磁場

這是漩渦狀場線（封閉曲線）！電場線不能呈漩渦狀，但典型的磁場卻呈漩渦狀！

立體圖

長直電流是由一連串運動的電荷組成如此可以大致猜出一個運動電荷的磁場方向

磁場的方向，與速度，及電荷與測量位置的位移 r 皆垂直

一小段電流所產生的磁場向量正比於 rs

Biot-Savart Law

rsdrIBd

30

4

一小段電流在周圍產生的磁場磁學中的庫倫定律

一小段電流的磁場是無法單獨量度的

Jean-Baptiste Biot (1774 –1862) Felix Savart (1791-1841)

測量長直導線周圍的磁場與距離一次方成反比！數學家 Laplace 寫下會導出長直導線正確磁場的小段電流磁場公式

30

4 rrsdIBd

abI

aa

bbI

rs

rsIB

arbr

114440

220

220

點 P 處的磁場：

長直導線電流所產生磁場可以由 Biot-Savart Law 計算

長直導線電流所產生磁場 - 大小

Ri

Rs

si

Rs

dsRRs

i

rdsi

rrdsi

dBB

2

21

2

sin2

sin4

2

0

022

0

02222

0

02

0

03

0

30

30 sin

44 rrdsi

rrsdIBd

RiB2

0

長直導線電流周圍的磁場與距離一次方成反比！

長直導線所產生磁場的方向是在垂直導線的平面上指向垂直於徑向的方向，因此磁力線繞導線迴旋！

riB

2

0大小：

方向：安培右手定則

這是漩渦狀場線！電場線不能呈漩渦狀，但典型的電流產生的磁場卻呈漩渦狀！

我們能不能為磁場找一個如高斯定律一樣的定律，連接磁場與產生磁場的源頭電流，

AdE

sdE

這個面積分會挑選出放射狀的場線！ 這個線積分會挑選出漩渦狀的場線！

0qAdE

電荷是放射狀電場的來源， 電流是漩渦狀磁場的來源，放射狀電場面積分與電荷成正比 磁場線積分是否與電流成正比

ildB ?

導線周圍的磁力線是漩渦狀，取一條沿著該漩渦的路徑： ldB

這個積分會挑選出漩渦狀的場線！

riB

2

0irBdlBdlBldB 02

線積分與封閉圓路徑的大小無關！

對於長直導線，取以導線為圓心的的圓形路徑，計算磁場線積分沿著整個路徑磁場都與路徑同向，而且磁場大小是一個常數：

線積分與產生磁場的電流成正比！

idirdrildB 0

00

22

包圍此電流的任一封閉曲線

線積分與產生磁場的電流成正比！

022

00

dird

rildB

任意不包圍此電流的封閉曲線

線積分為零！此曲線所包圍的電流為零。

0qAdEE

對任一包圍 q 的高斯面：

對任一封閉曲線，磁場的線積分正比於該曲線所包圍的總電流（電流疊加）安培定律encl0ildB

當有一條以上電流通過時，個別的磁場可以疊加

我們為磁場找到了一個如高斯定律一樣的定律，連接迴旋狀磁場與產生此磁場的源頭電流，

對任一封閉曲線，磁場的線積分正比於該曲線所包圍的總電流：安培定律encl0ildB

這個定理不只適用於長直導線電流，任何形狀的電流都適用，而且此封閉曲線不一定要在一個平面上

電流甚至可以是連續的，電流是以一個面來定義的。

對任一封閉曲線，磁場的線積分正比於，通過以該曲線為邊界的曲面的總電流encl0ildB

一曲線所包圍的總電流，就是通過以該曲線為邊界的曲面的總電流

安培定律

長粗電流導線的磁場。

irBdsBdsBsdB 02

jrrBsdB 202

線外

線內riB

2

0

rjB

2

0

nhihB 0

niB 0

Solenoid 螺線管

NilBsdB 02

20inB

平面電流板的磁場

以該曲線為邊界的曲面有無限多個。

因為電荷守恆，通過這些平面的電流正好都相等！所以選任何一個來算總電流都一樣！

2010 sisiCldB

對任一封閉曲線，磁場的線積分正比於通過以該曲線為邊界的曲面的總電流

考慮一個無限小的正方形路徑，在 x-y 平面上。

ABAByxy

Bx

Bxy

yByx

xB

xyxBxyyxByyxByyxxBsdB

zxyxy

xxyy

),(),(),(),(

ABsdB

y

Bx

BB xy

z

y

Bz

BB zy

x

z

Bx

BB xzy

梯度向量與磁場向量的外積稱為旋度向量

0sdE

AEsdE

0 E 微分形式

靜電場的線積分為零，這個定律可以寫成微分形式：

我們從正方形路徑所包圍的平面的性質來算正方形路徑上的線積分 ABsdB

這樣的邊界曲線與曲面的聯繫可以推廣到任意封閉曲線：一任意封閉曲線可以分解為無限多無限小正方形的組合

加總所有正方形線積分

iii

i

AdBABsdB

鄰近正方形的接觸邊的線積分因路徑方向相反，故互相抵消，左式只剩最外圍 AdBsdB

數學的 Stokes Theorem

右式中的曲面可以是任何一個以該路徑為邊界的曲面

AdBsdB

右式中的曲面可以是任何一個以該路徑為邊界的曲面

Aij

電流密度：單位面積的電流，為空間的區域性質。電流與面積成正比。

定電荷流動的方向為電流密度的方向jj

j

Aji

如果討論的平面不是垂直於電荷流向，

電流即是電流密度對該平面的通量！

接下來可以推導安培定律的微分形式！

電流也可以是連續的，在不同位置電荷流動的方向可以不一樣，

將曲面切成一個一個的無限小平面，

),,( zyxjj

電流密度是位置的函數

在每一小片平面上，電流都是電流密度對該平面的通量！加總後，通過曲面的總電流就是電流密度對該曲面的總通量 Adji

AdjiAdBsdB

00

isdB 0

jB

0

),,(),,( 0 zyxjzyxB

安培定律的微分形式！

將積分形式的安培定律運用於上述的小正方形：

iAdjAdBsdB 00

jB

0若假設安培定律的微分形式，代入數學的 Stokes’ Law AdBsdB

可以得到安培定律的積分形式，

安培定律的積分形式與微分形式是等價的。

isdB 0

安培定律

這個定律決定了電流是磁場的基本來源，而且產生的磁場是漩渦狀的！

如同高斯定律決定了電荷是電場的基本來源，而且產生的電場是放射狀，

0qAdE

0sdE 不是漩渦狀！

磁場不是放射狀！沒有磁荷，因此沒有起點沒有沒點，磁力線永遠守恆！

0 AdBB

B

對任一封閉高斯面，磁通量：進出的淨磁力線數目必定為零！

0

qAdE

0AdB

0sdE

isdB 0

靜電磁學的 Maxwell Equations

我們得到兩個有關磁場的方程式：

電流是磁場的基本來源，而且產生的磁場是漩渦狀的，不是放射狀的。

電荷是電場的基本來源，而且產生的磁場是放射狀的，不是漩渦狀的。

螺線管是許多圓形迴路 Coil 的組合

圓形電流迴路（磁偶極）

30

3

20

22 xxaiB x

x

當 xrax

iAaix 2

圓形迴路的磁場

0 zy BB在軸上的 一個點3

20

20

22

4 raia

ra

riBx

rsdrIBd

3

0

4

30

3

20

22 xxaiB x

x

2aix

在軸上的 一個點

B 隨距離的三次方成反比磁場只和磁偶極矩 μ 有關

Ai

磁偶極的性質由磁偶極矩 Dipole Moment 決定一個封閉迴路稱為磁偶極 Magnetic Dipole

此式不只適用於圓形迴路

此式適用於任何形狀的迴路

磁偶極矩可以疊加

Ai

302

1ypE

磁偶極的磁場與電偶極的電場完全一樣！

30

2 xB

磁偶極的磁力線與磁鐵相似！

安培提出磁鐵為一群封閉迴路組成

所以磁鐵切開後，依舊是封閉迴路的群組（原來群組的子群）每一個群還是有南北極！

磁鐵是一個由許多磁偶極組成的磁偶極磁偶極矩由南極指向北極！

BBbiaBbF

sinsinsin212

B

磁偶極在均勻磁場中所受的磁效應

0F

所受力矩只由磁偶極矩向量決定。

受力為零

在均勻電場中的電偶極

Ep

磁偶極在磁場中的效應與電偶及在電場中一模一樣！

B

力矩會推動磁偶極至平行磁場的方向！

在磁場中，磁偶極會趨向與磁場同向！

這就是為什麼可以以磁鐵指向來定義磁場方向

類似的位能對磁偶極也是對的！

BBBdBdWU

12 coscossin

2

1

2

1

我們可以用位能來討論

BU

角度改變時，此力矩會做功，

BU

在不均勻磁場中，合力不為零，力的方向傾向使能量 U 降低

B

磁偶極在磁場中的受力矩

力矩傾向使磁偶極旋轉至與磁場同向BU

磁偶極在磁場中的能量

旋轉的帶電粒子是一個磁偶極

旋轉的帶電粒子所產生之磁偶極矩

磁偶極矩與角動量成正比

Lmepr

meervr

vr

eriiA2222

22

Lme

2

安培提出磁鐵為一群封閉迴路組成，磁鐵即可以視為一個總和的磁偶極！這個磁偶極就來自於原子中電子的旋轉角動量！

物質中本來就有許多磁鐵（磁偶極） 外加磁場可能使磁偶極排列同向（磁化）

)1(2 llL

zz mL llllmz ,1.....0,....1,

而測量的結果是量子化的！

角動量量子化，因此磁偶極矩也是量子化！

角動量大小 L2 及 z 方向角動量 Lz 同時有確定值

zzzz mmm

eLme

B22

BU

加上一 z 方向磁場，觀察原子光譜，即可測角動量L

me

2

zLm

BeU2

磁場中的原子能量與角動量有關

Zeeman Effect

Sme

s

帶電粒子自旋也會形成的磁偶極

NMR 核磁共振氫原子核（質子）的自旋 s =1/2

放出的光子大約在無線電波的頻率範圍

NMR 核磁共振氫原子核所受磁場會被周圍原子輕微改變能階差也會被周圍原子輕微改變測放出的微波頻率可了解氫原子周圍的環境。