اللتواء والعالقة بین الوسط الحسابي والوسیط والمنوالامحاضرة فى

Skewness and the Relation of the Mean , Median , and Mode

فإذا كان التوزیع ٠االلتواء ھو بعد التوزیع التكراري عن التماثل من المعروف ان ٠)١(من القیم تقع على كل جانب من المنوال كما في شكل %50متماثال فسوف نجد أن

)١(شكل

وال واحد ) ١(أیضا نالحظ من شكل ھ من ع ل وال(unimodal أن التوزی د المن وأن ) وحیابي ط الحس یط= الوس وال =الوس كل ٠المن ي ش ا ف ط ) ٢(بینم ین الوس ة ب اك عالق د أن ھن نج

ابي ط الحس ث الوس وال حی یط والمن ابي والوس یط <الحس ع <الوس ك ألن التوزی وال وذل المنك ألن >الوسیط >نجد أن الوسط الحسابي ) ٣(بینما في شكل ٠ملتویا جھة الیسار وال وذل المن

ا وفي كلتا ٠التوزیع ملتویا جھة الیمین الحالتین فإن الوسیط یقع بین الوسط الحسابي والمنوال كم ٠أن الوسط الحسابي یقع دائما في اتجاه القیم الشاذة

f(x)

x

50% 50%

الوسط =الوسیط=المنوال الحسابي

)٣(شكل

بعض مقاییـس االلتـواء والتفلطـح

Some Measures of Skewness and Kurtosis

بالنسبة لمقاییس االلتواء، سوف نتناول مقیاسین لاللتواء األول ویسمى معامل بیرسون أوالتعرف معادلة معامل بیرسون لاللتواء Pearsonian coefficient for skewnessلاللتواء

-:كالتالي

s)x~x(3Sk

f(x)

x

الوسیط

المنوال

الوسط

)٢(شكل

الوسط الحسابي

x

الوسیط

المنوال

f(x)

xحیث s الوسیط و ~xالوسط الحسابي و ینحصر قیمة . االنحراف المعیاري للعینة 0Skعندما .3إلى 3معامل بیرسون بین وإذا كانت قیمة . فھذا یعنى أن التوزیع متماثل

kS موجبة فھذا یعنى أن الوسط الحسابي أكبر من الوسیط ومن المنوال وبذلك یكون المنحنىذا سالبة فھ kSوأخیرا وإذا كانت قیمة . ملتویا ولھ ذیل ناحیة الیمین ویكون االلتواء موجبا

.یعنى أن الوسط الحسابي أصغر من الوسیط ومن المنوال

مثال

ارب ، قوارب للصید 10تمتلك شركة ما الیف صیانة كل ق دوالر(قامت الشركة بتسجیل تك ) بال :أوجد 500,505,460,470,530,506,994,880,600,460: وكانت كما یلي

. الوسط الحسابي والوسیط والمنوال

.لال لتواء نمقیاس بیرسو

:الحــل

الوسط الحسابي

5905x 590.5.10

: لحساب الوسیط ترتب البیانات ترتیب تصاعدي كالتالي

460,460,470,500,505,506,530,600,880,994.

~ 505 506x 505.5.2

:مقیاس بیرسون لاللتواء یحسب من الصیغة التالیة

k

3(x x)S .s

:حیث

2 22 ( x)1 1 (5905)s x (3808497) 189.03.

n 1 n 9 10

k

3(590.5 505.5)S 1.3489.189.031

.أي أن ھناك كمیة من االلتواء الموجب

ي ا ف یعتمد المقیاس السابق لاللتواء على أنھ في التوزیعات الملتویة فإن الوسیط یقع تقریب31

ي شكل ا ف ٣( وشكل ) ٢( المسافة بین الوسط الحسابي والمنوال في اتجاه الوسط الحسابي كمن . وھذا غیر صحیح دائما ) در م ولذلك سوف نتناول مقیاس آخر لاللتواء یعتمد على العزم المق

.بیانات العینة

n21حول المتوسط لفئة المشاھدات rالعزم :تعریف x,...,x,x ھو:-

.n

)xx(m

n

1i

ri

r

:المقیاس الثاني لاللتواء و الذي یعتمد على العزم الثالث حول الوسط الحسابي ھو

.sma 3

3

1

ت 0a1إذا كان ل ع متماث ى أن التوزی دل عل ذا ی ان. ، فھ 0a1وإذا ك ع موجب ون التوزی یك0a1وإذا كان ٠اإللتواء . یكون التوزیع سالب االلتواء

تفلطح اییس ال بة لمق ا بالنس ط ثانی ول المتوس ع ح زم الراب ى الع د عل اس یعتم اول مقی وف نتن س -:معادلتھ ھي

.sma 4

4

2

ت 3a2إذا كان تفلطح ط ال ع متوس ى أن التوزی ذلك یعن ان. ، ف 3a2وإذا ك ى أن ذلك یعن ف3a2التوزیع لھ قمة مدببة وإذا كان .فھذا یدل على أن التوزیع مفلطحا

مثال

ت 10اختیرت عینة عشوائیة من ة الضغط الضروري لكسر المسمار وكان دیر كمی مسامیر لتقالي ائج كالت ن 18,22,26,25,27,26,19,17,22,20: النت ابي :أحسب كال م –الوسط الحس

.2aومقیاس التفلطح 1aمقیاس االلتواء -االنحراف المعیاري

: الحــل

: الوسط الحسابي

2.2210

20221719262725262218n

xx

n

1ii

:االنحراف المعیاري ھو

n2

n i2 i 1

ii 1

( x )1s x ,n 1 n

s 3.64.

:التالیة مقیاس االلتواء یحسب من الصیغة

3

1 3

mas

:حیث

n3

i3 i 1

1 3

(x x) 15.84m 1.58 ,n 10

1.584a 0.0327.(3.645)

.أي أن ھناك التواء سالب بسیط ألن قیمتھ سالبة

:مقیاس التفلطح یحسب من الصیغة التالیة

4

2 4

ma ,s

:حیث n

4i

4 i 1(x x)

mn

2

2179.95 217.9 ,10217.9a 1.234.

176.510

. 3أي أن التوزیع مفلطح ألن قیمتھ أقل من

مثال

ام الل ع ھریا خ ذة ش اریع المنف دد المش ع ع ي توزی ا یل رول1995فیم ركة بت ي ش : ف :احسب 15,11,7,6,8,10,12,6,8,9,6,13

.الوسط الحسابي االنحراف المعیاري

.مقیاس االلتواء لبیرسون -ومقیاس للتفلطح 1aمقیاس لاللتواء

:الحــل

الوسط الحسابي

111x 9.25.12

إلیجاد االنحراف المعیاري نوجد أوال التباین

2i(x x) 98.25s 8.9318.

n 1 11

ھوإذن االنحراف المعیاري

7.178 2.9886.

مقیاس االلتواء لبیرسون 3(9.25 8.5) 0.7530 .

2.988

مثال

ل ن قب ي مستشفى خاص م المشاھدات التالیة تمثل عدد المرضى الذین یتم الكشف علیھم یومیا فد الوسط الحسابي ، 15,8,6,9,15,18,21,39,5,7: أطباء 10 اري –أوج –االنحراف المعی

.مقیاس لاللتواء وآخر للتفلطح

:الحــل

x 14.3,

n2

n i2 i 1

ii 1

( x )1s x 10.25,n 1 n

4i )xx( 3

i )xx( 2i )xx( )xx( i ix

2401. 343. 49. 7.

2961.1575 047.250 69.39 3.6

8321.4745 787.571 89.68 3.8

0481.789 877.148 09.28 3.5 9

2401. 343. 49. 7.

15

8

6

15

4161.187 69.13 7.3 18

1121.2015 763.300 89.44 7.6 21

81.372209 223.15069 09.610 7.24 39

5201.7480 357.804 49.86 3.9 5

8241.2839 017.389 29.53 3.7 7

المجموع 24.13257 3389.391843

:مقیاس االلتواء یحسب من الصیغة التالیة

3

1 3

ma .s

:حیث

3

i3

(x x) 13257.24m 1325.724 ,,n 10

1

1325.724a 1.2355.1076.890625

االلتواءأي أن التوزیع موجب

:مقیاس التفلطح یحسب من الصیغة التالیة

4

2 4

mas

:حیث

4i

4

(x x) 391843.3389m 39184.33389n 10

2

39184.33389a 3.5.11038.12891

.أي أن التوزیع لھ قمة مدببة

653.50

مثال

ن ة عشوائیة م ال عن المسافة 10تم سؤال عین ال (عم ى ) باألمی ذھاب إل ي ال ا ف ي یقطعونھ التد . 25,6,1,2,4,8,5,6,5,4:المزرعة التي یعملون بھا وكانت كما یلي واء : أوج اس لاللت مقی

.وآخر للتفلطح

:الحــل

:معامل االلتواء ھو

3

3

1 sma

4i )xx( 3

i )xx( 2i )xx( )xx( i ix

8736.114622 504.6229 56.338 4.18 25

1296. 216. 36. 6.

4496.983 616.175 36.31 6.5 1

7456.447 336.97 16.21 6.4 2

6976.45 576.17 76.6 6.2 4

8416.3 744.2 96.1 4.1

5536.6 096.4 56.2 6.1 5

1296. 216. 36. 6.

5536.6 096.4 56.2 6.1 5

6976.45 576.17 76.6 6.2 4

المجموع 52.5815 672.116162

:تباین العینة ھو

6

8

6

2

2 2 ii

( x )1 1s x 848 435.6 45.8222n 1 n 9

s 6.7692.

:معامل التفلطح یحسب من الصیغة التالیة

4

3 4

m .S

مثال

2,4,6,8,13,15٠لفئة المشاھدات 2aومقیاس التفلطح 1aأوجد مقیاس االلتواء

: لــالح -:الجدول التالى یسھل عملیة الحساب كالتالي

( )x xi 4 ( )x xi

3 ( )x xi 2

( )x xi

xi

1296 -216 36 -6 2

256 -64 16 -4 4

16 -8 4 -2 6

0 0 0 0 8

625 125 25 5 13

2401 343 49 7 15

4594 180 130 0 48

xx

n

ii

n

1 486

8 sx x

n

ii

n

2

2

11

1305

26

( ), ،

( )x xii

n

3

1180 ،s , s 6763 4 ( )( . ) .26 509902 132 5745 ،

-:وعلى ذلك العزم الثالث حول الوسط الحسابي ھو

mx x

n

ii

n

3

3

1 1806

30

( )

.

-:ومقیاس االلتواء

a ms

13

330

132 57450 226288

.. .

٠على أن توزیع المشاھدات قریب من اإلعتدالوھذا یدل

-:وذلك بحساب القیم التالیة من الجدول السابق a2ویمكن إیجاد مقیاس التفلطح

٠( )x xii

n

4

14594 ،m

x x

n

ii

n

4

4

1 45946

765667

( )

.

-:وعلى ذلك نحصل على مقیاس التفلطح

a ms

24

4765667

676113264

. . .

.على أن توزیع المشاھدات مفلطحوھذا یدل