Сборник заданий по математике олимпиады "Mathman"

РРЕЕГГИИОИООННААЛЛЬЬННААЯЯ ООЛЛИИММППИИААДД

««MMAATTHHMMAANN»»

МАТЕМАТИКА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ, 2009

ДДАА

2

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ГИМНАЗИЯ-ИНТЕРНАТ №664

ГОРОДА САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

Ильязов И.Ф.

Региональная олимпиада «Mathman»: математика / И.Ф. Ильязов. – Санкт-Петербург:

Гимназия-интернат №664, 2009. – 24 с.

© Гимназия-интернат №664

© И.Ф. Ильязов

3

СОДЕРЖАНИЕ

Задачи по математике за 2008 год

Задачи для учеников 7 классов 4





Задачи для учеников 7-8 классов 16

Задачи для учеников 9-10 классов 20

4


Задачи для учеников 7 классов

1. Значение выражения 0,3 0,003

0,003 0,3+ равно:

А) 1,0001 Б) 10,0001 В) 100,01 Г) 1000,1 Д) другой ответ

2. Вычислите 1

11

11

2

−

−

А) 0 Б) 1

2 В) -1 Г) 1 Д) другой ответ

3. Вычислить: 1 2 4 8 16 ?− − − − =

А) 19 Б) 13 В) -13 Г) 11 Д) 14

4. Упростите выражение ( )( )3 7 5a a a− − − − +

А) 9a + Б) 9a− + В) 5a − Г) 3 9a + Д) 3 5a −

5. Упростите выражение: 2

2

6 1 6 9

9 3 5

y y

y y

+ ++ ⋅

− − .

А) 3

3

y − Б)

3

5

y −− В)

3

5

y +− Г)

5

5

y +− Д)

7

5

6. На рисунке 0, 64 .АВ ВС СD ABC= = ∠ = Найдите .CBD∠

B

A C D

А) 0

29 Б) 0

34 В) 0

36 Г) 0

39 Д) другой ответ

7. Упростите выражение: a b b c c a

ab bc ca

− − −+ +

А) abc Б) a b c+ + В) 1 Г) 0 Д) 1−

8. Если 1

3

m

n= , то значение выражения

2n m

m

− равно:

А) 1 Б) 3 В) -1 Г) -3 Д) другой ответ

9. В произведении a b⋅ каждый множитель уменьшили на 3. На сколько уменьшилось это

произведение?

А) на 3a b+ + Б) на 3 3a b+ В) на ( )3 3a b+ − Г) на 9 Д) другой ответ

10. Многочлен 4 3 2

3 6 3 6x x x x− − + разложили на множители. Какое из указанных ниже

выражений не является множителем?

А) 2x − Б) 1x − В) x Г) 1x + Д) 2x +

5

11. На рисунке 0 0, , 120 , 75 .AB CD СК CD PAB PKC⊥ ∠ = ∠ =� Найдите .APK∠

A B

P K

C D

А) 0

45 Б) 0

40 В) 0

35 Г) 0

30 Д) 0

25

12. В театральном зале 28 рядов по 26 мест в каждом. Все места пронумерованы, начиная с 1

ряда. В каком ряду находится место под номером 397?

А) 14 Б) 15 В) 16 Г) 17 Д) другой ответ

13. Сократите дробь:

21 21 21 21 21

24

5 5 5 5 5

5

+ + + +.

А) 1

5 Б)

1

25 В)

1

50 Г)

4

25 Д)

1

100

14. Какое из указанных ниже чисел самое большое?

А) 22

22 Б) 222

2 В) 2

222 Г)

222

2 Д) 2

222

15. Найдите последнюю цифру числа 20088 .


16. На рисунке 0 0 0, 60 , 40 , 50 .AB CD ABF CDE FED∠ = ∠ = ∠ =� Найдите .EFK∠

A B

E

К

F

C D

А) 0

20 Б) 0

25 В) 0

30 Г) 0

40 Д) 0

50

17. Расстояние между двумя городами равно 420 км. На карте расстояние равно 2,1 см. Каков

масштаб карты?

А) 1:20000000 Б) 1:2000000 В) 20000000:1 Г) 2000000:1 Д) другой ответ

18. Сумма одной трети и одной четверти некоторого числа составляет половину этого числа

увеличенного на 10. Определите это число.

А) 150 Б) 120 В) 90 Г) 30 Д) 20

19. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если длину увеличить на 20%,

а ширину – на 10%?

А) 30% Б) 45% В) 32% Г) 19% Д) 24%

20. a тетрадей стоят b рублей. Определите стоимость c тетрадей, если цену каждой из них

снизить на 20%.

А) a

bc

4

5 Б)

a

bc

5

4 В)

b

ac

4

5 Г)

b

ac

5

4 Д) другой ответ

6

21. На рисунке АВС – равносторонний треугольник, .BD EC= Найдите .AKD∠ B

D

E

A C

А) 0

30 Б) 0

45 В) 0

50 Г) 0

60 Д) 0

75

22. Из корзины яблок взяли половину всего количества яблок, потом еще половину остатка,

затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. В итоге в корзине

осталось 10 яблок. Сколько яблок первоначально было в корзине?

А) 100 Б) 140 В) 160 Г) 220 Д) 250

23. На свои деньги Петя мог купить 8 бубликов и 7 пирожных либо 5 бубликов и 8 пирожных.

Сколько он мог бы купить одних бубликов?

А) 42 Б) 36 В) 29 Г) 21 Д) 17

24. На соревнованиях по фигурному катанию все 9 судей поставили за технику исполнения и

за артистизм спортсмена только оценки 5,6 и 5,7. Сумма всех оценок оказалась равной 101,9.

Сколько оценок 5,7 получил спортсмен?


25. Сколько целых значений может принимать a , если 1 1

.5 30 3

a< <

А) только одно Б) два В) три Г) четыре Д) пять

26. Какое наибольшее значение может принимать число B , если C B A< < и

1665.ABC BCA CAB+ + =

А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6 Д) 7

27. Если 1 1 5

, , ,3 4 6

a b a c b c+ = + = + = то какое из следующих утверждений верно?

А) a c b< < Б) b c a< < В) c a b< < Г) a b c< <

Д) ни одно из данных утверждений не верно

28. , ,a b c - различные натуральные числа. Если 10a b+ = и 2

1b c− = , то чему равна сумма

всех возможных значений a?

А) 2 Б) 5 В) 7 Г) 9 Д) 10

29. Если x и y – натуральные числа, удовлетворяющие уравнению 2 3 27x y+ = , то число

возможных значений у равно


30. Если a , b , c - целые числа, 8=⋅ ca , 12=⋅ba , то наибольшее значение выражения

cba ++ равно


К

7


1. Если 0,12 6 330

1120 0,33n

⋅ ⋅ = , то n равно

А) 1 Б) 0,6 В) 6 Г) 60 Д) -1

2. Если 1 1 1 1 1

1 ...2 3 4 99 100

S = − + − + + − . Какое из следующих утверждений верно?

А) 1S > Б) 1 1

4 2S< < В) 0S < Г) 2S > Д) никакое

3. Неполное частное от деления числа x на 3 равно y , а остаток равен 2. Остаток от деления

числа y на 8 равен 3. Тогда остаток от деления x на 24 равен

А) 5 Б) 6 В) 9 Г) 11 Д) 15

4. Значение выражения

2 225 24

16

− равно

А) 1

4 Б)

1

4± В)

7

4 Г)

7

4±

Д)

1

2

5. Между какими последовательными целыми числами находится значение выражения

( )15 27 3− ⋅

А) -3 и -2 Б) -2 и -1 В) -4 и -2 Г) -4 и -3 Д) -4 и -1

6. На рисунке АВС и АDE – равносторонние треугольники. , .AB AE AE AC= ⊥ Найдите

.EDB∠ E

B

D

A C

А) 0

10 Б) 0

15 В) 0

24 Г) 0

30 Д) определить нельзя

7. Если в выражении 2 2x y− значения у увеличить на 2, то значение исходного выражения

А) увеличится на 2 Б) увеличится на 4 В) уменьшится на 4

Г) уменьшится на 4у+4 Д) не измениться

8. Какое из указанных ниже выражений следует прибавить к выражению 1

a, чтобы получить

1

3a +

А) 1

3 Б) 3 В)

1

3a + Г)

( )

3

3a a

−

+

Д) ( )

1

3a a +

9. Если 5 8b b

a c− = + , где а, b, c – натуральные числа, то какое из следующих утверждений

обязательно верно?

А) а и с – нечетные числа Б) а и с – четные числа

В) если а – четное, то с – нечетное число Г) если с – четное, то b – нечетное число

Д) ни одно

8

10. На сколько процентов увеличится покупательная способность населения (т.е. количество

товаров которое можно приобрести на данную сумму денег), если цены на все товары снизить

на 20%?

А) на 010 Б) на 0

20 В) на 025 Г) на 0

30 Д) на 040

11. На рисунке 0 0 0 0

64 , 53 , 59 , 60 .BAD BDA BDC DCB∠ = ∠ = ∠ = ∠ = Какая сторона самая

длинная?

C

B

A D

А) BD Б) AD В) CD Г) BC Д) все одинаковые

12. Через трубу в бассейн вливается m литров воды за a часов, а через другую – n литров

воды за b часов. Сколько воды вольется в бассейн за t часов, если открыть обе трубы.

А) ( )t m n

a b

+

+ Б)

( )

2

t ma nb+ В) ( )t ma nb+ Г)

m nt

a b

+

Д) определить нельзя

13. Если 0, 0,a b> < то, какое из утверждений не верно?

А) 3 4 0a b+ > Б) ( )2 10 3 0a b− > В) ( )2 3 0a a b− − + > Г) 3 4

02

b a

b

−< Д) ни одно

14. Какое из указанных множеств содержится в множестве решений неравенства

5 14 8 20x x− < −

А) [ ]0;2 Б) [ ]1;2 В) [ ]2;3 Г) [ ]1;3 Д) ни одно

15. Если 1, 12,x y> − > то, какие из указанных, ниже неравенств обязательно верно?

А) 12xy > − Б) 12xy < В) 12 12xy− < < Г) 12xy < − Д) ни одно

16. На фотографии палка, прислоненная к забору, имеет длину 2см, а высота забора 4,5см.

Какова настоящая высота забора, если настоящая длина палки 1м?

А) 2,25 м Б) 4,5 м В) 45 см Г) 22,5 см Д) 2,5 м

17. Если длину прямоугольника уменьшить на 2 единицы, а его ширину увеличить на 2 такие же

единице, то, как изменится его площадь?

А) увеличится Б) уменьшится В) останется без изменения Г) определить нельзя

Д) ответ зависит от начальных значений длины и ширины

18. Какое из чисел: 0,7 или 0,65 является лучшим приближением числа 2

3?

А) 0,7 Б) 0,65 В) одинаковы Г) 0,69 Д) определить нельзя

19. Графики функций 5y x b= − и 4y kx= + симметричны относительно начала координат.

Каковы знаки коэффициентов b и k ?

А) 0, 0b k> > Б) 0, 0b k> < В) 0, 0b k< > Г) 0, 0b k< < Д) определить нельзя

20. Какое из указанных ниже неравенств верно при любых значениях a и b ?

А) 2 2

2a b ab+ ≤ Б) 2 2

2a b ab+ > В) 2 2

a b ab+ > Г) 2 2

a b ab+ < Д) ни одно

9

21. На рисунке АВС – равносторонний треугольник, .BD EC= Найдите .AKD∠ B

D

K

E

A C

А) 0

30 Б) 0

45 В) 0

60 Г) 0

75 Д) 0

85

22. Если ( ) ( )2 1 3 0x x+ − = , то 2 1x + может быть равно

А) только 0 Б) только 1

2− В) 0

или 7 Г)

1

2−

или 7 Д) только 7

23. Если ( ) ( )2 2

3 3 48 0x y− + + = , то разность x y− равна

А) -13 Б) 19 В) -19 Г) 13 Д) 0

24. Длины сторон прямоугольника являются корнями уравнения 2

3 5 1 0x x− + = . Чему равен

его периметр?

А) 5 Б)

5

3 В) 10 Г)

10

3 Д) 15

25. Если 1

x и2

x корни уравнения 2

3 17 35 0x x+ − = , то какое из указанных ниже утверждений

верно?

А) 1 2 1 2

x x x x+ > Б) 1 2 1 2

x x x x+ = В) 1 2 1 2

x x x x+ < Г) это уравнение не имеет корней Д) ни одно

26. Об уравнении ( )21 0ax a a x a+ − − = известно, что a – некоторое целое число. Тогда какое

из следующих утверждений не верно

А) Существует такое a , что уравнение имеет 2 корня Б) Существует такое a , что

уравнение не имеет корней В) Существует такое a , что любое значение x является его

корнем Г) Все утверждения верны Д) Все утверждения не верны

27. Функция ( ) 22f x x x= − определена на множестве [ ]2;2− . Каково множество значений этой

функции?

А) [ ]0;4 Б) [ ]1; 4− В) [ ]0;8 Г) [ ]1;8− Д) [ ]0;1

28. Если ( ) ( )2,f x x ax b p x bx a= + + = + и уравнение ( ) ( )f x p x= имеет два коня разных

знаков, то какое утверждение обязательно верно?

А) 0, 0a b> > Б) 0, 0a b< < В) a b> Г) a b< Д) a b=

29. Если ( ) ( ) ( )2, 1 0, 4 0f x x bx c f f= + + > < , то

А) 0, 0b c> > Б) 0, 0b c> < В) 0, 0b c< > Г) 0, 0b c< < Д) 0b c= =

30. Четырехугольный пирог разрезали по диагоналям на 4 куска. Три куска взвесили:

получилось 120 г, 200 г и 300 г, а четвертый съели. Сколько весил съеденный кусок?

А) 120 г Б) 180 г В) 280 г Г) 330 г Д) 390 г

300

200

К

120

10


1. В каком из указанных ниже выражений вместо … следует поставить знак ≥ , чтобы

получилось верное числовое неравенство?

А) ( ) ( )976 2 ...976 : 2⋅ − − Б)

1 11324 ...1324 :

6 6⋅

В)

7 7716 : ...716

3 3⋅

Г)

4 432 ...32 :

5 5

⋅ − −

Д) 3 3

29 ...29 :7 7

⋅ − −

2. Расстояние между двумя городами равно 420 км. На карте расстояние равно 2,1 см. Каков

масштаб карты?

А) 1:20000000 Б) 1:2000000 В) 20000000:1 Г) 2000000:1 Д) 2000:1

3. Если , ,a b c - последовательные натуральные числа, причем a b c< < , то значение

выражения 2 3 4

6

a b c+ + + равно

А) 2 1a + Б) 2a +

В) 3a +

Г) 12a + Д) 1a +

4. Если в прямоугольнике длину a увеличить в 2 раза, а ширину b уменьшить в 2 раза, то

периметр полученного прямоугольника можно вычислить по формуле

А) 2 22

bP a

= +

Б) ( )2P a b= +

В) 2

2

bP a= +

Г) P a b= + Д)

2

a bP

+=

5. Если длина прямоугольника 2, 4 0,1a = ± , а ширина 1,8 0,1b = ± , то приближенное значения

его периметра равно

А) 4, 2 0,1± Б) 8, 4 0,1±

В) 8, 4 0, 2±

Г) 8, 4 0, 4± Д) 4,2 0,4±

6. В произведении a b⋅ каждый множитель уменьшили на 3. На сколько уменьшилось это

произведение?

А) на 3a b+ + Б) на 3 3a b+ В) на ( )3 3a b+ − Г) на 9 Д) на 3

7. Как изменится цена товара, если ее сначала увеличить на 20%, а затем уменьшить на 20%?

А) останется прежней Б) увеличится В) уменьшится

Г) изменение зависит от цены товара Д) не достаточно данных

8. Если a , b , c - целые числа, 8=⋅ ca , 12=⋅ba , то наибольшее значение выражения cba ++

равно

А) 9 Б) 10 В) 12 Г) 21 Д) 35

9. Один рабочий изготавливает n деталей за a часов, другой рабочий изготавливает n таких

же деталей за b часов. Сколько деталей изготавливают оба рабочих за 1 час?

А) b

n

a

n+ Б)

ba

n

+ В)

ab

n Г)

ba

n

+

2

Д)

2n

ab

10. a тетрадей стоят b рублей. Определите стоимость c тетрадей, если цену каждой из них

снизить на 20%.

А) a

bc

4

5 Б)

a

bc

5

4 В)

b

ac

4

5 Г)

b

ac

5

4

Д)

20ac

b

11

11. Известно, что 22

3744 +=A , 22

3843 +=B . Сравните A и B .

А) BA > Б) BA = В) BA < Г) сравнить нельзя Д) недостаточно данных

12. Сколько различных пар целых чисел ( )ba; удовлетворяют условию 6−=ab ?

А) 2 Б) 3 В) 4 Г) 8 Д) 9

13. Если x , y - натуральные числа, удовлетворяющие уравнению 2732 =+ yx , то число

возможных значений y равно

А) 5 Б) 4 В) 3 Г) 2 Д) 1

14. Три прямые заданы уравнениями: 1) 5=− xy , 2) xy 252 =+ , 3) 5=+ xy . Какие из этих

прямых параллельны?

А) 1 и 2 Б) 1 и 3 В) 2 и 3 Г) все прямые параллельны

Д) среди этих прямых параллельных нет

15. Графики функций bxy −= 5 и 4+= kxy симметричны относительно начала координат.

Каковы знаки коэффициентов k и b ?

А) 0>b , 0>k Б) 0>b , 0<k В) 0<b , 0>k Г) 0<b , 0<k Д) 0b k= =

16. Многочлен 72323

−+− xxx делится на многочлен 132

+− xx с остатком, равным

А) x19− Б) 1419 −x В) x32− Г) 1432 −− x Д) 14x −

17. Если ( ) ( ) 0483322

=++− yx , то разность yx − равна

А) -13 Б) 19 В) -19 Г) 13 Д) 3

18. При каких значениях a степень многочлена ( )( )( ) ( )( )( )2 4 2 21 3 4 2 7 1 3 2 1a x x a x x x− − − + + − − −

равна 4?

А) ни при каких a Б) только при 1=a В) при 1=a или 1−=a

Г) при любых значениях a Д) другой ответ

19. Найдите все значения a , при которых уравнение 064722

=−+− axx имеет два корня

разных знаков.

А) 0<a Б) 0>a В) 88 ≤≤− a Г) 88 <<− a Д) другой ответ

20. Найти сумму всех корней уравнения ( ) ( )4421352 +=−− xxx .

А) -6 Б) -10 В) 10 Г) 6 Д) другой ответ

21. Если ( ) baxxxf ++=2

, ( ) abxxp += и уравнение ( ) ( )xpxf = имеет два корня разных

знаков, то какое утверждение обязательно верно?

А) 0>a , 0>b Б) 0<a , 0<b В) ba > Г) ba < Д) a b=

22. Известно, что ( ) 322

+−= xxxf . Сравните ( )73.0f и ( )87.0f .

А) ( ) ( )87.073.0 ff > Б) ( ) ( )87.073.0 ff = В) ( ) ( )87.073.0 ff < Г) сравнить нельзя

Д) другой ответ

23. Решением неравенства 02

>++ cbxax является промежуток ( )21

; xx , где 1

x и 2

x - числа

одного знака. Каковы знаки коэффициентов a и c ?

А) 0>a ; 0>c Б) 0>a ; 0<c В) 0<a ; 0>c Г) 0<a ; 0<c Д) определить нельзя

12

24. Для какой из указанных ниже функции, множество ( )0;∞− является ее областью

определения?

А) ( )x

xf1

= Б) ( )x

xf1

= В) ( )xx

xf−

=1

Г) ( )xx

xf+

=1

Д) ( )1

1f x

x=

+

25. Укажите все значения a , при которых функция ( ) 536 ++= xay не является

возрастающей?

А) 2−<a Б) 2−≤a В) 2−>a Г) 2−≥a Д) 2a = −

26. Если ( ) ( ) ( )2, 1 0, 4 0,f x x bx c f f= + + > < то

А) 0b > ; 0>c Б) 0b > ; 0<c В) 0b < ; 0>c Г) 0b < ; 0<c Д) 0b с= =

27. Об уравнении ( )21 0ax a a x a+ − − = известно, что a - некоторое целое число. Тогда какое

из следующих утверждений не верно?

А) Существует такое a , что уравнение имеет 2 корня.

Б) Существует такое a , что уравнение не имеет корней.

В) Существует такое a , что любое значение x является его корнем.

Г) Все утверждения верны.

Д) Все утверждения не верны.

28. Сколько положительных членов содержит последовательность, заданная формулой общего

члена nxn 318 −= ?

А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6 Д) 7

29. Геометрическая прогрессия задана формулой общего члена n

nb−

⋅=2

23 . Чему равен

знаменатель этой прогрессии?

А) 2 Б) -2 В) 2

1 Г)

2

1−

Д) 1

30. Известно, что последовательность 1

a ; 2

a ; 3a ; …- арифметическая прогрессия. Какая из

указанных ниже последовательностей не является арифметической прогрессией?

А) 1

2a ; 2

2a ; 32a ; …

Б) 11

+a ; 22

+a ; 33 +a ; …

В) 21

aa + ; 32 aa + ; 43 aa + ; …

Г) все указанные последовательности являются арифметическими прогрессиями

Д) ни одна

13


1. Если 1

6,xx

+ = то 2

2

1x

x+ равно

А) 34 Б) 36 В) 38 Г) 43 Д) 48

2. Укажите верное высказывание

А) Пифагор был знаком с Евклидом

Б) Ньютон и Эйнштейн переписывались

В) Эйлер жил в Петербурге

Г) Ломоносов читал труды Лобачевского

Д) Великая теорема Ферма была доказана в 19 веке

3. Автомобиль проехал 300 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 100 км/ч, а

вторую – 60 км/ч. Средняя скорость движения равна

А) 60 км/ч Б) 70 км/ч В) 75 км/ч Г) 80 км/ч Д) 90 км/ч

4. Эйфелева башня имеет высоту 300 м и сделана целиком из железа. Ее вес 8000 тонн.

Сделана ее точная железная копия, которая весит 1 кг. Какова высота копии?

А) 0,0375 м Б) 8 см В) 80 см Г) 1,5 м Д) 8 м

5. Какое из чисел расположено ближе к 1?

А) 100

(0,1) Б) 1000

(0,9) В) 10

(1,1) Г) 0,01

5 Д) 0,1

2

6. Число 3 2 2+ равно

А) ( )2

3 2+ Б) 1 2+ В) 3 2 2+ Г) 1 2 2+ Д) 3 8+

7. У пиратов в ходу монеты в 1,2 и 5 пиастров. В кармане у Флинта 10 пиастров. Тогда число

монет у него в кармане не может быть равно

А) 8 Б) 7 В) 6 Г) 4 Д) 3

8. Число 2000 2001

2 2 3 2⋅ + ⋅ равно

А) 2002

2 Б) 2003

2 В) 2004

2 Г) 2002

3 2⋅ Д) другой ответ

9. Цена билета в театр выросла на 40%, а выручка снизилась на 16%. На сколько процентов

уменьшилось число зрителей?

А) 10% Б) 16% В) 20% Г) 40% Д) 60%

10. Выражение 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + … - 60 равно

А) – 60 Б) – 30 В) 0 Г) 36 Д) 60

11. В комнате находятся 2 собаки, 4 птички и 3 мухи. Сколько лап у всех животных вместе?

А) 22 Б) 34 В) 16 Г) 36 Д) 24

12. Сколько целых чисел находятся между числами 1,12 и 18,03?

А) 18 Б) 19 В) 16 Г) 17 Д) невозможно определить

13. Какое число меньше всех других?

А) 95

19 Б) 19

95 В) 995

1 Г) 5

199 Д) 2

1995

14

14. Миша пишет целые числа от 1 до 1995. Сколько раз он напишет цифру 0?

А) 199 Б) 489 В) 589 Г) 169 Д) 714

15. Поезд проходит мост длиной 250 метров за 1 минуту, а мимо телеграфного столба он

проходит за полминуты. Какова длина поезда?

А) 100 м Б) 125 м В) 150 м Г) 250 м Д) 300 м

16. Угол α равен 30º

40º

А) 0

20 Б) 0

25 В) 0

30 Г) 0

35 Д) 0

60

17. После двукратного повышения цены на 25% банка сока стала стоить 3750 рублей. Какова

была ее исходная цена?

А) 2040 руб. Б) 1875 руб. В) 2500 руб. Г) 2700 руб. Д) 2400 руб.

18. Чему равна сумма квадратов разности кубов чисел 2 и 1 и числа 3?

А) 40 Б) 54 В) 58 Г)90 Д) 98

19. Какую цифру надо вставить вместо *, чтобы число 567*80 делилось на 90?

А) 0 Б) 2 В)3 Г)4 Д) 1

20. Какой угол образуют стрелки часов в половине второго?

А) 0

180 Б) 0

120 В) 0

130 Г) 0

150 Д) 0

135

21. Ваня задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 9, умножил на 4, отнял

6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумал Ваня?

А) 20 Б) 30 В) 40 Г) 50 Д) 60

22. Когда Гулливер попал в Лилипутию, то обнаружил, что там все ровно в 12 раз короче, чем

на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков помещается

в спичечной коробке Гулливера?

А) 1023 Б) 1298 В) 1536 Г) 1612 Д) 1728

23. У всех 25 учеников на родительское собрание пришли папы и мамы. Мам было 20, а пап –

10. У скольких учеников на родительское собрание пришли и папы, и мамы?

А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Д) 5

24. Четыре человека обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?

А) 12 Б) 22 В) 4 Г) 6 Д) 8

25. В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зеленый. Сколько шаров надо вынуть, чтобы

достать 2 шара одного цвета?

А) 10 Б) 12 В) 3 Г) 4 Д) 5

26. Старший брат идет от школы до дома 30 минут, а младший – 40 минут. Через какое время

старший брат догонит младшего, если тот вышел из школы на 5 минут раньше?

А) 25 Б) 20 В) 15 Г) 10 Д) 5

50º

α

15

27. Лошадь может съесть воз сена за 1 месяц, коза – за 2 месяца, а овца – за 3 месяца. За какое

время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

А) 1 месяц Б) 1

2 месяца В)

6

11 месяца Г)

8

21 месяца Д)

2

7 месяца

28. На школьной олимпиаде по шахматам выступило 6 команд, в каждой команде было по 5

учеников. Сколько всего партий было сыграно на олимпиаде, если каждая команда играла с

каждой по одной игре?

А) 25 Б) 20 В) 15 Г) 10 Д) 5

29. Улитка ползает по столбу высотой 10 м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь

опускается на 4 м. За какое время улитка доберется от подножия до вершины столба?

А) 4,5 суток Б) 5 суток В) 5,5 суток Г) 6 суток Д) 6,5 суток

30. В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди

Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с

Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята?

А) Вика, Соня, Боря, Денис и Алла

Б) Вика, Алла, Денис, Боря и Соня

В) Алла, Соня, Вика, Денис и Боря

Г) Денис, Вика, Алла, Боря и Соня

Д) Алла, Вика, Боря, Соня и Денис

16


Задачи для 7-8 классов

1. Поезд длиной 1 км медленно движется со скоростью 1 км/ч и вползает в туннель, длина

которого 1 км. За сколько времени он полностью пройдет туннель?

А) 1 час Б) 1 час 30 мин В) 2 часа Г) 3 часа Д) 30 мин

2. Число 1 1 1

10 100 1000+ + равно

А) 3

1110 Б)

3

1000 В)

111

1000 Г)

111

1110 Д)

3

111

3. Из данных чисел выберите число, ближайшее к 20 0,3 1997

10000

⋅ ⋅.

А) 0,001 Б) 0,01 В) 0,1 Г) 1 Д) 10

4. Известно, что 7% от числа а равно 107% от числа b . Найдите отношение b

a.

А) 1

100 Б)

107

7 В)

7

100 Г)

7

114 Д)

7

107

5. Какое максимальное число точек пересечения могут иметь 8 окружностей?

А) 16 Б) 64 В) 38 Г) 44 Д) 56

6. Полный бидон с молоком весит 7 кг, а наполненный наполовину – 4 кг. Сколько весит

бидон?

А) 1 кг Б) 0,5 кг В) 1,5 кг Г) 2 кг Д) 2,5 кг

7. В классе 35 учеников, причем число мальчиков составляет 75% от числа девочек. Сколько

мальчиков в классе?

А) 10 Б) 15 В) 20 Г) 25 Д) 30

8. Если 1

3

a

b= , то число

2

2

2

2

a аb

b аb

+

+ равно

А) 7

15 Б)

15

7 В)

7

8 Г) 1 Д)

71

8

9. 45% от 7

12от 240 рано

А) 108 Б) 140 В) 21

80 Г) 63 Д) 6300

10. Какая из дробей самая большая?

А) 7

8 Б)

66

77 В)

555

666 Г)

4444

5555 Д)

33333

44444

11. На плоскости проведены 4 прямые. Пусть n - количество их точек пересечения. Тогда n

не может быть равно

А) 0 Б) 2 В) 3 Г) 5 Д) 6

17

12. Сколько имеется треугольников с периметром 15 см, каждая из сторон которых измеряется

целым числом сантиметров?

А) 1 Б) 5 В) 7 Г) 19 Д) 45

13. Какое наибольшее число осей симметрии может иметь фигура, составленная из трех

равных отрезков?

А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6 Д) 9

14. Если : 9a b = и : 5 : 3b с = , то ( ) ( ):a b b с− − равно

А) 7 :12 Б) 25:8 В) 4 :1 Г) 5: 2 Д) 6 :15

15. Известно, что 7a b c+ + = и 1 1 1 7

.10a b b c a c

+ + =+ + +

Тогда а b с

a b b c a c+ +

+ + + равно

А) 19

10 Б)

17

10 В)

9

7 Г)

3

2 Д)

10

7

16. Определите, соответствуют ли ниже понятия и круговые схемы друг другу.

1. Учебное пособие (А), книга (В), таблица (С), таблица логарифмов (D):

Ответ: __________________

2. Часть речи (А), существительное (В), глагол (С), наречие (D), глагол прошедшего времени

(Е):

Ответ: __________________

3. Рота (А), взвод (В), отделение (С):

Ответ: __________________

В

C

D

А

C

E

B

D

А

В

С

18


1. Время (А), минута (В), секунда (С), час (D):

Ответ: __________________

2. Студент (А), спортсмен (В), рабочий (С):

Ответ: __________________

3. Инженер (А), строитель космических кораблей (В), рабочий (С), конструктор (D):

Ответ: __________________


1. Хищник (А), млекопитающее (В), травоядное С):

Ответ: __________________

B

А С

D

A B

C

B

A

D

C

B

A

C

19

2. Преступление (А), взятка (В), грабеж (С):

Ответ: __________________

3. Орудие преступления (А), пистолет (В), огнестрельное оружие (С):

Ответ: __________________

19. Числа a и b удовлетворяют равенству 2

2a b

a b a b+ =

+ −. Найдите все возможные

выражения 3

.5

a b

a b

−

+

20. Найдите все такие целые числа с, при которых дробь 7

4

c

c

+

− является целым числом.

А

В

C

А

С

В

20

Задачи для учеников 9-10 классов

1. Выражение ( )5

2xyz равно

А) 5 5 5

32x y z Б) ( )15

10 xyz В) 2 2

32x yz Г) 7 xyz+ Д) 10xyz

2. Произведение 3 44 8⋅ равно

А) 7 12 Б)

1212 В) 7 32 Г) 12 32 Д) 122 32

3. Если 1

6xx

+ = , то 2

2

1x

x+ равно

А) 34 Б) 36 В) 38 Г) 43 Д) 47

4. На плоскости через данную точку провели 20 прямых. Наибольшее число прямых углов,

которые могут появиться при этом, равно

А) 10 Б) 20 В) 30 Г) 40 Д) 50

5. Произведение чисел

2000

5 1

2

+

и

2000

5 1

2

−

равно

А)

2000

2000

5 1

4

− Б)

2000

2000

5 1

4

+ В)

10004 Г) 1 Д) 0

6. Какое из чисел расположено ближе к 1?

А) ( )100

0,1 Б) ( )1000

0,9 В) ( )10

1,1 Г) 0,015 Д)

0,12

7. Если 1 2 3 1x− < + < , то число 2 4x− + находится между

А) 4 и 6 Б) 2 и 0− В) 0 и 2 Г) 2 и 4 Д) 6 и 8

8. Для скольких целых чисел n число 11

7

n

n

+

+ целое?

А) 0 Б) 1 В) 2 Г) 6 Д) 8

9. Цена на сахар снизилась на 20%. На сколько процентов больше сахара, чем раньше, можно

купить теперь на 100 рублей?

А) 20% Б) 25% В) 40% Г) 50% Д) 15%

10. Сколько процентов 6 процентов составляет от 40 процентов?

А) 15% Б) 24% В) 3

20% Г)

100

24% Д) 6%

11. Число 3 2 2+ равно

А) ( )2

3 2+ Б) 1 2+ В) 3 2 2+ Г) 1 2 2+ Д) 3 8+

12. Отношение углов треугольника 1:5:6. Длина наибольшей стороны – 6 см. Какова длина

высоты, опущенной на наибольшую сторону?

А) 1 см Б) 1,5 см В) 2 см Г) 2,5 см Д) 3 см

21

13. В треугольнике ABC медианы, выходящие из вершин B и C , перпендикулярны. Чему

равно 2 2CA BA+ ?

А) 2BC Б) 2

2BC В) 23BC Г) 2

4BC Д) 25BC

14. Какая из следующих функций ограничена на [ )6;∞ ?

А) sinx x⋅ Б) 1

xx

+ В) 25 x− Г)

5

5

x

x

+

− Д) 1 х+

15. Влажность скошенной травы равна 60% , а влажность сена - 15% . Сколько килограммов

сена получится из тонны травы?

А) 8000

17 Б) 460 В) 850 Г) 900 Д) 615

16. Сколько целых решений имеет уравнение ( )2 6 8 ?х

х х− =

А) 0 Б) 1 В) 2 Г) 3 Д) 4

17. Известно, что 7a b c+ + = и 1 1 1 7

.10a b b c a c

+ + =+ + +

Тогда а b с

a b b c a c+ +

+ + + равно

А) 19

10 Б)

17

10 В)

9

7 Г)

3

2 Д)

10

7

18. Найдите все значения параметра b , при которых функция ( )( )

2

2

2 7 7

12 9 8 12

х xg x

х b x

+ +=

− − +

определена на всей числовой оси и принимает только положительные значения.

19. При каких значениях параметра а система уравнений ( )

1

1 3 8

y a x

x a x a

= − −

− − = − имеет

единственное решение?

20. Найдите все значения параметра а , при которых уравнение 2 2

7 2 5x ax a x a+ − = + имеет

только два решения.

22

ЛИТЕРАТУРА

1. Все задачи «Кенгуру» / Составители: Т.А. Братусь, Н.А. Жарковская и др. – Спб., 2003.

2. Аганов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. – М.,

2003

3. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 класс. – М., 2003.

23

Ильязов Ильдар Фяритович

Региональная олимпиада «Mathman»:

математика

Формат 60×80

Усл. печ. л. 0,5

Тираж 50 экз.

Гимназия-интернат №664 города Санкт-Петербург

115088, г. Санкт-Петербург, пр. Ударников, д.17, стр.2

www. 664.classnote.ru

24

ГИМНАЗИЯ-ИНТЕРНАТ №664

Documents

Сборник заданий по математике олимпиады "Mathman"