1

Повторные гравиметрические наблюдения. Изд. МГК при Президиуме АН СССР и НПО

«Нефтегеофизика».– М.: 1984. – с. 101-119.

УДК 550.312:528.1

И.В.Джунь (Украинский институт инженеров водного хозяйства)

НОВЫЙ СПОСОБ ОЦЕНКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ НА

АБСОЛЮТНОМ ЛАЗЕРНОМ БАЛЛИСТИЧЕСКОМ ГРАВИМЕТРЕ

Методика абсолютных определений баллистическим гравиметром

непрерывно усовершенствуется и по мнению специалистов в перспективе

они могут достигнуть точности в 1 мкГал. Соответственно этому возрастают

требования к строгости математических методов обработки, которые должны

учитывать особенности метрологической ситуации, присущей

баллистическим измерениям. Одной из таких особенностей является

непрерывное изменение точности измерений [3]. Диапазон и частотная

структура этих изменений труднопредсказуемы. Например, пакет

микросейсм может неожиданно увеличить разброс измерений и так же

внезапно это воздействие может прекратиться. Это означает, что в каждой

серии могут быть неоднородные данные, наличие которых может

контролироваться при помощи коэффициента эксцесса [4]. В этой связи

представляет интерес испытание нового метода обработки баллистических

намерений, предложенного в работе [5]. Сущность этого метода сводятся к

учету эксцесса распределения при вычисления апостериорных весов Pij

каждого i -того броска в j-той серии измерений на основании формулы

22 32

65

jijjjj

j

ijggEE

EP

, (1)

где ijg – абсолютное значение ускорения, полученное по i -тому броску в j -

той серии:

jn

i

ij

j

i gn

g1

1;

jn

i

jij

j

j ggn 1

22

1

1 ;

2

jE – эксцесс j -той серии.

С учетом весов ijP вычисляем средневесовые значения абсолютного

ускорения силы тяжести по j -той серии:

j

j

n

j

ijijn

j

ij

pj Pg

P

g1

1

1 (2)

При 0jE веса (1) одинаковы для всех бросков и формула (2)

становится простым средним.

Если допустить, что при постоянной метрологической ситуации

баллистические измерения следуют закону Гаусса, то эффективность оценки

(2) проявится в наибольшей степени, при выполнении следующих гипотез:

1H – симметрии распределения результатов ijg в серии;

2H – эксцесс распределения 0jE ;

3H – отсутствие систематического хода средних jg от серии к серии.

С целью проверки гипотез 1 2 3, ,H H H и испытания оценки (2) мы

воспользовались значениями ijg , используемыми в работе [6], которые были

переданы нам с согласия Г.П.Арнаутова и Ю.Д.Буланже.

Проверка гипотез 1H и 2H осуществляется путем построения

доверительных областей для выборочного коэффициента асимметрии jg1 и

выборочного коэффициента эксцесса 2 -3, вычисленных для каждой серии j

по формулам

jg1

jn

i

jij

j

ggSn 1

3

3

1; jb2

jn

j

jij

j

ggSn 1

4

4

1, (3)

где 2

1

2 1

jn

j

jij

j

j ggn

S ;

jn

j

ij

j

j gn

g1

1.

В формуле для вычисления 2

jS перед знаком суммы jn , а не 1jn , так как

2

jS – оценка выборочной дисперсии.

В табл. 1 приведены основные сведения об анализируемых сериях

измерений. В строках 5-6 даны 5 % критические значения для статистик (3) и

3

их значения для каждой серии. Как видим из таблицы – 6 значений jg1 и 6

значений jb2 превышают 5 % критические значения. Число отрицательных

исходов (при суммарном уровне значимости для каждого критерия 10 %) не

должно быть более двух для каждой проверки. Фактически отрицательных

исходов в три раза больше. Таким образом, нельзя утверждать, что гипотезы

1H и 2H справедливы. Остается теперь формальная процедура проверки

требования 3H . Для такой проверки мы воспользовались аппаратом

одномерного дисперсионного анализа по индексу j .

В случае справедливости гипотезы 3H должно выполняться условие

равенства дисперсий:

2

1 1

2

2

2

1

2

1

1

1

1

K

j

n

i

jij

K

j

j

j

ggKN

SggK

S , (4)

где jn – количество бросков в j -той серии, j

g – среднее по серии; общее

среднее

K

j

n

i

jij

j

nNgN

g1 1

;1

; число степеней свободы для дисперсий 2

1S и

2

2S соответственно равно 1K и 2 N K .

В практике гравиметрических измерений 2

2S называется оценкой

дисперсии по внутренней сходимости результатов.

Для применения дисперсионного анализа требуется выполнение условия

постоянства дисперсий в сериях. Для проверки этого условия воспользуемся

М-статистикой Бартлетта [1]

K

j

jj

K

j

jj nnKNKN

M1

2

1

2 ln111

ln1

, (5)

где 2

j – оценки дисперсий, взятые из строки 8 таблицы; К – количество

серий; значения М – статистик и их 5 % критических значений для серий 1-3,

4-18, 1-18 – следующие:

1 3 4 18 1 18

5% 5% 5%

6,52; 21,41; 184,12;

5,99; 23,65; 27,59

M M M

M M M

(6)

С уровнем значимости 5 % можно принять гипотезу о постоянстве

дисперсий только для серий 4-18, поэтому гипотезу (4) им проверяли только

4

для этих серий. В результате имеем следующие оценки дисперсий: 2

1 52280S ;

2

1 2 214; 28950; 1785S . Тогда 695,1806,1/ %5

2

2

2

1 FSSF . Следовательно,

нельзя принять и гипотезу 3H , т.е. оценка (2) и обычное среднее являются

приближенными оценками.

Сравнение предлагаемого метода обработки баллистических измерений

и употребляемого в настоящее время представляет интерес в теоретическом и

в практическом отношении. Поэтому, несмотря на отрицательные исходы

для гипотез 1 2 3, ,H H H , вычислим оценки (2) для каждой серии, понимая, что

невыполнение этих гипотез является неблагоприятным как для обычного

среднего так и для оценки (2). Чтобы вычислить вес каждого броска, получим

на основании значений jb2 (строка 6 в таблице 1), несмещенные оценки

эксцесса по формуле [7]:

6)3(132

12

jj

jj

j

j bnnn

nE .

Используя значения j2 и jE (строки 8 и 10 таблицы 1), из (1) находим

вес каждого броска, а по формуле (2) – pjg для каждой серии (строка 11 табл.

1). Как видим из таблицы (строка 12), расхождение оценок среднего

арифметического и pjg достигает наибольшего значения в 9 мкГал для серии

3 (около 40 % стандартной ошибки среднего). В среднем расхождение оценок

составляет около 13-17 % jg

.

Значения стандартной ошибки среднего весового (2) вычислены по

известной формуле:

j

j

n

i

ijj

n

i

pjijij

gpi

Pn

ggP

1

1

2

1

, (7)

приведены в строке 14 таблицы и соответствуют следующим значениям

средних квадратических погрешностей одного броска:

jgpjpj n ,

5

Таблица 1

Результаты абсолютных определений силы тяжести гравиметром ГАБЛ

по каждой серии и их основные статистические характеристики

1 Дата измерений 25.10.83 г. 26.10.1983 г.

2 Время измерения

(Гринвичское)

20.25

20.55

21.45

22.15

0.05

0.35

13.90

20.00

20.25

20.55

21.10

21.40

22.00

22.30

22.45

23.15

23.25

23.55

3 Номера серий, j 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 Кол-во измер., jn 120 120 120 120 120 120 120 120 120

5 35,0%5,11 gg j +0,09 –0,32 +0,59х –0,12 +0,21 –0,08 +0,09 –0,09 –0,31

6 73,3%95:;49,2%5: 222 bbb j 2,49х 3,81х 3,91х 2,94 3,34 3,33 2,60 2,78 4,07х

7 Среднее по серии, i

g 1304 1325 1315 1336 1349 1351 1335 1313 1375

8 )1(22 nnsj 279 300 237 186 142 178 176 191 186

9 j1 0,01 0,16 0,36 0,05 0,01 0,03 0,00 0,00 0,16

10 32 jj E 2,65 4,10 4,13 3,12 3,51 3,55 2,74 2,98 4,34

11 Среднее весовое, pjg 1307 1333 1306 1336 1348 1354 1336 1313 1379

12 pjj ggj –3 –8 +9 0 +1 –3 +1 0 +4

13 jg

25,5 27,4 21,6 17,0 13,0 16,2 16,1 17,4 17,0

14 pjg 27,0 22,2 19,0 16,7 12,1 15,1 16,6 17,4 14,9

15 pjj ggj –1,5 +5,2 +2,6 +0,3 +0,9 +1,1 –0,5 0 +2,1

16 pj 296 243 208 183 133 165 182 191 163

17 pjj –17 +57 +19 +3 +9 +13 –6 0 +23

18 jn' 107 183 156 124 138 139 112 120 156

1 Дата измерений 27.10.1983 г. 28.10.83 г.

2 Время измерения

(Гринвичское)

0,10–

0,40

0,55–

1,25

1,40–

2,10

2,25–

2,55

23,05–

23,35

23,45–

0,15

0,25–

0,55

1,10–

1,40

1,55

2,25

3 Номера серий, j 10 11 12 13 14 15 16 17 18

4 Кол-во измер., jn 120 120 120 120 120 120 120 120 120

5 35,0%5,11 gg j +0,36х +0,17х –0,04 +0,50х –0,35х –0,55х +0,12 +0,13 +0,35х

6 73,3%95:;49,2%5: 222 bbb j 2,56 3,17 3,07 4,04х 3,04 3,81х 2,60 2,72 3,60

7 Среднее по серии, i

g 1323 1361 1360 1325 1334 1330 1306 1297 1349

8 )1(22 nnsj 167 157 168 156 163 175 170 182 159

9 j1 0,07 0,01 0,02 0,17 0,12 0,30 0,02 0,01 0,04

10 32 jj E 2,68 3,35 3,27 4,21 3,22 4,02 2,76 2,80 3,80

11 Среднее весовое, pjg 1327 1361 1360 1322 1336 1336 1304 1299 1349

12 pjj ggj –4 0 0 +3 –2 –6 3 –2 +2

13 jg

15,2 14,3 15,3 14,2 14,9 16,0 15,5 16,6 14,5

14 pjg 16,0 13,6 14,7 12,6 14,4 14,1 16,1 14,2 13,1

15 pjj ggj –0,8 +0,7 +0,6 +1,6 +0,5 +1,9 –0,6 +2,4 +1,4

16 pj 175 149 161 138 158 154 176 156 144

17 pjj –8 +8 +7 +18 +5 +21 –6 +25 +15

18 jn' 109 133 131 153 128 154 111 164 147

6

которые приведены в строке 16 таблицы. Сравнивая j и pj видим, что при

0jE j и pj идентичны, при jpjjE ,0 , а при 0jE имеем pjj .

Таким образом, осуществляя обработку баллистических измерений обычным

способом, мы достигаем идентичных с оценкой (2) результатов только при

0jE ; при 0jE мы занижаем точность среднего арифметического, а при

0jE завышаем. В строке 18 таблицы мы приводим число наблюдений

gpjjjn ' , которые необходимы для того, чтобы среднее имело ту же

дисперсию, что предлагаемая нами оценка (2). Как видим, фактическая

дисперсия среднего для серий 1, 7, 10, 16 соответствует не 120, а 107, 112,

109 и 111 наблюдениям, т.е. для этих серий мы занижаем точность, при этом

повышение точности, даваемое оценкой (2), соответствует как бы

проведению по 14 сериям дополнительных 346 бросков или 25 бросков в

среднем для серий, у которых 0jE . Однако этот эффект в наибольшей

степени проявится тогда, когда исключены тренды среднего.

Чтобы выяснить, в какой степени эти тренды уменьшают точность

среднего, получим оценку дисперсии составляющей, которая вызывает тренд

средних jg от серии к серии. Для этого применим формулу [2, 8]

22

2

2

2

12

0

1

jKnN

KNSSS

, (8)

где 2

1S и 2

2S – оценки дисперсий, полученные для серий 4-18 по формулам (4)

120;14,...,2,1 jnK .

В результате получено 9,13,194 0

2

0 SS мкГал, что меньше стандартных

ошибок среднего (строка 13 таблицы).

Таким образом, вес jg

P среднего по серии нельзя вычислять по формуле

2

jjg nPj

, а следует использовать формулу

12

0

2 SnP jjg j

(9)

или в случае вычисления среднего весового

7

12

0

2 SP gpjg pj

, (10)

где 2

0S вычислено по формуле (8); j2 – оценка дисперсии случайной

составляющей в j -той серии; jn – количество бросков в серии; gpj –

вычисляют по формуле (7).

Эффективность предлагаемого нами метода оценивания (2)

увеличивается при уменьшении 2

0S и будет максимальной при 02

0 S .

В среднем для серий 4-18 значение 4,170cp мкГал, 2,1520 Sn j

мкГал. Это свидетельствует о примерно одинаковом влиянии случайной и

систематической составляющей на точность среднего по серии. Но вклад

случайной составляющей несколько больше. Если исходить из принципа

одинакового влияния случайной и систематической составляющей на

точность среднего, то 2

0

2 Sn jj и оптимальное число бросков в серии:

1502

0

2 Sn сропт , где 4,170cp мкГал; 0S – вычислено по формуле (8).

Выводы

1. Среднее по серии jg и средневзвешенное pjg нельзя назвать

эффективными способами оценивания, так как неконтролируемые тренды

центра распределения вызывает существенную асимметрию по крайней мере

в каждой четвертой серии намерений.

2. Применяемый в настоящее время метод контроля за постоянством

метрологической ситуации основанный на критерии 2 требует большего,

чем 120, числа измерений. Более эффективными способами контроля

являются моментные отношения 2

2

2

31 MM и 2

2

2

42 MM , где M –

центральные, несмещенные моменты порядка 2 .

3. Существенные изменения точности броска в серии сопровождаются

всплесками эксцесса. Значение 2 чувствительно даже к нескольким

неоднородным измерениям в серии. Поэтому, при обработке измерений

предпочтительней использовать оценку (2), которая учитывает коэффициент

эксцесса.

8

4. Систематические смещения среднего от серии к серии, оцениваемые

дисперсией 2

0S (формула 8), оказывают на точность среднего примерно такое

же влияние, как и случайная составляющая jj n2 .

5. При вычислении веса среднего по серии нельзя использовать только

дисперсии jj n2 , которые характеризуют случайный разброс измерений, а

следует учитывать и 2

0S , применяя для определения веса результата формул

(9) или (10).

6. На основе принципа одинакового влияния дисперсий jj n2 и 2

0S на

точность результатов измерений установлено, что оптимальное число

бросков в серии должно быть 150.

7. В случае надежного подавления трендов центра распределения от

серии к серии, разработанный нами метод обработки результатов

баллистических измерений, основанный на учете веса каждого броска,

позволяет добиться эффективности оценивания, которое эквивалентно

увеличению количества наблюдений на 20 %, т.е, имеет эффект,

равносильный увеличению точности измерений.

В заключение автор выражает глубокую признательность члену-

корреспонденту АН СССР Ю.Д.Буланже, Г.П.Арнаутову, Г.П.Калишу,

Ю.Ф.Стусю за предоставленную возможность участия в измерениях с ГАБЛ

и за предоставление большого числа баллистических измерений, которые

являются уникальным и чрезвычайно важным материалом для обоснования,

разработки, испытания новых способов оценивания результатов измерений и

их точности и для развития новых идей и методов современной теории

ошибок.

9

Список литературы

1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.

Издание третье. М., Наука. 1983.

2. Браунли К.А. Статистические исследования в производстве. Пер. с

англ. М.. изд-во иностранной литературы, 1949, с. 71.

3. Джунь И.В. Флюктуации веса индивидуальных измерений силы

тяжести на баллистическом гравиметре. – В кн. Повторные гравиметрические

наблюдения. М., изд. «Нефтегеофизики» (ротапринт), 1983. с. 46-52.

4. Джунь И.В. Использование коэффициента эксцесса для контроля за

постоянством метрологической ситуации при работе с баллистическим

гравиметром. – В кн. Повторные гравиметрические наблюдения. М., изд.

«Нефтегеофизики» (ротапринт), 1983, с. 59-65.

5. Джунь И.В. Простой метод учета неоднородности индивидуальных

измерений на баллистическом гравиметре. – В кн. Повторные

гравиметрические наблюдения. М., изд. «Нефтегеофизики» (ротапринт),

1983, с. 53-58.

6. Особенность закона распределения результатов баллистических

измерений ускорения сила тяжести / И.В.Джунь, Г.П.Арнаутов и др. (см.

настоящий сборник).

7. Крамер Н. Математические методы статистики. М., Мир, 1976; 648 с.

8. Хаимов З.С. Дисперсионный анализ невязок треугольников. –

Геодезия и аэрофотосъемка. М., изд. МИИГАиК, 1964, № 5.