1

Повторные гравиметрические наблюдения. Изд. МГК при Президиуме АН СССР и НПО «Нефтегеофизика».–

М.: 1983. – с. 46-52.

УДК 550.831 (23+05)

И.В.Джунь (Украинский институт инженеров водного хозяйства)

ФЛЮКТУАЦИИ ВЕСА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ И СПОСОБ ИХ УЧЕТА ПРИ

ОБРАБОТКЕ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ

Ряд измерений на баллистическом гравиметре представим в виде

0 0, ,j j jg k m ,

где Jjgk

gjk

i

ij

j

j ,...,2,1;1

1

0

; kj – количество бросков; ijg – индивидуальные

измерения;

2

202 10

1

jk

ij jji

j

jj j

g g

mkk k

, (1)

2

j – оценки дисперсии индивидуального измерения.

Проверку гипотезы о неравенстве весов индивидуальных измерений:

2 2

1 1; 1,2,..., 1

1j j

j I

, (2)

мы oсуществили при помощи критерия Бартлетта (1):

2

1

1

1

2

1

ln1

1

1

ln1 j

J

j

jJ

j

j

J

j

jjJ

j

j k

k

k

kM

.

В табл. 1 приведены значения вероятностей гипотезы (2) для

анализируемых нами семи серий наблюдений на баллистическом гравиметре

Института автоматики и телеметрии СО АН СССР, которые выполнены в

1978-1982 гг. на пункте Лѐдово (ИФЗ АН СССР). Упомянутые серии

2

наблюдений были любезно предоставлены в наше распоряжение

С.Н.Щегловым с согласия Ю.Д.Буланже.

Как видим на табл. I, гипотеза (2) является практически достоверной. На

рис. I для иллюстрации приведен график изменений j для двух рядов

наблюдений 17.10.81 и 10.02.82: по вертикали отложены значения j , по

горизонтали – время по Гринвичу; доверительные интервалы для j

вычислены по формуле

1

22j j jk

.

Рис.1 Особенности изменения средней квадратической погрешности одного

броска, приводящее к невыполнению гипотезы о равенстве дисперсий j . Ледово,

17.10.81, 10.02.82

3

Таблица 1

№

ряда Дата наблюдения

К-во

строк

J jk

Значение

критерия

Бартлета

J

Вероятн.

гипотезы

(2)

1 2 3 4 5 6

1. 24.08 – 01.09.78 23 2427 56,18 0,9999

2. 4.09 – 08.04.79 28 3175 56,66 0,9993

3. 8.08 – 06.08.80 34 3720 483,06 0,99999

4. 21.04 – 21.04.81 19 2342 263,99 0,99999

5. 21.04 – 21.04.81 19 2342 186,77 0,99999

6. 16.10 – 17.10.81 21 2632 84,42 0,9999

7. 10.02 – 10.02.82 12 1422 174,04 0,99999

Таким образом, у нас нет оснований считать, что в течение интервала

осреднения 15 80m mj вес индивидуальных значений ijg постоянен, т.е.

важнейшим свойством баллистических наблюдений является непрерывное

изменение веса индивидуальных измерений ijg со временем. Следовательно,

гауссова модель накопления ошибок

2

20

2

2

1

gg

egf

(3)

не является приемлемой для обоснования метода обработки баллистических

наблюдений, поскольку предполагает неизменность параметра со

временем. Введем в модель (3) новый параметр – время, т.е. учтем изменение

веса индивидуальных измерений в интервале

dtet

ggf t

ggt

t

2

200

0

2

0

1

2

1,,

, (4)

где g – переменная негауссового закона плотности (4); 2 t – переменная (в

интервале ) дисперсия.

Плотность (4) соответствует смешанному распределению, состоящему из

бесконечного множества нормальных распределений с общим центром, но

разной дисперсией. Распределение (4) визуально невозможно отличить от

4

закона Гаусса, но оно имеет одну отличительную особенность –

положительный эксцесс, независимо от характера изменения t [2, 3, 5].

Поскольку мы не знаем как изменяется t сo временем, то

единственным методом нахождений веса индивидуальных бросков, является

способ, основанный на апостериорном анализе функции (4).

Предположим, что результаты баллистических измерений следуют

закону плотности (4), где 0g – некоторое «истинное» значение оцениваемой

величины. Оценку для 0g можно найти по результатам k индивидуальных

измерений ig , применив метод максимального правдоподобия при условии

максимума функции правдоподобия:

,, 0

1

ggfL i

K

i

(5)

Логарифмируя L и решая относительно 0g , имеем

0,,

,,'ln

1 0

0

0

K

i i

i

ggf

ggf

g

L

(6)

Уравнение (6) перепишем в виде

00 ii Pgg , (7)

где вес і-того измерения равен

00

0 1

,,

,,'

ggggf

ggfP

ii

ii

(8)

Из (7) имеем

i

U

ii

P

Pg

g0 (9)

Дисперсия средневесового (9) равна:

ij

K

ojiji

jgPK

ggPj

1

'2

2

0' (10)

5

Полагая, согласно [1, 2], что плотность (4) принадлежит семейству

симметричных распределений Пирсона [1], имеем

2020

0

0

0

,,

,,'

ggcc

gg

ggf

ggf

i

i

i

i

, (11)

где

65;

65

322

2

0

cc ; (12)

– эксцесс закона плотности (4)

Подставляя в (8) и (11) вместо 0g среднее ign

g1

, получаем с учетом

(11) веса

220

2

20

11

ggccggggcc

ggP

iii

ii

,

и с учетом (12) имеем:

22

61

3

16

5

gg

P

i

i

(13)

Оценку 2 в (13) получаем по формуле Бесселя. Для нормального закона

0

2

0

2

0

0

111'

gg

gg

gggf

gfP

i

i

ii

ii ,

т.е. только в том случае, когда известно заранее, что результаты наблюдений

следуют закону Гаусса, можно считать, что все ig имеют равный вес.

На рис. 2 приведен график изменения весов для различных

распределений имеющих 10 . В формулу (13) входят два

метрологических параметра гравиметра: и ; первый является мерой

разброса измерений, второй – мерой чувствительности гравиметра на

изменение условий измерений. Параметры и должны надежно

определяться в процессе измерений.

6

Рис. 2. Изменение веса индивидуальных значений ускорения силы тяжести в

зависимости от типа закона распределения погрешностей с заданным

Выводы

1. Основной особенностью измерений на баллистическом гравиметре

ГАБЛ в Ледово является непрерывное изменение веса индивидуальных

бросков.

2. Гауссова модель накопления ошибок измерений ГАБЛ на пункте

Лѐдово не соответствует данным наблюдений, так как не учитывает

непрерывного изменения метрологической ситуации во время измерений.

3. Среднее арифметическое из Kj индивидуальных измерений и оценка

его точности не являются статистически эффективными оценками, поскольку

вычисляются но неравноточным наблюдениям. Более правильно назначать вес

каждому индивидуальному измерению по формуле (13), окончательный

результат вычислять по формуле (9), а его дисперсию – по формуле (10),

7

Заметим также, что веса (13) можно улучшить во втором приближении,

подставив вместо g оценку (9), а 2 вычислив о учетом весов (13).

4. По окончании серии намерений крайне желательно в качестве одного

из основных результатов, получать и гистограмму индивидуальных

измерений с целью непрерывного уточнения метрологических параметров

прибора, входящих в формулу (13). Ситуация, при которой закон

распределения индивидуальных измерений вообще не принимается во

внимание, может приводить к появлению нелинейных трендов в результатах

измерений, обусловленных ошибками обработки.

5. Желательно вместе с текущими результатами (9) получать и текущие

оценки эксцесса распределения для интервалов осреднения . Постоянство

для различных будет свидетельствовать о стабильности

метрологической ситуации. В то же время значимые всплески для

отдельных будут свидетельствовать о резком изменении условий

наблюдений.

Изложенные выше предложения возможно окажутся весьма полезными

при разработке следующего поколения баллистических гравиметров.

В заключение автор выражает глубокую благодарность

член-корреспонденту АН СССР Ю.Д.Буланже и старшему научному

сотруднику ИФЗ АН СССР С.Н.Щеглову за предоставление результатов

измерений, которые были использованы при подготовке настоящего

сообщения.

8

Список литературы

1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математичеокой статистики. М.,

ВЦ АН СССР, 1966.

2.Джунь И.В. Анализ параллельных широтных наблюдений,

выполненных по общей программа. Канд. дисс., Киев, 1974.

3.Идельсон Н.И. Способ наименьших квадратов и теория

математической обработки наблюдений. Геодезиздат, 1947.

4.Крамер Г. Математические методы статистики. М., Мир, 1975.

5. Jeffereys Н. Theory of Probability. Sec. Edition, Oxford, 1940.