Upload
michael-magkos
View
229
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρία - Μεθοδολογία - Ασκήσεις - Υποδείξεις για τη λύση των ασκήσεων
Citation preview
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
2014
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΜΑΓΚΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενιζέλου 205 Ν. Σμύρνη -2109311913–www.kentromeletis.edu.gr
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
1 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
2 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Θ 1.1 Τι ονομάζουμε σύνολο C των μιγαδικών αριθμών;
Απάντηση
Το σύνολο C των μιγαδ ικών αριθμών ε ίνα ι ένα υπερσύνολο του συνόλου R
των πραγματ ικών αριθμών στο οπο ίο :
∙Επεκτε ίνοντα ι ο ι πράξε ις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και
έχουν τους ίδ ιους κανόνες λογ ισμού όπως στο R.
∙Υπάρχει ένα στο ιχε ίο i τ έτο ιο , ώστε i 2 = -1 .
∙Κάθε στο ιχε ίο z C γράφεται κατά μοναδ ικό τρόπο με μορφή z = α + β i
, με α , β R .
► Παρατηρήσεις
1 ) Ο πραγματ ικός αριθμός α καλε ί τα ι πραγματικό μέρος του z και
συμβολ ίζε τα ι Re(z) , δηλαδή α = Re(z ) .
2) Ο πραγματ ικός αριθμός β καλε ί τα ι φανταστικό μέρος του z και
συμβολ ίζε τα ι Im(z) , δηλαδή β = Im(z ) .
3) Κάθε αριθμός z του οπο ίου το πραγματ ικό μέρος ε ίνα ι 0 , δηλαδή της
μορφής z = β i , βR , λέγετα ι φανταστικός αριθμός .
Το σύνολο των φανταστ ικών αριθμών συμβολ ίζε τα ι συνήθως με I .
Θ 1.2 Πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι ;
Απάντηση
Δύο μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί ε ίνα ι ίσο ι αν και μόνο αν τα πραγματ ικά τους
μέρη ε ίνα ι ίσα και τα φανταστ ικά τους μέρη ε ίνα ι επ ίσης ίσα .
Άρα αν z 1 = α 1 + β1 i και z 2 = α 2 + β2 i τό τε :
z1 = z2 α1 = α2 και β1 = β2
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
3 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Θ 1.3 Πώς παριστάνουμε γεωμετρικά τους μιγαδικούς αριθμούς ;
Απάντηση
Σε κάθε μ ιγαδ ικό z = α + β i μπορούμε να αντ ιστο ιχ ίσουμε το σημείο
Μ(α,β ) ενός καρτεσιανού επ ιπέδου .
Αντ ίστροφα σε κάθε σημείο Μ(α,β) ενός καρτεσιανού επ ιπέδου μπορούμε
να αντ ιστο ιχ ίσουμε το μ ιγαδ ικό αριθμό z = α + β i .
Το σημείο Μ λέγετα ι εικόνα του μ ιγαδ ικού αριθμού z , έ τσ ι πολλές φορές
αντ ί γ ια Μ(α,β ) γράφουμε Μ( z ) .
Το επ ίπεδο του οπο ίου τα σημεία ε ίνα ι ε ικόνες μ ιγαδ ικών αριθμών ,
ονομάζετα ι μιγαδικό επίπεδο . Ο x΄x λέγετα ι πραγματικός άξονας και
o y΄y λέγετα ι φανταστικός άξονας .
Ένας μ ιγαδ ικός αριθμός z = α + β i παριστάνετα ι και με τη δ ιανυσματ ική
ακτ ίνα ΟΜ
του σημείου Μ(α,β ) (σχ.1) .
Θ 1.4 Πώς ορίζεται η πρόσθεση , η αφαίρεση και το γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών ;
Απάντηση
α) Αν z 1 = α + β i , z 2 = γ + δ i τυχαίο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί , ονομάζουμε
άθρο ισμα αυτών το μ ιγαδ ικό αριθμό :
z 1 + z 2 = (α + β i ) + (γ + δ i ) = (α + γ ) + (β + δ ) i .
β) Από τον ορισμό της πρόσθεσης έχουμε ό τ ι το ουδέτερο στο ιχείο της
ε ίνα ι ο μηδενικός μιγαδικός 0 + 0 i και ο αντίθετος του μ ιγαδ ικού
z = α + β i ε ίνα ι ο μ ιγαδ ικός - z = - (α + β i ) = - α - β i με z + ( - z ) = 0 .
Αν z 1 = α + β i , z 2 = γ + δ i τυχαίο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί , ονομάζουμε
δ ιαφορά του z 2 από τον z 1 το μ ιγαδ ικό αριθμό :
z 1 - z 2 = z 1 + ( - z 2 ) = (α + β i ) + ( - γ - δ i ) = (α - γ ) + (β - δ ) i .
γ) Αν z 1 = α + β i , z 2 = γ + δ i τυχαίο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί , ονομάζουμε
γ ινόμενο αυτών το μ ιγαδ ικό αριθμό :
z 1 z 2 = (α + β i ) ( γ + δ i ) = α (γ + δ i ) + β i ( γ + δ i ) =
αγ + αδ i + βγ i + βδ i 2 = (αγ - βδ) + (αδ + βγ) i .
β
α Ο
Μ(z)
σχ.1
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
4 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Θ 1.5 Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της πρόσθεσης και της
αφαίρεσης μιγαδικών αριθμών ;
Απάντηση
Έστω 1 2ΟΜ , ΟΜ
ο ι δ ιανυσματ ικές ακτ ίνες των σημείων Μ 1 ( z 1 ) και Μ 2 ( z 2 )
αντ ίστο ιχα.
Η δ ιανυσματ ική ακτ ίνα του σημείου Μ( z 1 +z 2 ) ε ίνα ι το άθρο ισμα των
δ ιανυσματ ικών ακτ ίνων 1 2ΟΜ και ΟΜ
που βρίσκετα ι με τον κανόνα του
παραλληλογράμμου (σχ.2) .
Η δ ιανυσματ ική ακτ ίνα του σημείου Μ( z 1 - z 2 ) βρ ίσκετα ι αν προσθέσουμε
τη δ ιανυσματ ική ακτ ίνα 2 2 2 ΟΜ του Μ ( z )
στη δ ιανυσματ ική ακτ ίνα
1 1 1ΟΜ του Μ (z )
( σχ.3 ) .
y
x O
M1(z1)
M2(z2)
M(z1+z2)
σχ.2
M1(z1)
M2(z2)
M(z1-z2)
M2΄(-z2)
y
x
O
σχ.3
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
5 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Θ 1.6 Πώς ορίζονται οι δυνάμεις στους μιγαδικούς αριθμούς ;
Απάντηση
Για κάθε μ ιγαδ ικό αριθμό z ορί ζουμε z 1 = z , z ν = z ν - 1 z με ν θετ ικός
ακέραιος και ν 2 .
Ακόμα γ ια κάθε μη μηδεν ικό αριθμό μ ιγαδ ικό αριθμό z ορί ζουμε :
z 0 = 1 και -νν
1z =
z με ν θετ ικό ακέραιο .
Θ 1.7 Δυνάμεις του i
Ιδ ια ί τερη σημασία πρέπει να δώσουμε στ ις δυνάμεις του i .
Αν ν = 4ρ + υ , με ρ ,υΝ και 0 ≤ υ < 4 τότε :
ρ4ρ + υ 4ρν υ 4 υ υ
1 , αν υ = 0
i , αν υ = 1 i = i = i i = i i = i =
- 1 , αν υ = 2
- i , αν υ = 3
Παραδείγματα
1 . Να υπολογίσετε τ ις δυνάμεις :
1925
2016
1i ,
i.
2. Άσκηση Β4 σελ ίδα 96 σχολ ικού
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
6 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Θ 1.8 α) Τι ονομάζουμε συζυγή ενός μιγαδικού αριθμού ; β) Πώς ορίζεται η διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών ;
Απάντηση
α) Αν z = α + β i ε ίνα ι ένας μ ιγαδικός αριθμός, τό τε ο συζυγής του z
συμβολ ίζε τα ι με z και ε ίνα ι : z i
β) Για να διαιρέσουμε δύο μιγαδικούς ,
πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με το συζυγή του
παρονομαστή .
Αν z 1 = α + β i , z 2 = γ + δ i τυχαίο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί με z 2 0 , τό τε :
12 2 2 2 2 2
2
z α + βi (α + βi) (γ - δi) (αγ + βδ) + (βγ - αδ)i αγ + βδ βγ - αδ = = = = + i
z γ + δi (γ + δi) (γ - δi) γ δ γ δ γ δ .
Θ 1.9 Ιδιότητες συζυγών
Αν z = α + β i , τό τε :
1) z = z
2 ) 2 2z z = α + β (δηλαδή z z R )
3) z + z = 2α (δηλαδή z + z = 2Re(z) ή z + z
Re(z) = 2
)
4 ) z - z = 2βi (δηλαδή z - z = 2i Im(z) ή z - z
Im(z) = 2i
)
5 ) 1 2 1 2
z + z = z + z και γεν ικά ν ν1 2 1 2z z ... z z z ... z
6 ) 1 2 1 2
z z = z z και γεν ικά ν ν1 2 1 2z z z = z z z
7 ) 1 12
2 2
z z = , z 0
z z
8 ) ν z = ν z
9 ) ν νz = (z)
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
7 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Απόδειξη
5) Αν z 1 = α + β i και z 2 = γ + δ i :
1 2
1 2
z z i i i
i i i z z
► ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ:
1 ) Η παράσταση zw zw γράφεται : zw zw zw zw .
2)zw + zw = zw + zw = 2Re zw
zw - zw = zw - zw = 2Ιm zw i
3 )
z z z z z2Re
w w w w w
z z z z z2Im i
w w w w w
4 ) Αν ε ίνα ι 1 2
z z z i με 1 2 z , z C τότε :
1 2 1 2 z z z i z z i
Είναι λάθος να πούμε ότ ι : 1 2z z z i δ ιότ ι ο z δεν είναι σε κανονική
μορφή .
Παραδείγματα
1 . iz ...... , ........zi
2 . Να βρε ί τε το συζυγή του μ ιγαδ ικού:
21w (2 3i) i 3i
2. Να δε ίξ ετε ότ ι ο αριθμός: z w i z w
w w i
ε ίνα ι πραγματ ικός .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
8 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Θ 1.10 Επίλυση της εξίσωσης: αz 2 + βz + γ = 0 με α ,β ,γR και α0
Βρίσκουμε τη δ ιακρίνουσα Δ = β 2 – 4αγ.
Αν Δ > 0 τότε η εξ ίσωση έχε ι δύο πραγματ ικές λύσε ις : 1,2
z
2
.
Αν Δ = 0 τότε έχε ι μ ια δ ιπλή πραγματ ική λύση :
z2
.
Αν Δ < 0 τότε έχε ι δύο συζυγε ίς μ ιγαδ ικές λύσε ις : 1,2
i
z2
.
Να προσέξε ις τα α , β , γ να ε ίνα ι πραγματ ικ ο ί αριθμο ί !
Παρατήρηση
Ισχύουν ο ι σχέσε ις:
1 2 1 2z z και z z
. (Τύποι Vieta )
Παραδείγματα
1. Άσκηση Α14 σελίδα 96 σχολικού.
2. Να λυθεί η εξίσωση: z2 – i z + 2 = 0 , zC.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
9 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Π 1.1 Όταν μας ζητούν να βρούμε τις τιμές των α , βR για τις
οποίες είναι συζυγείς δύο μιγαδικοί , με τα πραγματικά και
τα φανταστικά τους μέρη να είναι συναρτήσεις των α και β
Τρόπος εργασίας
Θα απαιτούμε να ε ίνα ι ίσα τα πραγματ ικά και αντ ίθετα τα φανταστ ικά
μέρη των δύο μιγαδ ικών και θα καταλήγουμε σε ένα σύστημα με
αγνώστους τα α και β .
Παράδειγμα
Να βρεθούν τα x , y R γ ια τα οπο ία ο ι μ ιγαδ ικο ί : z 1 = (x 2 - xy ) + (y - 6 ) i , z 2 = (4 + xy - y 2 ) + x i
ε ίνα ι συζυγε ίς .
Π 1.2 Όταν μας ζητούν να εκφράσουμε έναν μιγαδικό w με
πραγματικό και φανταστικό μέρος συναρτήσεις του α και βR
, ως συνάρτηση του z = α + β i και του συζυγή του
Τρόπος εργασίας
Θα χρησιμοποιούμε τους τύπους α = z + z
2 και β =
z - z2i
.
Π 1.3 Για να δείξουμε ότι ο z είναι πραγματικός
Τρόπος εργασίας
τον γράφουμε στη μορφή z = α + β i και αποδε ικνύουμε ότ ι :
β = 0 ή ό τ ι : z = z δηλαδή Im(z ) = 0 ή z = z .
Π 1.4 Για να δείξουμε ότι ο z είναι φανταστικός
Τρόπος εργασίας
τον γράφουμε στη μορφή z = α + β i και αποδε ικνύουμε ότ ι :
α = 0 ή ό τ ι : z = - z δηλαδή Re(z ) = 0 ή z = - z .
Παραδείγματα
α . Άσκηση Β8 σελ ίδα 96 σχολ ικού
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
10 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
β . Αν z , w μιγαδικοί με 3 w wz z , να δείξετε ότι ο αριθμός 1
3
z wz
zw
είναι φανταστικός.
Π 1.5 Παρατήρηση
Αν z = α + β i , τότε κ z = κ α + κ β i με κR.
Άρα : Re (κz ) = κ Re(z ) και Ιm (κz ) = κ Ιm(z)
Π 1.6 ΘΥΜΑΜΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ
Αριθμητική Πρόοδος
Γεωμετρική Πρόοδος
Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. αν+1 = αν + ω ή αν+1 - αν = ω
Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό.
αν+1 = αν λ ή 1
αν = α1 + (ν – 1)ω
αν = α1 λν-1
α , β , γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν
2
α , β , γ ≠ 0 διαδοχικοί όροι γεωμετρικής
προόδου αν και μόνο αν
2
1 1S 2 1
2 2
1
1S , λ 1
1
Παραδείγματα
α. Εφαρμογή 1 σελίδα 93 σχολικού
β. Αν 1 + z + z2 + … + z2 0 0 9 = 0 με z ≠1 και zC , να δείξετε ότι: z2 0 1 0 = 1.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
11 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Π 1.7 Προσοχή!
Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών μπορεί να αληθεύει μια ισότητα
της μορφής u 2 + v 2 = 0 και όταν u 0 και v 0 .
Π.χ αν u = 1≠0 και v = i≠0 , τότε u 2 + v 2 = 1 2 + i 2 = 1 – 1 = 0 .
Π 1.8 Αντισυζυγής
Αν z = α + β i , α , β R τό τε ως αντ ισυζυγής του z ορί ζε τα ι ο μ ιγαδ ικός:
w = β – α i (ή w = -β + α i ) .
Παρατηρούμε ό τ ι : β – α i = - i (α + β i )
α + β i = i (β – α i )
-β + α i = i (α + β i )
4 2 4 2
4 2 4 2
4 2 4 24 2
4 2 4 2
Επίσης: i i
i i i
i i i
i i 0
Οι δ ιανυσματ ικές ακτ ίνες των z=α+β i και w=β -α i (δηλαδή του z και του
αντ ισυζυγή του) ε ίνα ι κάθετες .
Παραδείγματα
α. Να δε ίξ ετε ότ ι : (3- i ) 2 0 1 0 + (1+3i ) 2 0 1 0 = 0 .
Πράγματ ι : (3- i ) 2 0 1 0 + (1+3i ) 2 0 1 0 =
(3 - i ) 2 0 1 0 + [ i (3- i ) ] 2 0 1 0 =
(3 - i ) 2 0 1 0 + i 2 0 1 0 (3- i ) 2 0 1 0 =
(3 - i ) 2 0 1 0 + i 2 (3- i ) 2 0 1 0 =
(3 - i ) 2 0 1 0 - (3- i ) 2 0 1 0 = 0 .
β. Άσκηση Β7 σελ ίδα 96 σχολ ικού .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
12 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Π 1.9 Δυνάμεις του 1± i , α±α i , α±α 3 i , α 3 ± α i
Παρατηρούμε ότ ι :
2
2
2 22 2
2 22 2
3 33 3
3 33 3
1 i 2i
1 i 2i
i 1 i 2 i
i 1 i 2 i
3 i 3 i 8 i
3 i 1 3 i 8
Εκφράζουμε τ ι ς δυνάμε ις των: 1± i , α± α i , α± α 3 i , α 3 ±α i με τη βοήθεια
των παραπάνω.
Παράδειγμα
10
20 2 10 10 10 10 101 i 1 i 2i 2 i 2 ( 1) 2
Π 1.10 Για την επίλυση εξισώσεων στο σύνολο των μιγαδικών
αριθμών
α. Αν η εξ ίσωση περιέχε ι μόνο τον μιγαδ ικό z και ε ίνα ι δευτεροβάθμια με
πραγματ ικούς συντελεστές , χρησιμοποιούμε τους τύπους της
δευτεροβάθμιας , ενώ αν ε ίνα ι μεγαλυτέρου βαθμού κάνουμε
παραγοντοπο ίηση.
β. Αν η εξ ίσωση περιέχε ι τους z , z ή δυνάμεις του z (π .χ . 2 3z , z ) ,
τό τε θέτουμε z = x + y i και βρίσκουμε τα x , y .
Παραδείγματα
α. Άσκηση Α13 σελ ίδα 96 σχολ ικού.
β. Άσκηση Β5 σελ ίδα 96 σχολ ικού.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
13 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Π 1.11 Προσοχή!
α. Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών το άθροισμα δύο τετραγώνων
μπορεί να γραφτεί ως διαφορά τετραγώνων:
Όταν δ ίνετα ι η σχέση 2 21 2z z 0 , τότε μπορούμε να τη γράψουμε ως εξής :
2 2 2 21 2 1 2
2 2 2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 2
z z 0 z z
z i z z i z 0
(z iz )(z iz ) 0
1 2 1 2
1 2 1 2
z iz 0 ή z iz 0
z iz ή z iz
Άρα στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών το άθροισμα τετραγώνων
μπορούμε να το μετατρέψουμε σε διαφορά τεραγώνων ! 2 2
1 2z z =
1 2 1 2(z iz )(z iz )
β. Δεν ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς.
Επομένως αν μου δοθεί η ανισότητα : z2 – 3z +2 > 0
σημαίνει ότι: z2 – 3z +2 R.
Π 1.12 Γεωμετρικοί τόποι
Σε ασκήσεις που μας ζητούν να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των
εικόνων ενός μιγαδικού αριθμού z ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση ή
συνδέεται με μια σχέση με ένα άλλο μιγαδικό w.
Τρόπος εργασίας
Θέτουμε στη σχέση μας όπου z = x+yi το μιγαδικό του οποίου το
γεωμετρικό τόπο των εικόνων θέλουμε να βρούμε και w= κ+λ i το μιγαδικό
για τον οποίο συνήθως γνωρίζουμε σε ποια γραμμή ανήκουν οι εικόνες του,
άρα γνωρίζουμε μια σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ.
Στόχος μας είναι να εκφράσουμε τα κ , λ συναρτήσει των x και y και να τα
αντικαταστήσουμε στη σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ.
Παραδείγματα
α. Εφαρμογή 2 σελίδα 93 σχολικού βιβλίου .
β. Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν z z 4 και w=2z+ z , τότε να
βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
14 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 1.1 Ισότητα μιγαδικών – Re(z ) – Im(z )
1.
Να βρεθούν ο ι πραγματ ικο ί αριθμο ί α , β γ ια τους οποίους ισχύε ι :
α) α + β i = (2 + i ) (3 - i ) (2 - i )
β) α + β i = (5 + i ) 2
γ) α 2 + 3β i = (6 - αβ) + (7 - 2α) i
δ) α + β i = (2 - i ) 3
ε) α + β i = (4 - 3 i ) i
στ) α + β i = (1 - i ) 2 (2 + 3 i )
2.
Να βρεθε ί το πραγματ ικό και το φανταστ ικό μέρος των μ ιγαδ ικών:
α) z 1 = 4 + 2i
3 - i
β) z 2 = 2 3
3 + i 2 i
γ) z 3 = 1 1
x + yi x - yi
δ) z 4 = 12 + 8i 52 + 13i
2 - 3i 13i
3.
Nα βρε ί τε τους x ,y R , γ ια τους οπο ίους ισχύε ι :
α ) (2 – 3 i ) 2 – i (x – 2y i ) = x + y i
β ) (1-2i ) (x - y i ) = (1 – i ) 2-x i
γ )
22 3i 1
2 3i3 2i x yi
4. Να βρεθε ί ο x 0,
2
γ ια τον οπο ίο ε ίνα ι
2( x i x) 1 3i
2 i 5
.
5.
Να βρεθούν τα x ,y R ώστε ο ι μ ιγαδ ικο ί z 1 = x + 2y – i και
z 2 = 11 – (4x –y) i να ε ίνα ι συζυγε ίς .
6.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί :
z 1 = (2x –y ) +(1+i ) (x-y ) και z 2 = x + (2 + 3 i ) 2y + 38.
Να βρε ί τε τους πραγματ ικούς αριθμούς x ,y γ ια τους οπο ίους ισχύε ι η σχέση
1 2z z .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
15 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 1.2 Συζυγείς μιγαδικοί – Πράξεις
7.
Στ ις παρακάτω περιπτώσε ις να εκτελέσετε τ ις πράξε ις που
σημειώνονται και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή α + β i .
A = (1+ i ) 3 +
2
1 2i
1 i
,
B = (1 + i ) (3-2i ) 2 + (1- i ) (2-3i ) 2 ,
Γ = 3 3
2 2
( i) ( i)
( i) ( i)
8.
Να βρεθούν ο ι αντ ίστροφοι των μ ιγαδ ικών και να γραφτούν στη
μορφή z = α + β i
α) z = i
β) z = - 5 i
γ) z = 5 – i
δ) z =1 i
3 i
9.
Να βρεθε ί στη μορφή α + β i , ο συζυγής του μ ιγαδ ικού z όταν :
α) z = 6
β) z = 2i
γ) z = - i
δ) z = 1
i
ε) z = -3 + 4 i
στ) z = i (2 - 3 i )
ζ ) z = 3i
1+i
η) z =1 3i 1
1 i i
10.
Να βρεθούν τα x , y R γ ια τα οπο ία ο ι μ ιγαδ ικο ί :
α) z 1= (x 2 - xy ) + (y - 6 ) i , z 2 = (4 + xy - y 2 ) + x i
β) z 3 = x 2 + (y+3) i , z 4 = xy - 2 ( i + x ) i ε ίνα ι συζυγε ίς .
11.
α) Να αποδε ίξε τε ότ ι ο αριθμός α + βi
, α , β , γ, δ Rγ + δi
και γ + δ 0 ε ίναι
πραγματ ικός αριθμός αν και μόνο αν α β
= 0 .γ δ
β) Αν 4 2x + i(x-1)
z = x + 1 + i(x-1)
, να προσδ ιορίσετε τον xR , ώστε Im(z )=0.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
16 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 1.3 Γεωμετρική παράσταση μιγαδικού
12.
Να δε ίξ ετε ότ ι γ ια τους μ ιγαδ ικούς z 1 , z 2 ισχύουν: α. 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z 2Re z z 2Re z z .
β. 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z 2Im z z i 2Im z z i .
13. Αν z = x + y i και w = (x 2 - y 2 + 2x) + (2xy + 2y ) i με x , yR να
εκφραστε ί ο w συναρτήσε ι του z .
14.
Να παραστήσετε στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο τους μ ιγαδ ικούς :
α) z 1 = 3 - i , z 2 = - 4 + 3 i , z 1 + z 2 , z 1 - z 2 .
β ) z με Re (z ) = - 1 .
γ ) z με Im(z ) = 3 .
δ ) z με Re ( z ) < Im(z ) .
ε ) z με - 1 Re(z ) 1 .
στ ) z = x + 2i , x R .
ζ ) z = - 2 + (y+4) i , y R .
η ) z = 1 + i ημθ , θ [0 ,2π ) .
θ) z = (x 2 + 1 ) + i , x R .
15.
Έστω Α , Β , Γ , Δ ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 , z 3 , z 4
αντ ίστο ιχα.
α) Να αποδε ίξε τε ότ ι το τ ετράπλευρο ΑΒΓΔ ε ίνα ι παραλληλόγραμμο
αν και μόνο αν z 1 - z 2 = z 4 - z 3 .
β) Αν ο ι κορυφές Α , Β , Γ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ ε ίναι
ε ικόνες των z 1 = 1 + i , z 2 = 2 + 3 i , z 3 = - 1 + 4 i , να βρε ίτε το
μ ιγαδ ικό z 4 του οπο ίου η ε ικόνα ε ίναι η κορυφή Δ.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
17 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 1.4 Δυνάμεις του i και δυνάμεις του 1+ i και του 1 - i
Δυνάμεις του z
16.
Να υπολογιστούν ο ι τ ιμές των παραστάσεων :
Α = i 1 9 9 6 + i 1 9 9 7 + i 1 9 9 8 + i 2 0 0 0 + i 2 0 0 4 + i 2 0 0 7
B = 1 + i + i 2 + i 3 + . . . . . . + i ν , νΝ * .
Γ = i κ + i κ + 1 + i κ + 2 + i κ + 3 , κZ .
17.
Για τ ις δ ιάφορες τ ιμές του θετ ικού ακέραιου ν να υπολογιστε ί το
άθρο ισμα S = 1 – i + i 2 – i 3 +…+( -1) ν i ν .
18. Να δε ίξ ετε ότ ι αν ο 4 δεν δ ια ιρε ί τον φυσικό αριθμό ν , τό τε :
A = (1 + i 2 ν ) (1+ i ν ) = 0 .
19. Να υπολογίσετε την τ ιμή της παράστασης Α = 2 2
1 i 1 i
1 i 1 i
.
20. Έστω ο μ ιγαδ ικός f ( ν ) = i ν , νΝ.
Να υπολογίσετε τους μ ιγαδ ικούς f (55 ) , f ( -25) , f (3ν) .
21.
Έστω zC και f ( z ) = z 3 ν , νΝ*.
α) Για ν = 4 να υπολογίσετε την παράσταση f (1+i ) + f (1- i ) .
β) Να βρε ίτε το ν ώστε : f (2+3i ) + f (3-2i ) = 0 .
22.
Αν z = 1+i , να δε ίξ ετε ό τ ι : 31 15z 2 z .
23.
Να δε ίξ ετε ότ ι : 1 2 3
1 2 3
1 1 1 1i i i i
i i i i
.
24.
Να αποδε ίξε τε ό τ ι : 2004 2004 2005 2005
1 i 1 i 1 i 1 i .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
18 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 1.5 Αντισυζυγείς
25.
Έστω z 0 με 1
z 1z
.
α) Να βρεθε ί ο z 3 και ο z 6 .
β) Να δε ίξ ετε ότ ι : z 6 ν + 7 + 6 1
1
z = 1 .
26.
Να υπολογίσετε τ ις δυνάμεις :
α) 2012
3 3i
β) 1821
1 3 i
γ) 1453
3 i
δ) 7 7
1 3i 1 3i
27. Να βρε ί τε την τ ιμή της παράστασης :
1940
1939
7 2i
2 7i
.
28. Να βρε ί τε την τ ιμή της παράστασης :
(2 + 3 i ) 2 0 1 4 + (3 – 2 i ) 2 0 1 4 .
29. Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z 1 = α + β i , z 2 = - β + α i με α 2 + β2 0.
Να βρεθούν τα ν Ν * γ ια τα οπο ία έχουμε z 1ν + z 2
ν = 0 .
30.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z 1 και z 2 .
Αν Re(z 1 ) = - Im(z 2 ) και Im(z 1 ) = Re( z 2 ) να αποδε ίξετε ό τ ι : z 14 ν + 2 +
z 24 ν + 2 = 0 , ν Ν *
31. Να δε ίξ ετε ότ ι : 2010 2010
1994 2012i 2012 1994i 0 .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
19 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 1.6 Βρες τον w ώστε: w 2 = z
Α 1.7 Εξισώσεις
32.
Να βρεθε ί ο wC ώστε w 2 = z , όπου :
α) z = 3 - 4 i
β) z = - 4
γ) z = 4i
δ) z = 5 - 12 i
ε) z = -1 + 2 2 i
33. Αν z 1 , z 2 C ώστε w 2 = z , wC με w 0, να δε ίξ ετε ό τ ι :
z 1 + z 2 = 0 και z 1 z 2 = - w .
34.
Αν z 1 , z 2 C ώστε w 2 = z με w = 3 - i να βρεθε ί το πραγματ ικό και
το φανταστ ικό μέρος του μ ιγαδ ικού: 1 2
1 2
2 1
z zz = (3 - i) z z
z z .
35.
Nα λυθούν ο ι εξ ισώσε ις :
α) z 2 = -8 + 6 i
β) z 2 = 5 – 12 i .
36.
Nα λυθούν στο C οι ε ξ ισώσε ις :
α) 2z 2z 1 0
β) 5(z z) zz 61 50i
37. Αν z 2 + z + 1 = 0 , να βρεθε ί ο μ ιγαδ ικός z 2 0 0 1 + 2001
1z
38. Aν η μ ία ρ ί ζα της εξ ίσωσης 3x 2 + βx + γ = 0 , β ,γR , ε ίνα ι 2 – 3 i ,
να βρε ίτε τ ις τ ιμές των β ,γ .
39.
Έστω η συνάρτηση f ( z ) = z 2 -2z + 3 , zC.
α) Να λύσετε την εξ ίσωση f ( z ) = 0 .
β) Αν ο μ ιγαδ ικός 1 + i 3 ε ίνα ι ρ ί ζα της εξ ίσωσης f ( z ) = κz + λ ,
κ , λR , να βρε ίτε τα κ , λ .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
20 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 1.8 Δείχνω ότι : zR Δείχνω ότι: z :φανταστικός
40.
Να βρε ί τε το μ ιγαδικό z , ό ταν 5 + z + i (1 + 2z) = 0 .
Στη συνέχε ια να λύσετε την εξ ίσωση (5+x ) 2 + (1+2x) 2 = 0 :
α) στο R
β) στο C .
41.
Να λύσετε τ ις εξ ισώσε ις :
α) z + 2 z = - 3 + 4 i
β) 2 2z + z + z - z = 2 i
42.
α) Αν z = (2 – 3 i ) ν + (2 + 3 i ) ν , νΝ* , να δε ίξ ετε ό τ ι zR.
β) Αν z = 123 123
5 i 2 5 i 2 , να δε ίξε τε ότ ι o z ε ίνα ι φανταστ ικός .
43. Δείξτε ότ ι ο αριθμός w = (2 +3i ) 2 0 0 4 + (3 +2i ) 2 0 0 4 ε ίναι πραγματ ικός .
44. Αν z ε ίνα ι τυχαίος μ ιγαδ ικός αριθμός ,να δε ίξ ετε ότ ι ο αριθμός :
2 2w = 2zz - z - z - 6 ε ίνα ι πραγματ ικός .
45.
Αν z ε ίνα ι ένας μ ιγαδ ικός αριθμός με τ ις ιδ ιότητες :
( z - i ) ( z + i ) = 1 και z 1 + i , να δε ίξε τε ότ ι ο αριθμός z + (1 - i)
w = (1 i) z
ε ίνα ι φανταστ ικός .
46.
Έστω ο μ ιγαδ ικός z = α + β i με α ,βR και α + β 0.
Να αποδε ίξε τε ό τ ι ο ι αριθμο ί w 1 =z iz
z iz
και w 2 =
iz z
2z 2iz
ε ίνα ι
φανταστ ικο ί .
47.
Έστω ο μ ιγαδ ικός z = α + β i με α ,βR και β 3.
Να αποδε ίξε τε ό τ ι : z 3i
w ί ό z ί όiz 3
.
48.
Αν z 1 , z 2 C , να αποδε ίξετε ότ ι :
α) ο 1 2 1 2z z z z ε ίνα ι πραγματικός .
β) ο 3 3
1 2 1 2(z + z ) - (z + z ) ε ίνα ι φανταστ ικός .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
21 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 1.9 Γεωμετρικοί τόποι
49.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z ,w με w = z i
1 i
.
Aν η ε ικόνα του w 2 κινε ί τα ι στον άξονα των τετμημένων να αποδε ιχθε ί
ότ ι η ε ικόνα του z κινε ίτα ι σε δύο κάθετες ευθε ίες .
50.
Να βρεθεί η μορφή των μη μηδεν ικών μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 όταν
γνωρί ζουμε ότ ι :
z 1 - z 2R και 1
2
z
zR.
51.
Έστω Μ 1 , Μ 2 , Μ 3 ο ι ε ικόνες στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο των μ ιγαδ ικών z 1
, z 2 , z 3 αντ ίστο ιχα .
Να αποδε ίξετε ό τ ι τα Μ 1 , Μ 2 , Μ 3 ε ίνα ι συνευθε ιακά αν και μόνο αν ο αριθμός 1 2 2 3 3 1z z + z z + z z ε ίνα ι πραγματ ικός .
52.
Nα βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των z γ ια τους οπο ίους
ισχύε ι :
α) z z 3
β) z z 2i
γ) 2 2z z 0
δ) 3 3z z 0
ε) 3 3z z
53. Αν zC και w =
2z 1
iz 1
, να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του z
γ ια τους οπο ίους ισχύε ι : wR.
54.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z , u = αz + β , w = βz + α , α , β R .
Αν α + β = 1 , να αποδε ίξετε ότ ι ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z , u και
w βρίσκονται στην ίδ ια ευθε ία .
55. Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των σημείων Μ που ε ίνα ι ε ικόνες των
μ ιγαδ ικών z , ό ταν Re(1 + z 2 ) = 0 .
56.
Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των z γ ια τους οπο ίους
ισχύε ι :
α) z = 2λ + (3λ – 1 ) i , λR
β) z = ημθ + συνθ i , θR
γ) z = (ημθ – 1) + (συνθ + 2) i , θR
δ) z = 3ημθ + 2συνθ i , θR
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
22 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
57.
Έστω ο ι μ ιγαδ ικο ί z , z 1 = ( λ – i ) z + 3λRe(z ) και z 2 = 22(1 )
1 i
, λR*.
Nα δε ίξ ετε ό τ ι αν το λ μεταβάλλετα ι στο R* και ισχύε ι z 1 = 2z , τό τε η
ε ικόνα Μ του z στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο κινε ίτα ι σε μ ια έλλε ιψη.
58. Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων του z στο μ ιγαδ ικό
επ ίπεδο αν ο αριθμός w = z 2i
z 1
ε ίνα ι πραγματ ικός .
59.
Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων του z στο μ ιγαδ ικό
επ ίπεδο γ ια τους οπο ίους ισχύε ι Imz 2 z 2
Rez 6 z 6
.
60. Αν
z 1Re 1
z i
δε ίξτε ότ ι ο ι ε ικόνες των z ανήκουν σε ευθε ία .
61.
Έστω Μ η ε ικόνα στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο του z = x + y i .
Αν w = z
z 2 , να βρεί τε το γεωμετρ ικό τόπο του Μ ,όταν :
α) ο w ε ίνα ι φανταστ ικός .
β) ο w ε ίνα ι πραγματ ικός .
62.
Έστω Μ η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού z = 1 + συνθ + i (3+ημθ) ,θ R .
Να αποδε ίξετε ό τ ι το σημείο Μ ανήκει σε κύκλο του οπο ίου να βρε ί τε
το κέντρο και την ακτ ίνα .
63.
Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των σημείων Ρ( x ,y ) του μ ιγαδ ικού
επ ιπέδου γ ια τα οπο ία ισχύε ι η σχέση x - 4λ 2 + ( y - 4λ) i = 0 γ ια
κάθε λ R .
64.
Θεωρούμε το μ ιγαδ ικό z = x + y i και έστω :
3x (1- i ) -λy (1- i ) = y -2λ γ ια κάθε λ R . Να δε ίξ ετε ό τ ι καθώς το λ
μεταβάλλετα ι στο R η ε ικόνα Ρ( z ) του μ ιγαδ ικού z = x + y i κινε ίτα ι
στο μ ιγαδικό επ ίπεδο σε παραβολή της οπο ίας να βρεθε ί η εσ τ ία και
η δ ιευθετούσα.
65.
Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z , w με w = z - zi
z - 4 .
Έστω Ρ (z ) η ε ικόνα του z στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο .
Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των σημείων Ρ αν γνωρίζουμε ότ ι ο
αριθμός w ε ίνα ι φανταστ ικός και ότ ι Re(z ) 0 .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
23 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
66.
Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z , w και w 1 τ έ το ιους, ώστε :
w = z - z i και w 1 = 1
α + α i , αR * .
Να δε ίξ ετε ότ ι , αν το α μεταβάλλετα ι στο R * και ισχύε ι w = 1w , τότε
η ε ικόνα Ρ του z στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο , κινε ίτα ι σε μ ια υπερβολή .
Θέμα 1 η ς Δέσμης 1994
67.
Αν z C και z 1 = z + 3 , z 2 = z + 1 - 2 i , να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός
τόπος των ε ικόνων του z πάνω στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ό ταν ο μ ιγαδ ικός
z 1 z 2 ε ίνα ι φανταστ ικός αριθμός.
68.
Αν ο μ ιγαδ ικός z ικανοποιε ί τη σχέση zz 2z 4z 2i Im(z) να δε ί ξε τε
ότ ι η ε ικόνα Ρ του z στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ανήκει σε κύκλο του
οπο ίου να βρεθε ί το κέντρο και η ακτίνα .
69.
Δίνετα ι η συνάρτηση f ( z ) = z 2 + z , zC .
Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο του σημείου Μ που ε ίναι ε ικόνα του z ,
όταν:
α) f ( z ) = f ( z ) .
β) f ( z ) = f ( - z ) .
70.
Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z , w . Αν w = ( z + i ) z , να βρεθε ί στο
μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των ε ικόνων του z , ό ταν η
ε ικόνα του w πάνω στο μ ιγαδικό επ ίπεδο κ ινε ίτα ι στην ευθε ία x = 34
.
71.
Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z , w . Αν w = z + i
z να βρεθε ί στο μ ιγαδ ικό
επ ίπεδο ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων του z , ό ταν η ε ικόνα του
w πάνω στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο κ ινε ί ται στην ευθε ία y = 1
2 .
72. Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z = x + y i και w =
z 2i
z 2
.
Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των σημείων Μ( x ,y ) όταν wR .
73.
Έστω z C - { - 1} . Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο του σημείου Μ που
ε ίνα ι η ε ικόνα του z , όταν ο αριθμός 3z + i
z + 1 ε ίνα ι φανταστ ικός .
74.
Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων του z πάνω στο μ ιγαδ ικό
επ ίπεδο όταν :
α) 4
Im(z - 1 + ) = 0 .z
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
24 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
β) z - 2
Re = 0 .z
γ) 1
Re z - = 0 .z
δ) z + 3i
Re = 0 .z + 4 - i
75.
Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z , w .
Αν w =2z
z 1 , να βρεθε ί στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των
ε ικόνων του z , όταν η ε ικόνα του w κινε ίτα ι πάνω στον άξονα x΄x και
ο z δεν ε ίνα ι πραγματ ικός .
76.
Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z , γ ια τον οπο ίο ισχύε ι : 2 2
2 2
(z + z) (z - z) + = 1
(w + w) (w - w), όπου w σταθερός μη μηδεν ικός μ ιγαδ ικός
αριθμός.
Να αποδε ίξετε ό τ ι ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων του z ε ίνα ι
έλλε ιψη της οπο ίας να προσδ ιορίσετε τ ις εστ ίες και την κορυφή .
77.
Δίνετα ι η συνάρτηση f ( z ) = .(z - 1) (z + 1)
, z C και Re(z) 0 z + z
α) Να δε ίξ ετε ότ ι : f ( - 1
z) = f ( z ) .
β) Να βρε ί τε το ε ίδος της καμπύλης , στην οπο ία ανήκουν τα σημεία
Μ(x ,y ) γ ια τα οποία ο αριθμός z = αx + βyi ικανοποιε ί τη σχέση:
Re [ f ( z ) ] = 0 , α , β , x , y R .
Θέμα 1 η ς Δέσμης 1993
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
25 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Θ 2.1 Τι ονομάζουμε μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού ;
Απάντηση
Μέτρο ενός μ ιγαδικού αριθμού z του οπο ίου η ε ικόνα στο μ ιγαδ ικό
επ ίπεδο ε ίνα ι το σημείο Μ , λέγεται η απόσταση (ΟΜ) και συμβολ ί ζε ται
με z . ( σχ.4)
Άρα αν z = α + β i , τότε 2 2z = OM = α + β
Θ 2.2 Να αποδείξετε ότι αν z1 , z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί,τότε:
α) z = z = z β) 2
z = z z γ) 1 2 1 2z z = z z
δ) 1 1
= z z
ε) 11
2
2 2
zz = , z 0
z z
Απόδειξη
Αν z = α + β i , τότε z = α - β i . Άρα :
α) 2 2 2 2z = α - β i = α + (-β) = α + β = z
2 2 2 2- z = - α - β i = (- α) + (- β) = α + β = z
β) 22 2zz = (α + β i) (α - β i) = α + β = z
γ) 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 22z z = z z z z = z z (z z )(z z ) = z z z z
1 2 1 2 1 1 2 2z z z z = z z z z , που ισχύε ι .
δ) 1 1 1 1
= z = 1 z = 1 1 = 1z z z z
, που ισχύε ι .
ε)
2 2
1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
z zz z z z z z z z z z = = =
z z z z z z z z z z zz
, που ισχύε ι .
Παρατήρηση
Αποδεικνύετα ι ότ ι :
1 2 ν 1 2 νz z z = z z z , ν 2 .
O x
z
y
Μ ( z )
Σ χ . 4
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
26 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Θ 2.3 ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
Αν z 1 , z 2 ε ίνα ι δύο μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί , τό τε γ ια τα μέτρα τους ισχύε ι η
γνωστή από τη Γεωμετρία τρ ιγωνική αν ισότητα , δηλαδή:
1 2 1 2 1 2z - z z + z z + z ( σχ.5)
Επίσης ισχύε ι το εξής :
1 2 1 2 1 2z - z z - z z + z (δες και παρακάτω στο μέτρο δ ιαφοράς δύο
μ ιγαδ ικών)
Θ 2.4 Μέτρο διαφοράς δύο μιγαδικών
Αν z 1 , z 2 ε ίνα ι δύο μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί και Μ 1 , Μ 2 ο ι ε ικόνες τους στο
μ ιγαδ ικό επ ίπεδο αντ ίστο ιχα , τότε :
1 2 1 2z - z = M M ( σχ.6)
Για το μέτρο της δ ιαφοράς δύο μ ιγαδ ικών ισχύε ι επ ίσης:
1 2 1 2z z z z . Άρα: 1 2 1 2 1 2z ( z ) z ( z ) z ( z ) .
Συνεπώς: 1 2 1 2 1 2z - z z - z z + z
Θα κάνε ις πάντα την παραπάνω απόδε ιξη γ ια να το χρησιμοποιήσε ις
x O
(σχ.5)
y
M1(z1)
M(z1+z2)
M2(z2)
M2΄(-z2)
(σχ.6)
x
y M2(z2)
M1(z1)
M(z1 - z2)
O
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
27 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Θ 2.5 Η ΕΞΙΣΩΣΗ : 0
z - z = ρ , ρ > 0
Αν δοθε ί ένας μ ιγαδ ικός αριθμός z 0 = x 0 + y 0 i του οπο ίου η ε ικόνα στο
μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ε ίνα ι Ρ και ρ ε ίνα ι ένας θετ ικός πραγματ ικός αριθμός ,
τό τε :
η εξίσωση 0
z - z = ρ , ρ > 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο
Κ(x 0 ,y 0 ) και ακτίνα ρ . ( σχ.7)
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
ΣΧΕΣΗ ΠΑΡΙΣΤΑΝΕΙ
0 z - z = ρ , ρ > 0 Κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(x 0 ,y 0 ) και ακτ ίνα ρ
0 z - z ρ , ρ > 0 Κυκλικό δ ίσκο με κέντρο το σημείο Κ( x 0 ,y 0 ) και
ακτ ίνα ρ
0 z - z < ρ , ρ > 0 Τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο
Κ(x 0 ,y 0 ) και ακτ ίνα ρ
0 z - z > ρ , ρ > 0 Τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο
Κ(x 0 ,y 0 ) και ακτ ίνα ρ
0 z - z ρ , ρ > 0 Τα σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x 0 ,y 0 )
και ακτ ίνα ρ και τα σημεία που βρίσκονται εξωτερ ικά
αυτού του κύκλου
Κ(z0)
x
y
ρ
O
(σχ.7)
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
28 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Θ 2.6 Η ΕΞΙΣΩΣΗ : 1 2
z-z = z-z
Παριστάνε ι τη μεσοκάθετο του τμήματος Μ 1Μ 2 όπου Μ 1 , Μ 2 ε ίνα ι ο ι
ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 αντ ίστο ιχα. (σχ.8)
Θ 2.7 Η ΕΞΙΣΩΣΗ : 1 2
z - z + z - z = 2α , α > 0
Παριστάνε ι έλλειψη με εστίες Μ 1 , Μ 2 όπου Μ 1 , Μ 2 ε ίνα ι ο ι ε ικόνες
των z 1 , z 2 αντ ίστο ιχα και εστιακή απόσταση: 2γ = 1 2 1 2M M = z - z
< 2α .
Θ 2.8 Η ΕΞΙΣΩΣΗ : 1 2z - z - z - z = 2α , α > 0
Παριστάνε ι υπερβολή με εστίες Μ 1 , Μ 2 όπου Μ 1 , Μ 2 ε ίνα ι ο ι ε ικόνες
των z 1 , z 2 αντ ίστο ιχα και εστιακή απόσταση:2γ = 1 2 1 2M M = z - z
> 2α .
Ο
Μ1
Μ2
σχ.8
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
29 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Π 2.1 Βασικές παρατηρήσεις
α) Αν z 1 = z 2 τότε 1 2
z = z Δεν ισχύει το αντίστροφο .
β) z = 0 z = 0
γ) 2 2z = z z R
2 2z = - z z Ι (Να χρησιμοποιούνται με απόδειξη )
δ) 1
z = 1 z = , z 0z
Π 2.2 Ασκήσεις όπου μας ζητούν να αποδείξουμε ότι :
1 2 1 2z z ή z z , κ,λR με κ,λ>0
α) Θα το αποδε ικνύουμε γεωμετρικά με τη μέγ ιστη και ελάχιστη τ ιμή
μέτρου μ ιγαδ ικού ή με τη μέγ ιστη και ελάχιστη τ ιμή μέτρου δ ιαφοράς
μ ιγαδ ικών (δες παρακάτω Π 2.4 , Π 2 .5 , Π 2 .9)
β) Χρήσιμη ε ίνα ι και η τρ ιγωνική ανισότητα.
Να παρατηρήσετε ότ ι : αν στην τρ ιγωνική αν ισότητα θέσετε όπου z 2 το - z 2
θα πάρετε : 1 2 1 2 1 2z - z z - z z + z , αφού 2 2z = - z .
Παραδείγματα
α) Εφαρμογή 2 σελ .99 σχολ ικού βιβλ ίου
β) ασκήσεις Α7 σελ .101, Β8 σελ .102 και Γ3 σελ .123 σχολ ικού βιβλ ίου
Π 2.3 Ασκήσεις όπου μας ζητούν να δείξουμε μια ισότητα ή
ανισότητα μεταξύ των μέτρων κάποιων παραστάσεων με
μιγαδικούς.
► Συνήθως τε τραγωνί ζουμε και τα δύο μέλη της ισότητας ή της
αν ισότητας , θα χρησιμοποιούμε την ιδ ιότητα 2
z = z z και με ισοδυναμίες
καταλήγουμε σε κάτ ι που ισχύε ι .
► Για την απόδειξη αν ισοτ ικής σχέσης μεταξύ των μέτρων μ ιγαδ ικών
χρήσιμη ε ίνα ι και η τρ ιγωνική αν ισότητα.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
30 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Π 2.4 Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού που η εικόνα
του κινείται σε κύκλο
Αν για τον μιγαδικό z ισχύει:
0z z δηλαδή η εικόνα του κινείται σε κύκλο
και μας ζητούν να βρούμε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z , τότε:
max z = (ΟΑ) = (KO) + ρ
min z = (ΟΒ) = (KO) – ρ , όπου Κ η εικόνα του z0 και
ρ η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το Κ .
► Αν επ ιπλέον θέλουμε να βρούμε και τους μ ιγαδ ικούς με το μέγ ιστο και
ελάχιστο μέτρο , θα λύνουμε το σύστημα της εξ ίσωσης της ευθε ίας ΟΚ και
της εξ ίσωσης του κύκλου.
Π 2.5 Ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού που η εικόνα του κινείται
σε ευθεία
Όταν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε ευθεία (ε), τότε έχει μόνο ελάχιστο μέτρο . Για να βρούμε το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο, φέρνουμε κάθετη από την αρχή των αξόνων στην ευθεία (ε)
► Αν επ ιπλέον θέλουμε να βρούμε και το μ ιγαδ ικό με το ελάχιστο μέτρο , θα λύνουμε το σύστημα της εξ ίσωσης της ε και της ευθε ίας που ε ίνα ι κάθετη στην ε και δ ιέρχετα ι από το Ο.
Ο
Κ
Α
Β
Μ
Ο
ε
ΟΜ = min z = d(O , ε)
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
31 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Π 2.7 Θυμάμαι:
Εξίσωση κύκλου
Κέντρο κύκλου Εξίσωση κύκλου
O(0 , 0) C: x2 + y2 = ρ2
Κ(x0 , y0) C: (x – x0)2 + (y – y0)2 = ρ2
Α ΒΚ - , -
2 2
C: x2 + y2 + Ax + By + Γ= 0 με Α2 + Β2 – 4Γ > 0
Ακτίνα : 2 2Α + Β - 4Γ
ρ =2
Π 2.6 Θυμάμαι:
Απόσταση σημείου από ευθεία
Αν Μ 1 (x1 ,y1 ) και ε:Αx+By+Γ = 0 τότε : 1 1
12 2
Αx + By + Γd(M ,ε) =
Α + Β
Π 2.8 Μιγαδικοί και διάταξη
ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς. Επομένως αν μου δοθεί η ανισότητα: z2 – 3z +2 > 0
σημαίνει ότι z2 – 3z +2 R
Δηλαδή: 2 2z 3z 2 z 3z 2
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
32 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Π 2.9 Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς μιγαδικών.
Αν Μ , Ν ε ίνα ι ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z , w τότε :
α) Αν ο μ ιγαδ ικός z κινε ίτα ι σε
κύκλο (Κ,ρ) και ο w ε ίνα ι σταθερός, τό τε μέγ ιστη τ ιμή του z w ,
ε ίνα ι η ΝΒ=ΝΚ+ρ και ελάχιστη η ΝΑ= .
Αν ο w κινε ίτα ι και αυτός στον κύκλο (Κ ,ρ) τό τε η μέγιστη τ ιμή του z w ,
ε ίνα ι 2ρ και η ελάχιστη μηδέν .
β) Αν ο μ ιγαδ ικός z κινε ίτα ι σε
ευθε ία ε και ο w είνα ι σταθερός, τό τε ελάχιστη τ ιμή της z w , ε ίνα ι
η d( , ) (μέγ ιστη τ ιμή δεν υπάρχει ) .
γ) Αν ο ι μ ιγαδ ικο ί z , w κινούνται σε
κύκλο (Κ,ρ) , με z ≠ w , τότε : μέγιστη τ ιμή της z w , ε ίνα ι η ΜΝ=2ρ.
( ελάχιστη τ ιμή δεν υπάρχει ) .
δ) Αν ο μ ιγαδ ικός z κινε ίτα ι σε κύκλο (Κ,ρ)
και ο w σε ευθε ία ε , τό τε η ελάχιστη τ ιμή της z w , ε ίνα ι η ΝΑ= d( , )
(μέγ ιστη τ ιμή δεν υπάρχει ) .
ε) Αν ο μ ιγαδ ικός z κινε ίτα ι σε κύκλο
(Κ ,ρ) και ο w σε κύκλο (Λ ,R) , τό τε η ελάχιστη τ ιμή της z w ,
ε ίνα ι η ΚΛ -ρ -R
και η μέγ ιστη ΚΛ+ρ+R.
x
y
O
B
K N
A
ε
x
y
O
Ν
x
y
O
Κ Μ
Ν
x
y
O
ε
Κ
Κ
Λ
Ο x
y
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
33 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
στ) Αν ο ι μ ιγαδ ικοί z , w με z≠w
κινούνται σε έλλε ιψη 2 2
2 2
x y1
,
τό τε μέγ ιστη τ ιμή της z w ,
ε ίνα ι η ΑΑ΄=2 ,δηλ . ο μεγάλος άξονας
Παραδείγματα
Εφαρμογή 2 σελ .99 σχολ ικού, ασκήσεις Α7 σελ .101, Β8 σελ .102 και Γ3
σελ .123 σχολ ικού
Π 2.10 f(z,w) 0 f(z,w) 0
δηλαδή αν μ ια παράσταση με μ ιγαδ ικούς ε ίνα ι ίση με μηδέν , τότε και η συζυγής παράστασης αυτής ε ίνα ι ίση με μηδέν .
Παράδειγμα
Αν z1 + z2 = z 3 και οι εικόνες των μιγαδικών αυτών κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι: z2z3 + z1z3 = z1z2
Π 2.11 f(z,w) f(z,w)
δηλαδή μ ια παράσταση μ ιγαδ ικών και η συζυγής της έχουν ίσα μέτρα.
Παράδειγμα
Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z 3 κινούνται σε κύκλο με κέντρο το
Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι: 1 2 3 2 3 1 3 1 2
12 3 2 3
2 z z z z z z z z z
Ο x
y
Α΄ Α
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
34 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Π 2.12 Όταν έχουμε μια ισότητα μιγαδικών, σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούμε ότι και τα μέτρα των μιγαδικών είναι ίσα ( χωρίς να ισχύε ι το αντ ίστροφο)
Μετά υψώνουμε στο τε τράγωνο τα δύο μέλη και χρησιμοποιούμε την
ιδ ιότητα 2
z z z . Δηλαδή:
α) Αν z ,w C z w z w z w .
β) Αν 2 2
w w zz wwz ,w C z w z w z z
.
γ) Γεν ικά:2 2
f (z) g(z) f (z) g(z) f (z) g(z) f (z) g(z)
f (z) f (z) g(z) g(z)
Παραδείγματα
1. άσκηση Γ6 σελίδα 123 σχολικού βιβλίου
2. Αν (1 + iz ) ν = (1 – iz ) ν να δείξετε ότι zR.
Π 2.13 Σε τρίγωνο
Αν Α ,Β,Γ ε ίνα ι ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z , w , u , τότε : α) το τρίγωνο ΑΒΓ ισόπλευρο ΑΒ=ΒΓ=ΓΑ z w w u u z .
β) το τρίγωνο ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒ=ΒΓ z w w u .
γ) το τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο με 090
2 2 2
2 2 2
z w z u w u
Παράδειγμα
Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z 3 ισχύουν οι σχέσεις :
z1 + z2 + z3 = 0 και 1 2 3z = z = z = 1 , να δείξετε ότι οι εικόνες των z1 , z2
, z3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 1.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
35 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Π 2.14 Για να βρούμε το μέτρο ενός μιγαδικού z :
α) Γράφουμε τον μιγαδ ικό στη μορφή z x yi με x , y R και
χρησιμοποιούμε τον τύπο : 2 2z x y .
β) Αν ο μ ιγαδ ικός βρίσκετα ι σε μ ια παράσταση με πράξε ις μ ιγαδ ικών τότε χρησιμοποιούμε τ ις ιδ ιότητες του μέτρου.
γ) Βρίσκουμε πρώτα το 2
z κάνοντας χρήση της ιδ ιότητας:
2 22 2 2z z z z z
z z
και μετά βρίσκουμε το μέτρο του z .
δ) Αν έχουμε μ ια ισότητα μέτρων ,τότε υψώνουμε και τα δύο μέλη στο
τ ε τράγωνο , κάνουμε χρήση της ιδ ιότητας 2 2
2 2 2z z z z zz z
και μετά βρίσκουμε το μέτρο του z
Παράδειγμα
Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z 3 ισχύουν οι σχέσεις :
z1 + z2 + z3 = 0 και 1 2 3z = z = z = 1 , να δείξετε ότι οι εικόνες των z1 , z2
, z3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 1.
Π 2.15 Γεωμετρικοί τόποι σε ασκήσεις που μας ζητούν να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων ενός μιγαδικού αριθμού z ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση ή συνδέεται με μια σχέση με ένα άλλο μιγαδικό w
1 . Προσπαθώ να καταλήξω σε μ ια σχέση της μορφής:
1 2z - z = z - z ή
0z - z = ρ , ρ > 0
και επομένως γνωρί ζω σε πο ια γραμμή
κινούνται ο ι ε ικόνες του z .
Παράδειγμα
Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=(- 3 +i ) iz , τότε να
βρείτε το γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.
2 . Αν δεν μπορε ί να συμβεί το 1 . τό τε θέτουμε στη σχέση μας όπου z = x+yi το μ ιγαδ ικό του οπο ίου το γεωμετρικό τόπο των ε ικόνων θέλουμε να βρούμε και w= κ+λ i το μ ιγαδ ικό για τον οπο ίο συνήθως γνωρίζουμε σε
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
36 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
ποια γραμμή ανήκουν ο ι ε ικόνες του, άρα γνωρί ζουμε μ ια σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ . Στόχος μας ε ίνα ι να εκφράσουμε τα κ , λ συναρτήσε ι των x και y και να τα αντ ικαταστήσουμε στη σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ .
Παράδειγμα
Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=2z+ z , τότε να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
37 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 2.1 Εύρεση Μέτρου
Α 2.2 Σχέσεις με μέτρα
78.
Να βρε ί τε το μέτρο του μ ιγαδ ικού z , όταν :
α) z = -3 + 4 i
β) z = i
γ) z =
ν
1 3 - i
2 2
δ) z = 101
99
(2 + i)
(2 - i)
ε) z = 2ημα
, α (0,π) 1 - συν2α + i ημ2α
στ) 1 1 1
= - , α , β , γ R .z α - βi α - γi
79. Αν γ ια το μ ιγαδικό z ισχύε ι : (z 2 - 3 ) i = 4 - 3 z 2 , να βρε ίτε το μέτρο
του z .
80.
Να βρεθε ί το μέτρο των μ ιγαδ ικών
z =
3
2
2 i
i 1 i 3
,
v =
3
3
1 i (1 2i)
(3 i)
και
w =
3
2
1 2i(1 i)
1 i
81.
Να δε ίξ ετε ότ ι : α) z + i = z - i αν και μόνο αν z R .
β) z +3 = z - 3 αν και μόνο αν z :φανταστ ικός .
γ) 2 2z = z αν και μόνο αν z R .
δ) 2 2z = - z αν και μόνο αν z : φανταστ ικός .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
38 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
82. Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z γ ια τον οπο ίο ισχύε ι : z + 25 = 5 z + 1 .
Να αποδε ίξε τε ό τ ι : z = 5 .
83.
Αν γ ια το μ ιγαδ ικό z ισχύε ι ότ ι1
z zz
να αποδε ίξετε ότ ι :
Re ( z 2 ) = -1
2.
84. Αν z C και ισχύε ι : z + 4i = z + 4 = z , να βρε ί τε τον z και το μέτρο του
z .
85.
Να αποδε ίξε τε γ ια κάθε z 1 , z 2 C ισχύουν ο ι παρακάτω σχέσε ις :
α) (Ταυτότητα παραλληλογράμμου)
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2z z z z 2 z 2 z
β) 2 2 2
1 2 1 2 1 2z z z z 2Re(z z )
γ) 2 2 2
1 2 1 2 1 2z z z z 2Re(z z )
δ) 2 2
1 2 1 2 1 2z z z z z + z
ε) 1 2 1 2 1 2z z z z 2 z z
86.
α) Αν z = 1 να αποδε ίξετε ότ ι : 1
z = z .
β) Αν z 1 , z 2 , z 3 C με 1 2 3z = z = z = 1 να δε ίξ ε τε ό τ ι :
i ) 1 2 3
1 2 3
1 1 1z + z + z =
z z z .
i i ) 1 2 3 1 2 2 3 3 1z + z + z = z z z z z z
87. Αν zC να αποδε ίξετε την ισοδυναμία: z + z + z - z = 2 z z R .
88. Αν z 1 , z 2 C με 1 2 1 2z = z = 1 και z z - 1 , να δε ίξ ετε ότ ι : z = 1 2
1 2
z z R .
1 + z z
89. Αν ο αριθμός w = z - i
z + i ε ίνα ι φανταστ ικός ( zC ) , να δε ί ξε τε ότ ι : .z 1
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
39 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
90. Αν zC και ισχύε ι : z - 10 = 3 z - 2 να δε ίξ ετε ό τ ι : z - 1 = 3 .
91. Αν zC και ισχύε ι : z - 9
= 3z - 1
να δε ίξ ετε ό τ ι : z = 3 .
92. Αν γ ια τους μ ιγαδ ικούς z 1 , z 2 ισχύε ι :
2 2 2
1 2 1 2z + z = z - z να δε ίξ ετε ότ ι :
1 2 1 2z + z = z - z .
93.
α) Να αποδε ίξετε ότ ι γ ια οπο ιουσδήποτε μ ιγαδ ικούς z 1 , z 2 ισχύε ι : 2 2 2
1 2 1 2z z = z - z αν και μόνο αν Re(1 2z z ) = 0 .
β) Έστω μ ια συνάρτηση f : [α , β ] R συνεχής στο [α , β ] και ο ι
μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z = α 2 + i f (α ) , w = f (β ) + i β 2 με αβ 0 .
Αν 2 2 2
w z = w - z , να αποδε ίξετε ότ ι η εξ ίσωση f (x ) = 0 έχε ι μια
τουλάχιστον ρ ίζα στο [α , β] .
Θέμα 1 η ς Δέσμης 1995
94.
Aν z 1 , z 2 C με z 2 0 , z 2 2z να αποδε ίξετε ότ ι :
α) 1 1 2
2
2 2
z Re(z z )Re
z z
β)
22 2 22
2 2 2 2
2 22222 2 2
1 z z z 1 z
1 z1 z z z
95.
Είναι σωστό ή λάθος ότ ι :
α) 22
2 2010 2 20101 i i ... i 1 i i ... i ;
β) z 5 5 z 5 ;
96.
Αν z 1 , z 2 C * να δε ίξ ετε τ ις ισοδυναμίες :
α) 1
1 2 1 2
2
zz z z z R
z
β) 1
1 2 1 2
2
zz z z z R
z
γ) 1
1 2 1 2
2
zz z z z R
z
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
40 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
97.
Έστω z = α +βi με α ,βR και β0.
Ποιο ί από τους επόμενους συμβολ ισμούς έχουν νόημα:
α) 3 z
β) 2
3 z
γ) 4 zz
δ) 6 z
98.
Έστω ο ι μ ιγαδ ικο ί z 1 , z 2 με | z 1 | = | z 2 | = 1 .
Να δε ίξ ετε ότ ι ο μ ιγαδ ικός w =
5
1 2
5 5
1 2
z z
z z
ε ίνα ι πραγματ ικός.
99. Αν γ ια το μ ιγαδ ικό z ισχύε ι z 16 4 z 1 , να δε ιχθε ί ό τ ι z 4 .
100.
Δίνετα ι ο μη πραγματ ικός μ ιγαδ ικός z με την ιδ ιό τητα:
z = (1 + i ) |z|-2- i .
α) Να βρε ίτε τον z
β) Να βρε ίτε τον αριθμό ( z – 3 ) 1 0 0 .
101.
α) Nα βρε ίτε τα α ,β R αν ισχύε ι α +2i = (β + i ) i 2 0 0 1 .
β) Aν ο ι μ ιγαδ ικο ί z , z 2 , z 2 - z , z 0 έχουν ε ικόνες τα σημεία Α ,Β
, Γ αντ ίστο ιχα τό τε:
i ) Aν το ΑΒΓ ε ίνα ι ισοσκελές στο Γ να δε ίξ ετε ότ ι z-2=1.
i i ) Aν το ΑΒΓ ε ίναι ορθογώνιο και ισοσκελές στο Γ να υπολογίσετε
το z .
102.
Αν ο ι ε ικόνες στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο των μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 ανήκουν
στο μοναδ ια ίο κύκλο .
α) να δε ί ξε τε ό τ ι : z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1 = 0 z 1 + z 2 + z 1 z 2 - 1 = 0 .
β) να βρε ί τε τους z 1 , z 2 γ ια τους οπο ίους ισχύε ι z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1 =
0 .
γ) να δε ίξε τε ότ ι | z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1| = | z 1 + z 2 + z 1 z 2 – 1|.
103.
α) Έστω ο ι μ ιγαδ ικο ί z 1 , z 2 , z 3 ώστε z 1 + z 2 + z 3 = 0 και 2 2 21 2 3z z z 0 .
Nα δε ιχθε ί ότ ι : 1 2 3z z z .
β) Στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο θεωρούμε τρ ίγωνο ΑΒΓ , όπου ο ι κορυφές
του Α ,Β ,Γ ε ίνα ι ο ι κορυφές των w 1 , w 2 , w 3 αντ ίστο ιχα , γ ια τους
οπο ίους ισχύε ι η σχέση: 2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 3w w w w w w w w w .
Να δε ιχτε ί ότ ι το τρ ίγωνο ε ίνα ι ισόπλευρο .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
41 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 2.3 Εξισώσεις
104.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z = x +yi , z 0 και w = z + 4
z.
Nα βρε ί τε το σύνολο των σημείων Μ(z) του επ ιπέδου όταν w R.Αν
Α(z 1 ) , B (z 2 ) , Γ (z 3 ) τρ ία σημεία του συνόλου των σημείων του
πρώτου ερωτήματος με Ιmz 1 Ιmz 2 Ιmz 3 0, να αποδε ίξετε ότ ι
ισχύουν :
α ) ( z 1 + z 2 + z 3 )1 2 3
1 1 19
z z z
και
β ) 1 2 2 3 1 3
1 2 3
z z z z z z2
z z z
, z 1 + z 2 + z 3 0 .
105.
Δίνετα ι η εξ ίσωση: z 2 + (β-4) z + (γ+5) = 0 . (1 ) με β , γ R .
Αν z 1 ε ίνα ι μ ια από τ ις λύσε ις της (1 ) και z 2 η άλλη και 1 1z z 2 ,
1z 2 , τό τε :
α) Να βρε ίτε τους πραγματ ικούς αριθμούς β και γ .
β) Να βρε ί τε τους z 1 και z 2 .
γ) Να αποδε ίξετε ότ ι : 100 100 511 2z z 2 .
106. Να λύσετε στο C την εξ ίσωση :|z|+i z = 2 +4i .
107. Να λύσετε το σύστημα :z 1 i 2
z 3 z 1
.
108.
Να αποδε ίξε τε ό τ ι δεν υπάρχει α R- {1 } τ έτο ιο , ώστε η εξ ίσωση:
1 + α i1 iz , ν Ν , z C
α + i
, να έχε ι πραγματική λύση.
109. Αν η εξ ίσωση ( i z – 2 ) ν = w(z + 2i ) ν με άγνωστο τον z και νΝ*, έχε ι
πραγματ ική ρ ί ζα , να αποδε ίξετε ότ ι | w| = 1 .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
42 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
43 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 2.4 Ανισώσεις – Μέγιστη , ελάχιστη τιμή μέτρου
110. Αν z C και |z|=1 να υπολογίσετε το ελάχιστο και το μέγ ιστο της
παράστασης |z-1+2i| .
111. Αν zC και |z-1- i|<5 να δε ίξ ε τε ό τ ι : 10<|z-10-13i|<20.
112. Να δε ίξ ετε ότ ι : αν |z 1 |<|z 2|<1 τότε |z 1 -z 2 |<|1- 1z z 2 |.
113. Αν γ ια τον μ ιγαδ ικό z ισχύε ι |z–2+i|=6 να δε ίξ ε τε ό τ ι 1 z 1 3i 11 .
114.
Αν z 1 = 4 + 5 i , |z 2 |=20 , να βρε ίτε τη μεγαλύτερη και τη μ ικρότερη
τ ιμή των παραστάσεων :
α) |z 1+z 2|.
β) |z 2 -1|.
γ) |z| , αν |z-z 1 |=1.
115. Αν γ ια τον μ ιγαδ ικό z ισχύε ι |z- i|=1, να δε ιχθε ί ό τ ι :4|z+4+2i|6.
116. Αν |z-1|1, |z-2|=1 να δε ίξ ε τε ό τ ι 1|z| 3 .
117.
Έστω z 1 = 5 i και z 2 ένας μ ιγαδ ικός με |z 2 |=2.
α) Να βρε ίτε γ ια πο ιες τ ιμές του z 2 η παράσταση |z 1 – z 2 |γ ίνετα ι :
i ) μέγιστη
i i ) ελάχιστη .
β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρ ικά τα παραπάνω αποτελέσματα .
118. Δίνετα ι η συνάρτηση f με τύπο f (x ) = 2 2x + α , α R .
Να αποδε ίξε τε ό τ ι γ ια κάθε x 1 , x 2 R ισχύε ι : 1 2 1 2f(x ) - f(x ) x - x
.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
44 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
119.
Έστω Π(x) = x 2 + 21 2z - z x + 2 2
1 2 1 21 + z 1 + z , z , z C.
α) Να αποδε ίξε τε ότ ι : Π (x) 0 γ ια κάθε xR .
β) Να βρε ί τε πότε μπορε ί να ισχύε ι Π(x) = 0 .
120.
Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( z ) = z + i , με z C και τους
μ ιγαδ ικούς γ ια τους οπο ίους f (z)
2f ( z)
(1 ) .
α. Να δε ίξ ετε ότ ι 5 4
z i3 3
γ ια κάθε zC που ικανοποιε ί την (1) .
β. Ποιος από τους μ ιγαδ ικούς γ ια τους οπο ίους ισχύε ι η (1) έχε ι το
μεγαλύτερο μέτρο και πο ιος το μ ικρότερο ;
γ. Να βρε ί τε τη γραμμή στην οπο ία κ ινούνται ο ι ε ικόνες του
μ ιγαδ ικού
w = z – 3 .
δ. Αν z 1 = 2 – i να βρε ίτε τη μέγ ιστη και την ελάχιστη τ ιμή του μέτρου
1w z .
ε. Αν z 2 = λ -1 + (λ – 2 ) i , λ R να βρε ίτε την ελάχιστη τ ιμή του μέτρου
2z z .
121.
Αν η εξ ίσωση 2z z 0 , όπου , , έχε ι ρ ί ζες τους μ ιγαδ ικούς
αριθμούς 1z 3 2i και z 2 , τό τε :
α) Να βρε ίτε τους α , β , z 2 .
β) Να βρε ί τε τη μ ικρότερη τ ιμή της παράστασης :
1 2f (z) z z z z ,z C .
122.
A. Για κάθε μ ιγαδ ικό z να δε ίξ ε τε ό τ ι ισχύουν:
α. z Re (z )
β . z Im(z ) .
Β . Για κάθε z 1 , z 2 C με z 1 + z 2 = 1 να δε ίξε τε ότ ι :
z 1 + z 2 1 .
123. Αν z 6 2 να βρε ί τε την ελάχιστη και τη μέγ ιστη τ ιμή της
παράστασης z 8i .
124.
Να δε ίξ ετε ότ ι γ ια κάθε zC ισχύε ι : α) z 3 + z 4 - z 1 - z 2 8 και
β) z z 1 9
z 52
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
45 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 2.5 Παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο
125. Αν γ ια τον μ ιγαδ ικό z ισχύουν 2z 1 1 και z 1 1 , να αποδε ίξετε ότ ι :
z 1 .
126. Να αποδε ίξε τε ό τ ι γ ια κάθε z C ισχύε ι :
|z + 1| + |z + 2| |z| + |z + 3|.
127. Αν |z 1 + 3i| =1 και |z 2 - 4| =2 να βρε ί τε τη μέγ ιστη και ελάχιστη τ ιμή του
1 2z z .
128. Αν zC και z 2 – 3z + 2 > 0 να δε ί ξε τε ότ ι : zR ή Re(z ) = 3
2.
129.
Να παραστήσετε στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο τους μ ιγαδ ικούς γ ια τους
οπο ίους ισχύε ι : α) z = 3
β) z - 1 + 3i = 1
γ) z -5 5
δ) z + 2 + i > 2
ε) iz - 2 - 3i = 1
στ) 1
1z - 2
ζ ) iz + 1 > 1 .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
46 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 2.6 Γεωμετρικοί τόποι
130.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί : z 3 (2 1)i , R .
α) Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών z .
β) Να βρε ί τε το μ ιγαδ ικό εκε ίνο που έχε ι το ελάχιστο μέτρο .
131.
Στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο δ ίνετα ι το σημείο Α που ε ίναι ε ικόνα του
μ ιγαδ ικού:α = 13 - i .
Να βρεθούν ο ι μ ιγαδ ικο ί z = x + 3xi αν γνωρίζουμε ότ ι :
= 10 2 , όπου Μ ε ίνα ι η ε ικόνα του z στο μιγαδ ικό επ ίπεδο .
132.
Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των z όταν α) z 3 z 5
β) z i z 5i
γ) z
11 z
δ) 3 z i 4
133.
Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z ώστε 2
z 1 2i2
.
α)Να υπολογίσετε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των w 2z 1 i
β)Να βρεθούν ο ι μ ιγαδ ικο ί 1 2w ,w από τους μ ιγαδ ικούς του α)
ερωτήματος που έχουν το ελάχιστο και μέγ ιστο μέτρο αντ ίστο ιχα.
134.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z , w γ ια τους οπο ίους ισχύουν ο ι σχέσε ις :
z 12 6i z 4 και 2 2
2 w i w i 17 .
α) Να αποδε ίξετε ότ ι ο ι ε ικόνες του z κινούνται σε ευθε ία της
οπο ίας να βρε ί τε την εξ ίσωση.
β) Να αποδε ίξετε ότ ι ο ι ε ικόνες του w κινούνται σε κύκλο του
οπο ίου να βρε ίτε την εξ ίσωση. γ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη τ ιμή του μέτρου z w .
135.
Αν γ ια τους μ ιγαδ ικούς z 1 , z 2 , z 3 ισχύουν ο ι σχέσε ις : z 1 + z 2 + z 3 = 0 και
1 2 3z = z = z = 1 , να δε ίξ ετε ότ ι ο ι ε ικόνες των z 1
, z 2 , z 3 ε ίνα ι κορυφές ισοπλεύρου τρ ιγώνου εγγεγραμμένου σε
κύκλο ακτ ίνας 1 .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
47 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
136. Αν γ ια τους μ ιγαδ ικούς z ισχύε ι |z-1| = 2 , να βρε ί τε που ανήκουν
ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών w με w = 3z – 2 .
137.
Aν η ε ικόνα του μιγαδ ικού z ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και
ακτ ίνας ρ = 1 , να δε ίξ ετε ότ ι το ίδ ιο ισχύε ι και γ ια την ε ικόνα του
μ ιγαδ ικού w = 3z i
iz 3
.
138.
Στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο δ ίνετα ι το τρ ίγωνο ΑΒΓ . Αν ο ι κορυφές Α , Β
, Γ ε ίνα ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 = 1 + 2 i , z 2 = 4 - 2 i , z 3 = 1 -
6 i αντ ίστο ιχα , να δε ίξε τε ό τ ι το τρ ίγωνο ε ίνα ι ισοσκελές και να
βρε ί τε το μήκος της βάσης του.
139.
Να αποδε ίξε τε ό τ ι γ ια τον μ ιγαδ ικό αριθμό z ισχύε ι :
z - αi = z - βi , α , β R και α β αν και μόνο αν Im z2
.
Να ερμηνεύσετε γεωμετρ ικά την παραπάνω πρόταση .
140. Αν z , w C , να αποδε ίξετε την ταυτότητα:
222 2 ww
z + z - w = 2 z - + 2 2
.
Ποια γεωμετρική πρόταση εκφράζε ι ;
141.
Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z = (2x - 3) + (2y - 1) i με x , y R . Αν 2z - 1 + 3i = 3 , να αποδε ίξετε ό τ ι ο γεωμετρ ικός τόπος των σημείων
Μ(x , y ) ε ίνα ι κύκλος ,του οπο ίου να προσδ ιορίσετε το κέντρο και
την ακτ ίνα .
Θέμα 1 η ς Δέσμης 1986
142.
α) Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών z που επαληθεύουν την ισότητα 4z - i = 2 z + i
β) Αν γ ια τους μ ιγαδ ικούς z 1 , z 2 ισχύουν ο ι σχέσε ις :
1 14z - i = 2 z + i και 2 24z - i = 2 z + i να αποδε ίξετε ότ ι :
1 2z - z 1 .
143.
Να αποδε ίξετε ότ ι ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών z
που επαληθεύουν την εξ ίσωση 22 2z + z - 2 z - 4(z + z) = 0 ε ίνα ι μ ια
παραβολή ,της οπο ίας να προσδ ιορίσετε την εστ ία και τη
δ ιευθετούσα .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
48 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
144.
Αν Α , Β ε ίνα ι ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 = - 1 + 2 i και
z 2 = 3 + 2 i αντ ίστο ιχα , να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των σημείων
Μ(z ) όταν ο λόγος των αποστάσεών τους από τους z 1 και z 2 ε ίνα ι 3
1.
145.
Έστω Ρ(z ) η ε ικόνα πάνω στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο του μ ιγαδ ικού z που ικανοποιε ί τη σχέση z - 3 + i = 4 και Μ(w ) η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού w
που ικανοποιε ί τη σχέση w - 3 - i = w - 3 - 5i .
Να δε ίξ ετε ό τ ι ο γεωμετρ ικός τόπος των z ε ίνα ι κύκλος ενώ ο
γεωμετρικός τόπος των w ε ίνα ι ευθε ία , η οπο ία εφάπτετα ι στον
κύκλο .
146.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z , w που συνδέοντα ι με τη σχέση:
w = 2z + 3
z.
Αν ο ι αριθμο ί αυτο ί παριστάνονται στο μ ιγαδ ικό επίπεδο με τα
σημεία Z , Ω αντ ίστο ιχα , να αποδείξετε ότ ι όταν το Ζ κ ινε ίτα ι σε
κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτ ίνας 1 , τότε το Ω κ ινε ίτα ι σε
έλλε ιψη.
147.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί α = 1 - 3 i , β = 5 + 3 i και γ = 3 - 5 i .
Αν Α , Β , Γ ε ίνα ι ο ι ε ικόνες τους πάνω στο μ ιγαδ ικό επίπεδο
αντ ίστο ιχα , να βρεθε ί ο μ ιγαδ ικός που έχε ι ε ικόνα στο μ ιγαδ ικό
επ ίπεδο το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.
148. Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού z ώστε να ισχύε ι : z 7 z 7 18 .
149. Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού z ώστε να ισχύε ι : z 2i z 2i 2 .
150.
Έστω ο μ ιγαδ ικός z = (1+2συνθ – ημθ) + (3 +συνθ +2ημθ) i .
Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων των z .
Nα δε ίξ ετε ότ ι : 10 5 z 10 5 .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
49 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
151.
Δίνετα ι το πολυώνυμο f ( z ) = z 2 – αz + 4 όπου α > 0 και z
μ ιγαδ ικός.
Αν γ ια τους μ ιγαδικούς w 1 ,w 2 με w 1 ≠ w 2 ισχύε ι : f (w 1 ) = f (w 2 ) ,
τό τε : α) Αν
1w = 1, να βρε ί τε την εξ ίσωση της καμπύλης πάνω στην
οπο ία ανήκει η ε ικόνα του w 2 .
β) Αν ο αριθμός 1 2w w
2
ε ίνα ι ρ ί ζα του f ( z ) , να υπολογίσετε το α .
152.
Aν γ ια το μ ιγαδ ικό w = 2x + (2y -1) i , x ,yR ισχύε ι w 1 i 2 5 να
βρε ί τε :
α) το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των z=x+yi στο μ ιγαδ ικό
επ ίπεδο .
β) τη μέγ ιστη και την ελάχιστη τ ιμή του | z|.
153. Aν ε ίνα ι
z 93
z 1
( z 1) , να αποδε ίξετε ότ ι η ε ικόνα του z στο
μ ιγαδ ικό επ ίπεδο γράφει κύκλο .
154.
Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων Μ( z ) των μ ιγαδ ικών z γ ια
τους οπο ίους ισχύε ι :
α) 1 2i
z 31 i
.
β) z 1
2z 2
.
155.
α) Nα βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο C 1 των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού z
γ ια τον οπο ίο ισχύε ι : | (1 -2i ) z – 2 | = 2 .
β) Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο C 2 των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού w
γ ια τον οπο ίο ισχύε ι : w 2i
1w 2 4i
.
γ) Να βρε ίτε την ελάχιστη τ ιμή του | z – w|.
156.
α) Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο C των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού z στο
μ ιγαδ ικό επ ίπεδο γ ια τον οπο ίο ισχύε ι 2
1 1 10
z 3i z 3i z 9
.
β) Αν ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 ανήκουν στο C και ε ίναι
συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων Ο να βρε ίτε τη μέγ ιστη
και την ελάχιστη τ ιμή του | z 1 -z 2 |.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
50 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
157.
α) Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο C των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού z στο
μ ιγαδ ικό επ ίπεδο γ ια τον οπο ίο ισχύε ι 2
1 1 10
z 3i z 3i z 9
.
β) Αν ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 ανήκουν στο C και ε ίναι
συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων Ο να βρε ίτε τη μέγ ιστη
και την ελάχιστη τ ιμή του | z 1 -z 2 |.
158.
Έστω ότ ι γ ια το μ ιγαδ ικό z ισχύε ι |z - 4 i| - |z + 4 i| = 6 (1) .
α) Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του z στο μ ιγαδ ικό
επ ίπεδο γ ια τον οπο ίο ισχύε ι η (1) .
β) Να βρε ίτε πο ιος z έχε ι ελάχιστο δυνατό μέτρο .
159.
Έστω z = 3 i
1 i
, λR ,να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων
των z . Aν z 1 , z 2 δύο τυχαίο ι μ ιγαδ ικο ί από τους παραπάνω να αποδε ίξε τε ό τ ι
1 2z z 4.
160.
Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς z ,w ο ι οπο ίο ι συνδέοντα ι με τη σχέση:
(1+2i ) z = (3 +4i )w +6 +2i .
Αν η ε ικόνα του z στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ανήκει σε κύκλο με κέντρο
Κ(1 ,0) και ακτ ίνα ρ = 5 να δε ίξ ε τε ότ ι η ε ικόνα του w ανήκει σε
κύκλο .
161.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z 1 , z 2 γ ια τους οπο ίους ισχύε ι :
2
2 1
1 2
22
z1z 2
zz
,
όπου ν ε ίνα ι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 . α) Να δε ίξ ετε ό τ ι
1 2z z 1
β) Αν ο 1z κινε ίτα ι σε κύκλο κέντρου (0 ,1) και ακτ ίνας 1 , να
βρε ί τε την εξ ίσωση της γραμμής πάνω στην οπο ία κ ινε ίτα ι η ε ικόνα
του 2z .
γ) Αν 1z + 2z = 2 , να υπολογίσετε τους 1z , 2z .
162.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z ,w γ ια τους οπο ίους ισχύε ι :
z = ημ2θ + 2iσυν 2θ και wz = 4 .
Nα αποδε ίξε τε ό τ ι όταν το θ μεταβάλλετα ι στο R , τό τε :
α) η ε ικόνα του z κ ινε ίτα ι σε κύκλο .
β) η ε ικόνα του w κινε ίτα ι σε ευθε ία .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
51 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
163.
Έστω z ,w δύο μη μηδεν ικο ί με ε ικόνες στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο τα σημεία Α και Β αντ ίστο ιχα ώστε ΑΟΒ = 30 ο και έστω α = ln z i ln w .
α) Αν w z , να δε ίξ ετε ότ ι : α 2 Ι (ΟΑΒ) = 1
4.
β) Αν w z και α 2 R , να βρεί τε το γεωμετρ ικό τόπο των σημείων Α
,B .
164.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z ,w γ ια τους οπο ίους ισχύε ι : z i z i 4 z 0
και zw = 1 .
α) Να δε ίξ ετε ό τ ι η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού w ανήκει σε έλλε ιψη.
β) Να δε ίξ ετε ότ ι γ ια οπο ιεσδήποτε τ ιμές w 1 , w 2 του παραπάνω μιγαδ ικού w ισχύει :
1 2w w 4 .
165.
Nα βρε ί τε την εξ ίσωση της καμπύλης στην οπο ία κ ινούνται ο ι
ε ικόνες των ρ ι ζών της εξ ίσωσης w 2 -2συνθw + συν 2 θ + συν 2 2θ = 0,
όταν η γωνία θ μεταβάλλετα ι στο 0,2
.
166.
Δίνετα ι η εξ ίσωση κz 2 + λz + μ = 0 (1 ) όπου κ ,λ , μ ε ίνα ι τρε ις μη
μηδεν ικο ί πραγματ ικο ί δ ιαδοχικο ί όρο ι γεωμετρ ικής προόδου με
λ > 0 .
α) Να βρε ί τε τ ις εξ ισώσε ις των γραμμών πάνω στ ις οπο ίες ανήκουν
ο ι ε ικόνες των ρ ιζών z 1 , z 2 της (1 ) . β) Αν z 1 z 2 + z 1 + z 2 = 0, να δε ίξ ετε ότ ι :
1 2z z 1 .
167.
Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z με z 1 και η υπερβολή C : 2 2x y
1z 1 z 1
με
μ ια εστ ία το σημείο Ε(2 ,0) .
α) Να βρε ί τε την εξ ίσωση C 1 της κωνικής τομής πάνω στην οπο ία
βρίσκετα ι η ε ικόνα του z .
β) Αν ο ι κωνικές τομές C και C 1 έχουν ίδ ιο μήκος μεγάλου και
μ ικρού άξονα , να υπολογίσετε τους μ ιγαδ ικούς z .
168.
Αν λ>0 και z 1 , z 2 μιγαδ ικο ί αριθμο ί , να δε ίξ ετε ό τ ι :
2 2 2
1 2 1 2
1z z 1 λ z 1 z
λ
.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
52 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΘΕΩΡΙΑ
Διαβάζω ορισμούς, αποδείξεις, μπλε πλαίσια, σχόλια, έντονα γράμματα από το σχολικό βιβλίο. Συγκεκριμένα:
Σελ.86: Ορισμός (Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών)
Σελ.87: Ορισμοί ( Ισότητα μιγαδικών αριθμών , Γεωμετρική
παράσταση
μιγαδικών)
Σελ.88-90: Πράξεις στο C .Προσέχω τις 2 προτάσεις στη σελ.89
με τα
έντονα γράμματα
Σελ.90: Ορισμός (Δύναμη μιγαδικού)
Σελ.90: Απόδειξη (Δυνάμεις του i )
Σελ.91: Ιδιότητες συζυγών (Όλη τη σελίδα)
Σελ.91: Απόδειξη: ( 1 2 1 2z +z = z +z )
Σελ.92: Απόδειξη (Επίλυση της αz2 + βz + γ = 0)
Σελ.93: Παρατήρηση
Σελ.97: Ορισμός (Μέτρο μιγαδικού)
Σελ.97: Τις ιδιότητες που βρίσκονται στο δεύτερο μπλε πλαίσιο
Σελ.98: όλα τα μπλε πλαίσια
Σελ.98: Απόδειξη: 1 2 1 2
z z = z z
Σελ.99: Οι εξ ισώσεις: 0 1 2
z - z = ρ , ρ > 0 και z - z = z - z
Σελ.124-5: τ ις ερωτήσεις κατανόησης
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Διαβάζω τις 2 εφαρμογές σελ.93-94 και τις 2 εφαρμογές σελ. 99-100 σχολικού
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ
Δυνάμεις 8Α/95, 3Β/96, 4Β/96, 7Β/96
Εξισώσεις- Τύποι Vieta 14A/96
z: πραγματικός z : φανταστικός
11Α/96, 6Β/96, 8Β/96
Ιδιότητες μέτρων 9Α/101, 1Β/101, 7Β/102, 10Β/102
Γεωμετρικοί τόποι Εύρεση γραμμής που κινούνται οι εικόνες μιγαδικού
12Α/96, 9Β/97, 4Α/101, 5Α/101, 6Α/101, 8Α/101, 2Β/101, 3Β/101, 4Β/102, 5Β/102,
6Β/102, 9Β/102, 1Γ/123, 6Γ/103
Μέγιστο – Ελάχιστο μέτρο 7Α/101, 8Β/102, 3Γ/123
169.
Ποιες από τ ις παρακάτω σχέσε ις ε ίνα ι σωστές και πο ιες λάθος;
α) 2 2z = - z z: φανταστικός .
β) Η εξ ίσωση 1 2z - z + z - z = 2α , α>0 παριστάνε ι υπερβολή με εστ ίες Μ 1
, Μ 2 τ ις ε ικόνες αντ ίστο ιχα των z 1 και z 2 και εστ ιακή απόσταση
2γ = 1 2 1 2M M = z - z
.
γ) Αν z 1 , z 2 C με 2 2
1 2z z 0 , τό τε : z 1 = z 2 = 0 .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
53 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
δ) 2 2z z .
ε) Αν 1 2z = z , τό τε z 1 = z 2 .
στ) 20052005z z .
ζ ) 2z zz .
η) Η εξ ίσωση 2z 3 2i 3 παριστάνε ι κύκλο με κέντρο
Κ(3, –2 ) και ακτ ίνα ρ = 3 . θ) Οι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z , z , -z , -z ε ίνα ι κορυφές τετραγώνου.
ι ) Aν γ ια τον zC ισχύε ι : z 2 = 2
z τότε zR.
170.
Ποιες από τ ις παρακάτω σχέσε ις ε ίνα ι σωστές και πο ιες λάθος;
α) Για κάθε zC ισχύε ι 2
z z 2 .
β) Αν z , wC και ισχύε ι z w 0 τότε κατ ’ ανάγκη ε ίνα ι z = w =0.
γ) Υπάρχουν άπειρο ι z C που ικανοποιούν τη σχέση z 1 i 2
δ) Αν κ (0 ,1) και z 1 τό τε ε ίνα ι z (1 )z 1
ε) Για κάθε zC ισχύε ι z 1 z 1
στ) Για κάθε z 1 , z 2C ισχύε ι 1 2 1 2z z z z
ζ ) Για κάθε z 1 , z 2C ισχύε ι z 1 = z 2 1 2z z
η) Αν z 10, z 2C , τό τε 1 2z z 1 2z z
θ) Αν γ ια τον μ ιγαδ ικό z ισχύε ι z = z 2 , τό τε z 3 0
ι ) Είναι σωστό ή λάθος ότ ι 150 + 160i > 2 + 3i ;
171.
Να συμπληρώσετε τα κενά στ ις παρακάτω προτάσε ις :
α) Η τ ιμή της παράστασης (1+ i ) 2 0 0 4 – (1- i ) 2 0 0 4 ε ίνα ι………………… β) Η εξ ίσωση z 3 7i 25 παριστάνε ι………………………………………
γ) Αν z = 2(συνθ + i ημθ) , τότε z = ………….
δ) Η εξ ίσωση z 1 3i z 3 2i παριστάνε ι………………………………
ε) Οι ρ ί ζες της εξ ίσωσης: 3z 2 – 6z + 6 = 0 ε ίνα ι :………………………
172.
Έστω z , z 1 , z 2 C με z 1 = z 2 = 1 .
Aν ε ίνα ι z o = 1 2 1 2
1 2
z z z z z z
z z
με z 1 +z 2 0 τό τε :
α ) z o2 > 0 β ) z o
2 0 γ ) z o2 = 1
173.
Έστω η εξ ίσωση αx 2 + 2βx +α =0 , με α >β>0, που έχε ι ρ ί ζ ες τ ις x 1 ,
x 2 .
Nα σημειώσετε το γράμμα που αντ ιστο ιχε ί στη σωστή απάντηση.
α) x 1 , x 2R β) x 1 + x 2 = -4 x 1 x 2 γ) x 1 x 2
δ) x 1 = x 2 = 1 ε) τ ίποτε από τα προηγούμενα.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
54 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
174.
Αν ισχύε ι x 1 + x 2 = 1 2x x
2
τότε να βρεθούν:
α) ο ι ρ ί ζες x 1 , x 2
β) ο ι θετ ικο ί ακέραιο ι ν , γ ια τους οπο ίους ισχύε ι (x 1 + x 2 ) ν > 0
175. Να αποδε ίξε τε ό τ ι : 2004 2004 2005 2005
1 i 1 i 1 i 1 i .
176.
Αν γ ια το μ ιγαδ ικό z ισχύε ι : 2z 6 2i 4 , να βρε ί τε :
α) το γεωμετρ ικό τόπο της ε ικόνας του z . β) τη μέγ ιστη και την ελάχιστη τ ιμή του z .
177.
Έστω ο ι μ ιγαδ ικο ί z , w γ ια τους οποίους ισχύε ι : 2 2z w 0.
α) Αν z =1 , να βρε ίτε το σύνολο των ε ικόνων των w.
β) Αν z 1 2i 1 , να βρε ί τε το σύνολο των ε ικόνων των w.
178. Αν z C και ισχύε ι : z + 4i = z + 4 = z , να βρε ίτε τον z και το μέτρο
του z .
179. Αν z είνα ι τυχαίος μ ιγαδ ικός αριθμός , να δε ί ξε τε ότ ι ο αριθμός
2 2w = 2zz - z - z - 6 ε ίνα ι πραγματ ικός .
180.
Αν z ε ίνα ι ένας μ ιγαδ ικός αριθμός με τ ις ιδ ιότητες :
( z - i ) ( z + i ) = 1 και z 1 + i , να δε ί ξετε ότ ι ο αριθμός z + (1 - i)
w = (1 i) z
ε ίνα ι φανταστ ικός .
181.
Έστω Ρ(z ) η ε ικόνα πάνω στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο του μ ιγαδ ικού z που ικανοποιε ί τη σχέση z - 3 + i = 4 και Μ(w ) η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού w
που ικανοποιε ί τη σχέση w - 3 - i = w - 3 - 5i . Να δε ίξ ετε ό τ ι ο
γεωμετρ ικός τόπος των z ε ίνα ι κύκλος ενώ ο γεωμετρικός τόπος των
w ε ίνα ι ευθε ία , η οπο ία εφάπτετα ι στον κύκλο .
182. Αν zC και z - 1 - i < 5 να δε ίξ ετε ό τ ι : 10 < z - 10 - 13i < 20 .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
55 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
183. Να αποδε ίξε τε ό τ ι γ ια οπο ιουσδήποτε μ ιγαδ ικούς z 1 , z 2 ισχύε ι :
2 2 2
1 2 1 2z z = z - z αν και μόνο αν Re(1 2z z ) = 0.
184.
Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός:
49 41
1 33
1 i 2 1 iz
4 1 i
.
α)Να βρε ίτε τα α , β R γ ια τα οπο ία ισχύε ι : 3 3
1z i .
β)Έστω z 2 = α + β i , όπου α και β ο ι τ ιμές που βρήκατε στο
ερώτημα α) . Από τους μ ιγαδ ικούς z , γ ια τους οπο ίους ισχύε ι :
1 2z z z , να
βρε ί τε πο ιος έχε ι το ελάχιστο και πο ιος το μέγ ιστο δυνατό μέτρο .
185. Έστω z 1 , z 2 . Να δε ί ξ ετε ότ ι : 1 2
1 2
1 2
z z1 z 1 ή z 1.
1 z z
186.
Να βρεθε ί το σύνολο των μ ιγαδ ικών z γ ια τους οποίους ισχύε ι :
z 6 3i 8.
Αν f ( z ) = z 6 2i , όπου z μιγαδ ικός του παραπάνω συνόλου:
i ) Να βρε ίτε την ελάχιστη τ ιμή του f ( z ) .
i i ) Να βρε ί τε την μέγ ιστη τ ιμή του f ( z ) .
187.
Έστω Α ,Β,Γ ο ι ε ικόνες τρ ιών μ ιγαδ ικών z ,w,u δ ιαφορετ ικών μεταξύ
τους, ο ι οπο ίο ι έχουν ίσα μέτρα και άθρο ισμα μηδέν .
Να αποδε ίξε τε ό τ ι : i ) z w w u z u .
i i ) To τρ ίγωνο ΑΒΓ ε ίνα ι ισόπλευρο .
188.
Έστω ρ>0 και γ ια το μ ιγαδ ικό z ισχύε ι η σχέση: 2 2 2z ρ z ρ 2 2 ρ ,
ν>0 .
Να δε ίξ ετε ότ ι :
α) Η ε ικόνα του z στο μ ιγαδ ικό επ ίπεδο ανήκει σε κύκλο , του
οπο ίου να βρε ίτε το κέντρο και την ακτ ίνα του.
β) Αν ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z 1 , z 2 , z 3 ε ίνα ι σημεία του
παραπάνω κύκλου , τό τε ο 2 3 1 31 2
3 1 2
z z z zz zw
z z z
ε ίνα ι πραγματ ικός
αριθμός.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
56 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
189.
Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z ώστε 2
z 1 2i2
.
α) Να υπολογίσετε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των w 2z 1 i .
β) Να βρεθούν ο ι μ ιγαδ ικο ί 1 2w ,w από τους μ ιγαδ ικούς του α)
ερωτήματος που έχουν το ελάχιστο και μέγ ιστο μέτρο αντ ίστο ιχα.
190.
Αν η ε ικόνα του μιγαδ ικού z ανήκει στον κύκλο C με κέντρο Ο(0 ,0)
και ακτ ίνα
ρ = 1 , να δε ίξ ετε ότ ι :
α) και η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού z i
w , z iiz 1
ανήκει στον κύκλο C.
β) ο αριθμός z w
u , z w 1 1 zw
ε ίναι πραγματ ικός .
γ) ο αριθμός z w
, zw 11 zw
ε ίναι φανταστ ικός .
191.
Αν w 1 , να βρε ί τε :
α) το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του z αν: z – 5 = 2 2 w – 5 i .
β) τους μ ιγαδικούς με το μεγαλύτερο και το μ ικρότερο μέτρο , καθώς και τη μέγ ιστη και ελάχιστη τ ιμή του z .
192.
Αν η εξ ίσωση 2z z 0 ,όπου , , έχε ι ρ ί ζες τους μ ιγαδ ικούς
αριθμούς 1z 3 2i και
2z , τότε :
α) Να βρε ίτε τους 2, , z .
β) Να βρε ί τε τη μ ικρότερη τ ιμή της παράστασης:1 2f (z) z z z z ,z C .
193. Για πο ιες τ ιμές του θετ ικού ακέραιου ν ισχύε ι : i i 2 ;
194. Να βρε ί τε τον ελάχιστο θετ ικό ακέραιο ν ώστε : 7 8i 8 7i 0
.
195.
Να υπολογίσετε τ ις παραστάσε ις :
α. A = i+ i 3 +i 5 +…+ i 1 0 1 3 5 101A i i i ... i
β. B =i 6 i 8 i 1 0 … i 5 2
196. Αν z C και
2z 1w
iz 1
να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του z
ώστε w R .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
57 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
197.
Αν z C και 2
z 2zw
z
να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του
z ώστε ο w να ε ίνα ι φανταστ ικός .
198. Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού z ώστε ο ι ε ικόνες των i , z , iz να ε ίνα ι συνευθε ιακά σημεία .
199.
Δίνετα ι η εξ ίσωση 2z z 4 0 α , β R (1 ) .
α. Αν z 1 = 1 + i ε ίνα ι ρ ί ζα της (1) να υπολογίσετε τα α , β .
β. Να βρε ί τε το μ ιγαδ ικό 2006
1z .
200.
Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός z = λ – 1 + (λ – 2 ) i , λ R .
α. Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του μ ιγαδικού z .
β. Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του μ ιγαδικού 2z
w1 i
.
201. Αν z 1 2i 3 να δε ίξ ετε ότ ι : 2 z 2 2i 8 .
202.
α. Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών z γ ια τους οπο ίους ισχύε ι : z 2 2i 1 .
β. Να βρε ί τε τη μέγ ιστη και την ελάχιστη τ ιμή του z .
γ. Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών w γ ια τους οπο ίους ισχύε ι : w 1 i w 3 4i .
δ. Να βρε ίτε την ελάχιστη τ ιμή του w .
ε. Να βρε ί τε την ελάχιστη τ ιμή του z w .
203. Αν
1 2z , z C και 1 2z z 1 , να δε ίξ ε τε ότ ι ο
7
1 2
7 7
1 2
z zw
z z
ε ίναι
πραγματ ικός .
204.
Αν *z C και 1 2z z z 2 να δε ίξ ετε ότ ι :
α. ο z z
wz z
ε ίνα ι φανταστ ικός .
β. ο 1 2
1 2
z zu
4 z z
ε ίνα ι πραγματ ικός .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
58 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
205.
Έστω z1 , z2 οι ρίζες της εξίσωσης: z 2 + αz + 1 = 0 με α ( -2 , 2) και
w C με w≠-2i . Αν ισχύει: 1 2
2005 2004
2 2 0 z w i z w i , τότε:
1. Να δείξετε ότι:
α. 2 1w i και
β. 1
22
w iw i
.
2. Αν 1 2
2 1
z zu
z z , να δείξετε ότι: u = α2 – 2.
3. Αν 2
1
40092 v z wi , να δείξετε ότι: v= - i .
4. Να δείξετε ότι: 2
1w uv .
206.
Αν z1 + z2 = z3 και οι εικόνες των μιγαδικών αυτών κινούνται σε
κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι: z2z3 + z1z3 =
z1z2 .
207.
Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 κινούνται σε κύκλο με
κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι:
1 2 3 2 3 1 3 1 2
12 3 2 3
2z z z z z z z z z .
208.
Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z 3 ισχύει:1 2 3
1 z z z και
z1 + z2 + z3 = 1 , να δείξετε ότι:
α) 1 2 3
1 1 11
z z z.
β) 2
1 22 9 z z .
209.
Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 ≠0 με 1 2
2 1
z z+ =1
z z.
Να δείξετε ότι:
α. 3 3
1 2z z
β .
2010 2010z z1 2
+ = 2z z2 1
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
59 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
210.
Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών z γ ια τους
οπο ίους ισχύε ι : α. z 7 z 7 14
β. z 7 z 7 12
γ. z 7 z 7 16
δ. z 7i z 7i 20
ε. z 7 z 7 14
στ. z 7 z 7 12
ζ . z 7 z 7 16
η. z 7 z 7 20
θ. z 7 Re(z) 7
ι . z 3 i 2
κ. z 2 i z 1 i
211. Να βρε ί τε την ελάχιστη τ ιμή της παράστασης: Α = z 1 z 1 i z 1 3i z 2 2i .
212.
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:
Ο αριθμός 4 4
1 3 1 3 z i i είναι:
Α. Φανταστικός Β. Μηδέν
Γ. Πραγματικός Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα.
213.
Για κάθε μιγαδικό z=α+βi, α,β ισχύει:
1 . |zi|= |z| Σ Λ
2 . 2 2|z | |z| Σ Λ
3 . 2z z z Σ Λ
4 . |z+2i|2= 2 4z Σ Λ
5 . 22z i
Σ Λ
6 . z z z z Σ Λ
7 . 2 2z z Σ Λ
8 . 2
z z z Σ Λ
9 . Αν η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο με ακτίνα
7, τότε |z|=7
Σ Λ
1 0 . Αν |1-z|=7, τότε η εικόνα του z ανήκει σε
κύκλο με κέντρο τo K(-1,0) και ακτίνα 7.
Σ Λ
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
60 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
214.
Σύμφωνα με τη συνθήκη που ικανοποιούν οι μιγαδικοί z που
αναφέρεται στην πρώτη στήλη, να τους αντιστοιχίσετε στην ευθεία
της δεύτερη στήλης που ανήκει η εικόνα τους:
Συνθήκη Ευθεία
A. 3z i z i α. y x
B. 1 3z z β. x=-1
Γ. 2 2z z i γ. y=-1
δ . y x
ε . x x
215.
Να λύσετε τ ις εξ ισώσεις:
α . (z2+1)(z2-z+1)=0 .
β . z2 – i z + 2 = 0.
γ . z3 – 1 = 0.
216.
Δίνεται η εξίσωση: z2 + (β-4)z + (γ+5) = 0. (1) με β , γ .
Αν z1 είναι μια από τις λύσεις της (1) και 1 1
2 z z και 1
2z , τότε:
α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς β και γ.
β) Να βρείτε τους z 1 και z2 .
γ) Να αποδείξετε ότι: 100 100 51
1 2 2z z .
217.
Δίνεται ο μιγαδικός z με z 0 και 1003 1004
z z .
Να αποδείξετε ότι: z2 0 0 7 = 1.
218. Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=(- 3 +i )z , τότε
να βρείτε το γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.
219. Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=2z+ z , τότε να
βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.
220. Αν z1 , z2C με 1 2 1 2
z = z = 1 και z z - 1 ,να δείξετε ότι: z =
1 2
1 2
z z R
1 + z z.
221.
Δίνεται ο μιγαδικός: 3 5
22 2
i z z i , z i , ,
α) Να βρείτε τα Re( ) , Im( ).
β)Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών ω στο μιγαδικό
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
61 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία 1
3 y x .
γ)Από τους μιγαδικούς να βρεθεί αυτός που έχει τη μικρότερη
απόσταση από την εικόνα του μιγαδικού 3+ i .
δ)Να αποδείξετε ότι 3
102
.
ε)Αν 10
2 να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z i στο
μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία 3 1 ή 3 1 x y , x y .
222.
Αν οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των μιγαδικών z1 ,z2 ανήκουν στο
μοναδιαίο κύκλο.
α) να δείξετε ότι: z1 + z2 - z1 z2 + 1 = 0 z1 + z2 + z1 z2 - 1 = 0.
β) να βρείτε τους z 1 ,z2 για τους οποίους ισχύει z1 + z 2 - z1 z2 + 1 = 0.
γ) να δείξετε ότι: | z1 + z2 - z1 z 2 + 1| = | z1 + z2 + z1 z 2 – 1|.
223.
α) Αν z = 2 να αποδείξετε ότι : 4
z = z
.
β) Αν z1 , z2 , z3 C με 1 2 3
z = z = z = 2 να δείξετε ότι :
i ) 1 1
1 2 3
1 2 3
1z + z + z = 4
z z z.
ii ) 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1
z z z = z z z z z z .
224. Αν z C και 1z να υπολογίσετε το ελάχιστο και το μέγιστο της
παράστασης 1 2 z i .
225.
Δίνονται οι μιγαδικοί: 3 2 1 z ( )i , .
α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z .
β) Να βρείτε το μιγαδικό εκείνο που έχει το ελάχιστο μέτρο.
226.
Να βρεθεί το σύνολο των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:
6 3 8 z i .
Αν f (z )= 6 2 z i ,όπου z μιγαδικός του παραπάνω συνόλου:
i ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του f (z ) .
ii ) Να βρείτε την μέγιστη τιμή του f (z ) .
227.
Για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν αντιστοίχως οι σχέσεις :
1 zz i(z z ) και 7 1 2
32
iw
i.
α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C1 των εικόνων των z στο μιγαδικό
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
62 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
επίπεδο.
β) Να βρείτε τη γραμμή C2 που βρίσκονται οι εικόνες του w στο
μιγαδικό επίπεδο.
γ) Αν Μ(z1 ) C1 και Μ(z2 ) C2 , να βρείτε την ελάχιστη και μέγιστη
τιμή του μέτρου 1 2
z z .
228. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει 2 6 z i να δείξετε ότι 1 1 3 11 z i .
229. Αν zC και z - 1 - i < 5 να δείξετε ότι: 10 < z - 10 - 13i < 20 .
230.
Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z 3 ισχύουν οι σχέσεις :
z1 + z2 + z3 = 0 και 1 2 3
z = z = z = 1 , να δείξετε ότι οι εικόνες των z1
, z2 , z 3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο
ακτίνας 1 .
231.
α) Έστω οι μιγαδικοί z1 , z2 , z3 ώστε z1 + z2 + z3 = 0 και 2 2 2
1 2 30 z z z .
Nα δειχθεί ότι 1 2 3 z z z .
β) Στο μιγαδικό επίπεδο θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ , όπου οι κορυφές
του Α , Β , Γ ε ίναι οι εικόνες των w1 , w2 , w3 αντίστοιχα , για τους
οποίους ισχύει η σχέση : 2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 1 3 w w w w w w w w w .
Να δειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
232.
Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z με 16 4 1 z z .
α) Να αποδείξετε ότι z = 4.
β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z όταν: 4 14
zz .
233.
Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και έστω 2
11
izf z , z
z.
α) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού f (2).
β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2008
2w f είναι πραγματικός.
γ) Να αποδείξετε ότι
2
f zz
f z i.
δ) Αν 1z και Μ είναι η εικόνα του f (z ) στο μιγαδικό επίπεδο, να
αποδείξετε ότι το Μ ανήκει σε ευθεία της οποίας να βρείτε την
εξίσωση.
234. Αν (1 + iz ) ν = (1 – iz ) ν να δείξετε ότι zR.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
63 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
235.
Έστω ο μιγαδικός z και η συνάρτηση:
f (z ) =
3
z i
z i , z - i .
α) Να δείξετε ότι f (z ) = z 2 – iz – 1.
β) Αν η εξίσωση f (z ) = (α – i )z – β με α,βR έχει ρίζα το μιγαδικό 2 –
3i , να βρείτε τα α και β.
γ) Αν z = 1 να δείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού f (z ) στο μιγαδικό
επίπεδο δεν είναι εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Ο και
ακτίνα ρ = 3.
236.
Για τους μιγαδικούς z ,w ισχύει : i
wz
.
α) Αν ισχύει 1 w w (1) να δείξετε ότι : 1 z i .
β) Αν ισχύει 2 w i (2) να δείξετε ότι: 1 2 z .
γ) Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους C1 και C2 των εικόνων Μ των
μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει αντίστοιχα η σχέση (1) και (2) .
δ) Αν οι εικόνες Μ 1 και Μ 2 των μιγαδικών z1 και z2 κινούνται στους
C1 και C2 αντίστοιχα να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του
μέτρου 1 2z z .
237.
Δίνονται οι μιγαδικοί z , w για τους οποίους ισχύει 2
2 z w z w ,
να δείξετε ότι:
α) 2 2 2
z w z w .
β) 0Re zw .
γ) z
: όw
.
δ) z2 + w2 = 0.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
64 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
238.
Β. Να χαρακτηρ ίσε τε τ ι ς προτάσε ι ς που ακολουθούν, γράφοντας στο
τ ετράδ ιό σας την ένδε ιξη Σωστό ή Λάθος δ ίπλα σ το γράμμα που
αντ ιστο ιχε ί σε κάθε πρόταση.
Για κάθε μ ιγαδ ικό αριθμό z ισχύε ι :
α. 2
z z z
β. 2 2 z z
γ. z - z
δ. z z
ε. i z z
Μονάδες 5
Β.1. Β.1 Αν 1 2 z 3 4 i και z 1 - 3 i, να γράψετε στο τετράδ ιό σας τους
αριθμούς της Στήλης Α και δ ίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της
Στήλης Β έτσ ι , ώστε να προκύπτε ι ισότητα.
Στήλη Α Στήλη Β
1 . 1 2 z z α. 4
2. 2
1 z β. 2
3. 2
2 z γ. 25
4. 1 z δ. –5
5. 2 i z ε. –2
στ. 5
ζ . 10
Μονάδες 7,5
Β.2 Αν γ ια το μ ιγαδ ικό αριθμό z ισχύει z 1, να δε ίξ ετε ό τ ι
1
z z
.
Μονάδες 5
Πανελλήνιες εξετάσεις 2001
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
65 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
239.
Έστω z ένας μ ιγαδ ικός αριθμός και f ( ν ) = i ν z , ν IN* .
α. Να δε ίξ ετε ότ ι f (3 ) + f (8 ) + f (13) + f (18) = 0 .
Μονάδες 7
β. Αν z= ρ και Arg(z ) = θ , να δε ίξ ετε ό τ ι :
f (13) = ρ i2 2
.
Μονάδες 8
γ. Αν z= 2 και Arg(z ) = 3
, να βρεθε ί το εμβαδόν του τρ ιγώνου με
κορυφές τα σημεία του μ ιγαδ ικού επ ιπέδου που ε ίνα ι ε ικόνες των
μ ιγαδ ικών αριθμών 0 , z και f (13) .
Μονάδες 10
Πανελλήνιες εξετάσεις 2002
240.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z = α+βi , όπου α , β IR και w =
3z – iz + 4, όπου z ε ίνα ι ο συζυγής του z .
α. Να αποδε ίξε τε ότ ι Re(w )=3α–β+4 και Ιm(w )=3β–α.
Μονάδες 6
β. Να αποδε ίξετε ότ ι , αν ο ι ε ικόνες του w στο μ ιγαδικό επ ίπεδο
κ ινούνται στην ευθε ία με εξ ίσωση y=x–12, τό τε ο ι ε ικόνες του z
κινούνται στην ευθε ία με εξ ίσωση y=x–2.
Μονάδες 9
γ. Να βρε ίτε πο ιος από τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς z , ο ι ε ικόνες των
οπο ίων κ ινούνται στην ευθε ία με εξ ίσωση y=x–2, έχε ι το ελάχιστο
μέτρο .
Μονάδες 10
Πανελλήνιες εξετάσεις 2003
241.
α. Να περιγράψετε γεωμετρ ικά το σύνολο (Σ) των ε ικόνων των
μ ιγαδ ικών αριθμών z που ικανοποιούν τ ις σχέσε ις :
z 2 και Ιm (z ) 0 .
Μονάδες 12
β. Να αποδε ίξετε ότ ι , αν η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού αριθμού z
κινε ίτα ι στο σύνολο (Σ) , τότε η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού αριθμού
1 4w z
2 z
κινε ίτα ι σε ευθύγραμμο τμήμα το οπο ίο βρίσκετα ι
στον άξονα x΄x .
Μονάδες 13
Επαναληπτικές εξετάσεις 2003
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
66 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
242.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z 1 , z 2 , z 3 με 1 2 3z z z 3.
α. Να δε ίξ ετε ότ ι : 1
1
9z
z .
Μονάδες 7
β. Να δε ίξ ετε ότ ι ο αριθμός 1 2
2 1
z z
z z ε ίνα ι πραγματ ικός .
Μονάδες 9
γ. Να δε ίξ ετε ότ ι : 1 2 3 1 2 2 3 3 1
1z z z z z z z z z
3 .
Μονάδες 9
Πανελλήνιες εξετάσεις 2005
243.
α. Αν z 1 , z 2 ε ίνα ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί γ ια τους οπο ίους ισχύε ι z 1 +z 2=4+4i και , 2z - z = 5 + 5i
1 2 να βρε ίτε τους z 1 , z 2 .
Μονάδες 10
β. Aν γ ια τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς z ,w ισχύουν:
z – 1 – 3 i 2 και w – 3 – i 2 :
i . να δε ίξ ετε ό τ ι υπάρχουν μοναδ ικοί μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z , w έτσ ι ,
ώστε z = w και
Μονάδες 10
i i . να βρε ίτε τη μέγ ιστη τ ιμή του z – w .
Μονάδες 5
Επαναληπτικές εξετάσεις 2005
244.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z 1 , z 2 , z 3 με z 1 = z 2 = z 3 = 1 και
z 1 + z 2 + z 3 = 0 .
α. Να αποδε ίξε τε ότ ι :
i . z 1 – z 2 = z 3 – z 1 = z 2 – z 3
Μονάδες 9
i i . z 1 – z 2 2 4 και Re 1 2z z 1 .
Μονάδες 8
β. Να βρε ί τε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των z 1 , z 2 , z 3 στο
μ ιγαδ ικό επ ίπεδο , καθώς και το ε ίδος του τρ ιγώνου που αυτές
σχηματ ί ζουν.
Μονάδες 8
Πανελλήνιες εξετάσεις 2006
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
67 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
245.
Δίνετα ι ο μ ιγαδ ικός αριθμός 2 i
z2i
με αR.
α. Να αποδε ιχθε ί ότ ι η ε ικόνα του μ ιγαδ ικού z ανήκει στον κύκλο
με κέντρο Ο(0 , 0 ) και ακτ ίνα ρ = 1 .
Μονάδες 9
β. Έστω z 1 , z 2 ο ι μ ιγαδ ικο ί που προκύπτουν από τον τύπο : 2 i
z2i
γ ια α = 0 και α = 2 αντ ίστο ιχα.
i ) Να βρεθε ί η απόσταση των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών αριθμών z 1 και
z 2 .
Μονάδες 8
i i ) Να αποδε ιχθε ί ότ ι ισχύε ι : ( z 1 ) 2 ν = ( -z 2 ) ν γ ια κάθε φυσικό αριθμό
ν .
Μονάδες 8
Πανελλήνιες εξετάσεις 2007
246.
Δίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί z 1 = α + β i και z 2 = 1
1
2-z
2+z , όπου α , βR με
β0. Δ ίνετα ι επ ίσης ότ ι z 2 – z 1R.
α. Να αποδε ιχθε ί ότ ι z 2 – z 1 = 1 .
Μονάδες 9
β. Να βρεθε ί ο γεωμετρ ικός τόπος των ε ικόνων του z 1 στο μ ιγαδ ικό
επ ίπεδο .
Μονάδες 6
γ. Αν ο αριθμός 2
1z ε ίνα ι φανταστ ικός και αβ>0, να υπολογιστε ί ο
z 1 και να δε ιχθε ί ότ ι : .20 20
1 1z +1+i - z +1-i =0
Μονάδες 10
Επαναληπτικές εξετάσεις 2007
247.
Αν γ ια τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς z και w ισχύουν:
i+2 2 z = 6 και w 1 i w 3 3i , τό τε να βρε ίτε :
α. το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών αριθμών z .
Μονάδες 6
β. το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών αριθμών w.
Μονάδες 7
γ. την ελάχιστη τ ιμή του │w│.
Μονάδες 6
δ. την ελάχιστη τ ιμή του │z - w│.
Μονάδες 6
Πανελλήνιες εξετάσεις 2008
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
68 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
248.
Δίνετα ι ό τ ι ο μ ιγαδ ικός αριθμός z 1 = 1 i 3
2
ε ίνα ι ρ ί ζα της εξ ίσωσης
z 2 +βz+γ=0, όπου β και γ πραγματ ικοί αριθμο ί .
α. Να αποδε ίξε τε ότ ι β=–1 και γ=1.
Μονάδες 9
β. Να αποδε ίξε τε ότ ι : 3
1z 1 .
Μονάδες 8
γ. Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων του μ ιγαδ ικού αριθμού w, γ ια τον οπο ίο ισχύε ι :
1 1w z z .
Μονάδες 8
Επαναληπτικές εξετάσεις 2008
249.
Θεωρούμε τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς z= (2λ+1)+(2λ−1) i , λR.
Α.α. Να βρε ίτε την εξ ίσωση της ευθε ίας πάνω στην οπο ία
βρίσκονται ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών αριθμών z , γ ια τ ις δ ιάφορες
τ ιμές του λ R .
Μονάδες 9
β. Από τους παραπάνω μιγαδ ικούς αριθμούς να αποδε ίξετε ό τ ι ο
μ ιγαδ ικός αριθμός z 0 = 1 - i έχε ι το μ ικρότερο δυνατό μέτρο .
Μονάδες 8
Β. Να βρεθούν ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμοί w ο ι οπο ίο ι ικανοποιούν την
εξ ίσωση 2
0w w 12 z όπου z 0 ο μ ιγαδ ικός αριθμός που αναφέρετα ι
στο προηγούμενο ερώτημα.
Μονάδες 8
Πανελλήνιες εξετάσεις 2009
250.
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει :
(2 i )z + (2 +i ) z 8 = 0
α. Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών
z = x+yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση.
β. Nα βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό z 1 και τον μοναδικό
φανταστικό αριθμό z 2 οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση.
γ. Για τους αριθμούς z1 , z2 που βρέθηκαν στο προηγούμενο
ερώτημα να αποδείξετε ότι z1+z2 2 + z 1 z2 2 = 40.
Επαναληπτικές εξετάσεις 2009
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
69 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
251.
Δίνετα ι η εξ ίσωση 2
2zz
, όπου z C με z≠0.
α. Να βρε ί τε τ ις ρ ίζ ες z 1 και z 2 της εξ ίσωσης.
Μονάδες 7
β. Να αποδε ίξε τε ότ ι : 2010 2010
1 2 0z z .
Μονάδες 6
γ. Αν γ ια τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς w ισχύε ι : 1 24 3w i z z τότε
να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των w στο μ ιγαδ ικό
επ ίπεδο .
Μονάδες 7
δ. Για τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς w του ερωτήματος γ . να
αποδε ίξε τε ό τ ι : 3 7w .
Μονάδες 5
Πανελλήνιες εξετάσεις 2010
252.
Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z 1 , z2 είναι οι ρίζες εξ ίσωσης δευτέρου
βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τ ις οποίες ισχύουν:
z1 + z2 = –2 και z 1 ⋅z2
= 5.
B1. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z 1 , z2 .
Μονάδες 5
B2. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση :
|w – z1|2 +|w – z2|2 = | z1 − z 2|2
να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο
μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση (x+1) 2
+ y2
= 4.
Μονάδες 8
B3. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β2 να βρείτε
εκείνους για τους οποίους ισχύει 2 ⋅Re(w) + Im(w) = 0.
Μονάδες 6
B4. Αν w1 , w2
είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος
Β2 με την ιδιότητα |w1 – w2|=4, να αποδείξετε ότι |w1 + w2|=2.
Μονάδες 6
Επαναληπτικές εξετάσεις 2010
253.
Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = x + yi , x , yR.
B1. Αν ισχύει ότι: 2 3z i z , τότε να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό z.
Μονάδες 8
B2. Αν 2z i , τότε να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των
μιγαδικών αριθμών w για τους οποίους ισχύει ότι: 2
w z z .
Μονάδες 7
B3. Αν 2z i και 1
z izu
z
, τότε να αποδείξετε ότι:
20101u .
Μονάδες 10
Πανελλήνιες εξετάσεις Εσπερινών 2010
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
70 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
254.
Θεωρούμε την εξίσωση z 2–6z+γ=0 με γ∈ℝ , η οποία έχει ρίζες τους
μιγαδικούς αριθμούς z 1 , z2 με Im(z1 ) > 0 και |z 1| = 5.
Γ1. Να αποδείξετε ότι γ=25.
Μονάδες 8
Γ2. Αν γ=25, να βρείτε τ ις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης.
Μονάδες 5
Γ3. Αν για τον μιγαδικό αριθμό w ισχύει |w – z1| = |w – z2|, να
αποδείξετε ότι w∈ℝ .
Μονάδες 6
Γ4. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης (z1–2–3i) 8 + (z2–4+5i)8 .
Μονάδες 6
Επαναληπτικές εξετάσεις Εσπερινών 2010
255.
Έστω ο ι μ ιγαδ ικο ί αριθμο ί z και w με z≠3 i , ο ι οπο ίο ι ικανοποιούν
τ ις σχέσε ις :
1z -3i + z +3i = 2 και w = z - 3i +
z -3i.
Β1. Να βρε ίτε το γεωμετρ ικό τόπο των ε ικόνων των μ ιγαδ ικών
αριθμών z .
Μονάδες 7
Β2. Να αποδε ίξετε ότ ι :
1z +3i=
z 3i.
Μονάδες 4
Β3. Να αποδε ίξε τε ότ ι ο w ε ίνα ι πραγματ ικός αριθμός και ότ ι : -
2≤w≤2.
Μονάδες 8
Β4. Να αποδε ίξετε ότ ι : z -w z .
Μονάδες 6
Πανελλήνιες Εξετάσεις 2011
256.
Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:
z-i =1+Ιm(z) (1) και w w 3i i 3w i (2)
B1.Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών
αριθμών z είναι η παραβολή με εξίσωση 21
y = x4
Μονάδες 7
B2.Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών
αριθμών w είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(0, 3) και ακτίνα ρ=2
2 .
Μονάδες 7
B3.Να βρείτε τα σημεία Α και Β του μιγαδικού επιπέδου, τα οποία
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
71 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, w με z =w.
Μονάδες 5
B4.Nα αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές
και, στη συνέχεια, να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό u με εικόνα στο
μιγαδικό επίπεδο το σημείο Λ, έτσι ώστε το τετράπλευρο με κορυφές
τα σημεία Κ, Α, Λ, Β να είναι τετράγωνο.
Μονάδες 6
Επαναληπτικές εξετάσεις 2011
257.
Θεωρούμε τους μιγαδ ικούς αριθμούς z και w γ ια τους οπο ίους
ισχύουν ο ι επόμενες σχέσε ις : 2 2
z 1 z 1 4 (1)
w 5w 12 (2)
Β1. Να αποδε ίξετε ότ ι ο γεωμετρικός τόπος των ε ικόνων των
μ ιγαδ ικών αριθμών z στο επ ίπεδο ε ίνα ι κύκλος με κέντρο την αρχή
των αξόνων και ακτ ίνα ρ = 1 .
Μονάδες 6
Β2. Αν z 1 , z 2 ε ίναι δύο από τους παραπάνω μιγαδ ικούς αριθμούς z
με 1 2z z 2 τό τε , να βρε ίτε το 1 2z z .
Μονάδες 7
Β3. Να αποδε ίξετε ότ ι ο γεωμετρικός τόπος των ε ικόνων των
μ ιγαδ ικών αριθμών w στο επ ίπεδο ε ίνα ι η έλλε ιψη με εξ ίσωση 2 2x y
19 4 και στη συνέχε ια να βρε ί τε τη μέγιστη και την ελάχιστη
τ ιμή του w .
Μονάδες 6
Β4. Για τους μ ιγαδ ικούς αριθμούς z , w που επαληθεύουν τ ις
σχέσε ις (1 ) και (2 ) να αποδε ίξετε ότ ι : 1≤ z - w ≤4.
Μονάδες 6
Πανελλήνιες Εξετάσεις 2012
258.
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, με z≠-1 για τους οποίους ο
αριθμός
z 1w=
z 1 είναι φανταστικός.
Να αποδείξετε ότι:
Β1. |z|=1.
Μονάδες 7
Β2. O αριθμός
41
zz
είναι πραγματικός.
Μονάδες 6
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
72 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Β3.
1 2
1 2
1 1z z 4
z z όπου z1 , z2 δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς
αριθμούς z.
Μονάδες 6
Β4. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u, για τους οποίους ισχύει
i
u ui = ww
, w≠0 ανήκουν στην υπερβολή x 2-y2=1.
Μονάδες 6
Επαναληπτικές Εξετάσεις 2012
259.
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει :
(z − 2) ( z − 2) + z 2 = 2.
B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z , είναι κύκλος με κέντρο K (2,0) και ακτίνα ρ = 1. (μονάδες 5) Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό z που ανήκει στον παραπάνω
γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι z 3 .
(μονάδες 3) Μονάδες 8 B2. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z 1 , z 2 που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης w2 + βw + γ = 0 , με w
μιγαδικό αριθμό, β,γ R , και 1 2Im(z ) Im(z ) 2
τότε να αποδείξετε ότι: β = − 4 και γ = 5 Μονάδες 9 B3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς α o , α1 , α2 οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β1 . Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί τη σχέση:
v3 + α2 v2 + α1 v + α0 = 0 τότε να αποδείξετε ότι: v 4
Μονάδες 8
Πανελλήνιες Εξετάσεις 2013
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
73 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
260.
Δίνεται η εξίσωση
22
z + (z + z ) i - 4 - 2i = 0, z∈ℂ .
B1. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. Μονάδες 9
B2. Αν z1=1+i και z 2=1- i είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε
να αποδείξετε ότι ο αριθμός
39
1
2
zw 3
z
είναι ίσος με -3i
Μονάδες 8
B3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών
αριθμών u για τους οποίους ισχύει 1 2u w 4z z i
όπου w, z1 , z2 οι μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος Β2. Μονάδες 8
Πανελλήνιες Εξετάσεις 2014
261.
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους
ισχύουν:
2z iw
2z i,
iz
2
w φανταστικός
B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z, είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή των
αξόνων και ακτίνα ρ=1
2, εκτός από το σημείο M(0, -
1
2) , του
κύκλου
Μονάδες 10 B2. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z, του ερωτήματος Β1, να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει
|w|= 1. Μονάδες 8
B3. Αν είναι z=1
2 , τότε να αποδείξετε ότι w4 + i w7 = 0
Μονάδες 7
Επαναληπτικές Εξετάσεις 2014
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
74 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 1.1 Ισότητα μιγαδικών – Re(z ) – Im(z )
1.
α ) α=15 , β=-5
β ) α=24 , β=10
γ ) α=2,β=1 ή α= -9 , β=25
3
δ ) α=2 , β= -11
ε ) α=3 , β=4
στ ) α=6 , β= -4
2 .
Να βρεθε ί το πραγματ ικό και το φανταστ ικό μέρος των μ ιγαδ ικών:
α) Re(z 1 )=1 , Im(z 1 )=1
β) Re(z 2 )=9
5 , Im(z 2 ) = -
4
5
γ) Re(z 3 )=0 , Im(z 3 ) = 2 2
2y
x y
δ) Re(z 4 )= 1 , Im(z 4 ) = 0
3.
α ) x=-19 , y=7
β ) x=4
3 , y=
2
3
γ ) x=1
6 , y=
1
6
4. x=π
4
5. x=1 , y=5
6. x=22 , y=-2
7. A = 5
3 i2
, B = -14i , Γ = 23α 1
2α
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
75 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 1.2 Συζυγείς μιγαδικοί – Πράξεις
Α 1.3 Γεωμετρική παράσταση μιγαδικού
Α 1.4 Δυνάμεις του i και δυνάμεις του 1+ i και του 1 - i
Δυνάμεις του z
8. α ) - i , β ) 1
i5
, γ ) 5 1
i26 26
, δ ) 1-2i
9.
α ) 6+0i , β ) 0-2 i , γ ) 0+i , δ ) i , ε ) -3-4i , στ ) 3-2i , ζ ) 3 3
i2 2
η ) 1 3 2 3
i2 2
10. α ) χ=4 y=2 ή x=2 y=4
β ) x=1 y=-1 ή x=2 y=1
11. β) x=1
13. w = z 2 + 2z
14. β) z 4=-2 + 2i
16. Α = 2 , B =
1 , αν ν = 4π
1 i , αν ν = 4π+1
i , αν ν = 4π+2
0 , αν ν = 4π+3
, Γ = 0
17. S =
0 , αν ν = 4π
1 i , αν ν = 4π+1
i , αν ν = 4π+2
0 , αν ν = 4π+3
19. A = ν
2 1
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
76 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 1.5 Αντισυζυγείς
Α 1.6 Βρες τον w ώστε: w 2 = z
25. α) Να βρεθε ί ο z 3 = -1 και z 6 = 1
26.
Να υπολογίσετε τ ις δυνάμεις :
α) 100618 β) 18212 γ) 14523 i 2 δ) 710
20. f (55)=- i , f ( -25)=- i , f (3ν)=
1 , αν ν = 4π
i , αν ν = 4π+1
1 , αν ν = 4π+2
i , αν ν = 4π+3
.
21. α) -128
β) ν = 4π+2 , πΝ
27. 2 7i .
28. 0
29. ν = 4π + 2 , πΝ
32.
Να βρεθε ί ο wC ώστε w 2 = z , όπου :
α) w=2-i ή w=-2+i , β) w=2i ή w=-2i , γ) w 2 2 i ή w 2 2 i
δ) w=3-2i ή w=-3+2i , ε) w 1 2 i ή w 1 2 i
34. Χρησιμοποιώντας την άσκηση 33 z = 6-6i .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
77 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 1.7 Εξισώσεις
Α 1.8 Δείχνω ότι : zR Δείχνω ότι: z :φανταστικός
Α 1.9 Γεωμετρικοί τόποι
35. α ) z = 1 + 3i ή z = -1 - 3 i
β ) z = 3 – 2 i ή z = -3 + 2i
36. α ) z = -1 ή z = 1 + 2 i ή z = 1-2i
β ) z = 6 + 5 i ή z = -6 + 5i
37. Δείξε πρώτα ότ ι z 3 = 1 και μετά ότ ι : z 2 0 0 1 + 2001
1z
=2.
38. β = -12 , γ=39
39. α) z 1 2 i
β) κ = 0 , λ = -1
40.
7 9z i
5 5
α) αδύνατη στο R
β) στο C η λύση ε ίνα ι ο z .
41. α) z = -1 – 4 i
β) z = 1+i ή z = -1+i
49. ε 1 : y = -x-1 , ε 2 : y = x - 1
52. α)
3x
2 β) y = 1 γ) x=0 ή y=0 δ) x=0 ή x 3 y 0 ή x 3 y 0
ε) y=0 ή y 3 x ή y 3 x
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
78 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
53. Κύκλος με κέντρο το
1 1K ,
4 2
και ακτ ίνα 5
ρ = 4
εκτός του σημείου
Α(0 , 1 ) .
55. Ισοσκελής υπερβολή: y 2 – x 2 = 1 .
56.
α) η ευθε ία : 3
y x 12
β) ο κύκλος: x 2 + y 2 = 1
γ) ο κύκλος: (x+1) 2 + (y-2) 2 = 1
δ) η έλλε ιψη:
2 2x y1
9 4
57. 2
2 yx 1
4 χωρίς το σημείο Α(0 , 2 )
58. Η ευθε ία : y = -2x-2 χωρίς το σημείο Α( -1 , 0 )
59. Ο κύκλος με κέντρο Κ(4 , -2) και ακτίνα ρ=2 2 , χωρίς το σημείο
Α(6 , 0 )
60. Η ευθε ία : y = x – 1 χωρίς το σημείο Α(0 , -1 )
61.
α) ο κύκλος με κέντρο Κ( -1 , 0) και ακτ ίνα ρ = 1 , χωρίς το σημείο
Α( -2 , 0 )
β) ο άξονας x΄x χωρίς το σημείο Α ( -2 , 0 )
62. Ο κύκλος με κέντρο το Κ(1 , 3 ) και ακτ ίνα ρ=1
63. Η παραβολή y 2 = 4x
64. C : y 2 = 6x , 3 3
E , 0 , δ: x2 2
65. Τα σημεία του κύκλου με κέντρο K(2 , 2 ) , ακτ ίνα ρ= 2 2 γ ια τα οπο ία
x0.
66. Η υπερβολή x 2 – y 2 = 1
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
79 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
67. Κύκλος με κέντρο Κ( -2 , -1) και ακτ ίνα ρ = 2
68. Κύκλος με κέντρο Κ(3 , 0 ) και ακτ ίνα ρ = 3
69.
α) Οι ευθε ίες ε 1 : y=0 , ε 2 : 1
x2
β) Κύκλος με κέντρο 1
K , 02
και ακτ ίνα ρ = 1
2
70. Κύκλος με κέντρο 1
K 0 , 2
και ακτ ίνα ρ = 1
71. Κύκλος με κέντρο το Κ(1 , 0 ) και ακτίνα ρ = 1 χωρίς το σημείο
Ο(0 , 0 )
72. Η ευθε ία ε : y = x + 2 χωρίς το σημείο Α( -2 , 0 )
73. Κύκλος με κέντρο
1 1K ,
2 6
και ακτ ίνα ρ = 10
6 χωρίς το σημείο
Α( -1 , 0 )
74.
α) Η ευθε ία y = 0 χωρίς το σημείο Ο(0 , 0 ) ή ο κύκλος με κέντρο
Κ(0 , 0 ) και ακτ ίνα ρ=2
β) Ο κύκλος με κέντρο Κ(1 , 0 ) και ακτ ίνα ρ=1 χωρίς το σημείο
Ο(0 , 0 )
γ) Η ευθε ία ε : x = 0 χωρίς το σημείο Ο(0 , 0 ) ή ο μοναδια ίος κύκλος.
δ) Η γραμμή x 2 – y 2 + 4x + 4y – 3 = 0 χωρίς το σημείο Α( -4 , 1 )
76.
Αν Μ(α , β) η ε ικόνα του w, τότε ο ζητούμενος γ . τ ε ίνα ι η έλλε ιψη: 2 2
2 2
x y1
α β
77. β) Η έλλε ιψη:
2 2
2 2
x y1
1 1
α β
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
80 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 2.1 Εύρεση Μέτρου
Α 2.2 Σχέσεις με μέτρα
78.
α) |z| = 5 β) |z| =1 γ) |z| = 1 δ) |z| = 5 ε) |z| =1
στ) |z| = 2 2 2 2α β α γ
β - γ
79. |z| =10
2
80.
|z| = 3 3
4
|v| =1
5
|w| =91
2
81.
α) Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη και αξιοποίησε την ιδιότητα: 2
z z z
β) Όμοια με το α)
82. Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη και αξιοποίησε την ιδιότητα:
2z z z
83. Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη και αξιοποίησε την ιδιότητα:
2z z z
84. z=-2-2i και |z|= 2 2
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
81 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
85. Aξιοποίησε την ιδιότητα: 2
z z z
86. β) i ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3z + z + z = z + z + z z + z + z ... .
i i ) Συνέχισε το προηγούμενο ερώτημα κάνοντας ομώνυμα…
87. Τετραγώνισε και τα δύο μέλη …
88. 1 2 1 21 2
1 1z = z = 1 άρα z και z
z z . Μετά αρκεί να δε ί ξ ε ις ότ ι z z .
89. .w w ..
90. Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη και αξιοποίησε την ιδιότητα:
2z z z
91. .z - 9 = 3 z - 1 και μετά τετραγώνισε και τα δύο μέλη ..
92.
Συνέχισε τη σχέση2 2 2
1 2 1 2z + z = z - z αξιοποιώντας την ιδιότητα: 2
z z z .
Στη σχέση :1 2 1 2z + z = z - z τ ετραγώνισε και θα καταλήξε ις σε κάτ ι που
ισχύε ι .
95.
Είναι σωστό ή λάθος ότ ι :
α) Λάθος
β) Λάθος
97. β) γ)
98. 1 2 1 21 2
1 1z = z = 1 άρα z και z
z z . Μετά αρκεί να δεί ξ ε ις ότ ι : w w
99. Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη και αξιοποίησε την ιδιότητα:
2z z z
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
82 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 2.3 Εξισώσεις
100. α) z = 3+4 i
β) 2002
101. α) α =-1 και β = 2
β) i i ) z=1.
102.
1 2 1 21 2
1 1z = z = 1 άρα z και z
z z
α) z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1 = 0 άρα και 1 2 1 2z z z z 1 0......
β z 1=i ,z 2 = - i ή z 1 =- i , z 2 = i .
γ) | z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1| = 1 2 1 2z z z z 1 =….
104.
Ο άξονας x΄x χωρίς το σημείο Ο(0 , 0 ) ή ο κύκλος με κέντρο
Ο(0 , 0 ) και ακτ ίνα ρ=2.
α ) ( z 1 + z 2 + z 3 ) 31 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
zz z1 1 1 1z z z z z z z z z ....
z z z 4 4 4 4
β ) Θέλεις να δε ίξε ις ότ ι : 1 2 31 2 2 3 1 3
1z z z
2z z z z z z . Μετά δούλεψε
όπως στην άσκηση 86
105. α) β= 2 και γ=-3.
β) z 1 = 1 + i και z 2 = 1 - i .
106. z = 4 +3i .
107. z = -1 + i ή z = -1 – 3 i
108.
Έστω ότ ι υπάρχει α R- {1 } τ έτο ιο , ώστε η εξ ίσωση:
1 + α i1 iz , ν Ν , z C
α + i
, να έχε ι πραγματική λύση z = xR.
Φόρεσε μέτρα στη σχέση 1 + α i1 iz
α + i
και θα καταλήξε ις σε άτοπο .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
83 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 2.4 Ανισώσεις – Μέγιστη , ελάχιστη τιμή μέτρου
109. Φόρεσε μέτρα στην : ( i z – 2 ) ν = w(z + 2 i ) ν ….
110. max{|z-1+2i| }= 5 1 και min{|z-1+2 i| }= 5 1 .
112. Τετραγώνισε και τα δύο μέλη της :|z 1 - z 2|<|1- 1z z 2 |και θα
καταλήξε ις σε κάτ ι που ισχύε ι .
114.
α) max{|z 1+z 2|}=20+ 41 και min{|z 1 +z 2|}=20- 41 .
β) max{|z 2 -1|}=21 και min{|z 2-1| }=19.
γ) max{|z|}= 41 +1 και min{|z| }= 41 -1
116. Βρες τα σημεία τομής του κυκλικού δ ίσκου και του κύκλου που
σου δ ίνε ι στα δεδομένα , καθώς και το σημείο τομής με τον x΄x .
117. α ) i ) max{|z 2-5 i| }=7 γ ια z 2 =-2 i
i i ) min {|z 2-5i| }=3 γ ια z 2 =2i
118. Θεώρησε z 1 = x 1 + α i και z 2 = x 2 + α i .
Τότε f (x 1 )=|z 1| και f (x 2 )=|z 2 | ……..
119. α)
2
1 2Δ = - 4 z z 1 0.......
β) -|z 1 – z 2 |
120.
β. z 1 = 3 i και z 2 = 1
i3
γ. Κύκλος με κέντρο το 5
K 3,3
και ακτ ίνα 4
ρ = 3
.
δ. max{|w-2+i| } = 7 και min{|w-2+i| } = 13
3
ε. min{ 2z z } = 4
2 13
.
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
84 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 2.5 Παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο
121. α) α=-6 , β=13 , z 2 = 3-2i .
β) 4
122. Β . Εφαρμογή της τρ ιγωνικής αν ισότητας
123. max{ z 8i }=12 και min{ z 8i }=8.
125. 2|z|=|2z|=|(z+1) 2 - ( z 2 +1)| ……
126. Τετραγώνισε και τα δύο μέλη, θα καταλήξε ις σε κάτ ι που ισχύε ι .
127. max{|z 1 – z 2 |}=8 και min{|z 1 – z 2|}=2 .
128. Πρέπει z 2 – 3z + 2 R , άρα….
129.
α) Κύκλος με κέντρο Ο(0 ,0) και ακτ ίνα ρ=3
β) Κύκλος με κέντρο Κ(1, -3) και ακτ ίνα ρ=1
γ) Κυκλικός δ ίσκος με κέντρο Κ(5 ,0) και ακτ ίνα ρ=5
δ) Τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ( -2 ,-1) και ακτ ίνα
ρ=2
ε) Κύκλος με κέντρο Κ(3 , -2) και ακτίνα ρ=1
στ) Τα σημεία και τα εξωτερ ικά σημεία του κύκλου με κέντρο
Κ(2 ,0) και ακτ ίνα ρ=1
ζ ) Τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(0 ,1) και ακτ ίνα
ρ=1
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
85 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
Α 2.6 Γεωμετρικοί τόποι
130.
α) Η ευθε ία ε :y=2x+7
β) 14 7
z i5 5
131. z=3+9i ή z=-1-3i
132.
α) x 1
β) y 2
γ) 1
x2
εκτός του σημείου Α(1 ,0)
δ) Τα σημεία και τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(0 , -
1 ) και ακτ ίνα ρ 1 =4 και τα σημεία και τα εξωτερ ικά σημεία του
κύκλου με κέντρο Κ(0 , -1) και ακτ ίνα ρ 2 =3.
133. α)Κύκλος με κέντρο Κ(3 , -3) και ακτ ίνα ρ= 2 .
β)w 1 =4-4i και w 2 =2-2 i .
134.
α) ε : 4χ + 3y – 41 = 0 .
β) χ 2 + (y+3) 2 = 25
γ) min{|z-w|} = 5
135. Αρκεί να δε ίξ ε ις ότ ι | z 1- z 2 |=|z 2 - z 3|=|z 3 - z 1|…..
136. Κύκλος με κέντρο Κ(1 ,0) και ρ=6.
137. Αρκεί να δε ίξ ε ις ότ ι |w|=1.
141. Κέντρο 7 1
K ,4 4
και ακτ ίνα ρ=
3
4
142. α) Κύκλος με κέντρο Κ(0 ,0) και ακτ ίνα ρ=1
2
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
86 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
143. y 2 =-2x , εστ ία Ε1
,02
και δ ιευθετούσα δ :1
x2
.
144. Κύκλος με κέντρο 7
K ,22
και ακτ ίνα ρ=3
2.
145. C : (x-3 ) 2 + (y+1) 2 = 16 , ε : y = 3 .
146. C :
22x
y 125
147. 24 6
z i5 5
148. Η έλλε ιψη:
2 2x y1
81 32
149. z 2i z 2i 2 , Η υπερβολή
22 x
y 13
, y -1 .
150. Κύκλος με κέντρο Κ(1 ,3) και ακτ ίνα ρ= 5 .
151. α) Ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ(α ,0) και ακτ ίνα ρ=1.
β) α=2.
152.
α) Κύκλος με κέντρο 1
K ,12
και ακτ ίνα ρ= 5 .
β) max{|z| } = 3 5
2 και min{|z|} =
5
2.
153. |z|=3 …..
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
87 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
154. α) Κύκλος με κέντρο
1 3K ,
2 2
και ακτ ίνα ρ=3 .
β) Κύκλος με κέντρο Κ( -3,0) και ακτίνα ρ=2 .
155.
α) Κύκλος με κέντρο 2 4
K ,5 5
και ακτ ίνα ρ=2 10
5.
β) Η ευθε ία ε : x-y-4=0.
γ) min{ |z – w|}=11 2 2 10
5
.
156. α) Η έλλε ιψη:
2 2x y1
16 25 .
β) min {|z 1- z 2|}=10 , max{|z 1 - z 2|}=8.
158. α) Η υπερβολή
2 2y x1
9 7 με y -3 .
β) z=-3 i .
159. Κύκλος με κέντρο Κ(0 , -1) και ακτ ίνα ρ=2….
160. Κύκλος με κέντρο 3 4
K ,5 5
και ακτ ίνα ρ=1.
162. α) c : χ 2 + (y -1) 2 = 1
β) ε : y = -2
163. β) |z|=1 , |w|=1 ….. .
164. α)
2 2x yc: 1
3 4 .
β) max{|w 1 – w 2 |}=2α=4
165. y=2x 2 – 1 .
Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Μιγαδικοί Αριθμοί
88 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 –www.kentromelet is .edu .gr
166. α) Ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ( -2,0 ) και ακτ ίνα ρ= 3 .
167.
α) C 1 :
2 2x y1
4 3 .
β) 7 3
z 15 i4 4