Хаптахаева н б , дамбаева с в , аюшешва н н , 2004 введение в теорию нечетких множеств

Федеральное агентство по образованию

Восточно-Сибирский государственный технологический

государственный университет

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Учебное пособие Часть I

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ 2004

2

УДК 519.5 510.22 ББК 22.12 Ха199

Хаптахаева Н.Б., Дамбаева С.В., Аюшеева Н.Н. Введение в теорию нечетких множеств: Учебное пособие. – Часть I. – Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2004. - 68 с.: ил. Ха199 ISBN 5-89230-199-0 Рецензенты: Д.Ш. Ширапов, д.ф-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Электронно-вычислительные системы» ВСГТУ Б.М. Степанов, к.т.н., доцент, заведующий кафедрой «Информационные технологии) БГУ Учебное пособие предназначено для студентов специальностей 220400 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» и 351500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». Пособие состоит из двух частей и содержит теоретические основы и приложения по дисциплине «Нечеткая логика». В части I рассмотрены основы теории нечетких множеств: понятие нечетких множеств, нечетких отношений, а также понятие нечеткой и лингвистической переменных. Материал снабжен контрольными вопросами и упражнениями для самостоятельного выполнения. Ключевые слова: нечёткое множество, нечеткое отношение, нечеткая переменная, лингвистическая переменная, нечеткий логический вывод. Печатается по решению редакционно-издательского совета Восточно-Сибирского государственного технологического университета. ISBN 5-89230-199-0 ББК 22.12 Хаптахаева Н.Б. с соавт., 2004 г.

ВСГТУ, 2004 г.

3

Оглавление

Введение .............................................................................................................................................4 1. Нечеткие множества ......................................................................................................................6

1.1. Основные характеристики нечетких множеств ...................................................................6 1.2. Методы построения функции принадлежности.................................................................10 1.3. Операции над нечеткими множествами .............................................................................13

1.3.1. Логические операции над нечеткими множествами ..................................................13 1.3.2. Алгебраические операции над нечеткими множествами...........................................17

Контрольные вопросы .................................................................................................................21 Упражнения ..................................................................................................................................22

2. Нечеткие отношения и операции над ними...............................................................................24 2.1. Нечеткие отношения.............................................................................................................25 2.2. Операции над нечеткими отношениями .............................................................................28 2.3. Свойства нечетких отношений ............................................................................................33 2.4. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения.............................................37 2.5. Специальные типы нечетких отношений ...........................................................................39

2.5.1. Нечеткие отношения предпорядка ...............................................................................39 2.5.2. Нечеткие отношения порядка .......................................................................................40 2.5.3. Отношение подобия.......................................................................................................41 2.5.4. Отношения различия. ....................................................................................................43 2.5.5. Отношения сходства и несходства ...............................................................................44


3. Нечеткая и лингвистическая переменные .................................................................................50 3.1. Понятие нечеткой и лингвистической переменных ..........................................................50

3.1.1. Характеристики простых отношений между нечеткими переменными ..................52 3.2. Нечеткие числа ......................................................................................................................54

3.2.1. Операции над нечеткими числами ...............................................................................54 3.2.2. Сравнение нечетких чисел ............................................................................................56

3.3. Лингвистические неопределенности...................................................................................59 3.3.1. Вычисление значений лингвистических переменных................................................61


Заключение .......................................................................................................................................66 Список рекомендуемой литературы ..............................................................................................67

4

Введение

Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является

способность принимать правильные решения в обстановке неполной и

нечеткой информации. Традиционные компьютерные вычисления «слишком

точны» для реального мира. Человечество столкнулось с проблемами, для

решения которых невозможно получить полную информацию или определение

которых недостаточно полно. Казалось бы ситуация безвыходная, но благодаря

развитию и совершенствованию так называемых нечетких и гибридных систем

в настоящее время уже довольно обыденно воспринимаются

«сверхинтеллектуальные» стиральные машины и бытовые автоматы,

гиперзвуковые самолеты и самонаводящиеся ракеты и многое другое.

Математическую основу нечетких и гибридных систем составляют

противоположные традиционным компьютерным вычислениям (hard

computing), так называемые мягкие вычисления (soft computing), одной из

составляющих которых является нечеткая логика.

Математическая теория нечетких множеств, предложенная в 1965 в

работах Лотфи А. Задэ (Lotfi A. Zadeh), профессора технических наук

Калифорнийского университета в Беркли, позволяет описывать нечеткие

понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы.

Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких

систем существенно расширяют области применения компьютеров. В

последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и

результативных областей исследований применения теории нечетких

множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда

технологические процессы являются слишком сложными для анализа с

помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные

источники информации интерпретируются качественно, неточно или

неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает

лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых

5

алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и

прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения,

проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на

которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому

мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы.

Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения

неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических

средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить

модель, адекватную реальности.

Учебное пособие состоит из двух частей и содержит теоретические

основы нечеткой логики. Первая часть пособия посвящена математической

теории нечетких множеств и состоит из трех разделов.

В первом разделе рассмотрены основные определения и понятия теории

нечетких множеств: характеристики нечетких множеств, методы построения

функций принадлежности элемента нечеткому множеству, операции над

нечеткими множествами, свойства операций.

Второй раздел содержит основные определения и понятия нечетких

отношений и операций над ними, свойств нечетких отношений. Рассмотрены

специальные типы бинарных нечетких отношений: нечеткое отношение

предпорядка, нечеткое отношение порядка, нечеткое отношение подобия,

нечеткое отношение сходства, нечеткое отношение различия.

В третьем разделе вводятся понятия нечеткой и лингвистической

переменных, в качестве значений которых выступают нечеткие множества, а

также рассматриваются понятия нечетких чисел и лингвистических

неопределенностей.

Каждый раздел сопровождается контрольными вопросами и

упражнениями для самостоятельного выполнения.

6

1. Нечеткие множества

1.1. Основные характеристики нечетких множеств

Опр.1.1. Нечетким множеством А во множестве U называется

совокупность пар вида (u, µА(u)), где u∈U, а µА(u)) – это функция

принадлежности нечеткого множества А, µА: U → [0,1]. Здесь U – некоторое

обычное множество, называемое универсальным множеством.

Для любого элемента U функция принадлежности µА определяет степень

принадлежности данного элемента множеству А.

Нечеткое множество можно записать следующим образом:

uuA AUu

/)(µΥ∈

= (1.1)

П р и м е р ы з а п и с и н е ч е т к и х м н о ж е с т в

1. Если U = (a, b, c, d, e, f); M = (0, 0.5, 1), тогда А можно представить в

виде: А = (0/а, 1/b, 0.5/c, 0/d, 0.5/e, 0/f).

2. Если А = (0.8/а1, 1/a2, 0.4/a3, 0.2/a4, 0.5/a5, 0/a6), то U = (a1, а2, а3, а4, а5,

а6); M = (0, 0.2, 0.4, 0.5, 0.8, 1).

3. Если элементы множества U являются числовыми значениями, то

порядок следования элементов пары должен соответствовать (1.1). U = (1, 2, 3,

4, 5, 6); M = (0, 0.5, 1), тогда А = (0/1, 0/2, 0.5/3, 0.5/4, 0.5/5, 1/6).

Обычные множества составляют подкласс класса нечетких множеств.

Функцией принадлежности обычного множества В ⊂ U является функция:

∉∈

=Bu Bu

uB ,0,1

)(µ (1.2)

Опр.1.2. Нечеткое множество А называется пустым, если Uu uA ∈∀= ,0)(µ

Опр.1.3. Носителем нечеткого множества А называется обычное

подмножество таких точек U, для которых величина µА(u) положительна.

Носитель обозначается S(A) или SuppA:

}0)(,{)( >∈= uUu uAS Aµ (1.3)

7

Опр. 1.4. Высотой h(A) нечеткого множества А называется величина

)(sup)( uAh AUuµ

∈= (1.4)

Нечеткое множество А называется нормальным, если его высота равна

единице. В противном случае нечеткое множество А субнормально. Отметим,

что субнормальное нечеткое множество всегда можно нормализовать, поделив

функцию принадлежности µА на величину )(sup)( uAh AUuµ

∈= .

Опр. 1.5. Элементы множества U, для которых степень принадлежности

µА(u) = 0.5 называются точками перехода нечеткого множества А.

П р и м е р ы н е ч е т к и х м н о ж е с т в

1. Пусть универсальное множество U представлено в виде {a, b, c, d, e} и

нечеткое подмножество А, заданное на U, имеет вид A = (0/a, 0.5/b, 0.6/c, 0.7/d,

0.85/e).

Тогда носителем нечеткого множества A является S(A) = {b, c, d, e}.

Высота нечеткого множества А - h(A)=0.85. Точка перехода - u=b. Множество А

– субнормально. Нормализованное множество будет иметь вид:

A = (0/a, 0.6/b, 0.7/c, 0.8/d, 1/e).

2. Пусть универсальное множество U представляет собой интервал [0,

100], и переменная u, принимающая значения из этого интервала,

интерпретируется как «Возраст».

Тогда нечеткое множество A, обозначаемое термином «Старый», можно

определить функцией принадлежности вида

≤<

−

+

≤≤

=−−

100u50при u

50u0при

uA ,5501

,0

)(12µ (1.5)

Здесь носитель S(A) = (50, 100]. Высота множества «Старый» близка к 1,

соответственно множество нормальное. Точкой перехода является значение

u=55.

8

3. Пусть U = [0, 100] и переменная u, принимающая значения из этого

интервала, интерпретируется как «Возраст». Тогда нечеткое множество

«Молодой», можно определить функцией принадлежности вида

( )( )

≤<−+

≤≤=

100u25при u

25u1при uМолодой ,

5/2511

,1)(

2

µ (1.6)

Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве

U′={Иванов, Петров, Сидоров, …} задается с помощью функции

принадлежности µМолодой(u) на U = [0, 100], называемой по отношению к U′

функцией совместимости, при этом:

µМолодой(Петров) = µМолодой(u),

где u – возраст Петрова.

4. Пусть U = {Запорожец, Жигули, Мерседес, …} – множество марок

автомобилей, а U′ = [0,∞) – универсальное множество «Стоимость. Тогда на

U′ можно определить нечеткие множества типа: «Для бедных», «Для среднего

класса», «Престижные», с функциями принадлежности вида рис. 1.1.

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из U в данный момент

времени, мы тем самым определим на U′ нечеткие множества с этими же

названиями.

Так, например, нечеткое множество «Престижные», заданное на

универсальном множестве U = {Запорожец, Жигули, Мерседес, …} выглядит

как показано на рисунке 1.2.

Рис.1.1. Примеры функций принадлежности

9

Запорожец

Жигули

МерседесФеррари

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные»,

«Средние», «Тихоходные» и т.д.

5. Пусть U = {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9} – множество целых чисел. Тогда

нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно

определить, например, так:

А = {0/-8, 0.5/-5, 0.7/-3, 1/0, 0.9/1, 0.8/2, 0.6/4, 0.4/6, 0/9}

Нечеткое подмножество универсального множества U может быть

подмножеством другого нечеткого или обычного подмножества (то есть с

функцией принадлежности, принимающей значения 0 или 1) множества А.

Опр.1.6. А есть подмножество В или содержится в В тогда и только

тогда, когда µА(u) ≤ µВ(u) для любого u ∈ U, то есть

A ⊂ B ⇔ µА(u) ≤ µВ(u) , ∀ u ∈ U. (1.7)

П р и м е р

Если универсальное множество U = {a, b, c, d}, определенные на нем

нечеткие подмножества А и В равны соответственно A = (0.5/a, 0.8/b, 0.3/d),

B = (0.7/a, 1/b, 0.3/c, 1/d), то A ⊂ B.

Опр.1.7. Множеством α-уровня нечеткого множества А является

обычное множество Аα всех таких элементов универсального множества U,

степень принадлежности которых нечеткому множеству А больше или равна α:

Аα = {u | ∀ u ∈ U , µА(u) ≥ α}. (1.8)

сть

Стоимость

Рис.1.2. Пример задания нечеткого множества

10

Множество α-уровня называют иногда сечением α нечеткого множества

А. Причем, если µА(u) ≥ α, то говорят о сильном сечении, если µА(u) > α, то о

слабом сечении.

Нечеткое множество А можно разложить по его множествам уровня

следующим образом:

∑=α

ααAA ( 1 . 9 )

где αАα - произведение числа α на множество Аα . Знак Σ - знак

объединения множеств Аα по α.

П р и м е р

Если нечеткое множество А = {0.3/a, 0.4/d, 0.7/c, 0.8/f, 0.6/b}, то

множеством α-уровня при α=0.7 будет множество А0.7 = {c, f}. Множество А,

разложенное по его множествам α-уровня, имеет вид:

А = 0.3 {a, d, c, f , b} ∪ 0.4{d, c, f, b} ∪ 0.6{c, f, b} ∪ 0.7{c, f} ∪ 0.8{f}

1.2. Методы построения функции принадлежности

Рассмотрим более подробно физический смысл функции

принадлежности. Спектр мнений по этому вопросу чрезвычайно широк. Так,

например, очень часто на функцию принадлежности накладывается условие

нормировки, тем самым, выбирая в качестве функции принадлежности

плотность распределения вероятности. В работе Лотфи А. Заде «Fuzzy sets»

предполагается, что функция принадлежности - это некоторое

“невероятностное субъективное измерение неточности”, и что она отлична от

плотности вероятности и от функции распределения вероятности. Иногда под

функцией принадлежности понимают возможность или полезность того или

иного события.

Наиболее распространенным является суждение, предложенное в работе

Л.А. Заде «Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию

приближенных решений». Согласно данному суждению под значением

функции принадлежности µА(u) нечеткого множества А для любого u ∈ U

11

понимается вероятность того, что лицо, принимающее решение (ЛПР), отнесет

элемент u к множеству А.

В случае, когда А – некоторое понятие естественного языка, а U –

множество объектов, обозначаемых этим понятием А, µА(u) – есть вероятность

того, что лицо, принимающее решение, использует А в качестве имени объекта.

Такая интерпретация функции принадлежности называется вероятностной и

не исключает существование других интерпретаций.

Следует отметить, что

− элемент u, как следует из определения, уже предъявлен ЛПР, а

последний и решает задачу отнесения элемента к нечеткому

множеству А;

− в приведенной интерпретации µА(u) не является ни функцией

распределения вероятности (т.к. µА(u) может быть убывающей

функцией), ни плотностью распределения вероятности (т.к. интеграл

от µА(u) по всей области определения может превышать 1).

Остановимся подробнее на некоторых методах построения функции

принадлежности:

1. Пусть имеется коллективный ЛПР, состоящий из n экспертов. О том,

что u ∈ U принадлежит нечеткому множеству А, n1 (n1 ≤ n) экспертов отвечают

положительно. В этом случае

nnuA1)( =µ

(1.10)

Данный метод называется частотным, а сама схема вычисления

соответствует вероятностной интерпретации функции принадлежности.

2. При применении метода построения функции принадлежности на

основе стандартного набора графиков ЛПР выбирает наиболее подходящий,

по его мнению, график из стандартного набора, а затем в диалоговом режиме с

ЭВМ выясняет и корректирует (при необходимости) параметры выбранного

графика.

12

3. В методе парных соотношений пусть имеется n экспертов и

необходимо найти степени принадлежности k точек. Каждый i-ый эксперт

должен определить парные соотношения (по своему усмотрению) типа:

;,1,

,0

,1

kjl

mjl

jllj

=

≤

>=

µµ

µµ

(1.11)

Экспертная оценка для i-го эксперта находится по формуле (1.12):

∑∑

∑

==

== k

jlj

k

l

k

jlj

il

m

m

11

1α

(1.12)

Окончательно, функция принадлежности для l-го параметра имеет вид

(1.13).

kln

n

iill ,1,1

1== ∑

=

αµ (1.13)

П р и м е р п о с т р о е н и я ф у н к ц и и п р и н а д л е ж н о с т и

Два эксперта должны определить насколько три дома соответствуют

оценке Пригоден для жилья. Мнение каждого из них основывается на

собственных предпочтениях. Матрица парных соотношений первого эксперта

пусть имеет вид М1, а второго – M2. В матрице предпочтения М1: m11=0, т.к.

оценка одного и того же дома дает равные значения, m12=1, т.к. по мнению

первого эксперта первый дом более пригоден для жилья, нежели второй и т.д.

=

=

011001000

001100010

21 ММ

Оценка 1-го эксперта для 1-го параметра равна:

31

)()()( 333231232221131211

13121111 =

++++++++++

=mmmmmmmmm

mmmα

По аналогии 31

12 =α , 31

13 =α .

13

Заметим, что в числителе стоит сумма единиц в строке l, а в знаменателе

– сумма всех единиц матрицы парных соотношений.

Оценки 2-го эксперта равны соответственно: 32,

31,0

30

232221 ==== ααα .

Таким образом, функция принадлежности нечеткому множеству

Пригоден для жилья 1-го дома равна ( )61

21

21111 =+= ααµ , 2-го дома -

( )31

21

22122 =+= ααµ и, наконец, 3-го дома - ( )21

21

23133 =+= ααµ .

1.3. Операции над нечеткими множествами

1.3.1. Логические операции над нечеткими множествами Пусть А и В - нечеткие множества, S(А) и S(В)– их носители.

Опр.1.8. Операция включения (А ⊂ В). Пусть А и В - нечеткие множества

на универсальном множестве U. Говорят, что А содержится в В, если ∀ u ∈ U

µA(u) ≤ µB(u).

Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, когда А ⊂ В,

говорят, что В доминирует А.

Опр.1.9. Равенство. Пусть А и В - нечеткие множества на универсальном

множестве U. Говорят, что А и В равны (А = В), если ∀ u ∈ U µA(u)=µB(u).

Опр.1.10. Пусть А и В - нечеткие множества на универсальном

множестве U. Объединением нечетких множеств А и В в U называют

наименьшее нечеткое подмножество А Υ В, включающее как А, так и В, с

функцией принадлежности вида:

Uu (u)),(u),(max )( BA ∈= µµµ uBAΥ (1.13)

Объединение соответствует союзу ИЛИ. Таким образом, если X и Y –

символы нечетких множеств, то

X ИЛИ Y def= X∪Y (1.13а)

14

Опр.1.11. Пересечением нечетких множеств А и В в U называют

наибольшее нечеткое подмножество А Ι В, содержащееся одновременно в А и

В, с функцией принадлежности вида:

Uu (u)),(u),(min )( BA ∈=∩ µµµ uBA (1.14)

Пересечение соответствует союзу И. Таким образом, если X и Y –

символы нечетких множеств, то

X И Y def= X Ι Y (1.14а)

Опр.1.12. Дополнением нечеткого множества А называют нечеткое

множество A с функцией принадлежности:

Uuuu AA∈∀−= ),(1)( µµ (1.15)

Операция Дополнение соответствует операции НЕ, т.е.

ΥUu

Х

defuuХНЕ

∈

−== /))(1( Х) ( µ (1.15а)

Опр.1.13. Разность нечетких множеств А и В определяется по-разному,

введением двух независимых операций (1.16) и (1.17):

<≥−

=− )()(,0)()(),()(

)(A

AA

uuuuuu

uB

BBBA µµ

µµµµµ

(1.16)

или BАВА ∩=− с функцией принадлежности

))(1 ),(min()()( uuuu AABABA µµµµ −==∩− (1.17)

Опр.1.14. Дизъюнктивная сумма А ⊕ В определяется выражением вида

А⊕В = (A Ι B )Υ ( A Ι В) с функцией принадлежности вида:

( )[ ]))(),(1min(,)(1 ),(minmax)( uuuuu DABABA µµµµµ −−=⊕ (1.18)

П р и м е р ы л о г и ч е с к и х о п е р а ц и й

Пусть

А=0.4/u1 + 0.2/u2 +0/u3 +1/u4

B=0.7/u1 + 0.9/u2 +0.1/u3 +1/u4

C=0.1/u1 + 1/u2 +0.2/u3 +0.9/u4

15

Тогда

A ⊂ B, т.е. А содержится в В или В доминирует А; С не сравнимо ни с А,

ни с В, т.е. пары {А, С} и {В, С} – пары недоминируемых нечетких множеств.

А ≠ В ≠ С

A = 0.6/u1 + 0.8/u2 +1/u3 +0/u4

А ∩ В = 0.4/u1 + 0.2/u2 +0/u3 +1/u4

А ∪ В = 0.7/u1 + 0.9/u2 +0.1/u3 +1/u4

А – В = А ∩ B = 0.3/u1 + 0.1/u2 +0/u3 +0/u4

А ⊕ В = 0.6/u1 + 0.8/u2 +0.1/u3 +0/u4

Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами .

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление.

Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой

откладываются значения µA(u), на оси абсцисс - в произвольном порядке

расположены элементы U.

Если U по своей природе упо-

рядочено, то этот порядок желательно

сохранить в расположении элементов

на оси абсцисс. Такое представление

делает наглядными простые

логические операции над нечеткими

множествами (см. рис. 1.3).

На рис. 1.3а заштрихованная

часть соответствует нечеткому

множеству А и, если говорить точно,

изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А.

На рис. 1.3б, в, г даны A ; А Ι A ; АΥ A

Рис. 1.3. Графическая интерпретация логических операций: а — нечеткое множество А; б — нечеткое

множество A ; в — А Ι A ; г — АΥ A

Рис. 1.3а Рис. 1.3б

Рис. 1.3в Рис. 1.3г

16

Свойства операций Ι и Υ.

Пусть А, В, С – нечеткие множества, являющиеся подмножествами

универсального множества U, такого что ∀u∈U, 1)( =uUµ .

Тогда справедливыми являются следующие свойства:

Коммутативность:

А Ι В = В Ι А (1.19)

А Υ В = В Υ А (1.19а)

Ассоциативность:

(А Ι В) Ι С = А Ι (В Ι С) (1.20)

(АΥВ) ΥС = АΥ (ВΥС) (1.20а)

Идемпотентность:

А Ι А = А (1.21)

А Υ А = А (1.21а)

Дистрибутивность:

А Ι (В ΥС) =(А Ι В) Υ (А Ι С) (1.22)

А Υ (В Ι С) =(А ΥВ) Ι (В ΥС) (1.23)

А Ι Ø = Ø (1.24)

А Ι U = A (1.25)

А ΥU = U (1.26)

А ΥØ = A, где Ø – пустое множество, т.е. µØ(u)=0 ∀u ∈ U (1.27)

Инволюция:

A = А (1.28)

Теоремы де Моргана

BA Ι = A Υ B (1.29)

BA Υ = A Ι B (1.29а)

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

А Ι A ≠ Ø (1.30)

А Υ A ≠ U (1.31)

17

Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на

использовании операций max min, поэтому доказательство свойств достаточно

просто. Докажем, например, свойство ассоциативности (1.20а) и первую

теорему де Моргана (1.29).

Доказательство (1.20а):

max (max (µA(u), µB(u)), (µC(u)) = max (µA(u), max (µB(u), µC(u)).

Выбор max из 3-х: max ((max (µA(u), µB(u)), µC(u)) = max (µA(u), (max

(µB(u), µC(u))) = max (µA(u), µB(u), µC(u)).

Доказательство (1.29):

1 – min (µA(u), µB(u)) = max (1 - µA(u)), (1 - µB(u)) = 1 – min (µA(u), µB(u)).

1.3.2. Алгебраические операции над нечеткими множествами

Опр.1.15. Алгебраическое произведение А и В обозначается А⋅B и

определяется функцией принадлежности вида )()()( uuu BABA µµµ =⋅ для ∀ u∈U.

Опр.1.16. Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А+В и

определяется функцией принадлежности )()()()()( uuuuu BABABA µµµµµ −+=+ для

∀ u∈U.

Для операций {⋅, +} выполняются свойства:

Коммутативность:

А⋅В = В⋅А (1.32)

А+ В = В+А (1.32а)

Ассоциативность:

(А⋅В) ⋅С = А⋅ (В⋅С) (1.33)

(А+В) +С = А+ (В+С) (1.33а)

А⋅Ø = Ø (1.34)

А+Ø = A (1.35)

А⋅U = A (1.36)

А+U = U (1.37)

Теоремы де Моргана

18

BA ⋅ = A + B (1.38)

BA + = A ⋅ B (1.38а)

Не выполняются свойства:

Идемпотентность:

А⋅А = А (1.39)

А+А = А (1.39а)

Дистрибутивность:

А⋅ (В +С) =(А⋅В) +(А⋅С) (1.40)

А+(В ⋅С) =(А+В) ⋅ (В+С) (1.40а)

А⋅ A = Ø (1.41)

А+ A ≠ U (1.42)

При совместном использовании операций {Υ , Ι , ⋅, +} выполняются

свойства (1.43):

А⋅ (В ΥС) = (А⋅В) Υ (А⋅С) (1.43)

А⋅ (В Ι С) = (А⋅В) Ι (А⋅С) (1.43а)

А+(В ΥС) = (А+В) Υ (В+С) (1.43б)

А+(В Ι С) = (А+В) Ι (В+С) (1.43в)

На основе операции алгебраического произведения определяется

операция возведения в степень α нечеткого множества А, где α -

положительное число.

Опр.1.17. Степенью нечеткого множества A называется нечеткое

множество Aα с функцией принадлежности.

( )uαµΑ

= ( )uAαµ , u∈U, α>0. (1.44)

При α = 2 получаем операцию концентрирование (уплотнение) (CON):

CON(A) = A2 (1.45)

В результате применения этой операции к множеству А снижается

степень нечеткости описания, причем для элементов с высокой степенью

принадлежности это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой

степенью принадлежности относительно велико.

19

При α = 0.5 получаем операцию растяжения (DIL):

DIL(A) = A0.5 (1.46)

Эта операция увеличивает степень нечеткости исходного нечеткого

множества.

Операция контрастной интенсификации (INT) определяется с помощью

функции принадлежности следующим образом:

( )( )

≤≤−−≤≤

=5.0)(,)(1215.0)(,)(2)( 2

2

u0 uu0 uu

AA

AAA µµ

µµµ (1.47)

Эта операция отличается от концентрирования тем, что она увеличивает

значение )(uAµ , которое больше 0.5 и уменьшает те, которые меньше 0.5. Таким

образом, контрастная интенсификация, по существу уменьшает нечеткость А.

Операции концентрирования, растяжения и контрастной интенсификации

используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

Опр.1.18. Умножение на число. Если α - положительное число, такое,

что 1)( max AAu

≤∈

uµα, то нечеткое множество αА имеет функцию принадлежности

µαА(u) = αµА(u) (1.48)

Опр.1.19. Выпуклой комбинацией нечетких множеств А1×А2×…×Аn в U

называется нечеткое множество А с функцией принадлежности вида:

1,,0,)()(11

==≥= ∑∑==

n

iii

n

iАiA n1,i uu

iλλµλµ (1.49)

Выпуклые комбинации нечетких множеств нужны для принятия решений

с несколькими нечеткими ограничениями. Для обычных множеств эта операция

не имеет смысла.

Опр.1.20. Декартово (прямое) произведение. Пусть А1, А2, … Аn нечеткие

подмножества универсальных множеств U1, U2, … Un соответственно.

Декартово произведение А=А1×А2×…×Аn является нечетким подмножеством

декартового произведения U = U1×U2×…×Un c функцией принадлежности вида:

{ } { } Uuuu uuu n1nAAA n∈== ,...,,)(),...,(min)( 11

µµµ (1.50)

20

Опр.1.21. Оператор увеличения нечеткости используется для

преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости

нечеткого множества. Пусть А – нечеткое множество, U – универсальное

множество и для всех u∈U определены нечеткие множества K(u). Совокупность

всех K(u) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом

действия оператора Ф на нечеткое множество А является нечеткое множество

вида

ΥUu

A )( )( ),(∈

= uKuКАФ µ (1.51)

где – )( )(A uKuµ произведение числа на нечеткое множество.

П р и м е р

Пусть U={1, 2, 3, 4}; A = 0.8/1 + 0.6/2 + 0/3 + 0/4;

K(1) = 1/1 + 0.4/2; K(2) = 1/2 + 0.4/1 + 0.4/3; K(3) = 1/3 + 0.5/4; K(4) = 1/4.

Тогда Ф(А,К) = µА(1) К(1) ∪ µА(2) К(2) ∪ µА(3) К(3) ∪ µА(4) К(4) = 0.8

(1/1 + 0.4/2) ∪ 0.6 (1/2 + 0.4/1 + 0.4/3) = 0.8/1 + 0.6/2 + 0.24/3

21

Контрольные вопросы

1. Дайте определение нечеткого множества.

2. Какое множество называется субнормальным? Как субнормальное

множество можно привести к нормальному виду?

3. Приведите определение высоты, носителя и точек перехода нечеткого

множества.

4. Какие методы построения функции принадлежности Вы знаете?

5. Опишите физический смысл функции принадлежности.

6. Определите логические операции над нечеткими множествами.

7. Перечислите свойства логических операций. В чем заключается

отличие свойств логических операций над нечеткими множествами и

логических операций над обычными множествами?

8. Определите алгебраические операции над нечеткими множествами.

9. Перечислите свойства алгебраических операций.

10. Дайте определение оператора увеличения нечеткости нечеткого

множества.

22

Упражнения

1. Дано нечеткое множество A = (0.4/яблоко; 0.3/груша; 0.7/слива;

0.2/ранет; 0.5/вишня; 0.8/черешня; 1/манго).

Определите:

− носитель нечеткого множества A;

− высоту нечеткого множества A;

− точки перехода A;

− α-уровневое подмножество А0,3;

− разложение нечеткого множества A.

2. На универсальном множестве U = {a, b, c, d, e, f, g} даны нечеткие

множества

A = (0.3/a; 0.4/b; 0.55/c; 0.7/d; 0.9/e; 1/f; 0.5/g)

В = (0.3/a; 0.4/b; 0.3/c; 0/d; 0,9/e; 0.8/f; 0.5/g)

С= (1/a; 0.5/b; 0.5/c; 0.2/d; 0/e; 0.2/f; 0.9/g) .

Определите:

1) A ∩ B, B ∪ C, (A ∩ B) ∪ C, B ∪ С , CBA ∩− , A - B, B ⊕ C

2) C × B, A × C × B, (А⋅В) ⋅С, (А+В) ⋅ С, DIL B, INT B, CON C,

2) Пусть K(a) = 1/a + 0.4/b; K(b) = 1/b + 0.4/c + 0.4/d; K(c) = 1/c + 0.5/e;

K(d) = 1/d, K(e) = 1/e + 0.4/d; K(f) = 1/a + 0.4/c + 0.4/f; K(g) =1/d + 0.4/e

+ 0.4/g. Вычислите Ф(А,К).

3. Докажите все свойства логических операций над нечеткими

множествами.

4. Упростите выражение ( ) ( )( )( ) CCACBA ∪∩∪∩∩ .

5. Пусть универсальное множество U представляет собой множество

дисциплин, преподаваемых на специальности 220400 «Программное

обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».

Переменная u, принимающая значения на этом множестве, интерпретируется

как дисциплина.

23

U = {программирование, дискретная математика, история,

операционные системы, базы данных}

Определить значения функции принадлежности нечеткого множества А,

обозначающего понятие « пригодится в работе»:

1) методом парных соотношений,

2) частотным методом.

24

2. Нечеткие отношения и операции над ними

Прежде чем ввести понятие нечеткого отношения, вспомним обычные

отношения и их свойства.

Опр. Отношением R на множестве X называется некоторое

подмножество декартова произведения X×X.

В соответствии с этим определением задать отношение R на множестве

X означает указать все пары (x,y), которые связаны отношением R. Для

обозначения того, что элементы (x,y) связаны отношением, будем пользоваться

следующими двумя эквивалентными формами записи: xRy или (x,y) ∈ R .

Если множество X, на котором задано отношение R, конечно, то

отношение задается в двух формах:

1) в матричной

∈

=

===

случае противном в Rx(xесли

r

n1,j m1,i rR

jiij

ij

,0),,1

,,

2) в графовой

Пусть на множестве X×X заданы два отношения A и B , множество

A определяется матрицей ijaA = , а B -матрицей ijbB = .

Тогда рассмотрим отношение C=A∪B, которое является объединением

двух отношений: .

Если D является пересечением отношений A и B , то .

Опр. Отношение B включает в себя отношение A, если для

соответствующих множеств A ⊆ X×X и B ⊆ X×X выполняется условие A ⊆ B.

25

Опр. Если между x и y существует отношение R, то обратным к нему

называется такое отношение R-1, что xR-1y существует тогда и только тогда,

когда yRx. Если при этом ijaA = , ijaA =−1 - матрицы этих отношений, то

элементы этих матриц связаны соотношением n1,ji, aa jiij =∀= , .

Опр. Произведение (композиция) отношений A⋅B на декартовом

произведении X×X определяется следующим образом: C=A⋅B тогда и только

тогда, когда существует такой z ∈ X, для которого выполнены одновременно

отношения xAz и zBy. При этом элементы матриц отношений связаны

следующим образом

},max kjikkij bmin{a c =

Основные свойства отношений:

1. Отношение R рефлексивно, если (x,x) ∈ R или xRx для любого x∈ R.

Пример рефлексивного отношения на множестве действительных чисел –

отношение ≥ ('больше-равно').

2. Отношение R на X×X антирефлексивно, если из того, что xRy следует

x≠y. В матрице рефлексивного отношения все диагональные элементы равны 1,

а антирефлексивного - 0.

3. Отношение R симметрично, если из того, что xRy следует yRx.

Матрица симметричного отношения - симметричная. Отношение называется

антисимметричным, если из того, что xRy и yRx, следует x=y.

4. Для транзитивного отношения выполняется следующее условие:

R⋅R⊆R

2.1. Нечеткие отношения.

Введем понятия нечеткого отношения и рассмотрим его свойства.

Опр.2.1. Нечетким отношением R на универсальном множестве U =

U1×U2 называется нечеткое подмножество декартова произведения U1×U2,

которое характеризуется такой функцией принадлежности µR(x,y), что

26

]1,0[21 →× RUU µ . Причем µR(x,y) принимается как субъективная мера выполнения

отношения xRy.

Или другой способ записи:

R = ),/(),(21*),(

yxyxU RUUyxµ

∈ (2.1)

В общем случае n-арное отношение есть нечеткое подмножество R

декартового произведения универсальных множеств U1× U2×…..× Un , причем

R = ),...,/(),...,( 11....),...,( 211nnRUUUxx

xxxxUnn

µ×××∈

(2.2)

П р и м е р ы .

1. Пусть заданы:

а) четкое отношение R1 (≥, x ≥ y), где x ∈ [0,1];

б) нечеткое отношение R2 (>>, x >> y)

Рис.2.1. Примеры задания отношений R1 (≥, x ≥ y) и R2 (>>, x >> y)

На рис. 2.1а приведены пары (x,y) из интервала [0,1], связанные

отношением R1, то есть такие, что x ≥ y. Они образуют множество точек

заштрихованной области, которые отделены четкой границей - диагональю от

других точек.

Строя нечеткое отношение R2: x>>y на единичном квадрате, убеждаемся,

что существуют пары (x,y), которые можно определенно отнести ко множеству

R2 (например, точка (0.9, 0.01)), а также те, которые определенно не

принадлежат R2 (например, (0.01,0.9))

Кроме того, имеется несчетное множество пар (x,y), о принадлежности

которых к множеству R2 можно судить лишь приблизительно с определенной

субъективностью (например, точка (0.8, 0.6)). Поэтому нечеткое множество

27

R2 характеризуется отсутствием четкой границы от дополнительного множества

R2, и степень принадлежности ),(2

yxRµ пары (x,y) следует характеризовать

плотностью штриховки (рис. 2.1б). Можно рассмотреть некоторые сечения

отношения R2 при фиксированном х0.

Соответствующее семейство функций ),( 02yxRµ приведено на рис. 2.1в.

Если нечеткое отношение R на X конечно, то его функция принадлежности

),( yxRµ задается в виде квадратной матрицы njirij ,1,, = с элементами rij∈[0,1].

Если rij = α, то это означает, что степень выполнения отношения xiRxj равна α.

2. Пусть X = Y = (-∞; ∞). Отношение x>>y можно задать функцией

принадлежности

<−+

≤= xyесли

yx

yxесли , R ,

))/(1(11

,0

2µ

3. Пусть U1={x1, x2, x3}, U 2 ={y1, y2, y3, y4}, M=[0,1]. Нечеткое отношение

R может быть задано, к примеру, в виде таблицы:

R y1 y2 y3 y4 x1 0 0 0.1 0.3

x2 0 0.8 1 0.7

x3 1 0.5 0.6 1

4. Нечеткое отношение R , для которого 2)(),( yxkR eyx −−=µ , при достаточно

больших k можно интерпретировать так: «x и y близкие друг к другу числа»

Опр.2.2. Носителем нечеткого отношения R на множестве U называется

подмножество декартова произведения U1×U2, определяемое так:

{ }21 ,,0),(:),( UyUxyxyxpsup RR ∈∈>= µ (2.3)

П р и м е р ы

1. Пусть нечеткое отношение R задано в виде:

28

Тогда носитель данного отношения будет иметь вид:

)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{()( 4333231342123111 yxyxyxyxyxyxyxyxRS = 2. Рассмотрим отношение yRx

~, где ++ ∈∈ RyRx , и

>−≤−

=−−

46,0,046,0,

),(2)(

xyxye

yxxy

Rµ

Тогда имеем }46,00|),{()(

~≤−≤= xyyxRS

2.2. Операции над нечеткими отношениями

Опр.2.3. Пусть на множестве U1×U2 заданы два нечетких отношения A и

B с функциями принадлежности µA(x,y), µB(x,y). Тогда множество C = A∪B

представляет собой объединение нечетких отношений A и B на множестве U,

если его функция принадлежности определяется выражением

{ }),(),,(max),( yxyxyx BAС µµµ = (2.4)

Аналогично множество D = A ∩ B является пересечением нечетких

множеств A и B, если

{ }),(),,(min),( yxyxyx BAD µµµ = (2.5)


1. Ниже в виде таблиц определены отношения R1 и R2 ,а также

объединение и пересечение этих отношений.

R y1 y2 y3 y4

x1 0.1 0 0.2 0 x2 0.3 0 0 0.9x2 0.4 0.7 1 1

R1 y1 y2 y3 y4

x1 0.3 0.4 0.2 0 x2 0.8 1 0 0.2 x3 0.5 0 0.4 0

R2 y1 y2 y3 y4

x1 0.3 0 0.7 0 x2 0.1 0.8 1 1 x3 0.6 0.9 0.3 0.2

29

2. На рис. 2.2а изображено нечеткое отношение yRx

~1 , +∈ Rx и +∈ Ry ,

содержательно означающее, что «числа x и y очень близкие».

На рис. 2.2б изображено нечеткое отношение yRx

~2 , +∈ Rx и +∈ Ry ,

содержательно означающее, что «числа х и у очень различные». Объединением отношений R1 и R2 является отношение yRx

~3 ,

содержательно означающее «числа х и у очень близкие или/и очень различные» и определяющееся кривой ),(

3yxRµ :

−≤

≤−≤<−

=

||),(

||0),,(0||,0

),(

~2

~1

~3

xyyx

xyyxxy

yx

R

RR

αµ

αµµ

где α – такое значение |y – x|, при котором ),(),(

21yxyx RR µµ =

В логике основанной на теории обычных множеств, высказывание вроде

«числа х и у очень близкие или/и очень различные» должно быть сокращено до

«х и у очень близкие или очень различные» с разделительным «или». Однако в

теории нечетких подмножеств первое предложение вполне логично; оно

выражает тот факт, что связка «и» интерпретируема при очень малых

значениях функций принадлежности, когда об х и у нельзя сказать ни что они

очень близки, ни что они очень отличаются друг от друга. Этот пример хорошо

иллюстрирует гибкость высказываний, присущую настоящей теории.

R1 ∪R2 y1 y2 y3 y4

x1 0.3 0.2 1 0 x2 0.8 1 1 1 x3 0.6 0.9 0.4 0.2

R1 ∩R2 y1 y2 y3 y4

x1 0.3 0 0.7 0 x2 0.1 0.8 0 0.2x3 0.5 0 0.3 0

µ2(δ)

δ= y-x

µ1(δ)

δ= y-x Рис. 2.2а

1

α

µ3(δ)

δ= y-xРис. 2.2б Рис. 2.2.в

30

Опр.2.4. Нечеткое отношение B включает в себя (или содержит)

нечеткое отношение A (A ⊂ B), если для них выполняется соотношение

Xyxyxyx BA ∈∀≤ ,),,(),( µµ (2.6)


1. Легко проверить, что R1 содержит R2.

2. Рассмотрим нечеткое отношение yRx

~1 , где +∈ Rx и +∈ Ry , такое, что

xy >> , т.е. «у много больше х», и пусть функция принадлежности этого

отношения определяется выражением

≥−−

<−= −− 0,1

0,0),( 2

1~1 )(

xyexy

yx xykRµ

Пусть теперь k2>k1. Тогда отношение R2 с функцией принадлежности

≥−−<−

= −− 0,10,0

),( 22

~2 )( xye

xy yx xykRµ

содержит R1 .

Опр.2.5. Если R - нечеткое отношение с функцией принадлежности

),( yxRµ , то отношение R , характеризующееся функцией принадлежности

),(1),( yxyx RRµµ −= , называется дополнением R на множестве X.

Опр.2.6. Обратное к R отношение на X определяется следующим

образом: yRxyxR ↔−1 , при этом функции принадлежности связаны между собою

равенством .

R1 y1 y2 y3 y4

x1 0.3 0.4 0.2 0 x2 0.5 0 1 0.9 x3 0.4 0 0.1 0.8

R2 y1 y2 y3 y4

x1 0.4 0.4 0.2 0.1 x2 0.5 0 1 1 x3 0.5 0.1 0.2 0.9

31

Опр.2.7. Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. Пусть R –

нечеткое отношение с функцией принадлежности ),( yxRµ . Обычное отношение,

ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением

=><

=5.0),(05.0),(15.0),(0

),(yxесли 1,или yxесли ,yxесли ,

yx

R

R

R

R

µµµ

µ

По договоренности принимают 0),( =yxRµ при 5,0),( =yxRµ .

Опр.2.8. Обычное подмножество α-уровня нечеткого отношения. Пусть

[ ]1,0∈α . Обычным подмножеством α-уровня нечеткого отношения Χ×Χ⊂~R

будем называть обычное подмножество

{ }αµα ≥= ),(|),(~

yxyxG R (2.7)


1. Для отношения, приведенного ниже, обычное подмножество α-уровня

{ }),(),,(),,(),,(),,( 13422231218,0 yxyxyxyxyxG =

2. Рассмотрим нечеткое отношение, определенное формулой

22111),(

~ yxyxR ++

−=µ

Подмножество уровня 0.3 будет определяться условием

3,01

11 22 ≥++

−yx

или .7/322 ≥+ yx

Это подмножество – внешность круга радиуса 7/3=r , включая его

границу – окружность.

R1 y1 y2 y3 y4

x1 0.3 0.8 - 0 x2 0.5 1 0.3 0.9 x3 1 0.2 0.6 0.7

32

Опр.2.9. Первая проекция нечеткого отношения R определяется

функцией принадлежности ),(max)()1( yxx RyR µµ = . Аналогично вторая проекция -

),(max)()2( yxy RxR µµ = .

Опр.2.10. Вторая проекция первой проекции (или наоборот) называется

глобальной проекцией нечеткого отношения и обозначается h(R). Таким

образом, ),(maxmax),(maxmax)( yxyxRh RxyRyxµµ == .

Если h(R)=1 – отношение нормально, если h(R) < 1 – субнормально.

П р и м е р

Вычислим первую, вторую и глобальную проекции отношения R,

заданного матрицей.

R y1 y2 y3 y4 1-я x1 0.1 0.2 1 0.3 1 x2 0.6 0.8 0 0.1 0.8 x3 0 1 0.3 0.6 1 x4 0.8 0.1 1 0 1 x5 0.9 0.7 0 0.5 0.9 x6 0.9 0 0.3 0.7 0.9

2-я 0.9 1 1 0.7 h(R)=1

Важное значение в теории нечетких множеств имеет композиция (или

произведение) нечетких отношений. В отличие от обычных (четких) отношений

композицию (произведение) нечетких отношений можно определить разными

способами.

Опр.2.11. Максиминная композиция (произведение) нечетких отношений

A и B на U характеризуется функцией принадлежности вида

{ }),(),,(minmax),( zyyxzx BAUyAB µµµ∈

= (2.7)

Опр.2.12. Минимаксная композиция нечетких отношений A и B на U

(обозначается A°B) определяется функцией принадлежности вида

33

{ }),(),,(maxmin),( zyyxzx BAUyBA µµµ∈

=ο (2.8)

Опр.2.13. Максимультиплекативная композиция нечетких отношений

A и B на U есть нечеткое отношение A*B с функцией принадлежности вида

{ }),(),(sup),(* zyyxzx BAUy

BA µµµ ⋅=∈

(2.9)

П р и м е р

Пусть заданы два нечетких отношения A и B на U, состоящем из двух

элементов U={u1, u2}, где матрицы нечетких отношений таковы:

13.07.05.0

),(8.05.06.02.0

),( == zy ,yx BA µµ

Тогда композиция (произведение) нечетких отношений определяется так:

а) максиминная BAR ⋅=21

8.05.06.03.0

),( =⋅ zxBAµ

б) минимаксная BAR ο=22

7.05.07.05.0

),( =⋅ zxBAµ

в) максимультиплекативная BAR *23 =

8.025.06.018.0

),( =⋅ zxBAµ

2.3. Свойства нечетких отношений

Опр.2.14. Рефлексивность. Нечеткое отношение называется

рефлексивным на U, если выполняется условие UUxxxxR ×∈∀= ),(,1),(µ

П р и м е р ы р е ф л е к с и в н ы х о т н о ш е н и й

1. Интуитивно понятно, что отношения «у примерно равно x», «y близко

x» являются рефлексивными.

34

2. Пусть отношение R задано на множестве U = {A,B,C,D} матрицей. По

виду матрицы понятно, что отношение R рефлексивно – на главной диагонали

стоят 1.

R A B C D A 1 0 0.2 0.3 B 0 1 0.1 1 C 0.2 0.7 1 0.4 D 0 1 0.4 1

Опр.2.15. Антирефлексивность. Нечеткое отношение R на U

антирефлексивно, если UxxxR ∈∀= ,0),(µ (Например, R - много больше)

Опр.2.16. Симметричность. Нечеткое отношение R на U симметрично,

если для всех ),(),(:),( xyyx UUyx RR µµ =×∈ .


1. Пусть отношение R задано на множестве U = {A,B,C,D,E}. Матрица

симметричного отношения симметрична.

R A B C D E A 0 0.1 0 0.1 0.9

B 0.1 1 0.2 0.3 0.4

C 0 0.2 0.8 0.8 1

D 0.1 0.3 0.8 0.1 1

E 0.9 0.4 1 1 0

2. Пусть R - множество действительных чисел. Тогда отношение «y

близко к x» интуитивно воспринимается как нечеткое симметричное отношение

в R × R.

Опр.2.17. Отношение R антисимметрично, если

0),(),(),(),(),( ==≠≠×∈∀ xyyxили xyyx :yxпри UUyx RRRR µµµµ

Опр.2.18. Отношение R совершенно антисимметрично, если из того, что

yxпри UUyx ≠×∈∀ ),( 0),( >yxRµ следует 0),( =xyRµ .

35

Опр.2.19. Пусть x, y, z ∈ U, нечеткое отношение R транзитивно, если

))],(),,([min(max),(),(),,(),,( zy yxzx : UUzxzyyx RRyR µµµ ≥×∈∀ (2.10)

П р и м е р ы т р а н з и т и в н ы х о т н о ш е н и й

1. Данное отношение R транзитивно. Покажем это.

R A B C D A 0.2 1 0.4 0.4

B 0 0.6 0.3 0

C 0 1 0.3 0

D 0.1 1 1 0.1

Чтобы проверить транзитивность, для конечного множества U мощности

n, если нет правила, позволяющего доказать это с помощью функции

принадлежности, нужно выполнить n2 раз n операций.

Дуга (А,А).

µ(А,А) ∧ µ(А,А) = 0,2 ∧ 0,2 = 0,2

µ(А,В) ∧ µ(В,А) = 1 ∧ 0 = 0

µ(А,С) ∧ µ(С,А) = 0,4 ∧ 0 = 0

µ(А,D) ∧ µ(D,А) = 0,4 ∧ 0,1 = 0,1

MAX[0.2;0;0;0.1]=0.2

µ(А,А)=0.2>=0.2

Дуга (А,B).

µ(А,А) ∧ µ(А,B) = 0,2 ∧ 1 = 0,2

µ(А,В) ∧ µ(В,B) = 1 ∧ 0,6 = 0,6

µ(А,С) ∧ µ(С,B) = 0,4 ∧ 1 = 0,4

µ(А,D) ∧ µ(D,B) = 0,4 ∧ 1 = 0,4

MAX[0.2;0,6;0,4;0.4]=0,6

µ(А,В)=1 >= 0,6

и т.д.

36

2. Следующие нечеткие отношения транзитивны: «Y много больше X»,

«А чище, чем В».

Отношения «X - дальний родственник Y», «X похож на Y» нетранзитивны.

Здесь все зависит от характера функции принадлежности, оценивающей

сходство. Так, например, может случиться так, что «X похож на Y» и «Y похож

на Z», но X не обязательно похож на Z.

3. Рассмотрим отношение хRу, где х, у ∈ N, задаваемое функцией

принадлежности 2)(),( yxk

R eyx −−=µ

при значениях k > 1 и достаточно больших для того, чтобы эта функция

принадлежности выражала отношение «x и у очень близки друг к другу».

Покажем, что данное нечеткое отношение нетранзитивно.

Если сравнить матрицу данного отношения с матрицей, в которой

приведены результаты вычисления правой части условия транзитивности

(2.10), то можно убедиться, что условие транзитивности выполняется не для

всех пар.

ΟΜΜΜΜΜΜΜΜΜΛΛΛΛΛΛΛΛ

Λ

1716

1514

1312

1110

76543210

4916253649

49162536

4491625

944916

169449

2516944

36251694

4936251694~

kkkkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

R

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

37

ΟΜΜΜΜΜΜΜΜΜ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λο

1716

1514

1312

1110

76543210

449916

4499

449

444

444

944

9944

169944~~

kkkkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

RR

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

Следовательно, данное отношение нетранзитивно.

Теперь рассмотрим случай, когда отношение транзитивно, а множество U

счетно.

Пример 4. Рассмотрим отношение хRу, где х, у ∈ N, определяемое

функцией принадлежности

≥<

= − xyexy

yx xR ,,0

),(µ

ΟΜΜΜΜΜΜΜΜΜΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

7

66

555

4444

33333

222222

1111111

~

000000070000006

00000500004

0003002

0111111111076543210

−

−−

−−−

−−−−

−−−−−

−−−−−−

−−−−−−−

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

R

ΟΜΜΜΜΜΜΜΜΜΛΛΛΛΛΛΛΛΛο

7

66

555

4444

33333

222222

1111111

~

000000070000006

00000500004

0003002

0111111111076543210

−

−−

−−−

−−−−

−−−−−

−−−−−−

−−−−−−−

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

RR

Сравнив матрицу этого отношения и матрицу композиции отношений,

можно убедиться, что условие транзитивности (2.10) выполняется для всех пар.

Следовательно, данное отношение транзитивно.

2.4. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения

Пусть R - нечеткое отношение в U×U. Определим

38

~~

2 RRR ο= (2.11)

с функцией принадлежности

= ℜℜ )),(),,((),(

~~~2 zyyxMINMAXzx

yRµµµ (2.12)

где Uzyx ∈,, .

Свойство (2.10), определяющее транзитивность, можно также

представить следующим образом:

RRR ⊂ο (2.13)

Из этого видно, что свойство транзитивности нечеткого отношения

зависит от способа определения композиции нечетких отношений.

Предположим, что

RR ⊂2 , (2.14)

и kk RR ⊂+1 , k=1,2,3,… (2.15)

Тогда очевидно, что

RRk ⊂ , k = 1,2,3,… (2.16)

Опр.2.20. Транзитивным замыканием нечеткого бинарного отношения

будем называть отношение

...€ 32 ∪∪∪= RRRR (2.17)

Теорема 1. Транзитивное замыкание любого бинарного отношения есть

транзитивное бинарное отношение.

Доказательство. Согласно (2.17) можно записать

...€€€ 4322 ∪∪∪== RRRRRR ο (2.18)

тогда сравнивая (2.17) и (2.18.9), можно записать

RR €€2 ⊂ (2.19)

что и доказывает транзитивность R.

Подводя итоги, получаем следующие свойства:

( ) ( )⇔=⇔⊃ RRRR €2 R транзитивно (2.20)

( ) ( )⇔=⇒= RRRR €2 R транзитивно (2.21)

Замечание. Теорема 1 позволяет строить транзитивное отношение для

любого отношения.

39

Теорема 2. Пусть R - некоторое нечеткое бинарное отношение.

Если для некоторых k имеем kk RR =+1 (2.22)

то kRRRR ∪∪∪= ...€ 2 (2.23)

Заметим, что обратное утверждение неверно.

Доказательство почти тривиально.

2.5. Специальные типы нечетких отношений

2.5.1. Нечеткие отношения предпорядка Опр. 2.21. Нечетким отношением предпорядка называется бинарное

нечеткое отношение, обладающее свойствами транзитивности и ре-

флексивности.

Для нечетких отношений предпорядка справедливы следующие теоремы.

Теорема 3. Если R — транзитивно и рефлексивно (т. е. предпорядок), то

kRRk ∀= , , (k=1,2,3…)

Доказательство. Достаточно обратиться к определению транзитивности

и показать, что если

,1),(: =∀ xxx Rµ

то

RR =2

поскольку

RRR ο=2

то согласно (2.7) имеем

{ }),(),,(minmax),(2 zyyxzx BAUyR µµµ∈

= (2.24)

Правая часть содержит два равных члена

),()},(),,(min{)},(),,(min{ zxzzzxzxxx RRRRR µµµµµ ==

Поскольку в силу рефлексивности

1),(),( == zxxx RR µµ

40

R - транзитивное отношение, т.е.

)}],(),,([min{max),( zyyxzx RRyR µµµ ≥

и поэтому ),( zxRµ - значение правой части (2.24), и мы действительно

имеем

.2 RR =

Теорема 4. Если R - предпорядок, то

RRRR k €...2 ==== (2.25)

Доказательство. Это следствие из теоремы 3.

П р и м е р о т н о ш е н и я п р е д п о р я д к а

1. На рисунке изображен предпорядок R = {A, B, C, D, E}.

100006.019.016.02.0017.002.003.0105.05.08.07.01

EDCBA

EDCBAR

Его транзитивность можно проверить с помощью соотношения

RR ⊂2 .

Рефлексивность непосредственно следует из существования единиц на

главной диагонали.

Наконец, можно проверить, что действительно

RR =2 .

2.5.2. Нечеткие отношения порядка Опр. 2.22. Нечетким отношением порядка называется бинарное

отношение, которое: рефлексивно; транзитивно; антисимметрично (будем

также говорить просто отношение порядка).

Можно также дать следующее определение: антисимметричное нечеткое

отношение предпорядка называется нечетким отношением порядка.

П р и м е р ы о т н о ш е н и й п о р я д к а

41

1. Ниже представлены нечеткие отношения порядка R1 и R2. Можно

проверить, что они действительно рефлексивны, транзитивны и

антисимметричны.

10001.014.03.0

0012.0008.01

1

DCBA

DCBAR

16.06.05.01115.016.015.08.08.08.01

2

DCBA

DCBAR

2. Отношение xRy , где Ν∈yx, , есть нечеткое отношение порядка.

ΟΜΜΜΜΜΜΜΛΛΛΛΛΛΛ

1000005100004

100031002

10110

543210

9

87

765

6543

54321

−

−−

−−−

−−−−

−−−−−

eeeeeeeeeeeeeee

R

2.5.3. Отношение подобия Опр. 2.23. Отношение подобия, или нечетким отношением

эквивалентности, называется нечеткое бинарное отношение, обладающее

свойствами: транзитивности, рефлексивности, симметричности. Очевидно, что

это предпорядок.

Рассмотрим несколько примеров.

П р и м е р ы о т н о ш е н и й п о д о б и я

1. Рассмотрим отношение, представленное ниже. Можно

непосредственно убедиться, что оно рефлексивно и симметрично. Для проверки

транзитивности достаточно подсчитать R2. Тогда должны иметь RR =2 .

42

19.07.08.09.09.017.08.017.07.017.07.08.08.03.018.09.017.08.01

EDCBA

EDCBAR

2. Если в данном отношении положить 10 ≤≤ а , то имеем отношение

подобия.

11

11

1

aaaaEaaaaDaaaaCaaaaBaaaaAEDCBAR

3. Если в отношении, представленном ниже, положить

,1......0 21 ≤≤≤≤≤≤ kaaa то это отношение подобия, определенное на

бесконечном множестве U.

ΟΜΜΜΜΜΜΜΜΛΛΛΛΛΛΛΛ

11

11

11

1

6543217

6543216

5543215

4443214

3333213

2222212

1111111

7654321

aaaaaaxaaaaaaxaaaaaaxaaaaaaxaaaaaaxaaaaaaxaaaaaaxxxxxxxxR

4. Нечеткое отношение xRy , где x, y∈ R+, определяемое функцией

принадлежности

>>=

><=

+−

+−

1,,,1

1,,),(

)1(

)1(

kxyexy

kxyeyx

xk

yk

Rµ (2.26)

есть отношение подобия.

Теорема 1. Пусть UUR ×⊂ - отношение подобия. Пусть также x, y,

z – три элемента множества U. Положим

43

======

),(),(),(),(

),(),(

yzzybxyyxa

xzzxc

RR

RR

RR

µµµµµµ

(2.27)

Тогда

c ≥ a= b, или a ≥ b= c или b ≥ c = a.

Другими словами, из этих трех величин a, b, c по крайней мере две

величины равны друг другу, а третья больше всех остальных.

2.5.4. Отношения различия. Рассмотрим отношение подобия R, определенное в 2.5.3. Для удобства

напомним здесь три свойства подобия:

1) )}],(),,([min{max),(:),(),,(),,( zyyxzxUUxzzyyx RRyR µµµ ≥×∈∀ - транзитивность,

2) 1),(:),( =×∈∀ xxUUxx Rµ - рефлексивность,

3) ),(),(:),( xyyxUUyx RR µµ =×∈∀ - симметрия.

Теперь с R свяжем отношение R , такое, что

),(1),(:),( yxyxUUyx RRµµ −=×∈∀ (2.28)

Зная, что отношение R обладает свойствами 1)-3), можно определить и

свойства отношения R . Начнем со свойства транзитивности.

Имеем:

)]}],(1[)],,(1[min{[max),(1 zyyxzxRRyR

µµµ −−≥− (2.29)

но согласно теореме де Моргана

)},(),,(max{1)]},(1[)],,(1min{[ zyyxzyyxRRRR

µµµµ −=−− (2.30)

Таким образом, (2.29) можно переписать в виде

)}],(),,(max{1[max),(1 zyyxzxRRyR

µµµ −≥−

или

)],(),,([max{min),( zyyxzxRRyR

µµµ ≤

это свойство называется (min – max)-котранзитивностью.

В силу 2) имеем 011),(1),( =−=−= xxxxRR

µµ

И, наконец, симметрия тоже сохраняется. Итак, мы имеем

44

)],(),,([max{min),( zyyxzxRRyR

µµµ ≤ - (min - max)-котранзитивность, (2.31)

011),(1),( =−=−= xxxxRR

µµ - антирефлексивность, (2.32)

),(),(:),( xyyxUUyxRR

µµ =×∈∀ - симметрия. (2.33)

Опр. 2.24. Нечеткое бинарное отношение, обладающее свойствами (2.31)

– (2.33), называется отношением различия.

П р и м е р

1. На рисунке представлено отношение различия (кроме того, отношение

R совпадает с отношением подобия R примера 1 из 2.5.3.).

01.03.02.01.01.003.02.003.03.003.03.02.02.03.002.01.003.02.00

EDCBA

EDCBAR

2.5.5. Отношения сходства и несходства Опр. 2.25. Отношение R, такое, что

1) 1),(:),( =×∈∀ xxUUxx Rµ - рефлексивность,

2) ),(),(:),( xyyxUUyx RR µµ =×∈∀ - симметрия ,

называется отношением сходства.

П р и м е р ы о т н о ш е н и й с х о д с т в а

1. На рисунке приведен пример отношения сходства.

16.0013.06.017.03.02.0

07.0108.013.0011.03.02.08.01.01

EDCBA

EDCBAR

2. Отношение ,),(2)( yxk

R eyx −−=µ ,, Ν∈yx

как мы уже видели в примере 3 из п. 2.3, нетранзитивно, но оно

рефлексивно и симметрично, поэтому есть отношение сходства.

45

Опр. 2.26. Отношение R, такое, что

1) 0),(:),( =×∈∀ xxUUxx Rµ - антирефлексивность

2) ),(),(:),( xyyxUUyx RR µµ =×∈∀ - симметрия

называется отношением несходства.

Рассмотрим очевидное свойство. Если R – отношение сходства, то R -

отношение несходства и наоборот.

46


1. Дайте определение нечеткого отношения.

2. Определите свойства нечетких отношений.

3. Дайте понятие транзитивного замыкания нечеткого отношения.

4. Дайте определение обычного отношения, ближайшего к нечеткому?

5. Дайте определения композиции отношения.

6. Какое нечеткое отношение называется обратным?

7. Что такое первая, вторая и глобальная проекции нечеткого

отношения?

8. Какие специальные типы нечетких отношений Вы знаете?

9. Приведите пример отношения подобия.

10. Выведите свойства для отношения различия.

11. Какими свойствами обладает отношение «A красивее, чем B»?

47


1. Пусть даны нечеткие отношения.

Для каждого из данных отношений найдите:

1) носитель нечеткого отношения;

2) обычное отношение, ближайшее к нечеткому;

3) обратное отношение;

4) обычное подмножество α-уровня нечеткого отношения при α=0.5;

5) первую, вторую и глобальную проекции нечеткого отношения.

2. Пусть даны нечеткие отношения

а) хRу, где х, у ∈ R, и 1,)(1

1),( 2 >−+

= kyxk

yxRµ

б) хRу, где х, у ∈ R, и 1,1

1),( >−+

= kyxk

yxRµ

Для каждого из данных отношений найдите:

1) носитель нечеткого отношения;

2) первую, вторую и глобальную проекции нечеткого отношения.

R a b c d

a 0.3 1 0.2 0.1 b 0.9 0.2 0 0.5 c 0.8 0.1 0.8 0.9 d 0.9 0.5 1 0.9 e 0.5 0 0.7 0.7

R y1 y2 y3 y4

x1 0 0.5 0 0.5 x2 1 0 0.5 0.5 x3 1 0 0 1 x4 0 0 0 0

48

3. Пусть даны следующие нечеткие отношения

R1 y1 y2 y3 y4

x1 0 0.1 0 0.4 x2 0.5 1 0 0.7 x3 0.8 0.9 0.9 1

R2 y1 y2 y3 y4

x1 0.1 0 0.2 0.5 x2 0 1 0.1 1 x3 0.9 0.4 0.7 0

R3 y1 y2 y3 y4

x1 0.5 0 0.2 0 x2 0 1 0.1 0.2 x3 0.9 0.4 0 1

Подсчитайте

1) 21 RR ∩ 2) 31 RR ∪ 3) 321 RRR ∩∩ 4) )( 321 RRR ∩∩

4. Для следующих отношений найдите (max-min) – композицию.

R1 y1 y2 y3 y4 y5 x1 0 0.2 0 0.2 1 x2 1 0.5 0.4 1 0.4 x3 0.7 0 0.5 0 0.9

R2 z1 z2 z3 z4

y1 0.5 0.8 0 0.7 y2 0.7 0 0.5 0.8 y3 1 1 1 0 y4 0.5 0.2 0 0.4 y5 0.9 0.7 0.8 0.7

R3 t1 t2 t3 t4 t5 z1 0.8 0 0.2 0.8 1 z2 0.9 0.2 0 0.1 0 z3 1 0.5 0.7 0 0.4 z4 0.4 1 0 0.4 0.9

1) 21 RR ο 2) 12 RR ο 3) 123 RRR οο

5. Проверьте, является ли отношение, приведенное в примере 2 п. 2.5.2

отношением порядка.

49

6. Убедитесь, что отношение, приведенное в примере 4 п. 2.5.3 является

отношением подобия.

7. Является ли отношение, заданное матрицей R, отношением сходства?

Ответ обоснуйте.

8. Сформулируйте и запишите нечеткие отношения предпочтения между

элементами множеств X и Y, Y и Z.

X = {лес, кирпич, шлакоблоки},

Y = {железо, шлакобетон, брус},

Z = {шлакоблоки, ракушечник, бетон}.

R1 y1 y2 y3 y4 y5 x1 1 0.1 0.5 0.7 1

x2 0.1 1 0 1 0.1

x3 0.5 0 1 0.3 0.5

50

3. Нечеткая и лингвистическая переменные

3.1. Понятие нечеткой и лингвистической переменных

Целью введения нечеткого множества чаще всего является формализация

нечетких понятий и отношений естественного языка (ЕЯ). Данную

формализацию можно выполнить, воспользовавшись понятиями нечеткой и

лингвистической переменных.

Опр.3.1. Нечеткой переменной называется совокупность (кортеж) вида

<X,U, X~ >, где

X – наименование нечеткой переменной.

U = {u} область ее определения (универсальное множество);

X~ = uuXUu/)(~µ

∈Υ - нечеткое множество на U, описывающее ограничения

(т.е. )(~ uXµ ) на значения нечеткой переменной X.

Опр.3.2. Лингвистической переменной (ЛП) называется кортеж вида <β,

T, U, G, M>, где

β – наименование лингвистической переменной

Т – множество ее значений (терм-множество), представляющих собой

наименование нечетких переменных, областью определения каждой из которых

является множество U. Множество Т называется базовым терм-множеством

лингвистической переменной

G – синтаксическая процедура, описывающая процесс образования из

элементов множества Т новых, осмысленных для данной задачи значений

лингвистической переменной (терм).

М – семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое

значение ЛП, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е.

сформировать соответствующее нечеткое множество.

51

П р и м е р ы л и н г в и с т и ч е с к и х п е р е м е н н ы х

1. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью

понятий «Малая толщина», «Средняя толщина» и «Большая толщина», при

этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная – 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью

следующей ЛП <β, T, U, G, M>, где

β – толщина изделия;

Т – {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»};

U = [10,80];

G – синтаксическая процедура образования новых термов с помощью

связок «и», «или», и модификаторов (лингвистических неопределенностей) типа

«очень», «не», «слегка» и т.п. Например, «Малая или средняя толщина», «Очень

малая толщина», «Не очень большая толщина» и т.д.

М – семантическая процедура задания на U = [10,80] нечетких множеств

А1=«Малая толщина», А2=«Средняя толщина», А3=«Большая толщина», а

также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами

трансляции нечетких связок, лингвистических неопределенностей и других

операций над нечеткими множествами.

2. Пусть β – посадочная скорость самолета (скорость). Тогда

Скорость := (скорость, <малая, небольшая, средняя, высокая>, [0..300],

G, M), где

G – процедура перебора элементов базового терм-множества.

M – процедура экспертного опроса.

3. Рассмотрим еще один пример лингвистической переменной.

β – дисциплина;

Т – {«Сложная дисциплина», «Интересная дисциплина», «Пригодится в

будущей работе»};

U = [«Программирование», «Базы данных», «Нечеткая логика», «САОД»]

– множество дисциплин, изучаемых студентами специальности 220400;

G – процедура перебора элементов базового терм-множества;

52

M – процедура экспертного опроса.

4. Для лингвистической переменной <β, T, U, G, M> представленной на

рис. 3.1:

T = {T1,T2,T3}

u0 < u1 < u2 < u3 < u4 < u5;

U = [u0, u5], пару (u0, u5) будем называть граничной парой.

Замечание . В дальнейшем без особой необходимости, не будем

различать переменную и ее наименование. β

T1 T2 T3

µ(u) µ(u) µ(u)

u0 u1 u u2 u3 u u4 u5 u

Рис.3.1. Взаимосвязь лингвистической и нечеткой переменных.

В зависимости от характера множества U лингвистическая переменная

может быть разделена на числовые и нечисловые.

Опр.3.3. Числовой называют лингвистическую переменную, у которой

U⊂R1 , R1=(-∞, ∞), и которая имеет измеримую базовую переменную.

Скорость – это числовая лингвистическая переменная, причем нечеткие

переменные из ее терм-множества нечеткие числа.

В качестве примера нечисловой лингвистической переменной можно

привести понятие “дисциплина” из примера 4.

3.1.1. Характеристики простых отношений между нечеткими переменными

Зависимость между двумя обычными числовыми переменными X и Y

чаще всего описываются набором высказываний, например: «если х равно 5, то

у равно 12» и т.д.

53

Применим такой же способ описания и для нечетких переменных. В

частности, если Х и Y - лингвистические переменные, то высказывания,

описывающие зависимость Y от Х, могли бы выглядеть так: «если Х мало, то Y

велико»; «если Х не очень мало, то Y очень велико»; «если Х не мало и не

велико, то Y не очень велико» и т.п.

Нечеткие высказывания типа «из А следует В», где А и В имеют

неопределенное значение, например: «Если Александр любезен с тобой, то ты

должен быть добр к нему», обычны в повседневной речи. В дальнейшем будет

показано, что высказывание “из А следует В” математически определяется, если

А и В заданы как некоторые нечеткие переменные.

Приведенные отношения между нечеткими переменными Х и Y являются

простыми в том смысле, что их можно записать как множество высказываний

вида “из А следует В”. Для описания более сложной зависимости Y от Х могут

потребоваться нечеткие алгоритмы.

Если обратить внимание на структуру лингвистической переменной, то

можно отметить, что в общем случае значение лингвистической переменной

есть составной термин, представляющий сочетание некоторых элементарных

терминов. Эти элементарные термины можно разбить на четыре основные

категории:

− первичные термины, которые являются символами специальных

нечетких подмножеств, например, молодой, старый и т.д.

− отрицание НЕ и союзы И, ИЛИ.

− неопределенности типа: очень, слабо, более или менее и т.д.

− маркеры, чаще всего это вводные слова.

Отрицание НЕ, союзы И, ИЛИ, неопределенности типа очень, весьма,

больше, меньше и другие термины, которые входят в определение значений

лингвистической переменной, могут рассматриваться как символы различных

операций, определенных на нечетких подмножествах U.

54

3.2. Нечеткие числа

Опр.3.4. Нечеткие числа – нечеткие переменные, определенные на

числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на

множестве R c функцией принадлежности µА(u) ∈ [0, 1], u ∈ R.

Нечеткие числа соответствуют значениям числовой лингвистической

переменной.

Нечеткое число А нормально, если 1)(max =uAuµ . (3.1)

Нечеткое число А выпуклое, если для x ≤ y ≤ z выполняется

)}(),(min{)( zyx AAA µµµ ≥ . (3.2)

Множество α-уровня нечеткого множества А определяется как

{ }αµα ≥= )(/ uuA A . (3.3)

Подмножество SA ⊂ R называется носителем нечеткого числа А, если

{ }0)(/ >= uuS AA µ . (3.4)

Нечеткое число А унимодально, если условие 1)( =uAµ справедливо

только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

))(( sup)0( uAu

A µµ = . (3.5)

Нечеткое число А положительно, если ∀u ∈ SA, u > 0 и отрицательно,

если ∀u ∈ SA, u < 0.

3.2.1. Операции над нечеткими числами

Для определения арифметических операций ⊗= {+, -, *, /} Л. А. Заде был

сформулирован Принцип обобщения.

Пусть А и В – два нечетких множества. d: R1 ⊗R1→ R1 – некоторая

функция, определяющая арифметическую операцию.

Тогда нечеткое число D=d(A, B) определяется функцией принадлежности:

)(uDµ = - [ )(uAµ , )(uBµ ], (3.6)

55

где

(u))(u),( min sup(u)](u),

BA

SbSaub)d(a,

BA BA

µµµµ ∈∈

==Θ ,[ . (3.7)

Теперь бинарные операции ⊗= {+, -, *, /} можно определить следующим

образом:

А⊗В = UΥ )(uDµ /(a⊗ b). (3.8)

При решении прикладных задач мы редко имеем дело с бинарными

арифметическими операциями. Обычно рассматриваются многомерные

арифметические выражения.

Пусть, например, D = A/(A+B), где A, B, D – нечеткие числа. Обычно

значение D вычисляются в два этапа.

Сначала находят сумму A+B, а затем частное от деления A на (A+B).

При этом:

S D′ = BA

A

SSS+

= {d∈AB

A

SS }, SAB = SA + SB, (3.9)

где S D′ - обычное множество D–уровня.

d – нечеткое число d

µD(d) = { })(),(),(min sup)( B1

AA;,; 1

1

baadBA SbSaa

baad

D µµµµ=∈

+=

= .

Если, однако, считать, что в определение D (в числитель и знаменатель)

входит одно и то же число A, то должно быть:

S D ′′ = {d: d = ba

a+

, a ∈ SA, b ∈ SB}, (3.10)

µD ′′ (d) = BA SbSad

baa

∈∈=+

,,

sup min {µA(a), µB(b)}.

Очевидно, что S D ′′ ⊂ S D′ , а значит DD ′⊂′′ , где D′ определяется по (3.9),

D ′′ по (3.10).

Таким образом, если значением величины D считать нечеткое число D ′′ ,

то нечеткое число D′ будет лишь охватывающей оценкой для D.

Заметим, что изложенное будет справедливо и при более сложных

нечетких арифметических выражениях.

56

П р и м е р

Пусть А и В – нечеткие числа.

≈2: А={0.5/1.8, 1/2, 0.5/2.2}

≈3: B={0.6/2.8, 1/3, 0.4/3.3}

D = A + B = sup {0.5/4.7, 05/4.8, 0.4/5.1, 0.6/4.9, 1/5, 0.4/5.3, 0.5/5.1, 0.5/5.2,

0.4/5.5}= {0.5/4.7, 05/4.8, 0.6/4.9, 1/5, 0.4/5.3, 0.5/5.1, 0.5/5.2, 0.4/5.5}

3.2.2. Сравнение нечетких чисел Рассмотрим два нечетких числа <A, R1, SA> и <B, R1, SB>, у которых

SA Ι SB ≠ Ø (рис. 3.1).

При решении задачи о выборе можно реализовать разные подходы к

выбору четкого значения нечеткого числа, при этом соотношение между

четкими значениями нечетких чисел и между именами нечетких чисел могут

быть различными. Пусть, например, в первой реализации четкие значения

нечетких чисел а1 и b1, во второй а2 и b2. Из рис. 3.1 видно, что в первой

ситуации А< B (т.к. a1 < b1), а во второй – А > B (поскольку а2 > b2).

Таким образом, отношение порядка на множестве нечетких чисел

является нечетким. Лишь в том случае, когда SA Ι SB = Ø, отношение между

числами будет четким, в этом частном случае при любом выборе четкого

значения нечеткого числа из условия а1 < b1, всегда следует А < B.

u b1 b2 a2 a1

µ(u)

Рис. 3.1. Отношение порядка на множестве нечетких чисел

57

Существуют процедуры по вычислению некоторой четкой функции H(A,

B) от нечетких аргументов, которые называются индексом ранжирования.

Значение индекса для конкретной пары чисел дает основание решить вопрос о

том, какое из двух нечетких чисел больше (или с какой степенью больше).

Приведем пример индекса ранжирования:

H(A,B) = H+(A) – H+(B), H+(A) = ∫1

00 )( dAAM , (3.11)

где А0 – α – уровневое подмножество нечеткого множества А.

М(А0) = (а- + а+)/2; a- = 0

infAa∈

a; a+ = 0

supAa∈

a.

При этом, если H(A,B) ≥ 0, то A ≥ B.

Данный индекс ранжирования учитывает форму функции

принадлежности.

П р и м е р .

Два истребителя противоборствующих воздушных армий

руководствуются стратегиями:

А: Если снарядов мало, то вероятность поражения противника малая,

иначе не малая.

В: Если снарядов не мало, то вероятность поражения противника

большая, иначе не большая. Известно, что

мало снарядов = A=(0.8/3, 0.4/15, 0.3/30),

малая вероятность = B=(0.1/0.9, 0.5/0.5, 0.8/0.1),

большая вероятность = C = (0.8/0.9, 0.5/0.5, 0.3/0.2).

Количество снарядов не очень мало. Кто победит?

Определим все необходимые для решения задачи нечеткие множества:

не мало снарядов = A = (0.2/3, 0.6/15, 0.3/30).

не малая вероятность = B = (0.9/0.9, 0.5/0.5, 0.2/0.1).

не большая вероятность = C = (0.2/0.9, 0.5/0.5, 0.7/0.2).

x = не очень мало = 2)(мало

(мало)2 = (0.64/3, 0.16/15, 0.09/30)

58

2)(мало = (0.36/3, 0.84/15, 0.91/30).

Определим нечеткое отношение стратегии А:

R1 = А×ВΥ A × B

А×В = 3.03.01.04.04.01.08.05.01.0

A × B = 2.03.03.02.05.06.02.02.02.0

R1 = А×ВΥ A × B = 3.03.03.04.05.06.08.05.02.0

y1 = x○R1 = 91.084.036.0 ○ 3.03.03.04.05.06.08.05.02.0

= (0.6/0.9, 0.5/0.5, 0.4/0.1).

Определим нечеткое отношение стратегии B:

R2 = A ×CΥA× C

A ×C = 09.015.024.018.03.048.006.01.016.0

A× C = 21.015.006.028.02.008.056.04.016.0

R2 = A ×CΥA× C = 21.015.024.028.03.048.056.04.016.0

y2 = x○R2 = 91.084.036.0 ○ 21.015.024.028.03.048.056.04.016.0

= (0.48/0.9, 0.36/0.5, 0.36/0.2).

Сравним полученные результаты y1 и y2 между собой, для чего

воспользуемся индексом ранжирования H(y1, y2).

H+(y1) = 0.4*(0.1 + 0.9)/2 + 0.5*(0.5 + 0.9)/2 + 0.6*(0.9 + 0.9)/2 = 0.2 + 0.35

+ 0.54 = 1.09

H+(y2) = 0.36*(0.2 + 0.9)/2 + 0.48*(0.9 + 0.9)/2 = 0.198 + 0.432 = 0.63

H(y1, y2) = 1.09 – 0.63 = 0.46 > 0.

Таким образом, истребитель со стратегией А победит.

59

3.3. Лингвистические неопределенности

Как уже отмечалось, значения лингвистической переменной являются

символами нечетких подмножеств, которые представляют собой фразы или

предложения формального или естественного языка.

Например, если U есть набор целых чисел U = (0, 1, 2, . . . , 100) и возраст

есть лингвистическая переменная, тогда значения лингвистической переменной

могут определяться словосочетаниями: молодой, не молодой, очень молодой, не

очень молодой, старый и т.д.

Основная проблема, которая возникает при использовании

лингвистической переменной, заключается в следующем: пусть дано значение

любого элементарного термина xi, i = 1..n, в составном термине u = x1…xn,

который представляет собой значение лингвистической переменной. Требуется

вычислить значение u в смысле нечеткого множества.

Рассмотрим более простую задачу – вычисление значения составного

термина вида u = hx, где h – неопределенность, а x – термин с фиксированным

значением. Например, u = очень высокий человек, где h = очень, а х = высокий

человек.

Будем рассматривать h как оператор, который переводит нечеткое

множество M(x), представляющее значение x, в нечеткое М(hx). Теперь

неопределенность выполняет функцию генерации большого множества

значений для лингвистической переменной из небольшого набора первичных

элементов. Например, используя неопределенность очень в сочетании с

отрицанием НЕ и первичным термином высокий, мы можем генерировать

нечеткие множества очень высокий, не очень высокий и т.п.

Для неопределенности h удобно использовать некоторые основные

операции, определенные ранее, особенно операции степень, CON, DIL, INT.

Покажем, как это можно сделать для естественной неопределенности очень и

искусственных неопределенностей плюс и минус. Аналогичным образом можно

определить неопределенности больше, меньше, много, слабо, вроде, вполне и

другие.

60

В обычном использовании неопределенность очень не имеет четко

определенного значения. Она действует как усилитель, генерируя

подмножества того множества, к которому она применяется. Аналогичным

образом действует операция концентрирования. Поэтому очень u, где u –

некоторый термин, может быть определенно как квадрат u, т.е.

Υu

u2 uuu u очень /)(2µ== . (3.12)

Например, если u = маленький возраст = (1/1, 0.8/2, 0.6/3, 0.4/4, 0.2/5),

тогда

очень маленький = (1/1, 0.64/2, 0.36/3, 0.16/4, 0.04/5).

Рассматриваемый как оператор, очень может сочетаться с самим собой.

Так, например:

очень очень маленький = (1/1, 0.4/2, 0.1/3)

Заметим, что порядок следования элементарных терминов в составном

термине существенно влияет на результат. Так, например:

u = очень не точно = 2

)(точно

и

u = не очень точно = 2)(точно

не одно и то же.

С другой стороны, не очень точно может быть записано по-разному, хотя

результат будет один и тот же.

u = не очень точно = точноочень _ = 2)(точно .

Искусственные неопределенности плюс и минус служат для придания

более слабых степеней концентрации и растяжения, чем те, которые

определяются операциями CON и DIV.

плюс u = u1.25 = )(25.1 uU

UµΥ

/u, (3.13)

минус u = u0.75 = )(75.0 uU

UµΥ

/u. (3.14)

Вследствие (3.13) и (3.14) мы имеем приближенные тождества, которыми

часто пользуются на практике

61

плюс u ≅ минус очень u (3.15)

минус очень очень u = плюс плюс очень u (3.16)

Проиллюстрируем это на примере.

П р и м е р

Если неопределенность в высшей степени определена как минус очень

очень, тогда можно записать:

в высшей степени u = плюс плюс очень u.

3.3.1. Вычисление значений лингвистических переменных Приведем несколько примеров вычисления значений лингвистической

переменной.

П р и м е р 1

Пусть u = маленький возраст = (1/1, 0.8/2, 0.6/3, 0.4/4, 0.2/5)

Лингвистические переменные очень маленький возраст и очень очень

маленький возраст определены выше. Определим лингвистическую

переменную не очень очень маленький возраст. Обозначим ее и тогда:

u = 2) ( маленькийочень = (0/1, 0.36/2, 0.64/3, 0.84/4, 0.96/5) ≈ (0.4/2, 0.6/3,

0.8/4, 1/5).

очень маленький = (1/1, 0.64/2, 0.36/3, 0.16/4, 0.04/5).

(очень маленький)2 = (1/1, 0.41/2, 0.13/3, 0,03/4, 0.001/5). 2) ( маленькийочень = (0/1, 0.59/2, 0.87/3, 0.97/4, 0.999/5), здесь инверсия = (1

- µ(x)/x).

П р и м е р 2

Пусть

u1 = маленький возраст = (1/1, 0.8/2, 0.6/3, 0.4/4, 0.2/5).

u2 = большой возраст = (0.2/1, 0.4/2, 0.6/3, 0.8/4, 1/5).

Определим лингвистическую переменную.

u = не очень маленький и не очень очень большой возраст.

62

u = ( ) ( )42

21 uu Ι ≈ (0.4/2, 0.6/3, 0.8/4, 1/5) Ι (1/1, 1/2, 0.9/3, 0.6/4, 0.5/5) =

(0.4/2, 0.6/3, 0.6/4).

Рассмотрим вычисления:

очень маленький = (1/1, 0.64/2, 0.36/3, 0.16/4, 0.04/5),

не очень маленький = (0.36/2, 0.64/3, 0.84/4, 0.96/5),

очень большой возраст = (0.04/1, 0.16/2, 0.36/3, 0.64/4, 1/5),

очень очень большой возраст = (0.001/1, 0.03/2, 0.13/3, 0.41/4, 1/5),

не очень очень большой возраст = (0.998/1, 0.97/2, 0.87/3, 0.59/4).

Таким образом,

u = ( ) ( )42

21 uu Ι = (0.36/2, 0.64/3, 0.84/4, 0.96/5) ∩ (0.998/1, 0.97/2, 0.87/3,

0.59/4) = (0.36/2, 0.64/3, 0.59/4)

В примере 2 при определении операции Ι был использован

минимаксный подход.

П р и м е р 3

Пусть первичный термин сходство задан в виде:

Сходство x = (1/1, 0.9/1, 0.8/1, 0.7/0.8, 0.6/0.6, 0.5/0.5, 0.4/0.3, 0.3/0.2).

Здесь элементы исходного множества представляют вероятности

X = (1, 1, 1, 0.8, 0.6, 0.5, 0.3, 0.2).

Как уже отмечалось, в высшей степени = минус очень очень, а непохоже

определим, как не похоже. Тогда

очень очень непохоже = (не похоже)4 = (0.02/0.6, 0.06/0.5, 0.13/0.3,

0.24/0.2).

Окончательно имеем:

u = минус очень очень не похоже = (0.02/0.6, 0.0121/0.5, 0.13/0.3,

0.24/0.2)0.75 = (0.053/0.6, 0.0121/0.5, 0.21/0.3, 0.34/0.2).

Следует заметить, что при вычислении значения составного термина

используются обычные правила предшествования. С добавлением

неопределенностей эти правила предшествования можно выразить следующим

образом:

63

Предшествование Операция

первое h, не

второе и

третье или

Как обычно, для изменения порядка предшествования можно

использовать скобки и разрешать неопределенности путем объединения членов

справа.

Так, плюс очень минус очень высокий следует интерпретировать как плюс

(очень (минус (очень (высокий))))

64


1. Дайте определение нечеткой переменной.

2. Определите лингвистическую переменную.

3. В чем заключается отличие числовой лингвистической переменной

от нечисловой?

4. Определите нечеткие числа и операции над ними.

5. В чем заключается Принцип обобщения Заде?

6. Дайте понятие лингвистической неопределенности.

7. Как сравнить два нечетких числа?

65


1. Приведите пример нечеткой переменной.

2. Приведите пример числовой лингвистической переменной. Подробно

изложите суть синтаксической и семантической процедур.

3. Приведите пример нечисловой лингвистической переменной.

Подробно изложите суть синтаксической и семантической процедур.

4. Введите правила определения понятий «чрезмерно», «достаточно»

5. Дано нечеткое множество небольшой = {1/1, 2/1, 3/0.8, 4/0.5, 5/0.1}.

Найдите нечеткие множества очень небольшой, не очень большой,

достаточно небольшой.

6. Определите значение лингвистической переменной

u = не очень сладкий и достаточно кислый

если известно, что

сладкий = (яблоко/0.8, ананас/0.6, лимон/0.1, манго/0.4)

кислый = (яблоко/0.2, ананас/0.5, лимон/0.9, манго/0.4).

7. Используя принцип обобщения Заде для нечетких множеств

A = (0.2/3, 0.8/4, 0.4/5, 0.2/6)

В = (0.1/3, 0.95/4, 0.3/5)

вычислите значение:

а) D = А*3 + А/3

б) C = B/(A+B)*A-B

8. Сравните два нечетких числа:

А = (0.3/2, 0.6/5, 0.4/8) и В = (0.1/2, 0.7/5, 0.5/8).

66

Заключение

Первая часть учебного пособия содержит основы теории нечетких

множеств и посвящена, в основном, математическим аспектам этой теории.

Весь материал разбит на три раздела, каждый раздел завершают контрольные

вопросы по материалу раздела и упражнения для самостоятельного выполнения

студентами на практических занятиях.

К изданию готовится вторая часть пособия, которая будет посвящена

приложениям нечеткой логики к информационным процессам в

автоматизированных системах и процессам принятия решений у людей в

условиях неопределенности. В подобных приложениях центральную роль

играет понятие нечеткого алгоритма.

67

Список рекомендуемой литературы

1. L.A. Zadeh. Fuzzy sets.

2. Заде Л.А. Понятие Лингвистической переменной и его применение к

принятию приближенных решений. – М.: Мир, 1976.

3. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. – М.: Радио и

связь, 1982.

4. Могиленко А. В. , Балуев А. В. Элементарные понятия теории

нечетких множеств. – Новосибирск, 2003

68

Учебное издание

Наталья Баясхалановна Хаптахаева

Сэсэгма Викторовна Дамбаева

Наталья Николаевна Аюшеева

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Учебное пособие

Часть I

Подписано в печать 07.12.2004 г. Формат 60×84 1/16.

Усл. печ. л. 3, 95, уч.-изд. л.3,4. Печать операт., бум. писч.

Тираж 100 экз. Заказ №195.

Издательство ВСГТУ, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40, в

Documents

Хаптахаева н б , дамбаева с в , аюшешва н н , 2004 введение в теорию нечетких множеств