1

Российский государственный педагогический университет

им. А.И. Герцена

ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В РАЗНЫХ ПРОФИЛЯХ

Санкт-Петербург 2007

2

Содержание

1. Стандарт и программа математики. Отличия в уровнях требований на базовом и профильном уровнях.

3

2. Цели изучения математики на базовом и профильном уровне. 53. Общая характеристика теоретического содержания учебного предмета «математика» на базовом и профильном уровнях.

8

4. Общая характеристика содержания задач в рамках учебного предмета «математика» на базовом и профильном уровнях.

10

5. Обучение математики в классах различных профилей. 115.1. Обучение математике в классах индустриально-технологического профиля

11

5.2. Обучение математике в классах естественно - научных профилей.

13

5.3. Обучение математике в классах социально-экономического профиля.

18

5.4. Обучение математике в классах физико-математического профиля.

21

5.5. Обучение математике в классах гуманитарных профилей. 225.6. Обучение математике в классах художественно-эстетического профиля.

25

5.7. Обучение математике в классах оборонно-спортивного профиля.

28

3

1. Стандарт и программа математики. Отличия в уровнях требований на

базовом и профильном уровнях.

Основой примерной программы среднего (полного) общего образования по

математике является федеральный компонент государственного стандарта среднего

(полного) образования на базовом уровне.

В свою очередь, примерная программа является ориентиром для

составления авторских учебных программ и учебников. Примерная

программа задает инвариантную (обязательную) часть учебного курса,

содержание которой может быть структурировано авторами учебных

программ и учебников по-разному, также они имеют свободу в выборе

последовательности изучения учебного материала и методах формирования

системы знаний и умений, путях развития и социализации учащихся.

Структурными компонентами стандарта и программы являются:

- основное содержание;

-требования к уровню подготовки выпускников.

Но в отличие от стандартов программа также включает пояснительную

записку; а основное содержание предлагается с примерным распределением

учебных часов по разделам курса.

Требования, как в программе, так и в стандартах расписаны по двум

основным рубрикам, соответствующим разным уровням усвоения материала

«знать/понимать» и «уметь».

Раздел «уметь» в свою очередь делится на разделы, которые

соответствуют основным содержательным блокам курса математики:

АЛГЕБРА

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ

ГЕОМЕТРИЯ

4

На изучение математики на базовом уровне отводится 8 недельных часов

за два года обучения. На обучение математике на профильном уровне

отводится 12 недельных учебных часов за два года обучения.

Разберем различия в уровне требований на базовом и профильном

уровня.

В рубрике «уметь» вместо раздела «АЛГЕБРА» на профильном уровне

дан раздел «ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ», хотя в этих

разделах многие умения совпадают. И последнее названия более правильное,

т.к. уравнения и неравенства традиционно рассматривались в разделе

«Алгебра».

Основные отличия в требованиях определяются различными целями

обучения на базовом и профильном уровнях и образовательными

функциями: математический профиль предполагает более глубокие и

расширенные математические знания и представления о математике как

науке, а также понимание связи с реальным миром, базирующуюся на

умении создавать математические модели.

В рубрике «уметь» можно выделить два типа различий:

- требования на базовом и профильном уровне аналогичны, но отличаются

редакцией, которая, в основном, описывает сформированность умений более

высокого уровне для профильного обучения математике;

- требования даны только на одном из уровней, причем преимущественно на

профильном уровне предъявляются дополнительные требования.

Например. Рассмотрим эти различия в требованиях в одном из разделов

рубрики «уметь».

ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

уметь:

• выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные

приемы, применение вычислительных устройств; находить значения

корня натуральной степени, степени с рациональным показателем,

логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

5

пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах (данное

требование в базовом курсе дано в другой редакции).

• применять понятия, связанные с делимостью целых чисел, при решении

математических задач;

• находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать

многочлены на множители;

• выполнять действия с комплексными числами, пользоваться

геометрической интерпретацией комплексных чисел, в простейших

случаях находить комплексные корни уравнений с действительными

коэффициентами;

• проводить преобразования числовых и буквенных выражений,

включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические

функции.

(в базовом куре это требование сужено до преобразований по известным

формулам и правилам. Также есть требование: вычислять значения

чисел и буквенных выражений, осуществляя необходимые преобразования

и подстановки).

2. Цели изучения математики на базовом и профильном уровне.

Обратимся к целям изучения математики на базовом и профильном

уровнях.

В Стандарте среднего (полного) образования по математике

сформулированы цели изучения математики на базовом и профильном

уровнях.

Изучение математики на базовом уровне направлено на достижение

следующих целей:

формирование представлений о математике как универсальном языке

науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах

математики;

6

• развитие логического мышления, пространственного воображения,

алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне,

необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также

последующего обучения в высшей школе;

• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в

повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных

дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не

требующих углубленной математической подготовки;

• воспитание средствами математики культуры личности, понимания

значимости математики для научно-технического прогресса, отношения

к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство

с историей развития математики, эволюцией математических идей.

На профильном уровне цели сформулированы следующим образом:

• формирование представлений об идеях и методах математики; о

математике как универсальном языке науки, средстве моделирования

явлений и процессов;

• овладение языком математики в устной и письменной форме,

математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения

школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и

освоения избранной специальности на современном уровне;

• развитие логического мышления, алгоритмической культуры,

пространственного воображения, математического мышления и

интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения

образования и для самостоятельной деятельности в области математики

и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

• воспитание средствами математики культуры личности через

знакомство с историей развития математики, эволюцией

математических идей; понимания значимости математики для научно-

технического прогресса.

7

Необходимо заметить, что анализ сформулированных целей не

позволяет в достаточной степени выявить отличия в обучении математике в

классах с базовой и профильной математической подготовкой.

Например. Проанализировав вторую и третью цели в образовательных

стандартах, можно сделать вывод о том, что отличия в базовом и

профильном уровнях практически заключаются только в следующем: «…для

получения образования в областях, не требующих углубленной

математической подготовки» (базовый уровень) или «…для продолжения

образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее

приложений в будущей профессиональной деятельности» (профильный

уровень).

Цели, сформулированные в стандарте, затем конкретизируются через

перечисление элементов обязательного минимума содержания основных

образовательных программ и формулировку требований к уровню

подготовки выпускников.

Однако и анализ обязательного минимума содержания и требований к

подготовке выпускников не дает в полной мере оснований для

конструктивного ответа на вопросы: чему? и, главное, как? учить на уроках

математики в классах различных профилей, а также в чем состоят

принципиальные отличия в выборе уровня изложения теоретического

материала, в отборе задачного материала для отработки на занятиях, в

предпочтении методов обучения математике учащихся классов различных

профилей.

Говоря об изучении математики на базовом уровне, нельзя не отметить,

что обучение математике в классах художественно – эстетического или

гуманитарных профилей является особенно сложной задачей даже для

опытного учителя, и требует не только внимательного подбора достаточно

широкого спектра теоретических фактов, но и тщательной их обработки для

изложения на доступном ученикам языке. В классах же индустриально-

технологического профиля, в которых математика также изучается на

8

базовом уровне, обучение математике близко к традиционному и потому

более понятно учителям, и возможно, менее сложно для учащихся.

Если же говорить об изучении математики на профильном уровне, то

совершенно очевидно, что подходы к изучению теоретического содержания

для классов физико-математического и естественно - научных профилей

должны быть разными. Различия в этих подходах затрагивают все аспекты

обучения: и глубину изложения теоретического материала, и характер

иллюстративного материала, используемого в процессе объяснения, и

уровень сложности задач, решение которых демонстрируется в процессе

объяснения теоретического материала, и характер и уровень выводов и

обобщений, получаемых в конце.

То же можно сказать и о практической части математического

содержания, прежде всего о содержании прикладных задач, принципы и

методы решения которых необходимо усвоить учащимся.

Особое место занимают задачи исследовательского характера, при

решении которых возможно целенаправленное формирование различных

качеств мышления, которые оказывают порой решающее воздействие на

успешность будущей деятельности учащихся. Эти задачи необходимы как

учащимся базового уровня, так и на профильном уровне. О таких задачах и

об организации исследовательской деятельности на уроках математики речь

пойдет отдельно.

3. Общая характеристика теоретического содержания учебного предмета

«математика» на базовом и профильном уровнях.

Анализируя образовательный стандарт по математике на базовом и

профильном уровнях, можно сделать вывод о том, что содержание

математики, предлагаемое для изучение на каждом из уровней в общем

соответствует традиционному содержанию школьной математики, которая

9

изучалась в общеобразовательных классах и в классах и школах с

углубленным изучением математики соответственно. Основным

существенным отличием является наличие в базовом стандарте темы

«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей», которая

является относительно новой и в стандарт, а тем более в требования к

обязательной подготовке выпускников средних школ с базовой подготовкой

по математике вошла впервые.

Заметим, что в Стандарте существует ряд противоречий. Например, в

теме «Начала математического анализа» понятие об определенном интеграле

как о площади криволинейной трапеции не включается в Требования к

уровню подготовки выпускников, а знание примеров применения интеграла в

физике и геометрии – является обязательным требованием. Хотя совершенно

очевидно, что второе является прямым следствием первого. Как рассказать о

применении интеграла в геометрии, если не говорить о том, что это площадь

криволинейной трапеции, совершенно непонятно. В чем тогда смысл

формального знания формулы Ньютона-Лейбница, которая является

обязательным и проверяемым элементом содержания?

Проблема заключается в том, что часто то, что не будет проверяться на

выходе, часто и не изучается. Учитель, зная, что тот или иной факт не будет

являться элементом проверки при аттестационном тестировании, часто при

недостатке времени просто исключает его из содержания. В соответствии с

этим с большой вероятностью могут остаться без рассмотрения такие важные

вопросы как понятие о непрерывности функции, понятие о независимости

событий, двугранный угол, понятие симметрии в пространстве, примеры

симметрий в окружающем мире и т.д., которые несут на себе большую

общекультурную нагрузку, и отказ от их рассмотрения приведет к

значительному обеднению школьного курса математики. Кроме этого, это

может привести к тому, что цели, сформулированные в Стандарте, не будут

достигнуты.

10

Содержание математики, изучаемой на профильном уровне, как уже

говорилось выше, в значительной степени соответствует содержанию школ и

классов с углубленным изучением математики. Однако, следует заметить,

что целый ряд тем, внесенных в рассматриваемый Стандарт для изучения в

старшей школе, традиционно изучался в 8-м и 9-м классах с углубленным

изучением математики. Это такие темы как: делимость целых чисел и все,

что с ней связано, корень степени n>1, предел последовательности и т.д. В

то же время целый ряд вопросов, которые раньше являлись обязательными

для проверки, в настоящем Стандарте предъявляются как не включающиеся в

Требования: вертикальные и наклонные асимптоты, график дробно-

линейной функции, поведение функций на бесконечности и т.д. В классах

физико-математического профиля, например, полный отказ от рассмотрения

или поверхностное рассмотрение этих вопросов явилось бы большой

ошибкой.

4. Общая характеристика содержания задач в рамках учебного предмета

«математика» на базовом и профильном уровнях.

Очевидно, что системы задач, решаемых в классах, где математика

изучается на разных уровнях, будут различны. Ориентиром для

конструирования дидактических материалов для базового и профильного

уровня могут служить Требования к уровню подготовки выпускников.

Нужно помнить о том, что Требования задают обязательный минимум

содержания, которого никак не достаточно, например, для получения

отметки «отлично» за ЕГЭ. Поэтому очевидно, что набор задач,

соответствующий Требованиям, должен служить лишь ядром.

В задачах гораздо в большей степени, чем в содержании теоретического

материала, может и должна быть отражена специфика выбранного профиля.

Очевидно, что и в рамках одной и той же темы, изучаемой на базовом и

профильном уровнях, даже при условии совпадения требований, наборы

11

задач могут быть различными. Прежде всего они могут различаться уровнем

технической сложности, то есть количеством необходимых преобразований,

сложностью включенных в условие выражений. Это тоже является

достаточно традиционным для построения систем задачи для базового и

профильного уровней.

Например, если при решении задач на исследование функции с

использованием производной в классах базового уровня в основном

предлагаются функции вида dcxbxaxxf +++= 23)( , то есть многочлены

третьей, или иногда четвертой степени, то в классах с профильной

математикой, конечно, класс исследуемых функций должен быть

значительно расширен за счет дробно-рациональных и иррациональных

функций. Если при решении иррациональных уравнений в базовых классах

можно ограничиться уравнениями вида )()( xgxf = , где g(x) – линейная

функция, а степень f(x) не выше двух, то в профильных классах это могут

быть уравнения, в которых и соответствующие функции имею степень более

высокую, и степень корня выше двух, и количество корней увеличено:

)()(3 xgxf = ; )()()( xhxgxf =± и т.д..

Мы не будем здесь подробно останавливаться на задачах, поскольку о

них речь пойдет далее.

5. Обучение математики в классах различных профилей.

5.1. Обучение математике в классах индустриально-технологического

профиля.

Очевидно, что в классах рассматриваемого профиля задачи,

иллюстрирующие математическое содержание желательно подбирать с

учетом специфики профиля.

Например. Логарифмическая спираль в технике.

12

В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они

давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между

лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления

нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том

случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали.

Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.

В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу,

подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы

потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются

минимальными, и напор воды используется с максимальной

производительностью.

Пропорциональность длины дуги спирали разности длин радиус –

векторов используют при проектировании зубчатых колес с переменным

передаточным числом.

При решении прикладных задач в классах этого профиля также

желательно предлагать задачи, сюжет которых в большей или меньшей

степени связан со спецификой профиля. Приведем примеры, в которых не

предполагается глубокого знания теории, но которые служат иллюстрацией

целесообразности использования значений логарифмов для вычислений в

электротехнике.

Пример. Логарифмы в электроосвещении.

Задача 1. Причина того, что наполненные газом лампочки (часто

неправильно называемые «полуваттными») дают более яркий свет, чем

пустотные с металлической нитью из такого же материала, кроется в

различной температуре нити накала. По правилу, установленному в физике,

общее количество света, испускаемое при белом калении, растет

пропорционально 12-й степени абсолютной температуры. Зная это,

проделаем такое вычисление: определим, во сколько раз «полуваттная»

лампа, температура нити накала которой 02500 абсолютной шкалы, испускает

больше света, чем пустотная с нитью, накаленной до 02200 .

13

Решение.

Обозначив искомое отношение через х, имеем уравнение 1212

2225

22002500

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=x . Откуда ( )22lg25lg12

2225lglg

12

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=x и х=4,6.

Наполненная газом лампа испускает света в 4,6 раза больше, чем пустотная.

Рассмотрим еще одну задачу 2.

Какое повышение абсолютной температуры (в процентах) необходимо

для удвоения яркости лампочки?

Решение.

Составляем уравнение: 2100

112

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

x , откуда

122lg

1001lg =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

x и х=6%.

Еще одна подобная задача 3.

На сколько процентов возрастет яркость лампочки, если температура ее

нити (абсолютная) поднимется на 1%?

5.2. Обучение математике в классах естественно - научных профилей.

Несмотря на то, что в классах естественно - научных профилей

математика изучается как профильный предмет, это не умаляет важности

мотивационного этапа в обучении математике. В классах этих профилей

могут использоваться те же приемы, что и рассмотренные выше. Желательно,

конечно, учитывать специфику профиля, хотя, конечно, это удается далеко

не всегда.

Пример 1. Логарифмическая спираль в природе.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей

формы. При этом чаще они растут во всех направлениях – взрослое существо

и выше, и толще детеныша. Но раковины некоторых морских животных

могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в

14

длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток

подобен предыдущему. Такой рост совершается по логарифмической

спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины

многих моллюсков, улиток, а также рога горных козлов (архаров) закручены

по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является

математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий

поэт Иоганн Вльфганг Гете считал ее даже математическим символом жизни

и духовного развития.

По логарифмической спирали очерчены на только раковины. В

подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к ней. Один из

наиболее распространенных пауков – эпейра – сплетает паутину, закручивая

нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. По логарифмическим

спиралям закручены и многие галактики.

В классах естественно - научных профилей при объяснении нового

материала особенно большое значение имеют задачи, иллюстрирующие

теоретический материал, причем задачи, непосредственно связанные с

выбранным профилем: физико-химическим, биолого-географическим и др.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Звезды, шум и логарифмы.

Шум и звезды объединяются потому, что громкость шума и яркость

звезд оцениваются одинаковым образом: по логарифмической шкале.

Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на

светила первой величины, второй, третьей и т.д. Последовательные звездные

величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии.

Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости

составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. «Величина»

звезды представляет собой ни что иное, как логарифм ее физической яркости.

Звезда, например, третьей величины, ярче звезды первой величины в

25,65,2 13 =− раза. Короче говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном

оперирует с таблицей логарифмов с основанием 2,5.

15

Сходным образом оценивается и громкость шума.

Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на

производительность труда побудило выработать приемы точной числовой

оценки громкости шума. Единицей громкости служит «бел», практически его

десятая доля «децибел». Последовательные степени громкости -1 бел, 2 бела

и т.д. (практически – 10 децибел, 20 децибел и т.д.) – составляют для нашего

слуха арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов

(точнее – энергия) составляет геометрическую прогрессию со знаменателем

10. Разности громкостей в 1 бел соответствует отношение силы шумов 10.

Значит, громкость шума, выраженная в белах, равнее десятичному

логарифму его физической силы. Рассмотрим несколько примеров.

Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в

6,5 бела, рычание льва – в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука

разговорная речь превышает шелест листьев в 3160001010 5,515,6 ≈=− раз.

Львиное рычание сильнее громкого разговора примерно в 158 раз.

Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для

человеческого организма.

Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости звезд, и при

измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью

между величиной ощущения и величиной порождающего его раздражения?

Нет, и то, и другое – следствие общего закона (называемого

«психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения

пропорциональна логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы

вторгаются и в область психологии.

Отметим, что приведенный выше пример можно предлагать в классах

любого профиля: и оборонно-спортивного, и индустриально-

технологического, и даже гуманитарных, поскольку он не содержит никаких

технически сложных выкладок, и в то же время позволяет показать, как

математика устанавливает связь между явлениями различной природы. Это в

свою очередь может повысить интерес учащихся не только к математике, но

16

и к физике, что является немаловажным для классов, в которых и физика

изучается на базовом уровне.

Пример 2. Мнимые числа и переменный ток.

В конце 19 века комплексные числа нашли новое важное применение,

связанное с расчетом цепей переменного тока. Для расчета цепей

постоянного тока к тому времени уже имелись удобные и простые приемы,

опирающиеся на закон Ома и правила (законы) Кирхгофа. Все это позволило

с помощью средств элементарной алгебры решать разнообразные

электротехнические задачи.

Ничего похожего не было известно в то время для цепей переменного

тока. Переменный ток, с которым приходилось иметь дело, был

синусоидальным. Это означает, что сила тока I в каждом из отдельных

участков цепи изменяется по синусоидальному закону, то есть выражается

для любого момента времени t формулой вида: ( )ϕω +⋅= tII m sin , где Im –

постоянное положительное число (амплитуда тока), � - циклическая частота,

� - начальная фаза. ЭДС цепи тоже изменяется по синусоидальному закону,

она задается формулой вида: ( )ϕωξξ +⋅= tm sin , где 0>mξ - постоянное число

(амплитуда ЭДС), � - циклическая частота, � - начальная фаза ЭДС.

В 1893 году молодой американский электротехник Ч.П.Штейнмец

предложил и детально разработал метод решения задач на расчет цепей

переменного (синусоидального) тока. Этот метод основан на применении

комплексных чисел и называется методом комплексных амплитуд или

символическим методом.

Что такое комплексная амплитуда? Пусть сила тока I в цепи изменяется

по синусоидальному закону, то есть задается формулой вида ( )ϕω +⋅= tII m sin

(1). Вспомнив формулу Эйлера, заметим, что величину I можно

рассматривать как мнимую часть комплексной величины ( )ϕω+⋅= tim eII& (2).

Таким образом, ( ) )Im(Im ϕω+⋅== tim eIII & (3).

17

Величину I& иногда называют комплексным током (комплекс тока). ωit

m eII ⋅= && (4), где ϕimm eII ⋅=& (5). Величину mI& называют комплексной

амплитудой тока.

Если к электрической цепи приложена внешняя ЭДС ξ , изменяющаяся

по синусоидальному закону ( )ϕωξξ +⋅= tm sin (6), то ξ можно рассматривать

как мнимую часть некоторой комплексной величины ( )ϕωξξ +⋅= tim e& (7), (ξ& -

комплекс ЭДС). Аналогично рассматривается комплексная амплитуда ЭДС.

Заметим, что, если известна частота колебания тока, то задача

нахождения силы тока I для произвольного момента времени t и задача

нахождения комплексной амплитуды равносильны. То же можно сказать и об

ЭДС. Действительно, если известна комплексная амплитуда тока, то по

формуле (4) легко найти комплекс тока, а затем и силу тока как его мнимую

часть.

Содержание математических задач тоже желательно определять с

учетом профиля.

Рассмотрим примеры задач, которые целесообразно предлагать для

решения в рамках темы «Определенный интеграл и его приложения» в

классах названных профилей.

1. Выяснить физический смысл определенного интеграла ∫b

a

dxxf )( ; найти

численное значение этой физической величины, вычислив интеграл;

сделать рисунок(Ф-Х; И-Т; Ф-М)

1) ( )∫ +10

0

22 dttt , где t – время в секундах, 22)( tttf += - скорость движения в

м/с;

2) ∫4

0

3xdx , где x – деформация пружины в сантиметрах, f(x)=3x – сила в

ньютонах, необходимая для сжатия пружины на х сантиметров;

18

3) ( )∫ −60

0

2003,05,0 dttR , где t – время в секундах, R – сопротивление

проводника в Омах, 0,5-0,003t – закон изменения тока в амперах;

4) ( )∫ +100

1

2001,02 dxx , где x - длина стержня в сантиметрах,

2001,02)( xxf += - линейная плотность стержня в г/см;

5) ∫ −−− +⋅

1

0246 10104 l

dlρ , где l – длина проводника в метрах, ρ - удельное

сопротивление проводника в m

mOm 2⋅ ,

246 101041

−−− +⋅ l - площадь поперечного сечения проводника в 2m в

зависимости от расстояния сечения от конца проводника;

6) ( )∫ −− +⋅1

0

98 101021 dllS

, где l – длина проводника в метрах, S – площадь

поперечного сечения в 2m , lt 98 10102)( −− +⋅=ρ - удельное сопротивление

проводника в 2mOm ⋅ на расстоянии l от конца проводника;

7) ( )∫ +10

0

23,02 dllπ , где l – длина стержня в сантиметрах, llR 3,02)( += -

радиус сечения стержня на расстоянии l от одного из его концов,

форма сечения – круг.

5.3. Обучение математике в классах социально-экономического

профиля.

Нужно сказать, что несмотря на то, что в таких классах математика

изучается как профилирующий предмет, уровень мотивации при изучении

этого предмета может быть снижен, поскольку, во-первых, учащиеся не

осознают необходимости изучения математики на повышенном уровне, если

отсутствует потребность ее применения, прежде всего через решение

прикладных задач, а во-вторых, профильное изучение экономики, права,

19

географии и обществознания – учебных предметов, совсем не

соприкасающихся с математикой, но которые расцениваются учащимися как

«более важные» в рамках избранного профиля, отнимают достаточно много

времени и являются достаточно трудоемкими. Поэтому в рамках избранного

профиля огромное значение имеет отбор прикладных задач, прежде всего по

темам, которые не носят очевидного экономического приложения, не

являются темами, которые традиционно связывались с экономикой и

социологией как, например, вероятностная линия. Это, прежде всего,

относится к таким темам как «Комплексные числа», «Производная»,

«Интеграл» и т.д., которые требуют больших усилий при изучении их на

повышенном уровне.

Для учащихся классов этого профиля не менее важное, чем для

учащихся гуманитарных классов, значение имеют исторические экскурсы,

особенно при изучении тем, дополнительных по сравнению с базовым

курсом. Поскольку увеличение теоретического содержания вызывает

естественный вопрос зачем? если это не имеет никакого отношения к

предполагаемой профессии. Совершая исторические экскурсы, желательно

не просто рассказать о появлении и развитии изучаемого понятия, о каких-то

занимательных аспектах его появления или использования, но и показать

неизбежность его возникновения, а также влияние, которое оказало его

появление не только на развитие математики, но и на развитие общества в

целом.

Уже на этапе мотивации нужно создавать ситуации привлечения

изучаемого математического содержания к решению специальных вопросов.

Пример использования комплексных чисел в экономике.

Товар является носителем двух составляющих: потребительских

свойств, объективно присущих товару, и цены – денежной оценки

потребительских свойств товара конкретным потребителем. С учетом того,

что и потребительские свойства товара, и его цена являются необходимыми

показателями свойств товара, возникает потребность разработки и

20

использования комплексного показателя, характеризующего эти две стороны

одного объекта. Именно таким показателем может стать комплексное число,

состоящее из действительной и мнимой частей. Представив какую-либо

оценку потребительских свойств товара П как действительную часть

комплексного числа, а его цену Ц - как мнимую часть, получим: Т=П+iЦ, где

i – мнимая единица. Легко убедиться в том, что такая запись позволяет

описать свойства конкретного товара и математически корректно работать

как с каждой из двух его составляющих, так и с совокупностью в целом.

Заметим, что этот пример можно использовать и на этапе закрепления.

Решаемые задачи, особенно задачи прикладного характера, могут быть,

по крайней мере, двух типов. С одной стороны, это задачи, связанные с

профессиональной направленность профиля сюжетом.

Например, при изучении темы «Исследование функции с помощью

производной», можно предложить задачу следующего содержания.

Зависимость покупательной активности жителей города N от времени

суток выражается формулой: 66 23 +−= ttp . Определите, в какое время

суток наблюдается минимум покупательной активности.

Заметим, что эта задача связана с заявленным профилем только

формально и ничего общего с истинной природой экономических явлений не

имеет. Привлечение экономике в сформулированной задаче является

искусственным. Однако, вероятно, что решение и таких задач может стать

более полезным, чем просто исследование функции «в лоб»: определите

значение функции 66 23 +−= xxy в точке ее минимума.

Другой тип задач – собственно экономические задачи, адаптированные

для школьников. И обогащение школьного курса за счет таких задач

оказывает неоценимую услугу и обучению математике, и изучению

профильных предметов.

21

5.4. Обучение математике в классах физико-математического

профиля.

Обучение математике в классах этого профиля, наверно, наиболее

понятно. Углубленное изучение математики в Российской школе имеет

долгую историю. В нашей стране накоплен большой опыт по обучению

математике на повышенном и углубленном уровне. Надо сказать, что

содержание углубленного изучения математики также является наиболее

отработанным по сравнению с содержанием для классов, например,

гуманитарного или естественно-научного профилей. Например, элементы

теории вероятностей, которые являются новыми для всех остальных

профилей, для физико-математического профиля не являются чем-то

необычным, а естественным и традиционным элементом школьного курса.

Наборы задач, характерные для решения в классах с углубленным изучением

математики также достаточно полны. Однако есть необходимость сказать

несколько слов и об этих классах.

Мотивация

Несмотря на то, что выбор физико-математического профиля

предполагает наличие у детей устойчивой положительной мотивации

изучения математики, этот этап нельзя игнорировать. Другое дело, что

способы, которые используются в таких классах, могут быть дополнены

другими по сравнению, например, с гуманитарными классами.

Один из способов, которые целесообразно использовать в физико-

математических классах – это создание проблемной ситуации. При этом

созданная ситуация может быть достаточно сложной, требующей серьезных

математических знаний и больших усилий для ее разрешения. При попытке

найти выход учащиеся сталкиваются с недостаточностью имеющихся у них

математических знаний и необходимостью освоения новой порции

материала.

22

Наборы задач для классов физико-математического профиля необходимо

должны содержать, по крайней мере, два раздела: теоретические задачи

прикладные задачи разной степени сложности.

Теоретические задачи – задачи на доказательство и исследование –

являются важным средством для осознанного усвоения теории на глубоком

уровне.

Во втором разделе вполне можно предлагать те же задачи, что и

рассмотренные выше для классов естественно-математических профилей.

5.5. Обучение математике в классах гуманитарных профилей.

Начнем с рассмотрения особенностей обучения математике в классах

гуманитарных профилей.

Этап мотивации изучения отдельных элементов математического

содержания является в классах этого профиля наиболее важным. Поскольку

дальнейшая деятельность учащихся классов этих профилей в основном никак

не связана с математикой, вопрос зачем? со стороны учеников при изучении

того или иного математического факта ставит в тупик многих учителей.

На этапе мотивации, цель которого, как известно, заключается в

создании такой ситуации, которая послужила бы стимулом для «принятия»

учащимися целей изучения нового материала. Эта ситуация в классах

гуманитарных профилей может быть создана за счет исторических экскурсов

или обращения к происхождению того или иного термина, которым

обозначается математический объект (особенно это актуально в классах

филологического профиля, где основное внимание уделяется углубленному

изучению языков).

Например, при изучении логарифмов повышению мотивации учащихся

может способствовать рассмотрение исторических замечаний о числе е. По

ходу краткого экскурса можно формулировать вопросы и задания для

23

учащихся, на основе которых ими будут выполнены небольшие творческие

работы.

Число

(Вспомните, где вы встречались с символом lim. Что он означает.

Попробуйте сформулировать определение числа е словами. Как вы думаете,

с чем связано многоточие после последней написанной цифры. Можно ли

получить последнюю цифру этого числа. Какое еще число, обладающее тем

же свойством, вы знаете? С чем связано его значение?)

появилось сравнительно недавно. Его иногда называют "неперовым

числом" в честь изобретателя логарифмов шотландского математика Джона

Непера (1550-1617).

(С какой еще наукой связано имя Джона Непера? Подготовьте

сообщение о творчестве этого математика.)

Однако название это необоснованно, так как нет твёрдых оснований

для утверждения, что Непер имел о числе е чёткое представление. Впервые

обозначение "е" ввёл Леонард Эйлер (1707-1783).

(Где еще вы встречались с именем Лернарда Эйлера? Почему этот

французский математик похоронен в Санкт-Петербурге? Где? С именами

каких выдающихся личностей связано место его захоронения? Подготовьте

сообщение о его жизни и творчестве).

Он также вычислил точные 23 десятичные знака этого числа,

использовав представление числа е в виде бесконечного числового ряда:

(что означает символ n!?)

полученное Даниилом Бернулли (1700-1782).

(Подготовьте сообщение о творчестве этого математика. Каких еще

математиков с этой фамилией вы знаете? Расскажите о семье Бернулли).

24

В 1873 году Эрмит (кто это такой? расскажите о нем) доказал

трансцендентность числа е. (Что означает термин «трансцендентное

число»? Какое еще число обладает этим свойством?)

Если в процессе выполнения творческих работ учащиеся столкнуться с

потребностью рассмотреть исторические замечания о числе, то

целесообразно посвятить этому некоторое время для создания более полной

исторической картины.

О каждом встречающемся в тексте ученом - математике целесообразно

подготовить краткое сообщение: в какое время и в какой стране он жил, в

какой области математики творил и т.д. Возможные вопросы, которые

целесообразно обсудить в процессе рассказа, сформулированы в

предлагаемых текстах курсивом.

Заметим, что вообще исторические экскурсы в классах гуманитарного

профиля, особенно в классах с углубленным изучением предметов

исторического цикла и литературы, очень полезны. В классах с углубленным

изучением языков особое внимание следует уделить лингвистическим

аспектам. Вопросам происхождения и развития математических терминов.

Нельзя говорить, что развитие логической составляющей мышления

учащихся классов гуманитарных профиля находится на низком уровне.

Углубленное изучение языков приводит неизбежно к развитию логического

мышления, так как язык представляет собой структуру, организация которой

подчиняется целому ряду формально-логических отношений. Кроме того, с

одной стороны углубленное изучение языка связано с развитием целостного

его восприятия, с другой стороны, с развитием структурного анализа

материала. Изучение иностранного языка требует установления логических и

причинно-следственных связей между лингвистическими формами родного и

иностранного языка, изучение грамматических схем, которые упрощают во

многом восприятие теоретического материала.

Таким образом, при изучении нового материала на уроках математики

опора на логическое мышление является не только возможным, но и

25

необходимым условием успешного восприятия нового. Установление и

демонстрация логических связей между элементами математического

содержания, объяснение внутренних связей с постоянным обращением к

вопросу почему? является важным условием при объяснении нового

материала.

Но не следует забывать и о необходимости эмоционального воздействия

при изложении нового материала учащимся гуманитарных классов. Поэтому

привлечение яркого иллюстративного материала является также

необходимым.

Говоря об уровне сложности задач, являющихся средством усвоения

теоретического материала, нужно обратить внимание на то, что они не

должны предполагать выполнения сложных технических преобразований,

поскольку это затрудняет понимание смысла изучаемых понятий. Очевидно,

что это в равной мере может быть отнесено к классам любого профиля, и

гуманитарных, и математических, и естественно-научных. Поскольку

основное внимание на этапе объяснения нового материала должно быть

направлено на поиск средств, способствующих пониманию математического

материала.

Задачи, являющиеся целью обучения, в том числе прикладные задачи

тоже определяются спецификой профиля. Желательно, чтобы содержание

этих задач соответствовало преимущественному направлению деятельности

учащихся.

5.6. Обучение математике в классах художественно-эстетического

профиля.

Обучение математике в классах художественно-эстетического профиля

будет во многом похоже на обучение математике в классах гуманитарных

профилей. Сходство будет проявляться, прежде всего, на этапе мотивации. И

здесь на этапе мотивации можно использовать те же приемы, что и

26

рассмотренные выше. Как и в классах гуманитарного профиля, мотивация

изучения математики у учеников снижена. Поэтому целесообразно привлечь

внимание учащихся на этапе мотивации каким-нибудь ярким примером.

Однако в данном случае лучше, если это будет искусство или архитектура.

При объяснении теоретического материала следует учитывать

следующие различия по сравнению с предыдущим профилем. У учащихся

этих классов хуже развито логическое мышление. Гораздо выше у них

уровень развития образного мышления. Большое значение для восприятия

нового материала, для его запоминания имеет «картинка». Для учащихся

этих классов характерно целостное восприятие объекта, но, в отличите от

предыдущего профиля, эта целостность носит скорее внешний характер.

Поэтому при объяснении нового материала, поскольку оно должно

происходить в предпочитаемом стиле, целесообразно использовать

максимально широкий спектр наглядности: модели различных видов

(графики, схемы, диаграммы), мультипликацию (с использованием

компьютера).

Кроме того, очень важным является демонстрация красоты математики,

отыскание таких примеров, которые оказывают большое эстетическое и

эмоциональное воздействие на детей, обучающихся в этих классах.

Отыскание возможно большего числа примеров, которые показывают

связь между математикой и гуманитарной сферой человеческой деятельности

является важным мотивационным и иллюстративным моментом.

Например. Логарифмы в музыке.

Оказывается, играя на рояле, мы «играем на логарифмах». Так

называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы на

расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний,

ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют

собой логарифмы этих величин. Основание этих логарифмов равно 2.

27

Положим, что нота do самой низкой октавы – будем ее называть нулевой

октавой – определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы

будет делать в секунду 2n колебаний, а m-й октавы - mn 2⋅ колебаний.

Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая

основной тон do каждой октавы за нулевой. Тогда, например, тон sol будет 9-

й; 12-й тон опять будет do, только выше. Так как в темперированной

хроматической гамме каждый последующий тон имеет в 12 2 больше число

колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно

выразить формулой: ( )pmpm nN 12 22 ⋅⋅= . Логарифмируя эту формулу, получаем:

( ) 2lg12

lg2lg12

2lglglg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=++=

pmnpmnN pm . Принимая число колебаний

самого низкого do за единицу (n=1) и приводя все логарифмы к основанию 2,

имеем: ( )12

log2pmN pm += .

Отсюда видим, что номера клавишей рояля представляют собой

логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков, умноженные на 12.

Например, в тоне sol третьей октавы, т.е. в числе 383,31273 ≈+ число 3 есть

характеристика логарифма числа колебаний этого тона, а 127 - мантисса того

же логарифма при основании 2.

Большое внимание в этих классах следует уделять оформлению доски

при объяснении материала, а также подбору наглядных средств обучения.

Например, при использовании цветных мелков для изображения

различных графиков и схем на доске, учителю следует обращать внимание на

сочетание используемых цветов. Поскольку у детей с обостренным цветовым

восприятием негармоничное цветовое сочетание может вызвать раздражение

и непроизвольное отторжение воспринимаемого материала.

28

5.7. Обучение математике в классах оборонно-спортивного профиля.

Заметим вначале, что для учащихся этого профиля математика,

возможно, важнее, чем для какого бы то ни было другого. Поскольку

основная цель обучения математике в этих классах – всестороннее развитие

личности.

Математика изучается в этих классах, так же как и в классах

гуманитарных и художественно-эстетических, на базовом уровне. Однако,

требования к выпускникам этих классов выше, чем в классах гуманитарной

направленности.

Например, в теме «Начала математического анализа» в требованиях к

уровню подготовки выпускников читаем, что учащиеся должны уметь:

• вычислять производные и первообразные элементарных функций,

используя справочные материалы;

• исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить

наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики

многочленов и простейших рациональных функций с использованием

аппарата математического анализа;

• вычислять в простейших случаях площади с использованием

первообразной;

При этом курсивом выделены требования, которые не предъявляются

при контроле уровня подготовки выпускников профильных классов

гуманитарной направленности.

Дело осложняется, как правило, тем, что мотивация изучения

математики в классах этого профиля снижена, да и уровень знаний, который

демонстрируют учащиеся таких классов, невысок. Поэтому для достижения

положительного результата в этих классах, как нигде важна работа над

созданием устойчивой положительной мотивации изучения предмета, а

значит, разработка таких проблем и задач, при решении которых учащийся

оказывался в ситуации успеха.

29

Это значит, что на этапе мотивации должны использоваться простые и

доступные жизненные ситуации, решение которых может быть актуально

таким учащимся. При этом решение такой задачи может подаваться не как

абстрактный рассказ о необходимости решения какой-то задачи, а как

рассказ о ситуации, в которую попал Ваш знакомый, например. «Как знание

тригонометрических формул помогло Васе Петрову не опоздать на поезд».

При этом, чем проще и стандартней будет ситуация, тем неожиданней, а

значит, более запоминающейся будет применение математики в ней.

Конечно, и исторические экскурсы, и лингвистические заметки могут

быть использованы в этих классах. Следует только учитывать, что учащиеся

классов оборонно-спортивного профиля имеют сниженную мотивацию

изучения не только математики, но и многих других предметов, поэтому то,

что интересно, например, филологу или историку, может не произвести

впечатления на учащегося класса рассматриваемого профиля, если это не

будет иметь высокую степень эмоциональной, личностной окраски, не будет

им воспринято как элемент полезный для него.

Пожалуй, то же можно сказать и об иллюстративных задачах, которые

должны носить личностную окраску.

На этапе усвоения знаний учителю может понадобиться больше времени

на отработку и закрепление освоенных знаний. Задания должны быть

простыми технически, то есть не должны усложняться за счет введения

громоздких вычислений или преобразований, если они не являются целью

усвоения.