Теория Задание №6. Основы геометрии. Чаще

всего встречаются задания на решение

треугольников, но знать надо все фигуры

планиметрии. Необходимые знания: виды

треугольников; понятия биссектрисы,

медианы, высоты; тригонометрические

функции и их значения; основное

тригонометрическое тождество; формулы

приведения; теорема Пифагора. И помните

при правильном решении ответ получается

точно без корня.

c

asin

c

bcos

b

atg

Типичные ошибки при решении задания №6 в ЕГЭ

выпускник чаще всего может перепутать катет с гипотенузой;

выпускник чаще всего не знает или неверно записывает отношение сторон при использовании тригонометрических функций;

Задача 1 В равнобедренном треугольнике ABC c

основанием AC боковая сторона АВ

равна 15,а высота, проведенная к

основанию, равна 9. Найдите косинус

угла А.

Решение Т.к

(прилеж. катета/ гипотенузу)

Найдем АН.

По т.Пифагора из ∆ АВН:

, следовательно

А С

В

H

1

5

9 AB

AHcos

22 АНАВАН

1214481225 АН

8,015

12cos A

Ответ: 0,8

Задача 2 В треугольнике АВС угол С равен 90 ,

, .

Найти АВ. 14

11sin A 310AC

Решение 310

А

В С

14

11sin A

Нам известен прилежащий катет, следовательно зная синус угла А можно найти его косинус. По основному тригонометрическому тождеству: По определению косинуса: ;

1cossin 22

2sin1cos

14

35

196

75

196

121

196

196cos

A

ACAB

cos

AB

ACA cos

2835

14310

14

35

310AB

Ответ: 28

Задача 3 В треугольнике АВС угол С равен

90 ,ВС= ,АВ=20.

Найдите sinB.

68

Решение

А

В С

68

20Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно Найдем отрезок АС из ∆ АВС: Отсюда

AB

ACB sin

12144664400 AC

6,020

12sin B

Ответ: 0,6

Задача 4 В треугольнике АВС АС=ВС,

АВ=72, ,CH-высота.

Найдите СН. 13

12cos A

Решение С

В А 72

Н

АН=36 (по свойству высоты равнобед. треугол.) Следовательно, по определению косинуса, найдем АС. По т. Пифагора:

152253639 22 CH

39

13

12

36

cos

A

АНАС

Ответ: 15

Задача 5 В треугольнике АВС угол С

равен 90,АВ=15 , ВС=9.

Найти cosA.

Решение По т.Пифагора из ∆ АВС, найдем АС.

Отсюда,

С

А

В

15

9

121448122522 BCABАС

AB

ACA cos

8,015

12cos A

Ответ: 0,8

Задача 6 В треугольнике АВС угол С

равен 90, , AC=3.

Найдите tgA.

53AB

Решение

С

А

В

53

3 AC

CBtgA

63695922 ACABCB

23

6tgA

Ответ: 2

Задача 7

В треугольнике АВС угол С равен 90,

СН-высота,ВС=10, СН= .

Найти sinA.

113

Решение

А

В С

Н

10

113

Т.к. Из НВС по т.Пифагора найдем НВ: По свойству высоты СН: АВ=100, следовательно

199100 НВ

НАНВСН 2

992

НВ

СНАН

1,0100

10sin A

Ответ: 0,1

AB

CBA sin

Задача 8

В треугольнике АВС угол С равен 90 , , ВС=7. Найдите тангенс внешнего угла при вершине А.

27АВ

Решение

С

В

А

277

М

По т.Пифагора найдем АС: Найдем Зная, что tg ˂BAM= - tg ˂ A

tg ˂ BAM= -1

74949249 AC

1AC

BCtgA

Ответ: -1

Задания повышенного уровня ЧТО НЕОБХОДИМО ЗНАТЬ ДЛЯ РЕШЕНИЯ:

1) Сумма противолежащих углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 1800.

2) Сумма углов треугольника равна 1800.

3) Углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны.

Задача 9* Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 105 , угол САD равен 35 . Найдите угол АВD, ответ дайте в градусах.

Решение В

С

А D Сумма противолежащих углов ABC и ADC

четырехугольника ABCD, вписанного в окружность,

равна 1800. Следовательно, ADC = 1800 - АВС= 1800 - 1050 = 750. Сумма

углов CAD, ADC, ACD треугольника CDA равна 1800. Следовательно, ACD = 1800 - (CAD + ADC) = 1800 - (350 + 750) = 700. 3) Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же хорду AD. Следовательно, они равны, и искомый угол ABD = ACD = 700. Ответ: 70