1

第 6 章 弯曲变形

弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计

本章主要研究：

2

§1 引言 §2 梁变形基本方程 §3 计算梁位移的积分法§4 计算梁位移的奇异函数法§5 计算梁位移的叠加法§6 简单静不定梁§7 梁的刚度条件与合理设计

3

§1 引 言

弯曲变形及其特点 挠度与转角

4

弯曲变形及其特点

挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计 ,

因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交

挠曲轴

变弯后的梁轴，称为挠曲轴

研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静 不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础

5

挠度与转角

转角－挠度

挠度与转角的关系（小变形）

xw

''dd

tan

挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移)( xww －挠曲轴方程

转角－横截面的角位移)(x －转角方程

（忽略剪力影响）

xw

dd （ ra

d ）

6

§2 梁变形基本方程

挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程

7

挠曲轴微分方程

EIxM

x)(

)(1

3/2 21)(1

w

wx

EIxM

w

w )(

13/2 2

EIM

1 （纯弯）

（推广到非纯弯）

w －弯矩引起的挠度max p

－挠曲轴微分方程

8

挠曲轴近似微分方程

小变形时： 12 w

EIxM

xw )(

dd

2

2

EIxM

xw )(

dd

2

2

EIxM

w

w )(

13/2 2

－挠曲轴近似微分方程

pmax

小变形 坐标轴 w 向上

应用条件：

EIxM

x

w )(

d

d2

2

坐标轴 w 向下时：

9

§3 计算梁位移的积分法

挠曲轴微分方程的积分与 边界条件 积分法求梁位移 挠曲轴的绘制 例题

10

挠曲轴微分方程的积分与边界条件

EIxM

xw )(

dd

2

2

CxEI

xMxw d

)(dd

DCxxxEI

xMw dd

)(

约束处位移应满足的条件

梁段交接处位移应满足的条件－位移边界条件 －位移连续条件

利用位移边界条件与连续条件确定积分常数利用位移边界条件与连续条件确定积分常数

11

积分法求梁位移

A =?EI = 常数

建立挠曲轴近似微分方程并积分

lMFF ByAy

/ e

xl

MxM e)(

xEIlM

xw e2

2

dd

(a) 2d

d 2e CxEIlM

xw

(b) 6

3e DCxxEIlM

w

利用边界条件确定积分常数(1) 0 0 wx 处，在

(2) 0 wlx 处，在

由条件 (1), (2) 与式 (b) ，得

EIlM

CD6

0, e

计算转角 )(3

6dd 22e lx

EIlM

xw

EIlM

A 6(0) e （）

12

挠曲轴的绘制

绘制依据

满足基本方程

EIxM

w)(

满足位移边界条件与连续条件

绘制方法与步骤

画 M 图

由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置

由 M 图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的

凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状

13

例 题

例 3-1 用积分法求梁的最大挠度， EI 为常数

解： 1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分

lFb

FAy

lFa

FBy

121

12

d

dx

EIlFb

x

w

121

1

1

2dd

CxEIlFb

xw

111311 6

DxCxEIlFb

w

)(d

d222

2

22

axEIF

xEIlFb

x

w

22

222

2

2 )(22d

dCax

EIF

xEIlFb

xw

2223

2322 )(

66DxCax

EIF

xEIlFb

w

AC 段 CB 段

14

3. 最大挠度分析

)(6

2221

11 lbx

lEIFbx

w lEIblFb

f39

)( 3/222 （）

当 a > b 时

0 0 11 wx 处，在

0 22 wlx 处，在

2121 wwaxx 处，在

处，在 21 axx

位移边界条件： 位移连续条件：

021 DD )(6

2221 lb

EIlFb

CC

2211 d/dd/d xwxw

2. 确定积分常数

发生在 AC段

111311 6

DxCxEIlFbw

2223

2322 )(

66DxCax

EIFx

EIlFbw

0dd

1

1 xw

15

例 3-2 建立挠曲轴 微分方程，写出边界条件， EI 为常数

2qa

FAy

23qa

FBy

121

12

2dd

xEIqa

xw 2

222

22

2dd

xEIq

xw

解： 1. 建立挠曲轴近似微分方程

AB段 :

CB段 :

2. 边界条件与连续条件

0 0 11 wx 处，在

0 11 wax 处，在

2121 wwaxx 处，在

处，在 21 axx

位移边界条件： 位移连续条件：

2

2

1

1

dd

dd

xw

xw

16

F=qa

例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状

F=qa

17

§4 计算梁位移的奇异函数法

奇异函数 弯矩通用方程 梁位移通用方程 例题

18

奇异函数当需分段建立 M 或 EI 方程时，用积分法求解需要确定许多积分常数，利用奇异函数简化了分析计算

)( )( axaxax

)( 0 axax

)0( )( naxxF nn

Caxn

xax nn 1

11

d

定义

奇异函数（或麦考利函数）

)( 00 axax

19

弯矩通用方程

用奇异函数建立最后梁段 DE 的弯矩方程：2

320

1e 2

lxq

lxFlxMxFM Ay

适用于各梁段。

eMxFM Ay

1- 0 0- 0132 lxlxlx由于

例如对于 BC 段（ l1, l

2 ）

20

梁位移通用方程

232

01e 2

lxq

lxFlxMxFM Ay

2

320

1e2

2

21

d

dlx

qlxFlxMxF

EIx

wAy

Clxq

lxF

lxMxF

EIxw Ay

33

221e

2

6221

dd

DCxlxq

lxF

lxM

xF

EIw Ay

43

32

21

e3

246261

适用于任一梁段 , 仅包括两个积分常数 , 由边界条件确定

21

例 题

例 4-1 用奇异函数法计算 A ， EI 为常数

解： 1. 建立梁位移通用方程

lM

FF ByAye

0

ee

2 lxMx

lM

M 0

ee

2

2

2

dd lxMx

lM

xwEI

ClxMxl

MxwEI

22

dd

e2e

DCxlxM

xl

MEIw

2e3e

226

22

2. 确定积分常数0 ,0 0 wlxwx 处，在处，在

0 ,24

e DlM

C得：

EIlM

A 24e （）

ClxMxl

MxwEI

22dd

e2e

DCxlxM

xl

MEIw

2e3e

226

3. 计算转角

24221

dd e

e2e lMl

xMxl

MEIx

w

23

例 4-2 用奇异函数法计算 wA ， EI 为常数

解：

FFBy 2

FFCy

022 axFaaxFFxwEI

CaxFaaxFxF

wEI 22

22

DCxaxFa

axF

xF

EIw 233 2236

0 , 3 ;0 , waxwax 处在处在

1211 ,

1213 32 FaDFaC

EIFa

wwA 1211

03

（）

24

例 4-3 建立通用挠曲轴微分方程，写出位移边界条件

解：2

2

222lx

qx

qM

22

2

2

222dd lx

qx

qxwEI

0dd ,0 :

xwwlx 处在

25

§5 计算梁位移的叠加法

叠加法 逐段分析求和法 例题

26

叠加法

方法

qAFAA www ,,

分解载荷 分别计算位移求位移之和

)( 83

43

EIql

EIFl

)( 3

3

, EI

Flw FA

)( 8

4

, EI

qlw qA

?Aw

当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和

27

理论依据

)()()( xMxMxM qF )(dd

2

2xM

xwEI

)()( xwxww qF 故：

)(dd

2

2

xMxw

EI F )( xww F

)(dd

2

2

xMxw

EI q )( xww q

上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合（小变形 , 比例极限内 （小变形

叠加法适用条件：小变形，比例极限内

28

逐段分析求和法

分解梁 分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移

aw B1

EIlFaa

EIFalw

33

2

1

EIFa

w3

3

2

21 www )( )(3

2 al

EIFa

求总位移 在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体

EIlFa

B 3

29

例 题

例 5-1 q(x)=q0cos(x/2l) ，利用叠加法求 wB=?

解： )3(6)d(

d2

xlEI

xxxqwB x

lx

EIxlxq

d2π

cos6

)(320

xlxxlx

EIq

wl

B d 2

)cos(36 0

20 EI

lq4

340

3

24)(2

()

()

30

例 5-2

解：21 wwwC

aww BB 1

FaBFBB www ,,

2

3

2

2

2

3

65

23 EIFa

EIaFa

EIFa

?Cw

FaBFBB ,,

2

2

22

2

23

2 EIFa

EIaFa

EIFa

2

3

1 37

EIFa

w

1

3

2 3EIFa

w 1

3

1

3

2

3

23

337

EIFa

EIFa

EIFa

wC

()

() ()

31

例 5-3 图示组合梁， EI= 常数，求 wB 与 A

2

qa

FF ByAy

FBFBB wwwBy ,,

2

36

232

2

3 aaEI

aF

EIaqa

4813 4

EIqa

qAB

A aw

, 165

244813 333

EIqa

EIqa

EIqa ()

()解：

32

例 5-4 图示刚架，求截面 C 的铅垂位移

21 wwCy

aww BB 1 )( 3

3

2 EI

Faw

)( 33

3

t

23

EI

FaGI

lFaEI

FlCy

解：

)( t

aGIFal

EIFl3

3

33

例 5-5 求自由端位移

故

挠曲轴与外力作用面不重合

zy II 一般情况下

y

z

tan tan

y

z

II

解： sinFFz cosFFy

zz

yy EI

FlEI

lF3

cos3

33

yy

zz EI

FlEI

lF3

sin3

33

22zy

223 sincos3

yz Iθ

IEFl

34

§6 简单静不定梁

静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法 例题

35

静不定度与多余约束

多余约束 凡是多于维持平衡所必须的约束

多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩

静不定度 ＝未知支反力（力偶）数－有效平衡方程数

静不定度＝多余约束数

4-3 = 1 度 静不

定

5-3 = 2 度 静不

定

静不定梁 支反力（含力偶）数超过平衡方程数的梁

36

简单静不定梁分析方法

选 FBy 为多余力

EI

lF

EIFl

w ByB 348

5 33

0Bw －变形协调条件

－物理方程

0348

5 33

EI

lF

EIFl By －补充方程

165F

FBy

163 0, /FlMM AA 得

－平衡方程

1 度静不定

1611 0, /FFF yAy 得

算例

综合考虑三方面

求梁的支反力 , EI= 常数

37

判断梁的静不定度 用多余力 代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁－相当系统 计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程 由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力 通过相当系统计算内力、位移与应力等

依据－综合考虑三方面关键－确定多余支反力

分析方法与步骤

相当系统

相当系统

注意 : 相当系统有多种选择

38

例 题

例 6-1 求支反力

BA M,AM,AF,AA

BA M,BM,BF,BB

EIlM

EIlM

EIlblFab BA

636)(

EIlM

EIlM

EIlalFab BA

366)(

0

0

解： 1. 问题分析

2. 解静不定0 0 BA ,

2

2

2

2

l

bFaM,

lFab

M BA 3

2

3

2 )2(

)2(l

blFaF,

lalFb

F ByAy

水平反力忽略不计 ,2 多余未知力

39

例 6-2 悬臂梁 AB ，用短梁 DG 加固，试分析加固效果

EIlFF

wC 48)2(5 3

R

解： 1. 静不定分析

GC ww

EIlF

EIlF

wG 243/2)( 3

R3

R

45

R

FF

EIlF

EIlFF

2448)2(5 3

R3

R

40

EIFl

EIlF

EIFl

wB 6413

485

3

33R

3

45

R

FF

2. 加固效果分析（刚度）

2max

FaM 减少 50%

减少 39.9%

EIFl

wB 3

3

, ＝未加固

FaM ＝未加固,max

3. 加固效果分析（强度）

41

32/ 3

N

EIlFF

wB

EAlF

EAlF

l NN 22Δ

EAlF

EI

lF

FN

3N

23

2

2

2

N 262

AlIFAl

F

例 6-3 图示杆梁结构，试求杆 BC 的轴力

lwB 2

解：梁截面形心的轴向位移一般忽略不计

42

例 5-4 直径为 d 的圆截面梁 , 支座 B 下沉 ， max=?

解： ,B 0

EI

lF

EIlM ByB

B 2

2

EI

lF

EIlM

w ByBB 32

32

23

6

12lEI

M,lEI

F BBy

zWMmax

max

Id

lEI /26

2max

Bw

2

3l

dE

0

43

§7 梁的刚度条件与合理设计

梁的刚度条件 梁的合理刚度设计 例题

44

梁的刚度条件

max

w

max

最大位移控制

指定截面的位移控制

－许用挠度

－许用转角

500

~750

ll桥式起重机梁：

10000

5~10000

3 ll一般用途的轴：

例如滑动轴承处 :

w

rad 001.0

45

梁的合理刚度设计

横截面形状的合理选择

材料的合理选择

使用较小的截面面积 A ，获得较大惯性矩 I 的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面

影响梁刚度的力学性能是 E ，为提高刚度，宜选用E 较高的材料

GPa 220)~(200 E钢与合金钢：

注意：各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同

GPa 72)~(70 E金：合铝

46

梁跨度的合理选取

跨度微小改变，将导致挠度显著改变

3max l

EIFl3

3

max EI

Fl48

3

max FlM max 4max

FlM

lM max

例如 l 缩短 20 ％， max 将减少 48.8%

47

合理安排约束与加载方式

% 75.8max,1

max,2

max1, max2,

max1,max2,

% 5.26max,1

max,2

q=F/l

增加约束，制作成静不定梁

48

例 题

例 7-1 已知 F = 35 kN， l = 4 m， [] = 160 MPa ，[] = l /500， E = 200 GPa ，试选择工字钢型号。

解：4max

FlM

][max

M

Wz

34 m 10192 .Wz

zEIFl

48

3

max

zEIFl

l 48

2max

EFl

I z 48500 2

45-34- m 103.40 m 103.09 zz IW ，

][4 Fl

500l

45 m 10922 .

选№22a

49

本章结束 ！