04/19/23 材料の力学 1

第 6 章　真直はりの曲げ応力6.1 　真直はりの曲げ応力6.2 　各種物体の重心または図心 　　　線，円板，板材， 3 次元物体6.3 　断面２次モーメントについて　　　平行軸の定理とその応用6.4 　極断面２次モーメントについて6. ５　はりのまげ強さについて　　　各種はりの断面係数とはり針の強さ第６章　総合演習問題

04/19/23 材料の力学 2

6.1 　真直はりの曲げ応力☆ 右図に示すように，集中荷重 P が支点 A,B

から距離 a 離れた点に作用する場合，両端支持はりにかかる SFD,BMD はどのようになるか。

☆ 解答　はりがせん断力を受けない条件は，　　 　　　　　　　　

　である。この条件を満たすはりは，図に示すように左右対称に荷重を加えればよく，単純曲げ（ purebending ）はりを作ればよい。

☆C-D 間で曲げモーメントは一定，せん断力は　　　　　　 　　　　である。　　

図　単純曲げはり

0dx

dM

0xF

○○

P Paa

SFD

BMD

A B

C D

(+)(- )

X

X

04/19/23 材料の力学 3

中立面，中立軸とは？

☆ 中立面（ neutral surface) ：

　 曲げモーメントを受けても，伸びも縮みもしない面。　　　　　　　　　　　　　　

☆ 中立軸 (neutral axis) ：　 中立面とその垂直横断面との

交わる線 ( 軸）

演習問題：右図に示したはりおいて，中立面，中立軸はどこか？記号で答えよ。

x

ｂ

ｈ

ｙ

z

ｍ ｎ

ｍ０n0

m' n'

m' n'

ｍ０n0

ｍ ｎy

dydA

dθ

ｒ

ｙｎ１ｍ１

M M

y

z

ｙ

04/19/23 材料の力学 4

6.1.1 　はりの曲げひずみ ε と曲率半径ｒの関係

☆ 図に示すように，中立面 m

0n0 から距離ｙ離れた円弧 m1n

1 に生じるｘ方向ひずみは εx

は

r

y

rd

rddyr

nm

nmnmx

)(

00

0011

☆ 材料のポアソン比を νとすれば，ｚ方向のひずみ ε ｚは上の式から

r

yxz

x

ｂ

ｈ

ｙ

z

ｍ ｎ

ｍ０n0

m' n'

m' n'

ｍ０n0

ｍ ｎy

dydA

dθ

ｒ

ｙｎ１ｍ１

M M

y

z

ｙ

04/19/23 材料の力学 5

6.1.1 　はりの曲げひずみ ε と曲率半径ｒの関係 ( 続き）

☆ 真直はりの曲げ応力σx について

r

yEE xx

Ｑ１：式 (6.4) を使ってｙｚ断面における応力分布 σ ｘを図示せよ。Ｑ２：式 (6.4) から応力 σ ｘは，はりの曲率半径ｒ，ヤング率 E ，はりの中立軸からの距離厚さｙに対してどのようになるか理解できたか。

（ 6.4）

応力分布の解答は次のページ

x

ｂ

ｈ

ｙ

z

ｍ ｎ

ｍ０n0

m' n'

m' n'

ｍ０n0

ｍ ｎy

dydA

dθ

ｒ

ｙｎ１ｍ１

M M

y

z

ｙ

04/19/23 材料の力学 6

真直はりの上面，下面の応力は？

はりの上面 y=-e2 の応力：

はりの下面 y= ＋ e1 の応力：　したがって，真直はりにかかる曲げモーメントによって上面は圧縮応力，下面は引張応力を受けることがわかる。

r

Eeeyx

22

r

Eeeyx

11

なぜこの式になる？

だから。r

yEE xx

上面圧縮

下面引張 微小面積bdydA

rEe /2

h2e

dy

z

b

M

y

x

M

1e

rEe /1

y

7

はりの曲げ剛性と断面２次モーメント

このはりには， x 方向に力が働いていない ( 外力＝０）から，ｘ方向の応力 σ ｘをはりの（ｙ，ｚ）断面内で積分した値は０となるはずである。そこで， 次式が成立する。

AA

A x ydAr

EdA

r

EydA 0

さて，はりの中立軸に関するモーメントの総和は，（モーメント＝力 × 距離＝応力 × 面積 × 距離）曲げモーメントに等しいはずであるから，上の文章右の式が成立つ。

Mr

EIdAy

r

E Z

A

2

A

dAyIz 2

：断面２次モーメント（ｍ４） ;moment of inertia of area

； （ 6.7）

上面圧縮

下面引張 微小面積bdydA

rEe /2

h2e

dy

z

b

M

y

x

M

1e

rEe /1

y

04/19/23 材料の力学 8

はりの曲げ剛性と断面２次モーメント（その２）

式（ 6.7 ）を書き換えれば，曲げモーメント M とはりの曲率半径ｒの関係：

zEI

M

r

1

zzx I

Ey

EI

MEy

r

Ey

1

1max

2

2min ,

Z

M

I

Me

Z

M

I

Me

zz

Mr

EIdAy

r

E Z

A

2

EIz が大きいほど曲がりにくい。曲げ剛性が大きいという。

EI ｚ：曲げこわさまたは曲げ剛性（ flexural 　 rigidity ）

任意のｙ位置の応力：

☆ 最小圧縮応力と最大引張応力：

上面圧縮

下面引張 微小面積bdydA

rEe /2

h2e

dy

z

b

M

y

x

M

1e

rEe /1

y

04/19/23 材料の力学 9

真直はりの最大圧縮応力と最大引張応力と断面係数の関係

1

1max

2

2min ,

Z

M

I

Me

Z

M

I

Me

zz

一定のモーメント Mをかけた場合，材料の断面係数 Zが大きいほど曲げ応力は小さくなる。

☆ ：断面係数（ section 　 modulus ）の定義 ( 重要）

Ⅰz: 断面 2 次モーメント（ｍ４），

Z1 ， Z2: 断面係数（ｍ３）

☆ 真直はりの最大圧縮応力，引張り応力

e

IZ Z

までの距離はり材料の図心から端断面２次モーメント

断面係数

04/19/23 10

6.2 　各種物体の重心または図心6.2.1 　重心の定義

ｚ

ｘ

),,( GGG zyx

y

全質量

密度

全体積

m

V

mG xdm

mx

1mG ydm

my

1mG zdm

mz

1

vm

dvdmm

☆ ３次元直交座標系における任意物体の各重心位置は，つぎの定義式 から求められる。

ｍ：物体の全質量

ρ: 物体の密度

V: 物体の全体積

ｄｖ：微小要素の体積

zyx ,, : 座標系（ｚは重力方向）

04/19/23 11

6.2 　各種物体の重心または図心6.2.2 　重心，図心および断面１次モーメントの求め方

WAdAWdVdmmv Am

AAmG xdA

AWxdA

WAxdm

mx

111

AAmG ydAA

WydAWA

ydmm

y111

WdAWb(x)dxdvdm

☆ まず物体の密度 ρ が一定で，物体の形状が（ｘ，ｙ）平面に限定され，重力方向ｚ方向に厚さ W が一定な平面的な物体について，一例として（ｘ G)の位置を求める。全体の質量ｍおよび区間dx における微小質量ｄｍは，

同様にｙ G

は

この形で求められる位置：図心という，

dxxWbdVdm )( x dx

GGG zyx ,,

Gx

W

z y

xGy

密度幅

一定

一定W

Vm

12

6.2.2 　断面１次モーメント定義と図心

AAx dyyybydAJ )(

AAy dxxxbxdAJ )(；

☆ 断面１次モーメント( 面積モーメント）　の定義； Jx ， Jy

　単位：（ｍ３）

☆ 重心・図心ｘ G,yG の求め方

　単位：（ｍ）

A

yG xdA

AA

Jx

1A

xG ydA

AA

Jy

1 ；

☆ 注意：図心は直交 2 次元座標系に描かれた図形の面積モーメント中心位置座標

y

xyA図全面積

y

xA図全面積

ｘ dxdy

)(yb

)(xbdyybdA )(dxxbdA )(

☆ 図心とは；

　断面一次モーメントの定義から求められる図形の中心位置座標ｘG,yG

13

1.2 　断面１次モーメントの定義と図心

AAx dyyybydAJ )(

AAy dxxxbxdAJ )(；

☆ 断面１次モーメント( 面積モーメント）　の定義； Jx ， Jy

　単位：（ｍ３）

☆ 重心・図心ｘ G,yG の求め方

　単位：（ｍ）

A

yG xdA

AA

Jx

1A

xG ydA

AA

Jy

1 ；

y

xyA図全面積

y

xA図全面積

ｘ dxdy

)(yb

)(xbdyybdA )(dxxbdA )(

☆ 図心とは

断面 1 次モーメントの定義から求められる図形の中心位置座標ｘ G,yG

☆ 注意：図心とは直交 2 次元座標系に描かれた図形の面積モーメント（ｘｄ A など ) によって求められる図形の中心位置座標

04/19/23 材料の力学 14

6.2.2 　断面１次モーメントの定義物体の重心を原点とする場合の断面１次モーメントは？

),( YX

いま，上図左側の座標系　　　　における物体の重心（ｘ G, ｙ G) を，右側に示す新しい座標系　　　　の原点（０，０）に一致させ座標軸を平行移動させる。右側の新しい座標系　　　におけるつぎの１次モーメント Jx および Jy はいくらか。

0A GX AYYdAJ 0 GAY AXXdAJ；

),( YX

),( yx

04/19/23 材料の力学 15

例題：３次元物体の重心密度 ρ ，板厚 W ，板幅ｔ , 長さ L ＝一定の平板の場合

tdxWdm

2

21 20

0

L

L

L

wtL

wtdxxxdm

mX

L

L

G

板厚 W ，板幅ｔ , 長さ L ＝一定の平板の場合は

∴ 重心ｘ G ；

Q ２ :z 方向の板厚が w= 一定で， x 方向の板厚が t=to+ax と直線的に厚くなり，ｘ＝ L で t=４ to となる台形板の重心ｘ G を求めなさい。Ans( ｘ G=3L/5)

Q １ : 密度 ρ ， z 方向の板厚 W ， y 方向幅ｔが一定の場合におけるｙ G ，ｚ G を求める公式を作りなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ans: 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

t

G ydyt

y0

1

W

G zdzW

z0

1；

2

1100

Lwtxdx

wtLxdm

mx

LL

G

そこで，公式が作れて

L

G xdxL

x0

1

tLWdxWtdVdmmv Am

y

x

ｚ

ｗ

微小質量

ｘ ｄｘ

L

wtdxdVdm

t

04/19/23 材料の力学 16

6.2.3 　各種物体の重心の例題（１）細長い線要素（丸棒）の重心

☆ 細長い線の密度を ρ 一定と仮定し，　線の直径をｄ，全長を L とし，微小線要素ｄｘの質量をｄｍ，全質量ｍとすれば，

dxd

dm 4

2

4

2 Ldm

LL

G

xdxd

Ldxdm

mx

0

2

0 2 44

11 2

10

Lxdx

L

L

L

G xdxL

x0

1

次の重心の定義式により

；

☆ こうして，細長い線の重心は線の 1 次モーメント積分に置きかえられ，質量モーメントｘｄｍではなく，線モーメント ( 長さ× 長さ）ｘｄｘで計算できるのだ。

長い線，全長 L の重心が L/2 になることは自

明だよね。

すなわち

（１）細長い線の丸棒

d

dxx

L

x

2LxG

42dxddm

04/19/23 材料の力学 17

6.2.3 　各種物体の重心または図心の例題（その2 ）

（ 2 ）細長い円弧形状をした線要素の重心

2

2

2

2

11

rdcosrr

xdLL

X G

2

2

sinr

rddL cosrx

☆ 円弧の線の場合は図心を求めるのに，半径ｒと角度 θ 座標で計算した方がより簡単で，分かりやすい。すなわち，右図において ；

☆ さて，線要素の重心は次に示すように，線積分ｘｄ L に置き換えられたので

Q： α=π(180°）の細長い半円線の重心XG を求めよ。 Ans： XG=2r/π（約0.637ｒ）

18

　　6.2.3 　各種物体の重心または図心の例題（その3 ）　　　　　（３）平面・板要素の重心，ア）直角定規（スコヤ）の重心　　　　　　　　　　　　　☆ 板厚が一定な直角定規の重心

この場合は，右図に示すように，直角定規を構成する 2 つの要素の面積 A1,A2 とその個々要素の重心位置 1,2 が事前に分かっているから，モーメントの釣り合いの考え方を使うほうが簡単に重心が求められる。すなわち，

☆ 重要全体の面積モーメント＝個々の面積モーメントの和

221121 AXAXAAX GGG 221121 AYAYAAY GGG

21

22

111

22

AA

Ab

bAb

X G

21

2211

21

2211

222

AA

AhAh

AA

AhAh

YG

X

方向重心

Ｙ方向重心

面積

面積スコヤ重心

2211 h

,b重心１

重心２

2222

1

h,

bb

111 bhA

222 bhA

x

GG YX ,

GY

GX

1A

2A

L

1b

1h

y

2h

2b

19

6.2.3 　各種物体の重心または図心の例題（その4 ）

イ ) 直角３角定規の重心☆ 続いて，右図に示す厚さ一定の直角３角定規の重心（図心）を求めてみよう。この場合は，厚さが一定であるから面積モーメントの定義を忠実に実行すればよい。

AG ydA

AY

1bhA2

1

dyyybydAA

)(

)(:)(: ybyhbh

h

yhbyb

)(

h

33

y-

2

hy

h

b

bhdy

h

yhyb

AydA

AY

h

0

h

AG

1211 32

0＝

b

3

1X G＝

；

ここで断面 1 次モーメントは

☆ 図の３角形の相似に着目して

∴

；

同様にして，

重心

x

b

)(yb

dyybdA )(

dy

y

)( yh

h

dxx

y

),( GG yx

04/19/23 20

6.2.3 　各種物体の重心または図心の例題（その5 ）

ウ）板厚一定の半円板の重心

円弧の長さ

微少扇面積の図心

cos3

2rx ｙ

微少扇形の面積

drdA 2

2

1

rd

d

x

r

dr2

1rdrdA 2

2

1

dr2

cosrr

xdAA

XAG

22

22

1

3

221

3

4rsin

r6

r 2

2-2

34

☆ つぎに，右図に示す板厚一定の半円板の重心を各自空欄を埋めながら導こう。微小扇形の面積 dA は，扇を三角形と近似すれば

したがって，重心は定義どおり積分して

04/19/23 材料の力学 21

6.2.3 　各種物体の重心または図心の例題（その6 ）

エ）円錐体の重心☆ 右図に示される底面半径が R で，高さがｈである円錐体の重心を空欄を埋めながら各自で求めよう。まず，円錐体の全体積および微小な幅ｄｘの円板の体積ｄ V は，それぞれ ，

hRV 2

3

1 dxrdV 2；

さらに，図に示す三角形の相似に着目して， h:xR:r ∴ hRxr

dxxh

RdV 2

2

2

dxxh

R

hRxdV

VX

hh

G3

0 2

2

0 2

31

hx

hdxx

hR

Rh

h

4

3

4

33

0

4

30

332

2

この関係をｄ Vに代入すれば

☆ 重要：立方体の重心は物体の密度が一定であれば体積モーメント（ｘｄ V ）で求められるから， ( 証明は各自でしなさい）

04/19/23 材料の力学 22

6.2.3 　各種物体の重心または図心の演習例題（その 7 ）

オ）半球の重心（図心）

3

2 3rV

dxyxr

xdVV

XVVG 2

32

31

drdsdx sinsin

drrrr

X G sinsincos2

3 2

203

dsincosrr

320

432

3

dsincosr 20

3

2

3

tsin dtd cos

8

3

42

3

2

31

0

41

0

3 rtrdtt

rX G

問：右図に示した半球の重心を以下の手順で求めよ 。

ア）半球の全体積 V は：

イ）重心の定義を密度一定の場合に使うと

ウ）ここで， で与えられるから

ここで， とおくと， となるから，上の式が積分でき，

円弧長

微小要素の体積

半径ｒ

x

d

r

dx

sinry

rdds y

cosrx

dxydV 2

04/19/23 材料の力学 23

重心と図心のまとめ（密度は一定と仮定した場合）

AG xdA

Ax

1

AG ydAA

y1

AG zdAA

z1

mG xdm

mx

1mG ydm

my

1mG zdm

mz

1

L

G xdxL

x0

1

h

G xdVV

x0

1

重心の定義

重心・図心の求め方 ( 平面物体，板厚も一定）

重心・図心の求め方（細長い線）

重心・図心の求め方（体積要素）

04/19/23 材料の力学 24

第 6 章 2 節　重心の総合演習問題（その１）

問：図に示す複数の線要素からなる物体の重心を求めよ。ただし，細い線で作られた円弧の重心は既に求めたように既知で以下に示す値が使えるものとする。

/2r円弧の重心：

04/19/23 材料の力学 25

第 6 章 2 節　重心の総合演習問題（その 2 ）

30 20 30

90

4020

x

y

問：図に示す，板厚が一定な３角板と孔ありの長方形板から構成される，平板の重心を求めよ。

04/19/23 材料の力学 26

第 6 章 2 節　重心の総合演習問題（その 3 ）

y

x

ba

直径ｄ

半径ｒ

円錐

円柱 半球円錐

問：図に示す円錐体，円柱および半球から構成される物体の重心を求めよ。また，特殊な例として，

hrba の場合の重心はいくらになるか。

04/19/23 材料の力学 27

6.3 　断面２次モーメント

　☆すでに 6.1節において，単純曲げを受けるはりの応力が，はりの図心からの距離 e と断面２次モーメントⅠｚによって影響されることを学んだ。

　　　　　　復習：　　この節の学習目的は　　１）断面 2次モーメントⅠｚの定義を覚えること。　　２）断面係数 Zの定義を覚えること。　　３）任意断面形状を持ったはりの断面２次モーメン

トⅠｚを計　　　　算できるようにすること。である。

1

1max

2

2min ,

Z

M

I

Me

Z

M

I

Me

zz

04/19/23 材料の力学 28

6.3.1 　長方形断面のはりにおける断面２次モーメント

平行軸の定理 （ parallel axis theorem ）その 1

☆ 上図において，重心 G （図心）を通る座標系ｘ - ｙにおいて，ｘ軸まわりの断面２次モーメントⅠ xG およびｙ軸まわりの断面２次モーメントⅠｙ G は

AGx dAyI 2

AyG dAxI 2

122

32

0

22 bhbdyydAyI

h

AGx 122

32

0

22 hbhdxxdAxI

b

AyG

；

；

04/19/23 材料の力学 29

6.3.1 　長方形断面形状のはりにおける断面２次モーメント

平行軸の定理 （ parallel axis theorem ）その 2

☆ 一方，図の右側に示されるように，重心 G から距離ｄ離れた任意の X 軸まわりの断面２次モーメント Ix は，定義に従って，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

AX dAYI 2 dyY

AA

2

AAAX dAddAyddAydAdydAYI 2222 AdI 2xG

さらに，左のｘ - ｙ座標と右の X-Y 座標を比較すればであるから，

04/19/23 材料の力学 30

6.3.2 　平行軸の定理のまとめ

AdII xGX2

AdII XxG2

AdII yGY2

AdII YyG2

31

6.3.3 　平行軸の定理の応用　　　　　　　　

（１）３角形断面のはり

h

A B

C

h-d（ ）η

b

h-y

y

dyηｄＡ＝ ｄｙ

ＩｘＧ

ＩＸ

ｙ

x

xhd3

1

G重心

・まず底辺 AB に平行で，　図心 G を通る断面２次モーメント IxG は

AdII xxG2

・３角はりの場合，図心 G と底　辺までの距離ｄおよび面積A は 3hd 2bhA ；

・底辺ｘ軸まわりの断面 2 次モーメント Ix は

dyydAyIA

h

x 0

22

:)(: yhbh

dyyh

bdyybdy

h

yhbydyyI

hhhh

x

0

3

0

2

0

2

0

2 )(

1212

34

43

33343 bhbhbh

h

bhbh

；

36

bhbhh

12

bhAdII

332

xGx ２9

2

hyhb

04/19/23 材料の力学 32

6.3.3 　平行軸の定理の応用　　　　　　　　

（２）円形断面のはり・断面形状が円形の場合は図に示すように，円筒座標ｒ， θ で断面２次モーメントを求めた方が計算は簡単である。

・任意点における幅ｂ（ｙ）とその微小面積ｄ A は cos2)( ryb dyrdyybdA cos2)(

sinry

cosrd

dy drdy cos

drdrrrdAyIAxG 2

0

22422

0

2 cossin4coscos2sin2

212

12 cossin 212

12 coscos

418

141

2

11

4

121

4

1 222 coscoscoscossin

2

0

4

20

4

44

1

3241

8

1

24

sin

ddcos

dI xG 64

0232

44 dd

・したがって，重心 G をとおるｘ軸周りの断面 2 次モーメントは

丸棒は軸対称だから

IxG=IyG

= θｙｒｓｉｎ

θ

ｄｙ

= θｂ（ｙ）２ｒｃｏｓ

dA=b(y)ｄｙ =2rcosθ dy

x

ｙ

半径ｒ直径ｄ

xGI

yGI

G

04/19/23 材料の力学 33

6.3.3 　平行軸の定理の応用　　　　　　　　

（３） H 形鋼断面のはりH 形鋼を図に示すように，面積A0 の長方形板材から２個の面積A1

11

1 22 h

bbA

の板材を引いたものと考える。すなわち，重心 G をとおるｘ軸まわりの断面２次モーメント IxG は，

dAyIAxG 2 dAydAy

AA 10

22 2

121212

22

12

311

3311

3 hbbbhhbbbh

＝ -

H A形鋼の全面積

A面積 A面積 02( A面積 1）

xI

xGI

2h

1h

1b

h

b

y

x

x

2h

xGI xGI xGI

G

04/19/23 材料の力学 34

6.3.4 　極断面２次モーメント☆極断面２次モーメメント Ip の紹介

• 円形断面のように軸対称物体の断面２次モーメント IxG,IyG などは以下に解説する極断面２次モーメメント Ip を用いたほうが容易に求められることがある。

yGxGAAp IIdAyxdArI 222

Iｐの定義

x

y

z

r

点（ｘ，ｙ）

A面積ｄ

PI

04/19/23 材料の力学 35

6.3.4 　極断面２次モーメントを利用した丸棒の断面２次モーメメントの求め方の紹介

r

d直径

ｘ

ｙ

ｄｒxGI

yGI

G

yGxGAAP IIdAyxdArI 222

yGxG II

2

0

22 22

1

2

12/

d

APxG rdrrdArII

6442

2 424 drd

o

・図に示した円形はりの断面２次モーメン I ｘ G ， IyG トを極断面２次モーメント Ip の定義式から求めなさい。

ところで，円形断面では軸対称であるから

極断面２次モーメントをといて

rdrdA 2微小面積ｄ A

04/19/23 材料の力学 36

断面２次モーメントの演習問題（１）銭型平次型断面

（１）図に示す丸棒（円板）から長方形を切り出した時の断面２次モーメントを求める。 ( いわゆる，銭方平次の６文銭 )

解答：

dAydAydAyIAAAxG 10

222

1264

34 bhd

x

ｙ

直径ｄ

IxG

=

IxG

-

IxG

ｂ

ｈ

A面積 A面積 0A面積 1

yGI

xGI

= -

0A 1A

04/19/23 37

断面２次モーメントの演習問題（２）三角・四角板 + 穴抜き円板

（２）図に示される孔抜き３角板と長方形板から構成される物体の軸（底辺），すなわち，底辺まわりの断面２次モーメントを，以下の設問手順にしたがって求めよう。Q1穴抜き合成板材の全面積はいくら？Q2 ；底辺軸から測った，１）板材の重心座標はいくらか？２）３角板の重心座標は底辺からいくらか？３）穴抜き円板の重心座標はいくらか？。４）板材のｘ軸からの断面 2 次モーメントはいくらか？　　　　　　　　　　５）３角板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくらか？６）穴抜き円板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくらか？７）以上の結果を使って， Ix を求めよ。８）この図形の重心座標ｙ G はいくらか？

b

h1

h2

Dh3

x

yyGI

Ix＝

-

＋Ix

Ix Ix

A面積 A面積 1 A面積 2 A面積 3

xI

1A

3A

2A

04/19/23 材料の力学 38

断面２次モーメントの演習問題（４）家の側面図を描いてみました

（４）図に示すような家の側面図を書いてみました。このような窓付き板材の軸まわりの断面２次モーメントを以下の設問手順にしたがって求めよう。　　　　　　　　　　　　　Q1 ；合成板材の全面積はいくらか？Q2；底辺軸から測った，1 ）板材の重心座標はいくらか？２）三角板の重心座標はい　くらか？３）穴抜き円板の重心座標はいくらか？さて，平行軸の定理，を使って，　　　　　　　　４）板材の軸からの断面 2次モーメントはいくらか？５）三角板の軸からの断面２次モーメントはいくらか？６）穴抜き円板のｘ軸からの断面２次モーメントはいくらか？　　　７）穴抜き 2 枚の板材のｘ軸からの２次モーメントはいくらか？８）以上の結果を使って，この家の Ix を求めよ。　９）この家の重心ｙ G はいくらか？

b

c ca

h1

h2

h4

h3

23

1h

x

考え方

Ix＝ -2 + -

D

A1 A2 A3 A4

y

xI

yGI

A

2A2A

3A

4A

全面積

A

04/19/23 材料の力学 39

6.4.1 　各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係数 ( その１）

☆ 復習：断面係数の定義

e

IZ xG

図心から辺までの距離モーメント図心まわりの断面２次

ちなみに，右図に示す長方形断面のはりの断面２次モーメントおよび断面係数 Z は

62

12

2

23

2

bh

h

bh

h

IZ xG

h

323

2 62

12

2m

bh

h

bh

h

IZ xG

h

h

b

h/2

xGI

04/19/23 材料の力学 40

6.4.1 各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係数（その２）

20

60

30

30

60

(a)長方形横置き （ｂ）長方形縦置き

30

6045

（ｃ）角パイプ

１．図 (a) ，(b) ， (c) に示す，長方形はりの中立軸に対称な断面の断面係数を求めなさい。

（ａ）の長方形が横置きの場合

（ｂ）の長方形が縦置きの場合

（ｃ）角パイプの場合　　　　

3223

121 9000

6

3060

62

12mm

bh

h

bh

e

IZZ xG

ee

3223

121 18000

6

6030

62

12mm

bh

h

bh

e

IZZ xG

ee

433

38812512

4520

12

6030mmI xG

3

121 5.12397

30

388125mm

e

IZZ xG

ee

解答：

04/19/23 材料の力学 41

6.4.1 各種形状の物体の断面２次モーメントと断面係数（その３）

２．図 (a) ， (b) に示す円形はりの断面係数を求めなさい。

（ａ）中実丸棒

2040

40

(b)中空丸棒

(a) 中実丸棒の断面係数

2

644

121 d

d

e

IZZ xG

ee

3

33

18628332

40143

32mm.

.d

（ｂ）中空丸棒の断面係数　この場合の断面２次モ－メントは，中実丸棒から中空丸棒の断面２次モーメントを引けばよい。すなわち，

2

42

1

41

21 6464

ddIII xGxGxG

44443

6117809204064

143

64

20143

64

40143mm.

...

31

21 48589020

6117809mm.

.

e

IZZ xG

ee

解答：

04/19/23 材料の力学 42

6.4.2 　各種はりの強さ（その１）

１．図に示したように，断面積が一定（質量が同じ）中実丸棒と中空丸棒のはりに，同じ曲げモーメントがかかる場合，どちらがどれほど丈夫であるか。ただし，中実丸棒の外径は中空丸棒の内径と等しいものとする。

d

d 1d

解答：円形断面のはりの応力はであるから，断面係数 Z を比べればよい。断面積が一定の関係から

ZM

44

221

2 ddd

dd 21 ∴

つぎに，中実円，中空円の断面係数 はそれぞれ，

32

d3中実Z 44

11

d-d32d

中空Z

中空

中実

中実

中空

中実

中空

M

M

Z

Z

，

1441

3

144

1

3

dd-d

d

32dd-d

32d

Z

Z

中空

中実

中実

中空

3

2

d2d-4d

d

dd-d

d

Z

Z44

3

144

1

3

中空

中実

中実

中空

04/19/23 材料の力学 43

☆ 第 6 章　総合演習問題（その１）

１．許容曲げ応力 60MPa のはりが， 1.2×106 （ N ・ｍｍ）の最大曲げモーメントを受ける，必要最小限の断面係数 Z はいくらか。　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（解答： 2×104mm ３）

２．図に示す長方形の断面を持った両端支持はりについて以下の設問に答えよ。ただし，はりの断面形状は長方形とする。

500 300 200

1000 15

30

100N

200N

A BC D

１）支点反力はそれぞれいくらか。　　（解答：，）２）最大曲げモーメントはいくらか　　（解答：）３）断面係数はいくらか　　　　　　　　　　　（解答：）４）最大曲げ応力はいくらか　　　　　　（解答：

04/19/23 材料の力学 44

総合演習問題（その２）

３ . 図に示すような断面形状の形鋼において，その許容曲げ応力をとするとき，片持ちはりの先端にかける最大荷重はいくらま

　で許されるか。

1000ｍｍ

P

10

20

20 40

04/19/23 材料の力学 45

総合演習問題（その３）

b

h直径ｄ

４．右図に示すような直径ｄ一定の丸棒から長方形断面（ｈ ×ｂ）を持ったはりを切り出し，その断面係数 Z を最大としたい。ｈとｂの比はいくらにすればよいか

５．同一断面積をもつ正方形と円の断面係数を比較し，両者の比を求めよ。

04/19/23 材料の力学 46

総合演習問題（その４）

６．右図に示すような片持ちはりがある。このはりの許容曲げ応力 σ ｂ＝ 60MPa とすれば，固定端に必要な断面係数 Z はどれほどか。またはりの断面を幅 b=50mm の長方形とした場合，高さはｈどれほどか。　 ( 解答： Z=5.83×104mm ３， h=83.6mm)

2000N3000N

500 50050

h

04/19/23 材料の力学 47

総合演習問題（その 5 ）７．断面が右図に示すような逆 T字型はりに一様な　曲げモーメントが作用するとき，このはりの最大応力が最大圧縮応力の 1/3 になるためにはフランジ幅ｘはどれだけあればよいか。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

８．右図に示す段付の片持ちはりにおいて， A ， B に生じる最大応力を等しくするには直径 D1,D2 にどのような関係が必要か。

2D1D

1L2L

L

P

C BA

x

x

ｔ

ｔ

ｈ

ｃ G

ｘ

圧縮側

引張側