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《函数及其图象》达标检测

（训练时间： 60 分钟 分值： 100 分）

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一、选择题 ( 每小题 4 分，共 48分 )

1 ． (2011· 兰州 ) 如右图所示，某反比例函数的图象过 ( －2,1) ，则此反比例函数表达式为 ( 　　 )

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A．y＝2x B．y＝－

2x

C．y＝12x D．y＝－

12x

【解析】设反比例函数的解析式为 y＝kx，则 k＝－2× 1

＝－2，

∴ y＝－2x.

【答案】 B

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A ． k<3 　　 B ． k≤3 　　 C ． k>3 　　 D ． k≥3

【解析】由题意得， k － 3<0 ，∴ k<3.

【答案】 A 　

2．(2012 中考预测题)反比例函数 y＝k－3x 的图象，当

x>0时，y随 x的增大而增大，则 k的取值范围是( )

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3 ． (2010 中考变式题 ) 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 C 的坐标是 (3,4) ，则顶点 A 、 B 的坐标分别是 ( 　　 )

A ． (4,0)， (7,4) 　　　　 B ． (4,0)， (8,4)

C ． (5,0)， (7,4) D． (5,0)， (8,4)

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【解析】过 C作CE⊥OA 于点 E ，∵ C(3,4) ，故在 Rt△OCE 中， OC

＝ 5.∵ 四边形 OABC 是菱形，∴ OA＝OC＝ 5 ，故 A(5,0) ．过 B作BF

⊥x 轴于点 F ，在 Rt△ BAF 中，由 AB＝OC＝ 5 ，BF＝CE＝ 4 得AF

＝ 3 ，∴ OF＝ 8 ，∴ B(8,4) ．

【答案】 D 　

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4 ． (2011· 山西 ) 已知二次函数 y ＝ ax2＋ bx＋ c 的图象如右图所示，对称轴为直线 x ＝ 1 ，则下列结论正确的是 ( 　　 )

A ． ac＞ 0

B ．方程 ax2＋ bx＋ c ＝ 0 的两根是 x1 ＝－ 1 ， x2＝ 3

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C ． 2a － b ＝ 0

D ．当 x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小

【解析】由图象知抛物线与 x 轴的两个交点为 ( － 1,0)和 (3,0) ，

所以当 y ＝ 0 时，方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 的两根是 x1 ＝－ 1 ， x2＝ 3.

【答案】 B 　

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A． 0　　　　 B． 1　　　　 C． 2　　　　 D． 3

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【解析】如图所示，由 y＝ （x－1）2－1 x≤3 ， （x－5）2－1 x＞3

的

图象可知，使 y＝k成立的 x值恰好有三个的是过(3,3)点且与 x

轴平行的直线，∴ k＝3.

【答案】 D

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6 ． (2011· 江西 ) 时钟在正常运行时，分针每分钟转动 6° ，时针每分钟转动 0.5°. 在运行过程中，时针与分针的夹角会随着时间的变化而变化．设时针与分针的夹角为 y( 度 ) ，运行时间为 t( 分 ) ，当时间从 12： 00 开始到 12： 30 止， y 与 t 之间的函数图象是 ( 　　 )

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【解析】由题意， y( 度 ) 与 t( 分 ) 之间的函数关系式为 y ＝ 6t－ 0.5t＝ 5.5t(0≤t≤30) ，满足函数关系式的图象只有 A.

【答案】 A 　

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7．(2012中考预测题) 如图，某电信公司提供了A、B 两种方案的移动通讯费用y(元) 与通话时间x(分) 之间的关系，则以下说法错误的是

( 　　)

A ．若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜20元

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B ．若通话时间超过 200 分，则 B 方案比 A 方案便宜 12 元

C ．若通讯费用 60 元，则 B 方案比 A 方案的通话时间多

D ．若两种方案通讯费用相差 10 元，则通话时间是 145 分或185 分【解析】排除法，观察图象可得，当 x<120 时，50－30＝

20(元)，A正确；当 x>200时，可求得 yA＝25x－18，yB＝

25x－30，

B正确；当 x＝60时，观察图象可得 C正确；当费用相差 10元

时，通话时间是 145分或 195分．

【答案】 D

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8．(2011· 兰州)如右图所示，矩形 ABCD的对角线 BD经过

坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C在反比例函数 y

＝k2＋2k＋1

x的图象上．若点 A的坐标为(－2，－2)，则 k的值

为( )

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A ． 1 B ．－ 3

C ． 4 D． 1 或－ 3

【解析】由图所示矩形 AGOH 的面积等于矩形 OFCE 的面积，∴ S

矩形 OFCE＝ 2×2＝ 4.∵点 C 在双曲线上，∴ k2＋ 2k ＋ 1 ＝ 4 ，∴ k1

＝ 1 ， k2 ＝－ 3.

【答案】 D 　

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9 ． (2010 中考变式题 ) 如图，点 A 、 B 的坐标分别为 (1,4)和 (4,4) ，抛物线 y＝ a(x－m)2＋ n 的顶点在线段 AB 上运动，与 x 轴交于 C、D 两点 (C在D 的左侧 ) ，点 C 的横坐标最小值为－ 3 ，则点 D 的横坐标最大值为 ( 　　 )

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A ．－ 3 B． 1

C ． 5 D． 8

【解析】当顶点为 A(1,4) 时，此时 C 的横坐标最小值为 x ＝－3 ， D 的横坐标最小值为 x ＝ 5. 当顶点为 B(4,4) 时，此时 D 的横坐标为最大值 5 ＋ 3 ＝ 8.

【答案】D

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10． (2012 中考预测题 ) 从甲地向乙地打长途电话的收费标准为：不超过 3 分钟收费 2.4 元，以后每增加 1 分钟加收 1 元 ( 不足 1 分钟按 1 分钟计算 ) ．若通话时间不超过 5 分钟，则下图中表示电话费 y

( 元 ) 与通话时间 x( 分 ) 之间的函数关系的图象，正确的是 ( 　　 )

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【解析】注意此分段函数的图象是不连续的．

【答案】 C 　

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11．(2011· 芜湖)二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象如右图

所示，则反比例函数 y＝ax与一次函数 y＝bx＋c在同一坐标系

中的大致图象是( )

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【解析】由抛物线位置得 a＜0，b＜0，c＝0，故 y＝ax的图

象位于第二、四象限，y＝bx＋c的图象过第二、四象限．

【答案】 D

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12．(2012中考预测题) 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列四个结论：①b<0；②c>0；③b2－4ac>0；④a－b＋c<0，

其中正确的个数有 ( 　　)

A．1 个

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B ． 2 个

C ． 3 个

D ． 4 个

【解析】观察图象得－b2a

<0，a<0，∴ b<0，①正确；c>0，

②正确；因抛物线与 x轴有两个交点，∴ b2－4ac>0，③正确；

当 x＝－1时，a－b＋c>0，④错误；所以正确的有 3个．

【答案】 C

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二、填空题 ( 每小题 4 分，共 20分 )

13． (2011· 上海 ) 一次函数 y ＝ 3x － 2 的函数值 y 随自变量x 值的增大而 ________(填“增大”或“减小” ) ．

【解析 ∵】 3 ＞ 0 ，∴ y 随 x 的增大而增大．

【答案】增大　

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14．(2011· 河南)已知点 P(a，b)在反比例函数 y＝2x的图象上，若

点 P 关于 y 轴对称的点在反比例函数 y＝kx的图象上，则 k 的值为

________．

【解析】点 P(a，b)关于 y轴对称的点的坐标为(－a，b)．由题意知

点(－a，b)在反比例函数 y＝kx的图象上，∴ k＝－ab.

又∵ 点 P(a，b)在反比例函数 y＝2x的图象上，∴ ab＝2.∴ k＝－2.

【答案】－ 2

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15． (2011· 宁波 ) 将抛物线 y ＝ x2 的图象向上平移 1 个单位，则平移后的抛物线的解析式为 ________ ．

【解析】 y ＝ x2 向上平移 1 个单位，得到 y ＝ x2＋ 1 ，抛物线平移规律是“上下平移常数变，上加下减．”

【答案】 y ＝ x2＋ 1 　

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16．(2012中考预测题)一名男士推铅球，铅球行进高度

y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)之间的关系是 y＝－112x2

＋23x＋

53，则他将铅球推出的距离是______m.

【解析】令 y＝0，则－112x2＋

23x＋

53＝0，解得 x1＝10，

x2＝－2，即推出的距离是 10 m.

【答案】 10

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17．(2011·武汉)如图所示，平行四边形 ABCD的顶点 A，

B 的坐标分别是 A(－1,0)、B(0，－2)，顶点 C、D 在双曲线 y

＝kx上，边 AD交 y轴于点 E，且四边形 BCDE的面积是△ ABE

面积的 5倍，则 k＝________.

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【解析】如图所示，连接 BD，设 S△ABE＝x，则 S▱ABCD＝6x.故 S△ BED＝3x

－x＝2x.故 DE∶ AE＝2∶ 1.作 DG⊥y轴，DM⊥x轴，CF⊥y轴，CN⊥x轴，

则 DG∶ OA＝2∶ 1，∴ GD＝2.由▱ABCD可证△AOB≌△ CKD.∴ DK＝OB＝2，

CK＝OA＝1.∴ MN＝1.∴ KM＝CN＝k2－2.∵ ON＝2＋1＝3，∴ C(3，

k2－2)．∵

C在双曲线上，∴k3＝k2－2，解得 k＝12.

【答案】 12

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三、解答题 ( 共 32分 )

(1)求 c 的取值范围；

(2) 试确定直线 y ＝ cx＋ 1 经过的象限，并说明理由．

18．(10分)(2011· 广东)已知抛物线 y＝12x2＋x＋c与 x

轴没有交点．

【答案】解：(1)∵ 抛物线与 x轴无交点，

∴ Δ＜0，即 12－4×12×c＜0，∴ c＞

12.

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(1)求 k 的值和边 AC 的长；

(2)求点 B 的坐标．

(2)∵ c＞12＞0,1＞0，∴ 直线 y＝cx＋1经过第一、二、三象限．

19．(10 分)(2011·广州)已知 Rt△ ABC的斜边 AB在平面直角坐

标系的 x轴上，点 C(1,3)在反比例函数 y＝kx的图象上，且 sin∠BAC

＝35.

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【答案】解：(1)∵ 点 C(1,3)在反比例函数 y＝kx的图象上，∴

k＝xy＝1×3＝3.

如图①所示，作 CD⊥AB于点 D，∴ CD＝3.在 Rt△ACD中，

①

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sin∠BAC＝CDAC，∴

35＝

3AC，解得 AC＝5.

(2)在 Rt△ACD中，AD＝ AC2－CD2＝ 52－32＝4，cos∠

BAC＝ADAC＝

45.

如图①所示，在 Rt△ ACB中，cos∠BAC＝ACAB，

∴ AB＝AC

cos∠BAC＝

545

＝254，

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∴ AO＝AD－OD＝4－1＝3，OB＝AB－OA＝254－3＝

134，

∴ 点 B的坐标为(134，0)．

②

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如图②所示，AO＝AD＋OD＝4＋1＝5，

OB＝AB－OA＝254－5＝

54，∴ 点 B的坐标为(－

54，0)．

20．(12分)

(2012 中考预测题 )如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6米，底部宽度 OM为 12米．现以 O点为原点， OM所在直线为 x轴建立直角坐标系．

(1)直接写出点M及抛物线顶点 P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；

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(3) 若要搭建一个矩形“支撑架” AD－DC－ CB ，使 C 、 D 点在抛物线上， A 、 B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

【答案】解： (1)M(12,0)， P(6,6) ．

(2) 设抛物线解析式为 y ＝ a(x － 6)2＋ 6.

∵ 抛物线 y ＝ a(x － 6)2＋ 6 经过点 (0,0) ，

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∴ 0＝a(0－6)2＋6，则 a＝－16.

∴ 抛物线解析式为 y＝－16(x－6)2＋6，即 y＝－

16x2＋2x.

(3)设 A(m,0)，则 B(12－m,0)，C(12－m，－16m2＋2m)，

D(m，－16m2＋2m)．

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∵ 此二次函数的图象开口向下，

∴当m ＝ 3 米时， AD＋DC＋ CB 有最大值为 15米．

∴ “ 支撑架” 总长 AD＋DC＋CB＝(－16m2＋2m)＋(12－2m)

＋(－16m2＋2m)＝－

13m2＋2m＋12＝－

13(m－3)2＋15.