鲁教版课标八下·§7.3

7.3 用公式法解一元二次方程

我们通过配成完全平方式的方法 , 得到了一元二次方程的根 , 这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square)

平方根的意义 :

完全平方式 : 式子 a2±2ab+b2 叫完全平方 a2±2ab+b2 =(a±b)2.

如果 x2=a, 那么 x= .a

用配方法解一元二次方程的方法的助手 :

复习回顾

用配方法解一元二次方程的步骤 :1. 化 1: 把二次项系数化为 1( 方程两边都除以二次项系数 );2. 移项 : 把常数项移到方程的右边 ;3. 配方 : 方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方 ;4. 变形 : 方程左边分解因式 , 右边合并同类项 ;5. 开方 : 根据平方根意义 , 方程两边开平方 ;6. 求解 : 解一元一次方程 ;7. 定解 : 写出原方程的解 .

复习回顾

你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗 ?.04

29: 2 xx解

.417

49

x

.449

49

29 22

2

xx

.1617

49 2

x

.417

49

x

.4292 xx

1. 化 1: 把二次项系数化为 1;

3. 配方 : 方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方 ;4. 变形 : 方程左边分解因式 , 右边合并同类项 ;5. 开方 : 根据平方根意义 ,方程两边开平方 ;6. 求解 : 解一元一次方程 ;7. 定解 : 写出原方程的解 .

2. 移项 : 把常数项移到方程的右边 ;

.4

179;4

17921

xx

动手试一试

你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗 ?

.0: 2 acx

abx解

.2

42

2

aacb

abx

.22

222

ac

ab

abx

abx

.4

42 2

22

aacb

abx

.04.2

4 22

acba

acbbx

.2

acx

abx

1. 化 1: 把二次项系数化为 1;

3. 配方 : 方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方 ;4. 变形 : 方程左边分解因式 , 右边合并同类项 ;5. 开方 : 根据平方根意义 ,方程两边开平方 ;6. 求解 : 解一元一次方程 ;

7. 定解 : 写出原方程的解 .

2. 移项 : 把常数项移到方程的右边 ;

,042 时当 acb

动手试一试

ax2+bx+c=0(a≠0)两边都除以 a

动手试一试

移项配方

2 b cx xa a

2 2( )2 2

2 ( )b c ba a a

bx xa

22

2

4( )2 4b b acxa a

如果b2-4ac≥0

一般地 , 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)

.04.2

4 22

acba

acbbx

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式 .用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular).

:,042 它的根是时当 acb

老师提示 :用公式法解一元二次方程的前提是 :1. 必需是一般形式的一元二次方程 : ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.

引入新知

你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗 ?.8,9,2: cba解

.4

17922

1792

42

aacbbx

1. 变形 : 化已知方程为一般形式 ;

3. 计算 : b2-4ac 的值 ;4. 代入 : 把有关数值代入公式计算 ;

5. 定根 : 写出原方程的根 .

2. 确定系数 : 用 a,b,c写出各项系数 ;

.01782494 22 acb

.4

179;4

17921

xx

公式法

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

2 42

b b acx

a

3 、代入求根公式 :

2 、求出 的值，2 4b ac

1 、把方程化成一般形式，并写出 的值 .a b、、c

4 、写出方程的解： 1 2x x、

特别注意 : 当 时无解2 4 0b ac

例 1 解方程： x2-7x-18=0

解：这里 a=1, b= -7, c= -18.

∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121 0,﹥7 121 7 11 ,x

2 1 2

即： x1=9, x2= -2.

2 42

b b acx

a

例题解析

例 2 解方程：解：化简为一般式：

2 3 0 2 3 3,x

2 1 2

3 2 32x + = x

2 3 0x x 2 3这里 a=1, b= , c= 3.32

∵b2 - 4ac=( )2 - 4×1×3=0,32

即： x1= x2= 3

2 42

b b acx

a

例题解析

例 3 解方程：（ x-2)(1-3x)=6

这里 a=3, b= -7, c= 8.

∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,

∴ 原方程没有实数根 .

解：去括号： x-2-3x2+6x=6

化简为一般式： -3x2+7x-8=03x2-7x+8=0

2 42

b b acx

a

想一想

用公式法解下列方程1). 2x2＋ x－ 6＝ 0 ；2). x2＋ 4x＝ 2；3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ; 4). 4x2+4x+10 =1-8x ；5). x2－ 6x＋ 1＝ 0 ；6). 2x2－ x＝ 6 ；7). 4x2- 3x - 1=x - 2；8). 3x(x-3)=2(x-1)(x+1);9). 9x2+6x+1 =0 ；10). 16x2+8x=3 ；

参考答案：

.31.9 21 xx

.43;

41.10 21 xx

.62;62.2 21 xx .

56;2.3 21 xx

.23.4 21 xx

.223;223.5 21 xx .

23;2.6 21 xx

.21.7 21 xx

.2

739;2

739.8 21

xx

1 231 . 2; .2

x x

一个直角三角形三边的长为三个连续偶数 , 求这个三角形的三边长 .: ,x解 设这三个连续偶数中间的一个为 根据题意得

).,(0,8 21 舍去不合题意 xx

.10,8,6: 为三角形的三条边长分别答

.22 222 xxx

得解这个方程,

.082 xx即

B

A C

.102,62 xx

练一练

参考答案 :解下列方程 :

(1). x2-2x－ 8＝ 0 ； (2). 9x2＋ 6x＝ 8；

(3). (2x-1)(x-2) =-1;

.4;2.1 21 xx

.34;

32.2 21 xx

.23;1.3 21 xx

.33.4 21 yy

练一练

24 .3 1 2 3 .y y

列方程解应用题的一般步骤 : 一审 ; 二设 ; 三列 ; 四解 ; 五验 ; 六答 . 用配方法解一元二次方程的一般步骤 :1. 化 1: 把二次项系数化为 1( 方程两边都除以二次项系数 );2. 移项 : 把常数项移到方程的右边 ;3. 配方 : 方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方 ;4. 变形 : 方程左边分解因式 , 右边合并同类项 ;5. 开方 : 根据平方根意义 , 方程两边开平方 ;6. 求解 : 解一元一次方程 ;7. 定解 : 写出原方程的解 . 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式 :

.04.2

4 22

acba

acbbx

课堂小结

根据题意，列出方程：1. 《九章算术》“勾股”章中有一题 :“ 今有户高多于广六尺八寸 , 两相去适一丈 . 问户高 , 广各几何 .”大意是说 : 已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸 , 门的对角线长 1 丈 , 那么门的高和宽各是多少 ?解：设门的高为 x 尺，根据题意得

即 2x2+13.6x-9953.76 ＝ 0.解这个方程 , 得x1 ＝ 9.6;x2 ＝ -2.8( 不合题意 , 舍去 ).∴x-6.8=2.8.

答 : 门的高是 9.6 尺 , 宽是 2.8 尺 .

.108.6 222 xx x

x-6.8

10

练一练

独立作业

1、 P53习题 7.7 1,2题 ;

祝你成功！