СЪДЪРЖАНИЕ ЛЕКЦИЯ 8fmi-plovdiv.org/evlm/DBbg/database/courses_PM2/7-8... · Пример 8.8. Броят на различните трицифрени числа,

С. Гочева-Илиева, Х. Кулина, Приложна математика 2

СЪДЪРЖАНИЕ

ЛЕКЦИЯ 8 Елементи от теория на вероятностите – вероятност,

случайни величини и разпределения. ..................................................... 3

8.1. Комбинаторика .............................................................................. 4

8.1.1. Множества. Операции с множества .......................................... 4 8.1.2. Пермутации без повторение ..................................................... 10 8.1.3. Комбинации без повторение .................................................... 12 8.1.4. Вариации без повторение ......................................................... 15 8.1.5. Вариации с повторение ............................................................. 17 8.2. Случайни събития. Класическа вероятност .............................. 19

8.2.1. Основни понятия ....................................................................... 19 8.2.2. Действия със събития ................................................................ 25 8.2.3. Класическа вероятност ............................................................. 28


2

8.2.4. Условна вероятност. Независими събития. Вероятност на

сума и произведение от събития ........................................................ 33 8.2.5. Формула за пълната вероятност. Формула на Бейс.

Вероятности при многократни опити ................................................ 36 8.2.6. Вероятности при многократни опити ...................................... 41 8.3. Случайни величини. Числови характеристики ........................ 54

8.3.1. Случайни величини. Основни понятия ................................... 54 8.3.2. Дискретни случайни величини. Числови характеристики .... 57 8.3.3. Биномно разпределена дискретна случайна величина .......... 74 8.3.4. Геометрично разпределена дискретна случайна величина ... 80 8.3.5. Непрекъснати случайни величини ........................................... 84 8.3.6. Нормално разпределена случайна величина .......................... 87 8.3.7. Локална и интегрална гранични теореми ............................... 95


3

ЛЕКЦИЯ 8 ЕЛЕМЕНТИ ОТ ТЕОРИЯ НА ВЕРО-

ЯТНОСТИТЕ – ВЕРОЯТНОСТ, СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

И РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ


4

8.1. Комбинаторика

8.1.1. Множества. Операции с множества

Под множество се разбира съвкупност от обекти, обединени по

общ признак. Обектите, от които се състои множеството, се наричат

негови елементи. Едно множество е определено, ако еднозначно

могат да се определят неговите елементи.

Символният запис a A означава, че елементът a принадлежи на

множеството A. Записът a A означава, че елементът a не

принадлежи на множеството A.

Множеството A се нарича крайно, ако се състои от краен брой

елементи, т.е. 1 2, , ..., nA a a a , означаваме A n . За всяко крайно

множество A с n елемента съществува биективно изображение върху


5

множеството 1, 2, },{ n от първите n естествени числа. Затова

крайните множества с n елемента обикновено се оттъждествяват с

множеството на първите n естествени числа.

Безкрайните множества се делят на два големи класа – безкрайни

изброими множества (равномощни на множеството на естествените

числа ) и безкрайни неизброими множества.

Множество A, състоящо се от елементи x , притежаващи свойство

( )P x записваме по следния начин: { ( )}A x P x . Всеки елемент на

множеството A се записва само веднъж. Например {2, 2, 4, 6} е

некоректно зададено множество. Освен това редът на елементите в

записа на множеството е без значение – записите 2, 4, { 6, 8} и

{8, 6, 2, 4} са записи на едно и също множество.

Множеството , съдържащо всички разглеждани множества се

нарича универсално множество. Обикновено то се определя от типа


6

на разглежданите обекти – например, ако разглежданите обекти са

реални числа, то е множеството на всички реалните числа , ако

разглеждаме геометрични обекти в равнината, то е множеството от

всички точки в декартовата координатна система.

Множеството, което не съдържа нито един елемент, се нарича

празно множество.

Празното и универсалното множество често се наричат тривиални

множества. Интерес представляват нетривиалните множества, които

означаваме с големите латински букви , ,A B C и т.н.

Определение 8.1. Множеството A се нарича подмножество на

множеството B, ако всеки елемент на A е елемент и на B. Пишем

A B , четем: „ A се включва, или, се съдържа, в B".

Определение 8.2. Всяко множество A има две тривиални

подмножества – самото множество A, и празното множество .


7

Всички останали подмножества на множеството A се наричат

собствени, или истински, подмножества на A.

Определение 8.3. Множествата A и B са равни (A B ) тогава и

само тогава, когато A B и B A , т.е. ако двете множества се

състоят от едни и същи елементи.

Често това определение се използва за доказване на равенства

между множества.

Операциите между множества са: бинарни операции – сечение на

множества, обединение на множества, разлика на множества, и една

унарна операция – допълнение, или отрицание, на множество.

Определение 8.4. Сечение на множествата A и B се нарича ново

множество, състоящо се от всички елементи, които принадлежат

едновременно на двете множества { }:B x x A и BA x .


8

Определение 8.5. Обединение на множествата A и B се нарича

ново множество, което съдържа всички елементи както от A, така и

от B, т.е. { }:B x x x BA A или .

Определение 8.6. Разлика на множествата A и B се нарича ново

множество, което съдържа всички елементи на A, които не са

елементи на B, т.е. :\ { }B x xA A и x B .

Тъй като се интересуваме преди всичко от броя на елементите, а

не толкова от състава на множествата, ще разгледаме някои формули

за намиране броя на елементите (мощността) на множество,

получено от операции между крайни множества.

Мощността на обединението на две множества се пресмята по

следната формула: ако A и B са крайни множества, то:


9

(8.1.) A B A B A B .

Пример 8.1. Нека 2, 4, 6, 8A , 2, 3, 6, 7, 8, 9B , т.е. 4A

и 6B . Сечението 2, 6, 8A B и 3A B , обединението

2, 3, 4, 6, 7, 8, 9A B , т.е. 7A B .

Мощността на обединението се пресмята по формула (8.1) по

следният начин: 4 6 3 7A B A B A B .

Определение 8.7. Допълнение на множеството A се нарича

разликата \ A и се означава с A.

Определение 8.8. Нека A и B са множества. Декартово произведе-

ние на множествата A и B се нарича множеството A B от всички

наредени двойки ( , )a b за всички a A и всички b B , т.е.

{( , ) , }A B a b a A b B .


10

Мощността на декартовото произведение на две крайни

множества се пресмята по следната формула:

(8.2.) . .A B A B A B .

8.1.2. Пермутации без повторение

Определение 8.9. Нека A e множество и A n . Всяко подреждане

на всичките n елемента на A (или всички различни подреждания на

първите n естествени числа) се нарича пермутация без повторение от

n-ти ред. Две пермутации се различават една от друга по реда на

участващи в тях елементи.


11

Теорема 8.1. Броят на всички различни пермутации от n-ти ред е

! 1.2nP n n . (0! = 1).

Пример 8.1. Всички пермутации на три елемента , ,a b c са:

3 , , , , 3! 1.2.3 6,abc acb bac bca cab cP ba .

Пример 8.2. Да пресметнем броя на различните петцифрени числа,

които могат да се запишат с цифрите 0, 1, 2, 3 и 4, ако всички цифри

участват.

Броят на всички различни подреждания на петте числа е 5!. От тях

трябва да извадим всички подреждания, които започват с нула (като

например 04231) – те са 4! = 24. Получаваме 5 4 5! 4! 96P P раз-

лични числа. Друг начин е следният: за цифрата на десетохилядните

имаме избор от четири цифри (без нулата), за цифрата на хилядните

имаме избор отново от четири цифри (нула е възможен избор), за


12

цифрата на стотиците – избор от три цифри, за десетиците – избор от

две цифри и за единиците остава една цифра, т.е. получаваме

4.4.3.2.1 96 .

Определение 8.10. Всеки избор на k елемента от n се нарича из-

вадка на n елемента от k -ти клас. Различаваме четири вида извадки в

зависимост от това дали е от значение или не редът на елементите в

k -орката (наредена или ненаредена извадка) и дали всеки елемент в

извадката може да се среща най-много веднъж или може да се среща

повече пъти (извадка с повторение или без повторение).

8.1.3. Комбинации без повторение


13

Определение 8.11. Всички различни ненаредени извадки без пов-

торение на n елемента от k -ти клас се наричат комбинации без

повторение на n елемента от k -ти клас. Две комбинации без

повторение се различават една от друга по вида на участващите в тях

елементи.

Теорема 8.2. Броят на всички различни комбинации на n елемента

от k -ти клас е ! ( 1) ( 1)

!( )! !

kn

n n n n n kC

k k n k k

Някои по често използвани свойства на биномните коефициенти: 0 1nn nC C ,

1 1nn nC C n .

Пример 8.3. Всички комбинации без повторение на четири еле-

мента , , ,a b c d от втори клас са: , , , , , ab ac ad bc bd cd .


14

Техният брой е шест. Пресмятаме: 24

4.36.

2!C

Следващите три примера са стандартни комбинаторни задачи.

Пример 8.4. Дадени са n точки, никои три от които не лежат на

една права. Броят на правите, които минават през тези точки е равен

на броя на комбинациите на n елемента от втори клас, защото две

точки определят една права без значение на техния ред. Пресмятаме

2 ( 1)

2n

n nC

. За 5n , например, ще получим десет прави.

Пример 8.5. Броят на диагоналите в изпъкнал n-ъгълник е 2( 1) 3

2 2

n n n nn

(от броя на правите изваждаме броя на страните

на многоъгълника).


15

Пример 8.6. Нека е дадено множество от N елемента, M от които

са от тип . Броят на различните ненаредени извадки на n елемента,

в които точно k елемента са от тип е .Ck n kM N MC

.

Пример 8.7. Разпределянето на n различни частици в k големи

клетки (всяка може да съдържа всички частици), така че в първата

клетка да има 1r частици, във втората – 2r частици и т.н., в k -тата – kr

частици и

1

k

ki

r n

, може да стане по 1 2

!

!. ! !k

n

r r r различни начина.

8.1.4. Вариации без повторение


16

Определение 8.12. Всички различни наредени извадки без повто-

рение на n елемента от k -ти клас наричаме вариации без повторение

на n елемента от k -ти клас. Две вариации без повторение се

различават една от друга или по реда на участващите в тях елементи

или по елементите, участващи в тях.

Теорема 8.3. Броят на всички различни вариации без повторение

на n елемента от k -ти клас е ( 1) ( 1)knV n n n k .

Пример 8.8. Броят на различните трицифрени числа, съставени от

различни цифри от цифрите 1, 3, 5, 7, 9 може да се пресметне като

броя на вариациите на пет елемента от трети клас, защото е от

значение позицията на цифрата в числото (числата 537 и 357 са

различни). Този брой е 35 5.4.3 60V .


17

Пример 8.9. Събрание от тридесет души трябва да избере

председател, заместник-председател и секретар, а след това трима

члена на ревизионна комисия. Да преброим начините, по които може

да стане това. Първо от тридесет души избираме трима за

председател, заместник-председател и секретар. Това са вариации,

защото реда на избраните е от значение. От останалите 27 души

трябва да изберем трима за членове (очевидно тук реда на избраните

няма значение). Пресмятаме 3 330 27. 71253000V C .

8.1.5. Вариации с повторение


18

Определение 8.13. Всички различни наредени извадки с повторе-

ние на n елемента от k -ти клас наричаме вариации с повторение на n

елемента от k -ти клас.

Теорема 8.4. Броят на всички различни вариации с повторение на

n елемента от k -ти клас е k knV n .

Пример 8.10. Броя на осембитовите двоични думи е 8 82 2 256V ,

на десетбитовите – 10 102 2 1024V .


19

8.2. Случайни събития. Класическа вероятност

8.2.1. Основни понятия

Основни понятия в теорията на вероятностите са понятията опит,

изход и събитие.

Определение 8.14. Опит се нарича действие, което се извършва

при определени условия. Изход е конкретния резултат, с който опита

завършва. При всяка реализация, опита завършва само с един изход.

Множеството от всички изходи, с които опита завършва се нарича

пространство от елементарните изходи на опита и се означава с .

Определение 8.15. Всеки възможен изход на опита наричаме

елементарно събитие и означаваме с , тоест е пространство на

елементарните събития.


20

Определение 8.16. Нека е пространство от елементарните

изходи на даден опит. Всяко подмножество на се нарича случайно

събитие, тоест A е случайно събитие тогава и само тогава, когато

A.

Като математически обект събитието е множество с елементи

някои от елементарните изходи на опита.

Определение 8.17. Нека A е случайно събитие. Изходите на

опита, които са елементи на събитието A се наричат благоприятни

изходи за A, а останалите изходи се наричат неблагоприятни за A.

Ще казваме че събитието A настъпва, когато единственият изход, с

който опитът завършва е благоприятен за A. Най-често едно събитие

се описва с общите свойства на неговите благоприятни изходи.

Определение 8.18. Множеството от всички елементарни изходи

е събитие (тъй като ), което се благоприятства от всички


21

възможни изходи на опита и следователно настъпва при всяка

реализация на опита. Това събитие се нарича достоверно събитие.

Определение 8.19. Множеството също е събитие (тъй като

), което не се благоприятства от нито един изход на опита и не

настъпва при която и да е негова реализация. Това събитие се нарича

невъзможно събитие.

Определение 8.20. Всяко истинско подмножество A на нарича-

ме случайно събитиe. Елементарното събитие е случайно събитие с

един благоприятен изход.

Пример 8.11. Множеството от елементарни изходи при опита

“хвърля се една монета веднъж върху гладка повърхност” е

{ , }Л Г . Събитието A={пада се лице} има един благоприятен из-

ход {Л}A , 1A .


22


“хвърлят се две различни монети веднъж върху гладка повърхност” е

, , , ЛЛ ЛГ ГЛ ГГ .

Събитието A = {двете монети показват различни страни} има два

благоприятни изхода , A ЛГ ГЛ , 2A . Случайното събитие A

може да се зададе още по следните начини: A = {пада се точно едно

лице} или A= {пада се точно един герб}.

Събитието B={пада се най-много един герб} има три благоприят-

ни изхода , , ЛЛ ЛГB ГЛ , 3B .


“хвърля се зар веднъж“ е 1, 2, 3, 4, 5, 6 .

Събитието A = {падат се четен брой точки} има три благоприятни

изхода 2, 4, 6A , 3A .


23

Събитието B={падат се нечетен брой точки} има също три

благоприятни изхода 1, 3, 5B , 3B .


„хвърляме два различни зара веднъж“ е:

1,1 , 1,2 , , 1,6 , 2,1 , ..., 2,6 , 3,1 , ..., 6,6

6.6 36 изхода.

Събитието A = {поне единия зар показва една точка} = {(1,1),

(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)} има 11

благоприятни изхода, 11A .

Събитието B={сумата от точките на двата зара е 7} = {(1,6), (2, 5),

(3, 4), (4, 3), (5,2), (6,1)} има шест благоприятни изхода, 6B .

Събитието C= {сумата от точките на двата зара е повече от 10} =

{(5,6), (6, 5), (6, 6)} има три благоприятни изхода, 3C .


24

За всички разгледани дотук опити множеството от елементарни

изходи е с краен брой равновероятни изходи, т.е. крайно множест-

во.

В следващият пример ще разгледаме опит с безкрайно изброимо

много елементарни изходи.

Пример 8.15. Две деца хвърлят зар, дотогава, докато се паднат

шест точки. Нека с У („успех“) означим падането на шест точки на

зара, а с Н („неуспех“) – падането на 1, 2, 3, 4 или 5 точки. При този

опит е безкрайно изброимо множество, т.е. = {У, НУ, ННУ, ...}.

Събитието A = {първото дете печели играта} е също безкрайно

изброимо множество и неговите благоприятни изходи са A = {У,

ННУ, ННННУ, ...}.

Както ще видим условието за равновероятни елементарни изходи

на опита е съществено условие в по-нататъшното ни разглеждане. В


25

следващият пример показваме, че има опити, в които това условие не

е изпълнено.


“хвърлят се две еднакви монети веднъж върху гладка повърхност” е

, , ЛЛ ЛГ ГГ . Тъй като монетите са еднакви, то изхода „ЛГ“

очевидно не е равновъзможен на останалите изходи.

8.2.2. Действия със събития

Както вече видяхме случайните събития са множества. Операции-

те с множества – обединение, сечение и разлика се разглеждат като

операции със събития – сума, произведение и разлика на събития.

Нека ,A B са случайни събития.


26

Определение 8.21. Обединение на събитията A и B ( A B) нари-

чаме ново събитие, което настъпва, ако е настъпило поне едно от

двете събития. Благоприятни изходи за A B са всички благоприятни

за A и всички благоприятни за B изходи. Обединението на събития

обикновено се означа със знака „+“ ( A B ).

Определение 8.22. Сечение на събитията A и B ( A B) наричаме

ново събитие, което настъпва, ако са настъпили едновременно и

двете събития. Благоприятни изходи за A B са всички благоприятни

едновременно за A и B изходи. Две събития се наричат

несъвместими, ако A B Сечението на събития обикновено се

означава със знака „.“ ( .A B).

Определение 8.23. Разлика на събитията A и B ( \A B) наричаме

ново събитие, което настъпва, когато настъпва събитието A и не


27

настъпва събитието B. Благоприятни изходи за \A B са всички

благоприятни за A и неблагоприятни за B изходи.

Определение 8.24. Допълнение на събитието A, наричаме събитие-

то \A A Събитието A се нарича още противоположно на A или

отрицание на A. A настъпва тогава и само тогава, когато не настъпва

събитието A. Всички благоприятни изходи за A са неблагоприятни

за A и обратно.

За операциите със събития са валидни следните закони:

Теорема 8.5. За събитията A, B и C са валидни свойствата:

A B B A , A B B A (комутативност);

( ) ( )A B C A B C ,( ) ( C)A B C A B (асоциативност);

( ) ( ) ( )A B C A C B C ,


28

( ) ( ) ( )A B C A C B C (дистрибутивност)

;A B A B A B A B (Закони на де Морган)

Пример 8.17. Да разгледаме отново събитията от Пример 8.14. A={(1,1),(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)};

B = {(1,6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5,2), (6,1)}; C = {(5,6), (6, 5), (6, 6)}.

Тогава: 1,6 , 6,1A B ;B C ;

2, 5 , 3, 4 , 4, 3 , 2\ 5,B A ;

1,6 , 2, 5 , 3, 4 , 4, 3 , 5,2 , 5,6 , 6,1 , 6,5 , 6,6B C .

8.2.3. Класическа вероятност


29

Нека пространство от елементарните изходи на опит

1 2{ , , , }n се състои от краен брой равновъзможни изходи и

нека случайното събитие A има m на брой благоприятни изхода,

т.е. 1 2

{ , , , }mi i iA , или A m .

Определение 8.25. Класическа вероятността на събитието A се

означава с ( )P A и се определя с равенството

( ) .бройблагоприятниизходи за A m

P Aобщбройизходи на n

За вероятността ( )P A на случайното събитие A са в сила следните

свойства:

1. 0 ( ) 1P A , при това ( ) 0P A A и ( ) 1P A A ;

2. ( ) 1 ( )P A P A .


30

Забележка. Условието за това всички изходи на опита да са

равновъзможни е съществено в определянето на класическата

вероятност на едно събитие. Да разгледаме един пример. От кутия,

съдържаща 5 бели и 3 черни топки вадим една топка. Да намерим

вероятността за това извадената топка да е бяла. Очевидно се

състои от всички изходи да извадим бяла топка и от всички изходи

да извадим черна топка. Но ако запишем {б,ч} , очевидно двата

изхода не са равновероятни. Затова определяме по следния начин

1 2 3 4 5 1 2 3{б ,б ,б ,б ,б ,ч ,ч ,ч } , където всичките осем изхода са равно-

вероятни. Тогава събитието A = {извадената топка е бяла} ще се оп-

редели от следните благоприятни изходи 1 2 3 4 5{б ,б ,б ,б ,б }A и

5( )

8P A .


31

Пример 8.18. При хвърляне два различни зара да се намерят веро-

ятностите на събитията A = {поне единият зар показва една точка};

B = {сумата от точките на двата зара е седем}; C = {сумата от точ-

ките на двата зара е повече от десет}; D = {и двата зара показват че-

тен брой точки}.

От Пример 8.14. имаме 11

( )36

P A , 6 1

(B)36 6

P , 3 1

(C)36 12

P .

За да определим ( )P D пресмятаме броя на благоприятните изходи за

D. Всеки зар показва четен брой точки по три различни начина

{2,4,6}, следователно двата зара ще показват едновременно четен

брой точки по 3.3 9D начина. Тогава 9 1

(D)36 4

P .

Пример 8.19. От двадесет ученика случайно се избират шест

ученика за участие в анкета „Спорт, учене и здраве“. Известно е, че


32

дванадесет от всички ученици са активни спортисти. Каква е

вероятността за това:

а) A = {всички избрани за анкетата да са активни спортисти};

б)B = {половината от избраните за анкетата да са активни

спортисти }.

Определяме общия брой изходи на опита от 20 ученика да избе-

рем шест. Реда на избраните е без значение, т.е. имаме комбинации

на 20 елемента от 6-ти клас, 620 38 760C .

a) Имаме дванадесет активно спортуващи и осем, които не се

занимават активно със спорт. Може да изберем шест активно

спортуващи по 612 924C различни начина.

Пресмятаме 612620

924( ) 0,024

38 760

CP A

C .


33

б) Аналогично на a) може да изберем трима активно спортуващи

от общо 12 по 312 220C различни начина и трима, които не спор-

туват по 38 56C различни начина.

Пресмятаме 3 312 8

620

. 220.56(B) 0,318

38 760

C CP

C .

8.2.4. Условна вероятност. Независими събития. Вероят-

ност на сума и произведение от събития

Определение 8.26. Нека B е събитие, за което ( ) 0P B . Условната

вероятност на събитието A, при условие B се означава (A/ )P B и се

дефинира по следния начин ( . )

( / )( )

P A BP A B

P B Ако A и B са събития


34

с ( ) 0P A и ( ) 0P B , то вероятността за съвместното им настъпване

се пресмята по правилото за умножение на вероятности

( . ) ( ). ( / ) ( ). ( / )P A B P B P A B P A P B A . Събитията A и B са незави-

сими, ако ( . ) ( ). ( )P A B P A P B .

Определение 8.27. Нека A и B са произволни събития.

Вероятността за настъпване на поне едно от тях се дава с формулата

( ) ( ) ( ) ( ).P A B P A P B P AB Ако A и B са независими, то

( ) ( ) ( )P A B P A P B .

Пример 8.20. От учениците в едно училище 30% не са участвали в

състезанието „Аз и Европа“, като 25% от участниците в състезанието

са получили награда. Каква е вероятността един случайно избран

ученик да е награден?


35

Означаваме с A = {избрания ученик е участвал в състезанието}, B

= {избрания ученик е награден}. Търсим (A. )P B . Имаме

( ) 1 ( ) 1 0,3 0,7P A P A . Освен това е дадено, че ( / ) 0,25P B A .

Тогава ( . ) ( ). ( / ) 0,7. 0,25 0,175P A B P A P B A .

Пример 8.21. В една кутия има 9 бели и 11 черни топки. Изваждат

се една след друга две топки без връщане, каква е вероятността на

събитието A = {двете извадени топки са бели}?

Означаваме с iA = {i-тата топка е бяла}, 1, 2i . Тогава iA = {i-тата

топка е черна}, 1, 2i . Търсим 1 2 1 2 1 . ( ) ( ) . /( ) ( )P A P A A P A P A A .

Имаме 19

20P A , а 2 1

8/

19P A A , тъй като сме избрали една


36

бяла топка, са останали 19 топки, от които 8 са бели. Пресмятаме

1 2 18

. / . 0, 1899

( )1920

P A P A P A A .

Пример 8.22. Вероятността акционер да получи високи дивиденти

от една фирма е 0,65, а от друга – 0,75. Каква е вероятността

акционерът да получи високи дивиденти поне от едната фирма.

Означаваме с iA = {получени са високи дивиденти от i-тата фирма},

1, 2i . Тогава 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A A P A P A P A A . Изчисляваме

1 2 0,75 0,65 – 0,65.0,75( 0,9 5) 12P A A .

8.2.5. Формула за пълната вероятност. Формула на Бейс.

Вероятности при многократни опити


37

Нека е множеството от възможни изходи на даден опит.

Определение 8.28. Събитията 1 2, , , nH H H образуват пълна

група от събития (ПГС), ако са изпълнени:

1) .i jH H за всяко , , 1i j i j n , т.е. те са две по две несъв-

местими;

2)

1

n

i

i

H

(обединението им е ), т.е. имаме

1

( ) 1n

ii

P H

Теорема 8.6. Нека 1 2, , , nH H H са пълна група от събития и

събитието A настъпва след настъпването на някое от събитията от


38

пълната група. Тогава вероятността на A се пресмята по формулата

за пълната вероятност

1

( ) ( ). ( / )n

i ii

P A P H P A H

.

Теорема 8.7. Нека 1 2, , , nH H H са пълна група от събития. Ако

събитието A е настъпило, то вероятността /iP H A за всяко 1i n

се пресмята по формулата на Бейс:

1

( ). ( / ) ( ). ( / )( / )

( )( ). ( / )

i i i ii n

i ii

P H P A H P H P A HP H A

P AP H P A H

.


39

Пример 8.23. В една кутия има 8 бели и 2 черни топки, а в друга –

4 бели и 6 черни топки. Случайна топка от първата кутия е

прехвърлена във втората. Ако от втората кутияизбираме топка:

а) Каква е вероятността тя да е бяла? А черна?

б) Нека сме извадили бяла топка от втората кутия. Каква е

вероятността прехвърлената топка от първата кутия също да е била

бяла?

Означаваме с 1H = {прехвърлената топка от първата кутия е

бяла}, 2H = {прехвърлената топка е от първата кутия е черна}.

Очевидно събитията 1H и 2H образуват пълна група от събития. Нека

A = {извадената топка от втората кутия е бяла}. Удобно е да

запишем вероятностите в таблица.


40

( )iP H Състав на 2-та кутия след iH 1(A/ )P H

18

( )10

P H 5 бели, 6 черни 15

(A/ )11

P H

22

( )10

P H 4 бели, 7 черни 24

(A/ )11

P H

а) 1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )P A P H P A H P H P A H

8 5 2 4 48 24. .

10 11 10 11 110 55

.

За пресмятане на P A имаме 24 31

1 ( ) 155 55

P A P A .

б) Търсим 2( / A)P H по формулата на Бейс:


41

2 22

1 1 2 2

2 4.

1( ) ( / ) 10 11( / )( ) ( / ) ( ) ( / ) 24 6

55

P H P A HP H A

P H P A H P H P A H

.

За 1( / A)P H имаме 1 21 5

( / ) 1 ( / ) 16 6

P H A P H A .

8.2.6. Вероятности при многократни опити

Определение 8.29. Всяка редица от n независими опита, при всеки

от които събитието A настъпва с една и съща вероятност ( )P A p ,

( 1 )P A p q , се нарича редица от опити на Бернули или схема

на Бернули. Схема на Бернули означаваме: ( , )B n p .


42

Настъпването на събитието A ще наричаме успех, а неговото не

настъпване, т.е. настъпването на A – неуспех.

Теорема 8.8. Вероятността за настъпване на n успеха в схема на

Бернули ( , )B n p се пресмята по формулата: ( ) k k n kn nP k C p q за всяко

0, ,k n .

Числата ( )nP k се наричат още биномни вероятности. За тях са в

сила редица свойства, някои от често използваните са:

2

1

1 2( ) ( )

k

n nk k

P k k k P k

; P (k 1) 1 nn q ;

0

( ) 1n

nk

P k

.

На Фиг. 1 и Фиг. 2 са показани биномните вероятности за всяко

0, ,k n при схема на Бернули (20,3 / 5)B и (10,7 /11)B съответно.


43

Фиг. 1

Схема на Бернули (20,3 / 5)B

Фиг. 2.

Схема на Бернули (10,7 /11)B

Числото 0k , за което биномната вероятност 0( )nP k е има най-

голяма стойност се нарича най-вероятен брой успехи за схемата на

Бернули ( , )B n p .


44

Да означим най-вероятния брой успехи за схема на Бернули с

( , )B n p с m, т.е. 0

( ) max ( )nk n

P m P k

.

Най-вероятният брой успехи m e решението в цели числа на

системата неравенства 1 1 ( 1)n p m n p .

Ако 1n p е дробно число, то m е единствено (виж. Фиг.1,

12m ), ако 1n p е цяло число, то за m имаме две стойности

1 ( 1)m n p и 2 ( 1) 1m n p , като 1 2( ) ( )n nP m P m , т.е. имаме два

най-вероятни броя на успехите (виж. Фиг.2, 1 26, 7m m ).

Независими опити имаме при всички извадки с връщане, хвърляне

на зар няколко пъти и др.

Пример 8.24. Зар се хвърля пет пъти. Да се намерят вероятностите

на събитията:


45

а) B = {шест точки се падат само първия и третия път };

б) C = {шест точки се падат само втория и петия път };

в) D = {шест точки се падат два пъти};

г) E = {шест точки се падат четири пъти};

д) F = {шест точки точки се падат най-много три пъти};

е) G = {шест точки се падат поне веднъж}.

Нека определим събитието A = {падат се шест точки} при

хвърляне на зар веднъж. Хвърлянето на зара пет пъти създава редица

от опити на Бернули – опитите са независими и при всеки опит

вероятността на A е ( ) 1/ 6P A , т.е. имаме (5,1/ 6)B (вероятността за

успех е 1/ 6p , а за неуспех е 1 5 / 6q p .


46

а) Тогава

2 31 5 1 5 5 1 5

( ) . . . . .6 6 6 6 6 6 6

P B

б)

2 35 1 5 5 1 1 5

(C) . . . . .6 6 6 6 6 6 6

P

, т.е. за еднакъв броя на успехите

(в случая за два успеха) вероятностите са равни, независимо от

избора на двете места, където да се случат успехите.

в) Тук трябва да определим вероятността точно два пъти да се

паднат шест точки (без да са определени техните места). Шест точки

могат да се паднат два пъти на: първо и второ, първо и трето и т.н.

възможни места, като за всеки два успеха вече видяхме, че

вероятността е една и съща. При пет опита имаме 25C на брой


47

възможни места да се случат двата успеха. Тогава P(D) = P5 (2) = 2 3

25 5

1 5P(D) P (2) C 0,161

6 6

.

г) Аналогично на в) имаме

4 14

5 51 5

P(E) P (4) C 0,00326 6

.

д)

53

50

1 5( ) C 0,997

6 6

k kk

k

P F

.

е)

55

51

1 5( ) C 0,598

6 6

k kk

k

P G

.


48

( )P G може да се пресметне и така: P(G)= 0 5

05 5

1 5( ) 1 (0) C 1 0,402 0,598

6 6P G P

.

Пример 8.25. Вероятността оператор да допусне грешки при набор

на текст с формули за всяка страница е една и съща и тя е 0,3. Ако

операторът е набрал 10 страници, намерете вероятността на

събитията:

а) има грешки на три страници;

б) има грешки на шест страници;

в) страниците с грешки са между 3 и 6;

г) страниците са не повече от 7;

д) страниците с грешки са не по-малко от 5;


49

е) намерете най-вероятния брой сгрешени страници.

Имаме схема на Бернули (10, 0,3)B .

а) 3 73

10 10P (8) C 0,3 0,7 0,267 ;

б) 6 46

10 10P (6) C 0,3 0,7 0,0368 ;

в) 6

1010

3

C 0,3 0,7 0,607k kk

k

;

г) 7

1010

0

C 0,3 0,7 0,998k kk

k

;

д) 10

1010

5

C 0,3 0,7 0,150k kk

k

;


50

е) Пресмятаме ( 1) (10 1).0,3 3,3n p , което не е цяло число.

Следователно, най-вероятният брой сгрешени страници е единстве-

ното цяло число m, за което 2,3 3,3m , т.е. 3m . Това може да

видим и от графиката на Фиг.3.

Фиг. 3. Схема на Бернули (10, 0,3)B


51

Пример 8.26. От пълна колода (52) карти по случаен начин с

връщане се избират 15 карти. Намерете вероятността на събитията:

а) сред избраните карти има точно три пики;

б) сред избраните карти има точно осем пики;

в) броят на пиките сред избраните карти е между пет и девет;

г) броят на пиките сред избраните карти е повече от седем;

д) намерете най-вероятния брой пики в извадката.

Тъй като извадката е с връщане, имаме независими опити по

схема на Бернули, при които вероятността за успех 13 1

52 4p , а

вероятността за неуспех 3

14

q p .


52

а)

3 123

15 151 3

P (3) C 0,2254 4

;

б)

8 78

15 151 3

P (8) C 0,01314 4

;

в)

159

155

1 3C 0,313

4 4

k kk

k

;

г)

1515

157

1 3C 0,0566

4 4

k kk

k

;


53

д) Пресмятаме ( 1) (15 1).0,25 4n p – следователно, най-

вероятният брой пики в извадката е три или четири. Това може да

видим и от графиката на Фиг.4.

Фиг.4 (15, 0,25)B

За определени n и p в схемата на

Бернули (n, )B p , биномната

вероятност P (k)n във Wolfram

Mathematica се пресмята с

оператора

PDF[BinomialDistribution[n,p],k].


54

8.3. Случайни величини. Числови характеристики на слу-

чайни величини

8.3.1. Случайни величини. Основни понятия

Определение 8.30. Величина, която в зависимост от резултата на

опита, приема по случаен начин някоя числова стойност от

определено множество на реалните числа, неизвестно коя преди

опита, се нарича случайна величина.

Случайна величина, която приема краен брой или безброй

изброимо много стойности се нарича дискретна случайна величина.

Случайна величина, която приема безброй неизброимо много


55

стойности, запълващи определен интервал от реалната права, се

нарича непрекъсната случайна величина.

Обикновено дискретните случайни величини се получават в

резултат на изброяване. Те обикновено са брой на определени

единици – брой на ражданията, брой на гласоподавателите, брой

кредити и т.н. Непрекъснатите случайни величини обикновено се

получават в резултат на измервания на ръст, на тегло, на добив и т.н.

Определение 8.31. Функцията ( )F x , която показва за всяка стой-

ност на ( , )x вероятността случайната величина да приема

стойности по-малки от x, се нарича функция на разпределение на

случайната величина , т.е. ( ) ( )F x P x .

По-важните свойства на функцията на разпределение ( )F x са:

0 ( ) 1F x ,за всяко ( , )x ;


56

( )F x е монотонно растяща в ( , ) , т.е. за всяко 1x и

2 ( , )x , от 1 2x x 1 2( ) ( )F x F x ;

lim ( ) 0, lim ( ) 1;x x

F x F x

( ) 1 ( )P x F x .

Една случайна величина е напълно определена, ако е известна

нейната функция на разпределение.

От определението и свойствата на функцията на разпределение

( )F x следва, че вероятността на събитието ( )P a b се пресмята

по следният начин ( ) ( ) ( )P a b F b F a .


57

8.3.2. Дискретни случайни величини. Числови

характеристики

Дискретната случайна величина е напълно определена, ако са

известни всички стойности, които тя може да приема и

вероятностите, с които тя приема тези стойности. Тук ще

разглеждаме дискретни случайни величини (съкратено д.сл.в.), които

имат краен брой стойности.

Нека д.сл.в. приема краен брой стойности 1 2, , , n със

съответни вероятности 1 2, , , np p p т.е. ( )i ip P . Вероятности-

те ip са свързани със стойностите i чрез закон за разпределение на

д.сл.в., представен в табличен вид:


58

i 1 2 n

( )i ip P 1p 2p np

За закона за разпределение на д.сл.в. са в сила следните свойства:

1 21

... 1n

i ni

p p p p

;

:

( )

i

i

ii

a b

P a b p

Както функцията на разпределение ( )F x , така и закона за

разпределение определят еднозначно дискретната случайна


59

величина. Както от функцията на разпределение може да получим

закона за разпределение на сл. величина, така и при даден закон на

разпределение може да определим функцията на разпределение

( )F x . Тя се получава, като се има предвид, че събитието x

настъпва само когато приема някоя от възможните си стойности,

по-малки от x, т.е.

:

( )

i

ii x

F x p

.

За ( )F x получаваме:


60

1

1 1 2

1 2 2 3

1 2 1 1

0,

,

,( )

,

1,

n n n

n

x

p x

p p xF x

p p p x

x

Графиката на функцията на разпределение има стъпаловиден вид:


61

Пример 8.27. Хвърлят се два различни зара. Определена е случай-

ната величина = {абсолютната стойност на разликата на падналите

се точки}. Да се намери законът за разпределение и функцията на

разпределение на случайната величина. Да се пресметне:

а) ( 3)P ; б) (2 4)P ; в) ( 3)P ; г) (2 4)P ; д) ( 2)P .


62

Да съставим таблицата на абсолютните стойности на разликата на

падналите се точки

- 1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 4 5

2 1 0 1 2 3 4

3 2 1 0 1 2 3

4 3 2 1 0 1 2

5 4 3 2 1 0 1

6 5 4 3 2 1 0

Възможните стойности на са 0, 1, 2, 3, 4, 5. Нанасяме ги в

таблица с техните вероятности:


63

i 0 1 2 3 4 5 0, 0

1/ 6, 0 1

4 / 9, 1 2

( ) 2 / 3, 2 3

5 / 6, 3 4

17 /18, 4 5

1, 5

x

x

x

F x x

x

x

x

ip 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36

За ( )F x получаваме стъпаловидна-

та функция:


64

а) От свойствата на функцията на разпределение имаме 24 2

( 3) (3) 0,66736 3

P F . Тази вероятност може да пресмет-

нем и от закона на разпределение на случайната величина като при-

ложим свойство 2:

:3

24( 3) (0) (1) (2) 0,667

36i

i

ii

P p p p p

.

б) От свойствата на функцията на разпределение имаме 30 16 14 7

(2 4) (4) (2) 0,38936 36 36 18

P F F .

Аналогично на а) може да пресметнем вероятността

: , 2 4

8 6 14(2 4) (2) (3) 0,389

36 36 36i i

ii

P p p p

;


65

в) От свойствата на функцията на разпределение получаваме 16 20 5

( 2) 1 (2) 1 0,55636 36 9

P F или, може да пресметнем

:2

20( 2) (2) (3) (4) p(5) 0,556

36i

i

ii

P p p p p

.

г) Като имаме предвид нестрогите неравенства получаваме: 34 24 10 5

(2 4) (4 ) (2 ) 0,27836 36 36 18

P F F или от з.р.

: ,2 4

6 4 10(2 4) (3) (4) 0,278

36 36 36i

i

ii

P p p p

.


66

д) Като имаме предвид строгото неравенство, пресмятаме 24 12 1

( 2) 1 ( 2) 1 (2 ) 1 0,33436 36 3

P P F или

: , 2

6 4 2 12( 2) (3) (4) p(5) 0,334

36 36 36 36i i

ii

P p p p

.

Пример 8.28. Дискретната слу-

чайна величина е зададена с фун-

кцията си на разпределение (x)F :

а) Намерете закона за разпреде-

ление на случайната величина;

б) Намерете следните вероятнос-

ти (2 5)P и ( 2)P .

0, 2

0,1, 2 4

( ) 0,4, 4 5

0,6, 5 6

1, 6

x

x

F x x

x

x


67

Задачата е обратна на тази от Пример 4.1. Стойностите на ξ са

точките на прекъсване на (x)F , т.е. има стойности 2, 4, 5 и 6.

Вероятностите ( )iP се пресмятат от функцията на разпределение

по следния начин: ( ) ( ) ( ) ( )i i i i iP P F F .

Последователно намираме:

( 2) (2 ) (2) 0,1 0 0,1P F F ;

( 4) (4 ) (4) 0,4 0,1 0,3P F F ;

( 5) (5 ) (5) 0,6 0,4 0,2P F F ;

( 6) (6 ) (6) 1 0,6 0,4P F F


68

Попълваме резултатите в таблица:

i 2 4 5 6

( )i ip P 0,1 0,3 0,2 0,4

б) (2 5) (5 ) (2) 0,6 0 0,6P F F

( 2) 1 ( 2) 1 (2 ) 1 0,1 0,9P P F

( 2) 1 ( 2) 1 ( 2) 1 0,1 0,9P P P .

Определение 8.32. Математическото очакване E на дискретно

разпределената случайна величина е равно на сумата от про-


69

изведенията на всички нейни възможни стойности и съответните им

вероятности, т.е.

1

.n

i ii

E p

.

Математическото очакване притежава следните свойства:

1) ( )EC C C const

2) ( )E E E

3) .E E E , при и – независими.

Определение 8.33. Математическото очакване на случайната

величина 2( )E се нарича дисперсия D на случайната величина .


70

За дискретно разпределена случайна величина дисперсията се

пресмята по формулата: 2

1

( E ) .n

i ii

D p

.

От свойствата на математическото очакване още следва, че D

може да се пресметне и по следния начин: 2 2

1

. ( )n

i ii

D p E

.

Определение 8.34. Стандартно отклонение на случайната величина

се нарича числото D .

Дисперсията притежава следните свойства:

0D за произволна случайна величина

0DC

2( )D C C D


71

1 2 1 2( )D D D , ако 1 и 2 са независими.

Пример 8.29. Да се пресметнат математическото очакване,

дисперсията и стандартното отклонение на случайните величини от

Пример 4.1. и 4.2.

За случайната величина от Пример 4.1. премятаме: 6

1

6 10 8 6 4 2 35. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 1,944

36 36 36 36 36 36 18i i

i

E p

62 2 2 2

1

35 6 35 10 35 8( E ) . (0 ) . (1 ) . (2 ) .

18 36 18 36 18 36i i

i

D p

2 2 235 6 35 4 35 2 35(3 ) . (4 ) . (5 ) . 2,052

18 36 18 36 18 36 18 или


72

62 2 2 2 2 2

1

6 10 8 6. ( ) 0 . 1 . 2 . 3 .

36 36 36 36i i

i

D p E

22 24 2 35

4 . 5 . 2,05236 36 18

Пресмятаме 2,052 1,432D .

За случайната величина от Пример 4.2. пресмятаме: 4

1

. 2.0,1 4.0,3 5.0,2 6.0,4 4,8i ii

E p


73

6

22 2 2 2 2 2

1

. ( ) 2 .0,1 4 .0,3 5 .0,2 6 .0,4 4,8 1,56i ii

D p E

Съответно 1,56 1,249D .


74

8.3.3. Биномно разпределена дискретна случайна величи-

на

Определение 8.35. Случайната величина има биномно разпреде-

ление с параметри n и p (означаваме ( , )Bi n p ), ако приема стойнос-

ти 0, 1, , ,k n с вероятности ( ) ( ) , 1 .k k n kn nP k P k C p q q p

Случайна величина с такова разпределение има смисъл на брой

„успехи” в схема на Бернули ( , )B n p .

Законът на разпределение на ( , )Bi n p има вида:

i 0 1 k n

ip (1 )np 1(1 )nnp p (1 )k k n k

nC p p np


75

Математическото очакване и дисперсията на ( , )Bi n p се

пресмятат съответно по формулите: .E n p и . .D n p q .

Пример 8.30. Баскетболист стреля в кош с вероятност за улучване

при всеки опит равна на 0,85.

а) Напишете закона за разпределение на сл. в. =„брой попаде-

ния в коша при десет опита”;

б) Намерете очакваният брой попадения в коша;

в) Намерете вероятността броят на попаденията да е поне пет и не

повече от осем;

г) Намерете вероятността броят на попаденията да е поне седем;

д) Намерете дисперсията и стандартното отклонение на .


76

а) Случайната величина (10;0,85)Bi , тъй като опитите са

независими и при всеки опит вероятността за успех (да улучи коша) е

една и съща 0,85p .

Законът за разпределение на случайната величина (10;0,85)Bi е 10

10 10( ) ( ) 0,85 0,15k k kP k P k C , за всяко 0, 1, , , 10k .

Както видяхме от 3.2. таблицата на закона за разпределение на

може лесно да се пресметне с Wolfram Mathematica с

Table[{k,PDF[BinomialDistribution[10,0.85],k]},{k,0,10,1}],


77

както и да се визуализират точките с координати 10( , ( ))k P k , както е

показано на Фиг. 5. Линията, свързваща тези точки (Фиг. 6) се нарича

полигон на разпределение на случайната величина.

Фиг. 5 Закон на разпределение

на (10;0,85)Bi

Фиг. 6 Полигон на ( , )Bi n p


78

б) Математическото очакване, или очакваният брой попадения в

коша, пресмятаме от формулата . 10.0,85 8,5E n p . Може да

пресметнем математическото очакване и с Wolfram Mathematica

Mean[BinomialDistribution[10,0.85]].

в) Вероятността (5 8)P намираме като сума от биномните

вероятности: 7

1010

5

(5 8) (0,85) .(0,15) 0,178.k k k

k

P C

Във Wolfram Mathematica използваме вградените функциии

PDF[dist,x](probability density function) за ( )P x и CDF[dist,x]

(Cumulative Distribution Function) за ( ) ( )F x P x , т.е.за разглеж-

дания пример: Sum[PDF[BinomialDistribution[10,0.85],k],{k,5,7}]) или


79

CDF[BinomialDistribution[10,0.85],7] –

CDF[BinomialDistribution[10,0.85],4].

г) Вероятността ( 7)P намираме като сума от биномните вероят-

ности 10

1010

7

( 7) (0,85) .(0,15) 0,95.k k k

k

P C

д) Дисперсията D пресмятаме . . 10.0,85.0,15 1,275.D n p q Стан-

дартното отклонение 1,129.npq

Във Wolfram Mathematica използваме вградените функциии

Variance [dist] за пресмятане на дисперсия и StandardDeviation[dist]

за пресмятане на стандартно отклонение. В разглежданият пример за

дисперсията и стандартното отклонение имаме съответно:

Variance[BinomialDistribution[10,0.85]]


80

StandardDeviation[BinomialDistribution[10,0.85].

8.3.4. Геометрично разпределена дискретна случайна

величина

Определение 8.36. Случайната величина = „брой неуспехи до

поява на първия успех в схема на Бернули ( , )B n p ” е геометрично

разпределена случайна величина с параметър p, т.е. приема

стойности 0, 1, ,k с вероятности ( ) (1 )kP k p p . Означаваме

( )Ge p .


81

Математическото очакване и дисперсията на величината (p)Ge

са съответно 1 p

Ep

и 2

1 pD

p

.

Често се разглежда случайната величина 1 , където = „брой

опити до първия успех (включително)”, т.е. приема стойности 1, 2,

3, …, с вероятности 1( ) (1 ) .kP k p p . Математическото очакване

и дисперсията на величина са 1

Ep

и 2

1 pD

p

.

Пример 8.31. За започване на игра се хвърля се зар до поява на

шест точки:

а) да се влезе в играта при петото хвърляне на зара;

б) намерете вероятността за това да се влезе в играта преди седмо-

то хвърляне на зара;


82

в) намерете очаквания брой хвърляния на зара до влизане в игра-

та.

Нека = „брой хвърляния до падане на шест точки“.

Вероятността за „успех“, т.е. да се паднат шест точки е 1

6p .

Тогава 1/ 6Ge .

а) Тъй като шест точки трябва да се паднат при петия опит, то

броят на неуспехите е четири, т.е. търсим вероятността4

4 5 1( 4) (1 ) . . 0,08

6 6P p p

. С Wolfram Mathematica пресмя-

таме PDF[GeometricDistribution[0.4],4].

б) Търсим 7

0

( 7) (1 ) . 0,767k

k

P p p

.


83

С Wolfram Mathematica:

Sum[PDF[GeometricDistribution[1/6],k],{k,0,7}].

в) 1 1 1/ 6

51/ 6

pE

p

, т.е. за влизане в играта средният брой

неуспешни хвърляния е 5.

С Wolfram Mathematica Mean[GeometricDistribution[1/6]].

Дисперсията пресмятаме по формулата 2 2

1 1 1/ 630

(1/ 6)

pD

p

.

С Wolfram Mathematica Variance[GeometricDistribution[1/6]].

За стандартното отклонение получаваме 30 5,48D .

С Wolfram Mathematica

StandardDeviation[GeometricDistribution[1/6]].


84

8.3.5. Непрекъснати случайни величини. Числови харак-

теристики

Непрекъснатите случайни величини приемат стойности в опреде-

лен интервал от числовата ос. Зависимостта между стойностите на

случайната величина и техните вероятности се задава с функция, на-

речена плътност на разпределение ( )f x , за която е в сила равенство-

то ( ) 1f x

. Следователно лицето под графиката на функцията

( )f x е равно на единица. Функцията на разпределение

( ) ( )F x P x се дефинира като функция на горната граница на ин-


85

теграла (откъдето следват и част от нейните свойства, като

непрекъснатост и диференцируемост), а именно: ( ) ( )

x

F x f t dt

.

Оттук следва, че ( ) '( )f x F x . Непрекъснатата случайна величи-

на е напълно определена, ако е известна нейната функция на

плътността или нейната функция на разпределение. Както и при

дискретните случайни величини, ако знаем едната от тях може да

намерим другата, и обратно.

Вероятността на събитието a b се пресмята като интеграл от

функцията на плътността: ( ) ( ) ( ) ( )

b

a

P a b F b F a f x dx .


86

Математическото очакване, дисперсията и стандартното отклоне-

ние на непрекъснато разпределена случайна величина се пресмятат

съответно:

. ( )dxE x f x

;

2 2 2( ) . ( )dx . ( )dx (E )D x E f x x f x

;

D .

Нека случайната величина има функция на разпределение

( )F x P x . Стойността x (0 1 ) се нарича –квантил на

разпределението на , ако е изпълнено ( ) { }F x P x .


87

Квантила 0,5x се нарича медиана и се означава с Md. Квантилите

0,25x , 0,50x , 0,75x се наричат квартили, а квантилите 0,1x , 0,2x , 0,3x ,

0,4x , 0,5x , 0,6x , 0,7x , 0,8x , 0,9x се наричат децили.

8.3.6. Нормално разпределена случайна величина

Определение 8.37. Непрекъснатата случайна величина е разпре-

делена по нормален (гаусов) закон с параметри и , означаваме

( , )N , ако има плътност на разпределение 2( )

221

( ) , ( , )2

x

f x e x

.


88

Графиката на ( )f x е камбановидна крива, симетрична относно

правата x с височина 1

2h

. От условието ( ) 1f x

следва,

че с увеличаване на , височината на „камбанката“ намалява и за да

остане лицето под графиката константа, кривата става по-ниска и по-

широка. Обратно, намаляването на води до по-висока и по-тясна

камбановидна крива. Това може да видим от графиката на ( )f x за

различните при фиксирано .


89

Plot[PDF[NormalDistribution[1,3],x],

{x,-4,4}

Параметрите и съвпадат с основните числови характеристики

на ( , )N , т.е. E , D .

При стойности на параметрите 0 и 1 , разпределението на

сл.в. (0,1)Z N се нарича стандартно нормално разпределение. За

стандартното нормално разпределение е прието функцията на раз-

пределение ( )F x да се означава с ( )x , а плътността ( )f x да се

означава с (x) .


90

Функция на разпределение на стандартната нормална величина

(0,1)Z N е

2

21

( ) ( )2

tx

x P Z x e dt

.

Стойностите на (x) за всяко

( , )x определят лицето на

защрихованата част на фигурата.

За [0, )x стойностите на ( )x дадени в таблица: Приложение

1. За пресмятане на ( )x се използва формулата ( ) 1 ( )x x .


91

Ако е нормално разпределена случайна величина с параметри

и , т.е. ( , )N , то случайната величина

е стандартно

нормално разпределена, т.е (0,1)Z N

.

Пример 8.32. За нормално разпределената случайна величина

(0,1)Z N , пресметнете:

a) ( 1,67)P Z ; б) ( 0,28)P Z ; в) (0,32 1,5)P Z .

а) От Приложение 1, имаме ( 1,67) (1,67) 0,95254P Z


92

С Wolfram Mathematica същото може да пресметнем

CDF[NormalDistribution[],1.67]. Тук NormalDistribution[] (без пара-

метри) задава стандартно нормално разпределение.

б) Пресмятаме чрез таблицата от Приложение 1

( 0,28) ( 0,28) 1 (0,28) 1 0,61 0,39.P Z Може да пресметнем

директно с Wolfram Mathematica: CDF[NormalDistribution[],-0.28].

в) Пресмятаме (0,32 1,5) (1,5) (0,32) 0,933 0,6255 0,3075P Z

или с Wolfram Mathematica: CDF[NormalDistribution[],1.5]-

CDF[NormalDistribution[],0.32].

Пример 8.33. Случайната величина е нормално разпределена с

параметри 50 и 2 25 . Намерете вероятността:

а) (45 48)P ; б) (52 60)P ; в) ( 54)P .


93

От условието имаме (50,5)N . За да намерим търсените вероят-

ности, трябва да преминем към стандартно нормално разпределение 50

(0,1)5

Z N

.

а) 45 50 50 48 50

(45 48) ( ) ( 1 0,4)5 5 5

P P P Z

( 0,4) ( 1) 1 (0,4) (1 (1)) (1) (0,4) 0,8413 0,6554 0,1859.

Може да пресметнем с Wolfram Mathematica, без да преминаваме

към стандартно нормално разпределение:

CDF[NormalDistribution[50,5],48]-CDF[NormalDistribution[50,5],45].

б)

52 50 50 60 50(52 60) ( ) (0,4 2)

5 5 5P P P Z


94

(2) (0,4) 0,9772 0,6554 0,3218.

в)50 54 50

( 54) 1 ( 54) 1 ( ) 1 ( 0,8)5 5

P P P P Z

1 (0,8) 1 0,788 0,212. Пример 8.34. Точките от проведени състезания с ученици от

девети клас е нормално разпределена случайна величина (150,20)N

. Ръководството на училището трябва да определи 30-те процента

ученици с най-висок брой точки за участие в националното

състезание. Да се определи колко е минималният брой точки, който

трябва да има ученик, за да участва в състезанието.

Нека означим минималния брой точки с 0x . Търсим 0( ) 0,3P x

или 0( ) 0,7P x , т.е. търсим 0,7 квантил на или 0,7 ?x


95

0 150150( ) 0,7

20 20

xP

, т.е. 0 150( ) 0,7

20

xP Z

0 00

150 150( ) 0,7, 0,52, 0,52.20 150 160,4

20 20

x xx

.

С Wolfram Mathematica може директно да използваме вградения

оператор: Quantile[NormalDistribution[150, 20], 0.7], от където полу-

чаваме 160.488 за търсения брой точки. В отговор – учениците, които

имат повече от 161 точки са търсените 30% от най-успелите и могат

да участват в националното състезание.

8.3.7. Локална и интегрална гранични теореми

Биномните вероятности ( ) . . , 0,k k n kn nP k C p q k n при големи n

(освен в случаите, когато n , np и може да използваме


96

Поасоновото приближение ( ) , 0,1,!

k

nP k e kk

,) може да се

апроксимира с нормално разпределение. Използваните асимптотични

формули са известни като локална гранична теорема за апрок-

симация на вероятностите ( )nP k за фиксирано k и интегрална гра-

нична теорема за апроксимация на вероятностите (a )nP k b .

Теорема 8.9. Локална гранична теорема (Моавър-Лаплас)

В схема на Бернули ( , )B n p при n , за биномните вероятности

( )nP k е в сила 1

( )nk npq

P knpq npq

.


97

Теорема 8.10. Интегрална гранична теорема В схема на Бернули

( , )B n p при n , за биномните вероятности (a )nP k b е в сила

( )nb np a np

P a k b Ф Фnpq npq

.

Пример 8.35. Монета се хвърля 12 100 пъти. Да се определи

вероятността герб да се падне между 6125 и 6725 пъти.

Имаме схема на Бернули (12 100;0,5)B ( 12 100n , 0,5p ).

Търсената вероятност може да бъде пресметната чрез интегралната

гранична теорема.

Пресмятаме . 6050n p и 3025 55npq .

Тогава имаме:


98

12100(6125 6725)P k 6725 6050 6125 6050

55 55Ф Ф

(12,27) (1,36) 1 0,913085 0,086915Ф Ф .


99

С Wolfram Mathematica по-

казваме, че при големи n гра-

фиката на биномното разпре-

деление се доближава до гра-

фиката на нормалното.

Локалната и интегрална гранични теореми показват съществената

роля на величините с нормално разпределение

Documents

СЪДЪРЖАНИЕ ЛЕКЦИЯ 8fmi-plovdiv.org/evlm/DBbg/database/courses_PM2/7-8... · Пример 8.8. Броят на различните трицифрени числа,