Математический

турнирдля учащихся 9 классов

2 апреля 2013г.

Мы рады встрече с вами

1. Решение задач следует записывать на специальных бланках ( которыми можно будет пользоваться при выступлении)

2. Выступать с докладом и оппонированием должны разные члены команды

3. Запрещается общение с кем- либо кроме членов своей команды и жюри

Правила турнира

• 45 минут на решение всех задач своей лиги

• 45 минут – защита решений и оппонирование по задачам своей лиги

Регламент турнира

Порядок выступления команд лиги Б определяется жеребьевкойНе забывайте подписывать каждый

бланк с решением

Рейтинг задач

Правила соревнования

• Жребием определяется порядок рассмотрения задач ( порядок выступления команд был объявлен ранее, теперь мы узнаем какая задача какой команде достается)

• Команды ( по жребию) выставляют своего докладчика или оппонента.

• Цель докладчика: рассказать все правильно, полно и доходчиво.

• Цель оппонента: найти как можно больше ошибок и неточностей в выступлении докладчика.

Правила соревнования

Правила соревнования возможные варианты распределения баллов

Балл докладчика

Балл оппонента

Комментарии

3 3 В докладе все верно и четко, ошибок нет. Оппонент оценил решение как верное.

0 3 В докладе было приведено ошибочное решение. Оппонент указал на все неточности.

3 0 Задача решена верно, оппонент с решением не согласился.

1-2 1-2 В выступлении оппонента и докладчика содержались неточности.

•  Докладчик иллюстрирует свое решение с помощью документ камеры по заготовками, сделанными в процессе решения.

• Оппонент в своем выступлении должен только указывать на ошибки, но не рассказывать правильного решения ( если такового не было в докладе)

• В ходе выступления докладчика оппонент имеет право задавать уточняющие вопросы: «Правильно ли я Вас понял, что….», «Повторите, пожалуйста, еще раз фразу о …..»…

• Диалог ведут только 2 выступающих• После выступления докладчика и его оппонента каждая из

команд оценивает выступление (в баллах). Если оценки команды совпадут с оценками жюри, то команда получает дополнительный балл.

 

Правила соревнования

Площадь квадрата равна 144 см2. В квадрат вписана окружность. Вычислите площадь равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность.

Задание 1

Задание 1 (Решение)

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны.

Задание 2

Медиана СМ прямоугольного треугольника АВС, проведённая к гипотенузе АВ, разбивает данный треугольник на два треугольника АСМ и ВСМ, у которых общая высота СН проведена к равным основаниям АМ и МВ (т. к. М-середина АВ по определению медианы). Следовательно, площади данных треугольников равны (площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию).

Задание 2 (Доказательство)

В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна 15 и перпендикулярна большей боковой стороне. Меньшая сторона трапеции равна 12. Найдите большее основание трапеции.

Задание 3

1) Пусть CF – высота. ABCF – прямоугольник (ВА || СF , СF = ВА = 12

- расстояние между параллельными прямыми, угол B равен 90°).

2) Пусть ВС = АF = х (противоположные стороны прямоугольника).

В прямоугольном треугольнике ACF по теореме Пифагора

x2 = 152 - 122, тогда x = 9.

3) В прямоугольном треугольнике ADC по свойству высоты, опущенной из вершины прямого угла, имеем равенство CF? = ху. Отсюда y = 144 : 9 = 16.

4) AD = х + у = 9 + 16 = 25.

Ответ: 25.

Задание 3 (Решение)

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 29. Найдите радиус окружности.

Задание 4

ABCD – описан около окружности, поэтому его стороны обладают следующим свойством:

AB + CD = BC + AD.

AB + CD = BC + AD = 50.

BA = 50 – 29 = 21, BA = 2R, R = 10,5.

Задание 4 (Решение)B

A

C

D

В параллелограмме АВСD отмечена точка М – середина отрезка ВС. Отрезок АМ пересекается с диагональю ВD в точке К. Докажите, что ВК : BD = 1 : 3.

Задание 5

А

В С

D

М

К

Треугольник ВКМ подобен треугольнику AKD по двум углам:

Угол В равен углу D, как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD.

Угол ВКМ равен углу AKD как вертикальный,

следовательно, ВМ : AD = ВК : КD.

По условию ВМ : ВС = ВМ : AD = 1 : 2 (М середина ВС, ВС = AD

– противоположные стороны параллелограмма).

ВМ : AD = ВК : КD = 1 : 2

BD = BK + KD = 3BK

BK : BD = 1 : 3

Задание 5 (Доказательство)

А

В С

D

М

К

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, который изображён на рисунке.

Задание 6

Задание 6 (Решение)

В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны AB. Известно, что KC = KD. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.

Задание 7

Задание 7 (Доказательство)

В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане ВN. Найти площадь треугольника АВС, если АМ = m, ВN = n.

Задание 8

Пусть медианы АМ и BN пересекаются в точке О.

Пересекаясь, они делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, следовательно, АО = ⅔АМ. Медиана АМ перпендикулярна медиане BN, значит, отрезок АО– высота треугольника ABN. Используя формулу площади треугольника, S = 0,5ah, где получаем, что

S∆ABN = 0,5*AO*BN = ⅓*m*n.

ABC и ABN имеют общую высоту, проведенную из вершины В, основание АС вдвое больше основания AN. Из той же формулы площади следует, что площадь ∆АВС вдвое больше площади ∆ABN, то есть S∆ABC = ⅔*m*n.

 

Ответ: ⅔*m*n.

Задание 8 (решение)

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите угол ABC, если угол KCB равен 20°.

Задание 9

О

А

К Е

С

В

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны, поэтому угол КСЕ равен углу КАЕ и они равны 20°.

Треугольники АОК и СОЕ прямоугольные, поэтому углы АКО и СЕО равны 70°.

Сумма угла СОЕ и угла ВЕО равна 180° (смежные), значит, угол ВЕО равен 110° .

Аналогично доказывается, что угол ВКО равен 110° .

В четырехугольнике ВКОЕ угол КОЕ равен 90°, Угол ВКО и угол ВЕО равны 110°, следовательно угол КВЕ равен 50°.

Задание 9 (Решение)

О

А

К Е

С

В

Спасибо за игру.

До новых встреч