VIII. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ!

............... М І з__________ І___________13]: § з________ __І

0№ 88 № 51 (1, 2), 52

д№ 108 (б), 115 (б) № 51 (3, 4), 56 (3)

в № 116 (а) М 53, 54 (2, 3), ....

індивідуально

Розв’язати нерівність 4і -6-21“1 > 4.

І _____ УРОК № 9

і ТЕМА. ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ.Мета уроку: ознайомити учнів зі способами розв'язування найпростіших логарифміч­

них рівнянь і нерівностей; сформувати вміння розв'язувати найпростіші логарифмічні рівняння й нерівності; розвивати пам’ять, увагу, логічне мислення, уміння порівнювати, аналізувати й робити самостійні висно­вки; виховувати культуру математичного мовлення й запису, наполегли­

вість, самостійність.Очікувані результати; учні повинні розпізнавати логарифмічні рівняння й нерівності, уміти

розв'язувати найпростіші логарифмічні рівняння й нерівності.Основні поняття: логарифмічне рівняння, логарифмічна нерівність.

Обладнання: підручник.Тип уроку: засвоєння нових знань.

шшшшшштшя ХІД уроку » в ш н ш т ш и м ю м ш м н ш

I. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП____________________

II. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ

Оскільки домашні завдання, найімовірніше, не становитимуть

труднощів для учнів, можна обмежитися бесідою, яка охоплює всі

моменти домашнього завдання.

III. АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ

0 Інтерактивна гра «Закінчіть речення»1. Областю визначення функції у = loga х (а> 0; а * 1 ) є...

2. Областю значень логарифмічної функції у = log„ х (а > 0; а ф 1) є...

3. Для функції j/ = logajr при а>\, якщо х, < х2, то...

4. Для функції y = logax при 0<а<1,якщ о я, <x2, то...

36 w w w . e - r a n o k . c o m . u a

є-«*«*

5. Якщо logo* = 0 (а * 1, а> 0), то х = ...

6. Якщо logax = l (а * 1, а> 0), то х-...

7. Якщо а> 1 і logfl *> 0 , то х...

8. Якщо 0<а<1 і loga*> 0 , то х...

9. Якщо а>1 і loga лг<0, то х...

10. Якщо 0<а<1 і loga дг<0, то дг...

IV. ФОРМУЛЮВАННЯ ТЕМИ, МЕТИ І ЗАВДАНЬ УРОКУ;МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ__________

0 Слово вчителяВід XVII ст. і до появи мікрокалькуляторів і комп’ютерів на­

прикінці X X ст. основними засобами приблизних обчислень були

таблиці логарифмів і логарифмічна лінійка. Сьогодні ми з’ясуємо,

як, знаючи значення логарифма, знайти число, від якого береться

логарифм, тобто вчитимемося розв’язувати логарифмічні рівняння.

V, СПРИЙНЯТТЯ Й УСВІДОМЛЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ____

0 Шкільна лекціяЛогарифмічним називається рівняння, яке містить невідоме під зна­

ком логарифма.

Наприклад, log7(3-6jc) = 2; Igx-lg21 = lg20+lg(2-x).

У більшості випадків найпростіші логарифмічні рівняння виду

loga х -b, де а> 0, аФ 1, розв’язують на основі визначення лога­

рифма.

Приклад 1. Розв’язати рівняння log2(7-3*) = 2. (Відповідь: 1.)

Приклад 2. Розв’язати рівняння log, (Здг-6) = -2. (Відповідь: 5.)З

Приклад 3. Розв’язати рівняння log(2r-5)2 = 0 . (Відповідь: 3; 2.).* 1

Прикладі Розв’язати рівняння 0,2logt — = -0,5. (Відповідь: 4.)32

Багато логарифмічних рівнянь розв’язують зведенням до алге­

браїчного рівняння.

Приклад 5. Розв’язати рівняння log07 (5х - 3) = log07 (2*+6). (Від

повідь: 3.)1 5

Приклад 6. Розв’язати рівняння ----+---- = 1. (Відпо­

відь: 100; 108.) Іех~в lgx+2

Нерівності виду logo/(jc)^ft або loga/‘(x )^ loga <р(х) називають

найпростішими логарифмічними нерівностями. їх можна розв’язувати на основі

властивостей логарифмічної функції.

w w w . e - r a n o k . c o m . u a 37

Приклад 7. Розв’язати нерівність log05х>2. (Відповідь: (0;0,25).)

Прикладе. Розв’язати нерівність l g ( x - l ) + l g ( 8 - x ) < l . (Відповідь:

VI. ОСМИСЛЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ___________

0 Колективне виконання завдань під керівництвом учителя

1. Розв’яжіть рівняння:

а) 1п(х2-6дг + 9) = 1п3+1п(х+3);

б) ^ 5;с+к^5(.г+7) = ̂ 52+ 2к ^53.

(Відповідь: а) 0; 9; б) 2.)

2. Розв’яжіть нерівність:

а) з(6-я)>-1; б) logз(2-x)+logJL(x-l)>logv,3 3.

VII. ПІДБИТТЯ ПІДСУМКІВ у р о к у __________________________

0 Фронтальна бесіда за технологією «Мікрофон»1. Які рівняння називають логарифмічними?

2. Якими є особливості розв’язання логарифмічних рівнянь?

3. Які властивості логарифмічної функції використовують під час

розв’язування логарифмічних нерівностей?

4. Про які способи розв’язування логарифмічних рівнянь ви дізна­

лися на уроці?

5. Що є причиною появи стороннього кореня в ході розв’язування

логарифмічних рівнянь?

6. Якій системі нерівностей рівносильна нерівність

foga/(•*•)<log0<p(*) при 0< а < 1?

(1; 3)11(6; 8).)

З

VIII. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

[2]: § 5 [3]: § З

№ 169 № 62 (1, 2); 68 (1, 2)

№ 188 (а, б), 190 (а) № 62 (5, 6), 69 (1, 3)

№ 65 (1), 69 (4)

Індивідуально

38 w w w . e - r a n o k . c o m . u a

І УРОК № 10

| ТЕМА. ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ.Мета уроку: відпрацювати навички розв'язування логарифмічних рівнянь і нерівно­

стей; формувати вміння розв'язувати логарифмічні рівняння й нерівно­сті; розвивати пам'ять, увагу, культуру математичного запису; вихову­вати наполегливість, акуратність.

Очікувані результати: учні повинні вміти самостійно розв'язувати найпростіші логарифмічні

рівняння й нерівності.Обладнання: підручник, роздавальний матеріал.

Тип уроку: застосування знань і вмінь.

Хід уроку

I. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП

II. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ

Учитель відповідає на запитання, що виникли в учнів під час

виконання домашнього завдання.

Ж. АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ

0 фронтальна бесіда

1. Обґрунтуйте справедливість рівносильного переходу

logaf(x) = c<̂ > f(x) = a' (а > 0; а * 1).

2. У який спосіб можна розв’язати рівняння log2 (*-2) = log2 Gc2 -2)?

3. У яких випадках під час розв’язування логарифмічних рівнянь

доцільно застосовувати заміну змінних?

4. Як можна розв’язати найпростішу логарифмічну нерівність, ви­

користовуючи властивості логарифмічної функції?

5. Чи є правильним твердження, що при а > 1 нерівність

f(x)>g( х),

logaf(x)>logag(x) рівносильна системі ■ f(x)>0,

g(x)> 0?

6. Чи є правильним твердження, що при 0 < a < 1 нерівність

f(x)>g(x),

loga f(x)< loga g(x) рівносильна системі - /(*)>0,

g(x)>0?

w w w . e - r a n o k . c o m . u a 39

0МММ

IV. ФОРМУЛЮВАННЯ ТЕМИ, МЕТИ І ЗАВДАНЬ УРОКУ;___ МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ_________________

0 Слово вчителяВідомо, що, консервуючи овочі, важливо знати кислотність роз­

чину, а знаючи кислотність, можна визначати концентрацію йонів

водню. Це можна зробити за допомогою логарифмічних рівнянь,

використовуючи логарифм з основою 10.

V. УДОСКОНАЛЕННЯ ВМІНЬ І НАВИЧОК___________ ___ ____

0 Робота в малих групахУчні, об’єднавшись у малі групи, виконують завдання, розв’я­

зання яких потім демонструють біля дошки.

1. Розв’яжіть рівняння д:1+1*х = 100.

Таке рівняння іноді називають показниково-логарифмічним, і розв'язується

| воно, як правило, логарифмуванням обох частин.

Розв’язання. Прологарифмуємо обидві частини рівняння

хі+і8*_Юо за основою 10 і отримаємо: ( і + ^ х )^ * = ̂ 1 0 0 ;

х + І£ х - 2 = 0. Виконавши заміну \gx-t, одержимо: 12 + * - 2 = 0;

^ = -2, = 1. Отже, ^ х = -2, і тоді х = 0,01 або І£х = 1. Звідси

з: = 10. Перевіркою встановлюємо, що обидва корені задоволь­

няють рівняння.

2. Розв’яжіть рівняння log2к ^ 3к ^ 5 х = 0. (Відповідь: 125.)

нерівності є проміжок [-4; 1], розв’язком другої об’єднання

проміжків (— — 3)и(0; +°°). Знайдемо спільні розв язки нерівно­

стей системи (див. рисунок).

3. Розв’яжіть нерівність 1ой2(х2 + Зх )< 2.

Розв’язання. 1о§£2(х2 +Зх) < 2; log2 (хг + 3х) < log2 22;

Розв’язком першої

- 4 - 3 0 1

Відповідь: х є [-4; -3)и(0; і].

х

40 \wwvv. e - r a n o k . c o m . u a

VI. ЗАСТОСУВАННЯ ЗНАНЬ І ВМІНЬ

На цьому етапі уроку можна провести самостійну роботу, текст

якої наведено нижче, або скористатися посібником [4], СР 6.

И Самостійна робота

Варіант 1 Варіант 2

Позначте правильну, на вашу думку, відповідь.

1. Розв’яжіть рівняння:

А З

log6(*-2) = 0

Б 2 В 6 Г 8 І А 4І

2. Розв’яжіть нерівність

log7(3+x)=0

Б -2 В -З Г 7

log, д: > 0

А (1; + “>)

Б (0; 1)

В (0; 1)

Б( т '~ ) г Н )

3. Розв’яжіть нерівність:

log3(*- 2)>l log6(3+x)< l

А [5;+-) В (2; +°°) | А (3 ;+») В [3;+~)

Б (5; + » ) Г (0; 5) \ Б (-3; 3) Г (4 ;+»)

4. Розв’яжіть рівняння:

к ^ 2х = к ^2(3.г-8),»

А 4 В Коренів немає

Б -4 Г З

log6(-2x-3) = log6 дг

А Коренів немає В 1

Б -1 Г З

5. Розв’яжіть нерівність:

log, (2x-5)<log, Ge-6) I log, (3.r-7)<log, (дг+1)

7 7 I 7 7I

A (-l;+~>) В (2,5;+°°) | а (— >;4) B ^ - l ;2 | )

Б (6; + °°) Г (-«>;-l) j Б ^2^ ;4 ] Г(- 1;4)

w w w . e - r a n o k . c o m . u a 4і

Варіант 1 І Варіант 2

6. Розв’яжіть рівняння:

lg*2-lg(x+2) = 0

А 2; -1 В -1

Б 2 Г -2; 1

lgx2-lgCr+6) = 0

А -3; 2 В -2

Б З Г 3; -2

Відповіді до самостійної роботи

Варіант 1. 1. А. 2. А. 3. Б. 4. А. 5. Б. 6. А.

Варіант 2. 1. Б. 2. В. 3. Б. 4. А. 5. Б. 6. Г.

VII. ПІДБИТТЯ ПІДСУМКІВ УРОКУ

Учитель збирає зошити, пропонує учням ознайомитися із пра­

вильними відповідями та відповідає на їхні запитання.

VIII. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ— "

[2]: § 5 [3]: § 3

І [сі№ 171 № 63, 64 (1, 2), 68 (1)

д№ 185 (в), 188 (в) № 64 (3), 69 (2), 70 (3)

в № 196 (а)____________ _________________

М 64 (4), 65 (2), 70 (4)L .. —..... ——

Індивідуально

Розв’язати нерівність logt (бх + 3)<-1.

УРОК № 11

І ТЕМА. ПОКАЗНИКОВА І ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ.МІта уроку: узагальнити й оістематизувати матеріал з теми «Показникова й лога­

рифмічна функції»; підготувати учнів до контрольної роботи; розвивати вміння узагальнювати, мислити логічно, робити висновки, чітко вислов­лювати свою думку; виховувати відповідальність, уміння працювати са­

мостійно й у фупі.Очікувані результати: учні повинні розрізняти й будувати графіки показникових і логарифміч­

них функцій та ілюструвати на них властивості функцій; застосовувати показникові й логарифмічні функції для розв'язання показникових і ло­

гарифмічних рівнянь і нерівностей.Обладнання: підручник, роздавальний матеріал.

Тип уроку: узагальнення й систематизація знань.

42 w w w . e - r a n o k . c o m . u a

_ ХІД уроку « и в п ш и

І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП

II. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ;______ АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ_____ _____________

Учні перевіряють правильність виконання домашнього завдання

за записами, заздалегідь підготовленими на дошці, під час пере­

вірки коментують розв’язання, посилаючись на властивості лога­

рифмічної функції, методи розв’язування логарифмічних і показ­

никових рівнянь і нерівностей.

III. ФОРМУЛЮВАННЯ ТЕМИ, МЕТИ І ЗАВДАНЬ УРОКУ;_ МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ_________________

0 Слово вчителяМи наблизилися до завершення вивчення великої за обсягом

і важливої для багатьох сфер життя теми «Показникова і лога­

рифмічна функції». Постарайтеся усунути прогалини в знаннях,

щоб до моменту написання контрольної роботи з теми почувати

себе впевнено.

!V. ^ПОВТОРЕННЯ Й АНАЛІЗ ФАКТІВ __________ __ __

0 Робота в групахУчні об’єднуються в гетерогенні групи для подальшої роботи на

уроці. Кожна група готує коротке повідомлення (5 хв) за заданою

темою, яке надалі презентує представник групи (або кілька пред­

ставників). Одне питання може висвітлювати кілька груп.

Орієнтовні теми повідомлень1. Показникова функція, її' властивості та графік.

2. Логарифмічна функція, її властивості та графік.

3. Розв’язування показникЬвих і логарифмічних рівнянь.

4. Розв’язування показникових і логарифмічних нерівностей.

V. УДОСКОНАЛЕННЯ ВМІНЬ І НАВИЧОК

0 Робота в групахУсі групи отримують картки з однаковими завданнями й пра­

цюють над ними за інтерактивною технологією «Акваріум*. Одна

із груп розташовується в центрі класу — в «акваріумі», решта —

по зовнішньому колу. Група в центрі читає вголос перше завдання,

обговорює, його протягом 3-5 хвилин і доходить спільної думки

щодо розв’язання. Інші групи слухають хід обговорення й після

дискусії приймають або відкидають запропоновану ідею. Далі

w w w . e - r a n o k . c o m . u a 43

€•«*«*

завдання розв’язується на дошці, і місце в «акваріумі» займає

наступна група, яка розв’язує друге завдання, і т. д., поки всі за­

вдання картки будуть виконані.

Картка для роботи групи3 —6 *

1. Знайдіть область визначення функції у = Іо£5—— — .10+5лг

2. Розв’яжіть рівняння Т +2х 3 = 72.

3. Розв’яжіть нерівність 1о£2 (6-х)< 1о£а (х + 1).з з

4. Розв’яжіть рівняння 9х -2 3* = 63.х г-Зі-2*

5. Розв’яжіть нерівність 0,2 1 >0,04.

6. Розв’яжіть рівняння 1о£41о£21о£3(2д:-3) = 0,5.

Розв’язання до картки

1. „ = і08 віу): - ^ - > 0 ; - ^^- < 0 ; * є (-2; 0,5). Відпо У 10+Ьх К ’ 10 + 5лг 5* + 10

відь: (-2; 0,5).

2. 2х +2Х_3 =72. ОДЗ: й.

2х + 2Х —=72; 2^Г 1+—1 = 72; 2х - =72; 2х =64; 2х = 26; х = 6. 8 1 8 ; 8

Від­

повідь: 6.

3. 1о £ 2 ( 6 - лс) < 1о£ 2 (х + 1).

6 - х >0,

х + 1>0,2

6- х>х + 1, оскільки 0< —<1.З

X <6,

х > -~1,

2х < 5;

[ хє(-1;2,5]. Відповідь: (—1;2,5].х < 2,5. у '

4. 9х-2 3х = 63. ^ ОДЗ: Я.

32х-2 3Х-63 = 0. Нехай 3х=*, <>0. <2-2*-63 = 0; *,=9; <2 = ~7

(не задовольняє умову і>0). 3х = 9; 3х = З2; х = 2. Відповідь: 2.

5. (0,2Г * “ >0,04. ОДЗ: х * 0 .

х1 -Зі-24 х2 — Зле - 24 . _(0,2) 1 >0,2 . Оскільки 0<0,2<1, то ------ <2;

хх -Зле- 2 4 2х ^ * — 5х— ^ о. Розв’язком є об’єднання про-

х хміжків (-оо; — 3] і (0; 8] (див. рисунок).

Відповідь: (—» ;-3]и(0; 8].

44 w w w . e - r a n o k . c o m . u a

6. log4 log2 log3 (2* - 3)=0,5. log4 log2 log3 (2x- 3) = log4 2;

log2log3(2x-3) = 2; log2log3(2x-3) = log24; log3(2x-3) = 4;

2x-3 = 34; 2x = 81 + 3; 2x = 84; or = 42. Перевіркою переконуємо­

ся, що х = 42 — корінь. Відповідь: 42.

VL ПІДБИТТЯ ПІДСУМКІВ УРОКУ _____________________ ___

0 Рефлексія1. Щ о на уроці було, на ваш погляд, головним?

2. Чи сподобалася вам форма роботи на уроці?

3. Чи повною мірою досягнуто мету уроку?

4. На які моменти уроку слід звернути увагу під час підготовки

до контрольної роботи?

VII. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ:

[21: § 5, повт. § 3 Г31: § 3

1 1

д

|

с. 44, СР № 1 І с. 64, зразок КР № 1

вmJhnwn

Індивідуально

Знайти значення х, при яких функція f(x)= хІОВ*х+2 дорівнює 8.

І УРОК № 12

ІТЕМА КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 1.Мета уроку: перевірити рівень засвоєння учнями теми «Показникова і логарифміч­

на функції»; розвивати вміння логічно мислити, застосовувати отримані знання в стандартних і нестандартних ситуаціях; виховувати самостій­ність, уміння сконцентрувати увагу на роботі.

Очікувані результати: учні повинні продемонструвати знання властивостей показникової та ло­гарифмічної функцій і вміння застосовувати знання під час розв'язування показникових і логарифмічних рівнянь і нерівностей.

Обладнання: роздавальний матеріал.Тип уроку: контроль і корекція знань, умінь і навичок.

ж»**«*«* ХІД уроку ........................ .... ..... ...1... .

I. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП

II. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ__________________

Учні здають зошити з домашнім завданням на перевірку.

w w w . e - r a n o k . c o m . u a 45

III. ФОРМУЛЮВАННЯ ТЕМИ, МЕТИ І ЗАВДАНЬ УРОКУ; МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ

Учитель налаштовує учнів на написання контрольної роботи,

звертає їхню увагу на необхідність надання повного розв’язання

завдань 7-9, а також на можливість логарифмування обох частин

рівняння завдання 9, що допоможе його розв’язати.

IV. К О НТ_РОЛЬ_ЗНАНЬ, У М ІН Ь І Н А В И Ч О К _______________________

На цьому етапі уроку можна виконати контрольну роботу,

текст якої наведено нижче, або скористатися посібником [4],

КР 1, КР 2.

0 Контрольна робота № 1

Варіант 1

Початковий і середній рівні (6 балів)

У завданнях 1-6 позначте правильну, на вашу думку, відповідь.

1. Укажіть зростаючу функцію.

А у - 1о§0 7 х Б у = 2 х В у = 5х Г у = 1о£± хЗ

2. На якому рисунку наведено графік функції у = І0£5х?

3. Яке рівняння має корінь?

А 5х = -5 Б 5х =0 В 1о£з (—х ) = —1 Г 5х = ч/б

4. Знайдіть множину розв’язків нерівності 0,5х <—.В

А (3; +«») Б [3;+~) В [і;3] Г (— ; 3)

5. Яке число є розв’язком рівняння 1о£2х = 3?

А 1 Б 8 В - Г 98

6. Знайдіть область визначення функції і/ = 1о£2 (6 ~ З х ) .

А (—°°;2) Б (2 ;+ “ ) В (—«*>; 2] Г [2;+°®)

46 w w w . e - r a n o k . c o m . u a

Достатній рівень (З бали )

7. Розв’яжіть нерівність (х+5) + к ^ 5(х + і)>1.

8. Розв’яжіть рівняння 22і-12 2х+32 = 0.

Високий рівень (3 бали )

9. Розв’яжіть рівняння хк>вгІ~3 = 16.

Варіант 2

Початковий і середній рівні (6 балів)

У завданнях 1-6 позначте правильну, на вашу думку, відповідь.

1. Укажіть спадну функцію.

А у = \оцБх В у = жх В у = к ^ 06* Г {/ = 6,3х

2. На якому рисунку наведено графік функції і/ = 5х?

3. Яке рівняння має корінь?

А \о̂ г(-х)-2 Б к^І;х = -1 В 5 х =-5 Г ̂ =0

4. Знайдіть множину розв’язків нерівності Г-М >9.

А (-о<>;-2) Б (-2;+оо) В [-2; 1] Г [-2;+~)

5. Яке число є розв’язком рівняння Іо&3 х = 2 ?

А 9 Б і В 1 Г 89

6. Знайдіть область визначення функції y = log1 (Ю-Бдг).9

А (0;+°°) Б (—°°;2) В (2;+«>) Г [2; + °°)

Достатній рівень (3 бали)

7. Розв’яжіть нерівність 1о&7(лс—і)+1о§7(л:~7)<1.

8. Розв’яжіть рівняння З21-12 3х+27 = 0,

Високий рівень (3 бали)

9. Розв’яжіть рівняння лгк>*‘х+2 = 27.

w w w . e - r a n o k . c o m . u a 47

н У

0tuy**

Відповіді та розв’язання до контрольної роботи

Варіант 1. 1. В. 2. А. 3. Г. 4. А . 5. Б. 6. А.

log. ((х+5)(х + 1)) > log5 5,

7. log5 (х + 5)+logs (x +1) > 1; x+5>0,

x + l>0;

Jx2+6x + 5>5 (оскільки 5>1), [x2+6x>0,

|x>-l; \x>-l;

Відповідь: (0; + °°).

8. 2Zx-12 2x+32 = 0.

2"=f , t> 0; t2 -12# + 32 = 0 ; ^ = 8; t2 = 4. Тоді

x = 3,

x>0,

x<-6, x>0.

x>-l;

2х = 8,

2х = 4;

0ДЗ: R.

2х =2®,

2х = 22;

х = 2.Відповідь: 3; 2.

9. х*°*2Х~3 = 16. Логарифмуємо за основою 2, маємо: (log2 x-3)log2 х =

= log216; log2 х - 31og2 x - 4 = 0 . Нехай log2x = *, тоді маємо:

fa-3f-4 = 0;t, = 4, ^ =-1. Виконаємо обернену заміну:log2x = 4,

х = 16 або log2x = -l, х = — . Перевіркою встановлюємо, що оби-

2 1два корені задовольняють рівняння. Відповідь: 16; —.

2

Варіант 2. 1. В. 2. В. 3. А. 4. А. 5. А . 6. Б.

log7 ((х - і)(х - 7)) < log, 7,

7. log7(x-l)+log7(x-7)<l; ■ х-1>0,

х - 7 > 0;

х2-8х + 7< 7 (оскільки 7>1), |х2-8х<0, |0<х<8, y< x < g

[х>7; І х > 7; |х>7;

Відповідь: (7; 8).

8. 32х-12 Зх + 27 = 0.

З*=t, f >0; -12# + 27 = 0 ; t, = 3; *2 = 9.Тоді

х = 1,

3х = З,

3х = 9;

ОДЗ: R.

3Х=31,

3х = З2;

х = 2.Відповідь: 1; 2.

48 w w w . e - r a n o k . c o m . u a

9. xlog***2 = 27. Логарифмуємо за основою З, маємо: (log3 x+2)log3 х =

= logg27; log|x+21og3x-3 = 0 . Нехай log3x = t, тоді маємо:

і2+2t-3-0; tt=~3, t2 —1. Виконаємо обернену заміну: log3 х = -З,

х = — або log3x = l , х = 3. Перевіркою встановлюємо, що обидваZ і

корені задовольняють рівняння. Відповідь: — ; 3.27

_____ V. ПІДБИТТЯ ПІДСУМКІВ УРОКУ

Учитель збирає контрольні роботи, виконані учнями, знайомить

їх із відповідями, заздалегідь підготовленими на дошці, та відпо­

відає на запитання, що виникли під час виконання роботи.

VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

Повторити поняття функції, графіка функції.

_______ ]______УРОК № 11*

І ТЕМА. ПОКАЗНИКОВА І ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ.Мета уроку: удосконалити вміння учнів розв'язувати показникові й логарифмічні рів­

няння й нерівності, застосовуючи властивості показникових і логариф­мічних функцій; розвивати логічне мислення, культуру математичного мовлення й запису; виховувати самостійність, інтерес до математики.

Очікувані результати: учні повинні вміти будувати графіки показникових і логарифмічних

функцій; користуватися показниковими й логарифмічними функціями для опису найпростіших реальних процесів; розв'язувати показникові й логарифмічні рівняння й нерівності.

Обладнання: підручник, роздавальний матеріал, картка самоконтролю.Тип уроку: ділова гра (узагальнення й систематизація знань).

ХІД уроку

_ І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП

Учитель пропонує учням об’єднатися в гетерогенні групи, члени

яких стануть фахівцями з реклами, і взяти участь у конкурсі «Гру­

па року». Склад групи й математичне поняття, над презентацією

якого працюватиме група, погоджені заздалегідь. Над рекламою

одного поняття можуть працювати кілька груп (якщо їх більше

ніж чотири).

w w w . e - r a n o k . c o m , и а 49

Орієнтовні теми для презентації1. Показникова функція.

2. Логарифмічна функція.

3. Показникові рівняння й нерівності.

4. Логарифмічні рівняння й нерівності.

II. РЕКЛАМА (МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ)

Учитель — голова експертної комісії — знайомить учасни­

ків конкурсу з його умовами. Найбільша кількість балів за ре­

кламу — 2.

Приклад реклами показникової функції

Вона допомогла людям описати такі процеси, як радіоактивний

розпад, розмноження бактерій, утворення нейтронів у ланцюговій

реакції, інформаційний бум тощо.

Без неї не були б розв’язані задачі про зміну атмосферного тис­

ку, приріст деревини.

І навіть сума вашого внеску до банку підлягає закону, який

описується цією функцією.

Ви прагнете бути активним учасником сучасного життя? Тоді

докладніше знайомтеся з темою «Показникова функція».

Голова експертної комісії повідомляє результати конкурсу з ре­

клами.

III. ГРА «ЗНАЙДИ ПОМИЛКУ»(АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ)____________________

У ході конкурсу комісія перевіряє вміння групи швидко реагу­

вати, правильно оцінювати ситуацію, обґрунтовувати свою думку.

На відкидній дошці підготовлено п’ять завдань. У розв’язанні

кожного з них допущено помилку, яку групі необхідно знайти

й виправити. Найбільша кількість балів за рекламу — 5.

Картка для роботи групи

1. На рисунку зображено графік функції

y = \og2x.

2. х >3-Відповідь: [3;+°°).

3. log5JC <logs25; х < 25. Відповідь: {-

4. 3х = — ; х = 4. Відповідь: 4.81

25).

5. lo g .— <0. 7 21

50 w w w . e - r a n o k . c o m . u a

IV. ПРЕЗЕНТАЦІЯ (ПОВТОРЕННЯ Й АНАЛІЗ ФАКТІВ)

Кожна група готує презентацію одного з математичних понять,

наведених у переліку тем. При цьому групи міняються темами, на­

приклад група, яка рекламувала показникову функцію, презентує

логарифмічні рівняння й нерівності тощо.Приклад презентації' логарифмічних рівнянь і нерівностей

Я — Логарифмічне рівняння, тобто рівняння, яке містить змін­

ну під знаком логарифма.Розв’язуючи мене, пам’ятай, що область визначення логариф­

мічної функції — додатні числа, що loga х розглядають для а > 0,

а *1 .Розв’язуючи мене, пам’ятай про методи розв’язування логариф­

мічних рівнянь: зведення до однієї основи, метод заміни змінних.

Самі ці методи ти використовуєш, розв’язуючи логарифмічну

нерівність. Але стережися підводних рифів! Ніколи не забувай про

область допустимих значень нерівності та про те, що при а>1

функція y = logax зростає, а при 0<а<1 — спадає.

Голова експертної комісії підбиває підсумки презентації.

V. «МОЗКОВИЙ ШТУРМ»(УДОСКОНАЛЕННЯ ВМІНЬ І НАВИЧОК)____ _____________

Кожна група отримує картку із задачею, обговорює її, намі­

чає план розв’язання, а через визначений час (3-5 хв) пропонує

розв’язання. Усі розв’язання записуються на дошці, під час об­

говорення залишаються найбільш раціональні з них, вони й ре­

алізуються кожною групою. Участь у цьому конкурсі оцінюється

від 0 до 3 балів.Задача 1. Відомо, що розмноження бактерій у певному середовищі

описується формулою N = N 0ak‘, де N0 — початкова кількість бакте­

рій при t = 0, а і k — деякі сталі. Обчисліть, за який час кількість

бактерій збільшиться втричі.Розв’язання. Якщо кількість бактерій за час t збільшилася втри­

чі то J L = 3, тобто а*' = 3. Отже,logaа*‘ = loga 3, звідки H = log„3;

N0

Відповідь: через *°g°3 ■ k h

Задача 2. За законом, який установив К . Е . Ціолковський, кількість

пального, необхідна для досягнення ракетою масою т (без паль-/ 0,43— \

ного) швидкості и, визначається за формулою М = т \10 -1/,

де Uj — швидкість витоку продуктів згоряння із сопла двигуна

w w w . e - r a n o k . c o m . u a si

ракетоносія. Обчисліть, скільки необхідно пального, щоб ракета

масою т = 1 т досягла швидкості 11,2 км/с (друга космічна швид­

кість), якщо швидкість витоку продуктів згоряння із сопла дорів­

нює 5 км/с. Опором повітря й силою тяжіння Землі знехтувати.

( 0.43-Ü- \Розв’язання. За формулою М = т\ 10 01 -1/, де =5 км/с,

І та11-2 \а и = 11,2 км/с, /л = 1 т. Тоді М = 1\10‘ 5 -1/-100, -1 = 8,2 (т).

Відповідь: 8,2 т.

VI. ПІДБИТТЯ ПІДСУМКІВ КОНКУРСУ

Голова експертної комісії оголошує групу-переможця.

VII. САМООЦІНКА РОБОТИ УЧНЯМИ_____

Учні заповнюють картки для самоконтролю, оцінюючи свою ро­

боту від 0 до 2 балів за кожним з критеріїв.

Картка для самоконтролю

1. Активність роботи в групі: _____

2. Внесення вдалих пропозицій, які були використані під час

розв’язання:_____

3. Допомога членам групи:_____

VIII. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ.....

ІндивідуальноУнаслідок радіоактивного розпаду кількість речовини ма­

сою 500 г за добу зменшується вдвічі. Визначте кількість речовини,

що залишиться через: а) 2 доби; б) 3 доби.

52 w w w . e - r a n o k . c o m . u a