ЮЗУ ,,Неофит Рилски” – Благоевград Природо-математически факултет

Катедра „Информатика”

Станчо Вълканов Павлов Университет ,,Проф. Асен Златаров” - Бургас

АКТУАЛНИ ПРОБЛЕМИ НА МАТЕМАТИЧЕСКАТА ТЕОРИЯ НА КАТАСТРОФИТЕ – КОМПЮТЪРНА

СИМУЛАЦИЯ

АВТОРЕФЕРАТ на дисертация за присъждане на научната степен

,,Доктор”

Област на висше образование 4. Природни науки, математика и информатика

Професионално направление 4.6 Информатика и компютърни науки

Научни ръководители проф. д.н. Николай Петров доц. д.н. Красимир Йорджев

Благоевград 2015 г.

Защитата на дисертационния труд ще се състои в ЮЗУ „Неофит Рилски”,

Природо-математически факултет на …..... 2015 година

ЮЗУ ,,Неофит Рилски” – Благоевград

гл. ас. Станчо Павлов Университет ,,Проф. Асен Златаров” - Бургас

С Ъ Д Ъ Р Ж А Н И Е

Използвани съкращения 4

Увод 4

Глава 1 Обща теория на катастрофите 5

Глава 2 Структурна устойчивост на динамичните системи 11

Глава 3 Елементи на приложната теория на катастрофите 17

Глава 4 Изследване на съставни механични системи 26

Глава 5 Изследване на функцията на катастрофата и вземане на решения в условията на риск

35

Приноси на дисертационния труд 44

Библиография с участието на автора на дисертационния труд

46

-4-

ИЗПОЛЗВАНИ СЪКРАЩЕНИЯ

ВБР – вероятност за безотказна работа ПТК – приложна теория на катастрофите

ИО – изследване на операциите ПИР – принципи за избор на решения ЛА – летателен апарат РТС- рискови технически системи МТК – математическа теория на катастрофите ССМ – съставни механични системи ЛВР - лице вземащо решение ТЕ – техническа експлоатация МП – математически програми ТИС - технико-икономически системи ОТК – обща теория на катастрофите МММ – механо-математични модели ПГР – противоградни ракети ФК – функция на катастрофата

УВОД Теорията на катастрофите се е породила на границата между двете дисциплини –

математическия анализ и топологията, а нейните източници са теорията на особеностите на гладките изображения на Хенри Уитни и теорията на устойчивостта и бифуркациите на динамичните системи на Анри Пуанкаре, Андрей Ляпунов и Андрей Андронов.

Тези две направления са се слели, в резултат на усилията на френския математик Рене Том, в единна теория, която е получила наименованието си – теория на катастрофите.

При изучаване на свойствата на решенията на диференциалното уравнение първоначално е необходимо явно да се оцени пълното множество от решения и едва след това да се анализират техните свойства. Не възниква проблем, ако това е линейна, и по-добре стационарна, система диференциални уравнения.

За нелинейните системи пълно множество от решения може да се построи за уравнения от втори порядък (например, чрез метода на фазовата плоскост). Що се отнася до уравненията от трети и по-висок порядък, то тук са известни решения само на частните задачи.

Как да се постъпи в този случай? Видният френски учен Анри Пуанкаре е доказал убедително, че в много случаи е

необходим само ограничен обем информация с качествен характер, която, в крайна сметка, и представлява интерес при изучаване на конкретни динамични системи.

Основите на съвременния подход за определяне на качествените изменения в поведението на решенията на обикновените диференциални уравнения са били положени от А. Пуанкаре в края на ХIХ век. Той първи е въвел такива понятия, като структурна устойчивост, динамична устойчивост и критични множества. Особено е заинтересувало Пуанкаре, как качествено се променя поведението на динамичната система при изменението на описващите я параметри.

Преустройството на качествената картина на движението на динамичната система при изменение на нейните параметри е получило наименованието бифуркация (буквално, раздвояване).

Работата на А. Пуанкаре по изследване на структурната (топологичната) устойчивост на динамичните системи през 30-те години на ХХ век са продължили съветските учени А. Андронов и Л. Понтрягин. Те са нарекли структурно устойчивите системи груби [10].

В същото време Марстон Морз е изследвал структурата на някоя функция (която сега се нарича морзовска) в околностите на изолирана точка на многообразието, което съдържа траекторията на динамичната система. Той е доказал, че неизградените критични точки на

-5-

такава функция са изолираните точки, което определя структурната устойчивост на дадена динамична система (срещу) към изместване.

Едновременно Хаслер Уитни е описал особеностите на гладките изображения. Рене Том е отбелязал (в края на 50-те години), че тези две теории – за особеностите на гладките изображения и за структурната устойчивост на динамичните системи – могат да бъдат обединени в една обща теория. Той е въвел важното понятие „трансверзалност”, което е станало основно при описване на структурната устойчивост.

По-късно Рене Том е използвал това понятие при описване на каноничните форми на определените особености на изображенията Rn → Rl (функцията), които той е нарекъл катастрофи.

Предмет на настоящата дисертация е изучаването на зависимостта на качествената природа на решенията на уравненията използвани в приложната теория на катастрофите от стойностите на техните параметрите.

Задачата на дисертационният труд е изследване на структурната устойчивост на динамичните системи използвани в общата теория на ката-строфите. При това изследване се предлага използване на размити множества на критичността на системите.

Цел на дисертационният труд е синтезиране на отделните елементи на приложната теория на катастрофите в областта на механиката, авиацията, аналитичната химия. Допълнително е изследвана надеждността на софтуерното осигуряване на съвременни софтуерни продукти, деформацията на полимерни конструкции чрез тяхната функция на катастрофата и е съставено уравнение на надеждностната устойчивост на материята на фона на единството на микросвета.

Обучението на докторанта е извършено в катедра ,,информатика” към Природо-математически факултет на ЮЗУ ,,Благоевград” под ръководството на проф. д.н. Николай Петров от ТУ – София и доц. д.н. Красимир Йорджев от ЮЗУ ,,Неофит Рилски” – Благоевград.

ГЛАВА ПЪРВА

ОБЩА ТЕОРИЯ НА КАТАСТРОФИТЕ 1.1. ВЪВЕДЕНИЕ ОТ АНАЛИТИЧНОСТ КЪМ ГЛАДКОСТ. К-СТРУИ И НАРАСТВА-НЕ НА ФУНКЦИИТЕ

В параграф 1.1 е анализирано представянето на функцията на катастрофата в точка x0+x . То е следното: ( ) 2

0 0 1 2 ...f x x a a x a x+ = + + + се приема за полезно само в този случай,

ако той е сходящ в някаква околност UXo и сумата от него е равна на ( )0f x x+ . В този

случай функцията f(x) се нарича аналитична в точката 0x . Редът може да се диференцира в някаква (възможно) малка околност VXo и неговите

коефициенти са равни на ai = Xoi fD

i!1

.

Анализирани са определения, касаещи диференцируемостта и гладкостта на аналитичните функции.

Като пример е показано сечението на реда на Тейлор в околност на нулата.

-6-

Фиг.1.1.1. Сечение на реда на Тейлор за аналитичната функция у = sin x (цифрите определят броя на членовете на разлагане

В определение 1.1.2 е анализирана k- струята на гладката функция f ∈ Cω(R, R).

Редът на Тейлор и неговото пресичане във вид на k- струя се оказва удобно формално средство за получаване на информация за производните на функцията f и, значи, за нейната форма близо до началото на координатната система, т.е. х0 = 0. 1.2. РЕГУЛЯРНИ И КРИТИЧНИ НЕДЕГЕНЕРИРАЛИ ТОЧКИ НА ГЛАДКИТЕ ФУНКЦИИ

Именно особеностите на гладките функции (а в общия случай, и на гладките изображения) позволяват да се проявят качествените изменения на фазовите траектории на динамичните системи на базата на техните особености на анализа на дадено фазово пространство. И тук голяма роля играят критичните точки на гладките функции.

Точката х0 ∈ Mn се нарича регулярна (некритична) точка на функцията f (х), ако

.0 =fD0

,.....,1

xnx

fxf

∂∂

∂∂

≠ 0.

(1.2.1) За регулярните точки е в сила теоремата за неявната функция, която за нуждите на

теорията на катастрофите е представена в дисертацията в подходяща формулировка. Използвайки теоремата за неявната функция, за регулярните точки може да се

извърши гладка замяна на координатите y = y(x), при която дадената функция в точката x0 и

нейната околност може да се представи в канонична форма )~(~ xf = 1~x , т.е.

f (х) = f (х )~(x ) = )~(~ xf = 1~x .

Съотношението (1.13) не е нищо друго, а израз на този факт, че f и f~ са еквивалентни функции (по-долу се дава точно определение на това отношение). Ако det (Gf (x0)) ≠ 0, то лемата на Марстон Морс гарантира съществуването на гладка замяна на променливите, такава, че f(x) локално (в околностите Ux0) може да бъде представена чрез квадратична форма. f(x) = f(x (y)) = f~ ( y) = f (x0) – y1

2 - y22 - ….- yh

2 + yh+12 + …+ yn

2. (1.2.28) Броят на отрицателните членове f~ (x) се нарича индекс на функцията на Морс, а

самата функция се нарича h- то морсовско седло и се означава с Mhn(y).

В дисертацията подробно е анализиран особен случай на приложението на теоремата на Морз.

-7-

Критичните точки имат по-голяма значимост, отколкото регулярните (некритичните), тъй като именно те основно характеризират глобалните качествени изменения в поведението на функцията f(x).

Ще разгледаме морсовската функция fМ(x), x ∈R1, имаща следния вид (фиг. 1.3):

Фиг. 1.2.1. Морзовска функция с два „басейна” (области на притегляне) и атрактори x0

(1), x0(2)

Тук имаме три критични изолирани точки, при което точките x0

(1), x0(2) имат по

морзовската класификация индекс „0”, а x0(3) – индекс „1”.

Точките x0(1), x0

(2) са атрактори (множества на притегляне; в дадения случай всеки се състои от една точка), при което всеки със свой „басейн” (област на притегляне) [4]. Важността на критичните точки се състои в това, че при прехода от един „басейн” в друг винаги е необходимо да се премине през критична точка, имаща друг морсовски тип.

1.3. НЕМОРЗОВСКИ ФУНКЦИИ. ЛЕМА ЗА РАЗЛАГАНЕТО. ФУНКЦИЯ НА КАТАСТРОФИТЕ

Критичните точки на функцията f(x), в които хесианът det (Gf (x0)) = 0, са неизолирани изродени, или изолирани неморсовски критични точки.

Нека в критичната точка x0 = 0 (за определеност и без намаляване на общността) .0XDf = 0 и det (Gf (x0)) = 0.

Нека rank Gf (x0)) ≤ n – 1, т.е. матрицата на Хесе Gf (x0) има l нулеви собствени стойности (l ≥1). В този случай лемата на Морс е неприложима, и представянето на f(x) във

вид на квадратичната форма

+−∑ ∑

= +=

h

i

n

hjji yy

1 1

22е невъзможно.

Лема за разлагането: Нека матрицата на Хесе Gf (x0, а0) има l на брой нулеви собствени стойности. Тогава може да намерим такава замяна на променливите x = x ( x~ ), че функцията f(x) може да бъде представена във вид на сума от двете функции: неморсовската

fNM , зависеща от координатите lxx ~,,~1 , които са гладки функции на променливите (x1,

..., xn) и параметрите а 1, ..., а p, и морсовската fM , зависеща от 1~

+lx ,..., nx~ , които са гладки функции само на търсените координати (x1, ..., xn), т.е. f(x, а) = f(x ( x~ ), а) = f~ ( x~ , а) =

= NMf̂ ( 1~x (x; а), …., lx~ (x; а)) + Mf̂ ( 1

~+lx (x), …, nx~ (x)).

Нещо повече, ако f = f(x, а), x ∈Rn , а ∈Rр , то при р ≤ 5 (т.е. когато броя на параметрите в семейството е не повече от 5, Р. Том [7] е доказал, че f(x, а) може да бъде представена в следния вид:

-8-

f(x, а) = f~ ( x~ , а) = f~ ( x̂ , x~ , а) = Cat ( x~ , а) + fM ( х̂ ), където )~,,~(~1 lxx =x ,

( )nl xx ~,,~ˆ 1 +=х а = (а 1, ..., а p); Cat ( x~ , а) = [Cat] ( x~ ) + p( x~ , а),

fM ( x̂ ) = ±2

1~

+lx ±2

2~

+lx ±…±2~

nlx + (знакът ± означава, че морсовското седло в точката ( x0, a0) може да бъде произволен. Функцията Cat ( x~ , а) се нарича функция на катастрофите. 1.4. ИЗМЕСТВАНЕ НА МОРЗОВСКИТЕ И НЕМОРЗОВСКИТЕ ФУНКЦИИ. ЕЛЕМЕНТАРНИ КАТАСТРОФИ Нека x0 = 0 – критична точка f(x). Нека f (x0, а0) характеризира за критичната точка x0 и някаква стойност на вектора на параметрите а0 състоянието на равновесие. Приемаме, че x0 = 0, а0 = 0. Изместената функция F (x, а) в околностите на точка, в разглеждания случай се определя по следния начин: F (x, а) = f(x) + p(x; а), където f(x) – стойност на функцията f в околностите на точка x0 = 0, р(x, а) е изместването на дадената функция. Нека f(x) = λ x2 (λ ≠ 0). Ще разложим изместването р(x, а) по степени на x в околност на точка и околност на точката а0 = 0.

+

∂∂

+

∂∂ 2

);0(2

2

);0()0 xxpx

xp+; ар(р(x; а)= aa (1.4.3)

Получаваме изместената функция +++λ= 2

2102) xpx+pр x F(x; а

По такъв начин, в новите координати изместената функция F(x, а) ще приеме вида: F(x (y),а) = р0 + р1 y + {(λ + р2) + р1B2} y2 = р0 + р1 y + λ~ y2

Извършвайки смяна на променливите

2/1

12/1

~2~~

λ+λ=

pyy следва изразът за

изместената функция F(x, а):

2

2

21

0~)~(~4

)~,~( ysignppyF λ+

λ

−=λ (1.4.10)

Фиг. 1.4.1. Изместване на функцията в морсовската критична точка По такъв начин, от извършения анализ на морзовска критична точка следва, че изместването на функцията с една променлива в морсовската критична точка не влияе на

-9-

качествената природа на тази функция и, макар при това критичната точка да се измества, типа на критичната точка остава без изменение (фиг. 1.4.1), т.е. морсовските функции са структурно (качествено) устойчиви. Може да се покаже, че за x ∈Rn изместването на морсовското h- седло Mh

n(y) също не довежда до локални качествени изменения. 1.5. УСТОЙЧИВОСТ. КАЧЕСТВЕНИ ИЗМЕНЕНИЯ В СИСТЕМАТА Теорията на катастрофите се опитва да даде отговор на въпроса: защо при плавно изменение на някои параметри на динамична система тя качествено променя своята динамика? В основата на отговора на този въпрос лежат:

• теория за особеностите на устойчивите гладки изображения (Уитни); • теория за бифуркациите.

В теорията на катастрофите теорията за особеностите на гладките изображения се използува при изучаване на качествените изменения на гладките функции, т.е. изображението f∈С∞(Mn,R), а теорията на бифуркациите позволява да се разгледа цялото семейство такива функции, зависещи от управляващите фактори, които могат плавно да се изменят в някакво многообразие.

Качественото изменение на поведението на динамичната система преди всичко е свързано с понятието за устойчивостта на гладките изображения. Топологията, не прави разлика между устойчивите фокуси и възли в равнината. Поведението на двете системи с такива фазови портрети е качествено еднакво. Как се изразява тази еквивалентност? Определение. Нека f и f~ - два елемента С∞(Mn,Nm). Ще наречем f и f~ еквивалентни, ако съществуват такива дифеоморфизми (взаимноеднозначни изображения, диференцируеми заедно със своите обратни) g : Mn → Mn и h: Nm → Nm, че диаграмата

mf~nhg

mfn

NM

NM

→

↓↓→

е комутативна.

На езика на локалните координати това се трактува по следния начин: ако x~ = g (x) е гладка замяна на независимите координати на многообразието Mn, y~ = h (y) – гладка замяна на зависимите координати, тогава комуникативността на диаграмата означава, че са справедливи следните съотношения: h (f (x)) = f~ (g (x)), Или f~ ( x~ ) = h ( f (g-1( x~ )))

f (x) = h -1( f~ (g (x))). Двете изображения f : Mn → Nm и f~ : Mn → Nm са еквивалентни, ако може едното изображение да се преобразува в друго с помощта на гладка замяна на независими и зависими променливи.

Ще преминем към понятието устойчивост на изображението. Нека f∈С∞(Mn,Nm). Изображението f се нарича структурно устойчиво, ако съществува такава околност Wf на точката f в С∞(Mn,Nm), че всяко изображение f~ ∈ Wf е еквивалентно на f.

Необходимо е да се намери този атрибут на изображението (функцията), който отговаря на устойчивостта. Такъв атрибут е нарастването на изображението (функцията), за което ние по-рано вече споменахме, а сега ще му дадем определение. Нека Mn – гладко многообразие и х – точка Mn.

-10-

Двете гладки реални функции f и g, определени в някакви околности Uх и Vх на точка х, се наричат еквивалентни близо до х, ако те съвпадат (f = g) в някаква околност Сх ⊆Uх ∩ Vх .

Нека f : Uх → R – гладка функция, където Uх – някаква околност на точката х. Тогава нарастването на функцията f в точката х (означение [f]x ) се нарича клас на

еквивалентност на функцията по отношение на еквивалентността, въведена в определение 1.11.

За две функции от един и същи клас се казва, че те имат общо нарастване на точка х. Такива функции f и g, имащи общо нарастване в точка х, може да бъдат безкрайно

множество, и затова нарастването [f]x се определя като клас, т.е. като множество от еднотипни (еквивалентни) функции по определеното по-горе отношение спрямо еквивалентността.

Фиг. 1.5.2. Функции f и g с общо нарастване в точка х Устойчивост на функция в точка – това е свойство на нарастването, а не функция. Това свойство не се губи при изменение на f, извън околността на точка х. 1.6. ИЗВОДИ ОТ ИЗВЪРШЕНИЯ ОБЗОР И ЗАДАЧИ НА ДИСЕРТАЦИОННИЯ ТРУД От така извършения обзор на общата теория на катастрофите могат да се направят следните изводи: 1. Не са изследвани подходите за намиране на нарастванията на функциите и определянето

на тяхната устойчивост; 2. Анализирана е формула 1.2.29 и е направен извод, че тя може да се обобщи и за

производни от по-висок ред; 3. Не е изследвана с достатъчна пълнота инфинитизиалната устойчивост и свързания с нея

алгоритъм на Д. Мазер; 4. Липсват изследвания за приложението на теорията на катастрофите за летателните

апарати; 5. Не са извършени анализи в областта на теорията на катастрофите на базата на методите

за вземане на решения при риск и неопределеност чрез използване на размити множества на критичността.

Извършвайки синтез на изводите, като задачи на труда следват постановките: 1. Необходимо е създаване на подходи за определяне устойчивостта на функциите за

моделиране на ОТК ; 2. Трябва да се изследва многообразието на видовете катастрофи и

бифуркационните множества. 3. Наложително е допълнително дефиниране на понятието „инфинитезимиална”

устойчивост от гледна точка на алгоритъма на Д. Мазер.

-11-

4. Съвременните проблеми на теорията на катастрофите изискват изследване на бифуркационно поведение, особено в областта на летателните апарати и строителните конструкции.

5. Изследванията в дисертационният труд, трябва де се придружат от въвеждането на съответните програмни продукти. Тези продукти е необходимо да се използват за конкретни рискови системи.

6. Необходимо е създаване на подходи за определяне устойчивостта на функциите за моделиране на общата теория на катастрофите (ОТК).

ГЛАВА ВТОРА

СТРУКТУРНА УСТОЙЧИВОСТ НА ДИНАМИЧНИТЕ СИСТЕМИ

2.1. ТРАНСВЕРЗАЛНОСТ И УСТОЙЧИВОСТ Съществуват различни видове трансверзалност: трансверзалност на многообразията, трансверзалност на изображенията и многообразията, трансверзалност на изображенията. По-нататък за нас най-важната роля ще играе трансверзалност на изображенията и многообразията, защото ние ще дадем определение именно на това понятие (за останалите видове трансверзалност. Определение Нека Mn и Nm – гладки многообразия и f : Mn → Nm

– гладко изображение Mn ⊆ Rn, Nm ⊆ Rm. Нека W – подмногообразие в Nm и х∈Mn. Тогава се казва, че изображението f на трансверзално за многообразието W в точка х∈Mn (означава се с f∩W в х), ако се изпълнява едно от двете условия: а) f (х) ∉ W; б) f (х) ∈ W и ТNm

(f (х)) = ТW (f (х)) + (Df)ТMn(х). Условието б) свидетелства за това, че ако f(х) ∈ W, то допирателните пространства към W и f(Mn) в точка х пораждат пространство R m. Въведените условия за трансверзалност позволяват да се определи структурната устойчивост или неустойчивост на изображенията и, в частност на функциите.

А именно: ако изображението f е трансверзално на W в точка х, то то ще бъде трансверзално на W при малки измествания на това изображение. 2.2. МНОГООБРАЗИЕ НА КАТАСТРОФИТЕ. БИФУРКАЦИОННИ МНОЖЕСТВА Ще разгледаме семейството функции

f : Mn ×Ар → R, (2.2.1) където Mn- гладко многообразие, Mn⊆ Rn; Ар - друго гладко многообразие, Ар ⊆ Rn ; Rn Rn- пространство на състоянията; Rр - пространство на управляващите параметри (управления). Многообразие на катастрофите M# се нарича подмножеството Rn ×Rр , определяемо чрез уравнението M# : D f (x,a) = 0,

т.е. това е пресичане на n хиперповърхнини в Rn ×Rр ; M# : ix∂

∂(x,a) = 0, i = n,1

Изображение на катастрофите χ се нарича ограничението на M# от естествената проекция π : Rn ×Rр → Rр, т.е. π (x,Ар) = Ар. Особено множество S се нарича подмножеството в M#, състоящо се от особените точки на изображението χ , т.е. точките (x,a) ∈ M#, където χ е особена, т.е. rank D . χ < p. Образът на особеното множество χ (S) ⊂ Ар се нарича бифуркационно множество и се означава с JB. Особеното множество S⊂ M# и бифуркационното множество JB⊂ Ар имат стойност нула в съответните пространства, за което свидетелства следната теорема.

-12-

2.3. ТОПОЛОГИЯ НА УИТНИ. УСТОЙЧИВОСТ НА ФУНКЦИИТЕ ОТ ГЛЕДНА ТОЧКА НА ТЕОРИЯТА НА НЕПРЕКЪСНАТИТЕ ГРУПИ Определение Нека Mn и Nm – гладки многообразия и x0 ∈ Mn . Нека f, g: Mn→ Nm – гладки изображения, удовлетворяващи условието: f (x0) = g (x0) = у0 за рискови технически системи (РТС). f има допиране от първи порядък с g в точка x0, ако XoDf = XoDg като изображение ТХоMn → ТYоNm (т.е. като изображение на допирателните пространства).

1. f има допиране от k - ти порядък с g в точка x0, ако Df : ТMn → ТNm има допиране от (k - 1) порядък с изображението (Dg) във всяка точка ТхMn. Този факт се записва по следния начин: „f ~k g в точка x0” (k – положително цяло число).

2. Ще означим чрез jk(Mn,Nm)Хо,Уо множеството класове с еквивалентност спрямо „~k в точка x0” в пространството изображения f : Mn→ Nm, удовлетворяващо условието f (x0) = у0.

3. Ще формулираме множеството

jk(Mn,Nm) = (Хо,Уо) ∈ Mn× N

m . Jk (Mn,Nm)Хо,Уо.

Елементите на множеството Jk (Mn,Nm) са k –струи във всяка точка x0 ∈ Mn , при което всеки елемент jХо f може да се разглежда като някакъв клас на еквивалентност, т.е. набора от елементи, които са еквивалентни един на друг по признака „всички функции, влизащи в даден клас, имат еднакъв прекъснат ред на Тейлор до k – та степен, включително в дадената точка x0 „. Определение Нека Mn и Nm – гладки многообразия на функцията на катастрофите (ФК) на РТС .

1. Ще означим чрез С∞(Mn, Nm) множество гладки изображения от Mn в Nm. 2. Фиксираме неотрицателните цели числа k. Нека U - някакво подмножество в

jk(Mn,Nm). Ще означим

M (U) = { f ∈ С∞(Mn, Nm) : jk f nMx∈ ⊂ U }.

3. Семейството множества {M (U)}, където U – отворено множество в jk(Mn,Nm), образува базис на някаква топология на С∞(Mn, Nm). Тази топология се нарича Сk – топология на Уитни. Ще означим с Wk множеството открити подмножества в С∞(Mn, Nm) в Сk– топологията на Уитни.

4. С∞– топология на Уитни се нарича топологията, чийто базис е W = ∞

=0kkW .

Ще въведем на jk(Mn,Nm) метриката d, съвместима с топологията. Откритата околност на елемента f в пространството С∞(Mn, Nm) в Сk– топологията на Уитни. Вδ (f) ≡ {g∈С∞(Mn,Nm): d (jk f ∈С∞(Mn,Nm): jk f (x), jkg (x) ) < δ(x)∀ x∈ Mn}. Семейството {Вδ (f)} образува базис с околността на точката f в С∞(Mn, Nm) в Сk– топологията на Уитни. Тъй като С∞(Mn,Nm) е гладко многообразие, то може да се разглежда С∞(Mn,Nm) като действие на непрекъснати групи преобразувания (дифеоморфизми). G = Diff (Mn) × Diff (Nm), където Diff (Mn) (съответно Diff (Nm)) – група от всички дифеоморфизми на многообразието Mn (съответно на Nm). Това действие е ни е познато по диаграмата, определяща еквивалентността на двете изображения f и f~∈ С∞(Mn,Nm)

-13-

mfn

mfn

NMhg

NM

→↓↓

→

~

g ∈Diff (Mn), h ∈Diff (Nm), (g, h) ∈ G . Действието G на елемента f∈С∞(Mn,Nm) се определя от равенството (g, h). f = h. f. g-1, т.е. елемент от групата G, действайки на f, го превежда в f~ . 2.4. ИНФИНИТЕЗИМАЛНА УСТОЙЧИВОСТ. АЛГОРИТЪМ НА Д. МАЗЕР Предполага се, че за конкретна РТС сме определили k – струята jk f (x) от реда на Тейлор на функцията f в околностите на x0 = 0. Ясно е, че jk f (x) – това е полином от k – та степен. Ако считаме, че функцията (полинома) f~ (x) = jk f (x), f~ (x) = jk f (x), то задачата е в определяне на всички функции g ∈ С∞(Mn,Nm), еквивалентни на дадената функция f~ . Ако самата функция f е еквивалентна на f~ , тогава прекъсването на реда на Тейлор не влияе на качествените изменения в поведението на дадената функция при конкретна рискова ситуация. Нека x ∈ R. Ще разгледаме еднопараметричната замяна (действие на еднопа-раметричната група Х) на координатите (параметъра t). Нека Хt x = x + tq (x), Х0x = x,

Където q (0) = 0dx

dq = 0, т.е. е полином от порядък 2.

Функцията f Хt : x → f (Хt x), започва да се изменя от момент t0 в който е започнала ТЕ на РТС. Ние искаме да я приведем към по-прост вид. За това ще разгледаме как започва да се измества (k +1) – струята jk+1(f Хt x). По такъв начин, за М1 = R1 ν се явява конструкция на функцията на РТС

qdxdf = q xDf , т.е. ν = jk+1 (q (x) dx

df), q (0) = dx

dq(0).

За по-нататъшния анализ на алгоритъма на Мазер ни е необходим някакъв допълнителен математически апарат. Имайки работа със струи, често се налага да се провеждат „прекъснати” алгебрични операции. За дадения многочлен р(x), където x = (x1, ..., xn), ние ще го наречем прекъснат до степен k (включително), многочленът, образуван от всички членове р(x), чиито степени са

равни или по-малки от k. Това прекъсване се означава чрез к

хр )( .

Фактически (напомняме, че x0 = 0) к

хр )( = jk р(x). Ще фиксираме някаква стойност на k, и нека р и q - произволни многочлени. Тогава

кqр + =

кр +

кq .

За произведенията съответната формула има вида: к

рq = k

kkqp . На основата на този анализ ние можем да разгледаме операциите над k - струите: jk (р

+ q) = jkр + jk q; jk (рq) = k

kk qjpj ))(( ; jk (j q) = k

kk qjjj (струен аналог на “верижното правило”). “Верижното правило” – обобщение на правилото за диференциране на сложните функции, същността на което се състои в следното.

-14-

Ако f : Rn → Rm – диференцируемо изображение в точката f (x), то композицията на изображенията q f : Rn → Rр ⇒ q f = q (f (x)) също е диференцируемо изображение в

точка x и нейната производна се намира по формулата D (q f ) х = D q )( хf D f) х . С отчитане на алгебричните операции векторът ν на допирателното пространство може да се запише по следния начин:

ν = jk+1(q (x) dxdf

) =

111 ).(

+

++

kkk

dxdfjxqj .

Струите jk+1q (x) образуват векторно пространство I1k+1 на нормално функциониране

на РТС. То може да се представи като пространство на всички многочлени (полиноми) със степени на едночлени, сключени между 2 и (k +1).

Избирайки някакъв базис в I1k+1, ние можем да намерим базис на интересуващото ни

допирателно пространство. Например, ако полиномите р1(х), ...., рr(х) в I1

k+1, тогава базис в допирателното пространство jk f (х) ще бъде

jk+1 ( )

dxdfxpi , 1 ≤ i ≤ r.

От тях може да се отстранят тези, които след прекъсването се оказват линейни комбинации на другите. Очевидно е, че базисът е в I1

k+1: х2, х3,..., х k+1. Определение Функцията f (х) ще наречем k- определена в точка х0 (тук е прието х0 = 0), ако за всяка друга функция f~ със същата тази k – струя съществува такава гладка замяна на променливите, определящи нормалното функциониране на РТС, че е изпълнено f (х) = f~ ( х~ (х)) . Намирането на k – определеността на функцията f (х) позволява да се намери (ако, разбира се, това е възможно) полином на крайна и достатъчно неголяма степен, еквивалентен на f . От това следва, че ако jk f (х) = f~ (х) и f~ (х) е еквивалентна на f (х), то е възможно прекъсването на реда на Тейлор за функцията f (х) до k – тата степен включително. В случая функциите с много променливи f : Rn → Rр общият допирателен вектор към орбитата на (k+1)- струя jk f (х) ще бъде [65]

γ = jk+1 ( )

∑= i

n

ii dx

dfxq1

= ∑=

+n

i

ki jxQ

1

1)( .

1+

k

idxdf

, където Qi – произволен полином от

I1k+1. Тъй като всеки член с порядък k и (k+1) в jk+1

idxdf

изчезва след умножаването на

елементите Qi(х) от порядък ≥ 2 и прекъсване до (k+1)-ва степен, допирателното

пространство към орбита jkf (х) зависи само от многочлените jk+1

idxdf

.

Използване на алгоритъма на Д. Мазер за изчисляване на k- определеност на функцията на катастрофата на РТС, имаща n– променливи.

1. Изчисляват се полиномите

Rij (х) = jk+1

)(xp

dxdf

j , i, i = 1, 2, …., (2.4.20)

-15-

където { })(xp j - базис на пространството { In

k+1 : x12, …, xn

2, x1x2, …, x1xn, …}. 2. Функцията f(х) ще бъде k – определена, ако всичките членове от (k+1)-ва степен могат да бъдат записани във вид на линейни комбинации от полиноми Rij(х) с постоянни коефициенти, т.е. е изпълнено включването (2.4.19). 2.5. ДЕФОРМАЦИЯ (УНИВЕРСАЛНИ ИЗМЕСТВАНИЯ) НА ФУНКЦИИТЕ. НАРАСТВАНЕ НА ФУНКЦИЯТА НА КАТАСТРОФИТЕ Функциите с неморзовски критични точки, към които се отнася и нарастването на функциите на катастрофите, могат да се срещат устойчиво само в семействата функции, зависещи от един или повече управляващи параметри. Затова може да се изучи изместването на дадена функция с изродена критична точка, влагайки неморзовска функция f(х) в семейството функции F(х;а): Определение Деформацията на ФК на РТС F(х;а) се нарича универсална деформация f(х), ако тя е версална и има минимална размерност. Д. Мазер е предложил алгоритъм за определяне на универсалната деформация (изме-стване) на функциите (в теорията на катастрофите това е нарастването на функцията на катастрофите). Алгоритъмът изисква да се намери броя, k- определеността на функцията f(х), за това, че работи само с полинома f~ (х) = jk f(х). При това се предполага, че nj – последователност на едночлените от променливите x1, x2 , ..., xl

• F(х;а) е р-мерна деформация на полинома f~ (х). Полиномите Tj(х) образуват минимално множество тогава и само тогава, когато те са линейно независими. При намиране на каноническата линейна (по Tj(х)) форма на универсалната

деформация полинома f~ (х) F(х;а) = f~ (х) + ∑=

p

jjj xTa

1)(

за определяне на параметрите на деформацията аj може да бъде приложена теоремата за неявните функции. Алгоритъмът за намиране на нарастването на функцията може да се определи по следния начин [12].

1) да се намери k–определеността на функцията, след което може да се работи с полиномите f~ (х) = jkf(х);

2) нека Vk – линейно векторно подпространство, пораждано от всички едночлени от x1, x2 , ..., xе (променливи на неморзовската функция на степен) не по-висока от k,

при това dim Vk = !!)!(

lklk + ;

3) нека VR – линейно векторно подпространство Vk, пораждано от всички едночлени Rij(х), получавани в алгоритъма чрез намиране на определеността;

4) нека VD – линейно векторно подпространство, пораждано от минималното множество Тj(х), получавани в алгоритъма за деформациите.

Тогава Vk – (VR ⊕VD) = Vk/(VR ⊕VD) е линейно векторно пространство, породено от първите частни производни на нарастването f. 2.6. ИЗСЛЕДВАНЕ НА БИФУРКАЦИОННОТО ПОВЕДЕНИЕ НА ЛЕТАТЕЛЕН АПАРАТ Ще разгледаме поведението на симетричен реактивен летателен апарат, за който загубата на устойчивост съответства на една елементарна катастрофа [12].

-16-

Променливи на състоянието: трите компонента на ъгловата скорост x1 = ωх, x2 = ωу, x3 = ωz, x4 = α – ъгъл на атака, x5 = β (ъгъл на плъзгане), х ∈R5. В дадения случай ние ще ги означим така, както е прието в теорията на управлението – чрез u и ще ги назовем с управлението.

И така, u1 = а1 = δэ = 21 ( δэл + δэд) , (2.6.1)

където δэл, δэд – отклонение съответно на левия и десния елерони;

u2 = а2 = δв = 21 ( δвл + δвд), (2.6.2)

δвл, δвд – отклонение съответно на левия и десния рул за височината. По такъв начин имаме х ∈R 5, u (= а)∈R 5. Уравненията на движението на летателния апарат имат следния вид:

iх = fi (х; u), i = 5,1 , u ∈R2 (2.6.3)

стационарното решение на което е xi0 = 0, i = 5,1 , u j0 = 0, j = 2,1 . Разлагаме системата уравнения (2.48) в ред на Тейлор в околностите на стационарната точка (x0 = 0, u 0 = 0). Имаме

iх = ∑= ∂∂5

10

j j

i

xf

.xj + ∑= ∂∂2

10

j j

i

uf

.uj + ∑∑= ∂∂

∂3

10

23

j kj

i

jk xxf

.xj xk , i = 3,1 ; (2.6.5)

iх = ∑= ∂∂5

10

j j

i

xf

.xj + ∑= ∂∂2

10

j j

i

uf

.uj, i = 5,4 . (2.6.6)

В разлагането първата сума представлява линейните аеродинамични съставляващи, втората сума – линейните управляващи въздействия, третата – сума отчита инерционните параметри.

Стационарните решения на системата са намират чрез полагането iх = 0, i = 5,1 ;

0 = ∑= ∂∂5

10

j j

i

xf

.xj + ∑= ∂∂2

10

j j

i

uf

.uj + ∑∑= ∂∂

∂3

10

23

j kj

i

jk xxf

.xj xk , i = 3,1 ;

(2.6.7)

0 = ∑= ∂∂5

10

j j

i

xf

.xj + ∑= ∂∂2

10

j j

i

uf

.uj.

(2.6.8) Означаваме се за удобство

0j

i

x

f

∂

∂= Fij; i = 5,4 , j = 5,1 .

0j

i

uf

∂∂

; j = 2,1 , i = 5,1 . 0

2

kj

i

xxf∂∂

∂= Bi,jk .

Двете уравнения са линейни спрямо променливите x1,..., x5. Използвайки ги, ще изразим променливите x4, x5 с отчитане на (2.6.9) – (2.6.10) във вид на линейна комбинация от управляващи параметри и останалите променливи x1,..., x3. Замествайки тези изрази в (2.6.7), ще получим три нелинейни алгебрични уравнения

ijU~ , jF1~

са получени при полагането на x4 и x5 в (2.6.7-8) и привеждане на подобните членове. Инерционните членове не се променят, тъй като в тяхната сума не влизат променливите x4, x5.

-17-

Полагането на (2.6.13) – (2.6.16) в първото уравнение (2.6.12) което води до следното алгебрично уравнение за нормалното функуциониране на РТС:

0 = ∑=

2

1

211 )(~

jjj xQuU + 1

~F .x1Q12(х,u) + 12

~F Q1(х,u)Q2(х,u) +

+ 13~F Q1(х,u)Q3(х,u) + B1.23Q2(х,u)Q3(х,u). (2.6.17)

Това уравнение е от 5-та степен спрямо променливата x = x1. Ще отбележим, че Q1(х) не зависи от управляващите параметри (управлението). 2.7. ИЗВОДИ НА ГЛАВА ВТОРА 1. Разгледан е пример за трансверзалното пресичане на две многообразия с оглед на

приложенията им в механо-математичното моделиране. От фиг. 2.1.3 следва аналитичното доказателство, че морзовските функции са структурно устойчиви.

2. Изследвано е с няколко примера многообразието на катастрофите и бифуркационното множество на елементарните катастрофи. Доказано е че бифуркационното множество (сепаратриса на управляващите параметри е съставено от точката на конструкцията и кривата на сгъване, описвана от уравнение (2.2.12).

3. Изследвана е инфинитезималната устойчивост на алгоритъма на Д. Мазер. Анализирани са и са показани примери за универсална деформация на функция на катастрофата.

4. Показано е че функциите с неморзовски критични точки, към които се отнася и нарастването на функцията на катастрофите се среща устойчиво само в семействата на функциите, зависещи от един или няколко управляващи параметъра.

5. Изследвано е конкретно бифуркационно поведение на летателен апарат по време на полет, като е публикувана статия по този въпрос.

ГЛАВА ТРЕТА ЕЛЕМЕНТИ НА ПРИЛОЖНАТА ТЕОРИЯ НА КАТАСТРОФИТЕ

3.1. СИСТЕМИ, ОПИСВАНИ ЧРЕЗ ПОТЕНЦИАЛНАТА ФУНКЦИЯ В глава трета, параграф 3.1. са разгледани методите на теорията на катастрофите спомагащи да се определи чувствителността на критичното, или разрушаващото натоварване, както спрямо несъвършенството на конструкцията, така и спрямо динамичното въздействие. В този смисъл трябва да се има предвид, че съществуват няколко вида твърда чувствителност към несъвършенство. Чувствителността към несъвършенство при различни стойности на показателя р е посочена на фиг. 3.1.1: колкото е по-малка р, толкова е по-висока чувствителността към несъвършенство.

Фиг. 3.1.1. При малка р чувствителността към критичното натоварване Fс зависи съществено от параметъра на несъвършенството ε. Тук Fс = Fр – к рε .

-18-

Чувствителността към несъвършенство на конструкцията, намираща се под натоварване, може да се определи по следния начин. Критичните точки х(0), х(1), ...... на потенциалната функция V при каквото и да е натоварване се F определя от уравнението ∇V = 0. Във всяка критична точка се намират критични стойности V (i) = V(х(i); F, ε). Ако х(0) е локалното устойчиво състояние на равновесие, а х(1) – най-малкото най-близко морзовско 1-седло, то динамичната чувствителност към несъвършенство се определя по формулата: ΔЕ = V (1) – V (0) (3.1.7) Физически това означава, че системата остава в локално устойчиво състояние х(0) при нулеви или малки колебания (V(0) + ΔЕ < V(1)) до тогава, докато кинетичната енергия, внасяна в системата отвън, не стане дотолкова голяма, че системата да може да „прескочи” през потенциалната бариера V(1)–V(0) в някаква друга равновесна конфигурация. Стойностите на динамичната чувствителност към несъвършенство, получавани от формула (2.7), имат при ε → ΔЕ вида (3.1.6).

За системите, изучавани в тази глава, динамичната чувствителност към несъвършенство е по-важна, отколкото статичната чувствителност. Две конструкции с тъждествени потенциални функции V (х; F, ε) могат да се различават от функциите на кинетичната енергия. В този случай тяхното поведение при статично натоварване ще бъде идентично, обаче техните реакции на динамичното натоварване могат да бъдат различни. Дори ако системата е консервативна, действащите върху нея смущения от опре-делен клас може и да не бъдат консервативни. Такива са натоварванията, предизвиквани от вятъра и дъжда, както и някои видове динамични натоварвания, като, например, натоварването на мост, предизвикано от движещ се влак. 3.2. Уравнение за надеждностната устойчивост на фона на единството на микросвета Механизмът на надеждността е възможно да се изследва на различни нива на структурната организация на материята и нейните микрочастици. Идеята за надеждността е актуална още в света на елементарните частици, тъй като тя отразява физическата природа на активните елементи на тази или онази система. Съвременното състояние на теоретико моделното и експериментално изучаване на явленията в микросвета, позволява да се разгледа въпроса за ,,стабилността на материята” на нивото на елементарните частици. Вероятността да се намери микрочастицата в малък обем dV от пространството W се определя с помощта на вълновата функция по следния начин:

2dW dV= Ψ ;

2dWdV

∗= Ψ = ΨΨ , (3.2.11)

където ∗Ψ е функция която е комплексно спрегната на Ψ . От (3.2.11) следва, че квадратът на модула на вълновата функция определя всъщност плътността на вероятността, т.е. вероятността една частица да се намира в единица обем от пространството W .

Следователно физическия смисъл на вълновата функция ( ), , ,x y z tΨ на Планк е вероятностен. От това следва, че по-правилно е тя да се нарича вълнова функция на надеждността на микрочастицата (ВФНМЧ).

Това е така, защото надеждността на една микрочастица е вероятност за нейното наличие в определен момент, точно на предполагаемото място в обекта (пространството) при наличието на съответната неопределеност на измерването (наблюдението със най-съвършен микроскоп).

Разбира се трябва да се има предвид, че Макс Планк въвежда термина вълнова функция в интервала от (1900 – 1905) г., когато термина надеждност не е бил въведен в науката и се е говорело само за качеството на този или онзи физико-химичен процес или обект.

-19-

За да се определи вероятността дадена микрочастица да се намира в определен момент от време в някаква точка от пространството W , трябва да се извърши интегриране на ВФНМЧ по елементарния обем dV в границите от −∞ до +∞ от което следва:

( ) 2, , , . 1W x y z t dV

+∞

−∞

= Ψ =∫ . (3.2.12)

Тъй като вероятността е величина, която се изменя в границите на 0 до 1, то условие (3.2.12) се нарича условие за нормировка на ВФНМЧ. Физическия смисъл на (3.2.12) е свързан с факта, че при определени условия микрочастицата със сигурност трябва да се намира в някоя точка от пространството W . Следователно сумарната вероятност частицата да се намира някъде в пространството ще бъде равна на единица. От това ще следва, че условието за нормировка потвърждава обективното съществуване на микрочастицата във пространството и времето.

От всичко което е анализирано по-горе следва изводът: ,,Вълновата функция на надеждността на микрочастиците обединява техните

вълнови и квантови свойства и служи за описание на поведението им в разглежданото пространство на състояния. Константата на Планк се явява абсолютната мярка на неопределеността при измерването на състоянието на микрочастиците (елемен-тарните частици)”. Теза за надеждностната устойчивост на микросвета! Разглеждаме непрекъснато еволюираща система от микрочастици (СМЧ). Нейното функциониране (взаимодействие) се представя чрез система-ма от обикновени диференциални уравнения, записани в нормална форма:

( ) ( ) ( )1 0 0, ,..., , 1,..., ; ,i i n i ix t f t x x i n x t x′ = = = (3.2.14)

където t е независима променлива на текущото време; ( ) ( )1 ,..., nx t x t са търсените функции детерминиращи основните параметри на РТС; 0t и 0ix са зададените начални

условия на работа на разглежданата система, а символът ( ) ( )i ix t dx t dt′ = означава про-

изводна на функцията ( )ix t .

В (3.2.14) се предполага че функциите ( )1, ,...,i nf t x x са реални. При тези условия е възможно записването на системата от диференциални уравнения (3.2.14) в следната векторна форма:

( ) ( ) ( ) ( )1 0 0, , ,..., ,i i n nx t f t x x colon x x R x t x′ = = ∈ = . (3.2.15) Означаваме с HS кълбо с радиус H и център в началото на координатите на

Евклидовото пространство nR с норма 21

niix x

== ∑ . С T се означава интервал от реалната

ос на пространството, като е изпълнено условието { }T a t= < < ∞ , където a е −∞ или

някакво число. Ще се счита че функцията ( ), , : H nf t x f T S R× → е непрекъсната по два аргумента и отговаря на условията на Липшиц ( L ) по втори аргумент, т.е. е изпълнено следното неравенство ( ) ( ) ( ), , , 0f t x f t y L x y L const− ≤ − = > . (3.2.16) При тези условия е справедлива теоремата за локалното съществуване, както и единствеността и непрекъснатостта на зависимостта на крайният интервал на решението ( )0 0, ,x t t x на задачата от (3.2.14) относно устойчивостта на функциониране на СМЧ при

условия 0t T∈ и 0 nx S∈ [3].

-20-

От известната аксиома на Андрей Ляпунов, следва , че решението ( )z t се нарича

несмутено решение, а ( )x t - смутено решение на системата от обикновени диференциални уравнения (3.2.14) при наличие на импулсни смущения. Едни от най-ранните научни статии в които се предлага използването на импулсни диференциални уравнения за описание на обобщени смущения върху СМЧ са [3]. В работа се счита, че изучаването на процеса на изследване на процеса на функциониране на СМЧ, върху които въздействат обобщени импулсни смущения се определя от опростен вариант на системата от обикновени диференциални уравнения (3.2.14) имаща вида: ( ) ( ) ( ) ( )0 0, ( ) , , , nx t f t x t x t x x f R′ = = ∈ , (3.2.17)

и отскоците на аргумента x от първи род ( )i x i N∆ ∈ за които са зададени само техните моменти it , където 0 1 ... ...kt t t< < < < → +∞ , и оценката на отскоците i x∆ предизвикани от импулсните смущения. Диференциалното уравнение (17) с отчитане на импулсните смущения се записва във вид:

( ) ( ) ( ) ( )1

, ( ) i Д ii

x t f t x t x t tδ+∞

=

′ = + ∆ −∑ , (3.2.18)

където Дδ е делта-функция на Дирак. Определение за устойчивост на СМЧ Нека да разгледаме задачата на Коши за СМЧ

представена чрез системата от уравнения ( ) ( ){ } ( ) ( )0 0, , ;x t f x t t g t x t x′ ′= + = (3.2.20) Тази задача се нарича смутена по отношение на несмутената система от уравнения ( ) ( )020 : 1= [означението :=тук и по-нататък означава: равно по определение;

( )0⋅ означава, че функцията ( ) 0g t ≡ ].

В (3.2.20) функциите , ,x f g приемат стойности в областта на реалните числа )( 0 ∞<≤ ttR n , като функцията f удовлетворява условията на Каратеодори. Функциите g и

x имат локално ограничена вариация и непрекъснатост отляво. Така приетите условия осигуряват решаване на задача (3.2.20) в интервала [ 0 0, )t t h+ . Единственост на решенията не се предполага. Не е трудно да се състави задача (3.2.16) така, че равенството в основното уравнение да се разбира в обикновен смисъл. За това е достатъчно първото от равенствата (3.2.20) да се интегрира от 0t до всяко 0t t≥ . При предположение, че в този интервал решението на задачата (3.2.20) съществува се получава уравнението

( ) ( ){ } ( ) ( )0

0 0,t

t

x t x f x d g t g tτ τ τ= + + −∫ , (3.2.21)

равносилно при 0t t≥ на задача (3.2.17). В (3.2.21) временния интервал 0t tτ = − . Означаваме чрез h функцията на скоковете (т.е. прекъснатото събираемо в разложението на Лебег) на основната функция на риска ( )g t . Функцията h е определена с точност до произволно постоянно събираемо, поради което за определеност се счита че ( )0 0h t x= . Забелязва, че второто събираемо в дясната част на формула (3.2.18) е

непрекъснато зависимо от аргумента t . Извършва се ,,импулсна трансформация”, чрез следното полагане:

: , :y x h g hα= − = − . (3.2.22)

-21-

След това полагане се получава: ,,Уравнението за непрекъснатост на функцията ( )y t при локално ограничена вариация”.

То има следния вид

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )0

0,t

t

y t f y h d t tτ τ τ τ α α= + + −∫ . (3.2.23)

Не е трудно да се извърши и обратният преход от уравнение (3.2.24) към уравнение (3.2.21), т.е. тези две уравнения са равносилни. Обаче за разлика от (3.2.21) в уравнение (3.2.23) всички събираеми са непрекъснати функции. Това означава че равенство (3.2.23) е дефинирано в ,,елементарен смисъл”. В приведените по-горе предположения, уравнение (3.2.23) и (3.2.20) имат едно решение което се намира в интервала [ ) ( )0 0,t T t T< ≤ +∞ . Нека да изследваме въпроса за устойчивостта на решението на уравнението (3.2.20) дефиниращо задачата на Коши за система от микро частици (СМЧ). Преди всичко се вижда, че задачата се свежда до изследване на устойчивостта на нулевото решение ( )0 0x t ≡ , т.е. към случая ( )0, 0f t ≡ при 0 0x = . Ще считаме, че в уравнение (3.2.20)

външните въздействия се явяват функция на ( )g t′ , т.е. става дума за изследване на устойчивостта на СМЧ при постоянно действащи външни смущения. Нулевото решение на уравнение (3.2.15) се нарича устойчиво при обобщени импулсни външни въздействия, ако за всяко 0ε > съществува такова 0δ > , при което ако е изпълнено интегралното неравенство

( )1

. ,k

k

g t dt k Nδ−

′ < ∀ ∈∫ , (3.2.24)

то е валидно неравенството ( ) [ ), 0,x t tε< ∀ ∈ +∞ . (3.2.25)

При положение, че (3.2.24) и (3.2.25) не са изпълнени, нулевото решение на (3.2.14) е неустойчиво вследствие на обобщените импулсни външни въздействия. От тази устойчивост, следва аналогичната устойчивост при която началните условия се задават за всяко 0 0t ≥ . Ако δ не зависи от 0t , то нулевото решение на (3.2.14) се нарича равномерно устойчиво при обобщени импулсни въздействия върху СМЧ. Нулевото решение на (3.2.14) е асимптотически устойчиво при обобщени импулсни въздействия, ако при достатъчно малка вариация на функцията ( )g t в интервала [ ] ( )1,k k k N− ∈ и ограниченост на тази

вариация в интервала [ )0,+∞ следва ( ) 0x t → при t →+∞ .

Изследване на задачата на Коши за СМЧ Функционирането на СМЧ се представя чрез диференциалното уравнение от вида ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0,x t Ax t g t x′ ′= + = (3.2.26)

където ( )x t и ( )g t удовлетворяват предположението за локално ограничена вариация , а A е квадратна матрица от n -ти ред с реални постоянни коефициенти. От така извършеното изследване на задачата на Коши за СМЧ следва: Тезата за устойчивостта на функционирането на СМЧ:

,,Ако всички стойности на матрицата A от (3.2.12) притежават отрицателна реална част, то решението на уравнението ще е равномерно и асимптотически устойчиво. Ако обаче така формулираното условие е нарушено, то това решение е неустойчиво, от което следва и неустойчивостта на функционирането на СМЧ”.

-22-

В параграф 3.3 са изследвани работещи под натиск греди, които са елементи от конструкциите на рискови технически системи.

Като се има предвид, че за покриване на мостови „светли отвори” е извънредно ефективно използването на наклонената арки то е важно да се установи, какво ще се случи с арката при междинни натоварвания, и, в частност се определим критичното натоварване, а така също и чувствителността на арката както към несъвършенство, така и към динамично въздействие

Работата, извършена от външното натоварване F, е равна на стойността изчислено от F (a1

0 - a1). Потенциалната функция, описваща статичната идеална наклонена арка, има вида

Vр (a1, a2, F) =

+

2

2

421

4 24

al

al

Bl ππ- F (a1

0 - a1).

(3.3.4)

Математически разрушаващата се арка се описва с помощта на катастрофата на двойното сглобяване. Първоначално имат две неустойчиви състояния на равновесие с a2 ≠ 0 близо до устойчивото състояние на равновесие a2 = 0. Тези две неустойчиви състояния на равновесие съответстват на положенията „пропуквания”. Смяната на типа на устойчивост на РТС се изследва в 3.4 като тя се описва чрез четната потенциална функция Vр (x; F), зависеща от единствения управляващ параметър F, то би могло да потърсим превръщане в нула всичко освен един коефициент от реда на Тейлор [ ~ (Fр - F) x2], което неминуемо би довело до разглеждане на катастрофите на сборката (~ x4) или на двойната сборка (~ - x4). При липса на симетрия на разлагането в реда на Тейлор потенциалната функция Vр (x; F), описваща някаква съвършена система, ще има вида

Vр (x; F) = Vо + V1 х + 21 V2х2 +

!31 V3х3 + ......

(3.3.1) В общия случай ще подберем параметъра на порядъка x така, че съвършената система да има състояние на равновесие в x = 0. Тогава V1=0. (постоянният член няма съществено значение и може да бъде изключен чрез пренасяне на началото на координатната система.) Квадратичните, кубичните и членовете от по-висока степен в общия случай са различни от нула.

Ако се разглежда изменението на системата в зависимост от нарастващата прилагана сила F в точка F = Fр, то потенциалната функция може да бъде записана във вида

Vр (x; F) = 21 (Fр - F) x2 +

31 х3 + ......

(3.3.2) посредством замяната на мащабите по осите x и F. Членовете от четвърта и по-висока степени може да се пренебрегнат.

Критичните точки, съответстващи на Vр, се определят, както обикновено, от съотношението

dxd Vр = 0 = x {( Fр - F) + x}.

(3.3.3) Потенциалната функция, описваща съответстващата несъвършена система, има вида

Vi (x; F, ε1, ε2, …) = Vp (x; F) + p(х) , p(х) = ε1 x + 21 ε2х2 +

31 ε3х3 + ...... .

(3.3.4)

3.4. ЗА НАДЕЖДНОСТТА НА СОФТУЕРНОТО ОСИГУРЯВАНЕ ПРИ СЪВРЕМЕННИТЕ ПРОГРАМНИ ПРОДУКТИ Надеждност на софтуерно осигуряване (СО) е способността му да дава предвидените (очакваните) изходни резултати винаги, когато входните данни отговарят на спецификациите. Определението принадлежи на Гленфорд Майерс. По такъв начин надеждността на СО се определя от:

-23-

• изкривяване на входната информация; • неоткритите грешки в програмния код; • качество на работа оператора със СО и възможността за обучение.

И двата случая, посочени по-горе, не изразяват вътрешното свойство на СО, а по-скоро са негова функция. Тук е тънката разлика между обективната и концептуалната надеждност.

За разлика от определението за грешка на човека-оператор от [8], грешка в СО е всяка ситуация на възникване на безкрайни цикли по време на изпълнение, при която е невъзможно да приключи изпълнението със средства в самото СО. Отказът на СО е проява на грешка (в това число и на изкривена входна информация). За надеждността на СО се говори само от гледна точка на наличието на грешки. По тази причина осигуряването на надеждността на СО включва: недопускането на грешки, откриването на грешки, поправянето на грешки или пропуски в алгоритъма и създаване на устойчив софтуер (отказоустойчиви изчислителни средства).

Отказоустойчивостта се определя като способност на системата да се справя с появилите се грешки и да ги поправя. Системата е отказоустойчива, ако тя продължава да функционира при наличието на откази.

Отказоустойчивостта на софтуерното осигуряване на архитектурно ниво е сравнително нова област за изследване, която е получила през последните години много голямо внимание.

Едновременното осигуряване на изискванията за отказоустойчивост, информационна безопасност и бързодействие е сложна изследователска и практическа задача.

Към задачите на отказоустойчивостта в теорията и анализа за сложните софтуерни системи можем да отнесем следните:

• формулиране на основните понятия, използвани при изследването и прилагането на отказоустойчивостта на софтуера;

• откриване и изследване на основните фактори, определящи отказоустойчивостта на сложни софтуерни системи;

• избор и обосновка на критериите за надеждност за комплексите от програми от различен тип и предназначение;

• изследване на дефектите и грешките, динамиката на техните изменения при дебъгване и съпровождане, а също така и влиянието на показателите за надеждност на софтуера;

• изследване и разработване на методи за структурно построяване на сложни софтуерни системи, осигуряващи необходимата отказоустойчивост;

• изследване на методите и средствата за контрол и защита от повреди в софтуера, изчислителния процес и на данните чрез използването на различни видове излишък и други защити (например шумо защита);

• разработка на методи и средства за определене и прогнозиране на характеристиките на отказоустойчивостта в жизнения цикъл на софтуерните системи, отчитайки функционалното им предназначение, сложността, структурният дизайн и технологията на изпълнение.

Разликата между надеждността на технически обект и надеждността на СО е показана качествено на фиг. 1, чрез сравняване по интензивността на отказите им. Във времето интензивността на отказите на СО намалява за сметка на непрекъснатото откриване и отстраняване на откази в хардуера (техническия обект) [8].

Наклонът на кривата в началото е най - стръмен, тъй като най – много грешки се откриват и отстраняват при настройката и тестването на СО, преди то да постъпи в редовна експлоатация.

Описанието на поведението на СО във времето, в зависимост от съдържащите се в него грешки се извършва чрез надеждностни модели. Моделите се различават по изходните приложения, върху които се базират.

-24-

Нека в началото на настройката на СО ( 0t = ), то да съдържа 0N грешки, а за време t да са открити n грешки, като в програмното осигуряване са останали n0 ( 0 0n n N+ = ). При по–нататъшната настройка, интензивността на отказите (проявата на грешките) е постоянна, равна на λ (експоненциална хипотеза) и пропорционална на броя на останалите грешки.

От горните разсъждения следва уравнението :

( )0 0

dn k kn k N ndt

λ′= = = − , (3.4.1)

където k и k′ са константи, зависещи от: мащаба на времето, бързодействието на компютъра и разпределението на входните тестове. Коефициентът k′ отразява промяната на λ при преминаването от тестова работа към нормална експлоатация и не след дълго време от началото на настройката и тестването може да се положи 1k′ = . Тогава следва следното уравнение за средното време 0T за безотказна работа на СО :

00

1 1 ktT edn dt kN

= = . (3.4.2)

Ако допуснем, че при наличието на 0N грешки, средното време за безотказна

работа на СО е 0T ′ , може да се положи:

00

1TkN

′ = , (3.4.3)

или следствието от уравнение (3.4.3)

0 00

.exp tT TkN

′=

, (3.4.4)

което изразява връзката между средното време за безотказна работа и средното време за настройка и тестване. Чисто надеждностен модел на СО е моделът на Нелсон. При него за показател на надеждността на СО се използва вероятността за безотказна работа при r изпълнения на програмата ( )P r . Вероятността за отказ iQ при i – то изпълнение е :

1

s

i ij jj

Q p ζ=

= ∑ , (3.4.5)

където ijp е вероятността за избиране на j - тия набор от входни данни от общо s

възможни; jζ е двоична променлива, равна на 0 , ако i - то изпълнение при j –я набор от входни данни е извършило успешно (било е безотказно) и равна на 1 в обратния случай. За всичките r изпълнения за програмата ( )P r се записва:

( ) ( )1

1r

ii

P r θ=

= −∏ . (3.4.6)

След логаритмуването на двете страни на равенството (3.4.6) следват следните уравнения:

( ) ( ) ( )11

ln ln 1 ln 1r r

i iii

P r θ θ==

= − = − ∑∏ , (3.4.7)

( ) ( )1

exp ln 1r

ii

P r θ=

= − ∑ . (3.4.8)

-25-

Ако it∆ , е времето за i - то изпълнение, то сумарното време за първите i изпълнения е:

1

i

i kk

t t=

= ∆∑ , (3.4.9)

и може да се приеме, че:

( ) ( )ln 1 ii

i

ttθ

λ− −

=∆

, (3.4.10)

което означава, че логаритъмът на вероятността за безотказно i - то изпълнение е пропорционален на времето за изпълнение (експоненциална хипотеза).

Тогава следва окончателното уравнение:

( ) ( )1

exp .r

i ii

P r t tλ=

= − ∆ ∑ . (3.4.11)

Уравнение (3.4.11) определя връзката между надеждността на софтуерното

осигуряване ( )P r и броят на изпълненията r на софтуерната програма.

3.5. ИЗВОДИ ОТ ГЛАВА ТРЕТА 1. Равновесие, устойчивост и загуба на устойчивостта – това са основните въпроси,

разглеждани от математическата теория на катастрофите, относно механични конструкции.

2. Методите на теорията на катастрофите спомагат да се определи чувствителността на критичното, или разрушаващото натоварване, както спрямо несъвършенството на конструкцията, така и спрямо динамичното въздействие.

3. Две конструкции с тъждествени потенциални функции V (х; F, ε) могат да се различават по функциите на кинетичната енергия. В този случай тяхното поведение при статично натоварване ще бъде идентично, обаче техните реакции на динамичното натоварване могат да бъдат различни.

4. Изследван е проблемът за вълновата функция на надеждност на микрочастиците и мярката за неопределеност при измервания в микросвета. Изследвана е устойчивостта на решението на диференциални уравнения, описващи функционирането на система от микрочастици при наличието на постоянно действащи импулсни външни смущения.

5. Чувствителността на безопасното натоварване към несъвършенство е достатъчно малка и зависи от параметъра на несъвършенство от първа степен. За достатъчно големите механични въздействия безопасно натоварване не съществува.

6. В резултат на извършения анализ, следва, че математически различието между ръста на катастрофите на конструкция от метални греди се изразява само в смяната на знака на функцията на катастрофата (3.3.6). Физически това различие е съществено, като катастрофата на конструкция е глобално устойчива, докато двойната сглобка е глобално неустойчива. При първата винаги има някакво устойчиво състояние; за последната устойчивите състояния съществуват само в границите на области, имащи форма на сглобката в равнината на управляващите параметри.

7. Доказано е, че ролята на надеждностните модели на софтуерното осигуряване не е толкова оценъчна (както е при обектната надеждност), въпреки факта че те са инструмент за създаване на качествени и коректни софтуерни програми.

8. При разработката на софтуерното осигуряване трябва да бъдат предвидени механизми за съхраняване на текущото състояние (в смисъл на системни параметри и междинни резултати), достатъчно близко във времето до отказа.

-26-

ГЛАВА ЧЕТВЪРТА ИЗСЛЕДВАНЕ НА СЪСТАВНИ МЕХАНИЧНИ СИСТЕМИ

4.1. СЪСТАВНИ МЕХАНИЧНИ СИСТЕМИ (ССМ). ЧУВСТВИТЕЛНОСТ КЪМ НЕСЪВЪРШЕНСТВО Ще предположим, че ССМ се конструира съвършено, т.е. е изпълнено уравнението

Vр (x; y, F) = Vр (±x, ±y; F). (4.1.1) В този случай главните членове на разлагане в реда на Тейлор на потенциалната

функция на катастрофата на РТС, ще има вида:

Vр (x; y, F) = 21 (F1 - F) x2 +

21 (F2 - F) y2 +

41 σ1 x 4 +

41 σ2 y 4 +

21 сx 2 y2 +

+ членове от по-висока степен;

(4.1.2)

при това ще изключим от разглеждане членовете от шеста и по-висока степени. Чисто статичните и чисто динамичните несъвършенства се описват чрез:

а - степенни закони с показатели на степен съответно 1/2 и 1/3; б- динамичните несъвършенства не само могат да намалят носещата способност на

несъвършената система, проявяваща се със смяната на типа на устойчивост (при скок ε1 ≥ 0), но могат също да доведат до скок на устойчивата система през потенциалната бариера в хаос (ε1 < 0) (фиг. 4.1.1).

Защрихованите области от фиг. 4.1.1, показват границите на колебанията около устойчивото състояние на равновесие. Системата губи устойчивост, когато колебанията пресичат неустойчивия локален минимум.

Символите σ1 = ± 1, σ2 = ± 1 са въведени за отчитане на възможността за това, че двете индивидуални компоненти се разрушават в резултат на катастрофа от типа А±3. Преди да преминем към детайлния анализ на критичните точки на дадената потенциална функция, полезно е в началото качествено да се определят нейните свойства на глобална устойчивост.

Това може да бъде направено чрез изключване на квадратичните членове като несъществени в сравнение с членовете от четвърта степен при големи стойности r2 = x2 + y2

(предполага се, че членовете на степен по-висока от четвърта, са равни на нула). Например, ако влагането на членовете от четвърта степен в потенциалната функция Vр

е равно на

Vр → голямоr _

41 x 4 +

41 y 4 -

21 .3x 2 y2 =

41 (x 2 - y2) 2 - x 2 y2 ,

(4.1.3)

то Vр е устойчива в „направление” x 2 - y2 и неустойчива в „направление” x 2 = y2 (т.е. при (x 2

- y2) = 0) (табл. 4.1.1). В таблицата е показана устойчивостта на глобалната функция на катастрофата.

Свойства на глобалната устойчивост на потенциалната функция от вида

V(x, y) = 41 σ1 x 4 +

41 σ2 y 4 +

21 сx 2 y2

σ1

σ2

Условие

x 2 - y2

x 2 y2

Морзовски тип

+1

+1

-1 < с + + М02

с < -1 + - М12

+1 -1

-1 +1

произволно

М1

2 +1 < с - + М2

2 -1 -1 с < +1 - - М2

2 Матрицата на устойчивостта има вида

-27-

Vij = [

F1 – F +3σ1x2 + cy2 2cxy 2cxy F2 – F +3σ2y2 + cx2 ]

.

(4.1.5)

Системата уравнения (4.1.5) може да има до девет решения, изброени в дисертационния труд.

Последното множество решения съществува, ако квадратните уравнения съответстват на реални криви от втори ред (елипси и/или хиперболи) и тези криви се пресичат.

Множеството решения (x, y) = (0, 0) ще наричаме нулево разклонение или ствол. Това решение по силата на симетрията съществува при всички стойности на параметъра на натоварване.

Множеството решения, които се намират в (x, F)- равнини y = 0 ( # 2, 3) и в (y, F)- равнини x = 0 ( # 4, 5), ще наричаме (ако те съществуват) първични разклонения, а останалите четири симетрични решения (x → ± x, y → ± y) - вторични разклонения. Първичните разклонения се разклоняват от нулевото разклонение, вторичните – от първи-чните.

Ще определим свойствата на локалната устойчивост на потенциалната функция Vр, извършвайки елементарен анализ на бифуркацията.

Да предположим, че F2 > F1 > 0. При F = 0 решението (x, y) = (0, 0) е устойчиво, и то остава устойчиво до тогава, докато F не нарастне до F1 .

Фиг. 4.1.2. Зависещи от коефициентите на квадратичните членове бифуркационни

диаграми за потенциалната функция от вида (3.43). а – вторични разклонения, „изпускани” от едно от първичните разклонения, „се поглъщат”

от другото първично разклонение; б – вторичните разклонения са морсовски седла М12. Тези

седла отделят локално устойчивите състояние на равновесие (x, y) = (0, 0) от областта на глобална неустойчивост, която съществува при големи r.

Две интересни бифуркационни диаграми на потенциалната функция (4.1.7) са показани

на фиг. 4.1.2. На първата от тях вторичното разклонение „се спуска” от едно от първичните разклонения и се „поглъща” от друго.

На втората диаграма две първични разклонения са обърнати нагоре, а вторичните разклонения са обърнати надолу и са неустойчиви.

Низходящите неустойчиви (М12) вторични разклонения са потенциални бариери,

отделящи устойчивата (М02) критична точка (x = 0, y = 0) от глобалната неустойчивост (с < -

1). При F2 >> F1 или F1>> F2 отстоят далече от нулевото разклонение и височината на

потенциалната бариера е значителна; при F2 - F1 ≅ 0 и малко F1 – F това вече няма място. Анализът на несъвършенството може да бъде проведен за съвършените системи,

описвани от потенциалната функция (4.1.7); при F2 - F1 >> 0 той се свежда до анализ на катастрофите на системата [4].

-28-

Ситуацията става по-сложна, когато F2 ≅ F1. В този случай, макар и двете бифуркации да са „меки” (А+3), вторичните разклонения са обърнати надолу при с < -1, и, следователно, може да има място не само извънредна, но, което е по-лошо, непрогнозируема чувствителност към несъвършенство.

4.2. ОПТИМИЗАЦИЯ ЧРЕЗ ПОДДЪРЖАЩИ КОНЗОЛИ И СИМЕТРИЯ C4V Многокомпонентните системи се използват често в конструкциите на мостове или сгради. Например, несвиваемата греда и наклонената арка могат да бъдат обединени в конструкцията на моста

Разпространените в техниката конструкции обикновено се сглобяват от няколко „незадвижвани” структурни строителни блока. Модите на разрушение на съставната система може да бъдат значително по-резки, отколкото разрушаващите моди на съставните елементи.

Ако моста трябва да издържа максималното натоварване FМ, то гредата не трябва да се изкълчи, а арката не трябва да приплъзне при F < FМ..

В действителност в практиката на конструирането се предвиждат допълнителни предпазни мерки и се използват греди, безопасни при натоварвания, превишаващи FМ, да кажем, с 50%.

Освен това, съгласно философията на оптималното конструиране, е целесъобразно да се използват структурни елементи, разрушаващи се при едно и също натоварване.

В края на краищата, както показва практиката, няма никакъв смисъл да се използват тежка греда, която може да издържа натоварване 3FМ до изкълчване, ако арката се разрушава вече при 1,5FМ.

Освен това, тежките греди струват скъпо, така че от икономична гледна точка е по- целесъобразно да се използва греда, която се изкълчва също при 1,5FМ.

Инженерните оптимизационни процедури понякога могат да доведат до крайно нежелателни (и дори опасни) последствия.

Да предположим, например, че съставната система се конструира от n „незадвижващи се” компоненти, всяка от които се разрушава вследствие на катастрофа на сборки А±3. Тогава потенциалната функция, описваща съвършената система, има вида

V (x 1, x 2, …., x n; F) = ∑=

n

i 1 21 (F1 - Fi) xi

2 + ∑=

n

i 1±

41 xi

4 .

(4.2.1)

Ако долното критично натоварване се достига при F = F1 и това натоварване отговаря само на една разрушаваща мода, то ще има място за катастрофа от типа А±3, а чувствителността към несъвършенство ще бъде такава, както е описано по-горе.

По същество чувствителността към несъвършенство в случай на изместване от типа ε1 (х± у) има вида

F с = F р - к′ 3/2

1ε .

(4.2.16) докато чувствителността към динамично натоварване демонстрира каноническа степенна

зависимост (от степенния показател ½). F с = F р - к′ 3/2

1ε , където F = 2к . Комбинираната чувствителност към статични (ε1 ≠ 0) и динамични (ΔЕ ≠ 0)

несъвършенства се описва с повърхнината, показана на фиг. 3.3.4. Ако к1 << к2 , то единствената възможна разрушаваща мода съответства на

катастрофа А+3 по направление на оста х. Ако к1 >> к2 , то може да се получи само катастрофа А+3 по направление на оста у.

Във всички случаи изучаването на разрушаващите моди и параметрите на несъвършенство се свежда до едномерни задачи на изследването.

Когато к1 и к2 станат равни, както това изисква философията на инженерната оптимизация на конструкциите, за изучаването на разрушаващите моди е необходимо да се

-29-

привлече допълнително втората степен на свобода. Вместо една сборка получаваме две; вместо три фазови траектории на изменения на състоянието след изкълчване – 23.

Нещо повече, при F < F р те също са повече от една. Те представляват ,,седла”, отделящи локалното устойчиво състояние (х, у) = (0, 0) от областта на глобалната неустойчивост, която съществува при големи r2.

В параграф 4.3 е извършена оптимизация чрез поддържащи конзоли и симетрия С3V. Поддържащата конзола, изобразена на фиг. 4.3.1, се различава от конзолата, показана на фиг. 4.2.2, по симетричното разположение на пружините.

Съвършената система е инвариантна спрямо завъртанията на 2π/3 радиана, а така също изображенията във всяка от трите равнини, съдържащи една от пружините. Тези шест преобразувания (Е, С3, С3

2, σ1, σ 2, σ 3) образуват група, наричана С3V. Потенциалната функция Vр (x, у; F), описваща съвършената система, трябва да бъде

инвариантна спрямо преобразуванията на група С3V.

Фиг. 4.3.1. Потенциална функция, описваща тази съвършена поддържаща конзола,

притежава група на симетрия С3V

Полиномиалните функции, които са инвариантни спрямо С3V, могат да бъдат

изчислени с помощта на методите, използвани в предходния раздел. Първоначално въвеждаме три вектора (фиг. 3.18)

а = х, b = - 21 х +

23 у, c = -

21 х -

23 у.

(4.3.1)

Смущаващата потенциална функция има вида

Vр (x , у; F, ε1, ε2) = х3 + 3ху2 +21 (Fр - F ).( х2 + у2) +

+ ε1х + ε2у.

(4.3.10)

Матрицата на устойчивостта има вида

Vij =

−+−

−−+

)(66

6)(6

FFxy

yFFx

p

p

.

(4.3.12)

На бифуркационното множество det Vij = 0. Следователно, бифуркационното множест-во се определя посредством трите уравнения (4.3.11а), (4.3.11б) и

(6х)2 + (6у)2 = (Fр - F ) 2. (4.3.13)

Това бифуркационно множество е показано на фиг. 4.3.3,а. В действителност физически интересна е само неговата най-малка F-компонента, доколкото системата се разрушава на това множество. Такава компонента е показана на фиг. 4.3.3,б [5].

Параметричното представяне на бифуркационното множество в този случай има вида

-30-

ε1 = {- 3(1 - t2) ± 621 t+ }х2,

(4.3.15) ε2 = {6t ± 6t

21 t+ }х2,

Fр - F = ± 6 21 t+ }х.

Изключвайки определени стойности на t, виждаме, че има място степенната (със

степенен показател ½) зависимост на разрушаващото натоварване от параметрите на несъвършенство ε1, ε2.

Фиг. 4.3.3. Бифуркационно множество от катастрофи а – бифуркационно множество катастрофи D-4 в пространство на управляващите

параметри F - ε1 - ε2; б – при нарастване на F до среща с бифуркационните множества произтича разрушаване. Повърхността на разрушаване е долния лист на бифуркационната повърхнина [5].

Чувствителността към несъвършенство за двойната сборка има същата тази степенна зависимост, както и обикновената сборка: степенният показател е равен на 2/3 за статичното несъвършенство и ½ за динамичното несъвършенство.

Аналогично, чувствителността към несъвършенство за двойното сгъване има същата степенна зависимост, както и обикновеното сгъване7 степенният показател е равен на ½ за статичното несъвършенство и 1/3 за динамичното несъвършенство.

В параграф 4.4 е извършено изчисляване на разрушаващата мода Показано е, че честотата на колебанията на разрушаващата мода намалява при при-

ближаване до критичното натоварване.

Фиг. 4.4.1. Честотата на колебанията на разрушаващата мода намалява при

приближаване до критичното натоварване.

-31-

4.5. УРАВНЕНИЕ ЗА ДЕФОРМАЦИЯТА НА МАТЕРИЯТА НА ПОЛИМЕРНА КОНСТРУКЦИЯ В този параграф на дисертационния труд е извършено изследване на деформацията на материята, от която е изградена една полимерна конструкция. Изведено е общо уравнение за движението на материята на конструкция от полимерен тип, без нейното разрушаване. Получено е конкретно решение за стойността на деформацията на конструкция (,,функция на катастрофата”) разположена в хоризонтална равнина.

Полимерите нямат точно определена молекулна маса. Голяма част от тях са неразт-ворими във вода, но се разтварят добре в бензин, толуен и др. Плътността им варира от 0.8 до 2.5 g/cm3. Свойствата им се определят от структурата им.

За изследване на деформацията на полимерна конструкция е необходимо да се детерминира ,,протичането (движението) на материята” в близката околност на дадена точка M от нея. За целта се означава с U обемът, а с S повърхнината на една произволно малка сфера C от деформиращото се тяло (конструкция), чийто център е точката M . Означава се с N пробода на един произволен лъч, насочен по единичния вектор n , приложен в точката M . Нека да се означи с ds някоя елементарна част от S , която съдържа точката N . Елементарното лице ds може да се представи с вектора .ds n ds=

, приложен в т. N . Деформаторът в посоката на n се означава като nq . Ако с основа ds и образуващи успоредни на вектора nq построим едно цилиндрично тяло, то неговият обем е равен на скаларното произведение .nq ds

. Тъй като дименсионното измерение на това произведение е

равен на 3 1 1[ . . ]cm s cm− − , то .nq ds е частно от геометричен обем.

Очевидно е, че ако се означи с ρ гъстотата на материала, от който е направена полимерната конструкция в точка N , то произведението .nq dsρ

може да се представи, като частно от маса. Следователно, произведението .nq dsρ

е точно елементарната маса, която би преминала през ds за една секунда време, ако за това време точките M и N променят разстоянието помежду си с 1cm . Това означава, че при елементарното преместване на точката M , а заедно с нея и на близката и околност на разстояние dl , елементарната маса, която преминава през ds се представя чрез следното произведение [4]:

. .nq ds dlρ . (4.5.1)

Изследването на динамиката на материала на полимерната конструкция е свързано с определяне на полярността на произведение (4.5.1). Това произведение е положително или отрицателно в зависимост от това, дали ъгълът между nq и ds е остър или тъп. В първият случай се наблюдава разреждане на материята, а във втория – сгъстяване. Ето защо, преминалата през повърхнината S на една произволно малка сфера C от деформиращото се полимерно тяло на конструкцията е

. . . .n nS S

dm q ds dl q n dsdlρ ρ= − = −∫ ∫

. (4.5.2)

С така поставения знак минус пред интеграла от (4.5.2), величината dm е положителна при увеличаване на масата и отрицателна при нейното намаляване. Нека да се изчисли по друг начин елементарното изменение dm на масата m в обема U на полимерното тяло. За целта се разглежда елементарният обем dU . Приема се, че ρ е неговата гъстота и тя е променлива величина. При преместването на елементарния обем dU от полимера на разстояние dl , изменението на гъстотата ρ има стойност

-32-

d dllρρ ∂

=∂

. (4.5.3)

Следователно, изменението на масата в обема U на полимера е

U

dm dldUlρ∂

=∂∫ . (4.5.4)

Трябва да се отбележи, че интегриранията в изразите (4.5.2) и (4.5.4) не се отнасят за величината dl .

Следователно, тя може да се счита за константа и да се изведе извън интегралите. По този начин от (4.5.2) и (4.5.4), след съкращаване на dl се получава ново уравнение имащо вида

. .nU S

dU q ndslρ ρ∂

= −∂∫ ∫

(4.5.5)

Уравнение (5) се преобразува чрез използване на теоремата на Гаус – Остроградски. При това се получава следното равенство

( ) 0nU

l q dUρ ρ∂ ∂ +∇ = ∫ . (4.5.6)

Това равенство трябва да е в сила при произволен избор на радиуса на произволно малката сфера C от деформиращото се тяло на полимерната конструкция, т.е. при произволен обем U . От (4.5.6) следва ново равенство:

( ) 0nqlρ ρ∂+∇ =

∂. (4.5.7)

Така новополученото равенство (4.5.7) се преобразува във вида

. . 0n nq qlρ ρ ρ∂+ ∇ + ∇ =

∂

. (4.5.8)

Като се съобразим,че

.n

d qdl lρ ρ ρ∂= + ∇∂

, (4.5.9)

следва окончателното уравнение за деформацията на материята от която е изградена една полимерна конструкция

. 0n

d qdlρ ρ+ ∇ =

. (4.5.10)

-33-

Уравнение (4.5.10) е най-общото уравнение за движение на материята на полимерната конструкция, без нейното разрушаване. То може да се използва като ,,Функция на предстояща катастрофа” с така изследвания обект.

Когато материята на полимерната конструкция е идеално несвиваема, то гъстотата ρ на материала е постоянна величина [8].

В този случай горната ,,Функция на катастрофата” на полимерната конструкция приема следния опростен вид 0nq∇ =

. (4.5.11) Примерно изследване на надеждността на полимерна конструкция подложена на стареене На фиг. 4.5.2 е показана механична конструкция от полимерен материал подложена на стареене от слънчево въздействие.

Фиг. 4.5.2. Механична конструкция от полимерен материал подложена на стареене от слънчевото въздействие

Полимерната конструкция е подложена на стареене от слънчевото въздействие поради което тя ,,изтънява” по средата между двете носещи стойки (фиг. 4.5.1). ,,Набла” операторът на деформацията се означава с nq∆ . Той действува перпендикулярно на оста Ox , точно по средата на полимерната конструкция. Обстоятелството, че изтъняването на конструкцията, предизвикващо риск от катастрофа (срутване на конструкцията), става точно по средата, ни дава основание да напишем следното уравнение:

2

2 2n

aqb x

∇ = −+

. (4.5.12)

В уравнение (4.5.12) математическите изрази 2a и 2b са подходящи константи, които зависят от веществото, вътрешния строеж, формата и раз-мерите на полимерната конструкция. Приема се че стойността на деформатора nq∆ е еднаква за всяка точка от напречното сечение на конструкцията. Симетричността на конструкцията ни дава основание да твърдим, че nq е вектор, успореден на оста Ox , т.е. е изпълнено условието [ ],0,0nq q

. От това условие следва преобразуване на (4.5.12) във вид на следното диференциално уравнение:

2

2 2ndq a

dx b x= −

+. (4.5.13)

От уравнение (4.5.13) следва решението за стойността на деформацията nq на полимерната конструкция:

-34-

2

n

a xq arctg Cb b

= − + , (4.5.14)

където C е интеграционна константа на решението. Тъй като в най-крайните сечения няма никаква деформация, то следва междинен извод: 0q = при стойности на координатата 2x l= ± . (4.5.15) Извършва се определяне от уравнение (4.5.14) и (4.5.15) на интеграционната константа и след заместването и в (4.5.14) следва окончателното решение за стойността на опасната деформацията (,,функция на катастрофата”) на полимерната конструкция при така разглеждания пример от фиг. 4.5.1.

2

2n

a l xq arctg arctgb b b = − ± −

, (4.5.16)

От така извършеното изследване на деформацията на материала, от който е изградена една полимерна конструкция, следват изводите:

• Изведено е общо уравнение за движението на материята на поли-мерната конструкция, без нейното разрушаване.

• Получено е конкретно решение за стойността на деформацията (,,функция на катастрофата”) на полимерната конструкция раз-положена в хоризонтална равнина.

• В уравнение (4.5.16) знакът пред функцията 2arctg l b е положителен при 0x > и отрицателен при 0x < .

4.6. ИЗВОДИ ОТ ГЛАВА ЧЕТИРИ

1. Състоянието на конструкцията се характеризира от критични точки на потенциалната функция. При това устойчивостта на състоянието се определя с помощта на морзовската характеристика на потенциала в критичната точка, а критичното натоварване, което може да издържи конструкцията – израждането на критичните точки.

2. За да се намери вида на потенциалната функция, описваща идеалната, или съвършената система, се въвеждат подходящи променливи състояния. Тогава критичното състояние за съвършената система се определя по пътя на разглеждане на стойностите на F, при които матрицата на устойчивостта става сингулярна.

3. Показано е, че инженерната оптимизация може да доведе до предположение за силно сцепление на елементите на конструкциите към неочаквани разрушаващи моди с твърда чувствителност към несъвършенство и динамична чувствителност.

4. Методите на теория на групите могат да бъдат използувани за привличане на теория на катастрофите към анализа на съставните системи, притежаващ симетрия от някакъв тип, а смекчаването на модата - за определяне на положението на критичното натоварване, преди да настъпи разрушаване.

5. Изведено е общо уравнение за движението на материята на полимерната конструк-ция, без нейното разрушаване. Получено е конкретно решение за стойността на дефор-мацията (,,функция на катастрофата”) на полимерната конструкция разположена в хоризонтална равнина.

-35-

Глава пета ИЗСЛЕДВАНЕ НА ФУНКЦИЯТА НА КАТАСТРОФАТА

НА ЛЕТАТЕЛНИ АПАРАТИ, АВИАЦИОННИ СИСТЕМИ И РИСКОВИ ФИЗИКО-ХИМИЧНИ СИСТЕМИ

5.1. ФУНКЦИЯ НА КАТАСТРОФАТА НА ТРАНСПОРТЕН ЛЕТАТЕЛЕН АПАРАТ В този параграф на дисертационния труд се изследва поведението на летателен апарат (ЛА) от транспортен вид, за който загубата на устойчивост съответства на една елементарна катастрофа. За този ЛА матрицата на устойчивост в случай на няколко стационарни решения има комплексно-спрегнати корени. При това един от нейните реални корени преминава през нулата и се явява отговорен за загубата на устойчивост и настъпването на катастрофа.

В общ случай уравнението на движение на ЛА е сложна, нелинейна система уравнения от първи род. Тази нелинейна система от уравнения има следния вид

( ); , ,n kii

dx F x c x R c Rdt

= ∈ ∈ , (5.1.1)

където в (5.1.1) се разглежда n – мерното x като система от променливи аргументи определящи състоянието на ЛА, чрез функцията на състоянието ( );iF x c в k - мерното пространство. Коефициентите c представляват система от управляващи параметри. Една от задачите на аеродинамиката се състои в определяне на зависимостта на решенето nx R∈ от управляващите параметри kc R∈ .

Предмет на теорията на катастрофите свързана с полета на ЛА е определянето на броя, типа и свойствата на устойчивостта на решенията на системата уравнения (5.1.1).

Съставена е система от нелинейни уравнения, характеризираща функцията на

катастрофата на ЛА:

231 1 1 2 3

312 2 2 3 1

123 3 3 1 2

0 ,

0 ,

0 .

jj

jj

jj

k c F x F x x

k c F x F x x

k c F x F x x

νν

νν

νν

′= + +

′= + +

′= + +

(5.1.19)

където ik cν ν е линейна комбинация на управляващите параметри; j

iF ′ - функция изразяваща

се чрез първоначалните коефициенти на функцията на линейния отклик jiF .

5.2. АЛГОРИТЪМ ЗА ОПРЕДЕЛЯНЕ НА МИНИМАЛНО ДОПУСТИМАТА ВЕРОЯТНОСТ ЗА БЕЗОТКАЗНА РАБОТА НА ЛЕТАТЕЛНИ АПАРАТИ Алгоритъмът се основава на следният модел на техническо обслужване (ТО) и летателна експлоатация на ЛА (фиг. 5.2.1):

-36-

Фиг. 5.2.1. Модел на техническо обслужване (ТО) и летателна експлоатация на ЛА

От анализа на състоянията на ЛА съгласно фиг. 5.2.1 и анализа на проблема в [13], следва следната формула за ВБР на ЛА:

( ) ( ) ( ) ( )τΡτΡ∆Κ=∆Ρ ∗Γ БРБРБР tt .. , (5.2.1)

където: РБР(∆t) - ВБР в процеса на ТО на ЛА за интервал от време ∆t (1 година), определен според статистическия анализ;

( )tK Г ∆ - коефициент на готовност на АТ, изчисляван на база средната наработка на отказ за 1год. То и средното време за възстановяване за 1год. - Тв;

РБР(τ) - ВБР за определено средно време на полетна задача τ (за ВВС-τ = 1 h, за ГА - τ = 4h); Р*БР(τ) - ВБР с отчитане на настъпването на катастрофални функционални откази (КФО) за средно летателно време τ.

ВБР, определена от откази довели до необходимост от изменение на плана за полет с продължителност τ [h], се определя съгласно:

( ) ( ) ττϖ−=τ

−≈τ .1T

1PO

БР , (5.2.2)

Допусканата относителна грешка δ при изчисленията съгласно формула (5.2.2) се

определя, съгласно 2O

2

T2τ

<δ , където: ( )τϖΛΑ - средна стойност на интензивността на

потока от откази (ИПО) на ЛА довели до необходимост от изменение на плана за полет с продължителност τ [h].

Статистиката на отказите показва, че за гражданските самолети ( ) 9990PБР ,=τ при h4=τ , благодарение на резервиране на всички авиационни

системи. Военно - транспортен самолет С-5А след две години от начало на ТЕ достига ( ) 980PБР ,=τ при h10=τ .

За авиационна бордова радиостанция Р-862 на самолет Миг-29 [5], средното време за полетна задача е h1=τ . Средната отработка между отказите във въздуха, довели до

-37-

необходимост от изменение на плана (задачата) за полет за 1 год. е h50TO = . От (5.2.2) се определя ( ) 980PБР ,=τ при 00020,<δ .

Съгласно [5], следва, че ВБР определена от настъпването на катастрофически функционални откази (КФО) настъпили по време на полет с продължителност - τ [h] е:

( ) ( ) ( ),. ΟΚτ−=τΡ∗ QR1РБ (5.2.4)

където: ( )τR - риск от настъпване на катострофически функционален отказ (КФО) на АТ за летателно време τ [h]; Q(К/O) - условна вероятност за настъпване на летателна катастрофа при отказ на съответната система или тип АТ.

Нормите за риск от настъпване на катастрофален функционален отказ (КФО) се определят според степента на отговорност на АТ и времето за развитие на евентуална катастрофа (до 1s, до 10s, до 1min, до 10min). Тези норми за риск от настъпване на КФО, са цитирани от следните литературни източници [5] и имат стойността:

R(τ) ≤ 10-7; 10-6; 10-4; 10-3. (5.2.5) В течение на една календарна учебна година ( t∆ =1 год.) се изчислява

допустимата ( )tP ДОПБР ∆, в процеса на ТЕ при Кг min=0,75 за АС на ВВС на РБ [19], по формула:

( ) ( ) ( ) [ ]iЛЕДОПБРБРГБР tPtДОП Σ

∗ ω−=ττΡΚ=∆Ρ .exp..min (5.2.6)

където: ЛЕit Σ - сумарен наработка на i-ти ЛА за интервала t∆ ; ДОПω - допустима максимална

стойност на ( )ω t в процеса на ТЕ.

От формула (5.2.6) може да се определи допустимата максимална стойност на ( )ω t -

ДОПω , като се използва утвърдената в съвременните авиационни стандарти постановка за

относително постоянство на ( )tω в интервалите на наблюдение t∆ за целия период на обслужване и експлоатация. Тази постановка пряко определя равномерното изразходване на ресурса в този период. След изчисления по формула (5.2.6), се получава: За комуникационна система Р-862 → ( )tP ДОПБР ∆, ≥0,73499. 5.3. Параметрично управление на ресурсните интервали на ЛА с цел изследване на функцията на катастрофата Параметричната оценка и прогнозиране на състоянието на ТС се базира на следенето на конкретни основни параметри (ОП), предопределящи съответствието към функционалното им предназначение и предотвратяването на катастрофално състояние. Примерно за бордова авиационна радиостанция Р-862, ОП включват достатъчния базис-мощност на предавателя и чувствителност на приемника. За по-сложни РТС, силови установки, колесник, ж.п. талиги, електродвигатели, генератори, хидравлични системи и др. базисът включва значително по-голямо количество ОП ( ) ( )mjitП ji ,...,3,2,1,, = в общ случай взаимно корелирани. При осигуряване на декорелацията (5.3.3) на отделните ОП за времето на стационарния период на ТЕ на РТС е възможно създаването на следния алгоритъм за диференциално параметрично ресурсно изследване, чрез използване метода на екцесията за прогнозиране на нелинейни процеси, разработен в трудовете на проф. дтн. Николай Петров.

На фиг. 5.3.1 е показано изследването на отделен ОП ( )tП , за интервал [ ]PKETt ,0 ( PKET - технически ресурс до край на ТЕ; PPPC TT = - технически ресурс до PP в конкретния случай или до основен ремонт в общ случай. На фигурата се наблюдава реалното (нелинейно) изменение на ОП ( )itП и идеалното (линейно) изменение на ОП ( )iЛ tП .

-38-

Фиг. 5.3.1. Реално (нелинейно) изменение на ОП ( )itП и идеално (линейно) изменение на ОП ( )iЛ tП

Изменението на i - ти ОП за времето на извършване на регламент-

ни, проверочни или ремонтни работи ( в случая интервал PPPС TTt =,0 , може да се представи (разложи) при условие за декорелация на отделните ОП осъществена чрез индивидуален контрол със съответни СИ, в ред на Тейлор от вида:

( )( ) ( ) ( )∑

=

−⋅=n

i

nn

i ttn

tПtП0

00

!. (5.3.4)

При 00 =t , анализът на ( )tПi започва от текущия момент 0t :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅⋅⋅+∆⋅

+=∆⋅

∆+=∆+

∆+=∑ t

dttdПtПt

nttПttП

tt

n

i

nn

00

00

0 !. (5.3.5)

Определената от (5.3.5) стойност на ( )ttП ∆+0 се явява базова за управле-ние на апостериорните между регламентни, проверочни или ремонтни (Мр, Мп, МР) интервали CT , в зависимост от конкретния реален априорен характер на изменение на ( )tП в предходния Мр, Мп, МР интервал. От (5.3.5) след съответни преобразования съгласно модела и метода, проф. дтн. Н. Петров се получава следното нелинейно диференциално уравнение характеризиращо изразходването на параметричния ресурс:

( ) ( )( )tr

СДПЕ T

tПtПttКdt

tdПtПtП

∆⋅∆+=∆⋅⋅+

∗0.)()()( , (5.3.6)

където: iii

iiiПЕ ttПП

ППtК

∆′−

= +

.)(.)( 1 - коефициент на параметрична eкцесия;

)(ˆlg)(ˆlg)(iЛ

ii tП

tПtr = - показател на сходимост между реалното и идеално изменение на ОП.

Решението на (5.3.6) е съгласно метода разработен в §2.4 и [44]. На основа на това решение е съставен и разглеждания алгоритъм.

В 5.4. е изследвана на параметричната надеждност на РТС с цел предотвратяване на катастрофално състояние.

П(t)

TPKE t[h]

ПД

TC=TPP

∆ПД

ПЛ(ti)

П(ti) П1 П2

Tc* П0

t0 t1 t2 t

TП ∆t

∆t

-39-

5.5. МЕТОД ЗА СПЕКТРОФОТОМЕТРИЧЕН АНАЛИЗ ЗА ОЦЕНКА НА КАЧЕСТВОТО И НАДЕЖДНОСТТА НА РАЗТВОРИ На фиг. 5.5.1 е дадено статистическото разпределение на R, G и B тристимулните стойности на образа на жълто оцветения разтвор на K2Cr2O7 с концентрация 80 μg / cm3.

0

100

200

300

400

500

600

0 50 100 150 200Tristimulus values

Num

bers

of t

imes

of e

ach

valu

e ap

pear

ance

Фиг. 5.5.1. Статистическо разпределение на тристимулните стойности.

Прави впечатление, че и трите тристимулни стойности се променят с промяна на концентрацията, но докато тристимулните стойности на R и G се изменят незначително, то тристимулната стойност на В се изменя чувствително.

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200

Concentration, µ g/cm3

Tris

timul

us v

alue

B

0

50

100

150

200

0 100 200

Concentration, µ g/cm3

Tris

timul

us v

alue

R

0

50

100

150

200

0 100 200

Concentration, µ g/cm3

Tris

timul

us v

alue

G

Фиг. 5.5.3.1 Фиг. 5.5.3.2 Фиг. 5.5.3.3

Фиг. 5.5.3. Влияние на интензитета на пропусканата през разтвора светлина върху

зависимостта на тристимулните стойности от концентрацията на разтвора (фиг. 5.5.3.1 - за тристимулна стойност В; фиг. 5.5.3.2 - за тристимулна стойности R и

фиг. 5.5.3.3 - за тристимулна стойност G). I - за по-малко интензивен светлинен източник и II - за по- интензивен светлинен източник.

В параграф 5.6. е извършен анализ на функциониране на фото синтезираща

биологична система като е използван софтуера BIOLYZER, разработен от R. Maldonado-Rodriguez и Станчо Павлов. За генериране на самоорганизиращите се карти всяка измервана крива на флуоресценция беше разделена на 10 интервала и геометричните характеристики (наклон и пресичане) на всеки интервал бяха използвани за дефиниране 20-компонентен вектор на характеристиките на всяка флуоресцентна крива, използвайки компютърна програма, която написахме специално за тази цел. Характеристичните вектори бяха въведени в пакета със самоорганизиращи се карти с цел да генерират двуизмерна топологична характеристична карта. Клъстърите в картата бяха отделени според честотата на разпределението според класа на резистентността им срещу стрес.

I

II

I

I

II II

-40-

Фиг. 5.6.1 Измерени преходи на флуоресценция на хлорофила при 8 разновидности на граха. Вмъкнатото в дясната долна част изображение представя генерираната самоорганизираща се карта. Тъмно оцветените области се отнасят до стрес-резистентните групи. Светло оцветените области се отнасят до чувствителните на стрес групи, а ограничените области до средно податливите на стрес.

Фиг. 5.6.2 Фигурата представя интегрираната област на клъстъри от самоор-

ганизиращи се карти според честотата им на разпределение в топологичната харак-теристична карта. Трите честотни значения са извлечени от тази графика и са използвани за определяне на резистентността срещу стрес при граховите култури.

Доказано е в заключение, че хлорофилът е отговорен за активността на

фотосинтезиращите реакции в растенията. Това означава, че информацията за критичните (катастрофални) последствия за състоянието на растенията и изобщо биологичния свят се отразява върху качествата на този основен биологичен субстрат.

-41-

5.7. Размити множества на критичността при изследване на рискови технически системи Критичните ситуации и събития имат редица специфични страни. Те създават трудности при анализа, включително и при моделирането на състоянието на рисковите технически системи (РТС). Към тези трудности се отнасят:

• неяснотата и непълнотата на описанието на явленията, действията, ефектите; • Невъзможност за точно фиксиране на границите на ергономичните системи, в

които се появяват критичностите; • нееднозначността на семантиката на отделни показатели, въз основа на които

се построява моделът на опасностите, респективно критичностите; • противоречивостта на информацията в документацията за въз-никнали

критични събития; • неувереността на прогнозите; • неопределеността в появяването на критичностите.

Това е причина съвкупността от стойностите на характеристиките на показателите на критичностите да бъде класифицирана като размито множество. Налага се използването на специфични информационно логически модели, които да бъдат създадени въз основа на теорията на размитите множества (fuzzy set) и размита логика (fuzzy logic).

За детайлизирано описание и систематично изучаване на критичните ситуации и събития се използват следните основни характеристики на размитите множества:

• носител на размитото множество, който е обикновено множество , съдържащо само тези елементи на универсалното множество, за които стойностите на функцията на принадлежност на съответното размито множество са по-големи от нула: ; (5.7.4)

• множество на α – ниво, удовлетворяващо условието ; (5.7.5)

• височина на размитото множество определена от , (5.7.6)

• нормално размито множество определено от (5.7.7)

• субнормално множество определено от

; (5.7.8)

• ядро на размитото множество , за което е валидно (5.7.9)

• граници на размитото множество при изпълнение на условието ;

• точки на преход, които са за елементите при • изпъкнало размито множество с функция на принадлежност

; (5.7.10) за всяка стойност на при изпълнение на условието

и Изложеното определение на размитото множество на критичните ситуации и събития

не ограничава избора на конкретна функция на принадлежност. Удобно е да се използват

-42-

такива, които позволяват да бъдат представени аналитично чрез проста математична функция.

По този начин изчисленията се опростяват и се намалява обемът на инфор-мацията, запазваща отделните стойности на функцията на принадлежност на РТС, чието състояние се определя от ,,Основния закон на надеждността” при стационарен, ординарен поток от откази и отсъствие на последствия, съгласно уравнението:

( )

( )

( )2

21

11 2, exp

t

t

t dtt

БР tP t t e t dt

− ω∫ = = − ω ∫ , (5.7.11)

където ( )tω e интензивността на потока от откази (нарушения) в ТИС за наблюдавания интервал от време 2 1t t t∆ = − определена от

( )( )

( ) ( )

1 21

1 2 1 21

,ˆ

, ,

n

ii

n

ii

r t tt

n t t t t=

=

ω =τ

∑

∑, (5.7.12)

където ( )1 2,ir t t е броят на отказите на i -тата система в интервала t∆ ; ( )1 2,n t t - броят на

наблюдаваните еднотипни системи за време t∆ ; ( )1 2,i t tτ - времето за непрекъсната работа на i -тата система [13].

Следва да се отбележат няколко важни съображения, които е необходимо да бъдат

отчетени при определяне на размитите аналози на обикновените теоретично-множествени понятия в областта на надеждностно-рисковите анализи. Уточняването на тези съображения влияе върху използването и моделирането на критичностите чрез апарата на размитите множества.

Първо, размитите множества са обобщение на класическите множества. Това води до

принципна еднозначност на определенията на размитите и класическите множества, които отразяват различните страни на появяване на критичните ситуации и събития.

Второ, ако при определяне на класическите множества универсалното множество х

може да се тълкува като „всичко, което е подходящо”, то сравнението на размитите мно-жества и извършваните с тях операции са възможни само тогава, когато съответните размити множества са определени при един и същ универсум, отнасящ се за РТС.

Трето, тъй като всяко размито множество се определя напълно чрез функцията си на

принадлежност на РТС, то тя често се използва като синоним на размитото множество. Следва обаче да се отбележи, че в общия случай една функция на принадлежност може да описва качествено различни размити множества, описващи рисковите ситуации.

-43-

5.8. ИЗВОДИ ОТ ГЛАВА ПЕТА 1. Изведената системата от нелинейни аеродинамически уравнения на движение на

летателен апарат от реактивен транспортен тип (функцията на катастрофата) показва нали-чието на бифуркационно множество от стационарни състояния на изследваната авиационна транспортна система.

2. На база на формули (5.3.4) до (5.3.13) е съставена програма за автоматизирано

изчисление на новия междурегламентен интервал UVВОНC TT =, . 3. Като резултат от изчисленията по осемте критерия за анализ на РТС се получава

множеството на избраните по многокритериален анализ алтернативи за поведение. Изборът от това множество на една алтернатива, зависи от предпочитанията на лицето вземащо решения.

4. Използването на дигиталната камера, при определени условия може да служи като

абсолютен тристимулен колориметър, то е възможно провеждане на абсолютен анализ, т. е. анализ без да се използват стандартни или еталонни разтвори.

5. Извършен е анализ на функциониране на фотосинтезираща биологична система

като е използван софтуера BIOLYZER, разработен от R. Maldonado-Rodriguez и Станчо Павлов. За генериране на самоорганизиращите се карти всяка измервана крива на флуоресценция е разделена на 10 интервала и геометричните характеристики (наклон и пресичане) на всеки интервал са използвани за дефиниране 20-компонентен вектор на характеристиките на всяка флуоресцентна крива.

6. Доказано е в заключение, че хлорофилът е отговорен за активността на фотосин-

тезиращите реакции в растенията. Това означава, че информацията за критичните (катас-трофални) последствия за състоянието на растенията и изобщо биологичния свят се отразява върху качествата на този основен биологичен субстрат

7. Размитите множества са обобщение на класическите множества. Това води до

принципна еднозначност на определенията на размитите и класическите множества, които отразяват различните страни на появяване на критичните ситуации и събития.

8. Практически за операциите с размитите множества това означава, че всяко

определение на една или друга операция с тях е справедливо в частните случаи, когато вместо размити се използват обикновени множества. С други думи частните определения се превръщат в общоизвестните на теоретично – множествените операции, ако участващите в тях функции на принадлежност се сменят с характеристичните функции на множествата.

9. Тъй като всяко размито множество се определя напълно чрез функцията си на

принадлежност към областта на нормално функциониране на РТС, то тя често се използва като синоним на размитото множество. Следва обаче да се отбележи, че в общия случай една функция на принадлежност може да описва качествено различни размити множества, описващи рисковите ситуации.

-44-

ПРИНОСИ НА ДИСЕРТАЦИОННИЯ ТРУД

В резултат на извършеното научно изследване са синтезирани следните научно-приложни и приложни приноси на труда.

Научно-приложни приноси:

• Създадена е в съавторство математическа теорема за единството на химико-физичната реалност на микро- и макросвета. Изследвана е устойчивостта на решенията на диференциалните уравнения, описващи функционирането на системата от микрочастици при наличието на постоянно действащи импулсни външни смущения.

• Изследвана е надеждността на софтуерното осигуряване на

съвременни програмни продукти. Доказано е че ролята на надеждностните модели на софтуерното осигуряване не е толкова оценъчна, както при обектната надеждност, въпреки факта, че те са инструмент за създаване на качествени и коректни програми.

• Създаден е алгоритъм за вземане на решения при изследвания за риск

в условията на неопределеност на математическите модели описващи функционирането на ТИС. Приложни приноси:

• Създаден е метод за спектрофотометричен анализ и оценка на

качеството и надеждността на химични разтвори. • Изследвана е деформацията на полимерни конструкции и е получена

съответната функция на катастрофата. • Изследвано е бифуркационното поведение на летателен апарат и е

получено уравнение на евентуалната катастрофа с него. • При осигуряване на декорелация на отделните основни параметри на

рискови технически системи за времето на стационарния период на експлоатация е създаден алгоритъм за диференциално параметрично ресурсно изследване.

• Теорията на катастрофите е приложена за изследване на процесите на

фотосинтезата в растителния свят. Резултатите са анализирани с помощта на самоорганизиращи се карти и могат да се използват като рутинен инструмент за мониторинг и класификация на растенията според нивата им на резистентност срещу стрес при засушаване.

-45-

• Доказано е че тъй като всяко размито множество се определя напълно

чрез функцията си на принадлежност, то тя често се използва като синоним на това множество. Следва обаче да се отбележи, че в общия случай една функция на принадлежност може да описва качествено различни размити множества, описващи рисковите ситуации.

Получените резултати и създадените програмни продукти са

внедрени във експлоатационната практика на авиацията на Република България и други рискови технически системи, използвани в страната ни и в Европейския Съюз.

-46-

БИБЛИОГРАФИЯ с участието на автора на дисертационния труд

[1] Maldonado-Rodrigez R., St. Pavlov, A. Gonzalez, A. Oukarroum, R. J. Strasser, Can

Machines Recognise Stress in Plants. Chemistry Letters, November 2003, Volume 1. Issue 3, pp 201-205.

[2] Petrov N., Kr. Yordzhev, St. Pavlov Analysis of the behavior of Dynamic Risks Technical Systems. "International Journal of Mathematical Sciences and Engineering Applications" Vol. 7 No. May 2013 pp. 129-135

[3] Petrov N., Kr. Yordzhev, S. Pavlov, Equation of the Functioning of an Aircraft and his Crash Function. in “Mathematics and natural science-2013”, Volume 1, SWU N. Rilsky, Blagoevgrad, Bulgaria, 2013, 113-120.

[4] Petrov N., Pavlov St. About the Reliability of Software Security of Modern Software Products. M. "Science & Culture" N 1 03.03.2014, pp. 45-51;

[5] Petrov N. , Angelova Kr., Pavlov St., Milusheva P. Equation for Deformation of matter of polymer constructionM. "Science & Culture" N 1 03.03.2014, pp. 73-78;

[6] Pavlov St. Parametric resource management inttervals of technical systems of the aircraft in ordder function tasting crash. J. “Science & Culture” , ISSN 1314-9881. V. 2 , 2015.

[7] Петров Н., Кр Ангелова, Ст. Павлов. Уравнение за надеждностната устойчивост на фона на единството на микросвета. Сп. "Наука, Образование, Култура". бр. 4, 8.03.2014, стр. 51-67.

[8] Петров Н., М. Дюлгерова, Кр. Ангелова, Ст. Павлов, П. Милушева Уравнение на деформацията на материята на полимерна конструкция. Сп. "Наука, Образование, Култура" бр. 2 , 3.03.2013, с. 35-41;

[9] Петров Н., Кр. Йорджев , Ст. Павлов. Функция на катастрофата на транспортен самолет. Сп. "Наука, Образование, Култура" бр. 3 , 6.09.2013, с. 29-38;

[10] Pavlov St. Generalized Lagrange’s Interpolation Polynomial 22.05.2014 http://ek.roncho.net/Science/ini.htm

[11] Павлов Ст. Дискретен модел на система за масово обслужване. сп. "Веди-Глагол", 16.07.2012, с. 1-3 http://ek.roncho.net/Science/ini.htm