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@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 1
FUNCIONES CUADRÁTICAS
Bloque III * Tema 103
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 2
FUNCIONES CUADRÁTICAS
• Todas las funciones que se pueden expresar de la forma
• f(x) = a.x2 + b.x + c
• Reciben el nombre de FUNCIONES CUADRÁTICAS. Su gráfica es una parábola.
• Para dibujar una parábola necesitamos conocer:
• 1.- Coordenadas del vértice.• 2.- Corte con el eje de
abscisas y el eje de ordenadas.• 3.- El eje de simetría.• 4.- Una tabla de valores.
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y5
-3
-5
f(x) = x2 – 2x – 3
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 3
GRÁFICA DE LA PARÁBOLA
• VÉRTICE DE LA PARÁBOLA• Como todo punto tendrá dos coordenadas: V(xv , yv)• Siempre se cumple: xv = - b / 2.a yv=a.xv
2 +b.xv+ c
• EJE DE SIMETRÍA• Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = xv = -b/2.a
• PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES• Si hacemos x=0 y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas.• Si hacemos f(x)=0 La solución de la ecuación a.x 2
+b.x + c = 0 nos dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay.
• TABLA DE VALORES• Además de los ya calculados, vértice y cortes, hay que dar dos o cuatro más
de valor de x simétrico respecto al valor del vértice.• Importante comprobación: Los cortes con el eje de abscisas, si los hay, son
simétricos respecto al valor de xv.• Muy importante: Si a>0 CÓNCAVA y si a<0 CONVEXA
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 4
PROPIEDADES • DOMINIO
• El dominio de f(x), como cualquier función polinómica será R. • Dom f(x) = R
• RECORRIDO
• La imagen de una función cuadrática sólo existe del vértice a +oo o del –oo al vértice, según sea cóncava o convexa.
• Img f(x) = (yv , + oo) en las funciones cuadráticas CÓNCAVAS.• Img f(x) = (- oo, yv ) en las funciones cuadráticas CONVEXAS.
• SIMETRÍA
• Como su gráfica es una parábola, sólo puede tener simetría PAR: • f(x) = f(-x) cuando el eje de la parábola sea el eje de ordenadas.
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 5
Ejemplo 1
• Sea f (x) = x2 - 3• a=1>0 Cóncava• Dom f(x) = R• Vértice:• xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0• yv= 02
- 3 = - 3• V(0, - 3)• Img f(x) = [ - 3, +oo)
• Sea f (x) = - x2 + x• a=-1<0 Convexa• Dom f(x) = R• Vértice:• xv = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2• yv= - (1/2)2
+ 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25• V(0’5 , 0´25)• Img f(x) = (- oo, 0,25]
V
V
-3
0,25
Ejemplo 2
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 6
• LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO
• Si tenemos una ecuación de la forma• y = a.x2 , y = a.x2 + b , y = a.x2 + b.x , y = a.x2 + b.x + c• Podemos decir que es una función cuadrática. • En ella x es la variable independiente e y es la variable
dependiente. • Las letras a, b y c son los llamados parámetros.
• La señalaremos así:• f(x) = a.x2 ,• f(x) = a.x2 + c , • f(x) = a.x2 + b.x , • f(x) = a.x2 + b.x + c
• Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva llamada PARÁBOLA.
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 7
La función f(x)= a.x2 , a > 0
• Sea y = x2
• Tabla de valores
• x y
• -3 9• -2 4• -1 1• 0 0• 1 1• 2 4• 3 9
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y9
1
4
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 8
La función f(x)= a.x2 , a < 0
• Sea y = - 2.x2
• Tabla de valores
• x y
• -3 - 18• -2 - 8• -1 - 2• 0 0• 1 - 2• 2 - 8• 3 - 18
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y
- 8
- 2
- 18
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 9
La función f(x)= a.x2 + c , a > 0 , c > 0
• Sea y = x2 - 2
• Tabla de valores
• x y
• -3 7• -2 2• -1 - 1• 0 - 2• 1 - 1• 2 2• 3 7
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y7
- 1
2
- 2
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 10
La función f(x)= a.x2 + c , a < 0 , c > 0
• Sea y = - 3.x2 + 5
• Tabla de valores
• x y
• -3 - 22• -2 - 7• -1 2• 0 5• 1 2• 2 - 7• 3 - 22
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y
- 7
5
- 22
2
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 11
La función f(x)= a.x2 + b.x , a > 0 , b < 0
• Sea y = x2 - 2.x
• Tabla de valores
• x y
• -3 15• -2 8• -1 3• 0 0• 1 - 1• 2 0• 3 3
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y15
3
8
- 1
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 12
La función f(x)= a.x2 + b.x , a < 0 , b > 0
• Sea y = - x2 + 5.x
• Tabla de valores
• x y
• -3 - 24• -2 - 14• -1 - 6• 0 0• 1 4• 2 6• 3 6
-2 -1 0 1 2 3 x
y
- 6
6
- 14
4
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 13
La función f(x)= a.x2 + b.x + c , a > 0 , b < 0 y c > 0
• Sea y = x2 - 2.x + 3
• Tabla de valores
• x y
• -3 18• -2 11• -1 6• 0 3• 1 2• 2 3• 3 6
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y
18
3
11
6
2
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 14
y
f(x) = - 0’5.x2
f(x) = - 2.x2
f(x) = x2
Ejemplos de dilatación
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 15
y
f(x) = 0’5.x2
f(x) = 2.x2
f(x) = x2
Ejemplos de dilatación • Sea f(x) = x2 Si debemos representar: f(x) = r.x2
• El efecto es que la parábola se deforma.
• Si r > 0 Conserva la concavidad Si r < 0 Se invierte.• Si |r| > 1 Se estrecha. Si |r| < 1 Se ensancha.
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 16
Problema• El consumo de gasolina en un coche, para velocidades comprendidas entre
30 y 190 km/h, viene dado por la función:•• Siendo x la velocidad en km/h y C(x) el consumo en litros/100 km• a) ¿A qué velocidad se debe conducir para que el consumo sea de
10 litros/100 km?• b) ¿A qué velocidad consume menos y cuál será dicho consumo?.
• a) 10 = 8 – 0,045.x + 0,00025.x2
• 0,00025.x2 – 0,045.x – 2 = 0 25.x2 – 4500.x – 200000 = 0• 5.x2 – 900.x – 40000 = 0 x2 – 180.x – 8000 = 0• x = [180 ±√(180x180 – 4x(-8000))]/ 2 = (180+254)/2 = 217 km/h
• b) El mínimo consumo estará en el vértice de la parábola:• Xv= -b / 2.a = -(-0,045)/2.0,00025 = 45 / 0,5 = 90 km /h• El consumo será:• Yv = 8 – 0,045.90 + 0,00025.902 = 8 – 4,05 + 2,025 = 5,975 litros/100 km
2( ) 8 0,045. 0,00025C x x x