Embed Size (px)
Citation preview
ABE üççgeninde; 550 + B = 950 Üçgende bir dış açının
ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri
toplamına eşittir.
B = 400
BDF üçgeninde; 400 +750 = x , x = 1150
Taban altıgen ; Çevre = 6.a, 24 = 6.a , a = 4
Yan yüz dikdörtgen ; Çevre = 2(a+b) , 18 = 2(4+b), b = 5
Açınımın çevresi = 20.a + 2.b = 20.4 + 2.5 = 90
Kare ve sekizgende köşegenlerin
yaptığı açılar 90o ve 45o dir. 270o lik
açı bunların tam katıdır.
Döndürüldüğünde köşe, köşeye gelir.
Altıgende açı 60o dir ve 270o yi tam bölmez. Bu yüzden döndürüldüğünde köşe, köşeye
gelmez.
Katlama nedeniyle;
|DE|=|D’E|, |DC|=|D’C| = 4
|AB|=|AB’|, |BF|=|FB’| = 4
ABC Dik üçgeninde Pisagordan;
|AC|2=32+42=52, |AC|=5
∆CDE≅ ∆CD’E ve ∆𝐴𝐵𝐹 ≅ 𝐴𝐵′𝐹 (KAK)
|AD’|+|D’C|=|AC|, |AD’|+ 4 = 5 ,
|AD’| = 1
Benzer şekilde; |B’C| = 1
|AD’|+|D’B’|+|B’C|=|AC|
1 +|D’B’| + 1 = 5 , |D’B’| = 3
AH⊥BC çizdiğimizde;
GD, ABH üçgeninde orta taban
|BD|=|DH|=1, |GD|=|KH|=|AK|
FE, AHC üçgeninde orta taban
|EC|=|EH|=4,
ABC üçgeninde Öklit teo; |AH|2=|BH|.|HC|, |AH|2=2.8=16, |AH|=4
|GD|=|FE|=2, |DE|=|DH|+|HE|=|GF|=1+4=5
Ç(DEFG)=2.5+2.2=14
𝐴(𝐸𝐹𝐺𝐻)
𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷)=
4𝑆
16𝑆=
1
4
DA çizildiğinde H ve G den geçer.
DA⊥BC ve |BE|=|EC|
BDE üçgeni 30o-60o-90o üçgenidir.
|DH|=3, |BE|=3√3, |AB|=6√3
|DH|=2|HE|, |HE|=1
|AH|=9, |AG|=2|GE|, |GE|=3
|GH|=|HE|+|EG|=1+3=4
∆FAB≅ ∆𝐸𝐴𝐵 (AKA)
|FD|+|DA|=|FD|+4=7, |FD|=3
Temel orantı teo; 3
4=
𝑦
2 y =
3
2
FDC üçgeninde Pisagor; 32=x2+(3
2)2
x = 3√3
2
A(EAF)=1
2𝑎. 𝑦 = 𝑆 ,
A(ABCD)=(2a)2=4a2=S+5S=6S
4a2 = 6. 1
2𝑎. 𝑦 , 3y = 4a,
Y=4k, a=3k, Pisagordan; |EF|=5k
8a + |EF| = 8.3k + 5k = 29k= 58, k=2, y = 8, y + x = 2a, 8+x=12, x = 4 cm.
CEB dik üçgeninde Pisagor;
52 = 32 + |BE|2 , |BE| = 4
Paralelkenarda karşılıklı köşelerin bir
doğrudan uzaklıkları toplamı eşit
olacağından;
|BE|+|DF|=|AK|+|CC|, 4 + 7 = |AK| + 0, |AK| = 11 cm.
EDC nin ikizkenar olması, DF nin EC ye dik
olmasını gerektirir.
DFE dik üçgeninde; Pisagor teo.
|DE|2 = |EF|2 + |DF|2
|𝐸𝐶|
|𝐷𝐸|=
2|𝐸𝐹|
4=
1 + √5
2
|EF| = 1 + √5
42 =(1 + √5)2 + x2
x 2 = 10 - 2√5
Boyalı bölgenin alanının EN KÜÇÜK
olması için, A(ABC) nin EN BÜYÜK
olması gerekir.
A(ABC) nin EN BÜYÜK olması için, A dan
çizilen yüksekliğin EN BÜYÜK olması
gerekir.
BAO ikizkenar dik üçgen, AO yükseklik
ve |AO|=2 cm. olmalıdır.
|AB|=|AC|= 2√2
|AB|+|AC| = 4√2 cm. olur.
|AB|=|AD|=6 Teğet uzunlukları
ABC üçgeninde Pisagordan;
102=66+|BC|2, |BC|=8
ABC~𝑂𝐷𝐶 benzerliğinden;
|𝐴𝐵|
|𝑂𝐷|=
|𝐵𝐶|
|𝐶𝐷| ,
6
𝑟=
8
4 , r = 3
Çevre = 𝜋. 𝑟 = 𝜋. 3 cm.
I. D ve E açılarının ölçüleri toplamı 180o
olduğundan, DHEC Kirişler dörtgenidir.
D, H ve E noktalarından geçen çember C
noktasından geçer.
II. Üçgenin üç yüksekliği aynı noktadan
geçer. DİKLİK MERKEZİ
III. |CA|=|CB| ise ACB ikizkenar olup
|BE|=|AD| ve CH açı ortaydır.
|HD|=|HE| olur.
Eşkenar üçgenin içteğet ve çevrel
çember merkezleri aynı olup
O noktasıdır.
AOH üçgeni 30o-60o-90o olup
|OH|=2, |AO|=4 ve |AH|=2√3 tür.
Boyalı bölgenin alanı=Büyük daire-üçgen alanı
B.B.A = 𝜋𝑅2 −𝑎2√3
4= 𝜋. 42 −
(4√3)2√3
4= 16𝜋 − 12√3 cm2
OCD eşkenar üçgen, mCOD=mOCD=60o
AOC ikizkenar üçgen,
mAOC=160o-60o=100o
mOAC=mOCA=40o
mBAO=90o Teğet yarıçapa diktir. mBAC=90o-40o=50o , mBCA=180o-(40o+60o)=80o
ABC üçgeninde; x + 50o + 80o = 180o , x = 50o
x Radyan cinsinden verildiğinde;
BD yayının uzunluğu = r.x =3x
BOD diliminin alanı = 1
2|𝐵�̂�|. 𝑟 =
1
2.3x.3
=9𝑥
2
Boyalı bölgenin alanı
=Dilim alanı-A(BAO)
A(BAO) = 1
2𝐴(𝑂𝐴𝐵𝐶) = 𝑎
𝜋 − 𝑎 =9𝑥
2− 𝑎
⇒ x = 2𝜋
9
AH⊥ 𝐵𝐶 çizildiğinde; |BH|=|HC|=x, AHC dik üçgeninde: 32=22+x2 , x=√5
CKE dik üçgeninde: (2√5)2=22+y2 , y = 4 , |DE| = 2y = 2.4 = 8
C OLAMAZ.
Katlandığında; C ile X üst üste
gelir.
VS = 𝜋𝑟2ℎ = 𝜋. 92. 21
VB = 𝜋.ℎ
3(𝑟2 + 𝑟. 𝑟′ + 𝑟′2)
= 𝜋.ℎ
3(62 + 3.6 + 32)=21.𝜋.h
VS =6.VB
𝜋. 92. 21 = 6.21. 𝜋. ℎ
h = 27
2 cm.
Küre: V = 4
3𝜋𝑟3
Silindir: VS = 𝜋𝑟2. ℎ
Koni: VK = 1
3𝜋𝑟2. ℎ𝑘
VKÜRE = VS = VK
4
3𝜋𝑟3 = 𝜋𝑟2. ℎ =
1
3𝜋𝑟2. ℎ𝑘
I. hk = 3.h DOĞRU
III. hk = 4.r DOĞRU
Kenar uzunluğu a olan karenin köşegen
uzunluğu a√2 ,
Taban köşegeninden geçen tabana dik
kesit, yüksekliği h olan bir üçgen.
Üçgensel bölgenin alanı = 𝑎√2.ℎ
2
x+2y-4=0 doğrusu,
x eksenini, y=0 için x=4 de A(4,0)
y eksenini, x=0 için y=2 de B(0,2)
keser.
x-2y+4=0 doğrusu,
x eksenini, y=0 için x=-4 de C(-4,0) ; y eksenini, x=0 için y=2 de B(0,2) keser.
ABC üçgeninde; |AC|=√(4 + 4)2 + (0 − 0)2 = 8 br.
BO yükseklik olup 2 br.
A(ABC) = 1
2|𝐴𝐶|. |𝐵𝑂| =
1
2. 8.2 = 8 br2
t=2 için;
1+3.2=7, 2+4.2=10 , A(7,10)
t=4 için;
1+3.4=13 , 2 + 4.4=18, B(13,18)
|𝐴𝐵| = √(13 − 7)2 + (18 − 10)2 = 10
(x,y) noktasının x=a doğrusuna göre
simetriği (2a-x,y) olduğundan;
3x + 2y = 6 doğrusunun x = 3 doğrusuna
göre simetriği;
3(2.3-x) + 2y = 6 dır.
3x – 2y = 12
ax – y – 2 = 0, m1 = a
x + 2y + 6 = 0, m2 = −1
2
3x – 2y + 10 = 0, m3 = 3
2
Dik üçgen olması için iki doğrunun dik
olması gerekir. Dik doğruların eğimleri
çarpımı -1 dir.
a.( −1
2) = −1, a = 2
a.3
2= −1, a = −
2
3
2 + (−2
3) =
4
3
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2 − 0, 7 − 2, 5 − 3) = (2,5,2)
P(0,2,3) Noktasından geçen doğrunun
denklemi: 𝑥−0
2=
𝑦−2
5=
𝑧−3
2 dir.
Doğru, düzlemi A(b,-3,c) noktasında
kestiğine göre; y = -3 tür.
A noktası hem doğruyu, hem de düzlemi sağlar. 𝑏
2=
−3−2
5=
𝑐−3
2 , b = -2, c = 1
bulunur.
–b-3+2c+a=0 dan 2-3+2+a=0, a = -1 olur. a+b+c=-1-2+1=-2 bulunur.
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2 − 0, 3 − 6) = (−2,−3)
|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(4 − 0)2 + (0 − 6)2 = 2√13
Aranan vektör; (−2,−3)
√(−2)2 + (−3)2. 2√13 = (−4,−6)
|�⃗� | = √(−3)2 + (4)2 = 5
|�⃗⃗� | = √(−4)2 + (2)2 = 2√5
⟨�⃗� , �⃗⃗� ⟩ = |�⃗� |. |�⃗⃗� |. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 5.2√5. 𝑐𝑜𝑠𝜃
= 10√5. 𝑐𝑜𝑠𝜃
⟨�⃗� , �⃗⃗� ⟩ = −3. (−4) + 4.2 = 20
10√5. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 20 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝜃 =2
√5
�⃗� 𝑖𝑙𝑒 𝑣 arasındaki açı 90o-𝜃 dır.
cos(90o-𝜃) = 𝑠𝑖𝑛𝜃
sin2 𝜃 +cos2 𝜃 = 1 , sin2 𝜃 +4
5 =1
cos(90o-𝜃) = 𝑠𝑖𝑛𝜃 =1
√5
⟨�⃗� , 𝑣 ⟩ = |�⃗� |. |𝑣 |. cos(90 − 𝜃) = 5.3.1
√5= 3√5
Parabolleri kesiştirelim;
x2+x-2 = -x2-x+10
2x2 +2x -12 = 0
x2 + x – 6 = 0
(x -2)(x + 3) = 0
x-2= 0 x1=2
x+3=0 x2=-3
y1=22+2-2=4 A(2,4)
y2=(-3)2+(-3)-2=4 B(-3,4)
[AB] çaplı çemberin merkezi;
(2 − 3
2,
4 + 4
2) = (−
1
2, 4)
Yarıçapı; 1
2√(2 + 3)2 + (4 − 4)2 =
52
Çemberin denklemi: (x +1
2)2 + (y - 4)2 = (
5
2)2
(x +1
2)2 + (y - 4)2 =
25
4 olur.
