.1 – ה B & Sנוסחת

יות2. נ ו ו הי

ות 3. ני ו ו י עם לגדר

Black & Scholesנוסחת ה – והיווניות

ה. – 1 Black & Scholesנוסחת

בכמה לאמוד מנת על הכרחית הנה הסיכון, מדידת בכלל פיננסים נכסים של מחירם את מדויק שיותר

ואופציות בפרט. – ה נוסחה Black and Scholes (1973)נוסחת הנה

את אקספליציטי באופן כוללת אשר אופציות לתמחור בתנודתיות ביטוי לידי הבא הבסיס נכס של הסיכון

המחיר. -ה המשוואה B&Sנוסחת של הפתרון למעשה הנה

) הבאה: PDEהדיפרנציאלית החלקית ( 021

2

222

rV

SVrS

SVS

tV

ה. – 1 Black & Scholesנוסחת

:כאשרV(אופציה) מחיר החוזה – σ)סטיית תקן )סיכון – S מחיר נכס הבסיס – rריבית חסרת סיכון –

021

2

222

rV

SVrS

SVS

tV

ה. – 1 Black & Scholesנוסחת

תזכורת: הנוסחה הזאת נגזרת (בשלב ראשון) מיישוםIto lemma על המשוואה הסטוכסטית המתארת את

הדינמיקה של מחיר נכס הבסיס. בשלב השני, מייצרת תיק "אדיש לסיכון".

),( StVSdzSdtdS

SdzSVdt

SVS

tVS

SVdV

2

222

21

ה – SDEמשוואת

החוזה מחיר

Ito’s lemma

),( txfdzdtdx

הרחבת את על Taylorניישםf(x,t)

22

2

0

2

0

22

22

2

2

21

))((21

21

dxxfdt

tfdx

xfdf

dtdxxxfdt

tfdx

xfdt

tfdx

xfdf

t

222

222

22

dtdzd

dtdzdzdt

dzdtdx

ה. – 1 Black & Scholesנוסחת

:החלק הראנדומלי "מנוטרל" ע"י יצירה של התיק הבא(אופציה) מכירה של החוזה רכישה שלδ .יח' נכס בסיס

בנכס שווה להשקעה התיק על כלומר התשואה לסיכון, אדיש התיק חסר סיכון:

:ולכן

dSdVdSV

dtrd

dtSVrdSdV

ה. – 1 Black & Scholesנוסחת

:נמשיך

rSdtSVrVdtdt

SVS

tV

dtSVrSdzSVdtS

SVS

tVS

SV

dtSVrSdzSdtSdzSVdt

SVS

tVS

SV

dtSVrdSSdzSVdt

SVS

tVS

SV

dtSVrdSdV

SV

2

222

0

2

222

2

222

2

222

21

21

21

21

תי ) בנינו לסיכון אדישות) סיכון חסר

ה. – 1 Black & Scholesנוסחת

-בשורה התחתונה אנחנו מקבלים את הPDE

:התנאים לפתרון

של במקרה חשובה: אנאליטי B&Sנקודה פתרון קיים ,למשוואה מעל. אולם, תחת הנחות מסובכות יותר, יש צורך

ע"י שיטות נומריות.PDEלפתור את משוואת ה-

021

2

222

rV

SVrS

SVS

tV

SSStVKSSTV

tV

,),(),(

0)0,(

ה. – 1 Black & Scholesנוסחת

:נסכם – הפתרון של הPDE - הנו נוסחת ה B&S.

– נוסחת הB&S) "מבוססת על ההנחה של "אדישות לסיכון Risk Neutrality .(על מיקומה של ההתפלגות מבחינה הסתברותית, "אדישות לסיכון" משפיעה

נכס בזמן מחיר אולם, Tהבסיס המגולם . הסיכון על משפיעה אינה בהתפלגות זו!

– מגלמת למעשה את כל הגורמים המשפיעים על מחיר של PDEמשוואת ה אופציה.

)(1)(),(

,)(

21ln

)()(),(

2)(

1

12

2

1

2)(

1

dKNedNSStV

tTddtT

tTrKS

d

dKNedSNStV

tTr

tTr

Putעבור

היווניות. 2

– ה כל PDEמשוואת כמעט את למעשה מגלמת הגורמים המשפיעים על מחיר של אופציה.

:נגדיר – נכתוב את משוואת הPDE

איזה עוד גורם חסר?

2

2

,,SV

SV

tV

021 22 rVrSS

היווניות. 2

– ה האותיות B&Sנוסחת את לחשב לנו מאפשרת היווניות. למעשה:

לבית : לחשב את היווניות עבורPut2

21

12

2

1

21

21)('

)('

)(

)(2

)('

x

r

exN

SdN

SV

dNSV

dNrKedSNtV

היווניות. 2

התנודתיות הוא חשוב) פחות לא (אך נכלל שלא אחד הגורם תלוי ישירות במתנודתיות זו. ולכן B&Sשל נכס הבסיס. שכן ה – נגדיר את היווניה הבאה:

:גורם נוסף הוא הריבית

לסיכום, האותיות היווניות מאפיינות את הגורמים המשפיעים על תנודתיות, נכס הבסיס מחיר זמן,מחירם של אופציות. קרי:

. סיכון חסרת וריבית

1' dSNV

2dNeKrV r

יווניות. - 3 עם דלתאלגדר

הדלתא של אופציה .אומדת את רגישות מחיר האופציה לשינויים במחיר נכס הבסיס יחידות של נכס בסיס עלי להחזיק על מנת לגדר את אומדת כמה

המכירה של אופציה..אומדת את ההסתברות שהאופציה תפקע בתוך הכסף עבורCall עבור 1 ל-0 הדלתא הנה בין .Put ל - 0 הדלתא הנה בין

-1..הערך של אופציה לא משתנה יותר מהר משווי נכס הבסיס עבורcall .שווי האופציה עולה או יורד בהתאמה למחיר נכס הבסיס ,

עבורCall - ל (0.5, הדלתא קרובה ATM ,(1 לאופציות שבכסף ). OTM לאופ' שמחוץ לכסף (0), ו-ITMלתוך הכסף (

יווניות. - 3 עם דלתאלגדר

יווניות. - 3 עם דלתאלגדר

) פוזיציית דלתא ניטרליתDelta Neutrality( Delta Neutrality (DN) משמעה שהדלתא הכוללת של תיק עם אופציות ונכס ,

הבסיס, שווה לאפס. של רחב מגוון עם אופציות תיקי מנהלים אשר למוסדיים חשובה הדלתא

אסטרטגיות. :דוגמא

:אסטרטגיה רכישה שלCall בשער מימוש K1 רכישה שלPut בשער מימוש K2 .K2<K1

:נתונים :44$מחיר נכס הבסיסσ =15%r =6%K1=50$-ו K2=40$

K1K2

יווניות. - 3 עם דלתאלגדר

) פוזיציית דלתא ניטרליתDelta Neutrality( :דוגמא

נחשב את הדלתא עבורcall:

עבורPut :

19.087.0)(

87.05.015.0

5.0215.006.0

5044ln

1

2

1

NdN

d

11.0123.11)(

23.15.015.0

5.0215.006.0

4044ln

1

2

1

NdN

d

יווניות. - 3 עם דלתאלגדר

) פוזיציית דלתא ניטרליתDelta Neutrality( :דוגמא

- :0.58=-0.11/0.19היחס בין הדלתאות הנה הפוזיציה כל DNכלומר, עבור אם אופציות 100 Put (נמכרים) נכתבים

.Call כתבי אופציות 58כ-

יווניות. - 3 עם דלתאלגדר

) פוזיציית דלתא ניטרליתDelta Neutrality( אסטרטגיותDN:הנן

.אדישות לכיוון התנודה של נכס הבסיס .תלויות בנודתיות הכוללת של מחיר נכס הבסיס כדי להשארDN .יש צורך לעדכן את הרכב התיק

?איך מודדים את תכיפות עדכון התיק

יווניות. - 3 עם גמאלגדר

הגמא של אופציה.הנגזרת השניה של מחיר האופציה ביחס למחיר נכס הבסיס .הנגזרת הראשונה של הדלתא ביחס למחיר נכס הבסיס ) "הגמא נקראת גם "הקמירותcurvature .של אופציה ( גמא מודד את התכיפות בא תיק האופציות מתעדכן על מנת לשמר

. DNעל פוזיציית עבורK נתון, הגמא של Put לגמא של = Call .

2)(' 2

12

2

21

Se

SdN

SV

d

יווניות. - 3 עם גמאלגדר

הגמא של אופציהדוגמא :

:אסטרטגיה-אלף אופ' 10למכור כ call

:נתונים 50$מחיר של מניה עומד על . = 38%סטיית התקן = 5%ריבית חסרת סיכון מחיר שלcall – 2.47$ שבועות עד הפקיעה הנו 5 ל 0.5625הדלתא של האופציה הנה .

יווניות. - 3 עם גמאלגדר

הגמא של אופציהדוגמא :

כדי להיותDN מניות. 5625=0.5626*10000, מוכר האופ' קונה סנטים, 50 שבועות), מחיר המניה עלה ב-4אחרי שבוע (לאחר שנותרו

. 0.0103והדלתא עלתה ב - -מניות על מנת להשאר 103כלומר, צריך לרכוש כ DN .

T S Delta Gamma Q S*Q מצתבר5 50 0.5625 5,625 281,250 281,250

4 50.5 0.5728 0.0103 103 5,201.5 286,722

3 51.25 0.6361 0.0633 633 32,441.25

319,439

2 51 0.6289 -0.0072 -72 -3,672 316,074

1 52.25 0.8108 0.1819 1,819 95,042.75

411,421

0 54 1 0.1892 1,892 102,168 513,985

יווניות. - 3 עם גמאלגדר

הגמא של אופציה :ככלל

– אם הדלתא של אופציה שווה לx – והגמה שווה ל %y אז עבור .%נכס הבסיס, הדלתא תגדל ב – 1$ כלומר הדלתא y עליה במחיר .%

%).x%+yהמעודכנת הנה ( עבור יותר גבוהה נהיית הגמא לפקיעה מתקרבת שהאופציה ככל

.OTM ו-ITM ונמוכה יותר עבור אופציות שהנן ATMאופציות ככל שהתנודתיות של נכס הבסיס נמוכה יותר, הגמא נהיית גבוהה יותר

.OTM ו-ITM ונמוכה יותר עבור אופציות שהנן ATMעבור אופציות

יווניות. - 3 עם גמאלגדר

http://www.theoptionsguide.com/gamma.aspx

יווניות. - 3 עם תטאלגדר

התטא של אופציה .הנגזרת הראשונה של מחיר האופציה ביחס לזמן .מודדת את השחיקה לאורך זמן של מחיר האופציה לאופציותcall 'התטא הנה שלילית. עבור אופ Put התטא שלילית ,

למעט עבור אופציות שהנן עמוק בתוך הכסף. – ממשוואת הput call parity הערך של אופציית , call מורכב מ

חלקים: 3– ) ערך פנימיS-K() ערך הריביתK-Ke-rT( ערך ביטוחP(K)

ValueTime

InsuranceInterest

rT

Intinsic

KPKeKKSKC

)()(

יווניות. - 3 עם וגהלגדר

הוגה של אופציה הוגה של אופציה הנה הנגזרת של מחיר האופציה ביחס לסטיית

התקן. ) הוגה חיובית עבור אופציות בלונגCall – ו Put .( ככל שהתנודתיות של נכס הבסיס גבוהה יותר, מחיר נכס הבסיס

0.3% תעלה בערכה ב-0.3גבוה יותר. למשל: אופציה עם וגה של בתנודתיות של נכס הבסיס. 1%עבור כל עליה של

יווניות. - 3 עם רולגדר

.הנגזרת הראשונה של מחיר האופציה ביחס לריבית אינה משמעותית עבור רוב האופציות למעט אופציות

בעלות לטווח לפידיון ארוך במיוחד.