年 　番号 氏名

1 次の空所を埋めよ．

(1) 平面上の 2つのベクトル¡!a = (1;

p3)，¡!b = (sinµ; cosµ) (0 5 µ 5 ¼)を考える．この

とき，j¡!a j = ア ，j

¡!b j = イ ，

¡!a ¢¡!b = 2sin !µ+ ウ 9である．

ただし，0 < ウ < 2¼とする．さらに，¡!a と

¡!b のなす角が ¼

5のとき，µ = エ で

ある．

(2) 変量 xのデータの値が 3; 9; 1; 7; 5であるとき，xの分散は オ である．また，変量

9¡ xと xの相関係数は カ である．

（大阪工業大学 2017）

2 赤玉 6個と白玉 4個の合計 10個の玉を無作為に左から右に一列に並べ，左から数えて，1番目

から 5番目までの 5個の玉を大きい袋，6番目から 8番目までの 3個の玉を中くらいの大きさの

袋，残った 2個の玉を小さい袋に入れる．

(1) 小さい袋に白玉が入っていない確率を求めよ．

(2) どの袋にも赤玉と白玉の両方が入っている確率を求めよ．

（学習院大学 2017）

3 さいころを 4回投げて，出た目を順に a; b; c; dとする．

(1) 数 1; 2; 3のそれぞれが a; b; c; dの中に少なくとも 1回は現れる確率を求めよ．

(2) 積 abcdが 60となる確率を求めよ．

（学習院大学 2017）

4 b; cを実数，qを正の実数とする．放物線P : y = ¡x2+ bx+ cの頂点の y座標が qのとき，

放物線Pと x軸で囲まれた部分の面積 Sを qを用いてあらわせ．

（大阪大学 2017）

5 次の問いに答えよ．

(1) 今日は日曜日で，10日後は水曜日である．100日後および 100万日後はそれぞれ何曜日か．理

由とともに答えよ．

(2) xの方程式 log2(x¡ 1)¡ log 12

(x¡ 4) = 1を解け．

(3) 三角形OABで，辺OAを 2 : 1に内分する点を L，辺OBの中点をM，辺ABを 2 : 3に内分

する点をNとする．線分LMと ONの交点を Pとする．¡!a =

¡!OA，

¡!b =

¡!OBとするとき，

¡!ON

と¡!OPを

¡!a，¡!b を用いて表せ．

（琉球大学 2018）

6 関数 f(x) = x x¡ 3 (0 5 x 5 4)について，次の問いに答えよ．

(1) y = f(x)のグラフをかけ．

(2) 微分係数 f0(2)の値を求めよ．

(3) 定積分Z 4

0f(x)dxの値を求めよ．

（琉球大学 2018）

7 点Oを中心とする半径rの球面上に 3点A，B，Cがあり，j¡!ABj =

p10，j

¡!ACj = 2，

¡!AB¢¡!AC = ¡2

であるとする．また，3点A，B，Cを通る平面を ®とし，点Oは平面 ®上にないとする．さら

に，4ABCの重心を Gとし，直線OG上に点Dがあり，線分DGの中点が点Oであるとする．

(1) 4ABCの面積は コ であり，¡!OB ¢

¡!OC = サ である．

(2) 点 Pの位置ベクトルは¡!OP = ¡3

¡!OA+ x

¡!OB+ y

¡!OC（x; yは実数）と表され，かつ直線 OP

は平面 ®に直交しているとする．このとき，x = シ ，y = ス である．いま，tを実

数とし，点Hを¡!DH = t

¡!OPによって決まる点とすると，

¡!AH = セ

¡!OA+ ソ

¡!OB+ タ

¡!OC

である．さらに，点Hが平面 ®上にあるとすると，t = チ である．

(3) 四面体ABCDの体積は ツ である．

（慶應義塾大学 2017）

8 次の問に答えよ．

(1) さいころを 3回投げて，出た目を順に a; b; cとする．a; b; cがすべて異なっているという

条件の下で，a+ b+ c = 9である確率を求めよ．

(2) xが実数全体を動くとき，関数 cos 3x+ 4cos 2x¡ 8 cosxの最大値と最小値を求めよ．

（学習院大学 2017）

9 自然数の 2乗となる数を平方数という．

(1) 自然数 a; n; kに対して，n(n + 1) + a = (n + k)2が成り立つとき，

a = k2 + 2k¡ 1

が成り立つことを示せ．

(2) n(n + 1) + 7が平方数となるような自然数 nをすべて求めよ．

（北海道大学 2017）

10 複素数平面上の点 0を中心とする半径 2の円 C上に点 zがある．aを実数の定数とし，

w = z2 ¡ 2az+ 1

とおく．

(1) w 2を zの実部 xと aを用いて表せ．

(2) 点 zが C上を一周するとき， w の最小値を aを用いて表せ．

（北海道大学 2016）

11 a; b; cを実数とし，

f(x) = x3 + ax2 + bx+ c

とおく．曲線 C : y = f(x)上に異なる 2点 P(s; f(s))，Q(t; f(t))がある．

(1) Pにおける Cの接線の方程式を求めよ．

(2) Pにおける Cの接線と Qにおける Cの接線が平行になるための条件を s; t; aの関係式とし

て求めよ．

(3) (2)の条件のもとで，線分 PQの中点が C上にあることを示せ．

（北海道大学 2016）