eclass.uoa.gr...Πρìλογοc Το παρìν κε—mενο αποτελε— τιc σηmει‚σειc του προπτυχιακοÔ mαθ€mατοc

Ο Α Κ

Π Σ ΜΕ Ε -

Δ

Ι Ε

byTsantilas Theophilos

Τ Μ

The Moving Finger writes; and, having writ,Moves on: nor all your Piety nor Wit

Shall lure it back to cancel half a Line,Nor all your Tears wash out a Word of it.

Rubáiyát of Omar KhayyámEdward FitzGerald

Πρόλογος

Το παρόν κείμενο αποτελεί τις σημειώσεις του προπτυχιακού μαθήματος῾῾Ομολογική Άλγεβρα και Κατηγορίες᾿᾿ το οποίο διδάχθηκε κατά το εαρινόεξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2019-2020 από τον καθηγητή κ. ΙωάννηΕμμανουήλ.

Οι σημειώσεις αυτές ΔΕΝ αποτελούν πιστή μεταφορά του μαθήμα-τος. Προσπάθησα να κρατήσω όσο περισσότερο μπορούσα ακέραιο τοκύριο μέρος του μαθήματος αλλά πολλά από τα σχόλια του καθηγητήστο μάθημα δεν έχουν περαστεί και έχω πειράξει λίγο το πώς παρου-σιάζονται κάποια αποτελέσματα (π.χ. μερικά παραδείγματα έχουν γίνειπροτάσεις, μερικές παρατηρήσεις έχουν γίνει παραδείγματα, έχει αλλάξειη σειρά που παρουσιάζονται κάποια αποτελέσματα κλπ). ´Εχω προσπα-ϑήσει να προσθέσω κάποια σχόλια ώστε το κείμενο να έχει μία υποτυ-πώδη συνοχή (να μπορεί να το διαβάσει κάποιος που έχει χάσει κάποιομάθημα) και προφανώς δεν πετυχαίνω πάντα το σκοπό που ϑέλω.

Το κείμενο περιέχει, ανάμεσα σε όλα τα κακά του, και πολλά λάθητόσο μαθηματικά όσο και συντακτικά, γραμματικά και ορθογραφικά. Ε-άν έχετε όρεξη και ενδιαφέρεστε επικοινωνήστε μαζί μου στο teotsanπαπάκι math.uoa.gr με παρατηρήσεις.

Προσοχή! στις εκδόσεις του κειμένου που δεν είναι τελικές. Θααλλάζουν συχνά κομμάτια του κειμένου τα οποία διορθώνονται. Ναείστε προσεκτικοί όσοι το συμβουλεύεστε.

Περιεχόμενα

1 Κατηγορίες και Συναρτητές 31.1 Κατηγορίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Ορισμός και παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Μορφισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Συναρτητές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1 Οι Μορφισμοί της Κατηγορίας των Κατηγοριών . . . 141.2.2 Φυσικοί Μετασχηματισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3 Το Λήμμα του Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Ανταλλοίωτοι Συναρτητές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Πρότυπα 292.1 Η Κατηγορία των Προτύπων . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Πρότυπα, Υποπρότυπα, Πηλίκα και Ομομορφισμοί 302.1.2 Μορφισμοί της RMod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.3 Η αβελιανή δομή της RMod . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Ακριβείς Ακολουθίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.1 Ακριβείς Ακολουθίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.2 Ακριβείς Συναρτητές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3 Προβολικά και Εμφυτευτικά Πρότυπα . . . . . . . . . . . . . 642.3.1 Προβολικά Πρότυπα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3.2 Ευθύ Γινόμενο και Ευθύ Άθροισμα Οικογένειας Προ-

τύπων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.3 Εμφυτευτικά Πρότυπα . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3.4 Διαιρετές Αβελιανές Ομάδες . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Κατηγορίες και Συναρτητές

The standard «foundation» forMathematics starts with setsand their elements. It is pos-sible to start differently, by ax-iomatizing not elements of setsbut functions between sets. Thiscan be done by using the lan-guage of categories and univer-sal constructions.

Saunders MacLane,Mathematics: Form and

Function

1.1 Κατηγορίες

1.1.1 Ορισμός και παραδείγματα

Η γλώσσα που χρησιμοποιεί η ομολογική άλγεβρα είναι αυτή των κα-τηγοριών. Η φιλοσοφία πίσω από τη μελέτη κατηγοριών είναι ότι οιαπεικονίσεις που διατηρούν τις δομές, είναι πιο ενδιαφέρουσες και ση-μαντικές από τις ίδιες τις δομές. Ξεκινάμε με τους ορισμούς και μίαστοιχειώδη μελέτη των κατηγοριών που ϑα χρειαστούμε παρακάτω.

Ορισμός 1.1.1. Μία κατηγορία αποτελείται από μία κλάση αντικει-μένων την οποία συμβολίζουμε με obj(C), ένα σύνολο μορφισμών

mor(C) = {HomC(A,B) | A,B ∈ obj(C)}

3

4 Κεφάλαιο 1. Κατηγορίες και Συναρτητές

όπου HomC(A,B) οι μορφισμοί από το αντικείμενο A στο αντικείμενο Bκαι μία σύνθεση μορφισμών για κάθε A,B,C ∈ obj(C):

HomC(A,B)×HomC(B,C) −→ HomC(A,C)(f, g) 7−→ g ◦ f ≡ gf

για τα οποία ισχύουν τα εξής:

(i) τα σύνολα Hom είναι ξένα ανά δύο, δηλαδή κάθε μορφισμός f ∈HomC(A,B) με A,B ∈ obj(C) έχει μοναδικό πεδίο ορισμού A καιμοναδικό πεδίο τιμών B

(ii) για κάθε αντικείμενο A ∈ obj(C) υπάρχει ο ταυτοτικός μορφισμός1A ∈ HomC(A,A) για τον οποίο ισχύει f1A = f και 1Bf = f για κάθεf ∈ HomC(A,B)

(iii) η σύνθεση μορφισμών είναι προσεταιριστική, δηλαδή εάν έχουμεαντικείμενα A,B,C,D και μορφισμούς f, g, h τέτοιους ώστε

Af−→ B g−→ C h−→ D

τότε (hg)f = h(gf).

Το πρώτο αξίωμα του ορισμού εξασφαλίζει απλώς την ισότητα μορ-φισμών. Δύο μορφισμοί είναι ίσοι όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού καιοι εικόνες των στοιχείων του πεδίου ορισμού τους είναι ίσες. Επιπλέονγια την ισότητα απαιτούμε να έχουν και το ίδιο πεδίο τιμών.

Παραδείγματα 1.1.2. (i) Αν πάρουμε ως κλάση αντικειμένων τα σύνο-λα και ως μορφισμούς τις συναρτήσεις μεταξύ συνόλων τότε παίρ-νουμε την κατηγορία των συνόλων Set. Λίγη προσοχή χρειάζεταιόταν μιλάε για τόσο μεγάλες κλάσεις όπως π.χ. όλα τα σύνολα κα-ϑώς πρέπει να αποφύγουμε παράδοξα όπως του Russel. Σε αυτήτην πραγμάτευση δεν ϑα μας απασχολήσουν τέτοια ϑέματα και ϑαείμαστε κάπως πιο χαλαροί σε ότι αφορά τέτοιες ϑεωρήσεις.

(ii) Μερικά παραδείγματα κατηγοριών που συναντάμε συχνά στην Άλ-γεβρα είναι:

(αʹ) Η κατηγορία των διανυσματικών χώρων υπέρ ενός σώματος F,F-Vct με αντικείμενα τους διανυσματικούς χώρους και μορφι-σμούς τις γραμμικές απεικονίσεις.

(βʹ) Η κατηγορία των ομάδων Grp με αντικείμενα τις ομάδες καιμορφισμούς τους ομομορφισμούς ομάδων.

(γʹ) Η κατηγορία των αβελιανών ομάδων Ab με αντικείμενα τις αβε-λιανές ομάδες και μορφισμούς τους ομομορφισμούς αβελιανώνομάδων.

1.1. Κατηγορίες 5

(δʹ) Η κατηγορία των δακτυλίων Ring με αντικείμενα τους δα-κτύλιους και μορφισμούς τους ομομορφισμούς δακτυλίων.

(εʹ) Η κατηγορία των μεταθετικών δακτυλίων CommRing με α-ντικείμενα τους μεταθετικούς δακτύλιους και μορφισμούς τουςομομορφισμούς μεταθετικών δακτυλίων.

(iii) Ενδεικτικά παραδείγματα από την ανάλυση είναι:

(αʹ) Η κατηγορία των μετρικών χώρων Mtv με αντικείμενα τουςμετρικούς χώρους και μορφισμούς τις συστολές.

(βʹ) Η κατηγορία των τοπολογικών χώρων Top με αντικείμενα τουςτοπολογικούς χώρους και μορφισμούς τις συνεχείς απεικο-νίσεις.

1.1.2 Μορφισμοί

Ας δούμε με λίγο περισσότερες λεπτομέρειες τους μορφισμούς μίας κατη-γορίας οι οποίοι είναι και τα στοιχεία που μας ενδιαφέρουν περισσότερο.

´Οταν μελετάμε οποιαδήποτε μαθηματική δομή (π.χ. ομάδες, μετρικο-ύς χώρους), μία από τις κλάσεις μορφισμών στις οποίες δίνουμε ιδιαίτερηβαρύτητα είναι εκείνες οι απεικονίσεις που εξασφαλίζουν ότι δύο δομέςείναι ουσιαστικά ίδιες (π.χ. ισομορφισμοί ομάδων, ισομετρίες μετρικώνχώρων). Αυτή την κλάση μορφισμών, που καλούνται ισομορφισμοί, ϑαμελετήσουμε πρώτα σε τυχούσες κατηγορίες.

Θέλουμε να δούμε ποιες είναι εκείνες οι ιδιότητες οι οποίες εξασφα-λίζουν ότι ένας μορφισμός σε τυχούσα κατηγορία είναι ισομορφισμός.Επομένως, ϑα πρέπει να ψάξουμε ποιές είναι εκείνες οι κοινές καθο-λικές ιδιότητες που χαρακτηρίζουν διάφορα είδη ισομορφισμών όπως ι-σομορφισμούς αλγεβρικών δομών, ισομετρίες, ομοιομορφισμούς, αμφιδια-φορίσιμες απεικονίσεις κ.ο.κ. και που δεν στηρίζονται στα αντικείμενατης κατηγορίας.

Εάν επικεντρωθούμε στην Set, τα πράγματα είναι πολύ πιο εύκολα.Οι ισομορφισμοί της Set είναι οι 1-1 και επί απεικονίσεις συνόλων. Οιέννοιες 1-1 και επί όμως κάνουν χρήση των στοιχείων των αντικειμένωντης κατηγορίας. Υπάρχει μία ιδιότητα που χαρακτηρίζει τις 1-1 και ε-πί απεικονίσεις συνόλων, στηρίζεται μόνο στην έννοια της απεικόνισηςκαι μάλιστα κάθε απεικόνιση μεταξύ οποιονδήποτε δομών η οποία ϑαϑέλαμε να ϑεωρείται ισομορφισμός χαρακτηρίζεται από αυτή. Αυτή τηνιδιότητα ϑα χρησιμοποιήσουμε στον ορισμό του ισομορφισμού.

Ορισμός 1.1.3. Σε μία κατηγορία C, ένας μορφισμός f ∈ HomC(A,B)μεταξύ δύο αντικειμένων A και B καλείται ισομορφισμός εάν υπάρχειg ∈ HomC(B,A) τέτοιος ώστε

fg = 1B και gf = 1A


Ο g καλείται αντίστροφος του f και τα αντικείμενα A,B ∈ obj(C) καλο-ύνται ισόμορφα.

Παρατηρήσεις 1.1.4. (i) ´Οπως ϑα περίμενε κανείς ο αντίστροφος ε-νός μορφισμού είναι μοναδικός. Εάν f ∈ HomC(A,B) είναι ισομορ-φισμός τότε ο αντίστροφός του g ∈ HomC(B,A) είναι μοναδικός καισυμβολίζεται με f−1.

Απόδειξη. Εάν g, h μορφισμοί, αντίστροφοι και οι δύο του f, τότε

g = 1Ag = (hf)g = h(fg) = h1B = h

�

(ii) ´Ενα άλλο προφανές αποτέλεσμα είναι ότι η ισομορφία είναι σχέσηισοδυναμίας στην κλάση των αντικειμένων.

(iii) Το ότι ένας μορφισμός είναι ισομορφισμός είναι ισοδύναμο πολλέςφορές με το να είναι 1-1 και επί. ´Ετσι είναι για παράδειγμα στηκατηγορία Set. Το ίδιο ισχύει και σε κατηγορίες με αντικείμενα μεπολυσιότερη δομή. ´Ενας ομομορφισμός ομάδων f : G −→ H είναιισομορφισμός εάν και μόνο εάν είναι 1-1 και επί.

Απόδειξη. (⇒) Εάν g : H −→ G ομομορφισμός ομάδων με fg = 1Hτότε για κάθε h ∈ H

f(g(h)) = h

και άρα f επί. Εφόσον gf = 1G τότε

f(a) = f(b)⇒ g(f(a)) = g(f(b))⇒ a = bκαι άρα f 1-1.

(⇐) Αρκεί να δείξουμε ότι η f−1 : H −→ G είναι ομομορφισμόςομάδων. Εάν h1, h2 ∈ H τότε υπάρχουν g1, g2 ∈ G τέτοια ώστε

h1 = f(g1) και h2 = f(g2)

και άραh1h2 = f(g1)f(g2) = f(g1g2)

Επομένως,f−1(h1h2) = g1g2 = f

−1(g1)f−1

�


(iv) Με βάση την προηγούμενη παρατήρηση ϑα μπαίναμε στον πειρασμόνα ισχυριστούμε ότι οι ισομορφισμοί σε μία τυχαία κατηγορία ναείναι ακριβώς οι 1-1 και επί μορφισμοί της. Αυτό όμως δεν είναιπάντα σωστό. Σε πολλές κατηγορίες δεν αρκεί το 1-1 και επί. Στηνκατηγορία Top για παράδειγμα, η απεικόνιση

λ : [0, 2π) −→ S = {z ∈ C | |z| = 1}θ 7−→ λ(θ) = cos(θ) + i sin(θ)

είναι 1-1, επί και συνεχής και άρα μορφισμός της κατηγορίας όμωςη λ−1 δεν είναι συνεχής (S συμπαγές αλλά λ−1(S) = [0, 2π) μη συ-μπαγές) και άρα δεν είναι μορφισμός στη Top. Συνεπώς η λ δενείναι ισομορφισμός. Είναι προφανές εξάλλου ότι το [0, 2π) και το Sδεν είναι καθόλου ίδια από τοπολογική σκοπιά.

Μέχρι τώρα το πρότυπό μας ήταν οι 1-1 και επί απεικονίσεις συ-νόλων. Από αυτό συναγάγαμε τις ιδιότητες που χρειαζόμασταν για ναορίσουμε την έννοια του ισομορφισμού. Το επόμενο βήμα είναι να ϑε-ωρήσουμε απεικονίσεις που είναι μόνο 1-1 και απεικονίσεις που είναιμόνο επί.

Ξεκινάμε με την περίπτωση των 1-1 και στη συνέχεια των επί απει-κονίσεων. Θέλουμε να γενικεύσουμε αυτές τις έννοιες σε όλες τις κα-τηγορίες. Η διαδικασία που ϑα ακολουθήσουμε είναι ίδια και στις δύοπεριπτώσεις και παρόμοια με αυτή που ακολουθήσαμε πριν. Πρώτα ϑαεξετάσουμε ποιες ιδιότητες χαρακτηρίζουν τις 1-1 απεικονίσεις στη Set,και στη συνέχεια πως αυτές οι ιδιότητες συμπεριφέρονται με τους 1-1μορφισμούς σε διάφορες κατηγορίες.

Πρόταση 1.1.5. ´Εστω f : X −→ Y μία απεικόνιση συνόλων. Τα εξήςείναι ισοδύναμα:

(i) Η f είναι 1-1

(ii) Υπάρχει r : Y −→ X τέτοια ώστε r ◦ f = 1x(iii) Για κάθε ζεύγος μορφισμών a, b : Z −→ X με f ◦ a = f ◦ b έχουμε

a = b. Τέτοια ζεύγη καλούνται παράλληλα ζεύγη μορφισμών.

Απόδειξη. (i) ⇒ (ii) Επιλέγω x0 ∈ X και ορίζωr : Y −→ X

r(y) =

{f−1(y), εάν y ∈ f(X)x0, διαφορετικά

Το ζητούμενο προκύπτει άμεσα.


(ii) ⇒ (iii) Προκύπτει άμεσα ότιfa = fb⇒ r(fa) = r(fb)⇒ (rf)a = (rf)b⇒ 1Xa = 1Xb⇒ a = b

(iii) ⇒ (i) Θα δείξουμε ότι η f είναι 1-1. ´Εστωσαν x, y ∈ X μεf(x) = f(y). Θεωρούμε τυχόν μονοσύνολο {x0} και ζεύγος παράλληλωνμορφισμών

a, b : {x0} −→ Xμε a(x0) = x και b(x0) = y. Τότε f ◦ a = f ◦ b : {x0} −→ Y. Πράγματι,

(f ◦ a)(x0) = f(a(x0)) = f(x) = f(y) = f(b(x0)) = (f ◦ b)(x0)

και άρα, από υπόθεση, a = b : {x0} −→ X δηλαδή x = a(x0) = b(x0) = y.´Οντως τελικά η f είναι 1-1. �

Ορισμός 1.1.6. Εάν μία f ικανοποιεί το (ii) ονομάζεται αριστερά αντι-στρέψιμη και εάν ικανοποιεί το (iii) καλείται αριστερά διαγράψιμη.

Ορισμός 1.1.7. ´Ενας μορφισμός σε μία κατηγορία C καλείται μονομορ-φισμός εάν είναι αριστερά διαγράψιμος. Καλείται διασπώμενος μονο-μορφισμός εάν είναι αριστερά αντιστρέψιμος.

Παρατήρηση 1.1.8. Κάθε διασπώμενος μονομορφισμός είναι μονομορ-φισμός. ´Οχι το αντίστροφο (βλ. παραδείγματα πιο κάτω).

Παραδείγματα 1.1.9. Ας δούμε μερικά παραδείγματα 1-1 μορφισμών,μονομορφισμών και διασπώμενων μονορφισμών σε δάφορες κατηγορίεςκαι πώς αλληλεπιδρούν οι έννοιες που έχουμε ορίσει.

(i) Στην κατηγορία Set συμπίπτουν οι έννοιες όπως άλλωστε είδαμεστην πρόταση 1.1.5.

(ii) Η πρόταση 1.1.5 μπορεί να είναι αληθής και σε άλλες κατηγο-ρίες πέραν της Set. Στην κατηγορία F-Vct οι μονομορφισμοί επίσηςσυμπίπτουν με τους διασπώμενους μονομορφισμούς οι οποίοι συ-μπίπτουν με τις 1-1 γραμμικές απεικονίσεις.

Απόδειξη. Θεωρούμε U,V δύο F-διανυσματικούς χώρους, όπου Fσώμα, και f : U −→ V μία γραμμική απεικόνιση. Είδαμε ότι κάθεδιασπώμενος μονομορφισμός είναι μονομορφισμός. Δείχνοντας ότι(1) κάθε μονομορφισμός είναι 1-1 και (2) κάθε 1-1 απεικόνιση είναιδιασπώμενος μονομορφισμός προκύπτει το ζητούμενο.


(1.) Θα δείξουμε ότι κάθε μονομορφισμός είναι 1-1 και γραμμικήαπεικόνιση. ´Εστω f μονομορφισμός. Θεωρώ τον ker f και τις γραμ-μικές απεικονίσεις

i : ker f −→ Uu 7→ i(u) = u ∀ u ∈ U

και

θ : ker f −→ Uu 7→ θ(u) = 0 ∀ u ∈ U

δηλαδή ένα ζεύγος παράλληλων μορφισμών για το οποίο ϑα ισχύει

f(i(u)) = f(u) = 0 = f(0) = f(θ(u)) ∀ u ∈ ker f

Άρα f ◦ i = f ◦ θ και ο f είναι μονομορφισμός. Επομένως, ϑα είναιi = θ δηλαδή Im i = Im θ και άρα ker f = 0 ή ισοδύναμα, η f είναι1-1.(2.) ´Εστω τώρα ότι η f είναι 1-1. Θα δείξουμε ότι είναι διασπώμε-νος μονομορφισμός σύμφωνα με τον ορισμό. Εφόσον f 1-1, υπάρχειγραμμική απεικόνιση r : V −→ U τέτοια ώστε r ◦ f = 1U. Επιλέγουμεαυθαίρετα μία βάση {u1, u2, ...} του U (η οποία μπορεί να είναι καιάπειρη) και παρατηρούμε ότι οι εικόνες των στοιχείων της βάσηςμέσω της f είναι γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία του V . Επεικτε-ίνουμε αυτό το γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο {f(u1), f(u2), ...} σε μίαβάση {f(u1), f(u2), ..., v1, v2, ...} του V και ορίζουμε απεικόνιση

r : V −→ Uμε

r[f(u1)] = u1

r[f(u1)] = u1...

r[v1] = 0r[v2] = 0

...

´Ετσι ϑα έχουμε r(f(ui)) = 1U(ui) ∀ i. Άρα, r ◦ f = 1U. �

(iii) Σε κάποιες κατηγορίες οι 1-1 μορφισμοί συμπίπτουν με τους μονο-μορφισμούς. Οι μονομορφισμοί της Ab είναι ακριβώς οι 1-1 ομομορ-φισμοί.


Απόδειξη. Πράγματι, εάν ένας ομομορφισμός αβελιανών ομάδων ε-ίναι 1-1 τότε δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι εκτός των άλλων είναι εντέλει απεικόνιση συνόλων ϑεωρημένος στη Set. Επομένως από τηνπρόταση 5 ϑα είναι μονομορφισμός. Αυτό βέβαια συμβαίνει διότι οαριστερός αντίστροφος r που ορίσαμε στην απόδειξη της πρότασηςείναι επίσης ομομορφισμός αβελιανών ομάδων, δηλαδή μορφισμόςτης κατηγορίας.Αντίστροφα, εάν f : A −→ B μονομορφισμός αβελιανών ομάδων τότεγια το παράλληλο ζεύγος

i : ker f ↪→ A : x 7→ xθ : ker f −→ A : x 7→ 0

ϑα ισχύει ότι f ◦ i = f ◦ θ και εφόσον f μονομορφισμός, ϑα είναιτελικά i = θ. Άρα ker f = 0 ή, ισοδύναμα, f 1-1. �

(iv) ´Οπως υποσχεθήκαμε ϑα δούμε ότι δεν είναι όλοι οι μονομορφισμοίδιασπώμενοι. Ο ομομορφισμός αβελιανών ομάδων

f : Z −→ Z : n 7→ 2nείναι μονομορφισμός εφόσον είναι 1-1 (παράδειγμα 3) ο οποίος όμωςδεν είναι διασπώμενος. Πράγματι, εάν r : Z −→ Z ομομορφισμόςτέτοιος ώστε

r ◦ f = 1Z : Z −→ Zτότε ϑα είχαμε ότι

r(f(1)) = 1⇒ r(2) = 1⇒ 2r(1) = 1 ∈ Zάτοπο.

(v) Δεν είναι όλοι οι μονομορφισμοί 1-1. ´Εστω C η κατηγορία των 2-διαιρετών ομάδων.Ορισμός: Μία ομάδα G λέγεται 2-διαιρετή εάν κάθε στοιχείο τηςέχει τετραγωνική ρίζα: ∀ g ∈ G, ∃ h ∈ G : g = h2.Μορφισμοί στη C είναι οι ομομορφισμοί ομάδων. Η απεικόνιση

f : C∗ −→ C∗ : z 7→ z2είναι μονομορφισμός της C προφανώς όμως δεν είναι 1-1. Ας δείξου-με ότι είναι πράγματι μονομορφισμός. ´Εστω ένα παράλληλο ζεύγοςa : G −→ C∗ και b : G −→ C∗ με f ◦ a = f ◦ b : G −→ C∗. Τότε γιακάθε g ∈ G ϑα είναι

a(g2) = [a(g)]2 = f(a(g)) = [f ◦ a](g) == [f ◦ b](g) = f(b(g)) = [b(g)]2 = b(g2)


Το ζητούμενο προκύπτει άμεσα εφόσον η ομάδα είναι 2-διαιρετή.Παρατήρηση: Το κόλπο του παραδείγματος (iii) παραπάνω, μετο οποίο δείξαμε ότι η απεικόνιση είναι μονομορφισμός, δεν ϑα δο-ύλευε σε αυτή την περίπτωση διότι ο πυρήνας δεν είναι αντικέιμενοτης κατηγορίας: ker f /∈ obj(C).

Πρόταση 1.1.10. ´Εστω κατηγορία C. Θεωρούμε μορφισμούς αντικει-μένων της κατηγορίας f : A −→ B και g : B −→ C. Εάν οι f, g είναι(διασπώμενοι) μονομορφισμοί τότε και η σύνθεση g ◦ f είναι (διασπώμε-νος) μονομορφισμός.

Απόδειξη. (μονομορφισμοί) ´Εστω ένα παράλληλο ζεύγος μορφισμών

a, b : X −→ Aμε

g ◦ f ◦ a = g ◦ f ◦ b

Τότεg(fa) = g(fb)⇒ fa = fb⇒ a = b

εφόσον οι f, g είναι μονομορφισμοί.(διασπώμενοι μονομορφισμοί) ´Εστωσαν απεικονίσεις r : B −→ A και

ρ : C −→ B τέτοιες ώστεr ◦ f = 1A και ρ ◦ g = 1B

τότε για τηνr ◦ ρ : C −→ A

ϑα ισχύει ότι(rρ)(gf) = r(ρg)f = r1Bf = rf = 1A

και άρα ο gf είναι διασπώμενος. �

Σε αντιστοιχία με τη γενίκευση της έννοιας των 1-1 απεικονίσεωνσυνόλων έρχεται η γενίκευση των επί απεικονίσεων συνόλων.

Πρόταση 1.1.11. ´Εστω f : X −→ Y μία απεικόνιση συνόλων. Τα εξήςείναι ισοδύναμα:

(i) Η f είναι επί

(ii) Υπάρχει s : Y −→ X τέτοια ώστε f ◦ s = 1Y(iii) Για κάθε ζεύγος παράλληλων μορφισμών a, b : Y −→ Z με a◦f = b◦f

έχουμε a = b.


Απόδειξη. (i) ⇒ (ii) Για κάθε y ∈ Y επιλέγουμε x ∈ X με y = f(x) καιορίζουμε

s : Y −→ Xy 7−→ s(y) = x

Τότε για κάθε y ∈ Y, ϑα έχουμε

(f ◦ s)(y) = f[s(y)] = f(x) = y

(ii)⇒ (iii) Από την a ◦ f = b ◦ f, παίρνουμε ότι (a ◦ f) ◦ s = (b ◦ f) ◦ sάρα a ◦ (f ◦ s) = b ◦ (f ◦ s) και τελικά a ◦ 1Y = b ◦ 1Y δηλαδή a = b

(iii)⇒ (i) ´Εστω Z = {0, 1} και ϑεωρούμε το παράλληλο ζεύγοςa, b : Y −→ Z

μεa(y) = 1 ∀y ∈ Y

και

b(y) =

{1, εάν y ∈ f(X)0, εάν y /∈ f(X)

Παρατηρούμε ότι (b ◦ f)(x) = b(f(x)) = 1 = a(f(x)) = (a ◦ f)(x) και άρααπό υπόθεση a = b. Άρα f(X) = Y δηλαδή f επί. �

Ορισμός 1.1.12. Εάν μία f ικανοποιεί το (ii) ονομάζεται δεξιά αντι-στρέψιμη και εάν ικανοποιεί το (iii) καλείται δεξιά διαγράψιμη.

Ορισμός 1.1.13. ´Ενας μορφισμός σε μία κατηγορία C καλείται επιμορ-φισμός εάν είναι δεξιά διαγράψιμος. Καλείται διασπώμενος επιμορφι-σμός εάν είναι δεξιά αντιστρέψιμος.

Παρατήρηση 1.1.14. Κάθε διασπώμενος επιμορφισμός είναι επιμορφι-σμός. ´Οχι το αντίστροφο (βλ. παραδείγματα πιο κάτω).

Παραδείγματα 1.1.15. Θα δούμε κάποια παραδείγματα επί μορφισμών,επιμορφισμών και διασπώμενων επιμορφισμών που είναι σε αντιστοιχίαμε τα παραδείγματα των μονομορφισμών που δώσαμε πριν ώστε να δούμεκαι πάλι πώς αλληλεπιδρούν οι έννοιες που ορίσαμε.

(i) Στην κατηγορία Set συμπίπτουν οι έννοιες (πρόταση 1.1.11).

(ii) Οι ισοδυναμίες της πρότασης 1.11 μπορεί να ισχύουν και σε άλλεςκατηγορίες. Στην F-Vct οι επί απεικονίσεις συμπίπτουν με τουςεπιμορφισμούς που συμπίπτουν με τους διασπώμενους επιμορφι-σμούς.


Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι κάθε επί γραμμική απεικόνιση είναι δια-σπώμενος επιμορφισμός. ´Εστω f : U −→ V γραμμική απεικόνισηδιανυσματικών χώρων η οποία είναι επί και έστω {v1, v2, ...} μίαβάση του V . Ορίζουμε γραμμική απεικόνιση

s : V −→ U : s(vi) = f−1(vi)για την οποία ισχύει ότι f ◦ s = 1V .Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε επιμορφισμός είναι επί. Αυτό ισχύειστην κατηγορία των αβελιανών ομάδων όπως ϑα δούμε στο επόμε-νο παράδειγμα και η απόδειξη μεταφέρεται στην κατηγορία τωνδιανυσματικών χώρων σχεδόν αυτούσια. �

(iii) Στην κατηγορία Ab οι επιμορφισμοί είναι ακριβώς οι μορφισμοί πουείναι επί (ως απεικονίσεις συνόλων).

Απόδειξη. Εάν ένας ομομορφισμός αβελιανών ομάδων είναι επί τότεείναι επιμορφισμός από την πρόταση 1.1.11.Εάν αντίστροφα ϑεωρήσουμε f : A −→ B έναν επιμορφισμό αβελια-νών ομάδων τότε ϑα δείξουμε ότι είναι επί. Θεωρούμε τον συνπυ-ρήνα της f, coker f = B/ Im f και το παράλληλο ζεύγος μορφισμώνπ, θ : B −→ B/ Im f με

π(b) = b+ Im f ∀b ∈ B

καιθ(b) = 0+ Im f ∀b ∈ B

Παρατηρούμε ότι

(π ◦ f)(a) = π(f(a)) = f(a) + Im f = Im f == 0+ Im f = θ[f(a)] = (θ ◦ f)(a)

Δηλαδή π◦f = θ◦f και εφόσον f επιμορφισμός, ϑα έχουμε ότι π = θδηλαδή Imπ = Im θ και άρα B/ Im f = Im f/ Im f = 0. ´Ομως αυτόαυτό σημαίνει ότι Im f = B που είναι το ζητούμενο. �

(iv) Δεν είναι κάθε επιμορφισμός διασπώμενος. Ο επιμορφισμός αβελια-νών ομάδων

π : Z −→ Z2 : n 7→ [n]δεν διασπάται. Πράγματι, εάν s : Z2 −→ Z ομομορφισμός αβελιανώνομάδων τότε αναγκαστικά s(x) = 0 ∀x ∈ Z2. Και τότε ϑα είναι(π ◦ s)(x) = π(0) = [0]2 ∈ Z2 για κάθε x ∈ Z2 και άρα π ◦ s 6= 1Z2 ,δηλαδή ο π δεν διασπάται.


(v) Δεν είναι κάθε επιμορφισμός επί. Στην κατηγορία Mtv, ο εγκλεισμόςi : Q ↪→ R είναι επιμορφισμός ο οποίος προφανώς δεν είναι επί. Γιανα δείξουμε ότι ο i είναι επιμορφισμός, ϑεωρούμε τυχών μετρικόχώρο M και συνεχείς απεικονίσεις f, g : R −→M τέτοιες ώστε

f ◦ i = g ◦ i : Q −→Mκαι τότε ϑα ισχύει ότι

f|Q = g|Q = f ◦ i = g ◦ i : Q −→Mκαι άρα λόγω συνέχειας, f = g.

Πρόταση 1.1.16. ´Εστωσαν κατηγορία C και μορφισμοί αντικειμένων τηςκατηγορίας f : A −→ B και g : B −→ C. Εάν οι f, g είναι (διασπώμενοι)επιμορφισμοί τότε και η σύνθεση g◦f είναι (διασπώμενος) επιμορφισμός.

Απόδειξη. Αντίστοιχη με την απόδειξη της πρότασης 1.10. �

1.2 Συναρτητές

1.2.1 Οι Μορφισμοί της Κατηγορίας των Κατηγοριών

Μπορούμε να ϑεωρήσουμε την κατηγορία όλων των κατηγοριών; Βεβα-ίως, και οι μορφισμοί μεταξύ κατηγοριών ϑα ήταν πολύ σημαντικοί ανϑυμηθούμε με ποιο σκεπτικό δημιουργήθηκε η ϑεωρία κατηγοριών. Ανκαι δεν ϑα ορίσουμε επίσημα την κατηγορία όλων των κατηγοριών, ϑαορίσουμε επίσημα την έννοια του μορφισμού μεταξύ δύο κατηγοριών ηοποία μάλιστα ϑα μας απασχολήσει πολύ.

Περνάμε λοιπόν κατευθείαν στην μελέτη των πλέον σημαντικών α-πεικονίσεων για εμάς, τους μορφισμούς μεταξύ κατηγοριών, τους συναρ-τητές. Ο ορισμός ϑα πρέπει να έρχεται φυσικά καθώς η προφανής μαςαπαίτηση ϑα είναι να διατηρείται η δομή της κατηγορίας.

Ορισμός 1.2.1. ´Ενας συναρτητής F : C −→ D από μία κατηγορία C σεμία κατηγορία D συνίσταται σε μία απεικόνιση

F : obj(C) −→ obj(D) : A 7→ FAκαι για κάθε δύο αντικείμενα A,B ∈ obj(C), μία απεικόνιση

F : HomC(A,B) −→ HomD(FA, FB)φ 7−→ Fφ

τέτοιες ώστε να ισχύουν:

1.2. Συναρτητές 15

(i) F1A = 1FA ∈ HomD(FA, FA) ∀A ∈ obj(C)

(ii) Για κάθε 3 αντικείμενα A,B,C ∈ obj(C) και μορφισμούς

Af−→ B g−→ C

να ισχύει F(gf) = (Fg)(Ff) ∈ HomD(FA, FC).

Παραδείγματα 1.2.2. Ας δούμε μερικά παραδείγματα συναρτητών μετα-ξύ κατηγοριών. Αυστηρές αποδείξεις ότι οι απεικονίσεις που ορίζουμεείναι όντως συναρτητές δεν δίνουμε, παρά μόνο στο τελευταίο παράδειγ-μα το οποίο είναι από τα πιο σημαντικά.

(i) (Ενθετικοί συναρτητές) Ορίζουμε F : Ab ↪→ Grp με FA = A για κάθεαβελιανή ομάδα A και Fφ = φ για κάθε ομομορφισμό αβελιανώνομάδων φ. Ο F είναι πράγματι συναρτητής.

(ii) (Υποκείμενοι συναρτητές) Ορίζουμε U : F-Vct ↪→ Ab με UV = (V,+)δηλαδή απεικονίζει κάθε διανυσματικό χώρο στη προσθετική ομάδατου και Uf = f για κάθε F−γραμμική απεικόνιση f. Ο U είναιπράγματι συναρτητής.

(iii) Θεωρώ απεικόνιση U : CommRing −→ Grp με UR = (U(R), ·) δηλα-δή απεικονίζει κάθε μεταθετικό δακτύλιο στην πολλαπλασιαστικήομάδα του. Παρατηρούμε ότι εάν f : R −→ S ομομορφισμός δακτυ-λίων και r ∈ U(R) τότε f(r) ∈ U(S). Επομένως, ϑέτοντας Uf = f|U(R)για κάθε ομομορφισμό δακτυλίων f, ο U είναι συναρτητής.

(iv) Για κάθε n ∈ N ϑεωρώ τον συναρτητή GLn : CommRing −→ Grp μεGLn(R) = {αντιστρέψιμοι n× n πίνακες επί του R}

Εάν f : R −→ S ομομορφισμός δακτυλίων, ϑεωρώ τον επαγόμενοομομορφισμό

fn : Mn(R) −→ Mn(S)(rij)i,j 7−→ (f(rij))i,j

Εάν ϑέσουμε

GLn(f) := fn|GLn(R) : GLn(R) −→ GLn(S)τότε ο GLn είναι συναρτητής.


(v) ´Εστω κατηγορία C και έστω A ∈ obj(C). Από τους πιο σημαντικούςγια εμάς συναρτητές είναι ο

Hom(A,�) : C −→ Setμε

Hom(A,�)B = HomC(A,B) ∀B ∈ obj(C)

και έαν f : B −→ C μορφισμός της C, τότεHom(A,�)f = f∗ : Hom(A,�)B −→ Hom(A,�)C

όπου

f∗ : HomC(A,B) −→ HomC(A,C)g 7−→ f∗(g) = f ◦ g

για κάθε g ∈ HomC(A,B).Πρόταση. Ο Hom(A,�) είναι όντως συναρτητής.Απόδειξη. Πρώτα ϑέλουμε να δείξουμε ότι για τυχόν αντικείμενοB ∈ obj(C), έαν ϑεωρήσουμε το μορφισμό 1B : B −→ B, τότε

Hom(A,�)1B = 1Hom(A,�)B = 1HomC(A,B)

Θα έχουμε ότι

Hom(A,�)1B = (1B)∗ : HomC(A,B) −→ HomC(A,B)g 7−→ 1Bg = g

και άρα όντως(1B)∗ = 1HomC(A,B)

Θεωρούμε τώρα αντικείμενα B,C,D ∈ obj(C) και μορφισμούς

f : B −→ C και h : C −→ Dκαι ϑέλουμε να δείξουμε ότι

Hom(A,�)(hf) = Hom(A,�)(h)Hom(A,�)(f)

ή, ισοδύναμα

(hf)∗ = h∗f∗ : HomC(A,B) −→ HomC(A,D)το οποίο πράγματι ισχύει καθώς για κάθε g ∈ HomC(A,B), ϑα είναι

(h∗ ◦ f∗)(g) = h∗[f∗(g)] = h∗(fg) = h(fg) = (hf)g = (hf)∗(g)

�


1.2.2 Φυσικοί Μετασχηματισμοί

Προχωράμε ένα επίπεδο αφαίρεσης παραπάνω. Μπορεί να οριστεί ηκατηγορία όλων των συναρτητών κατηγοριών; Και πάλι ναι! Και πάλιϑα αρκεστούμε στη μελέτη των μορφισμών μεταξύ συναρτητών, τουςφυσικούς μετασχηματισμούς.

Ορισμός 1.2.3. Θεωρούμε F,G : C −→ D δύο συναρτητές μεταξύ δύοκατηγοριών. ´Ενας φυσικός μετασχηματισμός η : F −→ G είναι μίαοικογένεια απεικονίσεων {ηA : FA −→ GA}A∈obj(C) τέτοια ώστε για κάθεμορφισμό f : A −→ B της C, το διάγραμμα

FA GA

FB GB

ηA

Ff Gf

ηB

της D να είναι μεταθετικό, δηλαδή

(Gf) ◦ ηA = ηB ◦ (Ff) : FA −→ GBΠαραδείγματα 1.2.4. (i) Θεωρούμε για κάποιο n ∈ N τους συναρτη-

τέςGLn, U : CommRing −→ Grp

και ορίζουμεdet : GLn −→ U

την οικογένεια απεικονίσεων {detR : GLn(R) −→ U(R)} με R μεταθε-τικό δακτύλιο ως εξής: για κάθε μεταθετικό δακτύλιο A

detR : GLn(R) −→ U(R)A 7−→ det(A)

Η απεικόνιση αυτή είναι ομομορφισμός ομάδων (προκύπτει από τηναντίστοιχη απόδειξη στη γραμμική άλγεβρα). Θα δείξουμε ότι είναιπράγματι φυσικός μετασχηματισμός. Θεωρούμε έναν ομομορφισμόμεταθετικών δακτυλίων f : R −→ S και εξετάζουμε τη μεταθετικότη-τα του διαγράμματος

GLn(R) U(R)

GLn(S) U(S)

detR

GLn(R) U(f)

detS


της Grp. Βλέπουμε ότι για τυχών πίνακα (rij) ∈ GLn(R),

(rij)detR7−−→ ∑

σ∈Sn

±r1σ1 ...rnσnU(f)7−−→ f(∑

σ∈Sn

±r1σ1 ...rnσn)

και(rij)

GLn(f)7−−−−→ (f(rij)) detS7−−→ ∑σ∈Sn

±f(r1σ1)...f(rnσn)

όπου φυσικά

f(∑σ∈Sn

±r1σ1 ...rnσn) =∑σ∈Sn

±f(r1σ1)...f(rnσn)

καθώς η f είναι ομομορφισμός. Άρα το διάγραμμα είναι μεταθετικόκαι επομένως ο det είναι όντως φυσικός μετασχηματισμός.

(ii) Θεωρούμε κατηγορία C, αντικείμενα A,A ′ ∈ obj(C) και μορφισμότης κατηγορίας f : A −→ A ′. Για τους συναρτητές

Hom(A,�),Hom(A ′,�) : C −→ Setορίζουμε ως φυσικό μετασχηματισμό

f∗ : Hom(A,�) −→ Hom(A ′,�)την οικογένεια απεικονίσεων {f∗B : Hom(A,�)B −→ Hom(A ′,�)B},όπου για κάθε B ∈ obj(C)

f∗B : Hom(A,�)B −→ Hom(A ′,�)Bμε

f∗B : HomC(A,B) −→ HomC(A ′, B)g 7−→ f∗B(g) = gf

Για να δούμε ότι είναι πράγματι φυσικός μετασχηματισμός ϑα εξε-τάσουμε, για τυχών μορφισμό h : B −→ C της C, την μεταθετικότητατου διαγράμματος

HomC(A,B) HomC(A ′, B)

HomC(A,C) HomC(A ′, C)

f∗B

h∗ h∗

f∗C

της Set. Βλέπουμε ότι για τυχών μορφισμό g ∈ HomC(A,B)

gf∗B7−→ gf h∗7−→ h(gf)

καιgh∗7−→ hg f∗C7−→ (hg)f

και προφανώς h(gf) = (hg)f. Άρα το διάγραμμα είναι μεταθετικόκαι ο f∗ είναι φυσικός μετασχηματισμός.


1.2.3 Το Λήμμα του Yoneda

´Ενας από τους λόγους που είναι χρήσιμο να ϑεωρήσουμε την κατη-γορία των συναρτητών είναι ότι κάθε κατηγορία μπορεί να εμφυτευθείσε μία κατηγορία συναρτητών. Αυτό το αποτέλεσμα αποτελεί μια α-φηρημένη γενίκευση του ϑεωρήματος του Cayley για ομάδες, και είναιειδική περίπτωση του λήμματος του Yoneda που ϑα δούμε σε αυτή τηνπαράγραφο.

Θεώρημα 1.2.5 (Λήμμα του Yoneda). ´Εστω κατηγορία C και έστω αντι-κείμενο A ∈ obj(C). Θεωρούμε επίσης συναρτητή F : C −→ Set. Τότε ηαπεικόνιση

λ : {η : Hom(A,�) −→ F | η φυσικός μετασχηματισμός} −→ FAη 7−→ ηA(1A)

είναι 1-1 και επί.

Απόδειξη. Θεωρούμε την απεικόνιση

µ : FA −→ {η : Hom(A,�) −→ F | η φυσικός μετασχηματισμός}x 7−→ µ(x) : Hom(A,�) −→ F

όπου µ(x) είναι η οικογένεια απεικονίσεων

{µB(x) : Hom(A,�)B ≡ HomC(A,B) −→ FB}B∈obj(C)η οποία έχει ως συνιστώσα στο αντικείμενο B, την απεικόνιση

µB(x) : HomC(A,B) −→ FBf 7−→ µB(x)(f) = (Ff)(x)

Ισχυρισμός 1. Η µ(x) είναι φυσικός μετασχηματισμός. ´Εστω g : B −→ B ′μορφισμός της C. Θα δείξουμε ότι το διάγραμμα

HomC(A,B) FB

HomC(A,B ′) FB ′

µB(x)

g∗ Fg

µB ′ (x)

είναι μεταθετικό. ´Εχουμε ότι για τυχών f ∈ HomC(A,B)

fµB(x)7−−−→ (Ff)(x) Fg7−→ (Fg)[(Ff)(x)] = (Fg ◦ Ff)(x)

καιfg∗7−→ gf µB ′ (x)7−−−−→ F(gf)(x)


και καθώς ο F είναι συναρτητής, ϑα είναι πράγματι

(Fg ◦ Ff)(x) = F(gf)(x)

Ισχυρισμός 2. Η σύνθεση λ ◦µ : FA −→ FA είναι η ταυτοτική απεικόνιση.´Εστω λοιπόν x ∈ FA και η = µ(x) : Hom(A,�) −→ F. Θέλουμε ναδείξουμε ότι λ(η) = x. ´Ομως έχουμε

λ(η) = ηA(1A) = µA(x)(1A)ορσ= (F1A)(x) = 1FA(x) = x

Ισχυρισμός 3. Η σύνθεση µ ◦ λ είναι η ταυτοτική απεικόνιση του

{η : Hom(A,�) −→ F | η φυσικός μετασχηματισμός}´Εστω λοιπόν η : Hom(A,�) −→ F ένας φυσικός μετασχηματισμός καιλ(η) = ηA(1A) = x ∈ FA η εικόνα του μέσω της λ. Θέλουμε να δείξουμεότι µ(x) = η : Hom(A,�) −→ F, δηλαδή ότι για κάθε αντικέιμενο B στηC, µB(x) = ηB : Hom(A,B) −→ FB. Σταθεροποιούμε λοιπόν αντικείμενοB ∈ C και μορφισμό f : A −→ B της C. Θέλουμε να δείξουμε ότι

µB(x)(f) = ηB(f) ∈ FBδηλαδή ότι (Ff)(x) = ηB(f) ∈ FBδηλαδή ότι (Ff)[ηA(1A)] = ηB(f) ∈ FBδηλαδή ότι (Ff ◦ ηA)(1A) = ηB(f) ∈ FB

´Ομως, ο η είναι φυσικός μετασχηματισμός και άρα για τον μορφισμό fϑα έχουμε ότι το διάγραμμα

HomC(A,A) FA

HomC(A,B) FB

ηA

f∗ Ff

ηB

ϑα είναι μεταθετικό. Δηλαδή η εικόνα του 1A στις δύο κατευθύνσεις ϑαείναι

1AηA7−−→ ηA(1A) Ff7−→ (Ff)[ηA(1A)] = (Ff ◦ ηA)[1A]

και1A

f∗7−→ f1a = f ηB7−→ ηB(f)και άρα (Ff ◦ ηA)(1A) = ηB(f). �

Παράδειγμα 1.2.6 (F = Hom(B,�)). Θεωρούμε κατηγορία C και αντι-κείμενα A,B. Τότε κάθε φυσικός μετασχηματισμός η : Hom(A,�) −→Hom(B,�) είναι της μορφής g∗ για κάποιον μορφισμό g : B −→ A. Θαδείξουμε ότι η αντιστοιχία g 7→ g∗ είναι ακριβώς η απεικόνιση

µ : HomC(B,A) −→ {η : Hom(A,�) −→ Hom(B,�) | η φ.μ.}δηλαδή µ(g) = g∗. Ισοδύναμα, αρκεί να δείξουμε ότι g = λ(g∗). ´Ομως,το σημείο Yoneda λ(g∗) = g∗A(1A) = 1Ag = g.

1.3. Ανταλλοίωτοι Συναρτητές 21

1.3 Ανταλλοίωτοι Συναρτητές

Υπάρχει και ένα άλλο είδος απεικονίσεων που είναι συναρτητές, διαφο-ρετικοί από αυτούς που ορίσαμε. Τυπικά εμείς είδαμε τους συναλλοίω-τους συναρτητές. Περνάμε στη μελέτη των ανταλλοίωτων συναρτητώνη οποία ϑα είναι εντελώς αντίστοιχη με τους αναλλοίωτους. Θα δούμεορισμό, παραδείγματα, φυσικούς μετασχηματισμούς και το αντίστοιχοΛήμμα του Yoneda για ανταλλοίωτους συναρτητές.

Ορισμός 1.3.1. Θεωρούμε κατηγορίες C και D. ´Ενας ανταλλοίωτοςσυναρτητής F : C −→ D συνίσταται σε μία απεικόνιση

F : obj(C) −→ obj(D) : A 7→ FAκαι για κάθε δύο αντικείμενα A,B ∈ obj(C), μία απεικόνιση

F : HomC(A,B) −→ HomD(FA, FB)φ 7−→ Fφ

τέτοιες ώστε να ισχύουν

(i) F1A = 1FA

(ii) Για κάθε τρία αντικείμενα A,B,C ∈ obj(C) και μορφισμούς

Af−→ B g−→ C

να ισχύει F(gf) = (Ff)(Fg) : FC −→ FA.Παραδείγματα 1.3.2. (i) Ο συναρτητής D : F-Vct −→ F-Vct που ο-

ρίζεται ως εξής

DV = V∗ = {f : V −→ F | f γραμμική}για κάθε F-διανυσματικό χώρο V και για κάθε γραμμική απεικόνισηT : V −→ U

DT = T∗ : U∗ −→ V∗f 7−→ (DT)(f) = f ◦ TV U

Ff◦T

T

f


είναι ένας ανταλλοίωτος συναρτητής. Πράγματι, ϑα έχουμε ότι

D(1V) : V∗ −→ V∗f 7−→ [D(1V)](f) = f ◦ 1V = f

και άρα D(1V) = 1V∗ = 1DV . Επίσης, εάν f : U −→ V και g : V −→Wείναι δύο γραμμικές απεικονίσεις, τότε για την γραμμική απεικόνισηg ◦ f : U −→ V ϑα έχουμε για τυχόν x ∈W∗

D(g ◦ f)(x) = x ◦ (g ◦ f) = (x ◦ g) ◦ f == Df(x ◦ g) = Df[Dg(x)] = (Df ◦Dg)(x)

δηλαδή πράγματι

D(g ◦ f) = Df ◦Dg :W∗ −→ U∗U V W

Fx(gf)=(xg)f

f

xg

g

x

(ii) Ο συναρτητής C : Mtv −→ C-Vct που ορίζεται για κάθε μετρικόχώρο X ως

C(X) = {f : X −→ C | f συνεχής}και για κάθε συνεχή συνάρτηση f : X −→ Y μεταξύ δύο μετρικώνχώρων ως

C(f) = f∗ : C(Y) −→ C(X)g 7−→ f∗(g) = g ◦ f

X Y

Cg◦f

f

g

είναι ένας ανταλλοίωτος συναρτητής.

(iii) Παρατηρούμε ότιΠαρατήρηση: Μπορούμε να συνθέσουμε συναρτητές

συναλ. ◦ συναλ. = ανταλ. ◦ ανταλ. = συναλ.ανταλ. ◦ συναλ. = συναλ. ◦ ανταλ. = ανταλ.

Εάν D : R-Vct −→ R-Vct είναι ο ανταλλοίωτος συναρτητής δυϊκότη-τας που είδαμε στο πρώτο παράδειγμα, τότε η σύνθεση

D2 : R-Vct −→ R-Vctείναι συναλλοίωτος συναρτητής.


V = R-Vct V∗ = R-Vct

V∗∗ = R-Vct

D

D2D

(iv) Η οικογένεια απεικονίσεων

IR-Vct −→ D2 : R-Vct −→ R-Vctη οποία έχει συνιστώσα σε έναν R-διανυσματικό χώρο V την γραμ-μική απεικόνιση

ηV : V −→ V∗∗v 7−→ v̂

όπου V∗∗ 3 v̂ : V∗ −→ R : f 7→ f(v) αποτελεί φυσικό μετασχηματι-σμό. Πράγματι, ϑεωρούμε γραμμική απεικόνιση λ : V −→ U και τοδιάγραμμα

V V∗∗

U U∗∗

ηV

λ λ∗∗

ηU

και βλέπουμε ότι για κάθε v ∈ V

vηV7−−→ v̂ λ∗∗7−−→ v̂ ◦ λ∗∗

καιvλ7−→ λ(v) ηU7−−→ λ̂(v)

Επομένως μένει να δείξουμε ότι v̂ ◦ λ∗∗ = λ̂(v) ∈ U∗∗ για κάθε v ∈ V .Για κάθε x ∈ U∗ ϑα είναι

(v̂ ◦ λ∗∗)(x) = v̂(λ∗∗(x)) = v̂(x ◦ λ) ορσ=ορσ= (x ◦ λ)(v) ορσ= x[λ(v)] = λ̂(v)(x)

(v) Εάν B ∈ obj(C) τότε ορίζεται ο ανταλλοίωτος συναρτητής

Hom(�, B) : C −→ Setως εξής: για κάθε αντικείμενο A ∈ obj(C),

Hom(�, B)A = HomC(A,B)


και για κάθε μορφισμό f : A −→ A ′,Hom(�, B)f = f∗ : HomC(A,B) −→ HomC(A,B)

g 7−→ f∗(g) = g ◦ fΓια να δούμε ότι ο Hom(�, B) είναι όντως συναρτητής, ελέγχουμεότι

1∗A = 1HomC(A,B)και ότι

(f ′f)∗ = f∗(f ′)∗

A A ′ A ′′

B

f

g(f ′f)=(gf ′)f

f ′

gf ′g

Ορισμός 1.3.3. Θεωρούμε F,G : C −→ D δύο ανταλλοίωτους συναρτητέςμεταξύ δύο κατηγοριών. ´Ενας φυσικός μετασχηματισμός η : F −→ Gείναι μία οικογένεια απεικονίσεων {ηA : FA −→ GA}A∈obj(C) τέτοια ώστεγια κάθε μορφισμό f : A −→ B της C, το διάγραμμα

FA GA

FB GB

ηA

Ff

ηB

Gf

της D να είναι μεταθετικό, δηλαδή

(Gf)ηB = ηA(Ff) : FB −→ GAΘεώρημα 1.3.4 (Λήμμα του Yoneda). Για κάθε αντικείμενο B ∈ obj(C)μίας κατηγορίας και κάθε ανταλλοίωτο συναρτητή F : C −→ Set υπάρχειαμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία

{η : Hom(�, B) −→ F | η φυσικός μετασχηματισμός}←→ FBη 7−→ ηB(1B) ∈ FB

Απόδειξη. Η απόδειξη είναι ίδια με την αντίστοιχη για συναλλοίωτουςσυναρτητές. Δεν ϑα μπούμε εδώ σε λεπτομέρειες παρά μόνο ϑα περι-γράψουμε την αντίστροφη αντιστοιχία

FB −→ {η : Hom(�, B) −→ F | η φυσικός μετασχηματισμός}Για κάθε x ∈ FB, ορίζω τον φυσικό μετασχηματισμό

x̂ : Hom(�, B) −→ F


ο οποίος έχει ως συνιστώσα στο αντικείμενο A ∈ obj(C) την απεικόνιση

x̂A : HomC(A,B) −→ FAx̂A(f) = (Ff)(x) ∈ FA ∀f ∈ HomC(A,B)

�

Πόρισμα 1.3.5. Για κάθε δύο αντικείμενα B,B ′ ∈ obj(C) μίας κατηγορίαςκαι κάθε μορφισμό g : B −→ B ′, ορίζεται φυσικός μετασχηματισμός

g∗ : Hom(�, B) −→ Hom(�, B ′)ο οποίος έχει ως συνιστώσα στο αντικείμενο A ∈ obj(C) την απεικόνιση

(g∗)A : HomC(A,B) −→ HomC(A,B ′)f 7−→ g ◦ f

Επιπλέον, η απεικόνιση

k : HomC(B,B ′) −→ {η : Hom(�, B) −→ Hom(�, B ′) | η φ.μ.}g 7−→ g∗

είναι 1-1 και επί.

Απόδειξη. Ισχυρισμός 1. Ο g∗ είναι φυσικός μετασχηματισμός. ´Εστωf : A −→ A ′ μορφισμός. Ελέγχω τη μεταθετικότητα του διαγράμματος

HomC(A,B) HomC(A,B ′)

HomC(A ′, B) HomC(A ′, B ′)

(g∗)A

f∗

(g∗)A ′

f∗

όπου βλέπουμε ότι για τυχαίο μορφισμό h ∈ HomC(A ′, B), έχουμε

hf∗7−→ hf (g∗)A7−−−→ g(hf)

καιh

(g∗)A ′7−−−−→ gh f∗7−→ (gh)fκαι άρα πράγματι είναι φυσικός μετασχηματισμός.

A A ′

B B ′

f

hfh

gh

g


Ισχυρισμός 2. Η k είναι 1-1 και επί. Αρκεί να δείξουμε ότι το σημείοYoneda του φυσικού μετασχηματισμού g∗ είναι το g ∈ HomC(B,B ′). Απότο Λήμμα Yoneda ϑα έχουμε

{η : Hom(�, B) −→ Hom(�, B ′) | η φ.μ.} '−→ HomC(B,B ′)η 7→ ηB(1B)

Θεωρούμε τη συνιστώσα

(g∗)B : HomC(B,B) −→ HomC(B,B ′)και υπολογίζουμε

(g∗)B(1B) = 1bg = gόπου προκύπτει το ζητούμενο. �

1.4 Ασκήσεις

1. Να δείξετε ότι οι επόμενες συνθήκες είναι ισοδύναμες για ένα μορ-φισμό f μίας κατηγορίας C

(αʹ) ο f είναι ισομορφισμός(βʹ) ο f είναι μονομορφισμός και διασπώμενος επιμορφισμός(γʹ) ο f είναι επιμορφισμός και διασπώμενος μονομορφισμός

2. ´Εστω C μία κατηγορία. Θεωρούμε αντικείμενα A,B,C ∈ obj(C) καιμορφισμούς f ∈ HomC(A,B) και g ∈ HomC(B,C).

(αʹ) Εάν η σύνθεση gf είναι (διασπώμενος) μονομορφισμός, να δει-χθεί ότι ο f είναι επίσης (διασπώμενος) μονομορφισμός.

(βʹ) Εάν η σύνθεση gf είναι (διασπώμενος) επιμορφισμός, να δει-χθεί ότι ο g είναι επίσης (διασπώμενος) επιμορφισμός.

3. ´Εστω M μία αβελιανή ομάδα και έστω N ≤ M υποομάδα της.Να δειχθεί ότι ο εγκλεισμός i : N ↪→ M είναι ένας διασπώμενοςμονομορφισμός της κατηγορίας Ab αν και μόνο αν η απεικόνισηπηλίκο π : M � M/N είναι ένας διασπώμενος επιμορφισμός τηςAb.

4. (αʹ) ´Εστω n ∈ Z. Για κάθε αβελιανή ομάδα A ϑεωρούμε την προ-σθετική απεικόνιση

nA : A −→ Ax 7→ nA(x) = nx ∀x ∈ A

Να δειχθεί ότι η οικογένεια {nA}A ορίζει φυσικό μετασχημα-τισμό n : 1Ab −→ 1Ab από τον ταυτοτικό συναρτητή 1Ab τηςκατηγορίας Ab στον εαυτό του.

1.4. Ασκήσεις 27

(βʹ) ´Εστω η : 1Ab −→ 1Ab ένας φυσικός μετασχηματισμός από τονταυτοτικό συναρτητή 1Ab της κατηγορίας Ab στον εαυτό του.Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός ακέραιος n τέτοιος ώστεη = n.

5. Θεωρούμε την κατηγορία Ab των αβελιανών ομάδων και το συναρ-τητή F : Ab −→ Ab ο οποίος ορίζεται ως εξής:

F : obj(Ab) −→ obj(Ab)M 7→ FM =M2 =M⊕M

και για κάθε δύο αντικείμενα M,N ∈ obj(Ab)

F : HomAb(M,N) −→ HomAb(M⊕M,N⊕N)φ 7−→ Fφ = φ2 :M2 −→ N2

όπουφ2 :M2 −→ N2 : (x, y) 7→ (φ(x), φ(y))

για κάθε (x, y) ∈M2.

(αʹ) Για κάθε αβελιανή ομάδα M ϑεωρούμε την προσθετική απει-κόνιση

ηM :M2 −→M

(x, y) 7→ x+ yγια κάθε (x, y) ∈ M2. δειχθεί ότι η οικογένεια {ηM}M ορίζειφυσικό μετασχηματισμό η : F −→ 1Ab.

(βʹ) Για κάθε αβελιανή ομάδα M ϑεωρούμε την προσθετική απει-κόνιση

δM :M −→M2x 7→ (x, x)

για κάθε x ∈ M. Να δειχθεί ότι η οικογένεια {δM}M ορίζειφυσικό μετασχηματισμό δ : 1Ab −→ F.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

Πρότυπα

A module is a construct of greatversatility. It turns up in manyseemingly unlikely guises andhas the knack of manifestingsome of the quintessential fea-tures of a wide variety of math-ematical structures. ... It pro-vides a language and a way oflooking at things which encour-ages economy of thought andexpresses an aesthetically satis-fying unity.

B. Hartley, T. HawkesRings, Modules and Linear

Algebra

Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα δούμε τις έννοιες από τη ϑεωρία προτύπωνπου ϑα χρειαστούμε. Ας ϑυμηθούμε ότι η έννοια του προτύπου εμ-φανίζεται φυσιολογικά όταν ϑελήσουμε να ϑεωρήσουμε διανυσματικούςχώρους υπερ τυχαίων δακτυλίων και όχι μόνο σωμάτων. Η δεύτερη, ισο-δύναμη προσέγγιση της έννοιας του προτύπου που πρέπει να ϑυμόμαστεείναι η δράση ενός δακτυλίου επί μίας αβελιανής ομάδας.

29

30 Κεφάλαιο 2. Πρότυπα

2.1 Η Κατηγορία των Προτύπων

2.1.1 Πρότυπα, Υποπρότυπα, Πηλίκα και Ομομορφισμοί

´Εστω (M,+) αβελιανή ομάδα. Το σύνολο των ενδομορφισμών της

End(M,+) = {f :M −→M | f προσθετική}μπορεί να εφοδιαστεί με τη δομή ενός δακτυλίου ως εξής: ορίζουμεπρόσθεση

+ : End(M,+)× End(M,+) −→ End(M,+)(f, g) 7−→ f+ g :M −→M

με (f+ g)(x) = f(x) + g(x) ∀x ∈M, και πολλαπλασιασμό

◦ : End(M,+)× End(M,+) −→ End(M,+)(f, g) 7−→ f ◦ g :M −→M

με (f ◦ g)(x) = f(g(x)) ∀x ∈ M. Οι παραπάνω πράξεις είναι καλά ορι-σμένες και ο (End(M),+, ◦) είναι δακτύλιος με μονάδα 1M : M −→ M :x 7→ x (η οποία είναι προφανώς προσθετική). ´Εχοντας εξασφαλίσει ότιο (End(M),+, ◦) είναι δακτύλιος μπορούμε να δώσουμε τον ορισμό τουπροτύπου.

Ορισμός 2.1.1. ´Εστω R ένας δακτύλιος. ´Ενα R-πρότυπο M είναι μίααβελιανή ομάδα (M,+) εφοδιασμένη με έναν ομομορφισμό δακτυλίωνL : R −→ End(M,+, ◦).

Δηλαδή ένα πρότυπο είναι μία αβελιανή ομάδα εφοδιασμένη με τηδράση ενός δακτυλίου. Η άλλη όψη του νομίσματος όπως είπαμε, είναιότι ένα πρότυπο είναι ένας διανυσματικός χώρος εάν αντί για σώμα ϑε-ωρήσουμε τυχών δακτύλιο. Πράγματι, εάν M είναι ένα R-πρότυπο όπωςπαραπάνω τότε το M εφοδιάζεται με φυσικό τρόπο με έναν εξωτερικόπολλαπλασιασμό με βαθμωτά από τον R ως εξής

R×M −→Mr×m = L(r)(m) ∈M

για κάθε r ∈ R και για κάθε m ∈ M. Τότε ϑα ισχύουν οι εξής ιδιότητεςπου είναι ακριβώς (μαζί με τα αξιώματα της ομάδας M) τα αξιώματα γιαέναν διανυσματικό χώρο:

(i) r(x+ y) = rx+ ry ∀r ∈ R ∀x, y ∈M (L(r)(x+ y) = L(r)(x) + L(r)(y))

(ii) (r+r ′)x = rx+r ′x ∀r, r ′ ∈ R ∀x ∈M (L(r+r ′)(x) = L(r)(x)+L(r ′)(x))

(iii) (rr ′)x = r(r ′x) ∀r, r ′ ∈ R ∀x ∈M (L(rr ′)(x) = (L(r) ◦ L(r ′))(x) )

2.1. Η Κατηγορία των Προτύπων 31

(iv) 1Rx = x ∀x ∈M (L(1) = 1M)

Αυτή η διαδικασία αντιστρέφεται. Εάν ϑεωρήσουμε ως R-πρότυπο,όπου R δακτύλιος, μία αβελιανή ομάδα M εφοδιασμένη με έναν εξωτε-ρικό πολλαπλασιασμό R ×M −→ M, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οιπαραπάνω τέσσερις ιδιότητες τότε ϑα έχουμε για κάθε r ∈ R έναν εν-δομορφισμό λr : M −→ M και συνεπώς έναν ομομορφισμό δακτυλίωνL : R −→ End(M,+, ◦) : r 7→ λr.Ορισμός 2.1.2. ´Εστω R ένας δακτύλιος και ϑεωρούμε δύο R-πρότυπαM,N. Μία απεικόνιση f :M −→ N καλείται ομομορφισμός R-προτύπωνή R-ομομορφισμός ή ακόμα R-γραμμική (παραλείποντας το R εάν δενυπάρχει κίνδυνος σύγχυσης) εάν

(i) f(x+ y) = f(x) + f(y) ∀x, y ∈M δηλαδή f προσθετική

(ii) f(rx) = rf(x) ∀r ∈ R ∀x ∈M δηλαδή f ομογενής

Παραδείγματα 2.1.3. (i) Εάν R σώμα τότε τα R-πρότυπα είναι ακρι-βώς οι R-διανυσματικοί χώροι και οι ομομορφισμοί R-προτύπων ε-ίναι οι R-γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ R-διανυσματικών χώρων.

(ii) Εάν R = Z τότε τα Z-πρότυπα είναι ακριβώς οι αβελιανές ομάδεςκαι οι Z-γραμμικές απεικονίσεις είναι ακριβώς οι προσθετικές απει-κονίσεις.

(iii) Κάθε αβελιανή ομάδα (M,+) είναι ένα End(M,+)-πρότυπο.

(iv) Η ταυτοτική απεικόνιση 1M : M −→ M ενός R-προτύπου M είναιR-γραμμική. Επιπλέον, εάν f :M −→ N και g : N −→ K R-γραμμικέςαπεικονίσεις μεταξύ R-προτύπων τότε και η σύνθεση g◦f :M −→ Kείναι R-γραμμική.

Ορισμός 2.1.4. Η κατηγορία των αριστερών R-προτύπων υπέρ ενός δα-κτυλίου R με αντικείμενα τα αριστερά R-πρότυπα και μορφισμούς τιςR-γραμμικές απεικονίσεις συβολίζεται με RMod. Αντίστοιχα, την κατηγο-ρία των δεξιών R-προτύπων συμβολίζουμε με ModR.

Ορισμός 2.1.5. Εάν M είναι ένα R-πρότυπο, τότε ένα μη κενό υποσύνο-λο N ⊆M λέγεται R-υποπρότυπο εάν

(i) N υποομάδα της (M,+): N ≤M

(ii) rn ∈ N ∀r ∈ R ∀n ∈ N

Σε αυτή την περίπτωση το N έχει τη δομή R-προτύπου. Ας δούμετώρα κάποιους συμβολισμούς. Στο διατεταγμένο σύνολο των υποπρο-τύπων ενός R-προτύπου M μπορούμε να ορίσουμε δύο πράξεις, τηντομή και το άθροισμα. Εάν K,N ≤ M τότε η (συνολοθεωρητική) τομή


K ∩ N είναι το μέγιστο υποπρότυπο του M που περιέχεται στα K καιN. Αντίστοιχα, το άθροισμά τους K + N = {x + y | x ∈ K, y ∈ N} είναιτο ελάχιστο υποπρότυπο του M που περιέχει τα K και N. Λέμε ότι τοάθροισμα είναι ευθύ και γράφουμε K⊕N εάν επιπλέον K ∩N = {0}.

Εάν τώρα N ≤M είναι ένα R-υποπρότυπο του M τότε ιδιαίτερα ϑαείναι υποομάδα (N,+) ≤ (M,+) και εφόσον M είναι αβελιανή ομάδα,κάθε υποομάδα της είναι κανονική, επομένως N C M. Άρα, ορίζεταικαλά η ομάδα πηλίκο (M/N,+) η οποία εφοδιάζεται με τη δομή ενόςR-προτύπου ορίζοντας εξωτερικό πολλαπλασιασμό

R×M/N −→M/N(r, x+N) 7−→ (rx) +N

για κάθε x + N ∈ M/N και για κάθε r ∈ R. Η πράξη αυτή τίναι καλάορισμένη. Πράγματι, εάν r ∈ R και x, y ∈ M : x + N = y + N ∈ M/Nτότε x − y ∈ N και άρα rx − ry = r(x − y) ∈ N δηλαδή ϑα έχουμεότι rx + N = ry + N ∈ M/N. Είναι εύκολο να δούμε ότι το M/Nμε τις παραπάνω πράξεις είναι ένα R-πρότυπο. Επομένως για κάθευποπρότυπο ορίζεται το πρότυπο πηλίκο.

Εάν N ≤M τότε οι απεικονίσεις

i : N ↪→Mκαι

π :M�M/N

είναι R-ομομορφισμοί.

Πρόταση 2.1.6. ´Εστω f :M −→ N ομομορφισμός R-προτύπων.(i) Εάν M ′ ≤M τότε f(M ′) ≤ N.

(ii) Ειδικότερα Im f = f(M) ≤ N.

(iii) Εάν N ′ ≤ N τότε f−1(N ′) ≤M.

(iv) Ειδικότερα ker f = f−1(0) ≤M.

Απόδειξη. (i) Γνωρίζουμε ότι (f(M ′),+) ≤ (N,+) από Θεωρία Ομάδων.Αν r ∈ R και y ∈ f(M ′) τότε ∃x ∈M ′ : f(x) = y και επομένως

ry = rf(x) = f(rx)

καθώς f ομομορφιμός προτύπων. Εφόσον rx ∈M ′ ⇒ ry ∈ f(M ′). Πράγ-ματι λοιπόν f(M ′) ≤ N.

(ii) Ειδική περίπτωση του (i).(iii) Γνωρίζουμε πάλι από Θεωρία Ομάδων ότι (f−1(N ′),+) ≤ (M,+).

´Εστω λοιπόν r ∈ R και έστω x ∈ f−1(N ′). Τότε f(rx) = rf(x) ∈ N ′ καιάρα rx ∈ f−1(N ′).

(iv) Ειδική περίπτωση του (iii). �


Ορισμός 2.1.7. Εάν f : M −→ N R-γραμμική απεικόνιση τότε συνπυ-ρήνας της f, συμβολικά coker f, ονομάζεται το πρότυπο πηλίκο coker f =N/ Im f.

Λήμμα 2.1.8. Για έναν R-ομομορφισμό f :M −→ N ισχύουν:(i) f 1-1 ⇐⇒ ker f = {0}(ii) f επί ⇐⇒ coker f = {0}

2.1.2 Μορφισμοί της RMod

Ας μελετήσουμε τώρα τους μορφισμούς της κατηγορίας των (αριστερών)R-προτύπων. Συγκεκριμένα ϑα χαρακτηρίσουμε τους μορφισμούς τηςRMod και ϑα δούμε τα ϑεωρήματα ισομορφισμών.

Ξεκινάμε με τους ισομορφισμούς. Δεδομένου ότι οι ισομορφισμοί (α-βελιανών) ομάδων και διανυσματικών χώρων είναι ακριβώς οι 1-1 και επίαπεικονίσεις, δεν ϑα έπρεπε να προκαλεί εντύπωση ότι κάτι αντίστοιχοϑα ισχύει και για τα πρότυπα.

Πρόταση 2.1.9. Μία R-γραμμική απεικόνιση f : M −→ N είναι ισομορ-φισμός στην RMod ⇐⇒ είναι 1-1 και επί.Απόδειξη. (⇒) Εάν η f είναι ισομορφισμός τότε υπάρχει γραμμική απει-κόνιση g : N −→M τέτοια ώστε

f ◦ g = 1N και g ◦ f = 1M

δηλαδή η f είναι δεξιά και αριστερά διαγράψιμη και άρα είναι επί και1-1 αντίστοιχα.

(⇐) Αρκεί να δείξουμε ότι η f−1 : N −→M είναι γραμμική. ´Εστωσανy1, y2 ∈ N και r ∈ R. Τότε ϑα είναι y1 = f(x1) και y2 = f(x2) για μοναδικάx1, x2 ∈M. Θα έχουμε λοιπόν x1 = f−1(y1) και x2 = f−1(y2). Επομένως

y1 + y2 = f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2)

και τελικάf−1(y1 + y2) = x1 + x2 = f

−1(y1) + f−1(y2)

Επιπλέον

ry1 = rf(x1) = f(rx1)⇒ f−1(ry1) = rx1 = rf−1(y1)�

Πρόταση 2.1.10. Μία R-γραμμική απεικόνιση f :M −→ N:(i) είναι μονομορφισμός στην RMod ⇐⇒ f 1-1 ⇐⇒ ker f = 0.


(ii) είναι επιμορφισμός στην RMod ⇐⇒ f επί ⇐⇒ coker f = 0.Απόδειξη. ´Ιδια με την αντίστοιχη απόδειξη στην περίπτωση της κατη-γορίας των αβελιανών αμάδων. �

Αφού χαρακτηρίσαμε ισομορφισμούς, μονομορφισμούς και επιμορφι-σμούς, μένει να χαρακτηρίσουμε τους διασπώμενους μονομορφισμούς καιεπιμορφισμούς. Προχωράμε λοιπόν στον χαρακτηρισμό των διασπώμε-νων μονομορφισμών.

Πρόταση 2.1.11. ´Εστω f : M −→ N μονομορφισμός της RMod. Ταεπόμενα είναι ισοδύναμα:

(i) f διασπάται

(ii) ∃N ′ ≤ N : N = Im f⊕N ′ (δηλαδή Im f ∩N ′ = 0 και για κάθε n ∈ Nτο n γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως n = n1+n2 με n1 ∈ Im f καιn2 ∈ N ′)

Απόδειξη. (i)⇒(ii) ´Εστω ότι ο f διασπάται, δηλαδή υπάρχει γραμμικήαπεικόνιση r : N −→ M τέτοια ώστε r ◦ f = 1M. Θα δείξουμε ότι N =Im f ⊕ ker r. ´Εστω y ∈ Im f ∩ ker r. Τότε υπάρχει x ∈ M τέτοιο ώστεy = f(x) και επιπλέον r(y) = 0. Άρα

0 = r(y) = r(f(x)) = x⇒ x = 0⇒ y = f(0) = 0που σημαίνει ότι Im f ∩ ker r = 0. Επιπλέον, για κάθε y ∈ N, γράφουμε

y = f[r(y)] + y− f[r(y)]

και παρατηρούμε ότι f[r(y)] ∈ Im f και

r(y− f[r(y)]) = r(y) − r(f(r(y))) = r(y) − r(y) = 0

δηλαδή y − f[r(y)] ∈ ker r και άρα κάθε y ∈ N γράφεται κατά μοναδικότρόπο ως y = f[r(y)] + y− f[r(y)] με f[r(y)] ∈ Im f και y− f[r(y)] ∈ ker r.

(ii)⇒(i) ´Εστω ότι ∃N ′ ≤ N : N = Im f ⊕ N ′ και άρα κάθε y ∈ Nγράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως y = y1 + y2 με y1 ∈ Im f και y2 ∈ N ′.Εφόσον y1 ∈ Im f ϑα υπάρχει x ∈M τέτοιο ώστε y1 = f(x) και ϑα είναιμοναδικό αφού f μονομορφισμός (και άρα 1-1). Ορίζουμε

r : N −→M : y 7→ r(y) = xόπου το x είναι εκείνο το στοιχείο που περιγράψαμε προηγουμένως.

Ισχυρισμός 1. Η r είναι γραμμική. ´Εστωσαν y, y ′ ∈ N και λ ∈ R. Τότεϑα έχουμε

y = y1 + y2 = f(x) + y2

y ′ = y ′1 + y′2 = f(x

′) + y ′2


όπως παραπάνω και άρα

r(y) = x και r(y ′) = x ′

εξ´ ορισμού. Θα έχουμε λοιπόν

y+ y ′ = (y1 + y′1) + (y2 + y

′2) = (f(x) + f(x

′)) + (y2 + y′2) =

= f(x+ x ′)︸︷︷︸∈Im f

+y2 + y′2︸︷︷︸

∈N ′

Συνεπώςr(y+ y ′) = x+ x ′ = r(y) + r(y ′)

Επιπλέον, ϑα έχουμε

λ = λ[f(x) + y2] = λf(x) + λy2 = f(λx)︸︷︷︸∈Im f

+ λy2︸︷︷︸∈N ′

που σημαίνει ότιr(λy) = λx = λr(y)

Ισχυρισμός 2. r ◦ f = 1M. ´Εστω x ∈ M και y = f(x). Θεωρούμε ότιy = f(x) = f(x) + 0 ∈ Im f⊕N ′ και άρα r(y) = x. Τελικά ϑα έχουμε ότι

(r ◦ f)(x) = r(f(x)) = r(y) = x

δηλαδή το ζητούμενο. �

Για λόγους συνοχής παραθέτουμε εδώ την πρόταση που χαρακτηρίζειτους διασπώμενους επιμορφισμούς. Αναβάλλουμε ωστόσο την απόδει-ξή της μέχρι να δούμε και τα ϑεωρήματα ισομορφισμών τα οποία ϑαχρησιμοποιήσουμε για να την αποδείξουμε.

Πρόταση 2.1.12. ´Εστω f :M −→ N επιμορφισμός της RMod. Τα επόμε-να είναι ισοδύναμα:


(ii) ∃M ′ ≤ M : M = ker f ⊕M ′ (δηλαδή ker f ∩M ′ = 0 και για κάθεm ∈ M το m γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως m = m1 +m2 μεm1 ∈ ker f και m2 ∈M ′)

Θεώρημα 2.1.13 (1ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων). Κάθε γραμμι-κή απεικόνιση f :M −→ N παραγοντοποιείται ως σύνθεση

Mπ−→M/ ker f ∼f−→ Im f i−→ N


όπου

π :M�M/ ker fm 7→ m+ ker f

η προβολή στο πηλίκο,

i : Im f ↪→ Nn 7→ n

ο εγκλεισμός του υποπροτύπου και

∼f :M/ ker f '−→ Im fm+ ker f 7−→ f(m)

ισομορφισμός.

Απόδειξη. Από Θεωρία Ομάδων f = i ◦∼f ◦ π με

∼f καλά ορισμένη, προ-

σθετική, 1-1 και επί. Αρκεί να δείξουμε ότι η∼f είναι επιπλέον ομογενής.

´Εστω r ∈ R και m+ ker f ∈M/ ker f. Τότε υπολογίζουμε

∼f[r(m+ ker f)] =

∼f(rm+ ker f) =

∼f(rm) = rf(m) = r

∼f(m+ ker f)

δηλαδή η∼f είναι ομογενής. �

Θεώρημα 2.1.14 (2ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων). ´Εστω M έναR-πρότυπο και K,N ≤M δύο υποπρότυπά του. Τότε η σύνθεση

Ki↪−→ K+N π−→ (K+N)/N

όπου i η ενθετική απεικόνιση και p η απεικόνιση πηλίκο, επάγει ισομορ-φισμό

K/(K ∩N) ' (K+N)/N

Απόδειξη. Άμεση συνέπεια του 1ου Θεωρήματος Ισομορφισμών Προ-τύπων. Η γραμμική απεικόνιση π◦ i είναι επί και ο πυρήνας της ισούταιμε ker(π ◦ i) = K ∩N. �

Πρόταση 2.1.15 (Θεώρημα της Αντιστοιχίας για Πρότυπα). ´Εστω Mένα R-πρότυπο και N ένα υποπρότυπό του. Τότε κάθε υποπρότυποτου R-προτύπουM/N είναι της μορφής K/N για μοναδικό υποπρότυποN ⊆ K ≤M.


Απόδειξη. ´Εστω π :M�M/N η απεικόνιση πηλίκο και έστω K ≤M/Nένα υποπρότυπο. Η αντίστροφη εικόνα του μέσω της π είναι K = π−1(K)ένα υποπρότυπο του M που περιέχει την αντίστροφη εικόνα π−1(0) =kerπ = N. Καθώς η π είναι (ως απεικόνιση συνόλων) επί, έχουμε

K = π[π−1(K)] = π(K) = K/N

Για τη μοναδικότητα ϑεωρούμε N ⊆ K ′ ≤M τέτοιο ώστε K ′/N = K. Τότεείναι π(K ′) = K ′/N = K και άρα K ′ ⊆ π−1(K) = K. Για τον αντίστροφοεγκλεισμό, δηλαδή K ⊆ K ′, ϑεωρούμε στοιχείο x ∈ K. Εφόσον x + N ∈K/N = K = K ′/N ϑα ισχύει ότι x+N = x ′+N ∈M/N για κάποιο x ′ ∈ K ′.Τότε όμως ϑα έχουμε ότι x−x ′ ∈ N ⊆ K ′ και άρα x = x ′+(x−x ′) ∈ K ′. �

Θεώρημα 2.1.16 (3ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων). ´Εστω M έναR-πρότυπο και N ένα υπορπότυπό του. Για κάθε υποπρότυπο N ⊆ K ≤M, το K/N είναι υπορπότυπο του M/N και υπάρχει ισομορφισμός

(M/N)/(K/N) 'M/K

Απόδειξη. Το ζητούμενο είναι άμεση συνέπεια του 1ου Θεωρήματος Ισο-μορφισμών Προτύπων. Η απεικόνιση

π :M/N −→M/K : π(x+N) = x+ Kείναι ένας καλά ορισμένος ομομορφισμός προτύπων με Imπ =M/K καιkerπ = K/N. �

Παρατήρηση 2.1.17. Το διατεταγμένο σύνολο των υποπροτύπων ενόςR-προτύπου M έχει ορισμένες κοινές ιδιότητες με το διατεταγμένο σύνο-λο των υποσυνόλων ενός συνόλου X. Το ανάλογο της τομής (αντίστοιχατου αθροίσματος, του ευθέος αθροίσματος) υποπροτύπων του M ελιναιη τομή αντίστοιχα η ένωση, η ξένη ένωση) υποσυνολων του X. Το α-νάλογο του 2ου Θεωρήματος Ισομορφισμών είναι η (προφανής) ισότηταA \ (A∩ B) = (A∪ B) \ B για κάθε δύο υποσύνολα A,B ⊆ X. Το ανάλογοτου 2ου Θεωρήματος Ισομορφισμών είναι η (επίσης προφανής) ισότητα(X \A) \ (B \A) = X \ B για κάθε δύο υποσύνολα A,B ⊆ X.

Επανερχόμαστε τώρα να αποδείξουμε την πρόταση 2.1.12.

Πρόταση 2.1.18 (2.1.12). ´Εστω f :M −→ N επιμορφισμός της RMod. Ταεπόμενα είναι ισοδύναμα:


(ii) ∃M ′ ≤ M : M = ker f ⊕M ′ (δηλαδή ker f ∩M ′ = 0 και για κάθεm ∈ M το m γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως m = m1 +m2 μεm1 ∈ ker f και m2 ∈M ′)


Απόδειξη. (i)⇒(ii) ´Εστω ότι ο f είναι διασπώμενος επιμορφισμός. Δη-λαδή υπάρχει γραμμική απεικόνι

Documents

eclass.uoa.gr...Πρìλογοc Το παρìν κε—mενο αποτελε— τιc σηmει‚σειc του προπτυχιακοÔ mαθ€mατοc