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CAPÍTULO 1. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS. 1.1 Introducción. La mayoría de las estructuras actuales están diseñadas para soportar sólo deformaciones pequeñas linealmente. Este es el caso de las estructuras metálicas, en las que el material se comporta conforme a la ley de Hooke; usualmente también se supone que las estructuras de concreto se deforman linealmente.
Sin embargo, es posible que un miembro estructural recto fabricado con un material que satisfaga la ley de Hooke se deforme no linealmente cuando es sometido a una carga lateral y a una fuerza axial grande.
Es importante reconocer la diferencia fundamental entre las estructuras
estáticamente indeterminadas (hiperestáticas), en las que las fuerzas en estas últimas no se pueden obtener únicamente a partir de las ecuaciones de equilibrio estático: también se requiere conocer algunas de las condiciones geométricas bajo carga.
El análisis de estructuras estáticamente indeterminadas, generalmente requiere la solución de ecuaciones lineales simultáneas, cuyo número depende del método de análisis.
(a)(b)
(c)(d)
ANALISIS ESTRUCTURAL 1
(e)(f)
(g)(h)
Figura 1-1. Ejemplos de estructuras reticuladas. (a) Viga continua.(b) y (c) Amaduras planas. (d) y (e) Marcos planos. (f) Marco tridimensional(g) Armadura tridimensional. (h) Retícula horizontal sometida a cargas verticales.
1.2 Equilibrio de un cuerpo.
En la figura 1-2a se representa un cuerpo sometido a fuerzas F1, F2,…, Fn en el espacio. En este contexto, el término fuerza significa, ya sea la acción de una carga concentrada, o un par de fuerzas, (un momento); en este último caso, el momento es representado por una flecha de doble cabeza. Una fuerza típica Fi
actuando en un punto con coordenadas (xi, yi, zi) se muestra en la figura 1-2b empleando el sistema de mano derecha de ejes ortogonales x, y, y z. Las componentes de Fi en la dirección de los ejes de la fuerza son:
ixiix FF λ= iyiiy FF λ= iziiz FF λ= (1-1)
Donde Fi es la magnitud de la fuerza (valor absoluto); ixλ , iyλ y izλ se
conocen como cosenos directores de la fuerza Fi, y son iguales al coseno de los ángulos α, β y γ entre la fuerza y las direcciones positivas de x, y, y z, respectivamente.
ANALISIS ESTRUCTURAL 2
(x iy F
(b)
i y i ,, i z i )
ix F
i F
β γ
α
yMy
xz
Mz
Mx
0 F
1 F
3 F
2 F y x
z
(a)
Figura 1-2. Sistema de fuerzas y componentes de las fuerzas. (a) Cuerpo sometido a fuerzas en el espacio. (b) Componentes de una fuerza típica y convención de signos positivos para Mx, My y Mz.
iz F
El momento de una carga concentrada Fi con respecto a los ejes x, y, y z (figura 1-2b) es igual a la suma de momentos de las componentes Fix, Fiy y Fiz; por lo tanto,
iiyiizix zFyFM −= iiziixiy xFzFM −= iixiiyiz yFxFM −= (1-2)
Para un cuerpo en equilibrio, las componentes de la resultante en las direcciones x, y, y z deben anularse de tal forma que se aplican las siguientes ecuaciones:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
======
∑∑∑∑∑∑
000000
zyx
zyx
MMMFFF
(1-3)
Cuando todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre se aplican en un plano, únicamente tres de las seis ecuaciones de equilibrio resultan significativas. Por ejemplo, cuando las fuerzas actúan en el plano x – y, estas ecuaciones son:
∑ = 0xF ∑ = 0yF ∑ = 0zM (1-4)
Cuando una estructura en equilibrio está constituida por varios miembros, se deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio al aplicarse a la estructura como un todo. Cada miembro, nudo o parte de la estructura se encuentra también equilibrio y las ecuaciones de la estática también se deberían satisfacer.
ANALISIS ESTRUCTURAL 3
Las ecuaciones de equilibrio 1-3 y 1-4 se pueden emplear para determinar las componentes de las reacciones o las fuerzas internas siempre y cuando el número de incógnitas no exceda el número de ecuaciones. En el caso de armaduras con miembros articulados y fuerzas aplicadas únicamente en los nudos, los miembros están sometidos a fuerzas axiales exclusivamente; por lo tanto, para un nudo de la armadura, las ecuaciones que expresan equilibrio de momentos incluidas en las ecuaciones 1-3 y 1-4 se anulan pero se pueden aplicar a una parte de la armadura para determinar las fuerzas en los miembros. Ejemplo 1-1. El elemento prismático en voladizo mostrado en la figura está sometido, en el plano de la sección transversal de su extremo libre, a las fuerzas F1 = P, F2 = 2Pb, como se muestra en la misma. Determine las componentes en O de la reacción resultante en el extremo empotrado; el punto O es el centro de la sección transversal.
b 3b
1.5b 1
F1 = P
F2= 2Pb y
zx
30°
Supóngase que las direcciones positivas de las componentes de la reacción son las mismas que las correspondientes a los ejes x, y, y z. Las coordenadas del punto de aplicación de F1 son (3b, 0.5b, -0.75b). Los cosenos directores de F1 son { }866.0,5.0,0,, 111 =zyx λλλ
Al aplicar las ecuaciones 1-1 y 1-2, se obtiene { } { }866.0,5.0,0,, 111 PFFF zyx =
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
××−
−×−×=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
500.1598.2
808.0
35.03866.0
)75.0(5.05.0866.0
1
1
1
PbPbMMM
z
y
x
ANALISIS ESTRUCTURAL 4
El momento aplicado F2 sólo tiene una componente: M2y = -2Pb. Las ecuaciones de equilibrio 1-3 proporcionan las componentes de reacción en el punto O:
{ } { }866.0,5.0,0,, −−= PFFF OzOyOx
{ } { }5.1,598.4,808.0,, −−= PbMMM OzOyOx
Observe que las reacciones no varían si la flecha de doble cabeza, que representa el momento F2 en la figura 1-3a, se desplaza a otra posición sin ningún cambio de dirección. Ejemplo 1-2. Determine las componentes de la reacción para el marco plano que se muestra en la figura.
R1= -2P
R3= -3.2P
4P
A
BC
DE
F
P2P
y
xz2b
2b2bb
b
Seleccione los ejes x, y, y z como se muestra y aplique la ecuación 1-4: ∑ = 0xF 021 =+ PR ∑ = 0zM 0)(2)2(4)5()5(21 =+−−+− bPbPbPbRbR ∑ = 0yF 0432 =++−− PPRR La primera de las tres ecuaciones anteriores proporciona el valor de R1, el cual, al sustituirse en la segunda ecuación, permite la determinación de R2. Al sustituir R2 en la tercera ecuación, se obtiene R3. Las respuestas son: ;21 PR −=
;8.12 PR = .2.33 PR =
En este problema, podemos verificar que ∑ = 0zM con el eje z en un punto diferente, por ejemplo en el punto A. Nótese que con esto no se obtiene una cuarta ecuación que se podría usar para determinar una cuarta incógnita; ello se debe a que la cuarta ecuación se puede derivar a partir de las otras tres.
ANALISIS ESTRUCTURAL 5
1.3 Fuerzas internas: convención de signos y diagramas. La finalidad de un análisis estructural es poder determinar las reacciones en los apoyos así como las fuerzas internas (las resultantes de los esfuerzos) en cualquier sección. En vigas y marcos planos en los cuales todas las fuerzas en la estructura están en un solo plano, la resultante de los esfuerzos en cualquier sección tiene generalmente tres componentes: una fuerza axial N, una fuerza cortante V y un momento flexionante M. Las direcciones positivas de N, V y M se muestran en la figura 1-3a. Las variaciones de N, V y M a lo largo del miembro se presentan gráficamente en lo diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante, respectivamente, que se presentan en la figura 1-3b. Las fuerzas N y V positivas se dibujan hacia arriba, mientras que el momento M positivo se traza hacia abajo.
N N
V
V
M M
(a)
P
A G CN
A G B C
P
V
7P/3
AG
H B C
Pb
M
(b)
Figura 1.3. (a) Valores positivos de N, V y M. (b) Diagramas de fuerzas axial, fuerza cortante y momento flexionante.
2Pb
4Pb/3
ANALISIS ESTRUCTURAL 6
Tarea. Obtenga los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para las vigas y marcos estáticamente determinados que se muestran en la figura del problema 1-4.
AB C D
0.4L 0.6L 0.2L
qL 0.2qLq por unidad de longitud
(a)
A
B C
D
90°
L
L
PP
(b)
(e)
A B
C
DE
F G
0.2L
L/2 L/2L/5 L/5
L/2
3L/8
qL/4 qL/4
Carga total en BCD = qL
L
(f)
L/2
A
BCarga total sobre AB = qL
L LL
0.6L0.2L0.2L
0.5L 0.5L
AB
C
DF EG
0.3qLCarga uniformeq/ unidad de longitud
(c)4@ L = 4L
3L/2
L
Carga total sobre FG = 2P
A
B
D
F
G
C EP
P
PP
P
(g)
L0.15L
1 313
A
B
C
D
(d)
L L
L/2A B
C
x
y
Vista en planta de unaviga en voladizo horizontalsometida a su peso propio q por unidad de longitud
(h)
ANALISIS ESTRUCTURAL 7
CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS. 2.1 Indeterminación estática. La indeterminación de una estructura puede ser externa, interna o de ambos tipos. Se dice que una estructura es indeterminada externamente si el número de componentes de reacción excede el número de ecuaciones de equilibrio. Por lo tanto, una estructura tridimensional es, en general, externa y estáticamente indeterminada cuando el número de componentes de reacción es mayor de seis. En una estructura plana, el número correspondiente es de tres. Cada una de las vigas de las figuras 2-1 a y b tiene cuatro componentes de reacción. Como sólo hay tres ecuaciones de equilibrio estático, se tiene una fuerza desconocida en exceso a aquellas que se pueden encontrar por estática, por lo que las vigas son externas y estáticamente indeterminadas. Se define el grado de indeterminación como el número de fuerzas desconocidas que excede el de las ecuaciones de la estática. Por lo tanto, las vigas de las figuras 2-1 a y b son indeterminadas en primer grado. Algunas estructuras se construyen de tal modo que el esfuerzo resultante en una sección determinada sea cero. Esto proporciona una ecuación adicional de equilibrio estático permite la determinación de una componente adicional de reacción. Por ejemplo, el marco de tres articulaciones de la figura 2-1c tiene cuatro componentes de reacción, pero el momento flexionante en la articulación central debe ser nulo. Esta condición, junto con las tres ecuaciones de equilibrio aplicadas a la estructura como cuerpo libre, es suficiente para determinar las cuatro componentes de reacción.
R1
R2 R3 R4
(a)
R2
R1
R3
(b)
R1
R2 R3
(c)
Figura 2-1. (a), (b) Estructuras externa y estáticamente indeterminadas.(c) Marco de tres articulac iones estáticamente determinado.
R4
ANALISIS ESTRUCTURAL 8
Considérense ahora las estructuras que son externa y estáticamente determinadas, pero internamente indeterminadas. Por ejemplo, en la armadura de la figura 2-2a, las fuerzas en los miembros no se pueden determinar solamente con las ecuaciones de la estática. Si se retira (o se corta) uno de los dos miembros diagonales, las fuerzas en los miembros se pueden calcular con las ecuaciones de la estática. De ahí que la armadura sea internamente indeterminada en primer grado, aunque sea externamente determinada. El marco de la figura 2-2b es internamente indeterminado en tercer grado: se convierte en determinado si se hace un corte en uno de los miembros (figura 2-2c). El corte representa la eliminación o liberación de tres resultantes esfuerzo: fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante. El número de liberaciones necesarias para hacer una estructura estáticamente determinada representa el grado de indeterminación. El mismo marco se convierte en determinado si las liberaciones se efectúan introduciendo tres articulaciones como se muestra en la figura 2-2d, eliminando así el momento flexionante en tres secciones.
R2 R3
Figura 2-2. Estructuras interna y estáticamente indeterminadas.
R1
(a)
R2
R1
R3(b)
R2
R1
R3(c)
R2
R1
R3(d)
Las estructuras pueden ser estáticamente indeterminadas tanto interna como externamente. El marco de la figura 2-3 es externamente indeterminado en primer grado, pero las resultantes de esfuerzos no se pueden determinar por estática aun suponiendo que se hayan encontrado previamente las reacciones.
ANALISIS ESTRUCTURAL 9
R2 R4
Figura 2-3. Marco que es estáticamente indeterminado tanto externa como internamente.
R1
R3
El marco tridimensional de la figura 2-4 tiene seis componentes de reacción en cada apoyo: tres componentes X, Y, y Z y tres momentos Mx, My y Mz. Para evitar congestionar la figura, las seis componentes se muestran sólo en uno de los cuatro apoyos. Los vectores de momentos se indican con flechas de doble cabeza. Por lo tanto, el número de componentes de reacción de la estructura es 24, mientras que el número de ecuaciones de equilibrio que se pueden escribir es seis. Entonces, el marco es externamente indeterminado en 18°.
x
z
y
Figura 2-4. Marco tridimensional con nudos rígidos.
YX
ZM
y
Mz
Mx
ANALISIS ESTRUCTURAL 10
2.2 Expresiones para el grado de indeterminación. Una armadura plana con tres componentes de reacción, m miembros y j nudos articulados (incluyendo los apoyos, que también están articulados). Las fuerzas desconocidas son las tres componentes de reacción y la fuerza en cada miembro, en total, 3 + m. Por otra parte, se pueden escribir dos ecuaciones de equilibrio en cada nudo:
∑ = 0xF ∑ = 0yF (2-1)
Siendo la sumatoria para las componentes de todas las fuerzas externas e internas que coinciden en el nudo. De ahí que el número total de ecuaciones es 2j.
Para la determinación estática, el número de ecuaciones de la estática es igual al número de incógnitas, es decir:
32 += mj (2-2)
Siempre que la estructura sea estable, se puede hacer cierto intercambio
entre el número de miembros y el número de componentes de reacción r, de modo que para la determinación total se satisfaga la condición:
rmj +=2 (2-3)
Entonces, el grado de indeterminación es:
jrmi 2)( −+= (2-4)
Para la armadura que se ilustra en la figura 2-5, ,4=r y . Por lo tanto .
18=m 10=j2=i
R1 R2 R4
Figura 2-5. Armadura plana estáticamente indeterminada.
R3
ANALISIS ESTRUCTURAL 11
En el caso de un marco tridimensional con nudos articulados se pueden escribir tres ecuaciones de equilibrio, a saber:
∑ = 0xF ∑ = 0yF ∑ = 0zF (2-5)
Siendo otra vez la sumatoria de todas las fuerzas internas y externas que coinciden en el nudo. El número total de ecuaciones es 3j, y la condición de determinación es:
rmj +=3 (2-6)
El grado de indeterminación es:
jrmi 3)( −+= (2-7)
Un marco plano con nudos rígidos des estáticamente determinado sí:
rmj += 33 (2-8) y el grado de indeterminación es:
jrmi 3)3( −+= (2-9)
En estas ecuaciones, j es el número total de nudos rígidos, incluyendo los apoyos, y m es el número de miembros. Un marco tridimensional es estáticamente determinado sí:
rmj += 66 (2-10)
y el grado de indeterminación es:
( ) jrmi 66 −+= (2-11)
Aplicado la ecuación 2-11 al marco de la figura 2-4, se tiene que ,8=m 24=r y . Según la ecuación 2-11, 8=j 24=i .
ANALISIS ESTRUCTURAL 12
2.3 Métodos generales de análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. La finalidad del análisis de las estructuras es determinar las fuerzas externas (componentes de reacción) y las fuerzas internas (resultantes de esfuerzos). Las fuerzas deben satisfacer las condiciones de equilibrio y producir deformaciones compatibles con la continuidad de la estructura y las condiciones de apoyo. Como ya se ha visto, las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las fuerzas desconocidas en una estructura estáticamente indeterminada y es necesario complementarlas con relaciones geométricas simples entre las deformaciones de la estructura. Con estas relaciones se asegura la compatibilidad de las deformaciones con la geometría de la estructura y se conocen como condiciones geométricas o condiciones de compatibilidad. Un ejemplo de dichas condiciones es que en un apoyo intermedio de una viga continua no puede haber deflexión la rotación es igual en ambos lados del apoyo. Se pueden usar dos métodos generales de estudio. El primero es el método de las fuerzas de flexibilidad, en que se proporcionan suficientes liberaciones para convertir la estructura en estáticamente determinada. La estructura liberada sufre deformaciones inconsistentes, y la inconsistencia geométrica se corrige posteriormente mediante la aplicación de fuerzas adicionales. El segundo enfoque es el método de los desplazamientos o de rigidez. En este método se agregan restricciones para impedir el movimiento de los nudos y se determinan las fuerzas necesarias para producir la restricción. Después se permite que tengan lugar desplazamientos de los nudos hasta que hayan desaparecido las fuerzas ficticias de restricción. Conociendo los desplazamientos en el nodo, se determinan las fuerzas en la estructura por superposición de los efectos de los desplazamientos separados. Se puede usar indistintamente el método de las fuerzas o el de los desplazamientos para analizar cualquier tipo de estructura. En el método de las fuerzas, se obtienen las fuerzas necesarias para restablecer la consistencia geométrica, el análisis generalmente comprende la solución de un número de ecuaciones simultáneas igual al número de fuerzas desconocidas, es decir, el número de liberaciones que se necesiten para convertir a la estructura en estáticamente determinada. Las incógnitas en el método de los desplazamientos son las posibles traslaciones y rotaciones de los nudos. La cantidad de fuerzas de restricción que se que se deben agregar a la estructura es igual al número de posibles desplazamientos de los nudos. Esto representa otro tipo de indeterminación, que se puede designar como indeterminación cinemática y se describe en la siguiente sección.
ANALISIS ESTRUCTURAL 13
2.4 Indeterminación cinemática. Cuando una estructura constituida por varios miembros se somete a cargas, los nudos sufren desplazamientos en forma de rotación y traslación. En el método de análisis por desplazamiento, las magnitudes desconocidas son la rotación y la traslación de los nudos. En un apoyo se conocen una o más de las componentes del desplazamiento. Por ejemplo, la viga continua de la figura 2-6 está empotrada en C y tiene apoyos con rodillos en A y B. La fijación en C impide cualquier desplazamiento en ese extremo, mientras que los apoyos con rodillos en A y B evitan la traslación en dirección vertical pero permiten la rotación. Se debe mencionar que se supone que los apoyos con rodillos pueden resistir tanto fuerzas descendentes como ascendentes.
A B C
D1
D2
Figura 2-6. Indeterminac ión c inemática de una viga continua.
Si se supone que la rigidez axial de la viga es tan alta que se puede despreciar el cambio de longitud debido a fuerzas axiales, no habrá desplazamientos horizontales en A o en B. Por lo tanto, los únicos desplazamientos desconocidos en los nodos serán las rotaciones D1 y D2 en A y B, respectivamente (figura 2-6). Los desplazamientos D1 y D2 son independientes uno del otro, ya que a cualquiera de ellos se le puede asignar un valor arbitrario mediante la introducción de fuerzas apropiadas. A un sistema de desplazamiento de nudos se le denomina independiente si cada desplazamiento se puede variar arbitraria e independiente de todos los demás. Al número de desplazamientos independientes de nudos de una estructura se le conoce como grado de indeterminación cinemática o número de grados de libertad. Este número es una suma de los grados de libertad en rotación y en traslación. Algunas veces, a esta última se le conoce como libertad de desplazamiento lateral. El marco plano de la figura 2-7 es otro ejemplo de una estructura cinemática indeterminada. Si se desprecia la deformación axial, el grado de indeterminación cinemática es de dos, siendo los desplazamientos desconocidos de los nudos las rotaciones en A y en B.
ANALISIS ESTRUCTURAL 14
A B C
D
P
D2D1
Figura 2-7. Indeterminación c inemática de un marcoplano con nudos rigidos.
Hay que destacar que la indeterminación cinemática y la indeterminación estática no se deben confundir una con la otra. Por ejemplo, el marco de la figura 2-7 tiene siete componentes de reacción y es estáticamente indeterminado en cuarto grado. Si se sustituye el apoyo fijo en D por una articulación, se reducirá en uno el grado de indeterminación estática, pero al mismo tiempo se hace posible que ocurra rotación en D, aumentándose de este modo el grado de indeterminación cinemática en uno. En general, la introducción de una liberación disminuye el grado de indeterminación estática y aumenta el grado de indeterminación cinemática. Por esta razón, cuanto más alto sea el grado de indeterminación estática, más adecuado será el método de desplazamiento para el análisis de la estructura. En el caso de una armadura con nudos articulados en el que todas la fuerzas están aplicadas en los nudos, los miembros están sometidos sólo a una carga axial (sin momentos flexionantes ni esfuerzos cortantes) y, por lo tanto, permanecen rectos. La configuración deformada de una armadura plana se define completamente si se determinan las componentes de la traslación en dos direcciones ortogonales para cada nudo, y cada nudo, que no sea un apoyo, tiene dos grados de libertad. Considérese el marco de la figura 2-8. Tiene ocho nudos, de los cuales cuatro están empotrados en el espacio. Cada uno de los nudos A, B, C y D puede tener seis desplazamientos como los que se muestran en A. Por lo tanto, el grado de indeterminación cinemática del marco es 2464 =× .
ANALISIS ESTRUCTURAL 15
B
D
PC
A
D
D
DD
D D
6
3
1 4
5
2
x
z
y
Figura 2-8. Indeterminación c inemática de un marcotridimensional con nudos rigidos.
Si se toman en cuenta las deformaciones axiales, las longitudes de las cuatro columnas permanecen inalteradas, por lo que se anula la componente D3 de traslación en la dirección vertical, reduciendo así en cuatro los desplazamientos desconocidos. Además, como no cambian las longitudes de los miembros horizontales, las traslaciones horizontales en la dirección x de los nudos A y D son iguales; lo mismo ocurre en los nudos B y C. En la misma forma, las traslaciones en la dirección y de los nudos A y B son iguales; de nueva cuenta ocurre lo mismo para los nodos C y D. con todo esto se reducen en cuatro los desplazamientos desconocidos. Por lo tanto, el grado de indeterminación cinemática del marco de la figura 2-8, sin deformación axial, es 16. 2.5 Principio de superposición. Se mencionó que cuando las deformaciones de una estructura son proporcionales a las cargas aplicadas, es válido el principio de superposición. Este principio establece que el desplazamiento debido a varias fuerzas que actúen simultáneamente es igual a la suma de los desplazamientos ocasionados por cada fuerza actuando separadamente. En el análisis de estructuras, es conveniente usar una notación en que una fuerza Fj produce en un punto i un desplazamiento Dij. Por lo tanto, el primer subíndice de un desplazamiento describe la posición y dirección del desplazamiento, y el segundo subíndice, la posición y dirección de la fuerza que causa el desplazamiento. Cada subíndice se refiere a una coordenada que representa la ubicación y dirección de una fuerza o de un desplazamiento.
ANALISIS ESTRUCTURAL 16
Este enfoque se ilustra en la figura 2-9a. Si la relación entre la fuerza aplicada y el desplazamiento resultante es lineal, se puede escribir:
111 FfD ii = (2-12)
Donde fi1 es el desplazamiento en la coordenada i debido a una fuerza unitaria en la ubicación y dirección de F1 (coordenada 1).
Di1
i
A i1
F1
(a)
Di1
i
A i2
F2
(b)
Di1
i
A i1
F1
(c)
Fn
Figura 2-9. Superposic ión de desplazamientos y de fuerzas.
Si se aplica una segunda fuerza F2 que cause un desplazamiento Di2 en i (figura 2-9b):
222 FfD ii = (2-13)
en que fi2 es el desplazamiento en i debido a una fuerza unitaria en la coordenada 2. Si varias fuerzas F1, F2,…, Fn actúan simultáneamente (figura 2-9c), el desplazamiento total en i es:
niniii FfFfFfD +++= L2211 (2-14)
ANALISIS ESTRUCTURAL 17
Es claro que el desplazamiento total no depende del orden de aplicación de las cargas. Esto por supuesto no es válido cuado la relación esfuerzo-deformación unitaria del material no es lineal. Una estructura puede comportarse no linealmente aunque está hecha de un material que satisface la ley de Hooke si se producen cambios en su geometría inducidos por las cargas aplicadas. Considérese el puntal esbelto de la figura 2-10a, sometido a una fuerza axial F1 que no es lo suficientemente grande como para pandearlo. Por lo tanto, el puntal permanecerá recto y el desplazamiento en cualquier punto A es DA = 0. Ahora bien, si el puntal se somete a una carga lateral F2 actuando sola, habrá una deflexión lateral DA en el punto A (figura 2-10b). Si actúan ambas fuerzas F1 y F2 (figura 2-10c), el puntal quedará sometido a un momento flexionante adicional igual al producto de F1 multiplicado por la deflexión en la sección dada. Esta deflexión adicional causa nuevas deflexiones y la deflexión D’A en A, en este caso será mayor que DA.
F1
A DA= 0
(a)
A DA
(b)
F2
A D'A
(c)
> DA
Figura 2-10. Estructura con deformación no lineal.
F2
F1
Es obvio que no existe tal momento flexionante cuando las cargas F1 y F2 actúan separadamente, de manera que el efecto combinado de F1 y F2 no es igual a la suma de sus efectos separados, y no se satisface e principio de superposición. Cuando una estructura se comporta linealmente, se cumple el principio de superposición para las fuerzas así como para los desplazamientos. Se pueden determinar las resultantes de los esfuerzos internos en cualquier sección o las componentes de reacción de la estructura de la figura 2-9c mediante la suma de los efectos de las fuerzas F1, F2,…, Fn cuando cada una actúa por separado.
ANALISIS ESTRUCTURAL 18
Supóngase que el símbolo Ai indica una acción general, la cual puede ser una reacción, un momento flexionante, un esfuerzo cortante o compresión en cualquier sección debido al efecto combinado de todas las fuerzas. Se puede escribir entonces una ecuación general de superposición de fuerzas:
nuinuiuii FAFAFAA +++= L2211 (2-15)
Donde Aui1 es la magnitud de la acción Ai cuando se aplica una fuerza unitaria sola en la ordenada 1. De igual manera, Aui2,…, Auin, son los valores de la acción A. La ecuación 2-15 puede escribirse en forma matricial:
[ ] { } 11 ××= nnuii FAA (2-16)
En las estructuras estáticamente indeterminadas, la superposición de fuerzas sólo es válida si se cumple la ley de Hooke, porque las fuerzas internas dependen de la deformación de los miembros. 2.6 Resumen. La mayoría de las estructuras modernas son estáticamente indeterminadas, y con el método de flexibilidad es necesario establecer para una estructura dada el grado de indeterminación, que puede se externa, interna o de ambas. En casos simples, el grado de indeterminación se puede encontrar por simple inspección, aunque en estructuras más complejas o de claros múltiples con varias crujías, resulta preferible establecer el grado de indeterminación con la ayuda de expresiones que incluyan el número de nudos, miembros y componentes de reacción. Se cuenta con este tipo de expresiones para armaduras planas y tridimensionales (de nudos articulados) y para marcos (con nudos rígidos). Existen dos métodos generales para el análisis de estructuras. Uno es el método de las fuerzas (o de flexibilidad), en el que se introducen liberaciones para convertir la estructura en estáticamente determinada; se calculan los desplazamientos resultantes y se corrigen las inconsistencias en los desplazamientos con la aplicación de fuerzas adicionales en la dirección de las liberaciones. De este modo se obtiene una serie de ecuaciones de compatibilidad; al resolverlas, se determinan las fuerzas desconocidas. En el otro método –de los desplazamientos (o de las rigideces)-, se introducen restricciones en los nudos. Se calculan las fuerzas restrictivas que se necesitan para impedir los desplazamientos de los nudos. Después se permite que se presenten los desplazamientos en la dirección de las restricciones hasta
ANALISIS ESTRUCTURAL 19
que éstas hayan desaparecido; de aquí se obtiene un conjunto de ecuaciones de equilibrio: su solución proporciona los desplazamientos desconocidos. Luego se determinan las fuerzas internas de la estructura mediante superposición de los efectos de estos desplazamientos y de los de la carga aplicada con los desplazamientos restringidos. El análisis de estructuras con el método de las fuerzas o el de los desplazamientos implica el uso del principio de superposición, que permite una simple suma de desplazamientos (o acciones) debidos a las cargas individuales (o desplazamientos). Tarea. 1. ¿Cuál es grado de indeterminación estática de las estructuras que se muestran a continuación? Introduzca suficientes liberaciones para hacer cada estructura estáticamente determinada.
(a) (b)
A B CA B
C D
E F
A
B
C
(c)
A B C DE
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F G H
I J
(d)
(e)
(f)
2. (a) Introduzca suficientes liberaciones para convertir el marco mostrado en estáticamente determinado. Indique las liberaciones mediante un sistema de coordenadas. (b) Introduzca una articulación en la parte media de cada miembro y dibuje el diagrama de momento flexionante para el marco debido a dos fuerzas horizontales, cada una igual a P, aplicadas en E y en C. Muestre esquemáticamente la magnitud y dirección de las componentes de reacción en A.
ANALISIS ESTRUCTURAL 20
A B
C D
E F
P
P
L
L
L
CAPÍTULO 3. MÉTODO DE LAS FUERZAS PARA ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. 3.1 Descripción del método.
1. Primeramente, se determina el grado de indeterminación estática. Luego se introduce un número de liberaciones igual al grado de indeterminación, efectuándose cada liberación mediante la eliminación de una fuerza externa o interna. Las liberaciones se deben seleccionar de manera que la estructura restante sea estable y estáticamente determinada. Sin embargo, en algunos casos el número de liberaciones puede ser menor que el grado de indeterminación, siempre que la estructura estáticamente indeterminada restante sea tan sencilla que se pueda analizar fácilmente. En todos los casos, las fuerzas liberadas, que también se denominan fuerzas redundantes, se deben escoger cuidadosamente para que la estructura liberada se pueda analizar con facilidad.
2. Las liberaciones introducen incongruencias en desplazamientos y como
segundo paso se determinan estas incongruencias o “errores” en la estructura liberada. En otras palabras, se calcula la magnitud de los “errores” en los desplazamientos que corresponden a las fuerzas redundantes. Estos desplazamientos se pueden deber a cargas externas aplicadas, asentamiento de los apoyos o variación de temperatura.
3. El tercer paso consiste en la determinación de los desplazamientos en la
estructura liberada debidos a valores unitarios de las redundantes (véanse las figuras 3-1 d y e). Estos desplazamientos se necesitan en el mismo lugar en la dirección que el error en desplazamientos determinado en el paso dos.
4. A continuación se determinan los valores de las fuerzas redundantes
necesarias para eliminar los errores en los desplazamientos. Esto implica el establecimiento de ecuaciones de superposición en las que los efectos
ANALISIS ESTRUCTURAL 21
de las fuerzas redundantes separadas se suman a los desplazamientos de la estructura liberada.
5. En consecuencia, se encuentran las fuerzas que actúan sobre la
estructura indeterminada original: son la suma de las fuerzas de corrección (redundantes) y las fuerzas aplicadas a la estructura liberada.
Ejemplo 3-1. En la figura 3-1a se muestra una viga ABC empotrada en C, que descansa sobre apoyos de rodillos en A y en B y que soporta una carga uniforme igual a q por unidad de longitud. La viga tiene una rigidez constante a la flexión EI. Encuentre las reacciones de la viga.
(a)
A BC
q por unidad de longitud
L L
(b)
A C
F1, D1
F2, D2
(c)
Cq por unidad de longitud
(f)
q por unidad de longitud
qL qL
D1 D2
(d)
f11 f21
1
(e)
f12f22
1qL /14
8qL/7
2
Figura 3-1. (a) Viga estáticamente indeterminada. (b) Sistema de coordenadas.(c) Carga externa sobre la estructura liberada. (d) F1= 1. (e) F2= 1. (f) Redundantes.
La estructura es estáticamente indeterminada en segundo grado, por lo que se deben eliminar dos fuerzas redundantes. Son posibles varias opciones, por ejemplo, el momento y la reacción vertical en C, o las reacciones verticales en A y B. para los fines de este ejemplo, se eliminarán la reacción vertical en B y el momento en C. Por lo tanto, la estructura liberada es una viga simple AC con las fuerzas redundantes y los desplazamientos que se muestran en la figura 3-1b. La ubicación y dirección de las diversas fuerzas redundantes y de los desplazamientos están referidos a un sistema de coordenadas.
ANALISIS ESTRUCTURAL 22
Las direcciones positivas de las fuerzas redundantes F1 y F2 se escogen arbitrariamente pero las direcciones positivas de los desplazamientos en el mismo lugar siempre tienen que concordar con los de las fuerzas redundantes. Las flechas en la figura 3-1b indican las direcciones positivas seleccionadas en el presente caso y, como las flechas representan tanto fuerzas como desplazamientos, es conveniente en un caso general identificar las coordenadas por medio de los números 1, 2,…, n. Siguiendo este sistema, en la figura 3-1c se muestran los desplazamientos en B y en C como D1 y D2, respectivamente. De hecho, como se ilustra en la figura 3-1a, los desplazamientos reales en estos puntos tienen valor cero, de modo que D1 y D2 representan las inconsistencias en deformación. La magnitud de D1 y D2 se pueden calcular a partir del comportamiento de la viga simplemente apoyada mostrada en la figura 3-1c. Para fines de este ejemplo se pueden usar las siguientes expresiones. Por lo tanto:
EIqlD
245 4
1 −= y EI
qlD3
3
2 −=
Los signos negativos indican que los desplazamientos son en direcciones opuestas a las direcciones positivas escogidas en la figura 3-1b. Cuando la liberación se aplica a una fuerza interna, deberá ser representada en el sistema de coordenadas con un par de flechas en direcciones opuestas. Los desplazamientos debidos a valores unitarios de las redundantes se muestran en las figuras 3-1 d y e. Estos desplazamientos adquieren los siguientes valores:
EIlf
6
3
11 = EIlf
4
2
12 =
EIlf
4
2
21 = EIlf
32
22 =
El coeficiente general fij representa el desplazamiento en la coordenada i debido a una redundante unitaria en la coordenada j. Las relaciones geométricas expresan el hecho de que la traslación vertical final en B y la rotación en C se anulan. Los desplazamientos finales son el resultado de la superposición del efecto de la carga externa y de las fueras redundantes sobre la estructura liberada. Por lo tanto, las relaciones geométricas se pueden expresar como:
ANALISIS ESTRUCTURAL 23
00
2221212
2121111
=++=++
FfFfDFfFfD
(3-1)
Una forma más general de la ecuación 3-1 es:
22221212
12121111
∆=++∆=++
FfFfDFfFfD
(3-2)
Donde ∆1 y ∆2 son los desplazamientos prescritos en las coordenadas 1 y 2 de la estructura real. Si, en el ejemplo considerado, se necesita el análisis para los efectos combinados de la carga q dada y de un asentamiento descendente δB en el apoyo B (figura 3-1a), se deberá sustituir Bδ−=∆1 , 01 =∆ . 3.3 Matriz de flexibilidad. Las relaciones de la ecuación 3-2 se pueden escribir en forma matricial como:
[ ]{ } { }DFf −∆= (3-3) Donde:
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=2
1
DD
D y [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
ffff
f { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=2
1
FF
F
Los elementos de la matriz [ ]f son desplazamientos debidos a los valores unitarios de las redundantes. Por lo tanto, [ ]f depende de las propiedades de la estructura y representa la flexibilidad de la estructura liberada. Por esta, a [ ]f se le denomina matriz de flexibilidad, y sus elementos se conocen como coeficientes de flexibilidad. Los elementos del vector { }F son las redundantes que se pueden obtener resolviendo la ecuación 3-3; por la tanto:
{ } [ ] { }DfF −∆= −1 (3-4)
En el ejemplo estudiado, la matriz de flexibilidad y su inversa son:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
EIl
EIl
EIl
EIl
f
32
4
462
23
(3-5)
y
ANALISIS ESTRUCTURAL 24
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=−
231
2338
712
lll
lEIf (3-6)
El vector de desplazamiento es:
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=−∆85
24
3 lEI
qlD
Sustituyendo en la ecuación 3-4, o resolviendo la ecuación 3-3 se obtiene:
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=l
qlF16
14
Por lo tanto, las redundantes son:
qlF78
1 = y 14
2
2qlF =
El signo positivo indica que las redundantes actúan en las direcciones positivas seleccionadas en la figura 3-1b. Las fuerzas finales que actúan en las estructura se ilustra en la figura 3-1f. Es importante observar que la matriz de flexibilidad es dependiente de la selección de las fuerzas redundantes: con diferentes redundantes para la misma estructura se obtendría una matriz de flexibilidad diferente. Las reacciones y las fuerzas internas también se pueden determinar por la superposición del efecto de las cargas externas en la estructura liberada y el efecto de las fuerzas redundantes. Esto se puede expresar con la siguiente ecuación de superposición:
( )nuinuiuisii FAFAFAAA ++++= L2211 (3-7) Donde:
Ai = cualquier reacción i, que es una reacción en uno de los apoyos, fuerza cortante, fuerza axial, momento de torsión o momento flexionante en una sección de estructura real. Asi = la misma acción que Ai, pero en la estructura liberada sometida a las cargas externas. Aui1, Aui2,…,Auin = la acción correspondiente debida a una fuerza unitaria que actúa sola sobre la estructura liberada en la coordenada 1, 2,…, n, respectivamente.
ANALISIS ESTRUCTURAL 25
F1, F2,…, Fn =fuerzas redundantes que actúan sobre la estructura liberada- El término entre paréntesis de la ecuación 3-7 representa la acción de
todas las fuerzas redundantes aplicadas simultáneamente a la estructura liberada.
En general, se necesitan varias reacciones y fuerzas internas. Estas se pueden obtener con ecuaciones similares a la ecuación 3-7. Si el número de acciones es m, el sistema de ecuaciones que se necesita se puede expresar en forma matricial:
{ } { } [ ] { } 111 ×××× += nnmumsm FAAA (3-8)
El orden de cada matriz se indica en la ecuación 3-8, pero, en esta ocasión, puede ser conveniente escribir las matrices completas. Por lo tanto,
{ }
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
mA
AA
AL
2
1
{ }
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
sm
s
s
s
A
AA
AL
2
1
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
umnumum
nuuu
nuuu
u
AAA
AAAAAA
A
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
3.4 Análisis para cargas diferentes.
Cuando se usa la ecuación 3-3 para encontrar las fuerzas redundantes en una estructura dada bajo varias condiciones de carga diferentes, no es necesario repetir el cálculo de la matriz de flexibilidad (y su inversa). Cuando el número de cargas es p, la solución se puede combinar en una ecuación matricial:
[ ] [ ] [ ] pnnnpn DfF ×
−×× −∆= 1 (3-9)
En que cada columna de [ y ]F [ ]D corresponde a una condición de carga. Las reacciones o las resultantes de los esfuerzos en la estructura original se pueden determinar con ecuaciones similares a la ecuación 3-8, es decir,
[ ] [ ] [ ] [ ] pnnmupmspm FAAA ×××× += (3-10)
ANALISIS ESTRUCTURAL 26
3.5 Las cinco etapas del método de las fuerzas. En el análisis con el método de las fuerzas intervienen cinco etapas que se resumen a continuación: Etapa 1. Introduzca liberaciones y defina un sistema de coordenadas. Además, defina , que son las acciones requeridas, y defina la convención de signos (en caso necesario).
[ ] pmA ×
Etapa 2. Como resultado de las cargas aplicadas a la estructura liberada, determine y [ ] . Introduzca también los desplazamientos preestablecidos .
[ ] pnD × pmsA ×
[ ] pn×∆
Etapa 3. Aplique valores unitarios de las redundantes de uno en uno en la estructura liberada y genere los valores de [ ] nnf × y de [ ] nmuA × . Etapa 4. Resuelva las ecuaciones geométricas:
[ ] [ ] [ ] pnpnnn DFf ××× −∆= (3-11)
Con esto se obtienen las redundantes [ ] pnF × . Etapa 5. Calcule las acciones necesarias por superposición:
[ ] [ ] [ ] [ ] pnnmupmspm FAAA ×××× += (3-12)
Al terminar la etapa 3, ya se habrán generado todas las matrices necesarias para el análisis. En las dos últimas etapas sólo interviene álgebra matricial. Se podrá eliminar la etapa 5 cuando no se requiera otra acción aparte de las cargas redundantes, o cuando la superposición se pueda hacer mediante inspección una vez determinadas las redundantes. Cuando éste sea el caso, las matrices [ , y ]A [ sA ] [ ]uA no harán falta. Para una referencia rápida, los símbolos usados se definen como sigue: n, p, m = Número de redundantes, número de condiciones de carga, y número de acciones requeridas. [ ] =A Acciones requeridas. [ ] =sA Valores de las acciones debidas a las cargas aplicadas a la estructura liberada.
ANALISIS ESTRUCTURAL 27
[ ] =uA Valores de las acciones en la estructura liberada debidos a fuerzas unitarias aplicadas separadamente en cada coordenada. [ ] =D Desplazamientos de la estructura liberada en las coordenadas debidos a las cargas; estos desplazamientos representan incompatibilidades que deberán ser eliminadas por las redundantes. [ ] =∆ Desplazamientos preestablecidos en las coordenadas en la estructura real; éstos representan desplazamientos impuestos que se deben mantener. [ ] =f Matriz de flexibilidad. Ejemplo 3-2. Encuentre los momentos flexionantes MB y MC y la reacción RA para la viga que se muestra en la figura 3-1 debidos al efecto separado de: (1) un asentamiento descendente ( )Aδ del apoyo A; (2) un asentamiento descendente ( B )δ del apoyo B; (3) una aumento de temperatura que varía linealmente con la profundidad h, desde Tt hasta Tb en las fibras superior e inferior, respectivamente.
(a)
A BC
q por unidad de longitud
L L
(b)
A C
F1, D1
F2, D2
(c)
Cq por unidad de longitud
(f)
q por unidad de longitud
qL qL
D1 D2
(d)
f11 f21
1
(e)
f12f22
1qL /14
8qL/7
2
Figura 3-1. (a) Viga estáticamente indeterminada. (b) Sistema de coordenadas.(c) Carga externa sobre la estructura liberada. (d) F1= 1. (e) F2= 1. (f) Redundantes.
ANALISIS ESTRUCTURAL 28
Etapa 1. Se seleccionan las liberaciones y el sistema de coordenadas (figura 3-1b). Las acciones necesarias son las siguientes:
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=321 A
B
A
B
A
B
RM
RM
RM
A
El momento flexionante se considera positivo cuando produce esfuerzos de tensión en la fibra inferior. Una acción RA hacia arriba es positiva. Las acciones requeridas MC no necesariamente deben incluirse en [ , debido a que y los valores de las redundantes
]A
2FM C = { }F se calcularán en la etapa 4. Los subíndices 1, 2 y 3 de la ecuación anterior se refieren a las tres condiciones de carga. Etapa 2. La estructura liberada se muestra en la figura 3-4 a y b para los casos (1) y (3) respectivamente. Los vectores de desplazamiento { }∆ y en los tres casos son:
{ }D
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=∆
00000 Bδ
[ ] ( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−−
=8/20)2/(8/202/ 2
lllD
A
A
ψδψδ
En este caso, ψ es la curva térmica en la estructura liberada (pendiente del diagrama de deformaciones unitarias (figura 3-4c):
( )lhTT tb −= αψ (3-13)
Donde α es el coeficiente de expansión térmica (grados -1). Observe que en el caso (1), { } { }0=∆ debido a que la estructura real tiene desplazamientos nulos en las coordenadas 1 y 2; sin embargo, la estructura liberada tiene desplazamientos que se van a eliminar en las coordenadas { } { }lD AA 2/,2/ δδ −−= . Los valores de las acciones en la estructura liberada son cero para los tres casos:
[ ] [ ] 320 ×=sA
Etapa 3. Las fuerzas unitarias aplicadas en las coordenadas se representan en las figuras 3-1 d y e. La matriz de flexibilidad [ ]f y su inversa, determinadas en el ejemplo 3-1 (ecuaciones 3-5 y 3-6), siguen siendo válidas. Los valores de las acciones debidas a F1 = 0 o a F2 = 1 son los siguientes:
ANALISIS ESTRUCTURAL 29
[ ] ( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡−−−−
=l
lAu 2/15.0
5.05.0
Etapa 4. Sustituyendo en la ecuación 3-11 de geometría se obtiene:
[ ]( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
lll
Fll
llEI A
BA
ψδψδδ
02/2/2/
3/24/4/6/1 2
2
23
La solución es:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
= 3
2
3 5.035.085.2
712
llll
lEIF
BA
BA
ψδδψδδ
Etapa 5. Sustituyendo en la ecuación 3-12 de superposición se obtiene:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−−
=lll
llEIABA
BA
/75.0/5.2/75.0/5.2/
712
33
22
ψδδψδδ
Los elementos de son los valores requeridos de M[ ]A B y de RA en los tres casos; la inversión del signo de F2 proporciona los valores correspondientes de MC:
[ ] [ ]33 5.035.0
712 lll
lEIM BAC ψδδ −−=
Se debe observar que RA, MB y MC son proporcionales al valor del producto EI. En general, las reacciones y las fuerzas internas debidas a los asentamientos de los apoyos o a variaciones de temperatura en estructuras estáticamente indeterminadas son proporcionales al valor de EI empleado en el análisis lineal.
Falta figura 3-4, que debe ser la 3-2 para la etapa 2 del ejemplo anterior.
ANALISIS ESTRUCTURAL 30
Ejemplo que se planteo en clase.
AB
L L/2 L/2
q qL
F1
F2
∑ = 0AM
( ) 022
32 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
LqLLqLLRB ( ) 022 2 =− qLLRB qLRB =
∑ = 0yF 0=−−+ qLqLRR BA qLRqLR BA =−= 2
q qL
qL qL
q qL
qqL qL
=
∴ ( ) LxqLLxqqxqLxM x 2
322
22
−−−
+−= Con funciones de singularidad.
Diagrama de cuerpo libre.
q qL
qqL
L L/2
X
(X-3L/2)
M(x)
Aplicando doble integración:
LxqLLxqqxqLxdxdEI
23
222
2
2
2
−−−+−=
ANALISIS ESTRUCTURAL 31
1
23
32
23
2662CLxqLLxqqxqLx
dxdyEI +−−−+−=
21
34
43
23
624246CxCLxqLLxqqxqLxEIy ++−−−+−=
Si 0=x 0=y ∴ 02 =C
Si Lx 2= 0=y
1
4444 2
482432
340 LCqLqLqLqL +−+−= 1
4 216110 LCqL += 3
1 3211 qLC −=
Conociendo ; para 1C Lx =
4444
327
3211
246qLqLqLqLEIy −=−−= ↓−=
EIqLy
4
327
Aplicando Apéndice “B”.
Ll 2= Px
b
l
2
5.0 llx ==
lb43
=
Como bx <
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=22
1 243
432
624
3llll
lEI
lllPf
EIPllll
EIPlf
3222
1 76811
4169
23
48=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
Si qLP = Ll 2= ↓=EIqLf
4
1 9611
ANALISIS ESTRUCTURAL 32
( )EIqLL
EIqL
EIlPl
EIPll
lEI
lPf
32
22
22
3 3272
1287
1287
167
843
643
−=−=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
q
l
Bl ψl
F1 F3
Ll 2=
5.0=B
5.0=ψ
( ) ( ) ( )[ ]2224
1 5.025.025.05.024
−−=EI
qlf
( )
EIqL
EILq
EIqlf
444
1 4852
7685
7685
=== EIqL
EIqLf
TOTAL
44
1 327
485
9611
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Ahora para Bθ (extremo)
Lx 2=
333
33
3211
86342 qLqLqLqLqL
dxdyEI −−+−=
EIqL
B
3
9635
=θ
( ) ( )EIql
EIqlf
322
3
3 38475.025.0
24−=−−=
EIqLf
3
3 487
−=
Finalmente el signo (-) sólo indica de acuerdo al apéndice que el giro es . Con doble integración ( )−↓δ y θ ( ).+
EIqL
EIqL
EIqLf
TOTAL
333
3 9635
487
327
=+=
Para la viga:
q qL
(7/32)(qL /EI)4
(35/96)(qL /EI)3
ANALISIS ESTRUCTURAL 33
Desplazamientos incongruentes y se deberán corregir ya que deben valer cero. Usando flexibilidades: { } [ ] { }DfF −∆= −1
0=∆ Tomado de acuerdo a apuntes.
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−=
EIqLEIqL
D 3
4
9635327
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=−
231
2338
712
LLL
LEIf
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
2
13
4
33
9635327
2338
712
FF
EIqLEIqL
LLL
LEI
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−
2
155
44
3
9670
3221
96105
3256
712
FF
EIqL
EIqL
EIqL
EIqL
LEI
qLF89
1 = 8
2
2qLF = ∴
q qL qL /82
9qL/8
Las reacciones se resuelven por estática.
ANALISIS ESTRUCTURAL 34
CAPÍTULO 4. MÉTODOS ENERGÉTICOS. 4.1 Introducción. El sistema experimenta una deformación cuando cambia su configuración o cuando se desplazan sus puntos materiales. Un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo, lo deforma hasta que el sistema de fuerzas internas equilibra al sistema de fuerzas externo. Las fuerzas externas realizan un trabajo que se deforma y acumula en el cuerpo. Este trabajo o energía de deformación es el utilizado por el cuerpo para recuperar su forma original al cesar la acción. 4.2 Ley de termodinámica. El trabajo efectuado por las fuerzas externas más el calor que absorbe el sistema del exterior es igual al incremento de energía cinética más el incremento de energía interna. En un sistema elástico se desprecian las pérdidas por calor y la energía interna del sistema es la energía o trabajo de deformación de dicho sistema. Dada una barra elástica de sección transversal A y longitud L sujeta a una carga axial P (aplicada gradualmente) cumple con la ley experimental de elasticidad lineal de Hooke.
PEAL
=δ (4-1)
Donde δ es la deformación de la barra y E el módulo de elasticidad de Young. El trabajo desarrollado en contra de las fuerzas internas del sistema es:
∫= δPdW (4-2)
De la ecuación 4-1 se despeja P:
δL
EAP =
ANALISIS ESTRUCTURAL 35
Sustituyendo en la ecuación 4-2 se obtiene:
δδδδ PL
EAdL
EAW21
2
2
=== ∫ , ley de Clapeyron (4-3)
p
δ
C
W
δPW21
=
∫= dPC δ
Energía complementaria de deformación:
∫ ∫ ==== PPEALPdP
EALdPC δδ
21
2
2
(4-4)
Cuando la aplicación de la carga es instantánea, el trabajo de deformación es:
WCP +=δ
4.3 Energía específica de deformación. El esfuerzo normal de la barra sometida a carga axial es:
AP
=σ (4-5)
Y la deformación unitaria es:
Lδε = (4-6)
Despejando P y δ respectivamente de las ecuaciones 4-5 y 4-6 en la ecuación 4.3 se tiene:
AP σ= y Lεδ =
ALLAPW σεεσδ21
21
21
=== (4-7)
ANALISIS ESTRUCTURAL 36
Si AL es un volumen unitario se tiene el trabajo específico de deformación , es decir la energía de deformación almacenada en la unidad de volumen: uW
σε21
=uW (4-8)
Sea una unidad de volumen y un corte paralelo al plano xy:
y
x
∆x
∆z
∆y∆y
∆x
δ δ
γ
P
P
P
P
El esfuerzo cortante y el giro son respectivamente:
zxP∆∆
=τ y y∆
=δγ (4-9)
Despejando P y δ de las ecuaciones anteriores y remplazándolos en la ecuación 4-3 se tiene:
zxP ∆∆= τ y y∆= γδ
yzxyzxPW ∆∆∆=∆∆∆== τγγτδ21
21
21
Es decir:
τγ21
=uW (4-10)
Dado que ∆x∆y∆z=1. Basándose en el principio de superposición de causas y efectos, aplicable a materiales linealmente elásticos, el trabajo específico de deformación por
ANALISIS ESTRUCTURAL 37
aplicación gradual de la carga es para el caso general de esfuerzos normales y tangenciales.
σx
τxy
τxz
σz
τzy
τzx
y
x
τyx
σy
τyz
( )yzW yzxzxzxyxyzzyyxxu γτγτγτεσεσεσ +++++=21 (4-11)
Por la condición de equilibrio se tiene:
yxxy ττ = , zxxz ττ = , zyyz ττ =
La energía de deformación total se obtiene integrando en todo el volumen del cuerpo:
∫ ∫ ∫=v
udVWW (4-12)
4.4 Energía de deformación de barras. Sea una barra prismática en el espacio tridimensional, que cumple la ley de Hooke y que se encuentra sujeta a los elementos mecánicos: fuerza axial, fuerza cortante, momento flexionante y momento torsionante, donde se cumple el estado de esfuerzos de Saint Venant:
0=== yzyz τσσ
ANALISIS ESTRUCTURAL 38x
y
z
Aplicando el principio de superposición de causas y efectos, se considera por separado cada uno de los elementos mecánicos. 4.5 Efecto de fuerza normal. Si actúa la fuerza normal Nx se produce el esfuerzo normal siguiente:
AN x
x =σ (4-13)
Donde la deformación axial es:
Lδε = (4-6)
Remplazando la deformación determinada por la Ley de Hooke en la
ecuación anterior se tiene:
xNEAL
=δ
EAEN
Lxx
xσδε === (4-14)
El trabajo específico producto de la fuerza normal queda como:
2
22
221
21
EAN
EW x
xxxu === σεσ (4-15)
La energía de deformación producto de la fuerza normal se obtiene integrando sobre el volumen:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ ====v v
L
A
L
A
xxxu dA
EAN
dxdAEAN
dxdVEAN
dVWW0 0 2
2
2
2
2
2
222 (4-16)
Dado que Nx, E y A son constantes en una sección transversal y ,
se tiene finalmente que el trabajo de deformación por fuerza normal es:
∫∫ =A
AdA
∫=L x
N dxEA
NW
0
2
2 (4-17)
ANALISIS ESTRUCTURAL 39
4.6 Efecto de momento flexionante. De acuerdo con la teoría de elasticidad y de resistencia de materiales, si actúa un momento flexionante Mz, se produce el esfuerzo siguiente:
yI
M
z
zx =σ (4-18)
Donde es la distancia del eje neutro al punto donde se calcula el esfuerzo e yI el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje z. Remplazando el valor de σx en la ecuación 4-8 se tiene:
22
22
21
21
21 y
IM
EEW
z
zxxxu === σεσ (4-19)
La energía de deformación producto del momento flexionante se obtiene integrando el trabajo específico sobre todo el volumen:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫====v v
L
A
L
z
z
z
zu dxdAy
EIMdxdVy
EIMdVWW
0 0
22
22
2
2
22 ∫∫Az
z dAyEIM 2
2
2
2 (4-20)
Dado que , zM E e son constantes en una sección dada y , se
tiene finalmente que la energía de deformación por momento flexionante es:
zI ∫∫ =A
IdAy 2
∫=L
z
zM dx
EIM
Wz 0
2
2 (4-21)
4.5 Efecto de fuerza cortante. Si se considera la acción de la fuerza cortante sobre una barra, se producen respectivamente el esfuerzo y la deformación
yV
xzγ siguientes:
yz
zyxz bI
QV=τ (4-22)
xzxz Gγτ = ⇒G
xzxz
τγ = (4-23)
Donde es el momento estático respecto a zQ z , el ancho de la sección en estudio y G el módulo de elasticidad transversal, que varía entre y .
ybE4.0 E5.0
ANALISIS ESTRUCTURAL 40
Remplazando los valores de la deformación xzγ y del esfuerzo xzτ en la ecuación 4-8 se obtiene el trabajo específico siguiente:
22
222
21
21
21
yz
zyxzxzxzu bI
QVGG
W === τγτ (4-24)
La energía de deformación producto de la fuerza cortante se obtiene integrando el trabajo específico sobre todo el volumen:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ===v
L
A yz
zy
yz
zy
vuV dA
bIQV
GdxdV
bIQV
GdVWW
y 0 22
22
22
22
21
21 (4-25)
Por otro lado, se puede obtener el momento de inercia de la sección a través del radio de giro, de la manera siguiente:
AI z=ρ ⇒ 2ρAI z =
Remplazando este valor de en la ecuación anterior se tiene: zI
∫ ∫∫ ∫ ∫∫==L
A
L
yz
z
A
y
yz
zyV dA
bIQ
GAV
dxdAbIQV
GdxW
y 0 0 22
22
22
22
221
ρ (4-26)
Donde , y yV G A son constantes en una sección dada y ∫∫=A yz
z dAbI
Qk 22
2
ρ sólo
depende de la forma de la sección y se denomina coeficiente de forma “k”. Por lo tanto, en elementos de sección constante el trabajo de deformación por fuerza cortante se expresa como:
dxGAV
kWL y
Vy ∫=0
2
2 (4-27)
El coeficiente de forma k vale 1.2 para secciones rectangulares y triangulares, 10/9 para secciones circulares y para perfiles laminados.
almación AA /sec
ANALISIS ESTRUCTURAL 41
4.6 Efecto de momento torsionante. Se puede demostrar que una barra de sección circular o anular sujeta a momento torsionante se producen los esfuerzos tangenciales siguientes: xM
rJ
M xxz=τ (4-28)
Donde es el momento polar de inercia y J r la distancia al centro de la
sección al punto en estudio. De acuerdo a la ecuación 4-24, el trabajo específico es:
22
22
21
21
21 r
JM
GGW x
xzxzxzu === τγτ (4-29)
La energía de deformación producto del momento torsionante se obtiene integrando el trabajo específico sobre todo el volumen:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ ===v
L
A
x
v
xuV dA
GJMdxdVr
JM
GdVWW
y 0 2
22
2
2
221 (4-30)
Donde , y son constantes para una sección dada y es el
momento polar de inercia.
xM G J ∫∫ =A
JdAr 2
Por lo tanto, en elementos de sección constante el trabajo de deformación por momento de torsión se expresa como:
dxGJ
MWL
ox
M x ∫=2
2
(4-31)
Para secciones circulares o anulares tiene el valor de: J
( )44
32 ie DDJ −=π (4-32)
Para secciones no circulares o anulares se utiliza el momento polar de inercia modificado . mJ
ANALISIS ESTRUCTURAL 42
∫=L
m
xM ds
GJM
Wx 0
2
2 (4-33)
Para secciones rectangulares tiene el valor de: mJ
3
31 btJ m = (4-34)
Donde es lado mayor y t el de dimensión menor. b Finalmente, para el caso general de una barra tridimensional, sujeta a los 6 esfuerzos o elementos mecánicos, se tiene el trabajo de deformación siguiente:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫+++++=L
o
L L L L L
m
x
y
y
z
zzyx dxGJMdx
EIM
dxEI
MdxGAVkdx
GAV
kdxEANW
0 0 0 0 0
22222
1
2
22222
22 (4-35)
ANALISIS ESTRUCTURAL 43
CAPÍTULO 5. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADES Y DE RIGIDECES. Sea:
F2F1
F3
A B
∑ = 0Fx F2
F1
F3 M(x)N(x)
V(x)x
0)(1 =− xNF ∴ 1)( FxN = ∑ = 0Fy 0)(2 =− xVF ∴ 2)( FxV =
∑ = 02M
0)( 23 =−+− xFFxM ∴ xFFxM 23)( −= (5-1) las tres anteriores. La energía de deformación para este elemento se puede expresar como:
∫ ∫ ∫++=L L L
z
zyx dxEI
MdxGAVk
dxEA
NW
0 0 0
221
2
222 (5-2)
Sustituyendo los valores de , y , se tiene: xN yV zM
( )∫∫∫
−++=
L
z
LLdx
EIxFF
dxGAFk
dxEAF
W0
223
0
221
0
21
222
∫ ∫ ∫+−
++=L L L
z
dxEI
xFxFFFdxGAFkdx
EAF
0 0 0
22232
23
221
21
22
22
L
zzz
LL
EIxF
EIxFF
EIxF
xGAFk
xEAF
0
322
232
23
0
221
0
21
62222 ⎥⎦
⎤+−+⎥
⎦
⎤+⎥
⎦
⎤=
ANALISIS ESTRUCTURAL 44
zzz EILF
EILFF
EILF
GALFk
EALFW
62222
322
232
23
221
21 +−++= (5-3)
De acuerdo a los teoremas de Castigliano:
iiF
W δ=∂∂ (5-4)
11
11 2
2F
EAL
EALF
FW
===∂∂ δ (5-5)
3
2
2
31
23
3221
22 2326
22
2F
EILF
EIL
GALk
EILF
EILF
GALFk
FW
zzzz
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=−+==
∂∂ δ (5-6)
32
2
2
2
32
23
33 2222
2F
EILF
EILF
EILF
EILF
EIL
EILF
FW
zzzz
+−=−=−==∂∂ δ (5-7)
Expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial, se tiene:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
3
2
1
2
23
3
2
1
20
230
00
FFF
EIL
EIL
EIL
EIL
GAkL
EAL
zz
zδδδ
(5-8)
Esta ecuación se puede escribir en forma abreviada, de la manera:
{ } [ ] { }AAAA Ff=δ (5-9)
Donde es una matriz de flexibilidades, que relaciona las fuerzas en el extremo
[ ]AAfA , , con los desplazamientos del mismo extremo { }AF A , { }Aδ , de un
elemento que une los puntos A y B . Despejando de la ecuación 5-5, se tiene: 1F
ANALISIS ESTRUCTURAL 45
11 FEAL
=δ ∴ 11 δL
EAF = (5-10)
Donde es una fuerza axial en el extremo 1F A y 1δ el desplazamiento longitudinal (axial del mismo extremo A del elemento BA − ). Resolviendo el sistema de ecuaciones 5-6 y 5-7 para las fuerzas y y
despreciando el término de cortante
2F 3F
GALk1 , se tiene:
3
2
2
31
2 23F
EILF
EIL
GALk
zz
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=δ (5-6)
32
2
3 2F
EILF
EIL
zz
+−=δ (5-7)
Multiplicando la ecuación 5-7 por : 2/L
3
2
2
3
3 242F
EILF
EILL
zz
+−=δ (5-11)
Sumando la ecuación 5-11 a la ecuación 5-6:
zzzz EILF
EILF
EIL
EILL
121234
432
3
2
3
2
33
32 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=+ δδ
∴ 32232612
δδLEI
LEIF zz += (5-12)
Sustituyendo el valor de en la ecuación 5-6 se tiene: 2F
3
2
323
3
2 2612
3F
EIL
LEI
LEI
EIL
z
zz
z
z
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ += δδδ
3
2
322 224 F
EILL
z
−+= δδδ
ANALISIS ESTRUCTURAL 46
3
2
32 223 F
EILL
z
−=−− δδ
∴ 322346
δδLEI
LEIF z += (5-13)
Expresando las ecuaciones 5-10, 5-12 y 5-13 en forma matricial:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
3
2
1
2
23
3
2
1
460
6120
00
δδδ
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
FFF
(5-14)
Esta ecuación se puede abreviar de la forma siguiente:
{ } [ ] { }AAAA kF δ=
Donde es una matriz de rigideces que relaciona los desplazamientos en el extremo
[ ]AAkA , { }Aδ , con las fuerzas del mismo extremo, { }AF , de un elemento que
une los nodos A y B . Sea:
F2F1
F3
A BF5
F4F6
Dada la ecuación de equilibrio del nodo A , { } [ ] { }AAAA kF δ= :
a) Se puede aplicar un desplazamiento unitario en A en la dirección de y obtener las fuerzas correspondientes del mismo nodo
1FA :
AAAAA
LEA
k
kkkk
k
FFF
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
00
00
001
00
00 11
3332
2322
11
31
21
11
∴ L
EAF =11 , 03121 == FF
ANALISIS ESTRUCTURAL 47
F=1
F5F4F6
1
11
1
EAL1
Y por el equilibrio:
00
4111 =+
=∑FF
Fx ∴
06151
1141
==
−=−=
FFL
EAFF
41F Será la fuerza o rigidez necesaria en el nodo B , para equilibrar los efectos de nodo A , o sea, es la rigidez necesaria y única en 41F B para equilibrar A .
b) De la misma manera, aplicando un desplazamiento unitario en A , en la dirección de , se tiene que las fuerzas en nodo 2F A son:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
2
3
32
22
3332
2322
11
32
22
12
6
1200
010
00
00
LEILEI
kk
kkkk
k
FFF
F =32 F6F4
F5
22
26EIL
F =226EIL
1
2
3
00
42 =
=∑F
Fx
00
5222 =+
=∑FF
Fy ∴ 3225212
LEIFF −=−=
ANALISIS ESTRUCTURAL 48
223322262
223262
66120
0
LEI
LEI
LEILFLFF
LFFFMz
=−=−=
=−+
=∑
c) Si se aplica un giro unitario en A en la dirección de , se tiene que las fuerzas en el nodo
3FA son:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
LEILEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
FFF
4
60
100
460
6120
00
2
2
23
33
23
13
F =33 F6F4
F5
33
34EIL
F =226EIL2
00
43 =
=∑F
Fx
00
2353 =+
=∑FF
Fy ∴ 223536LEIFF −=−=
LEI
LEIL
LEIFLFF
LFFFM z
2460
0
2332363
233363
=−=−=
=−+
=∑
Finalmente, aplicando estos desplazamientos unitarios en A se deducen los efectos en B , por tanto:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
k BA
260
6120
00
2
23
ANALISIS ESTRUCTURAL 49
Dada la propiedad de simetría de la matriz de rigidez del elemento estructural, se tiene:
[ ] [ ]TBAAB kk =
Ensamblando la matriz de rigidez del elemento BA − , se tiene:
[ ] ⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
2
23
22
2323
6
5
4
3
2
1
260
6120
00
260460
61206120
0000
δδδδδδ
LEI
LEI
kLEI
LEI
LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
FFFFFF
BB
La ecuación de equilibrio del elemento se puede expresar también en forma simplificada:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
B
A
BBBA
ABAA
B
A
j
i
kkkk
FF
FF
δδ
Para la obtención de la submatriz , se procede como sigue: BBk
a) Si se aplica un desplazamiento unitario en B en la dirección de se conoce el efecto sobre
4FA y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en
B :
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
00
001
260
6120
00
2
23
34
24
14 LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
FFF
Por equilibrio:
ANALISIS ESTRUCTURAL 50
F =14 F6F4
F5
44
4
EAL
δx= 1
A B
0
0
44 =+−
=∑F
LEAFx
∴ L
EAF =44
b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B , en la dirección de , se
conoce el efecto sobre 5F
A y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en B :
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
2
3
2
23
35
25
15
6
120
010
260
6120
00
LEILEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
FFF
1
F5F4
F6
55
5
F =356EIL2
F =2512EI
L3
00
45 =
=∑F
Fx
0120
355 =−
=∑
LEIF
Fy ∴ 355
12LEIF =
01260
3265 =+−
=∑L
LEI
LEIF
Mz ∴ 22
265
6126LEI
LEI
LEIF −=−=
c) Si se aplica un giro unitario en B en la dirección , se conoce el efecto
en 6F
A y aplicando equilibrio, se obtiene la rigidez en A :
ANALISIS ESTRUCTURAL 51
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
LEILEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
FFF
2
60
100
260
6120
00
2
2
23
36
26
16
F6F4
F5
66
6
F =266EIL2
F =362EIL
00
46 =
=∑F
Fx
060
256 =+
=∑
LEIF
Fy ∴ 256
6LEIF −=
0620
266 =−+
=∑L
LEI
LEIF
Mz ∴
LEI
LEI
LEIF 426
66 =−=
Finalmente la matriz de rigidez es: BBk
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
kBB
460
6120
00
2
23
La matriz de rigidez del elemento AB :
ANALISIS ESTRUCTURAL 52
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
−
−
=
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
k
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
22
2323
22
2323
Y la ecuación de equilibrio del elemento es:
[ ] [ ]{ }δδδ
kkFF
B
A
B
A =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Ahora se aplicará el mismo procedimiento pero sin despreciar el término
de cortante GA
Lk1 :
Como primer paso, se obtendrá la inversa de la matriz 5-8:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
3
2
1
2
23
3
2
1
20
230
00
FFF
EIL
EIL
EIL
EIL
GAkL
EAL
zz
zδδδ
(5-8)
{ } [ ] [ ] 1−= AAAA ffI
[ ]AAf Es al matriz de flexibilidades, [ ] 1−
AAf es la matriz inversa y { es la matriz identidad.
}I
ANALISIS ESTRUCTURAL 53
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
100010001
20
230
00
987
654
321
2
23
BBBBBBBBB
EIL
EIL
EIL
EIL
GAkL
EAL
zz
z
Se aplicarán los sistemas de ecuaciones siguientes:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
001
20
230
00
7
4
1
2
23
BBB
EIL
EIL
EIL
EIL
GAkL
EAL
zz
z
11 =BEAL I⇒ ∴
LEAB =1
023 7
2
4
3
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ B
EILB
EIL
GAkL II⇒
02 74
2
=+− BEILB
EIL III⇒
De la ecuación III se despeja , obteniéndose: 7B
47 2BLB = Este valor se sustituye en la ecuación 2.
043
0223
4
3
4
3
4
2
4
3
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
BEILB
EIL
GAkL
BLEILB
EIL
GAkL
De las ecuaciones anteriores se deduce que 04 =B ∴ . 07 =B
ANALISIS ESTRUCTURAL 54
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
010
20
230
00
8
5
2
2
23
BBB
EIL
EIL
EIL
EIL
GAkL
EAL
zz
z
02 =BEAL IV⇒ ∴ 02 =B
123 8
2
5
3
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ B
EILB
EIL
GAkL V⇒
02 85
2
=+− BEILB
EIL VI⇒
De la ecuación VI se despeja , obteniéndose: 8B
58 2BLB = Este valor se sustituye en la ecuación V .
1223 5
2
5
3
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ BL
EILB
EIL
GAkL ⇒ 1
43 5
3
5
3
5 =−+ BEILB
EILB
GAkL
112
3
5 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
EIL
GAkLB ⇒
EIL
GAkL
B
12
135
+=
Simplificando el valor de obtenemos: 5B
( )3
335 1212
1212
1212
1
LGAEIkL
EIGAGALEIkL
EIGA
EIGAGALEIkL
B+
=÷+
=+
=
Si consideramos que kAar = y que
rGaLEI
2
12=α ; donde es el área efectiva de
cortante.
ra
( )112
11212
1212
3
233
5 +=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=+
=αLEI
GaLEIL
EI
LGa
EILEIB
rr
ANALISIS ESTRUCTURAL 55
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=
EIL
GAkL
LB
12
12 38 ⇒
EIL
GAkL
LB
62 38
+=
Simplificamos el valor de : 8B
( )
( )16
1126
1126
126
126
126
126
612
62
2
22
222
233338
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=+
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=+
=÷+
=+
=+
=
αLEI
GaLEIL
EI
GALEIkL
EI
LGAEIk
EI
LGAEIkL
EIL
LGAEIkL
EILGAGALEIkL
EILGA
EIGAGALEIkL
L
EIL
GAkL
LB
r
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
100
20
230
00
9
6
3
2
23
BBB
EIL
EIL
EIL
EIL
GAkL
EAL
zz
z
03 =BEAL VII⇒ ∴ 03 =B
023 9
2
6
3
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ B
EILB
EIL
GAkL VIII⇒
12 96
2
=+− BEILB
EIL IX⇒
De la ecuación IX se despeja obteniéndose: 9B
69 2BL
LEIB += Sustituimos este valor en la ecuación VIII .
ANALISIS ESTRUCTURAL 56
EIL
GAkL
LB
LEI
LGAkLB
LBEI
LBGAkL
BEILLB
EILB
GAkL
BLLEI
EILB
EIL
GAkL
62
212
212
0423
0223
36
3
6
6
3
6
6
3
6
3
6
6
2
6
3
+=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=+
=−−+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
El valor simplificado de es igual al valor de . 6B 8B Ahora obtendremos el valor de . 9B
EIL
GAkL
LLEI
EIL
GAkL
LLLEIB
34
322 3
2
39
++=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++=
Simplificamos el valor de . 9B
ANALISIS ESTRUCTURAL 57
( )( )
( )
( )
( )( )1
4
112
412
112
412
112
312
12
312
12312
12312
12312
123
312
34
23
22
23
22
23
2
222
3
2222
3
2222
3
2222
3
3322
3
2
3
2
3
2
9
++
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=
+
++=÷
+++
=
+++
=+
++=
++=
++=
++=
αα
LEI
GaLEIL
GaLEIEIL
GALEIkL
GALEIkEIL
GALEIkL
EIEIGAL
kIEL
LGAEIkL
EILEILGA
kIE
GAGALEIkL
GAEILGAEILkIE
GALEIkLLGAEILGAEILkIEL
GALEIkLLGAEILGAEILkLIE
GALEIkLGAEIL
LEI
EIGAGALEIkL
LLEI
EIL
GAkL
LLEIB
r
r
La matriz inversa que se obtiene es la siguiente:
( ) ( )
( )( )( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+
++=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
3
2
1
2
23
3
2
1
14
160
16
1120
00
δδδ
αα
α
αα
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
FFF
Esta ecuación se puede abreviar de la forma siguiente:
{ } [ ] { }AAAA kF δ=
Donde es una matriz de rigideces que relaciona los desplazamientos en el extremo
[ ]AAkA , { }Aδ , con las fuerzas del mismo extremo, { }AF , de un elemento que
une los nodos A y B . Sea:
ANALISIS ESTRUCTURAL 58
F2
F1F3
A BF5
F4F6
Dada la ecuación de equilibrio del nodo A , { } [ ] { }AAAA kF δ= :
a) Se puede aplicar un desplazamiento unitario en A en la dirección de y obtener las fuerzas correspondientes del mismo nodo
1FA :
( ) ( )
( )( )( )
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+
++=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
00
001
14
160
16
1120
00
2
22
31
21
11 LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
FFF
αα
α
αα
∴ L
EAF =11 , 03121 == FF
F=1
F5F4F6
1
11
1
EAL1
Y por el equilibrio:
00
4111 =+
=∑FF
Fx ∴
06151
1141
==
−=−=
FFL
EAFF
41F Será la fuerza o rigidez necesaria en el nodo B , para equilibrar los efectos de nodo A , o sea, es la rigidez necesaria y única en 41F B para equilibrar A .
b) De la misma manera, aplicando un desplazamiento unitario en A , en la dirección de , se tiene que las fuerzas en nodo 2F A son:
ANALISIS ESTRUCTURAL 59
( ) ( )
( )( )( )
( )
( )⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
+=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+
++=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
16
112
0
010
14
160
16
1120
00
2
3
2
22
32
22
11
α
α
αα
α
αα
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
FFF
F =32F6
F4
F5
22
2
L (α+ 1)
F =2212EIL (α+ 1)
1
2
3
6EI
00
42 =
=∑F
Fx
00
5222 =+
=∑FF
Fy
3225212
LEIFF −=−=
∑ = 0Mz
0)(223262 =−+ LFFF
0)1()(12
)1(6
2262 =+
−+
+aL
LEIaLEIF
0)1(
12)1(
62262 =
+−
++
aLEI
aLEIF
)1(6
262 +=
aLEIF
c) Si se aplica un giro unitario en A en la dirección de , se tiene que las fuerzas en el nodo
3FA son:
ANALISIS ESTRUCTURAL 60
( ) ( )
( )( )( )
( )( )( ) ⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+++
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+
++=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
141
60
100
14
160
16
1120
00
2
2
22
33
23
13
ααα
αα
α
αα
LEIL
EI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
FFF
F =33F6
F4
F5
33
3EI(α+ 4)L(α+ 1)
F =23 L (α+ 1)26EI
00
43 =
=∑F
Fx
00
2353 =+
=∑FF
Fy ∴ ( )16
22353 +−=−=
αLEIFF
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )α
ααα
ααα
α+−
=+
+++
−=+
+++
−=−=
=−+
=∑
12
16
14
16
14
00
2332363
233363
LEI
LEI
LEIL
LEI
LEIFLFF
LFFFM z
Finalmente, aplicando estos desplazamientos unitarios en A se deducen los efectos en B , por tanto:
[ ] ( ) ( )
( )( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+
+−
+−
−
=
αα
α
αα
12
160
16
1120
00
2
23
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
k BA
Dada la propiedad de simetría de la matriz de rigidez del elemento estructural, se tiene:
ANALISIS ESTRUCTURAL 61
[ ] [ ]TBAAB kk =
Ensamblando la matriz de rigidez del elemento BA − , se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) [ ]
( )( )( )
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+
+−
+−
−
+−
+−
++
+
++−
++
−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
2
23
22
2323
6
5
4
3
2
1
12
160
16
1120
00
12
160
14
160
16
1120
16
1120
0000
δδδδδδ
αα
α
αα
αα
ααα
α
αααα
LEI
LEI
kL
EIL
EIL
EAL
EIL
EIL
EIL
EIL
EIL
EIL
EIL
EIL
EAL
EA
FFFFFF
BB
La ecuación de equilibrio del elemento se puede expresar también en forma simplificada:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
B
A
BBBA
ABAA
B
A
j
i
kkkk
FF
FF
δδ
Para la obtención de la submatriz , se procede como sigue: BBk
b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B en la dirección de se conoce el efecto sobre
4FA y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en
B :
( )( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
++−
−
=⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
00
001
12
)1(60
)1(6
)1(120
00
2
23
34
24
14 LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
FFF
αα
α
αα
Por equilibrio:
ANALISIS ESTRUCTURAL 62
F =14 F6F4
F5
44
4
EAL
δx= 1
A B
0
0
44 =+−
=∑F
LEAFx
∴ L
EAF =44
b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B , en la dirección de , se
conoce el efecto sobre 5F
A y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en B :
( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
++−
−
=⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
)1(6
)1(120
010
12
)1(60
)1(6
)1(120
00
2
3
2
23
35
25
15
α
α
αα
α
αα
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
FFF
1
F5F4
F6
55
5
F =35
F =25
L (α+ 1)2
L (α+ 1)3
6EI
12EI
00
45 =
=∑F
Fx
( ) 01
120
355 =+
−
=∑
αLEIF
Fy ∴ ( )1
12355 +
=αLEIF
( ) ( ) 01
121
60
3265 =+
++
−
=∑L
LEI
LEIF
Mz
αα ∴ ( ) ( ) ( )1
61
121
622
265 +
−=+
−+
=ααα LEI
LEI
LEIF
b) Si se aplica un giro unitario en B en la dirección , se conoce el efecto en
6FA y aplicando equilibrio, se obtiene la rigidez en A :
ANALISIS ESTRUCTURAL 63
( )( )
( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
++−
−
=⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
αα
α
αα
α
αα
12
)1(60
100
12
)1(60
)1(6
)1(120
00
2
2
23
36
26
16
LEIL
EI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
FFF
F6F4
F5
66
6
F =26 2
F =36EI(2-α)L(α+ 1)
6EIL (α+ 1)
00
46 =
=∑F
Fx
( ) 01
60
256 =+
+
=∑
αLEIF
Fy ∴ ( )1
6256 +
−=αLEIF
( )( ) ( ) 0
16
120
266 =+
−+−
+
=∑L
LEI
LEIF
Mz
ααα
∴ ( )
( )14
66 ++
=αα
LEIF
Finalmente la matriz de rigidez es: BBk
[ ] ( ) ( )
( )( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+−
+−
+=
14
160
16
1120
00
2
23
αα
α
αα
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
kBB
La matriz de rigidez del elemento AB :
ANALISIS ESTRUCTURAL 64
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+−
+−
+
+−
++−
+−
−
+−
+−
++
+
++−
++
−
=
14
160
12
160
16
1120
16
1120
0000
12
160
14
160
16
1120
16
1120
0000
22
2323
22
2323
αα
ααα
α
αααα
αα
ααα
α
αααα
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
k
Y la ecuación de equilibrio del elemento es:
[ ] [ ]{ }δδδ
kkFF
B
A
B
A =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Como ya se había mencionado, el coeficiente de forma para secciones rectangulares, a continuación se efectúa la demostración:
2.1=k
∫∫=A yz
z dAbI
Qk 22
2
ρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 2
2
42yhbQ
AI
=2ρ 12
3bhI = bhA =
Desarrollando la integral:
ANALISIS ESTRUCTURAL 65
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2.1160362
862
892
16072
812
818
16072
812
818
160362
862
892
5366
8183618
818
3618818
1657628836
36
16168
36
216
364
44
144
44
12121
42
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/5
5
3
3
5
4
3
2
5
4
3
2
5
4224
5
4224
5
4224
52
22
22
53
22
22
233
2
22
=+−=⎥⎦⎤+−=+−=
+−=⎥
⎦
⎤+−=+−=
+−=+−
=
+−
=
+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫∫∫∫∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫
−−
− − − −−
b
b
b
b
b
b
h
h
b
b
b
b
h
h
AAA
A A AA
bx
bx
bxdx
bbb
dxbbbdx
bhy
bhy
bhydydx
bhy
bhy
bh
dAbh
ybh
ybh
dAbh
yyhhdAbh
yyhh
dAbh
yyhh
dAbhb
yhb
dAhb
yhb
dAbbhbh
bh
yhb
k
Ejemplo.
ANALISIS ESTRUCTURAL 66
Obtención de la matriz de flexibilidades y de rigideces de un elemento de sección constante en el espacio tridimensional. Sea:
L
F2F6
y
F8F12
F7
F10F11
z
F4F1
F3 F9
xiA
jB
F5
Lo que se busca es establecer la ecuación de equilibrio del elemento en función de los desplazamientos y de las fuerzas aplicadas en los nodos extremos de la barra. Para la obtención de la matriz de flexibilidades del elemento se puede proceder como sigue: La energía de deformación del elemento con comportamiento lineal se puede expresar como:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ +++++=L L L L L
y
yz
m
x
z
zyL x dxEJM
dxGAVk
dxGJM
dxEIM
dxGAVk
dxEA
NW
0 0 0 0 02
221
0
2
222222 (1)
Haciendo un corte y verificando el equilibrio, se pueden obtener las variaciones de las fuerzas internas como sigue:
F2F6
y
Nx
Vz
z
F4F1
F3M
x
F5
x
VyMy
Mz
∑ = 0Fx
ANALISIS ESTRUCTURAL 67
0.1 =− xNF ∴ 1FN x = ∑ = 0Fy
02 =− yVF ∴ 2FVy = ∑ = 0Fz
05 =− zVF ∴ 5FVz = ∑ = 0Mx
04 =− MxF ∴ 4FMx = ∑ = 0My
056 =−− MyxFF ∴ xFFMy 56 −= ∑ = 0Mz
023 =−− MzxFF ∴ xFFMz 23 −= (2) todas las anteriores. Sustituyendo las valores de , , , , y en la ecuación 1 se tiene: xN yV zV xM yM zM
( ) ( )
L
yymzz
L
ymz
L
ymz
EIxF
EIxFFxF
GAxFk
GJxF
EIxF
EIxFFxF
xGAFkx
EAF
dxEI
xFxFFFGAFk
GJF
EIxFxFFF
GAFk
EAF
dxEI
xFFGAFk
GJF
EIxFF
GAFk
EAFW
0
325
265
26
252
24
322
232
23
221
21
0
22565
26
252
24
22232
23
221
21
0
256
252
24
223
221
21
62226222
22
2222
22
222222
⎥⎥⎦
⎤+
−++++
−++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +−+++
+−++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+++
−++=
∫
∫
yymzz EILF
EILFFLF
GALFk
GJLF
EILF
EILFFLF
GALFk
EALFW
62226222
325
265
26
252
24
322
232
23
221
21 +
−++++
−++=
(3)
De acuerdo al teorema de Castigliano:
iiF
W δ=∂∂
EALF
FW 1
11
==∂∂ δ
ANALISIS ESTRUCTURAL 68
3
2
2
312
3
3
2
21
22 2332
FEILF
EIL
GALk
EIFL
FEILF
GALk
FW
zzzz
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+−==
∂∂ δ
2
2
333 2
FEILF
EIL
FW
zz
−==∂∂ δ
444
FGJ
LFW
m
==∂∂ δ
6
2
5
32
5
3
6
2
52
55 2332
FEILF
EIL
GALkF
EILF
EILF
GALk
FW
yyyy
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+−==
∂∂ δ
5
2
666 2
FEILF
EIL
FW
yy
−==∂∂ δ (4) todas las anteriores.
Expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene:
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
2
232
2
231
6
5
4
3
2
1
20000
230000
00000
0002
0
00023
0
00000
FFFFFF
EIL
EIL
EIL
EIL
GALk
GJL
EIL
EIL
EIL
EIL
GALk
EAL
yy
yy
m
zz
zz
δδδδδδ
(5)
En forma abreviada { } [ ] { }iiii Ff=δ (6)
Donde es una matriz de flexibilidades, que relaciona las fuerzas en el extremo
[ ]iifA , , , con los desplazamientos del mismo extremo i , i { }iF { }iδ de un
elemento en el espacio , que une los nodos i y . D3 j
Por otro lado, las fuerzas { se pueden despejar de la ecuación 6 de la siguiente manera:
}iF
ANALISIS ESTRUCTURAL 69
{ } { } { } [ ] { }iiiiiii kfF δδ == −1
CAPÍTULO 6. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE SECCIÓN VARIABLE.
ANALISIS ESTRUCTURAL 70
6.1 Introducción. Para el caso particular de sistemas estructurales construidos a base de elementos de sección variable, la metodología antes descrita sigue siendo aplicable y requiere únicamente la definición de la matriz de rigidez de este tipo de elementos en coordenadas locales. Partiendo de la energía de deformación de un elemento plano se obtiene la relación entre fuerzas y desplazamientos de un nodo extremo del elemento, a través de la matriz de flexibilidades. Por otro lado, se deduce la matriz de rigidez del nodo mencionado, invirtiendo simplemente la matriz de flexibilidades. Después, aplicando desplazamientos unitarios y por equilibrio de fuerzas se deduce la matriz de rigidez para ambos extremos del elemento de sección variable. Finalmente, como un ejemplo de este trabajo se obtiene la matriz de rigidez de un elemento de sección variable rectangular llena. 6.2 Matriz de rigidez de un elemento de sección variable. Para la obtención de la matriz de rigidez de un elemento de sección variable con fuerzas o desplazamientos aplicados en los nodos extremos (figura 6-1), se puede proceder como a continuación se describe. La energía de deformación para un elemento plano con comportamiento lineal se puede expresar como:
dxEI
MGAVk
EANW
L
z
zy∫⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++=
0
221
2
222 (6-1)
x
y
z
F1F2
F3M
N
V
A B
x
Figura 6-1.Elemento sujeto a fuerzas en los nodos extremos.
Donde, por equilibrio:
ANALISIS ESTRUCTURAL 71
( )( )
( ) xFFxMFxVFxN
z 23
2
1
−===
(6-2)
Sustituyendo los valores de N , V y M en la ecuación 6-1 se obtiene:
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )∫
∫
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+−+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
−+=
L
z
L
z
dxxGA
FkxEI
xFxFFFxEA
FW
dxxGA
FkxEIxFF
xEAF
W
0
221
22232
23
21
0
221
223
21
222
2
222 (6-3)
De acuerdo al teorema de Castigliano:
iiF
W δ=∂∂ (6-4)
∴ 1001
11 )()(
FxEA
dxdxxEA
FFW LL
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡===
∂∂
∫∫δ
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−==
∂∂ L L
z
L
zz
FxEI
xdxFdxxGA
kxEI
xdxxGA
FkxEI
xFxFFW
0 30201
2213
22
22 )()(2
22
22δ
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−==
∂∂ L L
z
L
zz
FxEI
dxFxEI
xdxdxxEI
FxFFW
0 3020
323
3 222
δ (6-5)
Expresando estas relaciones en forma matricial se tiene:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∫∫
∫∫
∫
3
2
1
00
001
2
0
3
2
1
0
0
00
FFF
xEIdx
xEIxdx
xEIxdxdx
xGAk
xEIx
xEAdx
L
z
L
z
L
z
L
z
L
δδδ
[ ]⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
3
2
1
3332
2322
11
3
2
1
3
2
1
00
00
FFF
ffff
f
FFF
f AA
δδδ
(6-6)
De acuerdo a lo anteriormente expuesto (ecuación 6-6), la matriz de flexibilidades del nodo A es:
ANALISIS ESTRUCTURAL 72
[ ]( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
∫∫
∫∫
∫
L
z
L
z
L
z
L
z
L
AA
xEIdx
xEIxdx
xEIxdxdx
xGAk
xEIx
xEAdx
ffff
ff
00
001
2
0
3332
2322
11
0
0
00
00
00
(6-7)
Dada esta matriz de flexibilidades del nodo A , (ecuación 6-7), y la relación que existe entre las fuerzas y desplazamientos de un mismo nodo extremo de un elemento (figura 6-2), se puede proceder como sigue, para la obtención de la matriz de rigidez completa de un elemento de sección variable.
x
F ,2
A BL
Figura 6-2.Fuerzas y desplazamientos en los nodos extremos del elemento.
δ 2 F ,1 δ 1F ,3 δ 3
F ,5 δ 5F ,6 δ 6F ,4 δ 4
A partir de la ecuación 6-7, se obtiene para el nodo A la relación siguiente:
[ ] [ ]{ } [ ] { } { }AAAAAA
Df
Df
Df
Df
f
fkF δδδ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=== −
2223
2333
11
1
0
0
001
(6-8)
Donde [ AAk ] es la matriz de rigidez del nodo A y el determinante es:
2233322 fffDetD −== .
a) Dado un desplazamiento unitario en A en la dirección de 1F (figura 6-3),
se pueden obtener las fuerzas en el nodo A y por equilibrio deducir las fuerzas en el nodo B:
ANALISIS ESTRUCTURAL 73
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
00
1
00
001
00
001111
3332
2322
11
31
21
11 fk
kkkk
k
FFF
(6-9)
,06151 == FF
111141
1f
FF −=−= (6-10)
x
F 21
A BL
Figura 6-3.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la dirección F1.
F 11F 31
F 51F 61
F 41
δ = 11
b) De la misma manera, se aplica un desplazamiento unitario en A en la dirección de 2F (figura 6-4), para obtener las fuerzas en el nodo A y por equilibrio deducir las fuerzas en el nodo B.
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
DfDf
kk
kkkk
k
FFF
23
33
32
22
3332
2322
11
32
22
12 00
010
00
00 (6-11)
,012 =F ,3322 D
fF =
Df
F 2332 =
(6-12)
,042 =F ,332252 D
fFF
−=−=
DfLf
FxFF 2333322262
−=−=
ANALISIS ESTRUCTURAL 74
x
F 22
A B
L
Figura 6-4.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la direcc ión F2.
F 12F 32
F 52F 62
F 42
δ = 12
c) Finalmente, se aplica un desplazamiento unitario en A (figura 6-5), en la dirección 3F , para obtener las fuerzas en el nodo A y por equilibrio deducir las fuerzas en el nodo B.
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
DfDf
kk
kkkk
k
FFF
22
23
33
23
3332
2322
11
32
22
16 00
100
00
00 (6-13)
x
F 23
A B
L
Figura 6-5.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la direcc ión F3.
F 13F 33
F 53F 63
F 43
δ = 13
,013 =F ,2233 D
fF =
Df
F 2323 =
(6-14)
,043 =F ,2353 D
fF −=
DfLf
F 222363
−=
Por lo tanto la submatriz de rigidez AB es:
ANALISIS ESTRUCTURAL 75
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
DfLf
Df
DfLf
Df
f
k AB
222323
233333
11
0
0
001
(6-15)
Y por simetría de la matriz de rigidez del elemento se tiene que:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
==
DfLf
DfLf
Df
Df
f
kk TBABA
22232333
2333
11
0
0
001
(6-16)
Dado que se conoce la submatriz de rigidez [ ]BAk , se conocen también las
fuerzas producidas en el nodo A por los efectos de los desplazamientos unitarios en B, por tanto se puede por equilibrio deducir las fuerzas y rigideces en el nodo B, (figura 6-6, 6-7 y 6-8).
x
F 24
A B
L
Figura 6-6.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la direcc ión F4.
F 14F 34
F 54F 64
F 44
δ = 11
,1
111444 f
FF == ,03424 == FF 06454 == FF (6-17)
ANALISIS ESTRUCTURAL 76
x
F 25
A B
L
Figura 6-7.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la dirección F5.
F 15F 35
F 55
F 65
F 45
δ = 15
,015 =F ,3325 D
fF =
Df
F 2335 =
(6-18)
,01545 == FF ,332555 D
fFF ==
DLff
LFFF 3323253565
−=−=
x
F 26
A B
L
Figura 6-8.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la direcc ión F6.
F 16F 36
F 56F 66
F 46
δ = 16
,016 =F ,233326 D
fLfF
−=
DfLf
F 222336
−=
,016 =F ,33235656 D
LffFF
−=−= 362633 FLFF −= (6-19)
( )
DLffLf
DfLf
DLfLf
F 23222
332223233333
2−+=
−−
−=
ANALISIS ESTRUCTURAL 77
La matriz resultante en B es:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−
−=
DLfLff
DLff
DLff
Df
f
kBB
23323223323
332333
11
20
0
001
(6-20)
Ensamblando las submatrices obtenidas, de las ecuaciones 6-8, 6-15, 6-16 y 6-20, se obtiene la matriz de rigideces de un elemento A-B de sección variable:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−−
−−−
−
−−
−−
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
DLfLff
DLff
DfLf
DfLf
DLff
Df
Df
Df
ff
DfLf
Df
Df
Df
DfLf
Df
Df
Df
ff
kkkk
kBBBA
ABAA
2332322332322232333
3323332333
1111
2223232223
2333332333
1111
200
00
001001
00
00
001001
(6-21)
Renombrando los términos iguales, esta matriz se puede representar como:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−
−
=
66263626
26222322
1111
36233323
26222322
1111
0000
00000000
0000
kkkkkkkk
kkkkkkkkkk
kk
k (6-22)
Donde:
,1
1111 f
k = ,3322 D
fk = ,23
23 Df
k = Df
k 2233 =
(6-23)
,233326 D
fLfk
−= ,2223
36 DfLf
k−
= D
fLfLfk 2223
233
662 +−
=
ANALISIS ESTRUCTURAL 78
6.3 Ejemplo de una viga de sección variable rectangular. Sea un elemento de sección variable rectangular llena, como el mostrado en la figura 6-9. En este caso en particular, el peralte varía linealmente a lo largo de la longitud, y tanto el área como el momento de inercia se pueden expresar en función de x.
( ) xL
hhhxh 12
1−
+=
(6-24)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+== xL
hhhbxbhxA 121)()( e
312
1
3
1212)()( ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+== xL
hhhbxbhxI
L
b
b
x
Figura 6-9.Elemento de secc ión variable rec tangular llena.
h1
h2
De acuerdo con el capítulo anterior se puede obtener la matriz de rigideces a partir de la matriz de flexibilidades, o de los términos de la matriz de flexibilidades, 11f , 22f , 23f y 33f :
( )∫ ∫ ∫ −+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+==
L L L
xL
hhh
dxEbx
LhhhEb
dxxEA
dxf0 0 0 12
112
1
111 (6-25)
Haciendo un cambio de variable:
ANALISIS ESTRUCTURAL 79
,121 x
Lhh
hu−
+= dxL
hhdu 12 −
= (6-26)
,12
duhh
Ldx−
= :límites ;0 1hux =→= 2huLx =→=
La integral se convierte en:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ −−
=⎥⎦
⎤−
=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 2
1
2
1
2
1
12121212
121 h
h
h
h
h
h
hInhInhhEb
LuInhhEb
Ludu
hhEbL
u
duhh
L
Eb
(6-27)
Por consiguiente se tiene que el primer término de la matriz de flexibilidades es:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=1
2
1211 h
hInhhEb
Lf (6-28)
El siguiente término es:
( ) ( )∫ ∫+=L L
xGAdxk
xEIdxxf
0 0
12
22 (6-29)
Tomando el primer término de la integral:
( )∫ ∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+
=L L
xL
hhh
dxxEbxEI
dxx
0 03
121
22 12 (6-30)
Y haciendo un cambio de variables:
,121 x
Lhh
hu−
+= ,12
1 Lhhhu
x−−
= ( )
,2 22
12
211
22 L
hhhuhux
−+−
=
,12 dxL
hhdu
−= du
hhLdx
12 −= (6-31)
Con límites: sí 10 hux =→= y si 2huLx =→= La integral se convierte en:
ANALISIS ESTRUCTURAL 80
( )( )
( )
( ) ( )( )
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
⎥⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−
−=
+−
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
21
22
21
121
1
23
12
3
22
11312
3
32
1313
2
312
3
3
211
2
312
3
312
212
211
2
2
21
2111212
211212212
2122
12
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
hhh
hhh
hh
InhhEb
L
uh
uhuIn
hhEbL
uduh
uuduh
uduu
hhEbL
uduhuhu
hhEbL
u
duhh
Lhh
huhu
EbL
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
(6-32)
El segundo término es una integral similar a 11f :
( ) ( )∫ ∫=L L
xAdx
Gk
xGAdxk
0 0
11 (6-33)
Por lo tanto, simplificando términos se tiene:
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
1
2
12
122
21
2
1
1
23
12
3
22 23
2212
hhIn
hhGbLk
hh
hh
hhIn
hhEbLf (6-34)
El siguiente término de la matriz de flexibilidades 23f es:
( )∫ ∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+
==L L
xL
hhh
xdxEbxEI
xdxf0 0
312
1
2312 (6-35)
Haciendo un cambio de variables:
xL
hhhu 12
1−
+= Lhhhu
x12
1
−−
=
dxL
hhdu 12 −
= duhh
Ldx12 −
= (6-36)
:límites ;0 1hux =→= 2huLx =→=
ANALISIS ESTRUCTURAL 81
La integral se convierte en:
( )( )
( )
( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
−=⎥
⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−=
−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
∫ ∫∫
21
22
1
213
12
3
21212
2
313212
2
31
212
2
31212
1
112
11122
1112
121212
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
hhh
hhhhEbL
uh
uhhEbL
uduh
uudu
hhEbL
uduhu
hhEbL
u
duhh
LLhhhu
Eb
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h∫
(6-37)
Simplificando términos:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−= 2
2
1
212
12
2
23 21
2112
hh
hhhhEbLf (6-38)
Por último, el término se obtiene como sigue: 33f
( )∫ ∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+
==L L
xL
hhh
dxEbxEI
dxf0 0
312
1
3312 (6-39)
Haciendo el cambio de variable:
,121 x
Lhhhu −
+= :límites ;0 1hux =→= 2huLx =→=
,12 dxL
hhdu −= du
hhLdx
12 −= (6-40)
La integral se convierte en:
( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎥
⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−2
1
2
1
2
1
22
2112
212
312
312 116
21
.121212 h
h
h
h
h
h hhhhEbL
uhhEbL
udu
hhEbL
u
duhh
L
Eb (6-41)
ANALISIS ESTRUCTURAL 82
Simplificando términos se tiene:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−= 2
22
11233
116hhhhEb
Lf (6-42)
En resumen, los valores de los términos de la matriz de flexión son:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=1
2
1211 h
hIn
hhEbLf
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
1
2
12
122
21
2
1
1
23
12
3
22 23
2212
hh
InhhGb
Lkhh
hh
hh
InhhEb
Lf (6-43)
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−= 2
2
1
212
12
2
23 21
2112
hh
hhhhEbLf
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−= 2
22
11233
116hhhhEb
Lf
Está claro que teniendo los valores de las flexibilidades se puede obtener la matriz de rigidez del elemento mediante las ecuaciones 6-23. Se hace la observación que para otro tipo de secciones, como la sección hueca o la sección tipo I, las integrales para obtener los términos de la matriz de flexibilidades se complican, ya que tanto las funciones de área como de los momentos de inercia son polinomios, que están en el denominador de la integral; por lo tanto se puede obtener la matriz de rigideces de este tipo de secciones mediante la composición de secciones macizas y la adición de las matrices de rigideces de este tipo de secciones macizas, como se muestra en las figuras siguientes:
ANALISIS ESTRUCTURAL 83
h(x)t1
t2
b
= h(x)
b
- h(x) - 2t2
b - 2t1
SECCIÓN HUECA S SECCIÓN LLENA A SECCIÓN LLENA B
[KS] = [KA] - [KB]
Figura 6-10.Elemento de sección variable hueca o tubular cuadrada.
h(x)t1
t2
b
= h(x)
b
- h(x) - 2t2
b - t1
SECCIÓN HUECA S SECCIÓN LLENA A SECCIÓN LLENA B
[KS] = [KA] - [KB]
Figura 6-11.Elemento de sección variable tipo I.
Es necesario aclarar que en esta composición de secciones debe hacerse la adición o diferencia con las matrices de rigidez y no con las matrices de flexibilidad, ya que la flexibilidad es inversamente proporcional al área y al momento de inercia, por lo cual no pueden sumarse o restarse áreas para determinar la flexibilidad de un elemento, pero sí es válido sumarlas o restarlas cuando se trata de rigideces, ya que la rigidez es directamente proporcional al área y al momento de inercia. Como comprobación de esta composición de áreas, se hicieron integrales numéricas para casos específicos y se verificaron los resultados obtenidos mediante la resta de matrices de rigideces de secciones macizas. Los resultados obtenidos por ambos métodos son similares.
ANALISIS ESTRUCTURAL 84
6.4 Conclusiones. La matriz de rigidez de un elemento de sección variable ha sido deducida a través de la matriz de flexibilidades. En particular se ejemplifica la deducción para un elemento de sección rectangular maciza o llena. Esta solución puede fácilmente ser extendida a otro tipo de secciones como las secciones huecas o las tipo I, de uso muy frecuente sobre todo en elementos de acero, sin necesidad de deducir matrices específicas de cada sección, ya que utilizando la matriz de rigidez de una sección maciza, se pueden obtener otro tipo de sección con combinaciones de la misma. Finalmente, cabe señalar que el método se puede fácilmente sistematizar e implementar en programas de análisis de uso común.
ANALISIS ESTRUCTURAL 85
CAPÍTULO 7. MATRIZ DE RIGIDECES PARA ARMADURAS Y MARCOS. 7.1 Matriz de rigideces para armaduras.
y
x
y'
x'Coordenadas Globales. Coordenadas Locales.
x'
y'
1 2x'1x'2
y'1 y'2
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
'2
'2
'1
'1
'2
'2
'1
'1
0000
000000
00
vuvu
LEA
LEA
LEA
LEA
yxyx
x'y'
x'1 y'1
θθ
θ
x1
y1
θθ
θθ
cos
cos'1
'11
'1
'11
ysenxy
senyxx
+=
−= ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡'1
'1
1
1
coscos
yx
sensen
yx
θθθθ
θθ
θθ
senysenxy
senyxx
11'1
11'1 cos
+−=
+= ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
1
1'1
'1
coscos
yx
sensen
yx
θθθθ
Matriz de rotación (R)
ANALISIS ESTRUCTURAL 86
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡'1
'1
'1
'1
coscos
coscos
yx
sensen
sensen
yx
θθθθ
θθθθ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
'11
1'1
xRx
xRxT=
= ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡'2
'1
2221
1211
'2
'1
uu
kkkk
xx
1−= RRT
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= '
1
'1'
1 yx
x 2211
00
0 kLEA
k =⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡= ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= '
1
'1'
1vu
u
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= '
2
'2'
2 yx
x 1221
00
0 kLEA
k =⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= '
2
'2'
2vu
u
1
'1 uRu = '
11 uRu T=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1
uRuR
kkkk
xRxR
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0000
0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1
00
00
uu
RR
kkkk
xx
RR
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1
00
00
00
00
uu
RR
kkkk
RR
xx
RR
RR
T
T
T
T
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
22
12
21
11
2
1
1001
uu
RkRRkR
RkRRkR
xx
T
T
T
T
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
θθθθ
θθθθ
coscos
00
0cos
cos11 sen
senL
EA
sensen
RkRT
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθθθ
θ
θ
coscos
0
0cos2
sensen
senL
EAL
EA
ANALISIS ESTRUCTURAL 87
RkRsen
LEAsen
LEA
senL
EAL
EA
RkR TT22
2
2
11
cos
coscos=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=θθθ
θθθ
RkRRkR TT
2112 =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
2
1
1
22
22
22
22
2
2
1
1
coscoscoscoscoscos
coscoscoscoscoscos
vuvu
sensensensensensen
sensensensensensen
LEA
yxyx
θθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθ
7.2 Matriz de rigideces para marcos.
x1
y1M1
x2
y2M2
2
1
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
'2
'2
'2
'1
'1
'1
22
323
22
2323
'2
'2
'2
'1
'1
'1
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
θ
θ
vu
vu
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
MyxMyx
ANALISIS ESTRUCTURAL 88
θx1
y1M1
x'1 y'1θ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡'2
'1
2221
1211
2
1
uu
kkkk
xx
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
1
1
1
'1
'1
'1
1000cos0cos
Myx
sensen
Myx
θθθθ
1
' xRx = 1'1 uRu =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
1
1
2221
1211
2
1
uRuR
kkkk
xRxR
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1
00
00
uu
RR
kkkk
xx
RR
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1
00
00
uu
RR
kkkk
RR
xx
T
T
TRR =−1
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2221
1211
kRkRkRkR
TT
TT
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
RkRRkRRkRRkR
TT
TT
2221
1211
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
1000cos0cos
460
6120
00
1000cos0cos
2
2311 θθθθ
θθθθ
sensen
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
sensen
RkRT
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=1000cos0cos
260
cos612
612cos
2
23
23
11 θθθθ
θθ
θθθ
sensen
LEI
LEI
LEI
LEIsen
LEA
senLEIsen
LEI
LEA
RkRT
ANALISIS ESTRUCTURAL 89
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=
LEI
LEIsen
LEI
LEI
LEIsen
LEA
LEI
LEAsen
senLEI
LEI
LEAsensen
LEI
LEA
RkRT
4cos66
cos6cos1212cos
612cos12cos
22
22
32
3
232
32
11
θθ
θθθθθ
θθθθθ
FEP
vu
vu
FEDGEDEBCEBCDCADCA
GEDFEDEBCEBCDCADCA
MyxMyx
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−
−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
θ
θ
θθ 23
2 12cos senLEI
LEAA += θθ 2
32 cos12
LEIsen
LEAB +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 3
12cosLEI
LEAsenC θθ θsen
LEID 2
6−=
θcos62L
EIE = LEIF 4
=
LEIG 2
=
ANALISIS ESTRUCTURAL 90
Ejemplo. Obtener las reacciones y diagramas de la viga mostrada, a) sin el término de cortante y b) con el término de cortante (µ=0.18).
125 cm 125 cm 350 cm
q= 90 kg/cm
k= 25000 kg/cm
P= 25000 kg/cm
Reacciones y diagramas sin el término de cortante.
q= 90 kg/cm
P= 25000 kg
251888.62 kg-cm
6147.66 kg 39859.41 kg 10492.93 kg
6147.66 kg
18852.34 kg
21007.07 kg
10492.93 kg
516568.88 kg-cm
1839973.62 kg-cm
251888.62 kg-cm
611551.49 kg-cm
ANALISIS ESTRUCTURAL 91
Reacciones y diagramas con el término de cortante.
q= 90 kg/cm
P= 25000 kg
681305.66 kg-cm
7990.31 kg 37927.48 kg 10582.21 kg
7990.31 kg
17009.69 kg
20917.79 kg
317483.09 kg-cm
1839973.62 kg-cm
681305.66 kg-cm
621919.04 kg-cm
ANALISIS ESTRUCTURAL 92
CAPÍTULO 8. ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESQUELETALES CON MUROS DE CONCRETO.
h5
h4
h3
h2
h1
W1 W2
Ejes Centroidales
Muro
Muro Columnas
Vigas
a)
h5
h4
h3
h2
h1
L1
W2/2
W1/2
L2 L3 L4
b)
Figura 8-1. a) Esquema de la estructura. b) Marcos con columnas anchas.
ANALISIS ESTRUCTURAL 93
8.1 Obtención de la matriz de rigidez de un elemento con extremos infinitamente rígidos.
a L b
1 2 3 4
Zonas Rígidas
1
2
34
56
Figura 8-2. Viga con zonas infinitamente rígidas a flexión en sus extremos.
L
F'3F'1
F'2
F2
F1
F3 F3
F2
F5 F6
F4
F6
F5F'6
F'4F'5
a b
Haciendo cortes en las secciones 2 y 3 y aplicando equilibrio de fuerzas en los diagramas de cuerpo libre de los tramos 1-2 y 3-4, se tiene lo siguiente: ∑ = ,0xF ,1
'1 FF = 4
'4 FF =
∑ = ,0yF (8-1) ,2
'2 FF = 5
'5 FF =
∑ = ,0zM 23
'3 aFFF +=
56
'6 bFFF −=
Expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene:
ANALISIS ESTRUCTURAL 94
[ ] { }RH
FFFFFF
b
a
FFFFFF
T=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
'6
'5
'4
'3
'2
'1
1000001000000100000010000010000001
(8-2)
Las relaciones entre los desplazamientos son:
'11 dd = addd '
3'22 += '
33 dd = (8-3)
'44 dd = bddd '
6'55 −= '
66 dd =
[ ]{ }'
'6
'5
'4
'3
'2
'1
6
5
4
3
2
1
10000010000
00100000010000010000001
dH
dddddd
b
a
dddddd
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
(8-4)
De acuerdo a la teoría elástica se tiene:
{ } [ ]{ }dkF = (8-5)
Por equilibrio de fuerzas entre los extremos de las secciones infinitamente rígidas se tiene:
{ } [ ] { }FHF T=' (8-6)
Remplazando el vector de fuerzas de la relación elástica, (ecuación 8-5), en la ecuación anterior se tiene:
{ } [ ] { } [ ] [ ][ ]{ }'' dHkHFHF TT == (8-7)
Finalmente, remplazando la relación entre desplazamientos, (ecuación 8-4), en la ecuación anterior se obtiene la matriz de rigidez de un elemento con extremos infinitamente rígidos:
{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ]{ }'' dHkHdkHF TT == (8-8)
{ } [ ]{ }''' dkF =
ANALISIS ESTRUCTURAL 95
CAPÍTULO 9. MARCOS PLANOS SOMETIDOS A CARGAS LATERALES. 9.1 Introducción.
Aplicando las matrices de rigidez de los elementos “barra”, podemos analizar estructuras sujetas a fuerzas aplicadas en los nudos de la estructura y por simplicidad es posible considerar que no existen desplazamientos verticales de la estructura, es decir eliminar las deformaciones axiales de columnas en el análisis de marcos sujetos a fuerzas laterales, de esta manera se reducen los grados de libertad de la estructura, lo que facilita la solución del sistema de ecuaciones. De esta manera tendríamos que para una columna o una viga que va de un punto inicial 1 a un punto final 2 su matriz de rigidez es la siguiente:
Fx2
Fx1
M1
M2
2
1
y'
x'
ELEMENTO COLUMNA
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
2
1
1
4626
612612
2646
612612
2
2
1
1
22
2323
22
2323
θ
θ
ux
ux
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
M
Fx
M
Fx
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
42
24
2
1
θ
θ
LEI
LEI
LEI
LEI
M
M
ELEMENTO VIGA
M2
21
M1
x
y
ANALISIS ESTRUCTURAL 96
9.2 Método de rigideces.
Para explicar más facilmente el procedimiento de calculo realizaremos el siguiente ejemplo:
4.00 MTS
5.00 MTS
GEOMETRIA:
2000 KG
4000 KG
TRABES: 20 CM
40 CM
30 CM
30 CM
4.00 MTS
COLUMNAS:
MATERIAL:
f'c = 250 Kg/cm2E = 14000 f'c
FIGURA 9-1. TIPOLOGIA DE LA ESTRUCTURA:
X
Y
1
2
3
4
6
5u2 u5
u3 u6
θ2 θ5
θ3 θ6
u2= u5= ∆1
u3= u6= ∆2
1
2 4
3
5
6
ANALISIS ESTRUCTURAL 97
Matrices de rigidez de los elementos: Columna 1:
NO. DE BARRA: 1
NUDO INICIAL: 1 NUDO FINAL: 2
E MOD. DE 221359.4 KG/CM2 ESLASTICIDAD:
LONGITUD: 400.0 CM MOM. DE INERCIA I : 67500.0 CM4
Fx 1 2801.58 560316.07 -2801.58 560316.07 u 1
M 1 560316.07 149417619.44 -560316.07 74708809.72 θ 1 = =
Fx 2 -2801.58 -560316.07 2801.58 -560316.07 u 2
M 2 560316.07 74708809.72 -560316.07 149417619.44 θ 2 Columna 2:
NO. DE BARRA: 2
NUDO INICIAL: 2 NUDO FINAL: 3
E MOD. DE 221359.4 KG/CM2 ESLASTICIDAD:
LONGITUD: 400.0 CM MOM. DE INERCIA I : 67500.0 CM4
Fx 2 2801.58 560316.07 -2801.58 560316.07 u 2
M 2 560316.07 149417619.44 -560316.07 74708809.72 θ 2 = =
Fx 3 -2801.58 -560316.07 2801.58 -560316.07 u 3
M 3 560316.07 74708809.72 -560316.07 149417619.44 θ 3
ANALISIS ESTRUCTURAL 98
Columna 3:
NO. DE BARRA: 3
NUDO INICIAL: 4 NUDO FINAL: 5
E MOD. DE 221359.4 KG/CM2 ESLASTICIDAD:
LONGITUD: 400.0 CM MOM. DE INERCIA I : 67500.0 CM4
Fx 4 2801.58 560316.07 -2801.58 560316.07 u 4
M 4 560316.07 149417619.44 -560316.07 74708809.72 θ 4 = =
Fx 5 -2801.58 -560316.07 2801.58 -560316.07 u 5
M 5 560316.07 74708809.72 -560316.07 149417619.44 θ 5 Columna 4:
NO. DE BARRA: 4
NUDO INICIAL: 5 NUDO FINAL: 6
E MOD. DE 221359.4 KG/CM2 ESLASTICIDAD:
LONGITUD: 400.0 CM MOM. DE INERCIA I : 67500.0 CM4
Fx 5 2801.58 560316.07 -2801.58 560316.07 u 5
M 5 560316.07 149417619.44 -560316.07 74708809.72 θ 5 = =
Fx 6 -2801.58 -560316.07 2801.58 -560316.07 u 6
M 6 560316.07 74708809.72 -560316.07 149417619.44 θ 6
ANALISIS ESTRUCTURAL 99
Viga 5:
NO. DE BARRA: 5
NUDO INICIAL: 2 NUDO FINAL: 5
E MOD. DE 221359.4 KG/CM2 ESLASTICIDAD:
LONGITUD: 500.0 CM MOM. DE INERCIA I : 106666.7 CM4
M 2 188893385.57 94446692.78 θ 2 = =
M 5 94446692.78 188893385.57 θ 5 Viga 6:
NO. DE BARRA: 6
NUDO INICIAL: 3 NUDO FINAL: 6
E MOD. DE 221359.4 KG/CM2 ESLASTICIDAD:
LONGITUD: 500.0 CM MOM. DE INERCIA I : 106666.7 CM4
M 3 188893385.57 94446692.78 θ 3 = =
M 6 94446692.78 188893385.57 θ 6
ANALISIS ESTRUCTURAL 100
Matriz ensamblada:
149417619.44 -560316.07 -560316.07 149417619.44 74708809.72 94446692.78 0.00 560316.07 θ2 0.00188893385.57
74708809.72 149417619.44 0.00 94446692.78 560316.07 -560316.07 θ3 0.00
188893385.57 149417619.44 -560316.07 -560316.07
94446692.78 0.00 149417619.44 74708809.72 560316.07 θ5 0.00 188893385.57 =
0.00 94446692.78 74708809.72 149417619.44 560316.07 -560316.07 θ6 0.00 188893385.57 2801.58
-560316.07 560316.07 -560316.07 560316.07 2801.58 -2801.58 υ2=υ5=∆1 4000.00560316.07 560316.07 2801.58 -2801.58
2801.58
-560316.07 -560316.07 -560316.07 -560316.07 -2801.58 2801.58 υ3=υ6=∆2 2000.00
-2801.58 2801.58 Realizando las sumas en las celdas tenemos: 487728624.45 74708809.72 94446692.78 0.00 0.00 -560316.07 θ2 0.00
74708809.72 338311005.01 0.00 94446692.78 560316.07 -560316.07 θ3 0.00
94446692.78 0.00 487728624.45 74708809.72 0.00 -560316.07 θ5 0.00
= 0.00 94446692.78 74708809.72 338311005.01 560316.07 -560316.07 θ6 0.00
0.00 560316.07 0.00 560316.07 11206.32 -5603.16 ∆1 4000.00
-560316.07 -560316.07 -560316.07 -560316.07 -5603.16 5603.16 ∆2 2000.00
ANALISIS ESTRUCTURAL 101
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales tenemos los siguientes
desplazamientos:
cm
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆
5378.25364.10009.000233.00009.000233.0
216532
θθθθ
Una vez conocido los desplazamientos obtenemos las fuerzas en cada barra, multiplicando la matriz de rigidez de la barra por los desplazamientos conocidos.
Columna 1: Columna 2: Columna 3:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
72.51305000.3000
24.68694900.3000
2211
MFxMFx
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
48.25352500.1000
48.14647400.1000
3322
MFxMFx
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
06.51305100.3000
40.68694900.3000
5544
MFxMFx
Columna 4: Viga 5: Viga 6:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
55.25352500.1000
77.14647400.1000
6655
MFxMFx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡82.65952504.659526
52
MM
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡55.25352548.253525
63
MM
Para comparar los resultados realizaremos el mismo ejemplo con el software SAP2000, se tomaran las mismas secciones y geometría.
ANALISIS ESTRUCTURAL 102
Figura 9-2. Tipología de la estructura.
Figura 9-3. Estructura con fuerzas actuantes y descripción de barras.
ANALISIS ESTRUCTURAL 103
Figura 9-4. Desplazamientos del nudo 2.
Figura 9-5. Diagramas de momento flexionante.
ANALISIS ESTRUCTURAL 104
Corrida del SAP, donde se presentan los desplazamientos y fuerzas en
barras debidas a las cargas aplicadas en los nudos.
SAP2000 v7.12 File: MARCO-1 Kgf-m Units PAGE 1 10/21/04 15:57:46 J O I N T D I S P L A C E M E N T S JOINT LOAD U1 U2 U3 R1 R2 R3 1 LOAD1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 LOAD1 0.0156 0.0000 0.0000 0.0000 2.365E-03 0.0000 3 LOAD1 0.0156 0.0000 0.0000 0.0000 2.360E-03 0.0000 4 LOAD1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 LOAD1 0.0258 0.0000 0.0000 0.0000 9.171E-04 0.0000 6 LOAD1 0.0258 0.0000 0.0000 0.0000 9.091E-04 0.0000 F R A M E E L E M E N T F O R C E S FRAME LOAD LOC P V2 V3 T M2 M3 1 LOAD1 0.00 0.00 3006.23 0.00 0.00 0.00 6896.14 2.00 0.00 3006.23 0.00 0.00 0.00 883.67 4.00 0.00 3006.23 0.00 0.00 0.00 -5128.79 2 LOAD1 0.00 -1990.62 2630.34 0.00 0.00 0.00 6578.45 1.25 -1990.62 2630.34 0.00 0.00 0.00 3290.52 2.50 -1990.62 2630.34 0.00 0.00 0.00 2.60 3.75 -1990.62 2630.34 0.00 0.00 0.00 -3285.32 5.00 -1990.62 2630.34 0.00 0.00 0.00 -6573.24 3 LOAD1 0.00 0.00 -2993.77 0.00 0.00 0.00 -5105.92 2.00 0.00 -2993.77 0.00 0.00 0.00 881.62 4.00 0.00 -2993.77 0.00 0.00 0.00 6869.15 4 LOAD1 0.00 0.00 1003.15 0.00 0.00 0.00 1467.32 2.00 0.00 1003.15 0.00 0.00 0.00 -538.99 4.00 0.00 1003.15 0.00 0.00 0.00 -2545.29 5 LOAD1 0.00 -1003.15 -1016.60 0.00 0.00 0.00 -2545.29 1.25 -1003.15 -1016.60 0.00 0.00 0.00 -1274.54 2.50 -1003.15 -1016.60 0.00 0.00 0.00 -3.78 3.75 -1003.15 -1016.60 0.00 0.00 0.00 1266.97 5.00 -1003.15 -1016.60 0.00 0.00 0.00 2537.73 6 LOAD1 0.00 0.00 -996.85 0.00 0.00 0.00 -2537.73 2.00 0.00 -996.85 0.00 0.00 0.00 -544.03 4.00 0.00 -996.85 0.00 0.00 0.00 1449.66
Como podemos apreciar los valores obtenidos son similares a los ya
calculados anteriormente, por ejemplo el desplazamiento ∆1 es de 1.54cm y en el SAP es de 1.56 cm, en este caso el programa toma en cuenta el efecto de
ANALISIS ESTRUCTURAL 105
deformación por cortante, lo que origina que los desplazamientos aumenten, aunque para este caso no contribuye en mucho. CAPÍTULO 10. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS ELASTO-PLÁSTICOS. 10.1 Breve descripción del método. En un análisis elasto-plástico de un sistema estructural, la idea básica consiste en seguir un trayecto de carga paso a paso a partir de un estado inicial conocido y en calcular la solución en el instante dtt + a partir de la solución conocida en el instante . t La determinación de los aumentos de esfuerzos, deformaciones y desplazamientos, se hacen:
- A partir de los incrementos de carga. - A través de las ecuaciones de equilibrio casi estático.
- De las condiciones limites.
- De las condiciones de compatibilidad geométrica de deformaciones.
- De la ley de comportamiento.
Sin embargo es claro que esta determinación necesita conocer con
precisión a cada instante t : - La localización de los elementos plastificados (criterio alcanzado) y los no
plastificados. - Decidir para cada uno de los elementos plastificados, si durante el paso t
a hay carga o descarga. dtt +
En esto reside toda la dificultad de solución, en el caso general, de los problemas de elasto-plasticidad casi estático.
10.2 Sistema estructural simple. Sea una estructura articulada simple como la mostrada en la figura 11-1, constituida de tres barras verticales de igual longitud “h”, articuladas a una superficie indeformable y a una barra horizontal ( )AC supuesta igualmente indeformable, las distancias entre las barras son iguales a L . Las características de las tres barras son idénticas: misma sección A y módulo de Young E.
ANALISIS ESTRUCTURAL 106
Las barras se supone tienen el mismo estado límite de elasticidad , tanto para tensión como para compresión. También se suponen tienen un comportamiento elasto-plástico perfecto.
oN
La carga es una fuerza vertical de intensidad Q aplicada en medio del claro BC.
y
B
Dx
h
L L/2 L/2
N1 N2 N3
AQ
Figura 11-1. Estructura articulada.
C
Ni
di
Ny = No
NoI/ES
-Ny = -No
Figura 11-2. Ley de comportamiento elasto-plástico perfecto de las barras de la estructura representada en la figura 11-1.
10.3 Etapa elástica (solución elástica).
a) A partir de las ecuaciones de equilibrio se tiene:
∑ = 0yF QNNN =++ 321 (11-1)
∑ = 0zM 0232 32 =−+ LQLNLN (11-2)
ANALISIS ESTRUCTURAL 107
Sustituyendo el valor de Q de la ecuación 11-1 en la ecuación 11-2, y eliminando L, se obtiene:
( ) 0232 32132 =++−+ NNNNN ⇒ 0
21
21
23
321 =+−− NNN
03 321 =−+ NNN (11-3)
b) De la relación de comportamiento elástico lineal se obtienen las
deformaciones o alargamientos siguientes:
EAhN1
1 =δ EA
hN 22 =δ
EAhN3
3 =δ (11-4)
Cabe recordar que a partir de la ley de Hooke el alargamiento total δ de una barra se puede obtener como:
kP
hEAP
EAPh
===δ ó δkP =
Donde: P = fuerza total de tensión h = longitud de la barra A = área de la sección transversal de la barra E = constante elástica del material o módulo de elasticidad.
c) A partir de la condición de compatibilidad geométrica de deformaciones (figura 11-3), se tiene que:
( ) ( )2131
2δδδδ +−
=+−
LL ó 3121 22 δδδδ +−=+−
∴ 02 321 =+− δδδ (11-5)
ANALISIS ESTRUCTURAL 108
-d1
d2d
d3
-d1+
d3
L L/2 L/2
Figura 11-3. Compatibilidad geométrica de los desplazamientos.
Por otro lado, se puede también deducir los desplazamientos del punto D, donde esta aplicada la carga Q, en función de:
( )( ) ( )311
22/3δδδ +−
=−
Ld
L ó ( ) ( 131 223 δδδ +=+− d )
131 4433 δδδ −=+− d ∴ ( )43 31 δδ +
=d
O sustituyendo 1δ de la ecuación 11-5: 321 2 δδδ −=
2422 3232 δδδδ +
=+
=d (11-6)
Sustituyendo las deformaciones de la ecuación 11-4 en la ecuación 11-5 se tiene:
02 321 =+− NNN (11-7)
Resolviendo el sistema de las ecuaciones 11-1, 11-3 y 11-7:
QNNN =++ 321 (11-1)
03 321 =−+ NNN (11-3)
02 321 =+− NNN (11-7) Despejando N3 de la ecuación 11-3 se tiene que:
ANALISIS ESTRUCTURAL 109
213 3 NNN += (11-8)
Sustituyendo N3 de la ecuación 11-3 en la ecuación 11-1:
QNNNN =+++ 2121 3
QNN =+ 21 24 (11-9) Sustituyendo N3 de la ecuación 11-3 en la ecuación 11-7:
032 2121 =++− NNNN ó 04 21 =− NN
12 4NN = (11-10) Sustituyendo N2 de la ecuación 11-10 en la ecuación 11-9:
QNN =+ 11 84 ó 121QN = (11-11a)
Sustituyendo N1 de la ecuación 11-11a en la ecuación 11-10:
124
2QN = (11-11b)
De la ecuación 11-8:
QQQN127
124
123
3 =+= (11-11c)
Por otro lado, sustituyendo las ecuaciones 11-11 en las ecuaciones 11-4 se obtienen las deformaciones o alargamientos en función de Q:
EAQh
121 =δ EAQh
124
2 =δ EAQh
127
3 =δ (11-12)
Se deduce de las ecuaciones 11-11 y 11-12 que la fase elástica de comportamiento de la estructura sobre el trayecto de carga monótona creciente, corresponde a la barra 3, que es la más esforzada:
QN127
3 = ∴ oNNQ7
127
123 == (11-13)
ANALISIS ESTRUCTURAL 110
Sí 0712 NQ = entonces
7120
1NQN ==
02 74
124 NQN ==
03 127 NQN ==
Por otro lado el desplazamiento del punto “D” es:
QEAh
EAQhd
2411
247
244
21
21
32 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+= δδ
(11-14)
EAhNN
EAhd 00 14
117
122411
==
11/14
12/7
dEA/Noh
Q/No
Figura 11-4. Historia de carga de la etapa elástica.
10.4 Etapa elasto-plástica. Si la carga Q rebasa el valor de ( ) 07/12 N , la barra 3 deja absorber carga y permanece como un elemento que trabaja bajo carga constante, que para fines prácticos de modelado de la siguiente etapa de comportamiento elasto-plástico del sistema estructural, la barra 3 (N3) se puede representar como una fuerza aplicada en el punto C, de magnitud N0, como se muestra en la figura 11-5.
ANALISIS ESTRUCTURAL 111
y
B
Dx
h
L L/2 L/2
N1 N2
No
AQ
Figura 11-5. Estructura articulada con la barra 3 plastificada.
C
a) Aplicando equilibrio: ∑ = 0yF QNNN =++ 021 (11-15) ∑ = 0zM 03 021 =−+ NNN Despejando N2 de la segunda ecuación de equilibrio se tiene:
102 3NNN −= Sustituyendo este valor en la primera ecuación de equilibrio se tiene:
QNNNN =+−+ 0101 3 ó QNN =+− 01 22
201QNN −=
Sustituyendo el valor de N1 en la ecuación anterior, se tiene:
QNQNNN232
23 0002 +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
Resumiendo:
01 2NQN +−= (11-16a)
ANALISIS ESTRUCTURAL 112
02 223 NQN −= (11-16b)
03 NN = (11-16c)
Las deformaciones en las barras 1 y 2 siguen siendo elásticas.
EAhNQ
EAhN
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−== 0
11 2
δ (11-17a)
EAhNQ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 02 2
23δ (11-17b)
Y por compatibilidad geométrica se tiene de acuerdo a la ecuación 11-5:
02 321 =+− δδδ (11-5)
213 2δδδ +−=
EAhNQ
EAhNQ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−= 00 2
232
2
EAhNNQQ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+= 00 43
2
EAhNQ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 03 5
27δ (11-17c)
Por otro lado tenemos:
( )EAhNQ
EAhNQNQd 000
32 75215
272
23
21
2−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−=
+=
δδ
EAhNQd ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 02
725 (11-18)
Para cuando N2 = N0 se obtiene la segunda plastificación, por tanto a partir de la ecuación 11-16b se tiene que:
002 223 NQNN −== QN
233 0 = 02NQ =
ANALISIS ESTRUCTURAL 113
Carga necesaria para obtener la segunda fluencia y el colapso de la estructura, es decir, “la carga crítica” que produce el mecanismo plástico de colapso; por otro lado, se puede obtener el desplazamiento en , correspondiente:
d
EAhN
EAhNN
EAhNQd 0000 2
3275
27
25
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
12/7
2
11/14 3/2
(1.714)
(0.786) (1.5)
Q/No
qEA/Noh
Figura 11-6. Historia de carga.
10-5 Conclusiones de las etapas elásticas y elasto-plástica. Resumiendo los resultados obtenidos en las diferentes etapas, se tiene lo siguiente:
- Para la etapa elástica:
121QN =
124
2QN =
127
3QN =
Para 0712 NQ =
70
1N
N = 7
4 02
NN = 03 NN =
- Para la etapa elasto-plástica (dado que se plastifica el elemento 3):
01 2NQN +−= 02 2
23 NQN −= 03 NN =
ANALISIS ESTRUCTURAL 114
Para 0NQ =
01 =N 02 NN = 03 NN = Como conclusión del análisis antes descrito se puede decir lo siguiente:
a) Para el problema estudiado se puede mencionar que:
• La solución obtenida para las etapas I) elástica y II) elasto-plástica, es la solución exacta del problema para cuando Q varía en el rango:
020 NQ ≤≤
• Por otro lado, la carga Q = 2N0 no puede ser excedida.
b) ¿Qué pasa cuando Q alcanza el valor de 2N0?
• Cuando Q alcanza el valor de 2N0 el estado de esfuerzos , de
alargamiento iN
iδ y el desplazamiento de la estructura están dados por las expresiones:
d
Fuerzas internas:
01 2NQN +−= 02 2
23 NQN −= 03 NN =
Para Q=2N0
01 =N 02 NN = 03 NN =
Alargamientos:
( )EAhNQ 01 +−=δ
EAhNQ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 02 2
23δ
EAhNQ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 03 5
27δ
Para Q=2N0
01 =δ EAhN02 =δ
EAhN 03 2=δ
Desplazamiento:
EAhNQd ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 02
725
Para Q=2N0
EAhNd 02
3=
ANALISIS ESTRUCTURAL 115
• Cuando Q = 2N0, las barras 2 y 3 se encuentran simultáneamente plastificadas, esto implica que, sin aumentar Q una evolución o un alargamiento en el desplazamiento puede ser posible.
Por lo tanto, cuando Q alcanza el valor de 2N0 el estado de esfuerzos en
las barras es:
01 =N 02 NN = y 03 NN =
Si este estado se mantiene (es decir; 0==dt
dNN i
i 2.1=∀i ), la relación
de comportamiento se puede escribir:
01 =δ& y (11-19) 022 ≥= pδδ && 033 ≥= pδδ &&
• La única condición sobre los alargamientos es la relación de
compatibilidad geométrica que tiene que ser verificada a cada instante:
02 321 =+− δδδ (11-5)
Si esta relación se verifica para los alargamientos producidos por Q = 2N0, las tasas también se rigen por esta ecuación. Se observa entonces que para Q = 2N0, los alargamientos y los desplazamientos en la estructura pueden evolucionar bajo carga constante de manera monótona.
• Los esfuerzos se mantienen constantes y las velocidades de los alargamientos y los desplazamientos son:
01 =δ& 02 ≥δ& 023 ≥= δδ && (11-20)
( ) 023
21
32 ≥=+= δδδ &&&d
• Finalmente se observa que esta evolución del desplazamiento bajo carga
constante es puramente plástica.
Se dice también que las ecuaciones 11-19 y 11-20 definen un mecanismo de flexión plástica (libre) de la estructura.
ANALISIS ESTRUCTURAL 116