デジタル信号処理Digital Signal Processing

2010年度春学期Spring Semester, 2010

担当者： 栗濱 忠司（ Professor ）

第 2週

アナログとディジタルの対比

アナログ (analog) ディジタル (digital)

語源 analogue ( 相似物 ) digit ( 指 )

信号の性質

連続。区切って数えられない。

離散。区切って数えられる ( 指で ) 。

計算機で

扱えない。 扱える。

ちょっと復習

授業の掟

欠席・遅刻をしない　　欠席は 3 回まで　 4 回以上は単位認定し

ない議論は o.k. 　私語は ×

携帯電話の電源を off にする飲食厳禁（特に飲料の持ち込み禁止）脱帽教室を出入りしないその他、常識的な事柄の遵守

ちょっと復習

授業日程 （補講日に注意）

第１週 (4/14) 　第２週（ 4/21 ）第３週（ 4/28 ）　第４週（ 5/12 ）第５週（ 5/19 ）　第６週（ 5/26 ）第７週 (6/ 2) 　中間試験（予定）6/ 9 全学学科対抗スポーツ大会のためお休み第９週 (6/16) 　 第 10 週 (6/23)

第 11 週 (6/30) 　第 12 週 (7/ 7)

第 13 週 (7/14) 　第 14 週 (7/21) 期末試験（予定）第 15 週 (7/28)

6/ 9 の補講は 5 月 15 日（土） 11:15~

ちょっと復習

　ディジタル信号 (analog to digital conversion: A/D 変換 )

概要 (summary)

1. 標本化 (sampling)

時間 or 空間軸方向の離散化2. 量子化 (quantization)

振幅軸方向の離散化3. 符号化 (encoding)

計算機で扱い可能な数値化

※ 「信号 (signal) 」とは時間を変数 (variable) とする関数 (function)

信号のサンプリング

アナログ信号

標本化間隔 (sampling interval)標本化周期 (sampling period)

tTime [sec]

Am

plitu

de [

v]

fs=1/t 標本化周波数 (sampling frequency)

例： fs=100 Hz 1⇒ 秒間に 100点の標本点

標本化された信号(sampled signal)

．．．

サンプリング時に重要なこと

0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

アナログ信号

t = 0.001sec

t = 0.03sec

Time [sec]

The peak disappeared!

異なる標本化周期による心電信号の標本化

サンプリング時に重要なこと

標本化周期 t 大きすぎる⇒ アナログ信号の特徴捉えきれない

標本化周期 t 小さすぎる⇒ データ量大→格納スペース大、データ処理時間大

標本化周期ははははははははははははは NG

どのように決めるか？⇒ 標本化定理

標本化定理 (The sampling theorem) developed by Shannon (and 染谷 ) in 1948 Claude Elwood Shannon

1916-2001

標本化定理 (The sampling theorem)

標本化するアナログ信号に含まれる最高 周波数を fh とすると、標本化周波数 fs

は：

fs ≧ 2 fh (t ≦ 1/2fh)

とすればよい。

この条件を満たすことにより、

標本化されたディジタル信号からもとのアナログ信号を完全に再現できる。すなわち、アナログ信号に含まれる如何なる情報も標本化時に失われない。

この条件を満たさないと⇒ エイリアシングが生じる

2 fhをナイキスト周波数という

第 2 章　信号の解析と表現

２．１　周期信号

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Time t [sec]

05

-5x(t)

周期関数の例 ( 周期 T = ２秒 )

T

f(t) = f(t+T) (2-1)

例題 2-1

次の信号の周期を求めなさい。 f(t)=sin(3/4)t (2-2)

2.1.2 信号の周波数

g(t) = Acos(ωt + φ) (2-5)

where ω[rad/s]：角周波数

A：振幅

φ[rad]：初期位相周波数 f [Hz] は　 f = ω/ 2π (2-6)

と表される。

式 (2-5) の周期を求め、周波数との関係を示せ

例題 2-2

次の信号の周波数と周期を求めよ f(t) = cos800πt

2.2 フーリエ級数展開

信号 ( 時間関数、または時系列 (time series) データ) に含まれる周波数成分を調べるには：

• 周期的信号 (periodic signal) の場合 ⇒ フーリエ級数展開

• 非周期的信号 (non-periodic signal) の場合 ⇒ フーリエ変換

が用いられる。

フーリエ級数展開 (Fourier series expansion)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

Time t [sec]

周期関数の例 ( 周期 T = ２秒 )

x(t)

,...3,2,1),()( nnTtxtx周期的信号

周期的信号は次式のように三角関数の線形和 (フーリエ級数 )で近似できる：

)}sin()cos({)(1

0 tnbtnaatxN

nnn

ここで、 a0は直流分 (定数 )、 an、 bnは係数。

T/2

an、 bnをうまく選べば、 N→∞とすることで右辺は左辺に収束する。

右辺： x(t)のフーリエ級数展開

an ( a0を含む ), bn の決め方

)}sin()cos({)(1

0 tnbtnaatxN

nnn

T

dtE0

2)( 右辺左辺

Eは近似の度合いを表す。∵ 各時刻 tで右辺が左辺に 等しければ E = 0.

∵Eは an, bn の関数ゆえ、左式の

偏微分 (傾き )が 0となる係数値でEは極小値をとる。

an

E

0

na

E

右辺を左辺とできるだけ似た形にする。

最小二乗法 (least square method)

評価関数 (object function)

0,...0,021

na

E

a

E

a

E

E を最小にする係数は次の連立方程式を an, bn について解くことにより求められる。

0,...0,021

nb

E

b

E

b

E

an ( a0を含む ), bn の決め方

T

n

T

n

T

dttntxT

b

dttntxT

a

dttxT

a

0

0

00

)sin()(2

)cos()(2

)(1

これを解くと：

Eq.(1)

　 Eq.(1) を数学的に導きなさい。

　

練習問題 【 2.2-1 】

フーリエ級数展開 の意味

周期的信号をその周期の倍調波 (harmonics) の三角関数(trigeminal function) に分解する。

例えば、周期 T (周波数 f=1/T[Hz])の周期的信号は周波数 f, 2 f, 3 f, …Hz の三角関数に分解される。

これにより、その周期関数に含まれる各周波数成分の大きさがわかる。

このとき、同じ周波数でも sinと cos成分があることに注意。

周期関数が偶関数→ cos成分のみ (sin成分は 0)

周期関数が奇関数→ sin成分のみ (cos成分は 0)

フーリエ級数展開 の例

x(t)

-10

0

10 周期 T=2sec

Time t [sec]

-10

0

10

-10

0

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-10

0

10

)sin(3 t

)2sin(4 t

)6cos(2 t

周波数 0.5Hz

周波数 1.0Hz

周波数 3.0Hz

0.5Hz sin成分 : 31.0Hz sin成分 : 43.0Hz cos成分 : 2その他の周波数成分 : 0

この結果を表示すると：0.5Hz sin成分 : 31.0Hz sin成分 : 43.0Hz cos成分 : 2その他の周波数成分 : 0

cos成分 sin 成分

1 2 3 4

周波数 [Hz]

1

2

3

4

振幅

これを , 周波数スペクトル (frequency spectrum) と呼ぶ。

1 2 3 4

周波数 [Hz]

1

2

3

4

振幅

フーリエ級数のいろいろな表現

２ πを周期とする周期関数 f(x)について

1

0 )sincos(2

)(n

nn nxbnxaa

xf

nxdxxfan cos)(

1

nxdxxfbn sin)(

1

２ Lを周期とする周期関数 f(x)について

1

0 )sincos(2

)(n

nn xL

nbx

L

na

axf

L

Ln xdxL

nxf

La

cos)(

1

L

Ln xdxL

nxf

Lb

sin)(

1

練習問題【 2.2-2 】

次のように定義されている関数 f(x) のフーリエ級数を求めなさい。

xxf 2

)(

)0( x

x2

)0( x

練習問題【 2.2-3 】

であって2)( xxf )10( x

)()1( xfxf とする。

)(xf のフーリエ級数をもとめなさい。

１ ２ ３０－１

のちほど MATLAB で作図してみよう。

２ Lを周期にもつ周期関数 f(x)について

1

0 sincos2

)(n

nn xL

nbx

L

na

axf

L

Ln xdxL

nxf

La

cos)(

1),2,1,0( n

L

Ln xdxL

nxf

Lb

sin)(

1),2,1( n

複素形式のフーリエ級数展開

)}sin()cos({)(1

0 tnbtnaatxN

nnn

tjn

nnectx

)(

2sin

2cos

j

eetn

eetn

tjntjn

tjntjn

,...2,1,2

,...2,1,

,...2,1,

00

njba

c

ac

nbb

naa

nnn

nn

nn

T tjn

n dtetxT

c0

)(1

フーリエ係数 (Fourier coefficient)

,...2,1,2

njba

c nnn

T tjn

n dtetxT

c0

)(1

T

n

T

n

T

dttntxT

b

dttntxT

a

dttxT

a

0

0

00

)sin()(2

)cos()(2

)(1

)}sin()cos({)(1

0 tnbtnaatxN

nnn

tjn

nnectx

)(

複素形式実数形式

00 ac

両者の関係

cnは複素数 (実数部が cos項、虚数部が sin項に対応 )

x(t) ⇒が偶関数 bn=0, x(t) ⇒が奇関数 an=0

|cn | ： 振幅スペクトル (amplitude spectrum)

： 位相スペクトル (phase spectrum)n

n

n

n

a

b

c

c 11 tan)Re(

)Im(tan

VS