解　答　例（河合塾グループ　株式会社KEIアドバンスが作成しました）

◎前期試験Ａ方式・B方式（平成30年1月31日実施）

数　　　　学

数学②＝工学部（90分・100点）

- 1 -

中部大 2018入試 数学解答例 1 月 31 日 数学②(37)

[Ⅰ] ⑴ (a) 6 の倍数は偶数であることは明らかである. 一方，2 は偶数であるが 6 の倍数

ではない.よって，

自然数 n が 6 で割り切れることは n が偶数であるための 2 …(ｱ)

(b) 2 は偶数であるが 8 の倍数ではない. 一方，8 の倍数は偶数であることは

明らかである.よって，

自然数 n が偶数であることは 8 で割り切れるための 1 …(ｲ)

(c) 2 でも 3 でも割り切れることは 6 の倍数であることと同値である.

したがって，

自然数 n が 2 でも 3 でも割り切れることは 6 で割り切れるための 4 …(ｳ)

(d) 6 は 2 でも 3 でも割り切れるが 8 の倍数ではない. また，8 は 8 の倍数だが

3 で割り切れない.

よって，

自然数 n が 2 でも 3 でも割り切れることは 8 で割り切れるための 3 …(ｴ)

⑵ y = x3－2x, y´ = 3x2－2 より，x = t の点における接線の方程式は

3 2( 2 ) (3 2)( )y t t t x t− − = − − より ( )2 33 2 2y t x t= − −

y = x2 +3x + a, y´ = 2x + 3 より，x = t の点における接線の方程式は 2( 3 ) (2 3)( )y t t a t x t− + + = + − より ( ) 22 3y t x t a= + − +

これら 2 直線が一致するから， 2 3 2 2 3 23 2 2 3, 2 3 2 5 0 , 2t t t t a t t a t t− = + − = − + ⇔ − − = = − +…① …②

①より

( 1)(3 5) 0 1,t t t+ − = ∴ = − 53

したがって，②より，a の値は

3a = または 1 7 5

2 7a = − …(ｵ),(ｶ),(ｷ),(ｸ),(ｹ),(ｺ)

⑶ △BCD の重心を G，BD の中点を M とおくと，

3 3AM= , MG2 6

= より 2 2

3 3 6AG2 6 3

= − =

- 1 -

中部大 2018入試 数学解答例 1 月 31 日 数学②(37)

[Ⅰ] ⑴ (a) 6 の倍数は偶数であることは明らかである. 一方，2 は偶数であるが 6 の倍数

ではない.よって，

自然数 n が 6 で割り切れることは n が偶数であるための 2 …(ｱ)

(b) 2 は偶数であるが 8 の倍数ではない. 一方，8 の倍数は偶数であることは

明らかである.よって，

自然数 n が偶数であることは 8 で割り切れるための 1 …(ｲ)

(c) 2 でも 3 でも割り切れることは 6 の倍数であることと同値である.

したがって，

自然数 n が 2 でも 3 でも割り切れることは 6 で割り切れるための 4 …(ｳ)

(d) 6 は 2 でも 3 でも割り切れるが 8 の倍数ではない. また，8 は 8 の倍数だが

3 で割り切れない.

よって，

自然数 n が 2 でも 3 でも割り切れることは 8 で割り切れるための 3 …(ｴ)

⑵ y = x3－2x, y´ = 3x2－2 より，x = t の点における接線の方程式は

3 2( 2 ) (3 2)( )y t t t x t− − = − − より ( )2 33 2 2y t x t= − −

y = x2 +3x + a, y´ = 2x + 3 より，x = t の点における接線の方程式は 2( 3 ) (2 3)( )y t t a t x t− + + = + − より ( ) 22 3y t x t a= + − +

これら 2 直線が一致するから， 2 3 2 2 3 23 2 2 3, 2 3 2 5 0 , 2t t t t a t t a t t− = + − = − + ⇔ − − = = − +…① …②

①より

( 1)(3 5) 0 1,t t t+ − = ∴ = − 53

したがって，②より，a の値は

3a = または 1 7 5

2 7a = − …(ｵ),(ｶ),(ｷ),(ｸ),(ｹ),(ｺ)

⑶ △BCD の重心を G，BD の中点を M とおくと，

3 3AM= , MG2 6

= より 2 2

3 3 6AG2 6 3

= − =

- 2 -

したがって，四面体 ABCD の体積を V とおくと， 1 1 3 6 23 2 2 3 12

V = ⋅ ⋅ ⋅ =

内接球 O1の半径を r1とおくと，

11 1 3 243 2 2 12

r⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∴ 16

12r =

よって

1

66 6O A3 12 4

= − = …(ｻ)，(ｼ)

線分 AG と内接球の交点を N とおくと

6 6 6 1AN 2 AG

3 12 6 2= − ⋅ = =

よって，内接球 O2の半径を r2とおくと

2

61 62 12 2 4

r = ⋅ = …(ｽ)，(ｾ)，(ｿ)

⑷ logx = t とおくと

1 dtx dx= より dx dt

x=

求める定積分を I とおくと

[ ]33

2 2

3log log

2dtI tt

= = =∫ …(ﾀ)，(ﾁ)

[Ⅱ]

⑴ ( ) ( ) 0f fβ = γ = であるから，

( ) ( )( )f x a x x= −β − γ （a は 0 でない実数）

とおける. さらに， ( ) 1f α = であるから，

( )1 ( )a= α −β α − γ より ( )

1( )α −β α − γ

したがって，

( ) ( )( )( )( )x x

f x−β − γ

=α −β α − γ

⑵ ⑴と同様にして，

- 3 -

( )( )( )x x

x

g , ( )( )( )x x

h x

⑶ k (x)を

( ) ( ) ( ) ( )k x Af x B x Ch x g

とおくと，k (x)は 2 次以下の整式であり，⑴，⑵の条件から

( ) , ( ) , ( )k A k B C k

が成り立つ.

[Ⅲ]

⑴ 2 2

1 1OP ' OP OP' OPOP OP

より

1OP '

OP

⑵ ⑴より

2

2

1OP OP OP' OP'OP'

であるから

2 2

1( , ) ( , )x y X YX Y

よって，

2 2 2 2,X Yx yX Y X Y

⑶ ax + by =1 のとき

2 2 2 2 1aX bYX Y X Y

整理して

2 2 0X Y aX bY より

2 2 2 2

2 2 4a b a bX Y

xy ≠0 より XY≠0 であるから，点'P の軌跡は

点 ,2 2a b

を中心とする半径2 2

2a b

の円

である. ただし，点(0, 0), 点(a, 0), 点(0, b)は除く.

- 3 -

( )( )( )x x

x

g , ( )( )( )x x

h x

⑶ k (x)を

( ) ( ) ( ) ( )k x Af x B x Ch x g

とおくと，k (x)は 2 次以下の整式であり，⑴，⑵の条件から

( ) , ( ) , ( )k A k B C k

が成り立つ.

[Ⅲ]

⑴ 2 2

1 1OP ' OP OP' OPOP OP

より

1OP '

OP

⑵ ⑴より

2

2

1OP OP OP' OP'OP'

であるから

2 2

1( , ) ( , )x y X YX Y

よって，

2 2 2 2,X Yx yX Y X Y

⑶ ax + by =1 のとき

2 2 2 2 1aX bYX Y X Y

整理して

2 2 0X Y aX bY より

2 2 2 2

2 2 4a b a bX Y

xy ≠0 より XY≠0 であるから，点'P の軌跡は

点 ,2 2a b

を中心とする半径2 2

2a b

の円

である. ただし，点(0, 0), 点(a, 0), 点(0, b)は除く.

- 4 -

[Ⅳ]

⑴ 2z ， 3z について

3 23 1 3 12 2

z z i+ −− = +

であるから，

2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 22 2 2 2

l i i l + − + −

= + − = =

より

⑵ 1 2 3, ,z z z について

1 2

3 2

3 1 ( 3 1)23 1 ( 3 1)

z z iz z i− − + +

= ⋅− + + −

{ }{ }2 2

3 1 ( 3 1) 3 1 ( 3 1)2

( 3 1) ( 3 1)

i i− + + + − −= ⋅

+ + −

1 322 2

i

= +

2 cos sin3 3

iπ π = +

よって，

1 1tan 3, , 23

kθ θ π= = =

⑶ ⑵より

△ABC 1 32 2 2 32 2

= ⋅ ⋅ ⋅ =

⑷ 4 2 1( 1)z z a a− = − > 　であるから，

2

3 13 12tan 2 3

3 1 3 12

θ

−−

= = = −+ +

このとき，

2 2

2(2 3) 2 3 1tan 21 (2 3) 2 3 3 3

θ − −= = =

− − −

となり，

2 226 12

θ θπ π= ∴ =

- 4 -

[Ⅳ]

⑴ 2z ， 3z について

3 23 1 3 12 2

z z i+ −− = +

であるから，

2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 22 2 2 2

l i i l + − + −

= + − = =

より

⑵ 1 2 3, ,z z z について

1 2

3 2

3 1 ( 3 1)23 1 ( 3 1)

z z iz z i− − + +

= ⋅− + + −

{ }{ }2 2

3 1 ( 3 1) 3 1 ( 3 1)2

( 3 1) ( 3 1)

i i− + + + − −= ⋅

+ + −

1 322 2

i

= +

2 cos sin3 3

iπ π = +

よって，

1 1tan 3, , 23

kθ θ π= = =

⑶ ⑵より

△ABC 1 32 2 2 32 2

= ⋅ ⋅ ⋅ =

⑷ 4 2 1( 1)z z a a− = − > 　であるから，

2

3 13 12tan 2 3

3 1 3 12

θ

−−

= = = −+ +

このとき，

2 2

2(2 3) 2 3 1tan 21 (2 3) 2 3 3 3

θ − −= = =

− − −

となり，

2 226 12

θ θπ π= ∴ =

数学①＝経営情報学部（90分・100点）中部大学解答例 2018.01.31（38数学）

Ⅰ

(1) 2 2

2 61 (1 2) 3 1 2 3 2 2 6 14 2 41 2 3 (1 2) ( 3) 2 2

−+ − + − + −= = = = +

+ + + −

… (ｱ)，(ｲ)，(ｳ) (2) 最大公約数が 6 であるから 6 , 6a a b b′ ′= = （ ,a b′ ′ は互いに素な正の整数で a b′ ′< ）

とおけて，最小公倍数が 144 であるから， 6 144a b′ ′ = より 24a b′ ′ = である．

よって ( , ) (1, 24), (3, 8)a b′ ′ = であるから，

( , )a b の組は 2 組 … (ｴ)

ある．その積は

6 144 8 6 4ab = × = … (ｵ)，(ｶ)，(ｷ)

(3) y を消去した x の 2 次方程式 22 1 0x mx m+ − + = が正の重解をもつので，

判別式を D とすると

2 8( 1) 0D m m= − − + = かつ 04mx = − >

よって， 2 6 4m = − − … (ｸ)，(ｹ)，(ｺ)，(ｻ)

(4) ABC : APQ AB AC : AP AQ∆ ∆ = ⋅ ⋅ であるから， 2 :1 6 7 : AP AQ= ⋅ ⋅

よって， AP AQ 2 1⋅ = … (ｼ)，(ｽ)

三角形 ABC に余弦定理を用いると2 2 27 6 8 1cos

2 7 6 4A + −= =

⋅ ⋅であるから，

三角形 APQ に余弦定理を用いると

2 2 2 2 2 21PQ AP +AQ 2AP AQcos AP +AQ2

A= − ⋅ = −

となる．よって 2 2 221 63PQ (AP AQ) 2AP AQ (AP AQ)2 2

= − + ⋅ − = − + と変形できる．

したがって 2 63PQ2

≥ であり，等号は AP AQ 21= = のとき成り立つので，

線分 PQ の長さの最小値は

3 1 463

2 2= … (ｾ)，(ｿ)，(ﾀ)，(ﾁ)

(5) x 本買うとどちらの店でも同じ値段になるとすると， 95 100 10 90( 10)x x= × + − より

2 0x = … (ﾂ)，(ﾃ)

y 本買うと B 店の方が 100 円安くなるとすると， 95 100 100 10 90( 10)y y− = × + − より

4 0y = … (ﾄ)，(ﾅ)

中部大学解答例 2018.01.31（38数学）

Ⅰ

(1) 2 2

2 61 (1 2) 3 1 2 3 2 2 6 14 2 41 2 3 (1 2) ( 3) 2 2

−+ − + − + −= = = = +

+ + + −

… (ｱ)，(ｲ)，(ｳ) (2) 最大公約数が 6 であるから 6 , 6a a b b′ ′= = （ ,a b′ ′ は互いに素な正の整数で a b′ ′< ）

とおけて，最小公倍数が 144 であるから， 6 144a b′ ′ = より 24a b′ ′ = である．

よって ( , ) (1, 24), (3, 8)a b′ ′ = であるから，

( , )a b の組は 2 組 … (ｴ)

ある．その積は

6 144 8 6 4ab = × = … (ｵ)，(ｶ)，(ｷ)

(3) y を消去した x の 2 次方程式 22 1 0x mx m+ − + = が正の重解をもつので，

判別式を D とすると

2 8( 1) 0D m m= − − + = かつ 04mx = − >

よって， 2 6 4m = − − … (ｸ)，(ｹ)，(ｺ)，(ｻ)

(4) ABC : APQ AB AC : AP AQ∆ ∆ = ⋅ ⋅ であるから， 2 :1 6 7 : AP AQ= ⋅ ⋅

よって， AP AQ 2 1⋅ = … (ｼ)，(ｽ)

三角形 ABC に余弦定理を用いると2 2 27 6 8 1cos

2 7 6 4A + −= =

⋅ ⋅であるから，

三角形 APQ に余弦定理を用いると

2 2 2 2 2 21PQ AP +AQ 2AP AQcos AP +AQ2

A= − ⋅ = −

となる．よって 2 2 221 63PQ (AP AQ) 2AP AQ (AP AQ)2 2

= − + ⋅ − = − + と変形できる．

したがって 2 63PQ2

≥ であり，等号は AP AQ 21= = のとき成り立つので，

線分 PQ の長さの最小値は

3 1 463

2 2= … (ｾ)，(ｿ)，(ﾀ)，(ﾁ)

(5) x 本買うとどちらの店でも同じ値段になるとすると， 95 100 10 90( 10)x x= × + − より

2 0x = … (ﾂ)，(ﾃ)

y 本買うと B 店の方が 100 円安くなるとすると， 95 100 100 10 90( 10)y y− = × + − より

4 0y = … (ﾄ)，(ﾅ)

Ⅱ

(1) ( ) ( )1 1 3 72 1.752 2 2 4

Aaa

+ = + = =

(2) ( ) 21 1 ( )2 2

Aa A a Aa a

+ − = − であるから，

{ ( ) } { }2 2

22 2 22 2

1 ( ) ( )( ) 4 ( ) ( )(3 )2 4 4

A a A a Aa A a A a a A a A a Aa a a

− −− − + − = − − = + −

である．3A a< より 0, 3 0a a A> − > であるから { ( ) }22 1( ) 0

2Aa A a Aa

− − + − ≥ となり，

{ ( ) }22 1( )2

Aa A a Aa

− ≥ + − である．よって ( )12

Aa A a Aa

− ≥ + − となり，

( )12

Aaa

+ は a よりも A に近いか，または等しい．

(2) 別解

21 1, ( )

2 2AP a A q a A a Aa a

= − = + − = −

とおく.

（ⅰ） A a= のとき，P = q = 0

（ⅱ） A a≠ のとき， 2

q a AP a

−=

0 33A a A a< < <より であるから， 2a a A a− < − < となり

2a A a− < である. よって 1q q PP> ⇔ > である.

（ⅰ）（ⅱ）より， ( )12

Aaa

+ は a よりも A に近いか，または等しい．

Ⅱ

(1) ( ) ( )1 1 3 72 1.752 2 2 4

Aaa

+ = + = =

(2) ( ) 21 1 ( )2 2

Aa A a Aa a

+ − = − であるから，

{ ( ) } { }2 2

22 2 22 2

1 ( ) ( )( ) 4 ( ) ( )(3 )2 4 4

A a A a Aa A a A a a A a A a Aa a a

− −− − + − = − − = + −

である．3A a< より 0, 3 0a a A> − > であるから { ( ) }22 1( ) 0

2Aa A a Aa

− − + − ≥ となり，

{ ( ) }22 1( )2

Aa A a Aa

− ≥ + − である．よって ( )12

Aa A a Aa

− ≥ + − となり，

( )12

Aaa

+ は a よりも A に近いか，または等しい．

(2) 別解

21 1, ( )

2 2AP a A q a A a Aa a

= − = + − = −

とおく.

（ⅰ） A a= のとき，P = q = 0

（ⅱ） A a≠ のとき， 2

q a AP a

−=

0 33A a A a< < <より であるから， 2a a A a− < − < となり

2a A a− < である. よって 1q q PP> ⇔ > である.

（ⅰ）（ⅱ）より， ( )12

Aaa

+ は a よりも A に近いか，または等しい．

Ⅲ

(1) 余弦定理より2 2 213 15 4 63cos2 13 15 65

A + −= =

⋅ ⋅ であるから，

( )263 16sin 165 65

A = − = である．

よって

1 1613 15 242 65

S = ⋅ ⋅ ⋅ =

である．また，1 (13 15 4)2

r S+ + = より

32

r =

である．

(2) 辺 AC の延長および辺 BC と円 O との接点をそれぞれ E，F とすると，

BD CE BF CF BC 4+ = + = = よりCE 4 BD= − である．

また， AD AE= より15 BD 13 (4 BD)+ = + − であるから， BD 1= である．よって

AD 15 1 16= + = である．

(3) OAB OAC OBC ABC∆ + ∆ −∆ = ∆ であるから，1 1 115 13 4 242 2 2

R R R⋅ + ⋅ − ⋅ = である．

よって 2R = である．

E

A

B C D

F

O

O’

数学①＝応用生物・生命健康科・現代教育学部（90分・100点）中部大学解答例 2018.01.31（39数学）

Ⅰ

(1) 224 2 143 ( 13 11 ) 13 11+ = + = + であるから，

1 3 1 11 1

213 1124 2 143

−= =

++

… (ｱ)，(ｲ)，(ｳ)，(ｴ)，(ｵ)

(2) 1 3 1 3 11

2 23 1+ −

= = +−

，3 10 12−

< < であるから，3 11,2

a b −= = である．よって

(2 2( 2 ) 1 3 1) 3a b+ = + − = … (ｶ)

(3) AC=2, BC= 3, ACB 30∠ = °であるから， AC=CD， CAD CDA∠ = ∠ となる．これと

CAD CDA ACB∠ +∠ = ∠ より，

1CAD ACB 1 52

°∠ = ∠ = … (ｷ)，(ｸ)

また， 2 2 2AD AB BD= + であるから，

2 2AD 1 ( 3 2) 8 4 3 2(4 2 3 ) 2 ( 1 3 )= + + = + = + = + … (ｹ)，(ｺ)，(ｻ)

(4) 2 22 12 20 2( 3) 2y x x x= − + = − + のグラフは点 (3, 2) を頂点とする下に凸の放物線である．

原点に関する対称移動， y 軸方向に 3 だけ平行移動， x 軸に関する対称移動， x 軸方向

に 2 だけ平行移動を行うと，頂点は (3, 2) ( 3, 2) ( 3, 1) ( 3, 1) ( 1, 1)→ − − → − → − − → − − と移動

し，凹凸は 下に凸→ 上に凸 → 上に凸 → 下に凸 → 下に凸 と変化する．よって移

動後のグラフは点 ( 1, 1)− − を頂点とする下に凸の放物線 2 22( 1) 1 2 4 1 y x x x= + − = + + … (ｼ)，(ｽ)

(5) 21 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 3 6 3P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = + − = … (ｾ)，(ｿ)

51( ) ( ) 1 ( ) 1

6 6P A B P A B P A B∪ = ∩ = − ∩ = − = … (ﾀ)，(ﾁ)

11 1( ) ( ) ( )

3 6 6P A B P B P A B∩ = − ∩ = − = … (ﾂ)，(ﾃ)

Ⅱ

(1) BFC FAB FBA 2 FAB∠ = ∠ +∠ = ∠ である．

正五角形の外接円の中心を O とすると，

1 1 360FAB BOC= 362 2 5

°∠ = ∠ ⋅ = °

であるから，

A

B E

O

C

F

D

中部大学解答例 2018.01.31（39数学）

Ⅰ

(1) 224 2 143 ( 13 11 ) 13 11+ = + = + であるから，

1 3 1 11 1

213 1124 2 143

−= =

++

… (ｱ)，(ｲ)，(ｳ)，(ｴ)，(ｵ)

(2) 1 3 1 3 11

2 23 1+ −

= = +−

，3 10 12−

< < であるから，3 11,2

a b −= = である．よって

(2 2( 2 ) 1 3 1) 3a b+ = + − = … (ｶ)

(3) AC=2, BC= 3, ACB 30∠ = °であるから， AC=CD， CAD CDA∠ = ∠ となる．これと

CAD CDA ACB∠ +∠ = ∠ より，

1CAD ACB 1 52

°∠ = ∠ = … (ｷ)，(ｸ)

また， 2 2 2AD AB BD= + であるから，

2 2AD 1 ( 3 2) 8 4 3 2(4 2 3 ) 2 ( 1 3 )= + + = + = + = + … (ｹ)，(ｺ)，(ｻ)

(4) 2 22 12 20 2( 3) 2y x x x= − + = − + のグラフは点 (3, 2) を頂点とする下に凸の放物線である．

原点に関する対称移動， y 軸方向に 3 だけ平行移動， x 軸に関する対称移動， x 軸方向

に 2 だけ平行移動を行うと，頂点は (3, 2) ( 3, 2) ( 3, 1) ( 3, 1) ( 1, 1)→ − − → − → − − → − − と移動

し，凹凸は 下に凸→ 上に凸 → 上に凸 → 下に凸 → 下に凸 と変化する．よって移

動後のグラフは点 ( 1, 1)− − を頂点とする下に凸の放物線 2 22( 1) 1 2 4 1 y x x x= + − = + + … (ｼ)，(ｽ)

(5) 21 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 3 6 3P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = + − = … (ｾ)，(ｿ)

51( ) ( ) 1 ( ) 1

6 6P A B P A B P A B∪ = ∩ = − ∩ = − = … (ﾀ)，(ﾁ)

11 1( ) ( ) ( )

3 6 6P A B P B P A B∩ = − ∩ = − = … (ﾂ)，(ﾃ)

Ⅱ

(1) BFC FAB FBA 2 FAB∠ = ∠ +∠ = ∠ である．

正五角形の外接円の中心を O とすると，

1 1 360FAB BOC= 362 2 5

°∠ = ∠ ⋅ = °

であるから，

A

B E

O

C

F

D

BFC 72∠ = °である．

(2) ∠ACB＝36°，∠BFC＝72°より∠CBF＝72°であるから，

CF＝CB＝1 である.

また，2 つの三角形 FBA と BCA はともに底角の大きさが 36°の二等辺三角形であるか

ら相似である.

よって AB : AC AF : AB= より 2AB AC AF= ⋅ である．

AB 1, AF AC CF AC 1= = − = − を用いると1 AC(AC 1)= − となり， 2AC AC 1 0− − = である．

AC 0> であるから

1 5AC2+

=

である．

Ⅲ

(1) n を 5 で割ったときの商を k，余りを r（ 0 4r≤ ≤ ）とおくと， 5n k r= + と表せて 2 2 25(5 2 )n k kr r= + + となる． 2n が 5 の倍数ならば 2r は 5 の倍数であるが， 0, 1, 2, 3, 4r = のうち 2r が 5 の倍数になるも

のは 0r = だけである．

よって 2n が 5 の倍数ならば n は 5 の倍数である．

(2) 5 が有理数であると仮定する．

仮定により 5 qp

= （p, q は互いに素な整数）とおけて， 2 25p q= が成り立つ．

2q は 5 の倍数であるから，(1)より q は 5 の倍数である．よって 5q m= （m は整数）と

おけて， 2 25 (5 )p m=

より 2 25p m= となり，pは 5 の倍数である．

p, q がともに 5 の倍数となり，互いに素であることに反する．

したがって 5 は無理数である．

BFC 72∠ = °である．

(2) ∠ACB＝36°，∠BFC＝72°より∠CBF＝72°であるから，

CF＝CB＝1 である.

また，2 つの三角形 FBA と BCA はともに底角の大きさが 36°の二等辺三角形であるか

ら相似である.

よって AB : AC AF : AB= より 2AB AC AF= ⋅ である．

AB 1, AF AC CF AC 1= = − = − を用いると1 AC(AC 1)= − となり， 2AC AC 1 0− − = である．

AC 0> であるから

1 5AC2+

=

である．

Ⅲ

(1) n を 5 で割ったときの商を k，余りを r（ 0 4r≤ ≤ ）とおくと， 5n k r= + と表せて 2 2 25(5 2 )n k kr r= + + となる． 2n が 5 の倍数ならば 2r は 5 の倍数であるが， 0, 1, 2, 3, 4r = のうち 2r が 5 の倍数になるも

のは 0r = だけである．

よって 2n が 5 の倍数ならば n は 5 の倍数である．

(2) 5 が有理数であると仮定する．

仮定により 5 qp

= （p, q は互いに素な整数）とおけて， 2 25p q= が成り立つ．

2q は 5 の倍数であるから，(1)より q は 5 の倍数である．よって 5q m= （m は整数）と

おけて， 2 25 (5 )p m=

より 2 25p m= となり，pは 5 の倍数である．

p, q がともに 5 の倍数となり，互いに素であることに反する．

したがって 5 は無理数である．

英　　　　語

工・経営情報・国際関係・人文・応用生物・生命健康科・現代教育学部 （60分・100点〈英語英米文化学科は150点〉）

〔１〕 1 ウ 2 ウ 3 イ 4 イ 5 イ

6 ア 7 ウ 8 ア 9 イ 10 エ

〔２〕 11 ア 12 エ 13 ア 14 エ 15 ウ

16 イ 17 イ 18 エ 19 ウ 20 ア

〔３〕 21 ウ 22 ク 23 オ 24 カ 25 イ

26 キ 27 ア 28 オ 29 ウ 30 イ

〔４〕 31 エ 32 ア 33 イ 34 ア 35 ウ

〔５〕 36 オ 37 エ 38 ウ 39 エ 40 ア

理科（物理，化学，生物）

物理②＝工学部（60分・100点）

Ⅰ 1 エ 2 イ 3 ウ 4 ウ 5 ア

6 ウ 7 ア 8 ウ 9 ウ 10 ア

11 ウ

Ⅱ 12 ア 13 イ 14 エ 15 イ 16 エ

17 イ 18 ア 19 ア 20 イ

Ⅲ 21 オ 22 イ 23 エ 24 イ 25 イ

26 ア 27 エ 28 オ 29 ア 30 ウ

物理①＝生命健康科・現代教育学部（60分・100点）

Ⅰ 1 イ 2 エ 3 カ 4 イ 5 イ

6 エ 7 カ 8 カ 9 ウ 10 ア

Ⅱ 11 ウ 12 ア 13 イ 14 イ 15 ウ

16 ア 17 エ 18 ウ 19 イ 20 ア

21 ア 22 エ

Ⅲ 23 オ 24 イ 25 エ 26 イ 27 イ

28 ア 29 エ 30 オ 31 ア 32 ウ

化学②＝工学部（60分・100点）

Ⅰ 1 ア 2 ア 3 オ 4 ウ 5 エ

6 キ 7 ア 8 ア 9 オ

Ⅱ 10 オ 11 オ 12 ア 13 ウ 14 ア

15 イ 16 エ

Ⅲ 17 イ 18 オ 19 ウ 20 ア 21 ウ

22 ウ 23 ア 24 カ

Ⅳ 25 エ 26 イ 27 エ 28 ウ 29 イ

30 ア 31 オ 32 オ

化学①＝応用生物・生命健康科・現代教育学部（60分・100点）

Ⅰ 1 ア 2 ア 3 オ 4 ウ 5 エ

6 キ 7 ア 8 ア 9 オ

Ⅱ 10 オ 11 オ 12 ア 13 ウ 14 ア

15 イ 16 エ

Ⅲ 17 イ 18 エ 19 エ 20 エ 21 カ

22 イ 23 イ 24 カ 25 イ 26 エ

27 ウ 28 オ 29 イ 30 ウ 31 エ

32 オ

生物①＝応用生物・生命健康科・現代教育学部（60分・100点）

Ⅰ 1 イ 2 ア 3 オ 4 エ 5 オ

6 コ 7 カ 8 エ

Ⅱ 9 エ 10 エ 11 エ 12 ア 13 イ

14 カ 15 キ 16 イ

Ⅲ 17 コ 18 エ 19 エ 20 コ 21 エ

22 コ 23 コ 24 カ

Ⅳ 25 ア 26 イ 27 イ 28 エ 29 ウ

30 ウ 31 オ

Ⅴ 32 エ 33 エ 34 ウ 35 オ 36 ア

37 イ 38 エ

国　　　　語

経営情報・国際関係・人文・応用生物・生命健康科・現代教育学部 （60分・100点）

（一） 1 ウ 2 イ 3 エ 4 イ 5 ウ

6 オ 7 エ 8 オ 9 イ 10 エ

11 ア 12 ウ 13 オ 14 イ 15 ウ

16 オ

（二） 17 ア 18 カ 19 ウ 20 カ 21 ウ

22 イ 23 ア 24 オ 25 ウ 26 オ

27 オ 28 ウ 29 オ 30 エ 31 ア

32 オ 33 ウ

（三） a 点 b 客 c 子供　甲虫

d むぞうさ e くもの糸（蜘蛛の糸）

f 鍛練（錬）

社会（世界史，日本史，地理，政治･経済）

世界史＝経営情報・国際関係・人文・現代教育学部（60分・100点）

〔Ⅰ〕 1 イ 2 ア 3 ウ 4 ウ 5 エ

6 イ 7 ウ 8 ア 9 エ

〔Ⅱ〕 10 ウ 11 ア 12 ア 13 イ 14 イ

15 ウ 16 ア 17 オ

〔Ⅲ〕 18 イ 19 イ 20 エ 21 イ 22 エ

23 ア 24 ア 25 ア

〔Ⅳ〕 26 ウ 27 イ 28 ア 29 イ 30 ア

31 エ 32 ウ 33 イ

日本史＝経営情報・国際関係・人文・現代教育学部（60分・100点）

〔Ⅰ〕 1 ウ 2 イ 3 イ 4 イ 5 ア

6 エ 7 イ 8 ウ

〔Ⅱ〕 9 エ 10 ウ 11 ア 12 イ 13 エ

14 イ 15 ウ 16 エ

〔Ⅲ〕 17 ウ 18 ア 19 ア 20 ウ 21 ウ

22 イ 23 ア 24 ア

〔Ⅳ〕 25 ウ 26 エ 27 ウ 28 イ 29 ア

30 エ 31 エ 32 エ

〔Ⅴ〕 33 ウ 34 ウ 35 エ 36 イ 37 エ

38 イ 39 ア 40 ウ

地理＝経営情報・国際関係・人文・現代教育学部（60分・100点）

〔Ⅰ〕 1 イ 2 ア 3 エ 4 イ 5 ア

6 イ 7 ア 8 イ 9 ウ 10 ア

11 ウ 12 イ 13 イ 14 エ 15 ウ

〔Ⅱ〕 16 イ 17 エ 18 ウ 19 ア 20 エ

21 イ 22 ウ 23 エ 24 イ 25 ウ

〔Ⅲ〕 26 ウ 27 イ 28 イ 29 ウ 30 エ

31 イ 32 ウ 33 イ 34 ウ 35 ア

〔Ⅳ〕 36 イ 37 ア 38 ウ 39 ウ 40 エ

41 イ 42 ア 43 ア 44 エ 45 イ

政治・経済＝経営情報・国際関係・人文・現代教育学部（60分・100点）

〔Ⅰ〕 1 ウ 2 エ 3 ア 4 ウ 5 イ

6 ア 7 エ 8 イ 9 イ 10 ウ

11 ア 12 ウ

〔Ⅱ〕 13 イ 14 エ 15 イ 16 ウ 17 エ

18 ア 19 ウ 20 ア 21 エ 22 ア

23 ア 24 イ 25 エ

〔Ⅲ〕 26 エ 27 イ 28 エ 29 ア 30 イ

31 イ 32 ウ 33 ウ 34 ウ 35 ウ

36 エ 37 ア 38 エ

〔Ⅳ〕 39 ウ 40 エ 41 ア 42 イ 43 ア

44 エ 45 ア 46 エ 47 イ 48 イ

49 エ 50 ウ