Eigenvaluesمعادالت القيم المميزة Equations

تستلزم المعادلة الرياضية أو التعبير الرياضي الكامل مؤثرا6 رياضيا6 للداللة على نوع العمليات المراد إجرائها

يتبعه دالة رياضية إلجراء هذه العملية عليها. وهذان الحدان يعتبران الحد األيسر المعطى في

المعادلة الرياضية أما الطرف األيمن فهو نتيجة هذهالعملية.

أثر على الرقمتعني أن المؤثر فمثًال6 ... المعادلة .3 بأخذ الجدر التربيعي له، وكانت النتيجة هي 9

وبالمثل في المعادلة

أماوالدالة فالطرف األيمن يحتوى على المؤثر الطرف األيمن فهو نتيجة العملية الرياضية.

وهناك نوع معين من المعادالت الرياضية المعروفة Eigenvalueمعادالت القيم المميزة باسم

Equations حيث( eigenwertتعني مميز أو خاص باأللمانية(، والشكل العام لهذا النوع من المعادالت

هو:

دالة رياضية في المتغيرهو مؤثر رياضي، و حيث x.

"، فيEigenvalue"القيمة المميزة ويdطلق على في هذه الحالة اسم "الدالةحين يdطلق على الدالة

." للمؤثر Eigenfunctionالمميزة

وهذا النوع من المعادالت يلعب دورا6 رئيسيا6 في ميكانيكا الكم، وفي الحقيقة فإن العبء الرياضي

األساسي في تطبيق نظرية الكم هي في حل هذهالمعادالت.

ومن أشهر معادالت القيم المميزة في ميكانيكا الكم ... معادلة شرودينجر الغير معتمدة على الزمن

والتي لها الصورة التالية:

على الدوال المميزة وفيها يؤثر الهاميلتونيان والتي هي دوال موجية.

تمثل حاالت الطاقةوالقيم المميزة للهاميلتونيان المختلفة للنظام، وبمعنى آخر، قيم الطاقة المسموح

بها للنظام هي عبارة عن القيم المميزةللهاميلتونيان.

... الجبر الخطيأما في

لكل خاصية طبيعية، مثل الطاقة أو كمية الحركة، يوجد ، والقيمmatrix بمصفوفةمؤثر والذي يمكن تمثيله

المميزة لهذه المصفوفة هي القيم المتاحة عند قياسهذه الظاهرة.

وفي هذه الحالة تصبح معادلة القيمة المميزة علىالصورة:

بالمتجه المميزوهنا ... تسمى الدالة المميزة eigenvector:للمؤثر، حيث

.eigenstateتسمى بالحالة المميزة و

1.

Operatorsالمؤثرات

المؤثر هو رمز رياضي يدل على عملية رياضية معينة هذا المؤثر. فمثًال6 فييجب إجرائها على كل ما يلي

هي المؤثر الرياضي الذيفإن عًالمة الجذر التعبير .2يدل على عملية أخذ الجذر التربيعي للرقم

هوفإن وبالمثل في التعبير الرياضي المؤثر الرياضي الذي يدل على عملية التفاضل

على كل ما يليه وهو المقدارxبالنسبة للمتغير .

وعليه فإن المؤثر الرياضي ليست له قيمة معينة في حد ذاته، ويتم تمييزه بوضع عًالمة ^ )قبعة( فوق الرمز

الحرف الذي يدل عليه.

ويجب الحذر عند استخدام المؤثرات الرياضية حيث أنهاتتبع قواعد خاصة. فإذا كان

فإن:

إن عملية تبديل المؤثرات الرياضية في غاية األهمية إذ معCommutationال تتمتع بالضرورة بخاصية التبديل

بعضها البعض بعكس األرقام مثًال6، وبالنسبة للمؤثرانالسابقان فإن:

حيث:

وهذه حالة خاصة وليست عامة.والكمية:

ويرمز للمؤثرات Commutatorتسمى "المتبادل" لها بالرمز

حيث:

يتبادالن مع بعضهما البعض فإنوإذا كان

Realومن الممكن أن تكون المؤثرات الرياضية حقيقة (.i )تحتوي على العدد التخيلي Complexأو مركبة

إذا حقق العًالقة التالية:linearخطيا6 ويسمى المؤثر

أو:

مقدار ثابت.aحيث

وعليه فإن المؤثرات التفاضلية والتكامل مؤثرات خطية، أما التربيع والجذر التربيعي، وعموما6، األسس

غير خطية.

كما أنه من الممكن أن تكون المؤثرات متجهة، ومثال، حيث:Delذلك المؤثر