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作品名稱：中學數學歸納法之引論方向

摘要

歸納法是由原因引出結果之論述。即是從已知條件切入，觀察經過

一些推理，還可以得到一些結論，簡稱“可知”。我們相信任何複雜的

事件或事理都是由一些基本的因素所組成的，則理所當然地就會衍生出

各種歸納分析的論點研究方法。首先是分別利用正向性、逆向性及雙向

性的歸納來分析論點找出基本因素，隨後再運用綜合論點由基本因素來

組合成複雜的事件或事理。 從而達到對事件或事理結構上之透徹與了

解， 並且引伸出「以簡馭繁」的要領。本文我們試圖闡明數學歸納分

析法在數學與科學中所扮演的角色。因此，各種歸納法的演繹推理要有

正確的引論，這即是所謂的綜合型引論性思維。

壹、研究動機及目的：

歸納法是我們日常生活中，分析現象時常用的推理方式，它的本意

是從已有的但不一定完全的資料整理出通用的規則，這種整理出來的通

則正確與否全靠觀察和推測的功夫。數學歸納法(Mathematical Induction)

雖然是一個強有力的證明工具，在使用上稍一不慎，卻很容易讓證明有

瑕疵，或導出錯誤甚至荒謬的結論。對於一個中學程度的學生在抽象能

力沒有充分的發展以前，要他們去理解皮亞諾公理的數學歸納法原理實

在很困難，更談不上利用它來證明數學題目。如此可說是強迫學生去接

受的一種教學過程，而站在教師立場其理論是洋洋大觀，可是以學生為

中心的教學活動就需要在他們的心智範圍給於適當的材料。歸納法是我

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們日常生活中分析現象時常用的推理，它的本意是說從已有的不完全資

料整理出通用的規則，而正確與否全靠觀察與推測的能力。數學歸納法

的教材內容其目的在培養學生觀察、推測、歸納的能力。

貳、研究設計：

一、正向性歸納聯想：這種想法是將所學的數學之間建立聯繫而形成一

個知識鏈，例如：當遇到某題中題設條件就能聯想到與之相關的

知識。

二、正向性歸納目標：從命題條件根據探求的結論為目標的演繹推理過

程。以方向性的導引培養建立有效的指標意識。

三、正向性歸納類比：將所學習的新知識與舊知識進行相似的類比，可

明確地找出其規律性。

四、逆向性歸納分析：是針對先有結論而反求其原因的一種反向歸納分

析過程。

五、雙向性歸納分析：同時運用正向性及反向性的歸納分析過程。

參、研究過程或方式：

一、正向性歸納聯想的方法：

在ΔABC三邊有分別有X,Y,Z三邊長， 2 2 2X Y Z YZ 0− − − = ，求 A∠

的角度。由 2 2 2X Y Z YZ 0− − − = 聯想到餘弦定理。

（一） 在ΔABC中，若 ，則ΔABC形狀如何？

若 ，試證ΔABC是等腰三角形。若 2 2 2sin A sin B sin C+ = 且

sinC 2sinA sinB= ⋅ ，求證ΔABC是等腰直角三角形。

若 ，求證ΔABC是等邊三角形。

sinC cosA

sinA cosC=

sinBcosA

2sinC=

sinA sinB sinC

X Y Z= =

3

（二） 已知ΔABC，求證 ( )2 2 2X Y Z 2 XY YZ XZ 0+ + − + + = 及

( ) ( ) ( )X Y cosC Y Z cosA X Z cosB X Y Z+ + + + + = + + 。(一)(二)兩題中

含有正弦與餘弦函數，則應該聯想到正弦與餘弦定理代入整理即可證

明。

若方程式 2ax 2bx c 0− + = 。a ,b ,c為鈍角三角形三邊長，b為最

大邊。證明：方程式有兩個不相等的實數根。我們可以由結論聯想到證

明： 0Δ > 。即是 ( )2

2

2b 4ac 2b 4acΔ = − − = − ，由 a ,b ,c 為三角形之

三 邊 長 且 存 在 最 大 邊 b 的 平 方 聯 想 到 餘 弦 定 理 ：

2 2 2 2 2

b a c 2accosB a c= + − > + （ 因 為 cosB 0< ） ， 則

( ) ( )22 2

2 a c 4ac 2 a c 0Δ > + − = − ≥ ，由上述可知 0Δ > 。

二、正向性歸納目標的方法：

在正三角形ΔABC中，在AC,BC上分別截取AD,CE，使AD CE= ，

AE與BD相交於 F。求證 DFE∠ 為定值(如圖 1)。

圖 1

證明：求證 DFE∠ 為定值，若盲目去演繹是難找到解題的途徑。由題意

4

可知，無論 P，Q 取在AC,BC上哪個位置，只要AD=CE，則 DFE∠ 的

值是固定不變，於是取AC,BC的上中點 D、E以這種情況下探求。由此

可知AE BC⊥ ，BD AC⊥ ，而 C=60°

∠ ，所以 DFE 120∠ =o(如圖 2)。

圖 2

在半圓直徑AB上任取一點 C，分別以AC,BC為直徑做半圓，過 C

作CD AB⊥ 交圓於 D，CD線段長為 a，則陰影面積為

(如圖 3)，因為 C 點為AB上的一點，使圖形中陰影面積一定。故

考慮到 C 點移到AB的中心來探求(如圖 4)。設AB 4= ，則AC BC 2= = ，

a CD 2= = ，所以陰影面積=

21

a4π

2 2 2

2 2

1 1 12 1 2

2 2 2

1 12 a

4 4

⎛ ⎞π× = π× + π×⎜ ⎟

⎝ ⎠

= π× = π

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圖 3

圖 4

三、正向性歸納類比的方法：

正向性歸納類比是將所學的新知識與所學過的知識類似之處進行

類比。使我們更有系統地掌握知識，因為不同的事物往往存在一些相似

的屬性，若將此類比，可明確方向找出其規律性所在。

如幾何中全等三角形與相似三角形進行類比。平行四邊形與矩形、

菱形與正方形的定義，判斷性質列表進行類比。

一次函數與正比例函數進行類比。二次函數 2y ax= ， 2y ax c= + ，

( )2

y a x h= + ， ( )2

y a x h l= + + ，在同一座標系內進行類比分析、歸納出

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二次函數性質和圖像的平移規律。學習求函數定義域的時候與學習分式

及二次根式有意義的條件進行類比等等。

四、逆向性歸納分析的方法：

逆向性歸納分析是執果索因，若想要證得結論，則需要找出需知。

這個過程是逆向性歸納分析。

（一） 逆向性歸納分析解題需培養逆向性思維的品質。

例如：求證： 3 7 4 6+ < +

證明：為了該式成立，只需證明

2 2( 3 7) ( 4 6)+ < + ，即10 2 21 10 2 24+ < + ，即

21 24< 或21 24< 。

（二） 設問逆向性題型，增強逆向性歸納分析的意識。

在學習中要挖掘教材中互逆因素，進行逆向設問以破

除固有的思維模式。例如學習 ( )a b a b a 0,b 0⋅ < ⋅ ≥ ≥ 之

後，可以設計問題，把根號外的因式適當的改變後移到根

號內。如 3 a− ， 等。譬如已知有一方程

組 ，其x 1= ， y 2= ，求 a，b 之值。若理解

同類根式的概念後，反問 m、n為何值時，最簡根式 n 13 2 x+

與 m 2x是同類根式。

題型中逆向性設計提問的題目無所不在，要有感覺地

把握與具有相對性的處理, 可促使學生加強逆向性歸納分

析的能力。

（三） 逆向運用公式法則，激發逆向思維的興趣。

早在西元前三百年，古希臘數學家歐幾里德就利用了反

1a

a−

ax y b

4x by a

+ =⎧⎨

− =⎩

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證法的概念證明出：質數的個數是無限多的。歐幾里德先

假設質數只有有限個，把質數按大小次序排列：2，3，5，

7，11，……m，其中，m是最大的質數。接著，把有限個質

數連乘起來，再加上1，得到一個新數N。N＝2×3×5×7×……

×m＋1，若N是質數，就表示在最大的質數m以外，還存在著

更大的質數。這就表示與「m是最大的質數」自相矛盾了。

N是合數，那它一定能分解成質因數，可是，在質數2、3、

5…m中，找不到N的質因數，這就表示N還含有新的質因數。

這說明，原來假設質數只有2，3，5，7……m是錯誤的。大

於1的自然數，不是質數就是合數，現在，這兩種情況都說

明了：假設質數只有有限個是不可能的，由此可以得出結

論：質數有無限多個。你看，歐幾里德的證明方法是多麼

巧妙。他不是從已知的條件出發，通過推理，直接得出要

證明的結論；而是假設命題的結論不成立，那麼它的反面

必然成立。然後，他從反面結論成立這個假設出發，根據

已知條件進行推理，得出一個與命題的已知條件相矛盾的

結果。只要推理沒有錯誤，那麼，這種矛盾的結果產生的

原因，在於反面結論成立的假設是錯誤的，即命題的反面

結論不能成立，這就斷定命題的結論一定正確。

有一些數學問題, 若用正向性歸納分析去考慮, 有時

會很困難。若是能逆向運用公式法則, 則很快找到解決辦

法, 順利地解決問題。

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例如：求 的值

逆用 ( )z

z z

xy x y= ， y z y zx x x += 。

=

逆用公式法則

五、雙向性歸納分析的方法：

世界上許多事物的運動形態都是雙向的，數學中的雙向思維比比皆

是，運算與逆運算，分析與綜合等等。當人們習慣於正向思維時，某種

逆向思維就會產生新的境界，許多發明創造就是這樣萌發的。如火箭冲

天對氣球騰空來論，其原理是逆向的。在數學教學中也是這樣，當學生

经過努力從正向理解了某個規定、公式、法則後，若適當引導学生逆向

思考下，往往會跨進新的知識領域。例如學了加法後再學減法，學了乘

法再學除法。我們在學習中通過已知條件和問題的可逆性變換來打開学

生的思路，培養學生的逆向思維能力。

在教學中要重視運用變式的方法精心設計練習，防止思維刻板僵

化。既應用正向思維的題目，也應有逆向思維的題目，把正逆思維交融

在一起。如：

( )÷7=6……5

57÷( )=8……1

200+□÷600=350120X(35+□)=6000

例：如圖 5 AD,AE分別是 ABCV 之 A∠ 的內、外角平分線。

求證：

( )1995

199412

2

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )1995

199412

2

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠( ) ( )

-1995 1994 -1995+1994 -11

2 2 2 =2 =2

⋅ =

1 1 2

BD BE BC+ =

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圖 5

證明：

此式只要利用三角形的內(外) 角平分線的性質就可得到。

略證: 因為AD是 BAC∠ 的內角平分線,

所以

因為AE是 BAC∠ 的外角平分線,

所以

從而

B

A

E

C D

1 1 2 BC BC2

BD BE BC BD BE+ = ⇒ + =

BD CD BE CE2

BD BE

+ −+ =

CD CE1 1 2

BD BE+ + − =

CD CE0

BD BE− =

CD CE

BD BE=

CD AC

BD AB=

CE AC

BE AB=

CD CE

BD BE=

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以下只要將分析過程倒轉即可。

總體來說，中學數学大綱上說的分析問題、解決问題的能力，決不

是一個抽象概念，它必定是許多知識和許多種思維能力交織而成的。

肆、研究結果：

數學歸納法本身，是基於哪些推理方式來成全它的有效性呢？演繹

的推理方式，想必是呼聲最高的一種。也有許多參考資料指出數學歸納

法的邏輯依據是：無限次具遞迴性的 modus ponens 推理。茲用 P(n) 來

表示待證明的敘述，

P(1) 成立 (根據數學歸納法的步驟 1)

且 P(1) → P(2) (根據數學歸納法的步驟 2)

所以 P(2) 成立

且 P(2) → P(3) (根據數學歸納法的步驟 2)

所以 P(3) 成立

且 P(3) → P(4) (根據數學歸納法的步驟 2)

所以 P(4) 成立

……

河內塔問題是法國科學家 Edouard Lucas 於 1883 年提出的謎題

(張福春•莊淨惠，2009)，實際操作河內塔，採循序漸進方式，由 1 個

圓環開始分析河內塔移動的策略，然後增加圓環數，進而推展至 N 個

圓環，找出其規則性。規定每次移動只能搬移一個圓環，並且於過程中

在每一根長柱上，都是直徑較小的圓環被放在較上層，必須保持圓環由

上到下是由小到大的次序。

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一、河內塔是採循序漸進方式，由1個圓環開始分析河內塔移動的

策略，然後增加圓環數，進而推展至N個圓環，找出其規則性。

1 個圓環時，只須 1步即將所有圓環移到右柱上。

2 個圓環時，只須 3步即將所有圓環移到右柱上。

3 個圓環時，只須 7步即將所有圓環移到右柱上。

由「一環」至「三環」乃至「四環」的圓環套到長柱上之操作步驟，發

現每增加一圓環時，操作步驟乃由低圓環數之步數累加而成，我們可類

推至「五環」，仍是由重覆「四環」之動作完成，再上推至「六環」．．．．，

也符合此一規則，我們觀察到下表的規則性。

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河內

塔左

柱上

的圓

環數

所有圓環由左柱移到

右柱上所需之步驟

操作步驟與連

環個數之關係

以數學式表示

(遞迴關係)

一環 1 1=1個圓環由

左柱移到右柱

需要的步數

1S 1=

二環 3 3=2個圓環由

左柱移到右柱

需要的步數

2S 3=

三環 7 7=3個圓環由

左柱移到右柱

需要的步數

=2個圓環的步

數×2＋1(左柱

上最下層的圓

環移到右柱

上)

3 2S S 2 1 7= × + =

四環 15 15=4個圓環由

左柱移到右柱

需要的步數

=3個圓環的步

數×2＋1(左柱

上最下層的圓

環移到右柱

上)

4 3S S 2 1 15= × + =

五環 31 31=5個圓環由

左柱移到右柱

需要的步數

=4個圓環的步

數×2＋1(左柱

上最下層的圓

環移到右柱

上)

5 4S S 2 1 31= × + =

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六環 63 63=6個圓環由

左柱移到右柱

需要的步數

=5個圓環的步

數×2＋1(左柱

上最下層的圓

環移到右柱

上)

6 5S S 2 1 63= × + =

七環 127 127=7個圓環

由左柱移到右

柱需要的步數

=6個圓環的步

數×2＋1(左柱

上最下層的圓

環移到右柱

上)

7 6S S 2 1 127= × + =

八環 255 255=8個圓環

由左柱移到右

柱需要的步數

=7個圓環的步

數×2＋1(左柱

上最下層的圓

環移到右柱

上)

8 7S S 2 1 225= × + =

九環 511 511=9個圓環

由左柱移到右

柱需要的步數

=8個圓環的步

數×2＋1(左柱

上最下層的圓

環移到右柱

上)

9 8S S 2 1 511= × + =

N環 Sn Sn =N個圓環

由左柱移到右

柱需要的步數

N

N N 1S S 2 1 2 1

−

= × + = −

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=(N-1)個圓環

的步數×2＋

1(左柱上最下

層的圓環移到

右柱上)

由一環一直到九環數所需之步驟 1、3、7、15、31、63、127…所形成

的數列，我們發現該數列具有遞迴關係，經觀察可得:

1、3、7、15、31、63、127… 於各項加1後數列成為2、4、8、16、32、

64、128…各項變成2的次方關係21、22、23、24、25、26、27、…….

可推導出數列具 NN N 1

S S 2 1 2 1−

= × + = − 的數學式關係，我們再以數學歸

納法證明看看是否正確!

(1) ｎ＝１時， N 1N N 1

S S 2 1 2 1 2 1−

= × + = − = − = 1 正確；

(2) ｎ＝K時，命題成立 KK K 1

S S 2 1 2 1−

= × + = − ；

(3) ｎ＝K+1時， ( )K K K 1K 1 KS S 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1+

+= × + = − + = × − + = −

正確！

由以上證明發現數學歸納法之三要項均成立。故 NN

S 2 1= − 之公式成立。

伍、研究結論：

1、 溝通與思考的能力可以由數學證明的格式來加深加廣

該怎麼跨域特定證明方式的辨識並牽引出分析歸納推理呢？

此時，問題的提問與引導，就顯得非常重要。若問學生：n 可不可

以從 0 開始？或者是 n 可不可以是某個自然數以後的自然數？

之後，再提出可以造成學生認知衝突的例子。

2、 數學證明以有效性為主、解釋性為輔

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從兩種觀點來思考接受的含義，一種是意義上的接受，另一種

則是邏輯上的接受。前者被稱為具有解釋性的證明，後者則是具備

有效性的證明。

3、 假設 p 推得 q 的意義不在乎 p 是否為真

假如學生已經判斷對一個命題「p→q」的證明過程是正確的之

後，如果問及此一證明過程可以證明什麼是真的？(1) p 是真的 (2)

q 是真的 (3) p→q 有效的，則學生也許會以為 (1)、(2)、(3) 都真

或有效。故學生亦可能對數學歸納法步驟中的假設 n=k 時 P(k)

成立產生疑惑，而對於該步驟是證明了什麼，抱持了一知半解的狀

態。若如能幫助學生建立這方面假設性的歸納推理概念，如此應該

對於學生往後在大學學習機率統計的假設檢定概念時，也具有正面

的影響。

4、 反駁不同於證明的思考方式

在數學上針對某個敘述時，一個反例就足以反駁此敘述。也許

大多數的學生都已具有這樣的概念，可是他們卻不一定明白什麼是

在條件下構成一個反例，而且即使有了某個反例，能可以反駁什

麼。這種狀況也許與我們的課堂課程主要均是以建構證明為核心，

卻比較少以正式深入探討尋找反例的教學活動有關。我們不妨在做

數學證明時，也設計一些錯誤的問題來讓大家有機會來『反駁』。

陸、參考資料：

洪萬生 (2002)，〈數學文本與問題意識〉，《HPM 通訊》第五卷第一期。

夏國興 (1999)，《數學歸納法縱橫談》，台北：九章出版社。

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梁宗巨 (1989)，《數學家傳略辭典》，濟南：山東教育出版社。

謝佳叡 (2003)，〈數學雜談--從數學歸納法談起〉，《HPM 通訊》第六卷

第八、九期。

江銘輝(2010)。遞迴分析與河內塔。