កមរងវញញសា សមាបតមរៀរមបឡង សញញញ បមររធយរសកាទរយភរ

សរយមបឡង២១ ខែសហា ឆន ា ២០១៧ ររាន

វញញសាគណរវទា (យង ធារ) វញញសាគណរវទា (លរ ផលគន) វញញសាគណរវទា (នាង ប ) វញញសាជវវទា (ដង សង) វញញសារបវទា (ទាង បង) វញញសាគរវទា (ងន ណណស រ) វញញសាជវវទា (ធ ភន) វញញសាភាសាខែែរ (ឃយ តរងឃ) សងឃរថាវញញសាទាាងអសទា ាងអសតនេះជាជានយ ដលការតធវើតរសតសររថភាពបអនៗរនតពលមបឡង

២១ សហា ឆន ា២០១៧ ខាងរែតនេះ!!!! ជនពរឲយបអនៗទទលបនតជាគជយ

វញញា សាៈ គណតវទយា (យង ធារ)សមរាបតមរតៀមមរបឡង សញញា បមរតមធយមសកសាទយតយភម ឆន ា ២០១៧

I.(១០ ពនទ) បងហា ញថាអនគមន

2

2

1

( ) 1

3

x

f x x

x

ជាអនគមនជាបតរង 1x ។

II.(១៥ ពនទ) គគឲយចននកផលច 5 4 (1 2 )x i i , 13 4y i នង (5 ) ( 3 )z i a i b i ដែល a នងbជាចននពរ។ ក).បងហា ញថា x នង yជាចននកផលចគមើគនា ។ ខ).កណររមមល a នងb គែើមបឲយ y នង zជាចននកផលចគមើគនា ។ គ).ចររគរចននកផលច 9w z ជាទតមងពជគណរនងតរគោណមាតរ?

III.(១៥ ពនទ) កាងតបអបមយមានគៀវគៅពជគណរចនន 7 កាលនងគៀវគៅធរណមាតរចនន 5កាល។គគចាប យកគៀវគៅចនន 4 កាលគចញពតបអបគោយមចែនយ។ ក).រកតបបាបដែលចាបបានគៀវគៅពជគណរទង 4 កាល។ ខ).រកតបបាបដែលចាបបានគៀវគៅពជគណរទង3 កាលនងគៀវគៅធរណមាតរ 1កាល។ គ).រកតបបាបដែលគគចាបបានគៀវគៅធរណមាតរយាងរច1កាល។ IV.(២០ ពនទ) 1.គគឲយមោរឌគផរ ាងដយល ( ) : " 2 ' 2 sin 2cosE y y y x x ។ ក).បងហា ញថាអនគមន (1 )sinxy e x ជាចគមលើយពគមយមនមោរ ( )E ។ ខ).គោោះសរាយមោរឌគផរ ាងដយល " 2 ' 2 0y y y ។

2.ក).កណរចននពរ a ,b នង c គែើមបឲយបាន2

2 2

3 13 11( )

( 1)( 2) 1 2 ( 2)

x x a b cf x

x x x x x

ចគ ោះតគប 1x នង , 2x ។ ខ).គណនាអងគរតោលកណរ 0

1

( )I f x dx

។

V.(៣០ ពនទ) គគឲយអនគមន f កណរគលើ ដែល 1 xf x xe នង មានតោប C តាងអនគមន f ។

1).បងហា ញថាតគបចននពរ x គគអចរគរ ( )f x គតោមទតមង ( )x

ef x x

e ។

2).គណនាលមរមនអនគមន f តរង នង តរង រចទញរកមោរអមររមនអនគមន f ។ 3).គណនាគែរគវមនអនគមន f នងកាញញា របវា។ 4).ងតារាងអគេរភាពនងងតោបមនអនគមន f ។ គគឲយ 1 2 22.71, 0.37, 7.34, 0.13e e e e 5).គណនាមផទតកឡាដផាកបលងគៅចគនាល ោះដខែគោង C នងអកែអបដែលតរវនង 1 1x ។

V.(៣៥ ពនទ) 1).គគឲយគអលបដែលមានមោរៈ 2 2: 9 6 18 9 0E x y x y ។ ក.រគរមោរតងោមនគអលប ។ ខ. គណនាកអរគោគនផចរ កន នង កពលនង ងគអលប ។

2).កាងរតមយអររណមាា ល ),,,(

kjiO គគឲយចនច (3A ,1 ,5) , (3B ,5 ,1) នង ( 1C ,5 ,5)។ ក.គណនាតបដវងអងករ ,AB AC នងម BAC រចទញរកតបគេទតរគោណ ABC។ ខ.គណនា AB AC នង រចទញរកតកឡាមផទតរគោណ ABC។ គ.រគរមោរបនាទ របាារាា ដមាតរ L ដែលដកងនងបលង ABC តរង A ។ ឃ.រគរមោរតងោមនដវែរ S ដែលមានអងករផចរ AB រចទញរកមោរបលង P ដែលបាោះនងដវែរ

S តរង A ។

គបើ 1x គបើ 1x

វញញា សាៈ គណតវទយា (យង ធារ)សមរាបតមរតៀមមរបឡង សញញា បមរតមធយមសកសាទយតយភម ឆន ា ២០១៧

I.(ពនទ១៥) ក.កណរចននពរ a នង b គែើមបឲយ 1

( 1) 1

a b

x x x x

គបើ 0x នង 1x ។

ខ.ចរទញរករមមលមនអងគរតោលកណរ 2

1

1

( 1)A dx

x x

នង

2

2

1

ln( 1)xB dx

x

។

II.(ពនទ១៥) ក.រកចគមលើយទគៅ cy មនមោរឌគផរ ាងដយល ' : '' 3 ' 2 0E y y y ។ ខ.កណរចននពរ ,a b នង c គែើមបឲយ 2

py ax bx c ជាចគមលើយមនមោរឌគផរ ាងដយល

2: '' 3 ' 2 2 3E y y y x ។ គ.ទញរកចគមលើយទគៅមនមោរឌគផរ ាងដយល E ។

III.(ពនទ១៥) គគឲយគអលបដែលមានមោរ ៖ 2 2: 9 6 18 9 0E x y x y ។ ក.រគរមោរតងោមនគអលប ។ ខ. គណនាកអរគោគនផចរ កណ កពលនង ងគអលប ។

IV.(ពនទ១៥) កាងេងមយមានឃលតកហម5ឃលគមម 7 នងឃលគខៀវ8។គគចាបយកឃល 2គចញពកាងេងគនាោះគោយ ចាបយកមតងមយតគនបគហើយមនោកចលវញ ។ ចរគណនាតបបាបមនតពរតោរណខាងគតោមៈ 1) :A ចាបបានឃលគលើកទមយពណតកហម នងគលើកទពរពណគខៀវ ។ 2) :B ចាបបានឃលមានពណែចគនា ។

V.(ពនទ៣០) ១.ក)គគឲយអនគមន g កណរគលើចគនាល ោះ (0, ) គោយ 2( ) 1xg x x e ។

កាអគេរភាពមនអនគមន g គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) ។ ខ)បងហា ញថាមានរមមល a ដរមយគរគៅចគនាល ោះ (0, ) គធវើឲយ ( ) 0g a ។ ទញបញញា កថា a គៅចគនាល ោះបទ 0.703,0.704 ។ គគឲយ 0.703 0.7042.7, 2.015, 2.017e e e

គ) កណរញញា មនអនគមន g x គៅតាមរមមល x គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) ។

២. គគឲយអនគមន f កណរគលើចគនាល ោះ (0, ) គោយ 1

( ) xf x ex

មានតោប C ។ ក) កាលមរមនអនគមន f តរង 0 នង ។ ខ) គណនាគែរគវ 'f x រចកាញញា មន 'f x គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) ។ គ) ងតារាងអគេរភាពមនអនគមន f គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) ។

ឃ)បងហា ញថារមមលអបបរមាមន អនគមន f គ2

1 1m

a a ។រចទញបញញា កថា3.43 3.45m

VI.(ពនទ៣៥) គគឲយពរាា មរ SABCD ដែលមានកពល S នងបារជាចរគោណដកង ABCD ដែលមាន2 , 3 , 3AB i AD j AS k គគកណរលហមនរតមយអររណរមាា ល ( , , , )A i j k ។

១.ចរងរបពរាា មរ SABCD រចទញបញញា កកអរគោគនដនចណច , ,B C D នង S ។ ២.គណនាផលគណាក ដល .BS BC រចតបាបតបគេទតរគោណ SCB ។ ៣.គណនាកអរគោគនមនCB CS រចទញរកមោរបលងដែលោរតាម ចណច ,B C នង S ។ ៤. គណនាមាឌពរាា មរ SABCD ។

វញញា សាៈ គណតវទយា (យង ធារ)សមរាបតមរតៀមមរបឡង សញញា បមរតមធយមសកសាទយតយភម ឆន ា ២០១៧

I.(ពនទ១៥) គគឲយចននកផលច 1a i នង 1 3b i ។ ក.គណនា ,a b a b នង z a b ជាទតមង i ។

ខ.ចររគរ zជាទតមងតរគោណមាតរ។រចទញរករមមលតបាកែមន 11

cos12

នង 11

sin12

។

II.(ពនទ១៥) ក.រកចគមលើយទគៅcy មនមោរឌគផរ ាងដយល ' : '' 5 ' 6 0E y y y ។

ខ.កណរចននពរ A គែើមបឲយ 4x

py Ae ជាចគមលើយពគមយមនមោរឌគផរ ាងដយល

4: '' 5 ' 6 3 xE y y y e ។ គ.ទញរកចគមលើយមនមោរឌគផរ ាងដយល E គបើែងថា 11

(0) , '(0) 02

y y ។

III.(ពនទ១៥) គអលប E មយមានតោបោរអកែធតរង ( 2,4),( 2, 2) នងោរអកែរចតរង (0,1), ( 4,1) ។ ក.រគរមោរតងោមនគអលប ។ ខ. គណនាកអរគោគនផចរ កណ កពលនង ងគអលប ។

IV.(ពនទ១៥) កាងេងមយមានឃល 7 នងឃលគមម 9 ។គគចាបយកឃល 2គចញពកាងេងគនាោះគោយ ចាបយកមតងមយតគនបគហើយមនោកចលវញ ។ ចរគណនាតបបាបមនតពរតោរណខាងគតោមៈ ១ ( :A ចាបបានឃលពណមននងឃលពណគមម បនាទ ប ។ ២ ( :B ចាបបានឃលមានពណែចគនា ។ ៣ ( :C យាងរចចាបបានឃលមានពណគមម មយតគនប ។

V.(ពនទ៣០) ១.គគឲយអនគមន g កណរតគបចននពរវជាមានដែលកណរគោយ 2( )

bg x ax

x គបើ ,a bជាចននពរ។

ក)កណរចននពរ ,a b គោយែងថា (1) 0g នង ( 1) 6g ។ ខ) កាអគេរភាពមនអនគមន g គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) កាងករណរមមល ,a b ដែលរកគឃើញខាងគលើ ។ គ) កណរញញា មនអនគមន g x គៅតាមរមមល xគៅគលើចគនាល ោះ (0, ) ។

២. គគឲយអនគមន f កណរគលើចគនាល ោះ (0, ) គោយ 3( ) 3ln 2f x x x មានតោប C ។

ក) កាលមរមនអនគមន f តរង 0 នង ។ ខ) ចរបងហា ញថា ' ( )f x g x ចគ ោះ រមមល x គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) រចកាញញា មន 'f x ។ គ) ងតារាងអគេរភាពមនអនគមន f គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) ។

បងហា ញថាមោរ ( ) 0f x មានឫដរពរគរ នង ដែល 1

1e

នង1 e ។

ឃ) ងតោបC មនអនគមន f គៅកាងរតមយអររណរគម ( , , )o i j ។គគយក ln 2 0.7, ln3 1.1 ង)គណនាមផទតកឡាដែលខណឌ គោយដខែគោង C នអកែ 'x ox តរវនងបនាទ រ 1,x x e នង 1.5 ។

VI.(ពនទ៣៥) គៅកាងរតមយអររណមាា លមានទគៅវជាមាន(𝑜 ; 𝑖 ; 𝑗 ; �� )គគឲយចណច (1,0,1), (2,0,2), (0,1,2)A B C នង (0,1,3)D ។ក.គណនា n AB AC ។គរើចណចគៅគលើបនាទ រដរមយដែរឬគទ?

ខ. ចររគរមោរបលង P ដែលោរតាមចណច ,A B នងC ។ គណនាមាឌគរតតាដអែរ ABCD ។ គ.ចររកមោរតងោមនដ ែវរ S ដែលមានផចរD នងោ 3r ។ ឃ.គរើបលង P នងដ ែវរ Sោរគនា ដែរឬគទ?គបើោរគនា ចរគណនាតកមផទមខោររបវា។

វញញា សាៈ គណតវទយា (យង ធារ)សមរាបតមរតៀមមរបឡង សញញា បមរតមធយមសកសាទយតយភម ឆន ា ២០១៧

I.(ពនទ១៥) ក កណរ( , ,a b c គែើមបបាន 2 2

4 2

(2 1)( 1) 2 1 1

x a bx c

x x x x

ខគណនាអងគរតោល(កណរ 1

2

0

(4 2 ).

(2 1)( 1)

x dxI

x x

។

II.(ពនទ១៥) គគឲយមោរឌគផរ ាងដយល ( ) : '' 4 (5 2) xE y y x e ។ 1).កណររមមល p នង q គែើមបឲយ ( ) x

py px q e ជាចគមលើយមយរបមោរ ( )E ។

2).គោយែងថាអនគមន p hy y y ជាចគមលើយទគៅរបមោរ ( )E គនាោះអនគមន hy ជាចគមលើយទគៅ

របមោរអាមាដន ( ) : '' 4 0F y y ។ 3).គោោះសរាយមោរឌគផរ ាងដយល ( )F រចទញរកចគមលើយទគៅរបមោរ ( )E ។

III.(ពនទ១៥) គអលប E មយមានតោបោរអកែធតរង ( 2,4),( 2, 2) នងោរអកែរចតរង (0,1), ( 4,1) ។ ក.រគរមោរតងោមនគអលប ។ ខ. គណនាកអរគោគនផចរ កណ កពលនង ងគអលប ។

IV.(ពនទ១៥) កាងតបអបមយមានបែល 01តគនបដែលកាងគនាោះមានបែលពណតគនប នង បែលគមម ែតគនប។ គគចាបយកបែលពរតពមគនា ។ ចរគណនាតបបាបមនតពរតោរណនមយៗខាងគតោម ៖ 1) :A ចាបបានបែលពណមយ នង ពណគមម មយ ។ 2) :B ចាបបានបែលមានពណែចគនា ។ V.(ពនទ៣០) ដផាក :A អនគមន g កណរគលើចគនាល ោះ (0, ) ដែល ( ) 1 2lng x x ។ 1) គណនាលមរតរងចងដែនកណរមន អនគមន g ។

2) កាអគេរភាពមន g ចគ ោះតគបចននពរ x គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) ។

3) គណនារមមល ( )g e ។រចទញរកញញា មនអនគមន ( )g x ចគ ោះតគបចននពរ x គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) ។

ដផាក :B តាង f ជាអនគមនកណរគលើចគនាល ោះ (0, ) ដែល2

2

ln( )

x xf x

x

មានតោប C ។

1) គណនាលមរមនអនគមន f តរង 0 នង ។រចទញរកមោរអមររ។

2)បងហា ញថាចគ ោះតគបចននពរ x គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) គនាោះ3

1'( ) ( )f x g x

x

3)ទញរកញញា មនអនគមន '( )f x គលើចគនាល ោះ (0, ) នងគតារាងអគេរភាពមនអនគមន ( )f x ។ ងដខែគោងC

VI.(ពនទ៣៥) គៅកាងរតមយអររណមាា លមានទគៅវជាមាន(𝑜 ; 𝑖 ; 𝑗 ; �� )គគឲយចណច (0,0,3), (0,3,0), (3,0,0),A B C ( 1, 2,2)D ។ក. រកមោរបាារាា ដមតរ L ដែលោរតាម A នង B ?

ខ. តបាបតបគេទតរគោណ ABC ?គណនា n AB AC នង រចទញរកតកឡាមផទតរគោណ ABC។ រគរមោរបលង 𝑃 ដែលោរតាមចណច 𝐴 , 𝐵 នង 𝐶 ។

គ.គណនាមាឌគរតតាដអែរ𝐴𝐵𝐶𝐷 ។ រចទញរកចមាា យពចណចD គៅបលង P ? ឃ.រកកអរគោគនចណចតបពវរវាងបនាទ រ L នងដ ែវរ S ដែលដ ែវរ Sមានអងករ CD។

វញញា សាៈ គណតវទយា (យង ធារ)សមរាបតមរតៀមមរបឡង សញញា បមរតមធយមសកសាទយតយភម ឆន ា ២០១៧

I.(ពនទ២០) គណនាក) 1 3 2 2A i i ខ) 30

tan sinlimx

x xB

x

គ)

21 ln

2

xC dx

x

ឃ)

2

0

sin

1 2cos

xD dx

x

II.(ពនទ១៥) គគឲយមោរឌគផរ ាងដយល ( ) : '' 2 ' 4 2cos2E y y y x ។

1).កណររមមល a នង b គោយែងថា cos2 sin 2py a x b x ជាចគមលើយមយរបមោរ ( )E ។ 2).គោយែងថាអនគមន

p hy y y ជាចគមលើយទគៅរបមោរ ( )E គនាោះអនគមន hy ជាចគមលើយទគៅ របមោរអាមាដន ( ) : '' 2 ' 4 0F y y y ។

3).គោោះសរាយមោរឌគផរ ាងដយល ( )F រចទញរកចគមលើយរបមោរ ( )E គបើ (0) 0, '(0) 0y y ។ III.(ពនទ១០) រកមោរតងោមនអដពបលដែលចគ ោះតគបចណចនៅនលើអពែបល មានផលដកចមាា យរបសវាែចណច 3,0 នង 3,3 គមើនង 2 ។ IV.(ពនទ១៥) កាងតបអបមយមានឃលតគនបដែល01ចោះពគលខ 0 ែល9។គគចាបយកឃលមយតគនបគោយមចែនយ ។ 1) ចរកណរលហណាក S នងតពរតោរណនមយៗខាងគតោម ៖

:A ចាបបានឃលមានគលខជាពហគណមន៣ ។ :B ចាបបានឃលមានគលខដែលធជាង៥។ 2) រកតបបាបមនតពរតោរណ , , ,A B A B A B ។ V.(ពនទ៣០)ដផាក :A គៅកាងរតមយអររណគម ( , , )o i j ចគ ោះតគបចននពរ x គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) គគឲយអនគមន

2( )

b cu x a

x x ដែលមានតោបវាោរអកែអបតរង 1នង 4 គហើយមានអមររគែក 1y ។

1) គណនារមមល (1)u នង (4)u ។ 2) គណនាលមរ lim ( )x

u x

។រចទញរករមមល a ។

3)បងហា ញថាចគ ោះតគបចននពរ x គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) គគឲយអនគមន2

2

5 4( )

x xu x

x

។

ដផាក :B អនគមន f កណរចគ ោះតគបចននពរគៅគលើចគនាល ោះ (0, ) ដែល 4( ) 5lnf x x x

x មានតោប C ។

1)គណនាលមរមនអនគមន f តរង 0 គោយែងថា0

lim ln 0x

x x

។ 2)គណនាលមរមនអនគមន f តរង ។

3)បងហា ញថាចគ ោះតគបចននពរ x គៅគលើចគនាល ោះ (0, ) គគបាន '( ) ( )f x u x រចទញរករមមល4

1

( )u x dx ។

4) ងតារាងអគេរភាពមនអនគមន ( )f x ។ ងដខែគោងC គៅកាងរតមយអររណគម ( , , )o i j ។ គគយក ln 2 0.7, ln3 1.1

VI.(ពនទ៣៥) កាងរតមយអររណរមាា លមានទគៅវជាមាន (o, , , )i j k

គគឲយ ( 1,1,0), ( 2, 2,2)A B នង (0,1,1)C យក ,AB a AC b ។

១)កណររមមល t គែើមបមរវាងវចទរ a tb នង b មានរងហវ គមើ 060 ។

២)គណនាផលគណវចទរ n AB AC

រចទញរកតកឡាមផទតរគោណ ABC ។ 3)រកមោរបលង ( )P ដែលោរតាមចណច , ,A B C ។ ៤ (រកមោរដ ែវរ S ដែលមានផចរO នងោ 1r ។គរើដ ែវរ S នងបលង ( )P ោរគនា ដែរឬគទ? គបើដ ែវរ S នងបលង ( )P ោរគនា គរើមខោរមានរាងជាអវ? គហើយមានបរមាតរគមើនងបានាម ន?

វ�� សគណតវទយោេរជសេរ ស េរៀបេរៀងេដោយ លម ផល�ន

Tel: 017 250 290 សរមាបេរតៀមរបឡងបាកឌបឆា� ២០១៦

www.mathtoday.wordpress.com

I-ចរគណនាលមត 2

0

sin( ) sinlim , lim [2ln ln( )]h x

x h xA B x ex xh

π→ →+∞

+ −= = − + + នង

20

tan sinlimx

x xCx→

−=

II-េគឲយអនគមន cos1 sin

xyx

=+

។

១)ចរគណនា 'y នង ''y រចទញប�� កថា '' ' 0y y y+ = ។

២)គណនាតៃម� 2017( )3

y π នង 2017'( )3

y π រចទញរកតៃម� 2017'' ( )3

y π ។

III-េគឲយចននកផ�ច 3 3,2 2 2 2

i ix y= − + = − − នង z x iy= + ។

១)េគតង 2 2 2w x y z= + + ។ ចរបង� ញថា 2w xz= រចសរេសរ wជាទរមងពជគណត ។

២)ចរសរេសរ , ,x y z ជាទរមងរតេកណមារតរចទញរកទរមងរតេកណមារតៃន w ។

IV-េគឲយគប ABCDEFGH មយមានរទនងេស�1cm ។ ,K L នង M ជាចណចកណា� លេរៀងគា� ៃន [ ],[ ]EF CD នង[ ]DH ។

១)គណនាផលគណស� ែល MK ML→ →

⋅ រចទញរកេឈ� ះៃនរតេកណ KLM ។

២) P ជាចណចមយៃន [ ]EH េហយេគតង KPL ϕ∠ = ។

ចរ�សយប�� កថារគបទតងៃន P ែរបរប�លក�ង[ ]EH េគមាន2πϕ ≤ ។ េតេពលណាេទបេគបាន

2πϕ = ។

V-ក�ងថងមយមានបលរកហម4រគាបចះអកសរ , , ,M A T H នងបលេខៀវ5រគាបចះអកសរ , , , ,K H M E R ។

េគចបយកបល 5 រគាបរពមគា� េចញពក�ងថងេនាះេដយៃចដនយ ។ ចរគណនារប�បាបៃនរពត�ករណ ៖

១)ចបបានបលចះអកសរផ�បានជាពកយ KHMER ។

២)ចបបានបលចះអកសរដចគា� 2រគាបនង3រគាបេទៀតចះអកសរខសគា� ។

VI-េគឲយអនគមន f កណតេលចេនា� ះ (0, )+∞ េដយ ( ) 1 2lnf x x x= + − មានរកបC េនក�ងតរម�អរតនរមាល ( , , )o i j→ →

។

១)ចររកលមតៃន f រតង+∞ នងរតង0ខងស� ។ ទញប�� កសមករអសមតតឈរៃនរកបC ។

២)រកេដរេវ '( )f x រចគសតរងសកសោស�� ៃន '( )f x ។ ទញរកតៃម�អបបបរមាេធៀបៃនអនគមន f រចសងតរងអេថរភាព ។

៣)គណនាតៃម� (1)f រចសរេសរសមករៃនបនា� ត ( )T ែដលបះនងែខសេកងC រតងចណច 1x = ។

៤)ចរបង� ញថាេគមនអចគសបនា� តបះនងែខសេកងC េហយែកងនងបនា� ត ( )T បានេទ ។

៥)គណនា ( )f e នង 7( )2

f រចគសរកបC ។ េគយក 2.7 , ln 2 0.7 , ln 7 1.95e = = = ។

៦)ចរ�សយថា 2

( ) 3 2 ln2xF x x x x= + − ជារពមទវមយៃន f េលចេនា� ះ (0, )+∞ ។

៧)ចរគណនាៃផ�រកឡា aS ៃនែផ�កប�ងខណ� េដយរកបC នងបនា� ត T នងបនា� តឈរ , 1x a x= = ែដល 0 1a< < ។

គណនាលមតៃន aS កលណា a ខតជតសនយខងស� ។

VII-១)េគឲយេអលប 2 2( ) : 25 9 100 18 116 0E x y x y+ − − − = ។

ក-ចរកណតរកកអរេដេនផ�ត-កពល-កណ នង អចសងរទសេតរបសេអលប ( )E ។

ខ-ចរសង ( )E េនក�ងតរម�អរតនរមាល ( , , )o i j→ →

។

២)កណតសមករប�ងកតតមចណច (2, 2, 1)A េហយមានវចទររបាបទស (1, 2,2)u→

= − នង (1,1, 4)v→

= − ។

អរតកែណគរ (by Phalkunlim)

I-គណនាលមត

េយងបាន 0 0

sin( ) sin sin cosh sinh cos sin sinh cos sin (1 cosh)lim limh h

x h x x x x x xAh h h→ →

+ − + − − −= = =

0

sinh 1 coshlim cos sin cosh

x x xh h→

− = − = ។

2 2 2lim [2ln ln( )] lim ln( ) ln( )x x

B x ex x x ex xπ π→+∞ →+∞

= − + + = − + +

2

2

2

1 1lim ln lim ln ln 11x x

xex x ee

x xππ→+∞ →+∞

= = = = − + + + +

នង 20 0 0

tan sin tan tan cos tan (1 cos )lim lim lim| | | |x x x

x x x x x x xCx xx→ → →

− − −= = =

0

0

1 coslim tan 0

1 coslim tan 0

x

x

x xx

x xx

+

−

→

→

− ==

− = −

ដចេនះ cos , 1 , 0A x B C= = − = ។

II-េគឲយអនគមន cos1 sin

xyx

=+

។

១) គណនា 'y នង ''y រចទញប�� កថា '' ' 0y y y+ =

េយងបាន 2 2 2

2 2 2

sin (1 sin ) cos sin cos sin 1 sin 1'(1 sin ) (1 sin ) (1 sin ) 1 sin

x x x x x x xyx x x x

− + − + + += = − = − = −

+ + + +

េហយ 2 2

(1 sin ) ' cos''(1 sin ) (1 sin )

x xyx x

+= =

+ +

ដចេនះ 2

1 cos' , ''1 sin (1 sin )

xy yx x

= − =+ +

។

មយោងេទៀត 2 2 2

cos cos 1 cos cos'' ' 0(1 sin ) 1 sin 1 sin (1 sin ) (1 sin )

x x x xy yyx x x x x

+ = + − = − = + + + + +

ដចេនះ '' ' 0y yy+ = ។

២)គណនាតៃម� 2017( )3

y π នង 2017'( )3

y π រចទញរកតៃម� 2017'' ( )3

y π

េគមាន cos1 sin

xyx

=+

េនាះ

2017cos2017 3( ) 20173 1 sin3

y

ππ

π=+

េដយ 2017 3sin sin(672 ) sin3 3 3 2π π ππ= + = = េហយ 2017 1cos cos(672 ) cos

3 3 3 2π π ππ= + = =

េគបាន

12017 12 2 3

3 3 2 312

y π = = = − + + ។

េហយ 1'1 sin

yx

= −+

េនាះ 2017 1'( ) 20173 1 sin3

y ππ= −

+

ឬ 2017 1 2'( ) 2(2 3)3 3 2 31

2

y π= − = − = − −

++ ។

េហយតម '' ' 0y y y+ = េគទញ '' 'y y y= −

េគបាន 22017 2017 2017'' '( ) ( ) 2(2 3)3 3 3

y y yπ π π = − = −

។

III-បង� ញថា 2w xz= រចសរេសរ wជាទរមងពជគណត

េគមាន 3 3,2 2 2 2

i ix y= − + = − − នង z x iy= +

េយងបាន 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2 2w x y z x y x iy x y x ixy y x ixy= + + = + + + = + + + − = +

2 ( ) 2w x x iy xz= + = ពត

មយោងេទៀត 3 3 32 ( ) 2( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

i i iw x x iy i

= + = − + − + + − −

3 3 1 1 3 1 3( 3 )( ) ( 3 )2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 1 3 1 3 1 (2 3)2 2 2 2

i ii i i

i i i

− −= − + − + − + = − + +

− − − −= − − + − = + −

ដចេនះ 1 (2 3)w i= + − ។

២)សរេសរ , ,x y z ជាទរមងរតេកណមារតរចទញរកទរមងរតេកណមារតៃន w

េយងមាន 3 5 5cos sin cos( ) sin( ) cos sin2 2 6 6 6 6 6 6

ix i i iπ π π π π ππ π= − + = − + = − + − = +

3 7 7cos sin cos( ) sin( ) cos sin2 2 6 6 6 6 6 6

iy i i iπ π π π π ππ π= − − = − − = + + + = +

នង 3 3 1 3 1 3 3 1( ) ( ) ( 1 )2 2 2 2 2 2 2

i iz x iy i i i− − −= + = − + + − − = + = − −

( 3 1) 2 2 2 6 2 6 2( ) ( cos sin ) cos( ) sin( )2 2 2 2 4 4 2 4 4

6 2 5 5cos sin2 4 4

i i i

i

π π π ππ π

π π

− − − = − − = − − = + + +

− = +

េហយ 5 5 6 2 5 5 5 5 5 52 2(cos sin ) (cos sin ) ( 6 2) cos sin6 6 2 4 4 6 4 6 4

w xz i i iπ π π π π π π π− = = + + = − + + +

25 25( 6 2) cos sin ( 6 2) cos sin12 12 12 12

i iπ π π π = − + = − +

IV-១)គណនាផលគណស� ែល MK ML→ →

⋅ រចទញរកេឈ� ះៃនរតេកណ KLM

េរជសេរ សតរម�យ ( , , , )A AB AD AE→ → →

េយងមាន (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0)A B C D

(0,0,1), (1,0,1), (1,1,1,), (0,1,1)E F G H ។

េដយ ,K L នង M ជាចណចកណា� លេរៀងគា� ៃន

[ ],[ ]EF CD នង[ ]DH េនាះេគបាន ៖

1 1 1( ,0,1), ( ,1,0), (0,1, )2 2 2

K L M ។

េគមាន 1 1 1 1( , 1, ) , ( ,0, )2 2 2 2

MK ML→ →

= − = −

េយងបាន 1 10 04 4

MK ML→ →

⋅ = + − = ។

េដយ 0MK ML MK ML→ → → →

⋅ = ⇔ ⊥ ។

ដចេនះ KLM ជារតេកណែកងរតងM ។

A

B C

D

E

F G

HK

L

M

P

ϕ

២)�សយប�� កថារគបទតងៃន P ែរបរប�លក�ង[ ]EH េគមាន2πϕ ≤

េដយ P ជាចណចមយៃន [ ]EH េនាះេគបាន (0, ,1)P t ែដល , 0 1EP t t= ≤ ≤

េគមាន 1 1( , ,0) , ( ,1 , 1)2 2

PK t PL t→ →

= − = − −

េគបាន 2

21 1 1 1( )( ) (1 ) (0)( 1) 02 2 4 2

PK PL t t t t t→ → ⋅ = − − + − = − + = − ≥

រគប [0,1]t∈

េដយ . 0PK PL→ →

≥ េនាះម KPL ϕ∠ = ជាម�ស�ច ឬ មែកង ។

ដចេនះ រគបទតងៃន P ែរបរប�លក�ង[ ]EH េគមាន2πϕ ≤ ។

េតេពលណាេទបេគបាន 2πϕ = ៖

េដយ 21

2PK PL t→ → ⋅ = −

េនាះេដមបឲយ

2πϕ = លះរតែត

21 102 2

PK PL t t→ → ⋅ = − = ⇔ =

ចេពះ 12

t = េគបាន 1(0, ,1)2

P េនាះ Pជាចណចកណា� លៃនអង�ត[ ]EH ។

ដចេនះេដមបឲយ2πϕ = លះរតែត Pជាចណចកណា� លៃនអង�ត[ ]EH ។

V-ក�ងថងមយមានបលរកហម4រគាបចះអកសរ , , ,M A T H នងបលេខៀវ5រគាបចះអកសរ , , , ,K H M E R ។

េគចបយកបល 5 រគាបរពមគា� េចញពក�ងថងេនាះេដយៃចដនយ ។ ចរគណនារប�បាបៃនរពត�ករណ ៖

១)គណនា ( )P X

តងរពត�ករណ X ចបបានបលចះអកសរផ�បានជាពកយ KHMER

េគបាន ( )( )( )

n XP Xn S

=

រកចននករណអច 9! 5!6.7.8.9( ) (9,5) 1265!4! 5!24

n S C= = = =

រកចននករណ�សប ( ) :n X

តង , , ,M A T Hr r r r ជារគាបបលរកហម នង , , , ,K H M E Rb b b b b ជារគាបបលេខៀវ

េគបាន {( , , , , ),( , , , , ),( , , , , ),( , , , , )}K H M E R K H M E R K H M E R K H M E RX b b b b b b b r b b b r b b b b r r b b=

េគទញបាន ( ) 4n X = ។

ដចេនះ 4 2( )126 63

P A = = ។

២)គណនា ( )P Y

១)គណនា ( )P X

តងរពត�ករណ X ចបបានបលចះអកសរផ�បានជាពកយ KHMER

េគបាន ( )( )( )

n XP Xn S

=

រកចននករណអច 9! 5!6.7.8.9( ) (9,5) 1265!4! 5!24

n S C= = = =

រកចននករណ�សប ( ) :n X

តង , , ,M A T Hr r r r ជារគាបបលរកហម នង , , , ,K H M E Rb b b b b ជារគាបបលេខៀវ េគបាន

{( , , , , ),( , , , , ),( , , , , ),( , , , , )}K H M E R K H M E R K H M E R K H M E RX b b b b b b b r b b b r b b b b r r b b= េគទញបាន ( ) 4n X = ។ដចេនះ 4 2( )

126 63P A = = ។

២)គណនា ( )P Y

តងរពត�ករណ Y ចបបានបលចះអកសរដចគា� 2រគាបនង3រគាបេទៀតចះអកសរខសគា�

េគបាន ( )( )( )

n YP Yn S

=

បលែដលចះអកសរដចគា� មាន {( , )M Mr b , ( , )}H Hr b នងបលចះអកសរខសគា� មាន { , , , , }A T K E Rr r b b b ។

-ករណទ១

េបេគចបបានបល២រគាប ( , )M Mr b េនាះបល3រគាបេទៀតរត�វេរជស

េរ សយកក�ងចេណាមបល { , , , , , , }A T k E R H Hr r b b b r b

េគបាន 17!( ) (7,3) (2,2) (5,1) 5 30

3!4!n Y C C C= − = − =

-ករណទ២

េបេគចបបានបល២រគាប ( , )H Hr b េនាះបល3រគាបេទៀតរត�វេរជស

េរ សយកក�ងចេណាមបល { , , , , , , }A T k E R M Mr r b b b r b

េគបាន 2( ) (7,3) (2,2) (5,1) 30n Y C C C= − =

ចននករណ�សបគ 1 2( ) ( ) ( ) 60n Y n Y n Y= + =

ដចេនះ 60 10( )126 21

P Y = = ។

VI-េគឲយអនគមន f កណតេលចេនា� ះ (0, )+∞ េដយ ( ) 1 2lnf x x x= + − មានរកបC េនក�ងតរម�អរតនរមាល ( , , )o i j→ →

។

១) រកលមតៃន f រតង+∞ នងរតង0ខងស�

េយងបាន ( ) 1 2lnlim ( ) lim 1 2ln lim (1 )x x x

xf x x x xx x→+∞ →+∞ →+∞

= + − = + − = +∞ េរពះ lnlim 0

x

xx→+∞

= ។

េហយ ( )0 0

lim ( ) lim 1 2lnx x

f x x x+ +→ →

= + − = +∞ េរពះ 0

lim lnx

x+→

= −∞ ។

េដយ 0

lim ( )x

f x+→

= +∞ េនាះបនា� ត 0x = ជាអសមតតឈរ ៃនរកបC ។

២)រកេដរេវ '( )f x រចគសតរងសកសោស�� ៃន '( )f x

េយងមាន ( ) 1 2lnf x x x= + −

េយងបាន 2 2'( ) 1 xf xx x

−= − = ។

រគប 0x > េគបាន 2'( ) xf xx−

= មានស�� ដច ( 2)x − ។

េប 2'( ) 0xf xx−

= = េនាះ 2x = ។

x 0 2 +∞ '( )f x

ទញរកតៃម�អបបបរមាេធៀបៃនអនគមន f រចសងតរងអេថរភាព ៖

តមតរងសកសោស�� ខងេលេយងេឃញថា '( )f x ប�រស�� ព ( )− េទ( )+ រតងចណច 2x = ។

ដចេនះ f មានតៃម�អបបបរមាេធៀបរតង 2x = គ (2) 2 1 2ln 2 3 2(0.7) 1.6f = + − = − = ។

x 0 2 +∞ '( )f x

៣)គណនាតៃម� (1)f រចសរេសរសមករៃនបនា� ត ( )T ែដលបះនងែខសេកងC រតងចណច 1x =

េគមាន ( ) 1 2lnf x x x= + −

0− +

0− +

+∞'( )f x

+∞

1.6

ចេពះ 1x = េគបាន (1) 1 1 2ln1 2f = + − = ។

របមន�សមករបនា� តបះ ( ) : '(1)( 1) (1)T y f x f= − +

េដយ 2'( ) xf xx−

= េនាះ 1 2'(1) 11

f −= = −

េគបាន ( ) : 1( 1) 2 3T y x x= − − + = − + ។

៤)បង� ញថាេគមនអចគសបនា� តបះនងែខសេកងC េហយែកងនងបនា� ត ( )T បានេទ

ឧបមាថា ( ')T ជាបនា� តបះនងែខសេកងC រតងចណច 0x ។

េមគណរបាបទសៃនបនា� ត ( ')T គ 00

0

2'( ) xf xx−

= ។

េប ( ') ( )T T⊥ េនាះ 0( 1) '( ) 1f x− = − ឬ 0'( ) 1f x = ឬ 0

0

2xx−

ឬ 0 02x x− = (មនអច)

ដចេនះេគមនអចគសបនា� តបះនងែខសេកងC េហយែកងនងបនា� ត( )T បានេទ ។

៥)គណនា ( )f e នង 7( )2

f រចគសរកបC ។ េគយក 2.7 , ln 2 0.7 , ln 7 1.95e = = = ។

េគមាន ( ) 1 2lnf x x x= + −

ចេពះ x e= េនាះ ( ) 1 2ln 2.7 1 2 1.7f e e e= + − = + − = ។

ចេពះ 72

x = េនាះ 7 7 7( ) 1 2ln 4.5 2(ln 7 ln 2) 4.5 2(1.95 0.7) 22 2 2

f = + − = − − = − − = ។

ដចេនះ ( ) 1.7f e = នង 7( ) 22

f = ។

៦) �សយថា 2

( ) 3 2 ln2xF x x x x= + − ជារពមទវមយៃន f េលចេនា� ះ (0, )+∞

េគមាន '( ) 3 2(ln 1) 1 2ln ( )F x x x x x f x= + − + = + − = រគប 0x >

ដចេនះ2

( ) 3 2 ln2xF x x x x= + − ជារពមទវមយៃន f េលចេនា� ះ (0, )+∞ ។

៧) គណនាៃផ�រកឡា aS ៃនែផ�កប�ងខណ� េដយរកបC នងបនា� ត T នងបនា� តឈរ , 1x a x= = ែដល 0 1a< <

េយងបាន [ ]1 11 2 2 2

( ) ( 3) ( ) 3 3 2 ln 32 2 2a

a a a

x x xS f x x dx F x x x x x x

= − − + = + − = + − + −

∫

12 2 22 ln (1 2ln1) ( 2 ln ) 1 2 lna

x x x a a a a a a = − = − − − = − +

ដចេនះ 21 2 lnaS a a a= − + (ខ� តៃផ�)

គណនាលមតៃន aS កលណា a ខតជតសនយខងស� ៖

2 3 4 5 6-1-2-3

2

3

4

5

6

-1

0 1

1

x

y

A: 1 2lnC y x x= + −

: 3T y x= − +

េយងបាន ( )2

0 0lim lim 1 2 ln 1aa a

S a a a+ +→ →

= − + = េរពះ 0

lim ln 0a

a a+→

= ។

VII-១)ក-កណតរកកអរេដេនផ�ត-កពល-កណ នង អចសងរទសេតរបសេអលប ( )E

េគមាន 2 2( ) : 25 9 100 18 116 0E x y x y+ − − − =

េគបាន 2 225( 4 ) 9( 2 ) 116 0x x y y− + − − =

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

25( 2) 100 9( 1) 9 116 025( 2) 9( 1) 225( 2) ( 1) 1

9 25( 2) ( 1) 1

3 5

x yx y

x y

x y

− − + − − − =

− + − =

− −+ =

− −+ =

មានទរមងស�ងដ 2 2

2 2

( ) ( ) 1x h y ka b− −

+ =

ែដល 2, 1, 3, 5h k a b= = = = ។

េដយ a b< េនាះ ( )E គជាេអលបឈរេហយ 2 2 25 9 4c b a= − = − = ។

ដចេនះកអរេដេនផ�ត ( , ) (2,1)I h k I=

កពល 1 1 2 2( , ) (2, 4) , ( , ) (2,6)V h k b V V h k b V− = − + =

កណ 1 1 2 2( , ) (2, 3), ( , ) (2,4)F h k c F F h k c F− = − + =

ខ-សង ( )E េនក�ងតរម�អរតនរមាល( , , )o i j→ →

២)កណតសមករប�ងកតតមចណច (2, 2, 1)A េហយមានវចទររបាបទស (1, 2,2)u→

= − នង (1,1, 4)v→

= −

2 3 4 5 6-1-2-3

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x

y

2 2( 2) ( 1)( ) : 19 25

x yE − −+ =

(1,1, 4)v→

= −

(1, 2,2)u→

= −

n u v→ → →

= ×n u v→ → →

= ×

(2, 2, 1)A

វចទរនរមាលៃនប�ងគ 2 2 1 2 1 2

1 2 21 4 1 4 1 1

1 1 4

i j kn u v i j k

→ → →

→ → → → → →− −= × = − = − +

− −−

6 6 3n i j k→ → → →

= + + ។

តមរបមន� ( ) : ( ) ( ) ( ) 0A A AP a x x b y y c z z− + − + − =

6( 2) 6( 2) 3( 1) 06 12 6 12 3 3 06 6 3 27 02 2 9 0

x y zx y zx y zx y z

− + − + − =− + − + − =+ + − =+ + − =

ដចេនះ ( ) : 2 2 9 0P x y z+ + − = ។