素粒子物理学2素粒子物理学序論B

2010年度講義第8回

今回の目次

電子・陽子散乱とパートン模型カラー交換力

2

電子・陽子散乱とパートン模型

復習

微分断面積：A+B→C+D

ラザフォード散乱

モット（Mott）散乱

電子のスピン1/2 + 相対論的ラザフォード散乱4

dLips = (2π)4δ4(pC + pD − pA − pB)V d3pC

(2π)32EC· V d3pD

(2π)32ED

dσ =|M |2

FdLips

F = |vA|2EA

V

2EB

V

dσ

dΩ=

4Z2α2

q4E2(1− v2 sin2 θ

2)

dσ

dΩ= (

Ze2

4π)2

4m2

q4=

Z2α2m2

4p4 sin4(θ/2)q ≡ pi − pf

電子・陽子散乱（１）

弾性散乱（陽子は壊れない）

もし陽子がスピン1/2の点状粒子なら→単なるQED

M→∞ でMott散乱と一致散乱角

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!k(E;−→p )k(E;

−→p )

P (M, 0)

q = k − k

Q2 = −q2

dσ

dΩ=

α2

4E2 sin4(θ/2)· E

Ecos2

θ

2− q2

2M2sin2 θ

2

E

E=

11 + E

M (1− cos θ)

電荷散乱 磁気散乱

電子・陽子散乱（２）

実際には

形状因子F(q2)電荷の空間的な分布をフーリエ変換

F(q2)≠1は内部構造の存在を示唆断面積

GE: 電荷分布による形状因子GM: 磁気能率分布による形状因子

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dσ

dΩ= (

dσ

dΩ)Mott|F (q2)|

dσ

dΩ=

α2

4E2 sin4(θ/2)· E

E(G2

E + τG2M

1 + τcos2

θ

2+ 2τG2

M sin2 θ

2)

τ = − q2

4M

電子・陽子散乱（３）

非弾性散乱

陽子が壊れて生成された粒子から組んだ不変質量

W=Mとすれば弾性散乱を再現　　　　 が弾性度を示す量

陽子の静止系で考えるとつまりνは電子から受けたエネルギー

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!

k(E;−→p ) k(E;−→p )

WP (M, 0)

Q2 = −q2 ∼= 2EE(1− cos θ)

∼ (Eθ)2

∼ (pT )2

θ→0でq2=0 ⇒実光子（放射光）

W 2 = (P + q)2

= M2 + 2P · q + q2

= M2 + 2Mν + q2

ν ≡ p · q

M

ν = E − E

x = Q2/(2Mν)

電子・陽子散乱（４）

非弾性散乱の断面積は、構造関数Wを導入して

ブヨルケンのスケーリング

Q2に依存しない（＝実験事実）⇒大きさに無関係⇒点状粒子の存在を示唆弾性散乱の形状因子と対照的

8

νW2(ν, Q2) ≡ F2(x,Q2)→ F2(x)MW1(ν, Q2) ≡ F1(x,Q2)→ F1(x)

dσ

dEdΩ=

α2

4E2 sin4(θ/2)W2(ν, q2) cos2

θ

2+ 2W1(ν, q2) sin2 θ

2

パートン模型

インパルス近似

成立するためには核子の大きさは1/mπ程度なのでローレンツ収縮も考慮に入れると

以上からインパルス近似成立の条件は

QCDの特徴である漸近的自由（Q2が大きくなると結合定数が小さくなる）のおかげ

9

dσ

dΩ|ep =

i

dσ

dΩ|eqi

τγ∗−parton τparton−parton

τγ∗−parton ∼1

mπ· M

E

τparton−parton ∼1

binding energy∼ 1

M

1mπ

· M

E 1

M⇒ E M2

mπ

スケーリング変数

xの物理的な意味

陽子の中のパートンが陽子の運動量をzの割合だけ担っているとするmassless極限では

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xはパートンが担う運動量の割合

zP

P

q

(zP + q)2 = z2P 2 + 2zPq −Q2 ∼= 0

z =Q2

2Pq=

Q2

2Mν= x

Fの意味

弾性散乱がパートン模型の描像で記述できるなら

実際に計算を行うと

F2はxの運動量を担ったパートンの割合x ≡ Parton Distribution Function (PDF)

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!"#$%&'%!()"*+

F2 = x

e2i fi(x)

d2σ

dxdQ2=

i

dxfi(x)

d2σi

dxdQ2

陽子は何からできているか

xが小さい時はほとんどグルーオンxが大きくなると valence quark の寄与が大きくなる

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! !

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()*+,-$.&$&/0$1%223435&$6.783'$02$+9

∆t ∼ /∆E

摂動計算が使えない（Q2が小さい）ので全て実験から決定

ハドロン衝突型加速器では何が衝突してるのか？

パートンの衝突を考える

例えばヒッグス生成では

例えばSUSYなどの重い粒子生成では

対象とする物理過程によって gluon-gluon衝突であったり、gluon-quark衝突であったり、quark-quark衝突である

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√s ∼ 100GeV

√s ∼ 1TeV

√x1x2 ∼ 10−2

√x1x2 ∼ 10−1

s2 = (x1 + x2)2E2 − (x1 − x2)2E2 = 4x1x2E2

∴√

s =√

x1x2√

s (√

s = 2E)

p1 = (x1E; 0, 0, x1E), p2 = (x2E; 0, 0,−x2E),

陽子 陽子

カラー交換力

カラー導入のきっかけ

Δ++の存在（電荷＋２になるにはuuu）l=0なのにスピン3/2 ⇒ スピンは↑↑↑⇐ パウリの排他原理に接触スピン以外の量子数が必要 ⇒ 3色のカラー

カラーが3色あることを示す実験事実

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e+ e- → ハドロン生成

もしクォークがスピン1/2の点状粒子だとしたら、μとの違いは電荷カラー自由度の存在

仮説が正しければ、Rはu, d, s クォークが存在するとき　２u, d, s, c クォークが存在するとき　10/3u, d, s, c, b クォークが存在するとき　11/3

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e−

e+

q

q

R =

quark

λ2i × 3

R ≡ σ(e+e− → hadron)σ(e+e− → µ+µ−)

e+ e- → ハドロン生成（続き）

測定事実からわかったこと電荷の絶対値が2/3あるいは1/3、カラー自由度3である点状粒子（クォーク）がハドロンの下層構造として存在クォークのスピンは1/2

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6 40. Plots of cross sections and related quantities

! and R in e+e! Collisions

!"#$

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!"#*

! !" !"*

![m

b]

"

#

$

#!

J/%

%(2S)!

Z

!"#!

!

!"

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R "

#

$

#!

J/% %(2S)

!

Z

"s [GeV]

Figure 40.6: World data on the total cross section of e+e! ! hadrons and the ratio R(s) = !(e+e! ! hadrons, s)/!(e+e! ! µ+µ!, s).!(e+e! ! hadrons, s) is the experimental cross section corrected for initial state radiation and electron-positron vertex loops, !(e+e! !µ+µ!, s) = 4"#2(s)/3s. Data errors are total below 2 GeV and statistical above 2 GeV. The curves are an educative guide: the broken one(green) is a naive quark-parton model prediction, and the solid one (red) is 3-loop pQCD prediction (see “Quantum Chromodynamics” sectionof this Review, Eq. (9.12) or, for more details, K. G. Chetyrkin et al., Nucl. Phys. B586, 56 (2000) (Erratum ibid. B634, 413 (2002)).Breit-Wigner parameterizations of J/$, $(2S), and % (nS), n = 1, 2, 3, 4 are also shown. The full list of references to the original data and thedetails of the R ratio extraction from them can be found in [arXiv:hep-ph/0312114]. Corresponding computer-readable data files are availableat http://pdg.lbl.gov/current/xsect/. (Courtesy of the COMPAS (Protvino) and HEPDATA (Durham) Groups, August 2007. Correctionsby P. Janot (CERN) and M. Schmitt (Northwestern U.))

R ≡ σ(e+e− → hadron)σ(e+e− → µ+µ−)

カラー

強い相互作用を記述するQCD(Quantum Chromo Dynamics)では力の源はカラーと考える赤緑青（RGB）の3色 ⇒ ゲージ理論はSU(3)対称性反粒子は反カラーを持つ観測できるバリオンは無色力の媒介粒子であるグルーオンはカラー・反カラー⇒ 3 ⊗ 3 = 8 ⊕ 1 の octet

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結合力

Gluon のカラー

βをカラー荷として結合力を表すとクォークと結合するときの結合力はβ反クォークと結合するときの結合力は -β

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RB,RG, BG, BR,GR,GB,RR−BB√

2,RR + BB − 2GG√

6

RR|g|RR = −β2 · 1√2

· 1√2− β2 · 1√

6· 1√

6= −2

3β2

β

−β

カラー荷によるポテンシャル（１）

バリオン

RB項だけ考えると -(2/9)β2

トータルでは -(2/9)β2 × 6 = -(4/3)β2

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RR|g|BB = −β2

RB|g|RB = +13β2

RR|g|RR = −23β2RR|g|RR = +

23β2

RB|g|RB = −13β2

BR|g|RB = +β2

(QQQ)single =1√6[(RB −BR)G + (BG−GB)R + (GR−RG)B]

RB → RB : (1√6)2 · (−1

3β2) = − 1

18β2

RB → BR : −(1√6)2 · (β2) = −1

6β2

V (QQin QQQ singlet) = −4β2

3· 1r

カラー荷によるポテンシャル（２）

メソン

その他

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(QQ)single =1√3[RR + BB + GG]

RR→ RR : (1√3)2 · (−2

3β2) = −2

9β2

BB → BB = GG→ GG = −29β2

RR→ BB , or GG : (1√3)2 · (−β2) = −1

3β2

−23β2

V (QQsinglet) = −8β2

3· 1r

V (QQoctet) =β2

3· 1r

V (QQsextet) =2β2

3· 1r

メソンとバリオンのみクォーク間に引力束縛状態として存在可能

−23β2

−23β2 + 3× (−2

3β2) = −8

3β2

クォーク間に働くポテンシャル

近距離力 ∝ 1/rQEDからの類推q2の大きい（漸近的自由）領域では摂動計算可能

長距離力 ∝ kr実験事実から類推たとえば、ポジトロニウム(e+e-の束縛状態)とチャーモニウム(ccの束縛状態)の比較k ≅ 1013 GeV/cm

2つのクォークを引き離すよりもハドロンを生成する(hadronization)ほうがエネルギー的に得クォーク単独では取り出せない（クォークの閉じ込め）

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今回のまとめ

電子・陽子散乱を通じてパートン模型が確立観測できないが陽子には下層構造（パートン）が存在高エネルギー反応ではバリオンの散乱は、個々のパートンとの散乱の和と考えられる

QCDのハイパーチャージであるカラー荷メソンとバリオンの中のクォークに働くポテンシャルは引力（color singlet)クォークの閉じ込め

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