Embed Size (px)
Citation preview
Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная
МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Волгоград 2001
2
Тема 1. Матрицы. Основные действия над ними. Обратная матрица. Матричный способ
решения систем линейных уравнений
§ 1. Матрицы. Основные понятия Матрицей называется прямоугольная таблица чисел
,
...
............
...
...
A
21
22221
11211
=
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
состоящая из m строк и n столбцов, или сокращенно А = (aij), i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n.
Числа аij называются элементами матрицы. Первый индекс i указывает номер строки, второй индекс j − номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Таким образом, элемент a21 стоит на пересечении 2-й строки и 1-го столбца.
Отметим частные случаи прямоугольных матриц. Если m = 1, n − любое, мы имеем однострочную матрицу,
которую называют матрицей-строкой. Если n = 1, m − любое, мы имеем одностолбцовую матрицу,
которую называют матрицей-столбцом. Матрица, состоящая из одного числа (m = 1, n = 1),
отождествляется с этим же числом. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-
матрицей и обозначается .
0...00
............
0...00
0...00
O
=
Если число строк равно числу столбцов (m = n), то такую матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. Элементы квадратной матрицы с одинаковыми индексами, т.е. а11, а22,..., аnn образуют главную
диагональ, а элементы а1n , a2n−1,..., an1 − побочную.
3
Матрица вида
nna
a
a
...000
...............
0...00
0...00
22
11
называется диагональной. Особую роль в матричном исчислении играет единичная
матрица. Это квадратная матрица следующего вида:
.
1...000
...............
0...010
0...001
E
=
Элементы главной диагонали равны единице, а все остальные − нулевые.
Позднее мы увидим, что единичная матрица Е и нулевая О играют в матричном исчислении такую же роль, как числа 1 и 0 в операциях над числами.
§ 2. Действия над матрицами Две матрицы А и В называются равными (А = В), если они
имеют одинаковые размерности (то есть одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны.
Так, если
, BиA232221
131211
232221
131211
=
=bbb
bbb
aaa
aaa
то А = В, если а11 = b11, а12 = b12, а13 = b13, а21 = b21, а22 = b22, а23 = b23.
Сложение матриц Суммой двух матриц А и В одной и той же размерности m × n
называется матрица С той же размерности, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Так, если
4
=
3231
2221
1211
A
aa
aa
aa
и
=
3231
2221
1211
B
bb
bb
bb
, то
++++++
=
32323131
21212121
12121111
C
baba
baba
baba
.
Пример.
−−=
−−−
+
− 142124
1861
1753
1327
31621
548.
Из определения операции сложения матриц вытекают
следующие свойства: 1) А+В = В+А; 2) А+ (В+С) = (А+В) +С; 3) А+О = О+А = А (размерность нулевой матрицы должна совпадать с размерностью матрицы А). Умножение матрицы на число Произведением матрицы А на число λ называется новая матрица
В = λ·А той же размерности, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А.
По определению полагаем, что λА=Аλ . Пример.
−−
=
−−
⋅1477779
70735
1122156
21117
1015
1638
7 .
Из определения произведения матрицы на число вытекают
следующие свойства (α, β − числа; А, В − матрицы): 1) 1⋅А = А; 2) 0⋅А = 0; 3) α⋅(βА) = (αβ)⋅А; 4) (α+β)А= αА+βА; 5) α⋅(А+В) = αА+αВ;
5
Замечание: разность двух матриц одинаковой размерности можно определить, используя операции сложения и умножения матрицы на число А+ (−1)·В = А−В.
Пример.
Пусть
−
−=
112
101
213
A , а λ − некоторое число.
Тогда
λ−−λ−
−λ−=
λ−
−
−=λ−
112
11
213
100
010
001
112
101
213
EA .
Умножение матриц Две матрицы можно умножить друг на друга только тогда, когда
число столбцов матрицы, стоящей первым сомножителем, равно числу строк матрицы, стоящей вторым сомножителем. Таким образом, матрицу размерности m × n можно умножить на матрицу размерности только n × k.
Пусть даны две матрицы А (m × n) и В (n × k). Под произведением АВ принимается по определению матрица С (m × k), элементы сij которой определяются следующим образом:
njinjijipj
n
pipij babababac +++== ∑
=...
22111
,
i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ... , k. Как видим, элемент i-й строки и j-го столбца матрицы-
произведения равен сумме произведений элементов i-й строки первого сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца второго сомножителя. Матрица-произведение имеет столько строк, сколько их у первого множителя, и столько столбцов, сколько их у второго множителя.
Примеры.
1. .
11
30
12
B,13
21A
−=
=
6
Произведение АВ не имеет смысла, в то же время произведение ВА можно найти:
.
12
39
55
11213111
13203310
11221312
BA
−=
⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
=
2. .
10
31
12
B,213
121A
−=
=
Для данных матриц возможны оба произведения:
,27
64
12311)(3021123
11321)(1011221AB
=
⋅+⋅+−⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+−⋅⋅+⋅+⋅
=
.
213
7510
031
211011203110
231113213311
211211223112
BA
−=
⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅
=
Матрицы АВ и ВА не только не равны, но даже имеют разные
размерности. Перестановочный (коммутативный) закон при умножении
матриц не выполняется, т. е. АВ≠ВА. В отдельных случаях умножение может быть коммутативно,
тогда матрицы называются перестановочными. Особую роль при умножении матриц играет единичная матрица
Е, она выполняет роль подобно числу 1 при умножении чисел. Легко проверить, что при умножении квадратной матрицы А на Е, матрица А не изменится, и что только матрица Е обладает этим свойством (единица одна!), причем АЕ=ЕА=А. Таким образом, единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей той же размерности.
Произведение чисел может равняться 0 только в том случае, когда хотя бы одно из них равно 0, однако произведение матриц не наследует это свойство. Более того, возможно, что А·А=0, хотя А не совпадает с О-матрицей.
Например, если ,00
10A
=
=
⋅
=⋅00
00
00
10
00
10AAто .
7
Или еще пример
.O00
00AB,O
02
02B,O
00
11A =
=≠
−=≠
=
Легко проверить, что операция умножения матриц имеет
следующие свойства (А,В,С − матрицы, α − число.): 1) (АВ)С = А(ВС) − ассоциативный закон умножения матриц; 2) α(АВ) = (αА)В; 3) (А+В) = АС+ВС − дистрибутивный закон умножения матриц
по отношению к сложению; 4) С(А+В) = СА+СВ. С введением операции умножения матриц появилась
возможность рассматривать возведение квадратной матрицы в степень.
Возведение матрицы в степень Пусть дана квадратная матрица А. Если n − натуральное число,
то под Аn понимают произведение одинаковых сомножителей,
каждый из которых равен А, т. е.
.A...AAA 43421n
n ⋅⋅⋅=
Примеры.
1.
=107
34A , тогда .
12198
4237
107
34
107
34A2
=
⋅
=
2. Найдем А3 и А
4, если .
01
10A
= Имеем
. AEAAAAE;10
01
01
10
01
10A 32 ====
=
=
Далее .10
01EEEAAA 224
===⋅=
Вообще, для данной матрицы
8
−=
−
==
нечетно. если,A01
10
четноесли,10
01E
A
n
nn
Для степеней матрицы с натуральными показателями
справедливы обычные правила: 1) полагают А0=Е;
2) Аn ·А
m = А
n+m;
3) ( An
)m
= Anm
. Транспонирование матриц Пусть дана матрица А размерности m × n. Поменяем в ней
местами строки и столбцы: на место первой строки поставим первый столбец, на место второй строки поставим второй столбец и т. д.
Обозначим эту новую матрицу АТ.
Итак,
.
...
............
...
...
A,
...
............
...
...
A
21
22212
12111
21
22221
11211
T
=
=
mnnn
m
m
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
Матрица А
Т называется транспонированной к матрице А, она
имеет размерность n × m. Например, если
9
,
0875
21112
4301
A
−−−
−= то .
024
8113
710
521
AT
−−−
−
=
Если А − вектор-строка А=( )0217 − , то АТ=
−
0
2
1
7
−
вектор-столбец.
Для элементов транспонированной матрицы имеем Tija =аji,
i=1,2, …, n; j=1,2, …, m.
Если А − квадратная матрица, то АТ − квадратная матрица того
же порядка. Если квадратная матрица не изменилась после
транспонирования, т. е. АТ=А, то А называется симметрической
матрицей. Например, матрица
−−
=534
301
412
A
является симметрической. У каждой такой матрицы элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой.
Размерности матриц А и АТ таковы, что произведения А·А
Т и
АТ ·А определены.
Пример.
Пусть ,1431
0012A
−−
= тогда ,
10
40
31
12
AT
−−
=
.
1431
416124
312105
1455
AA,275
55AA TT
−−−
−−−
=⋅
−−
=⋅
10
§3. Определители и способы их вычисления
Для квадратной матрицы вводится понятие определителя
(детерминанта) матрицы. Определитель квадратной матрицы − это число, которое ей сопоставляется и может быть вычислено по ее элементам в соответствии с определенными правилами. Определитель матрицы А обозначается ∆ (detA, |A|) или, если нужно выписать элементы матрицы, − прямыми чертами по бокам этой матрицы
,
...
............
...
...
21
22221
11211
mnamama
naaanaaa
=∆
Определителем матрицы 1-го порядка (т. е. матрицы,
состоящей из одного элемента, одного числа) называется само число, составляющее заданную матрицу: ∆=|a11|=a11.
Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по правилу
,122122112221
1211aaaa
aa
aa−==∆
т. е. из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычитается произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.
Пример.
.2612144)3(7273
42=+=⋅−−⋅=
−
Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А,
называется число, вычисляемое следующим образом:
==∆
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++=
11
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком “плюс”, а какие со знаком “минус”, полезно следующее правило, называемое правилом треугольника:
Пример.
=−
−105
322
704
.78)1(200345)2(7027530)1()2(4 =−⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅+−⋅−⋅=
Легко проверяются следующие свойства определителей. Величина определителя:
• не изменится, если матрицу А транспонировать, т. е. detA = detAT;
• не изменится, если к элементам какой-либо его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число;
• меняет знак на противоположный, если поменять местами любые две его строки (или два столбца);
• увеличится в k раз, если элементы какой-либо его строки (или столбца) умножить на k, т. е. общий множитель, имеющийся в строке (или столбце), можно выносить за знак определителя;
• равна нулю, если элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю;
• равна нулю, если элементы каких-либо двух строк (или столбцов) соответственно равны.
Минором какого-либо элемента определителя называется
определитель, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Например, минором элемента а12 определителя 3-го порядка является определитель
12
2-го порядка .3331
2321
aa
aa Минор элемента аij обозначается через
Mij.
Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор,
взятый со знаком (−1)i+j
. Алгебраическое дополнение элемента аij
обозначается Аij. Следовательно, Аij=(−1)i+j
·Mij. Например,
А23=(−1)2+3·M23 .3331
2321
aa
aa−=
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Это свойство определителя называется разложением определителя по элементам строки (или столбца).
Для определителя 3-го порядка имеют место следующие
разложения: ∆ = a11A11+a12A12+a13A13; ∆ = a11A11+a21A21+a31A31; ∆ = a21A21+a22A22+a23A23; ∆ = a12A12+a22A22+a32A32; ∆ = a31A31+a32A32+a33A33; ∆ = a31A31+a23A23+a33A33.
Свойство разложения определителя по элементам строки (или
столбца) допускает обобщение, которое может быть принято за определение определителя любого порядка.
Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю. Например, a11A21+a12A22+a13A23 = 0.
Если А и В − квадратные матрицы одного и того же порядка с определителями detA и detВ, то определитель матрицы С=АВ равен произведению определителей перемножаемых матриц, т. е. detС = detA·detВ.
В общем случае определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице n-го порядка
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
A
21
22221
11211
13
называется число, равное сумме парных произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
Пример. Вычислить определитель
1025
3240
4132
0203
−−
при помощи разложения его по элементам первой строки. Решение.
=⋅−⋅+−−
⋅−⋅=−− ++
125
340
432
)1(2
102
324
413
)1(3
1025
3240
4132
0203
3111
.5439283 −=⋅−⋅=
Если в определителе все элементы какой-либо строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то при вычислении определителя выгодно разложить его по элементам именно этой строки (столбца). Если же такой строки (столбца) нет, то, используя свойство 2 определителя, его можно преобразовать так, чтобы он имел такую строку (столбец).
Пример.
=−−−⋅−⋅−=−−−
−=
−− +
125
524
343
)1(1
1025
5024
4132
3043
1025
3240
4132
0203
32
( ) ( ) .54720241
7512
401
524
70522 −=+⋅−=
−−−
⋅−⋅−=−−−−−−
= +
Заметим, что определители любого порядка n обладают вышеуказанными свойствами.
14
Для вычисления определителей n-го порядка иногда оказывается полезной формула, позволяющая свести определитель n-го порядка к определителям (n−1)-го порядка, элементы которого выражены как миноры второго порядка:
=
−
−
−
−
nnnnnnn
nn
nn
nn
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
1321
313333231
212232221
111131211
...
..................
...
...
...
.
...
...............
...
...
1
1
111
11
1111
31
1311
21
1211
331
111
1331
1111
3331
1311
3231
1211
221
111
1221
1111
2321
1311
2221
1211
211
nnn
n
nnn
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
a
−
−
−
−
−
−
−=
Предполагается, что а11≠ 0. Если же а11=0, то перестановкой строк и столбцов всегда можно из данного определителя получить такой, в котором а11≠ 0.
Пример. Вычислить определитель
1025
3240
4132
0203
−−
.
Решение.
15
=−−−
=−
−
=−−
3106
9612
1279
91
15
03
05
23
25
03
30
03
20
23
40
03
42
03
12
23
32
03
31
1025
3240
4132
0203
2
=−−−
=
−−
−−
=−−−
⋅⋅⋅=516
710
31
12
43
102
73
34
43
64
73
31
1102
364
473
3391
( ) 541125031 −=−−= .
§4. Обратная матрица Рассмотрим теперь так называемую обратную матрицу, понятие
которой вводится только для квадратной матрицы.
16
Если А − квадратная матрица, то обратной матрицей для нее, называется матрица, обозначаемая А−1 и удовлетворяющая условиям
А· А−1= Е, А−1·А=Е, где Е − единичная матрица.
Примечание. Из этого определения следует, что если матрица А
−1 является обратной для А, то и А будет обратной для А−1. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной),
если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица А называется вырожденной.
Для каждой невырожденной матрицы можно найти обратную.
Матрица ,
...
............
...
...
A
AAA
AAA
AAA
21
12212
12111
1
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
=−
nnnn
n
n
где ∆ − определитель матрицы А, Аij − алгебраические дополнения
элемента аij является обратной для невырожденной матрицы
.
...
............
...
...
A
21
22221
11211
=
nnanana
naaa
naaa
Для того чтобы построить обратную матрицу для квадратной невырожденной матрицы А, необходимо сначала построить транспонированную матрицу А
Т, а затем каждый элемент матрицы
АТ заменить его алгебраическим дополнением, деленным на ∆.
Пример. Найти матрицу, обратную матрице
.
213
312
521
A
−=
Решение. ∆ = −2+10+18+15−3−8=30. Так как ∆ ≠ 0, то обратная матрица
существует.
17
Вычисляем алгебраические дополнения:
;1131
52)1(A;1
21
52)1(A;5
21
31)1(A 13
3112
2111
11 =−
−==−=−=−
−= +++
;732
51)1(A;13
23
51)1(A;5
23
32)1(A 23
3222
2221
12 =−=−=−==−= +++
.512
21)1(A;5
13
21)1(A;5
13
12)1(A 33
3332
2331
13 −=−
−==−==−
−= +++
Cоставляем так называемую присоединенную матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов присоединенной матрицы
.
555
7135
1115
A~
−−
−=
И, наконец, поделив каждый элемент присоединенной матрицы
A~
на величину определителя, получим обратную матрицу
.
61
61
61
307
3013
61
3011
301
61
555
7135
1115
3011A
−
−
−
=
−−
−=−
Чтобы убедиться в правильности вычислений, найдем
произведение АА–1, должна получиться единичная матрица.
=
−
−
−
⋅
−=−
61
61
61
307
3013
61
3011
301
61
213
312
521
AA 1
18
E.
100
010
001
3000
0300
0030
301
555
7135
1115
213
312
521
301 =
=
=
−−
−⋅
−=
§5. Матричный способ решения систем линейных уравнений. Правило Крамера
Покажем, каким образом мы можем использовать матричный
аппарат для решения систем линейных уравнений. Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными
x1, x2, …, xn:
=+++
=+++
=+++
....
..............................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
nbnxnnaxnaxna
bnxnaxaxa
bnxnaxaxa
Числа аij называются коэффициентами системы, а числа bij − свободными членами.
Система линейных уравнений называется однородной, если b1 = b2 =…= bn =0, в противном случае (если хотя бы одно из чисел bij ≠0) система называется неоднородной.
Матрица
19
=
nnanana
naaa
naaa
...
............
...
...
A
21
22221
11211
называется матрицей системы, а ее определитель ∆ − определителем системы.
Решением системы называется совокупность чисел x1=λ1, x2= λ2, …, xn= λn,
которые обращают все уравнения системы в тождества. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется
совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.
Пусть detA≠ 0. Обозначим матрицу-столбец из неизвестных через Х и матрицу-
столбец из свободных членов через В:
. ...
B, ...
X2
1
2
1
=
=
nn b
b
b
x
x
x
Согласно правилу умножения матриц, имеем:
.
...
.....................................
...
...
AX
2211
2222121
1212111
+++
++++++
=
nxnnaxnaxna
nxnaxaxa
nxnaxaxa
Используя определение равенства матриц, данную систему
можно записать следующим образом: АХ=В.
20
Записанное равенство называется матричным равнением (здесь в роли неизвестного выступает матрица Х). Так как по условию detA≠ 0, то для матрицы А существует обратная матрица
А−1
. Умножим обе части матричного уравнения слева на А−1
:
А−1
(АХ)=А−1В.
Используя сочетательный закон умножения матриц, можно написать
(А−1А)Х=А
−1В.
Но так как А−1А=Е и ЕХ=Х, то получаем решение матричного
уравнения в виде
Х=А−1В.
Замечание. Если при решении матричного уравнения обе части
умножить на А−1 справа, то решение будет найдено не верно.
Домножение справа применяется при решении матричных уравнений вида ХА = В, где Х − неизвестное, А и В − данные матрицы.
Пример. Решить матричным способом систему линейных
уравнений
−=+=+−=++
.35
,62
,523
21
321
321
xx
xxx
xxx
Решение. В матричной форме эта система запишется в виде АХ=В. Здесь
.
3
6
5
B, X ,
051
112
123
A
3
2
1
−=
=
−=x
x
x
Так как ,0201512100
051
112
123
≠−=−−+++=−=∆ значит
существует обратная матрица А−1, которая имеет вид
21
.
71311
111
355
21
A 1
−−−−
−−=−
Находим искомое решение
.
1
1
2
2
2
4
21
3
6
5
71311
111
355
21
BAX 1
−=
−
−−=
−
−−−−
−−== −
То есть х1 = 2, х2 = −1, х3 = 1.
Проверка:
−=−⋅+=+−−⋅=+−⋅+⋅
3)1(52
61)1(22
51)1(223
− верно.
Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными
удобно записывать и вычислять также с помощью определителей. Из равенства Х=А−1
В согласно правилу умножения матриц, имеем:
,
A...AA
........................................
A...AA
A...AA
1X
2211
2222112
1221111
+++
++++++
∆=
nnnnn
nn
nnbb
bbb
bbb
b
где ∆= .
...
............
...
...
32
22322
11312
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
Заметим, что
.
...
...............
...
...
A...AA
32
223222
113121
1221111
nnnnn
n
n
nn
aaab
aaab
aaab
bbb =+++
Обозначим этот определитель ∆1. Аналогично определим
22
.
...
...............
...
...
A...AA
......,..........................................................................................
,
...
...............
...
...
A...AA
321
2232221
1131211
2211
31
223221
113111
22221122
nnnn
nnnnnn
nnnnn
n
n
nn
baaa
baaa
baaa
bbb
aaba
aaba
aaba
bbb
=+++=∆
=+++=∆
Каждый определитель ∆i получается из определителя системы ∆
заменой его i-го столбца столбцом свободных членов. Таким образом, матрица-столбец неизвестных принимает вид
,......
X2
1
2
1
∆∆
∆∆∆∆
=
=
nnx
x
x
23
то есть
.,...,, 22
11 ∆
∆=∆∆=
∆∆= n
nxxx
Полученные формулы называются формулами Крамера, а
правило для нахождения решения систем линейных уравнений с помощью формул Крамера называется соответственно правилом Крамера.
Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера.
−=+=+−=++
.35
,62
,523
21
321
321
xx
xxx
xxx
Решение.
.02
051
112
123
≠−=−=∆
Вычислим определители ∆1, ∆2, ∆3. Имеем
.2
351
612
523
,2
031
162
153
,4
053
116
125
321 −=−
−=∆=−
=∆−=−
−=∆
Применяя формулы Крамера, получим
.122
,122
,224 3
32
21
1 =−−=
∆∆=−=
−=
∆∆==
−−=
∆∆= xxx
24
Тема 2. Ранг матрицы. Решение произвольных систем
линейных уравнений
§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы
Пусть в матрице А размерности m × n выбраны произвольно k строк и k столбцов (1≤ k ≤ max{m,n}). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А.
Максимальный порядок r, отличных от нуля миноров матрицы А называется рангом матрицы (обозначается rangA). Любой минор порядка r, отличный от нуля, называется базисным минором.
Ранг является важной характеристикой матрицы. Пример. Вычислить ранг матрицы
−−=
1031
1512
1024
A .
Решение. Рассмотрим минор, получаемый в результате отбрасывания
первого столбца данной матрицы (k = 3).
051510
103
151
102
≠=+−=− .
Так как выбранный минор 3-го порядка отличен от нуля, то rangA=3.
Задача нахождения ранга матрицы непосредственно пользуясь определением требует, как правило, вычисления большого количества определителей. Для удобства нахождения ранга матрицы используют метод элементарных преобразований, основанный на том, что ранг матрицы при этом не меняется.
К элементарным преобразованиям относят следующие: • две строки матрицы можно поменять местами, при этом остальные строки остаются на своих местах;
25
• все элементы некоторой строки матрицы можно умножить или разделить на некоторое действительное число, отличное от нуля;
• к элементам какой-либо сроки матрицы можно прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на некоторое действительное число. Будем считать, что строки матрицы А линейно зависимы, если
хотя бы одна из них линейно выражается через другие. Если строки матрицы линейно зависимы, то в результате элементарных преобразований в матрице появляются строки, состоящие из одних нулей − так называемые нулевые строки. Можно показать, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк, т. е. максимальному числу ненулевых строк.
Пример. Вычислить ранг матрицы А, используя метод
элементарных преобразований.
−−=
1031
1512
1024
A .
Решение. Поменяем местами первую и третью строки, получим матрицу
−−
1024
1512
1031
.
Прибавим ко второй строке полученной матрицы первую
строку, умноженную на число 2. Результат запишем на месте второй строки, 1-я и 3-я строки не меняются.
Получим матрицу
−−
1024
3570
1031
.
Аналогично прибавим к третьей строке первую, умноженную на
4, причем первую и вторую строки не меняем:
26
−−
50140
3570
1031
.
Прибавив к третьей строке полученной матрицы вторую строку,
умноженную на число –2, получим матрицу В, приведенную к ступенчатому виду:
В= .
11000
3570
1031
−−
−
Определить ступенчатую матрицу можно так: если в i-й строке
левее элемента аij стоят только нули, то и ниже этого элемента в j-ом столбце стоят только нули. Метод приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований называют методом Гаусса.
Запись А~В (А эквивалентно В) означает, что матрица В получена из матрицы А элементарными преобразованиями. Матрица В остается матрицей того же порядка, что и матрица А. Так как А~В и число ненулевых строк матрицы В равно трем, то rangA = rangB = 3.
Если у ступенчатой матрицы есть нулевые строки, то они находятся внизу.
Пример.
−−−
1101
3110
4422
~
−−−
4422
3110
1101
~
~
−−−
6220
3110
1101
~ .
0000
3110
1101
−
Здесь ранг матрицы равен 2 по числу получившихся ненулевых строк.
Каждую прямоугольную матрицу с помощью элементарных
преобразований над строками можно привести к ступенчатому виду.
27
Последовательность элементарных преобразований, приводящих матрицу А к ступенчатому виду, и сам ступенчатый вид В определены, вообще говоря, неоднозначно. Однако число ненулевых строк не зависит от способа приведения исходной матрицы к ступенчатому виду.
§2. Решение произвольных систем
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными в
общем виде:
=+++
=+++
=+++
....
........,........................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
mnnmmm
nnx
nn
bxaxaxa
bxaxaa
bxaxaxa
(1)
Заметим сразу, что число уравнений m, вообще говоря, не
обязательно совпадает с числом неизвестных n. Матрица
=
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
A
21
22221
11211
,
состоящая из коэффициентов при неизвестных в системе (1), называется матрицей системы.
Вектор ...
X 2
1
=
nx
x
x
− это вектор-столбец неизвестных данной
системы.
Вектор
=
nb
b
b
...B 2
1
− свободный вектор.
Матрица
28
=
mnmmm
n
n
baaa
baaa
baaa
...
...............
...
...
A
21
222221
111211
называется расширенной матрицей системы.
Ответ на вопрос о совместности системы (1) дает следующая
важная теорема Кронекера-Капелли: для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы этой системы, т. е. rangA = rangA .
Таким образом, если rangA ≠ rangA , то система несовместна и вопрос о ее решении не имеет смысла.
Пример. Исследовать совместность системы
=−+=−++=++−
.0114
,1223
,05
421
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
Имеем
−−
−=
11041
1223
5111
A ,
−−
−=
011041
11223
05111
A .
Приведем расширенную матрицу A методом Гаусса к ступенчатому виду:
−−
−
011041
11223
05111
~
−−−−
−
016150
116150
05111
~
~
−−−
−
10000
116150
05111
.
29
Ранг расширенной матрицы равен 3. Заметим, что и нерасширенная матрица (до вертикальной черты) одновременно тоже приведена к ступенчатому виду, но ее ранг равен 2.
Выпишем соответствующую систему уравнений:
−=+++=−−=++−
.10000
,1165
,05
4321
432
4321
xxxx
xxx
xxxx
Видно, что не существует таких чисел х1, х2, х3, х4, чтобы
последнее уравнение выполнялось, а значит система несовместна. Пусть теперь rangA = rangA , т. е. система имеет хотя бы одно
решение. В этом случае число r (1≤ r≤ min{m,n}), равное рангу матриц А и A , называется рангом совместной системы (1). Без ограничения общности можно считать, что первые r строк матрицы А ненулевые. Тогда первые r строк расширенной матрицы В также будут линейно независимы. Это, в свою очередь, означает, что первые r уравнений системы (1) независимы, а остальные m−r уравнений являются следствиями первых r уравнений, то есть для решения системы достаточно решить систему из первых r уравнений:
=+++
=+++
=+++
....
......,........................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
rnnrrr
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(2)
Решение этой системы автоматически будет удовлетворять и
остальным m−r уравнениям. Возможны два случая: r = n и r < n. Если r = n, то определитель матрицы системы (2)
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
32
22322
11312
30
отличен от нуля. Следовательно, по правилу Крамера система имеет единственное решение.
При r < n возьмем первые r уравнений системы (1) и перенесем в каждом из уравнений системы (2) в правую часть все члены с неизвестными xr+1, xr+2, …, xn (назовем их свободными или неосновными) и выберем для этих неизвестных некоторые значения с1, с2, …, сn-r. В результате получим систему r уравнений
−−−=+++
−−−=+++
−−−=+++
+
+
+
,......
..,................................................................................
,......
,......
112211
211222222121
111111212111
nnrrrrrrrr
nnr
nnrrr
cacabxaxraxa
cacabrxraxaxa
cacabxaxaxa
относительно r неизвестных x1, x2, …, xr (назовем их базисными или основными). К этой системе применительно правило Крамера, и поэтому она обладает единственным решением.
Так как значения с1, с2,…, сn-r для неизвестных xr+1, xr+2,…, xn можно выбирать произвольно, то система (2), а значит и система (1) имеет бесконечное множество различных решений.
Окончательно вектор-столбец
=
−
−
−
−
rn
rnr
rn
rn
c
c
c
ccx
ccx
ccx
...
)...,,(
...
)...,,(
)...,,(
X
2
1
1
12
11
определяет общее решение системы (1).
Придавая с1, с2,…, сn-r конкретные числовые значения, получим частное решение системы (1).
31
Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы
−=−−=+−+−=−−+−=+++−
.33114
,223
,0113
,12
431
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к
ступенчатому виду:
−−−−−
−−−−
331104
21123
011131
11112
~
−−−−−
−−−−
331104
21123
11112
011131
~
~
−−−−−
−−−
3755120
243270
132350
011131
~
−−−−
−−−
00000
243270
11920
011131
~
~
−−−−−
−−−
00000
11510
11920
011131
~
−−−−−−
00000
31100
11510
011131
.
Выпишем соответствующую систему уравнений:
−=+=−−=++−
.3
,15
,0113
43
432
4321
xx
xxx
xxxx
Так как уравнений три, а неизвестных четыре, то выберем в
качестве основных переменных, например, х1, х2, х3, в качестве
32
неосновной − переменную х4. Полагая х4=с, выразим основные неизвестные:
−−=−−=
−−=
.3
,414
,29
3
2
1
cx
cx
cx
Окончательно cxcxcxcx =−−=−−=−−= 4321 ,3,414,29 −
общее решение системы, где ),( +∞−∞∈c . Укажем некоторые частные решения:
пусть с = 0, тогда 0,3,14,9 4321 =−=−=−= xxxx ;
пусть с = −4, тогда 4,1,2,1 4321 −===−= xxxx .
§3. Однородные системы линейных уравнений. Общее решение однородной и неоднородной системы
Система линейных уравнений называется однородной, если
свободные члены во всех ее уравнениях равны нулю:
=+++
=+++
=+++
,...
.........,........................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
mnnmmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
в противном случае система называется неоднородной.
Однородная система всегда совместна, так как имеет, например, тривиальное (нулевое) решение:
0...,,0,0 21 === nxxx .
Для существования нетривиального (ненулевого) решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы r = rangA < n (при m = n это условие означает, что detA=0).
Общие решения таких систем можно найти способом, изложенным в §2.
33
Чтобы получить общее решение неоднородной системы нужно к общему решению соответствующей однородной системы прибавить некоторое частное решение неоднородной.
§4. Метод последовательных исключений Жордана-Гаусса Метод Жордана-Гаусса является эффективным методом
решения систем линейных уравнений высокого порядка:
=+++
=+++
=+++
,...
.........,........................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
mnnmmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
и состоит из прямого и обратного хода. Прямой ход метода − приведение расширенной матрицы
системы (с помощью элементарных преобразований над строками) к ступенчатому виду
+
+
+−
+−
'
'
'''
''''''
'''''''
0...000...000
..............................
0...000...000
...10...000
..............................
......10
......1
1
1
221221223
11111111312
m
r
rrnrr
nrrr
nrrr
b
b
baa
baaaaa
baaaaaa
.
Если хотя бы одно из чисел '
1+rb , …, 'mb отлично от нуля, то
система несовместна. Если же '1+rb = …= '
mb = 0, то система совместна, причем если r=n, то система имеет единственное решение
''' ...,,, 2211 nn bxbxbx === ; если r<n, то система имеет бесконечно множество решений. Дальнейшее решение осуществляется с помощью обратного хода.
34
Обратный ход метода Жордана-Гаусса − приведение ступенчатой матрицы (с помощью элементарных преобразований над строками) к виду
+
+
+
''''''
''''''
''''''
...10...000
..............................
...00...010
...00...001
1
2212
1111
rrnrr
nr
nr
baa
baa
baa
(здесь нулевые строки отброшены).
Система линейных уравнений, соответствующая полученной
матрице, имеет вид
=+++
=+++
=+++
++
++
++
....
.................................................
,...
,...
''''''
''''''
''''''
11
221122
111111
rnrnrrrr
nnrr
nnrr
bxaxax
bxaxax
bxaxax
Отсюда, приняв переменные x1, x2, …, xr за базисные и, придавая
неосновным переменным xr+1, xr+2, …, xn значения с1, с2, …, сn-r , получим общее решение
35
=
=
−−−=
−−−=
−−−=
−
−
−
−
+
+
+
+
.
.......,........................................
,
,...
...............................................
,...
,...
11
11
211222
111111
''''''
''''''
''''''
rnn
r
rnrnrrrr
rnnr
rnnr
cx
cx
cacabx
cacabx
cacabx
Придавая произвольным постоянным с1, с2, …, сn-r конкретные
числовые значения можно получить частные решения системы.
Примеры. Методом Жордана-Гаусса найти общее решение системы.
1.
=++++=++++=++++
.21729913
,314382
,19753
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
Решение. Производя элементарные преобразования над
строками расширенной матрицы, получаем
217299131
3143812
197531
~
−−−−18224100
1411250
197531
~
~
−−−−300000
1411250
197531
.
Данная система несовместна.
36
2.
=−−+=−−+=−−
−=+−
.7223
,422
,123
,32
4321
4321
321
421
xxxx
xxxx
xxx
xxx
Решение.
−−−−
−−−−
=
72231
41212
10213
31021
A ~
−−−−−−
−−
103250
103250
103250
31021
~
~
−−−−
00000
00000
103250
31021
~
−−
−−
00000
00000
253
52
10
151
54
01
.
Соответствующая система имеет вид
=−−
=−−
.253
52
,151
54
432
431
xxx
xxx
Считая x1, x2 базисными неизвестными, а x3, x4 − свободными
(x3=с1, x4=с2), получаем общее решение в виде
37
==
++=
++=
.
,
,53
52
2
,51
54
1
24
13
212
211
cx
cx
ccx
ccx
Придавая с1, с2 определенные числовые значения можно найти
частное решение системы. Например:
при с1 = 0, с2 = 0 имеем х1 = 1, х2 = 2, х3 = 0, х4 = 0; при с1 = −1, с2 = 2, получаем х1 = 0,6 , х2 = 2,8 , х3 = −1, х4 = 2.
38
УПРАЖНЕНИЯ К ТЕМЕ 1
Задание 1. Найти матрицу С.
1.1.
−−
⋅=⋅+
−−
642
511
230
3C2
204
311
612
.
1.2.
−−−
⋅=⋅+
−−−−−
524
312
101
2C3
3417
1587
1132
.
1.3.
−−
⋅=⋅−
−−
3103
741
232
2C3
61721
7207
237
.
1.4.
−−−−−−
⋅=⋅−
−815
721
310
2C3
3021
4114
9127
.
1.5.
−−
⋅=⋅−
−−
861
621
651-
2C
642
511
230
.
1.6.
−
−=⋅−
−−
−
1521
432
311
C2
701
052
137
.
1.7.
−=⋅+
−−
1712
1210
150
C2
170
432
210
.
39
1.8.
−=⋅+
−−
3011
4114
9127
C3
361
141
037
.
1.9.
−−−−
=⋅−
−
−
590
7102
263
C2
532
106
423
.
1.10.
−−
−⋅=⋅+
−−
−
242
243
316
2C3
244
110
650
.
1.11.
−−−−
−−⋅=⋅−
−−
−
014
035
271
2C2
086
042
604
.
1.12.
−−
⋅=⋅+
−−
642
511
230
3C2
204
311
612
.
1.13.
−−−−−
=⋅−
−
−
373
859
51210
C3
326
153
207
.
1.14.
−−−
⋅=⋅+
−−−−−
524
312
101
2C3
3417
1587
1132
.
1.15.
−−
⋅=⋅−
−−
3103
741
232
2C3
61721
7207
237
.
40
1.16.
−−−−−−
⋅=⋅−
−815
721
310
2C3
3011
4114
9127
.
1.17.
−−−
⋅=−⋅
−−
861
621
651
2C3
642
511
230
.
1.18.
−−
−=⋅+
−−
−
7264
1318
421
C4
124
130
021
.
1.19.
−−
−−=⋅−
−−−
821
11131
742
C2
407
137
102
.
1.20.
−−
⋅=⋅+
−−
200
261
326
2C3
103
201
316
.
1.21.
−−−
=⋅−
−−−
494
494
777
C4
898
454
373
.
1.22.
−−−−−−
⋅=⋅−
−−−−−
815
721
310
3C2
3417
1587
1132
.
1.23
−−−−
−−⋅=⋅−
−−
014
035
271
2C2
086
042
604
.
41
1.24.
−−
−⋅=⋅+
−
−
701
052
131
3C2
1521
432
317
.
1.25.
−
−⋅=⋅+
−−
−−
815
721
310
3C2
3417
1587
1132
.
Задание 2. Найти значение матричной функции f(A).
2.1. f(x) = 3x2 +2x−1, если
−=
02
31A .
2.2. f(x) = 3x2 −5x−3, если
−−−
=42
13A .
2.3. f(x) = −2x2 +x+1, если
−−=
10
34A .
2.4. f(x) = x2 −7x+6, если
−−
=41
20A .
2.5. f(x) = 3x2 +2x−8, если
−−
=32
32A .
2.6. f(x) = −4x2 −x+13, если
=42
13A .
2.7. f(x) = x2 −6x−9, если
−−=
40
11A .
2.8. f(x) = −3x2 +5x−2, если
−−
=32
10A .
2.9. f(x) = 2x2 −x−3, если
−−
=42
13A .
2.10. f(x) = 3x2 −5x−3, если
−−−
=42
13A .
2.11. f(x) = x2 −4x+6, если
−=
12
22A .
42
2.12. f(x) = −x2 −2x+9, если
−=
13
20A .
2.13. f(x) = 2x2 −5x+4, если
−−
=11
11A .
2.14. f(x) = 4x2 −x−3, если
−=
33
23A .
2.15. f(x) = 4x2 +6x−13, если
−−=
40
21A .
2.16. f(x) = x2 +x−8, если
=13
50A .
2.17. f(x) = −2x2−x−1, если
−−
=42
13A .
2.18. f(x) = 7x2 −x+1, если
−=
31
01A
2.19. f(x) = 3x2 −5x+3, если
−−
=02
13A .
2.20. f(x) = 2x2 −7x−1, если
−=
52
40A .
2.21. f(x) = x2 −6x−2, если
−−
=23
02A .
2.22. f(x) = 4x2 −x−13, если
−=
41
05A .
2.23. f(x) = x2 +7x+3, если
−=
42
13A .
2.24. f(x) = x2 −15x+6, если
−=
06
11A .
2.25. f(x) = 3x2 −5x−1, если
−−
=12
50A .
43
Задание 3. Решить матричные уравнения и проверить правильность решения подстановкой:
3.1. а)
=⋅
6
18X
21
36, b)
−−−−
=
−−−−
⋅2142
4265
3201
131
162
241
X ;
3.2. а)
=⋅
13
7X
23
21, b)
−−−=
−−
−−⋅
26346
16390
1005
452
313
143
X ;
3.3. а)
=⋅
3
10X
12
73, b)
−−−−−
=
−−−
⋅1225
2537
1011
401
811
312
X ;
3.4. а)
−=⋅
− 12
3X
52
45, b)
−−−−−
−=
−−
−⋅
9122
5115
418
523
332
201
X ;
3.5. а)
=⋅
18
25X
23
35, b)
−−−−
=
⋅131
162
241
213
120
112
X ;
3.6. а)
=⋅
17
32X
32
45, b)
−−
−−=
⋅543
214
231
819
176
534
X ;
3.7. а)
=⋅
3
3X
54
12, b)
−−−
=
−⋅
401
811
312
031
412
503
X ;
44
3.8. а)
=⋅
3
4X
12
65, b)
−−−−−
−=
−−−
−⋅
9122
5115
418
153
140
012
X ;
3.9. а)
=⋅
3
11X
23
54, b)
−=
−−
−−⋅
110
302
539
118
741
111
X ;
3.10. а)
=⋅
8
5X
22
52, b)
−−−=
−
−⋅
26346
16390
1005
275
221
554
X ;
3.11. а)
=⋅
29
25X
34
32, b)
−
−=
−⋅111
703
610
013
940
407
X ;
3.12. а)
=⋅
13
14X
31
43, b)
−
−=
−−⋅
310
120
103
514
232
020
X ;
3.13. а)
=⋅
8
7X
15
21, b)
−=
−
−⋅
121
213
134
123
421
513
X ;
3.14. а)
=⋅
11
16X
23
15, b)
−−−
=
−−
−⋅
407
111
354
153
512
431
X ;
45
3.15. а)
=⋅
1
5X
23
27, b)
−−=
−⋅230
121
013
302
130
221
X ;
3.16. а)
−=⋅
1
3X
23
52, b)
−−
−−=
−−
−−⋅
3201
4265
2142
241
162
131
X ;
3.17. а)
=⋅
19
15X
52
12, b)
−−−=
−−
−−⋅
26346
16390
1005
452
313
143
X ;
3.18. а)
=⋅
24
21X
24
23, b)
−−−−−
=
−−−
⋅1225
2537
1011
401
811
312
X ;
3.19. а)
−=⋅
1
11X
12
75, b)
−−−−−
−=
−−
−⋅
9122
5115
418
523
332
201
X ;
3.20. а)
=⋅
8
18X
13
72, b)
−−−−
=
⋅131
162
241
213
120
112
X ;
3.21. а)
−=⋅
11
0X
54
13, b)
−−−
=
−⋅
401
811
312
031
412
503
X ;
3.22. а)
=⋅
29
11X
25
31, b)
−−−=
−
−⋅
26346
16390
1005
275
221
554
X ;
46
3.23. а)
=⋅
9
13X
13
14, b)
−−−−−
−=
−−−
−⋅
9122
5115
418
153
140
012
X ;
3.24. а)
=⋅
24
27X
53
27, b)
=
−−
−−⋅
819
176
534
543
214
231
X ;
3.25. а)
=⋅
38
45X
73
85, b)
−−
−−=
−⋅
118
741
111
110
302
539
X ;
Задание 4. Решить систему линейных уравнений по правилу
Крамера.
4.1.
=++=++=++
.2572
,32654
,1023
zyx
zyx
zyx
4.14.
=++=++=++
.27253
,26234
,1632
zyx
zyx
zyx
4.2.
=++=++=++
.5526
,68573
,3324
zyx
zyx
zyx
4.15.
=++=++=++
.2326
,49573
,2424
zyx
zyx
zyx
4.3.
=++=++=++
.1423
,42654
,2772
zyx
zyx
zyx
4.16.
=++=++=++
.25543
,23256
,1123
zyx
zyx
zyx
4.4.
=++=++=++
.32253
,23234
,1932
zyx
zyx
zyx
4.17.
=++=++=++
.1723
,39654
,1672
zyx
zyx
zyx
47
4.5.
=++=++=++
.15322
,1123
,25543
zyx
zyx
zyx
4.18.
=++=++=++
.1826
,48573
,2524
zyx
zyx
zyx
4.6.
=++=++=++
.24323
,30225
,2444
zyx
zyx
zyx
4.19.
=++=++=++
.1423
,42654
,2772
zyx
zyx
zyx
4.7.
=−+−=+−
=++
.24227
,1142
,92
zyx
zyx
zyx
4.20.
=++=++=++
.2572
,32654
,1023
zyx
zyx
zyx
4.8.
=++=++=++
.2823
,63654
,2922
zyx
zyx
zyx
4.21.
=+−=−−=++
.13225
,1
,387
zyx
zyx
zyx
4.9.
=++=++=++
.8323
,825
,742
zyx
zyx
zyx
4.22.
=++=++=++
.27253
,26234
,1632
zyx
zyx
zyx
4.10.
=++=++=++
.14223
,13535
,2435
zyx
zyx
zyx
4.23.
=++=−+=+−
.162
,3744
,2462
zyx
zyx
zyx
4.11.
=++=++=++
.26224
,3235
,31273
zyx
zyx
zyx
4.24.
=++=−−
−=+−−
26387
,15253
,1
zyx
zyx
zyx
4.12.
=++=++=++
.21253
,1724
,2035
zyx
zyx
zyx
4.25.
=++=++=++
.14223
,13524
,2435
zyx
zyx
zyx
48
4.13.
=++=++=++
.14473
,11254
,1072
zyx
zyx
zyx
УПРАЖНЕНИЯ К ТЕМЕ 2
Задание 5. Исследуйте и найдите решение следующих систем
линейных уравнений:
5.1. а)
=++−−=−−+
=++−=−−+
.322
,1222
,13
,2723
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
b)
=−+−=+++=+++=+++
.0435
,03453
,0322
,023
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=++−=−+
−=+−=−+−
.337
,133
,3
,4432
432
421
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
5.2. а)
=++−=++−
=−−=−−+
.13
,4343
,35
,1222
4321
4321
42
4321
xxxx
xxxx
xx
xxxx
b)
=+−+=+−+=−++=−++
.05343
,0232
,0543
,02
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
49
c)
−=++−=−−=−+−=−+
.337
,1
,4432
,133
432
432
4321
421
xxx
xxx
xxxx
xxx
5.3. а)
=+++=++−=−+−
.232
,74325
,224
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
b)
=++−=++−=+−+=+−+
.04353
,0322
,03452
,02
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
=−++=−++=+++−=−++
.1423
,35534
,132
,232
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.4. а)
=−−+=−−+=++−
.21256
,19452
,1
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
b)
=−++=−++=−++=+−+
.05343
,0232
,032
,0543
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
50
c)
−=−+=+++=+−+=+−+
.61462
,125
,5114
,242
431
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.5. а)
=++++=+−−+=++++
.4222511122
,25423
,19735
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
b)
=+++=+++=+++=+−−
.04353
,0322
,023
,0345
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=+−+=+−+=+−=+−+
.14107
,16453
,618153
,1432
4321
4321
432
4321
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
5.6. а)
−=++=+++=+++
.262
,23
,56324
432
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
b)
=−−+=+++=+++=+++
.02
,05343
,0232
,032
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
=−−+=−++=−++=−++
.1343
,132
,22453
,132
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
51
5.7. а)
=−+−−−=++−−
=−−++
.4232
6353
83222
54321
54321
54321
xxxxx
,xxxxx
,xxxxx
b)
=−++=−++=−++=+−+
.05343
,0232
,032
,02
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=−−=+−+−=++−=+++−
.33114
,223
,0113
,12
431
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.8. а)
−=−++=++=+++=−+
52732
81356
032
6342
4321
321
4321
432
xxxx
xxx
,xxxx
,xxx
b)
=−++=−++=−++=++−
.03345
,0232
,023
,02
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=−+=+++=+++−=+++−
.61426
,125
,54
,242
421
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
52
5.9. а)
=−−=+−+=−+−
.74
4232
1
421
4321
4321
xxx
,xxxx
,xxxx
b)
=−−−=+++=−+−=+−+
.01125
,042
,0422
,032
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
=−+−=−++=−++=−++
.1433
,132
,22543
,123
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.10. а)
−=−−−=−++
−=−−=+++
.2
,43232
4434
5
4321
4321
432
4321
xxxx
xxxx
,xxx
,xxxx
b)
=−−−=−+−=+++=−−+
.085
,0523
,0432
,0
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=+−−=+−+
=−++=−+
.378
,23254
,134
,615183
431
4321
4321
432
xxx
xxxx
xxxx
xxx
53
5.11. а)
−=+−−=−+
=−++=+++
642
,6342
151152
23936
4321
432
4321
4321
xxxx
xxx
,xxxx
,xxxx
b)
=+++=+++
=+++=+−−
.04533
,0322
,032
,02
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=−+=+++=+−+
=+−+
.61462
,152
,5114
,242
432
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.12. а)
=++=−++−=+++=+++
.81356
,62732
1122
132624
321
4321
4321
4321
xxx
xxxx
,xxxx
,xxxx
b)
=−−+=+−+
=+−+=++−
.0835
,04533
,0322
,02
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=++−=−+−=+−
=−++−
.337
,133
,3
,4432
431
421
431
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
54
5.13. а)
−=−+−−=−+−−
−=++−−
.44843
3232
3353
54321
54321
54321
xxxxx
,xxxxx
,xxxxx
b)
=+++=+++
=+++=+++
.010957
,04533
,0322
,032
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
=−−+=−+
=−++=−++
.1343
,17
,132
,132
4321
432
4321
4321
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
5.14. а)
−=−−−=−++
=+++=−−+
=−−+
.2
,43232
,5
04327
1325
4321
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
,xxxx
,xxxx
b)
=++−=++−
=++−=+−+
.05435
,0232
,032
,02
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=−−=+−−=−−−
=++−
.33114
,232
,0113
,12
432
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
55
5.15. а)
=−−+=−−++=−−++
.144575
83222
257797
5432
54321
54321
xxxx
,xxxxx
,xxxxx
b)
=+++=+++
=+−−=+++
.0435
,04533
,0354
,0432
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
=−++=−++
=++−=−++
.1423
,35542
,132
,232
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.16. а)
=+++=++−
=−+−
.232
92466
224
4321
4321
4321
xxxx
,xxxx
,xxxx
b)
=+−+=+−+
=+−+=++−
.021393
,04533
,0322
,0354
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=++−=−+−=+−
=−+−
.337
,133
,31
,4432
432
421
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
5.17. а)
=++++−=+++
=+−−+
.4222511122
141152
25423
54321
5432
54321
xxxxx
,xxxx
,xxxxx
56
b)
=−+−−=−++
=−++=−++
.0354
,0121963
,03453
,0232
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
=+−−=+−
=−+−=−+
.337
,3
,4432
,133
432
432
4321
421
xxx
xxx
xxxx
xxx
5.18. а)
=−+−=+++
=++−
.224
232
74325
4321
4321
4321
xxxx
,xxxx
,xxxx
b)
=+++=+−+−
=+++=+++
.0198123
,0354
,04533
,0322
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
=−++=−++=+++−
=−++
.1423
,35534
,132
,232
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.19. а)
=++−=++−=−−+
−=−−+
,13
,322
2723
1222
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
,xxxx
,xxxx
57
b)
=+++−=−++
=−++=−++
.0534
,0819123
,05433
,0232
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=−+=+++=+−+
=+−+
.61462
,125
,5114
,242
431
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.20. а)
=+++=++++
=++++
.21729139
0131887
19735
54321
54321
54321
xxxxx
,xxxxx
,xxxxx
b)
=+−+=+++=+−+
=−++
.0831912
,0322
,05343
,0543
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=+−+=+−+
=+−=+−+
.141107
,16453
,618153
,1432
4321
4321
432
4321
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
5.21. а)
=−++=−+−
=++
.541224
224
055
4321
4321
321
xxxx
,xxxx
,xxx
b)
=+++=+++=++−
=−−−
.08533
,0322
,0354
,02
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
58
c)
=−−+=−++
=−++=−++
.1343
,132
,22453
,132
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.22. а)
=++++=+−+−=++++
.0222512112
05432
19753
54321
54321
54321
xxxxx
,xxxxx
,xxxxx
b)
=+−−=+++
=+++=+++
.0354
,04533
,0322
,032
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=−−=+−+−
=++−=+−+−
.33114
,223
,0113
,12
431
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.23. а)
=−−−=−−+
=++−=−+
.11034
,1222
322
22
432
4321
4321
431
xxx
xxxx
,xxxx
,xxx
b)
=+−+=+−+
=+−+=++−
.04533
,0322
,032
,0354
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
59
c)
−=−+=+++
=+++−=+++−
.61426
,125
,5114
,242
421
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.24. а)
=++−=−−+=++−
−=−−+
,13
,2723
4343
1222
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
,xxxx
,xxxx
b)
=++−=++−=++−
=+−+
.0198312
,0322
,04533
,0354
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
=−+−=−++
=−++=−++
.13433
,132
,22543
,123
4321
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
5.25. а)
=−−++=−−+−=+−+−
.87222
6353
2232
54321
54321
54321
xxxxx
,xxxxx
,xxxxx
b)
=+++=+++
=+++=+−−
.0198312
,04533
,0322
,0354
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c)
−=+−−=+−+
=−++=−+
.378
,23254
,1342
,615183
431
4321
4321
432
xxx
xxxx
xxxx
xxx
60
ЛИТЕРАТУРА 1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры.-М.: Наука, 1980. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии.- М.: Наука, 1980. 3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.- М.: Наука, 1966. 4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.- М.:
Высшая школа, 1980.
61
ОГЛАВЛЕНИЕ
Тема 1. Матрицы. Основные действия над ними. Обратная матрица. Матричный способ решения систем линейных уравнений…….2 §1. Матрицы. Основные понятия………………………………….2 §2. Действия над матрицами………………………………………3
§3. Определители и способы их вычисления…………………….10 §4. Обратная матрица……………………………………………...15 §5. Матричный способ решения систем линейных уравнений. Правило Крамера………………………………………………..18
Тема 2. Ранг матрицы. Решение произвольных систем линейных уравнений………………………………………………………..24
§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы……24 §2. Решение произвольных систем………………………………...27 §3. Однородные системы линейных уравнений. Общее решение однородной и неоднородной системы………………………….32
§4. Метод последовательных исключений Жордана- Гаусса…….33
Упражнения к теме 1………………………………………….…………..38 Упражнения к теме 2……………………………………………………..48 Литература…………………………………………………………………60
