فصل اول

تابع

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢

42صفحه تمرین .دامنه هر یک از توابع زیر را تعیین کنید) 1(

11 2 += xxf )()

RD :حل f = x + ≥ ⇒2 1 o

21512

2 +−=

xxxf )()

RDxxxxx :حل f =⇒>+−=++−=+− 0459

25

459

4255215 222 )(

xxxf =)()3

) :حل , )fD = +∞o

12714

2 +−=

xxxf )() 340127 21

2 ==⇒=+− xxxx ,

),(),( +∞−∞=⇒ 43 UfD

47

412

215 22

2++−=+−⇒

+−= xxxx

xxxf )()

RDx f =⇒>+−= 047

21 2)(

{ }) ( ) fxf x D Rx

= ⇒ = −2

6 o

),()() +∞=⇒= ofDxxf7

651128 2

22

+−−+−++

=xx

xxxxxf ))(()()

www.fanavari-it.ir

٣ حد و پیوستگی: دومفصل

))(()()()( 32

11 22

−−−+−+

=⇒xx

xxxxf

o<−+−≥+ 101 22 xxx ,)( ⇒ ≥o صورت کسر

32 صفر یعنیباید مخرج کسر همراه منفی باشد و مخالف << x. ),( 32=⇒ fD

4 2 659 +−= xxf )() ))(( 32652 −−=+−⇒ xxxx

),(),( +∞−∞=⇒ 32 UfD

=)() xf10 1

122

+++

xxx { }1−−=⇒ RD f

3111

||)()

xxxf

−= o<⇒≠⇒ xxx ),( o−∞=⇒ fD

2112 xxf −=)() [ ]11,−=⇒ fD

:کنیددامنه و برد هر یک از توابع زیر را تعیین ) 2

{ }111

11

,

),(),()()

−=

+∞−∞=⇒

<−>

=

f

f

R

Dxx

xf oUoo

o

{ }

{ }

) ( )

( )

f

f f

xf x D Rx

x D f x x R R

= ⇒ = −

⇒ ∈ ⇒ = ⇒ = −

2

2 0

0

113

−−

=xxxf )() {} {}11 =−=⇒ ff RRD ,

34 +−= xxf {)() x>1 ),( +∞−∞=⇒ fD

]چون تابع روي ]صعودي است برد در این قسمت برابر −∞,1[ ]1,∞− است و

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤),(و چون تابع روي نزولی است برد در این قسمت برابر 1∞+

),(),( 231 −∞=+−−∞

:پس برد تابع اجتماع این دو مجموعه است که برابر مجموعه زیر است. است ),( 2−∞=fR

{}

−=⇒>+<

= 11115

RDxxxx

xff

)()

),(),( +∞−∞= 21 UfR

246

2

−−

=xxxf )() { }2−=⇒ RD f

2+=⇒∈⇒ xxfDx f )(

{ }4−= RRf

−≤+<<−−−

>+−

=45

441645

7 2

xxxx

xx

xf )() { }4−=⇒ RD f

451 >+−= xxf , ),( 11

−∞=⇒ fR

[ ]o,44416 21 −=⇒<<−−−= fRxxf

53 += xf [ ]14 ,−∞=⇒−≤ ofRx

[ ] ),(,),( 141321

−∞=−−∞==⇒ oUU URRRR ffff

xxxf −=)()8

xxچون همواره داریم −≥0در نتیجه ≥ xx پس جاهـایی کـهxx اسـت قابـل =]قبول است یعنی ]+∞= ,0fD.

{ }( )f fx D f x x x R∈ ⇒ = − = ⇒ =o o

از جفت توابع زیر کدام یک مساوي هستند؟) 3

www.fanavari-it.ir

٥ حد و پیوستگی: دومفصل

1 (1== )(,)( xgxxxf

RDgمساوي نیستند چون }و = }o−= RD f با هم برابر نیستند. 2 (xxg )()(2و )(= xxf =

RDgمساوي نیستند چون ]و = , )fD = +∞o با هم برابر نیستند.

3 (2+= xxg 2و )(42

−−

=xxxf .با هم برابر نیستند )(

ــد ) 4 =−1فــرض کنی xxf ــوب اســت )( )(، 1f)(. مطل 1+xf و)( 12 −xf و))(( 2ff.

o=−= 111)(f

xxxf =−+=+ 111)(

111−=

xxf )(

2111 222 −=−−=− xxxf )(

o==−= )()())(( 1122 ffff

)()()(. yو xتابعی باشد که به ازاي هر fاگر ) 5 yfxfyxf +=+.

o≠)(1fعدد طبیعی باشد و nاگر مقدار . باشد )()(

1fnf را بیابید.

:حل

gfاز موارد در هر یک) 6 + ،gf ،fog ،gof ،fof ،gog را تعیین کنید.

nf

nff

nffn

ffffnf

==⇒

=+++=++++=

)()(

)()()(

)(...)()()...()(

11

1

11111111

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٦xxfxng) الف =+= )(,)( 12.

2211

11

1

1

1

2422

4

2

2

2

2

++=++==

===

+=+==

+==

+=

++=+

xxxxggxgogxxmffxfof

xxxfgxgot

xxgfxfog

xxx

gf

xxxgf

)())(()())(()(

)())(()(

))(()(

)(

)(

24) ب xxgxxf −== )(,)( ( )

( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

f g x x x

f xxg x

fog x x

gof x x x

fof x x xgog x x x x x x

+ = + −

=−

= −

= − = −

= =

= − − = − − + = − + −

2

2

2

2

4

2 2 2 4 2 4

4

4

4

4 4

4 4 4 16 8 4 8

www.fanavari-it.ir

٧ حد و پیوستگی: دومفصل

xxngfxfog

xx

x

xxgf

xxxgf

11

1

1

2

22

2

===

==

+=+

)())(()(

)(

)(

) جx

xgxxxf 1

11

=−+

= )(,)(.

1111

111

2

−+

=−+

=

+−+

=+=+

xxx

x

xx

xgf

xxxxgxfxgf

)(

)()()(

xx

x

xxfog

xx

xx

xgfxgof

−+

=−

+=

+−

=

−+

==

11

1111

11

11

1

)(

))(()(

x

x

xgog

x

x

xx

xxxx

xfof

==

+=

−

−+

=−

−+

+−+

=

11

22

12

12

111

111

)(

)(

) دx

xgxxf 12 == )(,)(.

4

4

422

2

11

11

1111

x

xx

xgog

xxxfof

xxxgof

===

==

==

)(

)()(

)(

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٨gfو fgدر هر مورد ) 7 .را بیابید −

) فال

≥<

=

≥<

=oo

oo

xxx

xgx

xxxf 44

2)(,)(

:حل

≥<

=o

o

xxx

xfg16

3

)(

≥<−

=−oo

o

xxxx

xgf2

)(

) ب

<<≤−

<=

≥<

=xxxx

xxxg

xxx

xf14

14

22

o

o

o

o)(,)(

را به صورت xf)(ابتدا : حل

<≤≤

<=

xx

xxxf

1414

2

o

o

:نویسیم، داریم می )(

<≤−<

=xxxx

xxxfg

1164

4

o

o

)(

≥<−

=−oo

o

xxxx

xgf2

و )(

)ب

<<≤−

<=

≥<

=xxxx

xxxg

xxx

xf14

14

22

o

o

o

o)(,)(

www.fanavari-it.ir

٩ حد و پیوستگی: دومفصل

را به صورت xf)(ابتدا : حل

<≤≤

<=

xx

xxxf

1414

2

o

o

:نویسیم، داریم می )(

<<≤−

<=

Xxxx

xxxfg

11614

4

o

o

)(

{S )ج

<+

<≤−+

−<

=

≥<−

=

xx

xx

xx

xgxxx

xf

22211

11

141 2

2)(,)(

o

),(),(تابع برابر ودامنه مشترك د: حل +∞∪−−∞ :است پس داریم 21

>+−

−<−−=−

224

1112

xx

xx

xxgf )(

>+

−<−

=224

112

xx

xx

xxfg

)()(

.اند به صورت زیر داده شده gو fتوابع ) 8{ } {}

3

33

183

33

13

xxxg

xxxf

RRgRRf

−−

=−+

=

→−→−

)()(

::

.یک به یک است fثابت کنید : اوالً

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٠

:حل

3

613

6133

33

33

33

212

2

1

1

2

23

1

1321

−+=

−+⇒

−+

=−+

⇒

−+

=−+

⇒=

xxxx

xx

xx

xxxfxf )()(

21

2121

333

13

1

xx

xxxx

=⇒

−=−⇒−

=−

⇒

.یک به یک است fپس .وارون یکدیگرند gو fثانیاً آیا gfباید : حل RD fgو = RD .باشد =

361

33

33 33

−+=

−+

=⇒−+

==xx

xyxxxfy )(

163

361 3

3

−=−⇒

−=−⇒

yx

xy

133

133

1633

163

3

31

3

3

3

3

3

−+

=⇒−+

=⇒

−+−

=−

+=⇒

−

xxxf

yyx

yy

yx

)(

)()(با این محاسبه مشخص است که xfxg .است ≠−1 کدام یک از توابع زیر یک به یک و پوشا است؟) 9

1 (x

xxf

1+=)(

www.fanavari-it.ir

١١ حد و پیوستگی: دومفصل

این تابع به صورت ) حل

+−

>+

=

xx

xx

x

xf 1

1o

.است )(

.هر جزء این تابع یک به یک و پوشاست، چون تابع هموگرافیک است2 (1+=→+ xxfRRf )(,:

=+1این تابه به صورت : حل xxf .است که یک به یک است)(RRfولی پوشا نیست چون ≠+∞= .است1),(

3 (23 +=→ xxfRRf )(,: : این تابع یک به یک است چون: حل

21

23

13

23

13

21

22xxxxxx

xfxf

=⇒

=⇒+=+⇒

= )()(

:این تابع پوشا نیز است چون

RRyxxyxy

f =⇒−=⇒=−⇒+= 333 222 )(

4 ({}1121

−+

=→−xxxfRRf )(,:

تابع به صورت : حلdcxbaxxf

++

.اش حتماً یک به یک است روي دامنه )(=

:چون. تابع پوشا نیست این

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٢

{ } .RRRyy

yx

yxy

x

xxx

xxy

f ≠−=−+

=−

+=⇒

−=−⇒−=

−⇒

−+=

−+−

=−+

=

221

231

2312

13

132

1322

112

{}تابع ) 10 { }aRRf −→− :با ضابطه زیر داده شده است :1

112

−−

=xxxf )(

.یک به یک است fثابت کنید : اوالً :حل

112

112

112

1122

212

1

−+=

−+⇒=

−+=

−+−

=

xxxfxf

xxxxf

)()(

)(

21

2121

111

11

1

xx

xxxx

=⇒

−=−⇒−

=−

⇒

.یک به یک است fپس .پوشا باشد fد که را طوري بیابی aثانیاً }باید : حل }aRRf :یابیم را به صورت زیر می fRابتدا . را در نظر بگیریم =−

{ } 222

112

11

21

11

12112

=⇒−=⇒−

+=⇒−

=−⇒

−=−

⇒−

+=−−

=

aRRy

xy

x

yxxx

xy

f

www.fanavari-it.ir

١٣ حد و پیوستگی: دومفصل

:وارون توابع زیر را در صورت وجود به دست آورید) 11

) الف123

−+

=xxxf )(

:پس وارون دارد و داریم .این تابع یک به یک است: حل

32

32

2323123

1

−+

=⇒−+

=⇒

+=−⇒+=−⇒−+

=

−

xxxf

yyx

yyxxyyxxxy

)(

)(

=−4) ب xxf )(. :پذیر است و داریم این تابع یک به یک و در نتیجه وارون: حل

4444

21

22

+=⇒

+=⇒=−⇒−=− xxf

yxyxxy)(

) ج

<

≤≤

>

=

xx

xxxx

xf

92791

12)(

:پذیر است چون هر ضابطه یک به یک است، تابع یک به یک و وارون) حل

>

≤≤

>

=⇒

⟩=⇒⟩=

≤≤=⇒≤≤=

>=⇒>=

−

−

−

−

8127

8111

8127927

8119111

2

1

2

21

33

12

22

111

xxxx

xx

xf

xxxfxxxf

xxxfxxxf

xxxfxxxf

)(

)(

)()()(

)(,)(

)(,)(

www.fanavari-it.ir

فصل دوم حد و پیوستگی

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢

پـس آنهـا را روي یـک خـط نشـان . هاي زیر را به صورت مجموعه بنویسید همسایگی. 1 .دهید

الف(

<−= 2112

11 xxN ),(

ب( { }33 <= xxN ),(o

ج( { }3131 ≤−=′ xxN ),(

د( { }5151 ≤−=′ xxN ),(

}مجموعۀ ) 2 }132 <+∈= xxA یک همسایگی متقارنa به شعاعr اسـت .a وr را .تعیین کنید

:حل

21

23

21

23

12322

3232

=−=⇒<−−⇒

<−−=+=+

rax

xxx

,)(

)(

}مجموعۀ }11113 +<−∈= xxRxA یک همسـایگی متقـارن بـه مرکـزa و بـه :را تعیین کنید rو a. است rشعاع

:حل

xx x

x

x xx x

−− < + ⇒ <

+

− −⇒ < ⇒ − < <

+ +

3 13 1 1 1

1

3 1 3 11 1 11 1

www.fanavari-it.ir

٣ حد و پیوستگی: دومفصل

x x

xx x x

−⇒ − < < ⇒ − <

+ +−

⇒ < ⇒ < ⇒ <+ + +

4 41 3 1 3 11 1

4 2 12 11 1 1

o

x

x x x

⇒ − < <−

− < − − < ⇒ <+ + +

1 14 4 11 3 4 1

1 1 1

x xx x

−⇒ − < ⇒ < ⇒ − < <

+ +1 1 1

1 1o o o

( , ) ( , ) ( , ) − − = −1 1 1 1 1U o

جواب= 1== ra ,o

),(اگر 242 +− aa شعاع همسایگی را تعیین کنید. باشد 5یک همسایگی متقارن:

:حل

( , ) ( , )( , ) ( , )

N a ar a a

r aa a

r a r

= − +⇒ − + = − +

− = −⇒ ⇒ = − ⇒ = + = + =

5 7 2 4 25 7 5 2 4 2

5 2 410 3 2 4

5 2 1

} مجموعه) 5 } A x R x= ∈ + <2 3 .است 4اع به شع aیک همسایگی 6

a وr را تعیین کنید:

323

32362

32632

=−=⇒

<+⇒<+⇒<+

ra

xxx

,

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤

63صفحۀ 6-2-2. تمرین :با استفاده از تعریف حد ثابت کنید

541

41594594511

<−⇒

<−=−+=+→

x

xxxx

)(lim)

5دهیم پس قرار میε

δ ≤

342423423

42322

<+⇒<+=++

−=+−→

xxx

xx

)(lim)

3دهیم قرار میε

δ ≤

43 22

=→

xxlim)

2242 −+=− xxx 121را در همسایگی x+2ماکزیمم <−<− x آوریم به دست می.

42545231121

2 <−≤−⇒

=+⇒<<⇒<−<−

xx

xxx )max(

کافی است

≤ 51 ε

δ ,min را در نظر بگیریم.

22444 222

+−=−=−→

xxxxxlim)

.یابیم یگی زیر میرا در همسا x−2ماکزیمم

www.fanavari-it.ir

٥ حد و پیوستگی: دومفصل

3213121 =−⇒−<<−⇒<+<− xxx max

کافی است

≤ 31 ε

δ ,min را در نظر بگیریم.

25

252111

215

28439

34

213

34

2135

=+

⇒<<⇒<−<−

+−

=+

−−+==−

++

=++

xxx

xx

xxx

xx

xx

max

lim)

o

کافی است

≤ 51 ε

δ ,min را در نظر بگیریم.

85213

8524152385

2

38524

22

2

2

−

−−=

−+−+

=−−+

=−+

→

xxx

xxx

xx

xx

xlim)

31121 <<<−<− xx

ماکزیمم 85

13−

−x

x بازه به علت صعودي بودن برابر است باروي این:

− −= =

−3 13 10 1015 8 7 7

. پس کافی است

≤ 101 ε

δ ,min در نظر گرفته شود.

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٦

31121

233

333

33333

3

13337

22

22

2

2

2

2

2

<<⇒<−<−

−+−

=+−

−+−−=

+−−

=+−

−→

xx

xxxxx

xxxxx

xxx

xxlim)

332تابع +− xx بینیم خود را در می23

=x کند پس دریافت می:

4

433

3418

49

332

3323

333

322 ==

+−=

+−=

+− )()(max

xx

minکافی است پس , εδ ≤

1

4 .در نظر گرفته شود

xx

xxx

xxx

xx

xxxx

xxx

xxx

xx

x

<−

⇒−<−

⇒−<

≤⇒⟨

≤−

<−⇒<⇒≤

⟨−⇒≤

<−

=

→

1111111

111111111

118

o

oo

olim)

εδاگر .باشد مسأله حل است ≥

[ ]

[ ]

1347

33

42131

333

3331

3919

2

22

2

2

3

=+

=

++

<<⇒<−<−

−++

=+

+−−

=+−

−→

xx

xx

xxx

xxxxx

x

x

x

max

))(()(

)(lim) o

}پس کافی است }εδ ,min .در نظر گرفته شود ≥1

www.fanavari-it.ir

٧ حد و پیوستگی: دومفصل

374742131372110

2110102

23

=−=−⇒⟨⟨⇒⟨−⟨−

−−=+−

−=−→

xxx

xxxx

xxx

max

)(lim)

کافی است

≤ 31 ε

δ ,min در نظر گرفته شود.

32

2535

23

531412

342

1472722

72211

22

2

4

=−−

=−−

<<⇒<−<−

−−−

=−

+−−=−

−−

=−−

→

xx

xxx

xxx

xxxx

xx

x

max

lim)

دهیم پس قرار می

≤ εδ 2

31,min

37

37

357

2111

1357

3591528

23

3514

23

351412

1

−−

=−

<<⇒<−<−

−−

=−

+−−=−

−−

=−−

→

o

o

x

xx

xxx

xxxx

xx

x

max

lim)

پس

≤ εδ 7

31 ,min گیریم را در نظر می.

)13

[ ]

[ ] 2241

241

2

2

2

−=−+−

−

=+−

−→

xxx

xx

x

x

x

o

o

)(

)(lim

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٨

εδکافی است .در نظر گرفته شود =

)14 61

93

9=

−−

→ xx

xlim

( ) < <

max( ) ( )

x xx x x

xxx x

x

− −− = − =

− + +

−=

+− − ⇒ < <

=+ +

2

2 2

3 1 1 1 39 6 63 3

93

1 9 1 8 101 1

3 8 10

}کافی است }εδ 21081 )(,min .در نظر گرفته شود ≥+

432

72

32

29

27

2142

1342

362223

2

23215

4

=−

=−

<<→<−<−

−

−=

−+−

=−−

=−→

xMax

xx

xx

xx

x

xxlim)

www.fanavari-it.ir

٩ حد و پیوستگی: دومفصل

پس

≤ εδ ,min 2

1

8

214

1432

412

445

43

4114

1

1124

123612312

12

3121216

1

==−

=−

⇒

<<⇒<−<−

−−

=−

+−+=−

−+

=−+

→

)(max

lim)

x

xx

xxx

xxxx

xx

x

پس

≤ 84

1 εδ ,min

21

351

31

7516136

36223

23176

=−

=−

⇒

<<⇒<−<−

−

−=

−+−

=−−

=−→

x

xxxx

xxx

xx

xx

x

max

lim)

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٠

}پس }min ,δ ε≤ 1 2

32

3291

31

27

29

2142

134

3413

1

13118

4

=+−

=+

⟨−⟨−⇒⟨+⟨−

+

+=

++

=++

−=+−→

x

xx

xx

xx

x

xx

max

lim)

پس

≤ εδ 2

321 ,min

)()(max

)(

)())((

lim)

2522521

52521

21115252

15252

52525

5221

51

21

5119

1

−+−=

−+−

<<⇒<−<−−+−

−=

−+−−+−−

=−

−−=−

−

=−→

xx

xxxx

x

xxxx

xx

x

xx

o

}پس )))((,min εδ 32321 +≤

44

44

328168416

841620

222

2

4

+=

++

=+

++−=+

+−

−=+−

−→

x

xx

xxx

xx

xx

x

)(

lim)

www.fanavari-it.ir

١١ حد و پیوستگی: دومفصل

εδکافی است =.

.80صفحه 29-3-2تمرین .حدهاي زیر را حساب کنید

52

41

4111

4311 2

2

1=

++

=+−+−

=−+

−→ x

xxxxx

xxx

xlim

))(())((limlim)

23

23

21121

22

2121

212

122

2

1

=−−

=+−−−

−−=

+−−

=

+−+−+

=+−+

−−=

+++

−→

xxx

xxxxx

xxxxx

xxx

x

lim

))(())((lim

))(()(limlim)

201

451

211

2212

412

4323 24

=×

=++

=

+−+−

=−+

−=

−−−

→

))((lim

))()((lim

))((limlim)

xx

xxxx

xxx

xxx

x

111

210

12110

231094 2

2

1

−=

+−

=+++−

=++−−

−→ xx

xxxx

xxxx

xlim

))(())((limlim)

221

120

11201

120195 2

2

1=

++

=+−+−

=−

−+→ x

xxxxx

xxx

xlim

))(())((limlim)

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٢

{))((lim

))()((lim))((limlim)

108933

93333

993

8162

9=++=

−++−

=−

+−=

−−

→

xxx

xxx

xxx

xx

101

251

1221

12323

12321212

6127

3

23

=×

=+−+

=

+−−+

−=

+−−+

+−−−=

−−−−

→

→

))((lim

))()((lim

))()(()))((limlim)

xx

xxxx

xxxxx

xxx

x

x

248

22

2222

448

2

2

2

2

23

2

−=−

=−

+−=

+−+−+

=−

++

−→

−→

xxx

xxxxx

xxx

x

x

lim

))(())((limlim)

o

2113

11113

11239

12

2

1=

++

=+−−+

=−

−−→→ x

xxxxx

xxx

xxlim

))(())((limlim)

www.fanavari-it.ir

١٣ حد و پیوستگی: دومفصل

58

1016

414319

411311

141131

4433

453410

1213

1718

14

19

15

20

15

20

1

==−−

=

−++++−−++++−

=−−−−−−

=

+−−+−−

=+−+−

→

)...()(()...()((lim

)()()()(lim

limlim)

xxxxxxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxx

x

43

3111

13111

33111

2

22

1

22

24

123

34

1

=+−

++−=

−+−−+−

=−−+−−+

→

→→

))(())((lim

)()()(limlim)

xxxxx

xxxxxx

xxxxxx

x

xx

122

1121112 −=

−=

++−−

=+−−

→ xxxx

xxx

x (limlim)

o

23

1121112

111113

232323

33 =−++

−+−++=

−−+−−+

→ )()()((

limlim)xxx

xxxxxx

xxx o

32

11111

111114

323

3=

++++

++=

−+−+

→→ ))(()(limlim)xxx

xxxx

xx oo

106تمرین صفحه .حد هر یک از توابع زیر را بیابید

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٤

[ ]xx 3

1→

lim)

. تابع حد ندارد[ ]

[ ]

lim

lim

x

x

x

x

+

−

→

→

=

⇒

=

3

3

3

2

[ ]1221

+→

xxlim)

. تابع حد ندارد[ ]

[ ] 212

312

1

1

=+⇒

=+

−

+

→

→

x

x

x

x

lim

lim

[ ] [ ] ⇒−+=−→→

xxxx

2323311

limlim) .حد ندارد

⇒−−

→ xx

x 554

5lim) .حد ندارد

[ ]11

121

12

151

1=

−−

=−

−=

−−

+→

)()(lim)x

x

x

[ ]12

121

12

161

−=−

=−

−=

−−

−→

o)()(lim)x

x

x

2242

222

2227

22=

−−

=−

−−−=

−−−−

−− →→ xx

xxx

xxx

xxlim)(limlim)

21

21112

12

228 =××=××=

xx

xx

xx

sinsinlim

sinsinlim)

www.fanavari-it.ir

١٥ حد و پیوستگی: دومفصل

21111

19 2

2

1

2

1=

−−

+=−

−→→ x

xxxx

xx

)sin()(lim)sin(lim)

)10 o=−

−→ 2

1210 32

2 xx

xsin)(lim) )کراندار در حد صفر(

)11 [ ]lim( )x

x x→

− ⇒2

.حد وجود ندارد

)12

[ ] [ ]

[ ]

lim lim

lim

x x

x

x x x xx x x x x x

x x xx x x x

+

−

→ →

→

= =+ + +

⇒−

= = −+ −

4 42 2 2

4 4 42 2

o o

o

oo

.حد ندارد

1

1

12

−=−

=

⇒==

−−

++

→→

→→

→

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

sinlimsin

lim

sinlimsin

lim

sinlim)

oo

oo

o

34

1111111

111114

323

42434

4

3=

++++

++++++=

−+−+

→ ))((

)()()((limlim)

xxx

xxxxxx

x o

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٦

81

11

2

21

1115 2

2

22 =+

=+−

=−

→ xx

x

xxx

xx

x cos.

sinlim

cos(coslimcoslim)

o

61

612

111

16

2

22

6622

63

2

2636

2

3

−=×−

+++

−=

−=

−=

−

→

x

xxxx

xxx

xxx

xxx

x

x

sinsinlim

)cos...cos(sin)(coslim

sin)cos(coslim

sincoscoslim

sincoscoslim)

oo

21

111

11711

−=−−

+=−−

→→ xxx

xx

xx

)sin()(lim)sin(lim)

ππ

π

π

π

22

2

2

11 12

21181

==

=

−=⇒=− −=⇒

Π−

→

→

→

tt

t

tt

txx ttgt

xtgx

t

t

x

cos.sin

lim

cotlim

)(lim

)(lim)

o

o

oo =−×=−→

142192

)()(lim) xtgxtgx

ππ

www.fanavari-it.ir

١٧ حد و پیوستگی: دومفصل

nx

xx

x

xxxx

xxxxX

nn

x

nn

x

nn

x

211

21211120

2222

=−−+

=

−+−++=

−+−++

→

→→

)()(lim

)()(lim)()(lim)

o

oo

12121

1222

132221 42

32

1=

−

−=

−−+

−−+

→ xxx

xxx

xlim)

oo

=−=−+

+→2222

222 )(lim) xx

xx

122

1121123 ==

−++=

−−+→→ )(

limlim)xxx

xx

xxxx oo

[ ] o=−

−→ x

xx

x

11241

)((lim) )تابع کراندار در تابع با حد صفر ضرب شده(

[ ] 111125 −=

−=

−→ xx olim)

1244448264

2422

22

2826

33

3

3233

3

333

838

=++=++=

−++−

=−−

=−

−→→ x

xxxx

xx

xxx

))((lim)(limlim)

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٨

127صفحه

22233

2

3111127

aa

aaxxaxaxx

axaxaxa

axax

−=

++−−−

=−

++−≠

→→ ))(())((lim)(lim)()

[ ]1

113128

23

1 −

−−+−→ x

xxxx

)(lim)

`

.حد وجود ندارد

34

21

41

1

2222222

21

11

29

2

222

2

2

2

22

=+

=

+

=+

=

−+++

=−+ →→

)cos,sinsin(

limcossinsin

lim

cossincossin(lim

cossinlim)

xx

x

xx

xxxxx

x

xxxxxxx

xxxx

x

xx oo

22

2

4121

21

2222

2222

1130

2

2

2

22

2==×===

−−

→ x

x

x

x

xx

x sin

sinlim

sin

sinlim

coscoslim)

o

o==+

−=

−−

21

2222

122

11131

2

2

2.

sin

sinlim

)cos(sin

coslimcos

coslim)x

x

xxx

xx

[ ]2

12

1212

222232

2

−=

−=

−−−−

=−+−

−−→ )(

)(limlim)xx

xxx

x

ooo

==++ →→ x

xxxx

xx

sinlimsinlim)33

21

1134

1

π=+∞==

− +→ −)(limlimlim) ArctyArcty

xArcty

x o

www.fanavari-it.ir

١٩ حد و پیوستگی: دومفصل

21

1135

1

π−=−∞==

− −→ +)(limlimlim) ArctgArcty

xArcty

x o

lim)cos(lim) =−

−→ xxArc

x

1361

41

22

22

2121

21137 −=

−=

−=

−−=

−−→→ x

x

x

x

x

x

xx

xx sinlim

sinlim

sinlim

sinlim)

oo

108تمرین صفحه 2-4-32=oثابت کنید که اگر )1(

→)(lim xf

ax=oآنگاه

→)(lim xf

ax

)با توجه به نامساوي : حل ) ( ) ( )f x f x f x− ≤ و با استفاده از قضیه فشردگی ≥limچون ( ) lim | ( ) |

x af x f

→= − =o o است پسlim ( )

x af x

→= o

.داراي حد باشد x=1در fرا طوري تعیین کنید که تابع aمقدار )2

[ ]

⟩−⟨+

=1143

xaxxx

xf,

)( :حل

[ ]

671

1

743

11

11

−==−⇒

−=−

=+=

++

−−

→→

→→

aa

aaxxf

xxf

xx

xx

)(lim)(lim

)(lim)(lim

فرض کنید )3

−⟩−

⟨−+=

11

2 xbxxbax

xf را طوري تعیین کنید bو aادیر ، مق )(

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٠

2که 1

=−→

)(lim xfx

)حل

31

2

21

11

211

−=⇒−=⇒

=+−=+=

=−=−=

−−

++

−→−→

−→−→

ab

babaxxf

bbxxf

xx

xx

)(lim)(lim

)(lim)(lim

: فــرض کنیــد )4

<−⟨≤−+

−<−=

xxbxbax

xaxxf

3332

32

θ)( a وb را طــوري تعیــین کنیــد کــه

)(lim xf و)(lim xf موجود باشند.

14

8235

6221533

−=−=⇒

−=⇒

−=+−−=+

⇒

−=+−−=+

⇒

ab

bba

baba

ba

فرض کنید )5

>≤

=

>+≤+

= 11

1113 22

xxxx

xgxxxx

xF,

,)(,

,,

)(

)()(حد ندارند ولی تابع x=1نشان دهید، این توابع در xgxf 1در=x حد دارد.

.حل

f حد ندارد21

43

11

211

=+=⇒

=+=

++

−−

→→

→→

)(lim)(lim

)(lim)(lim

xxf

xxf

xx

xx

www.fanavari-it.ir

٢١ حد و پیوستگی: دومفصل

g حد ندارد

[ ]

[ ] 334

3144

4

4

=−=

−

⇒

=−=

−

−

+

→

→

oxx

xx

x

x

lim

lim

==⇒

==

+

−−

→

→→

2

1

1

211

lim)(lim

lim)(lim

xg

xxg

x

xx

)()(تابع xgxf گیریم را در نظر می:

>+≤+

= 1121322

xxxxx

xgxf,)(,)(

)().(

. تابع حد دارد412

43

1

221

=+=⇒

=+=

+

−

→

→

)(lim)().(lim

)(lim)().(lim

xxgxf

xxxgxf

x

x

فرض کنید )6(

>=>

=o

oo

o

xxx

xf,,,

)(1

1)، مقدار )22

2−

+→

xxxlim

. را حساب کنید)چون )حل ) 122 =−xf پس . است

( )( ) 21222 =×=−xfxlim .کنیدساب حدود زیر را ح )7(

] )الف ]

−

→ 44xx

xlim

)حل

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٢

حد =3

]) ب ] [ ]( )xx 33 −+lim

]آنگاه zx∉3توجه کنید اگر )حل ] [ ] 133 −=−+ xx است −1پس حد برابر . RRfدر مورد تابع )8( : دانیم می :→

( ) ( ) ( ) Ryxyfxfyxf ∉+=+ , . در نقطه صفر حد داشته باشد آنگاه در هر نقطه دیگر هم حد دارد fثابت کنید که اگر

)همچنین ثابت کنید که اگر )o→x

xflim برابر صفر است. وجود داشته باشد .

. باشد o>tفرض کنید را در نظر بگیرید و oxنقطه دلخواه :حل

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) oooo

ooo

+=+=+=+++ →→→

xftfxftxfxfttxxlimlimlim

)پس ) ( )oxfxf =lim دارد دیعنی تابع در هر نقطه ح .

)ایم که در فوق از این نکته استفاده کرده ) oo

=→

xfطlim شود زیرا می :

( )

+

=

+=

→→→ 2222xfxfxxfxf

xxxlimlimlimlim

ooo

( ) ( )xfxfxx oo →→

+= limlim ( ) o

o=⇒

→xf

xlim

)فرض کنید )9 )limx a

f x A→

وجـود δثابت کنید عـددي مثبـت ماننـد o≠Aاگر =ooدارد که هرگاه δ<−< ax آنگاه ،δ وجود دارد که

www.fanavari-it.ir

٢٣ حد و پیوستگی: دومفصل

( ) 2A

Axfax <−⇒<−< δo

( ) ( )

( )

( )xfA

AxfA

AAxfAxf

<⇒

−<−⇒

<−≤−

2

2

2

)فرض کنید )10( )

+−

−=

xxx

xxxxf

,

,

1در f، همه نقاطی را بیابیـد کـه

. آنها حد دارد . به صورت زیر قابل بیان است fتابع )حل

( )

−+−

−=

xxx

xxxxf

11

xxیرا اگر . این تابع در اعداد صحیح حد دارد =o اگر . عدد صحیح باشدn زوج باشد

( ) oo

=−=⇒+→

nnxfxx

lim فرد[ ] nxxx =⇒→ +o

( ) ( ) oo

=−−−=⇒−→

11nnxfxx

limفرد [ ] 1−=⇒→ + nxxx o

. حد موجود است. فرد باشد nمشابهاً اگر

]، omxچون در سمت راست یا چپ . غیر صحیح نیز این تابع حد دارددر اعداد ]x زوج یا . ماند فرد باقی می

. حد دارد Rپس این تابع روي

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٤

). فرض کنید )11( ) Axfax

=→

lim وB اشد که عددي حقیقی بBA> .پ ــر ــه اگ ــود دارد ک ــد وج ــت مانن ــددي مثب ــد ع ــت کنی >−>δثاب axo ــاه ، آنگ

( ) 2BAxf +

> .

−<oپس <BAپس <BAچون )حل BA 2اگر قرار دهیمBA−

=ε چون

: وجود دارد کهo>δپس . حدود وجود دارد

( )

( )

( ) ( )xfBAxfBA

BAfAxfBA

BAAxfax

<+

⇒<−

⇒

−<−<

−−⇒

−<−⇒−<

22

2o

)فرض کنید )12( )x f x x+ ≤ ≤ +21 1 .( )xflim را حساب کنید ) : داریم) حل ) 111 2 =+=+

→→xx

xx oolimlim

)پس طبق قضیه فشردگی )limx

f x→

= 1o

115تمرین صفحه 2-5-7 : استفاده از تعریف ثابت کنید) ب

( )11

2221

(lim +∞=+−→ x

xx

( )( )

Mx

MxM

x

422

81221122

<+⇒<+⇒>+

www.fanavari-it.ir

٢٥ حد و پیوستگی: دومفصل

. پس کافی استM

4 8≤δ

( )22

23

42(lim −=

+−

−→ xx

( ) ( )( )

4

444

32

3223

23

Mx

MxM

xM

x

<+⇒

<+⇒>+

−⇒−<

+

−

4 . پس کافی است 3M

≤δ

25222

52

52232

−<−⇒−>

−⇒>

++=

−+

MxM

xM

xxx

2 .کافی است5−

≤M

δ

41

21

(lim −∞=−

−+→ xx

4415

4415

41544

416154

41

−>+

−⇒

+>−

−⇒>−

−−=−

−+=

−−

xM

Mx

Mxx

xx

x

623

2(lim −∞=

−−→ xx

x

( )Mx

Mxx

x+−<

−⇒−<

−+=

−32

62

6323

Mx

Mx +=⇒−<

+−⇒ 3

326δ

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٦

71254

2

2(lim

−−

+∞→ xx

x

x

xx

xxxx

xx

<−

⇒

<+

⇒−<⇒

<−

=−

+−−=−

−−

εε

εε

ε

ε

12

312312

312

245421254

22

2222

22

کافی است ε

ε2

3 +>M

82112

2

2(lim =

++

+∞→ xx

x

x

xxx

x

<−

⇒

+<⇒<+

=−++

εε

εε

1

111

12112 2

222

>M . کافی است−ε

ε1

( ) 982 (lim +∞=++∞→

xxx

( ) 4161648 22 −+>⇒>−+=+ MxMxxx

416کافی است −+> MN ( ) 1042 (lim −∞=+−

+∞→xx

x

www.fanavari-it.ir

٢٧ حد و پیوستگی: دومفصل

( )( )

xm

xM

mxxx

<++⇒

−<+⇒

−<+−−=+−

4224

242

22

42پس ++> MN

11111

2

2(lim =

++

−∞→ xx

x

x

xxx

x

<+

⇒<+

⇒

−<⇒<−

=−+

εε

εε

εε

24

2

121

211 2

222

پسε

ε+2M

1222

(lim +∞=−−∞→ xx

x

22

222

2

22

2

22

222

22

MMMx

MMMx

MMMMxx

MxMxMx

x

−+>⇒

+>

+⇒

+>+>⇒

−>⇒>−

ε

εε

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٨

22کافی است 2 MMMN −+<

ε

( ) 1335 (lim +∞=−+∞→

xx

5

55

333

+>⇒

+>⇒>−

Mx

MxMx

35پس +> MN ( ) 145 (lim +∞=+

+∞→xx

x

⇒>+ Mxx5 . توان نادیده گرفت را می xپس x→∞+به علت اینکه

5555 111 −≥⇒−>⇒>+> MNMxMxxx 152

1425 (lim =

−+

+∞→ xx

x

( )

24241

223

125

−≥⇒<−⇒

<+

=−+

+

εε

ε

Mx

xxx

1712 (lim +∞=++∞→

xx

1111 22 −≥⇒−>⇒−>⇒>+ NMNxNxNx 18262 (lim +∞=+−−

−∞→xx

x

( )3737

73122

222

++≥++>⇒

>−−⇒>+−

NMNx

NxNx

www.fanavari-it.ir

٢٩ حد و پیوستگی: دومفصل

19262 (lim +∞=+−−−∞→

xxx

4444

2

2222

−≥⇒

+>⇒>−⇒−<−−

NM

NxNxNx

20222 (lim +∞=−−−−∞→

xxx

( )31313122

2

2222

−+>⇒

+>−⇒>−−⇒<−−−

Nx

NxNxNxx

212 (lim −∞=−−

−∞→xx

x

141

41

21

2

22

2

++>⇒

>−

−⇒−>−−

Nx

NxNxx

14پس 1 2 ++≥ NM

136تمرین صفحه 2-5-25 . حدود زیر را حساب کنید

12241

2−=

−=

−=

−+

−∞→−∞→ xx

xx

xx

xxlimlimlim)

12242

2=

−=

+=

++

+∞→+∞→ xx

xx

xx

xxlimlimlim)

+∞=−

=−−

−+→ o

12132

limlim)xx

xx

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٠

( ) o=++++

=−++∞→ 23 323 3

3 3

11114

xxxx

xlimlim)

o=−

−=

−

−+∞→+∞→ 115 2

22

2

22

nnn

xxx

xxlimlim)

111

62

=++

=++

+∞→ xxx

xx

xxxx

xlimlim)

21

2257 2

2−=

−==

+−∞→ x

xxx

xx

xlimlimlim)

o=−−

−−→ 13

1821 xx

xxlim)

−∞===+−

+−×→

−− oo

6665

39 123 xxx

xlim)

+∞===+

+→ oo

2410 2

2

xx

xlim)

( )( )( )

( ) 12444422

866

31378

373111

33 28

33

3

838

=++=++

=−

−=

++

++−

=−+

−+

→

→→

xx

xx

xx

xx

x

x

x

xx

lim

limlimlim)

( ) ( )( )

( )42

3627273

273612

33 2

32

3

3

3

27

++

=

++−−

−=−

−+→

xx

xxx

xxx

x

lim

limlim)

www.fanavari-it.ir

٣١ حد و پیوستگی: دومفصل

21

11

11

13

2

2=

++

++=

+++

++=−+++∞→

)(

lim

lim)(lim)

xx

xx

xx

xx

xxxxx

xxxxxxxxx

[ ]−∞=

−= −

→ − oo

12214x

xx

coslim)

( )

61

121

110111

11

1115

121212 11

1212 3

1

12 412 333

1

−=

−=

++++−

+−−=

−−

=−

−=

−−

→→

)...)(())((lim

limlimlim)

xxxxxx

xxx

xxx

xxx

xx

21

21

42141116

2

2

24

2

14 4 2

−=−=−−+

=−+

→

+

→)lim(lim)(lim) x

x

xx

xxx

xx oo

163تمرین صفحه 2-6-28 . روي بازده داده شده تحقیق کنیدسسسدر مورد پیوستگی هر یک از توابع زیر )1(

3 )الف7−

=x

xf [روي بازه هاي )( [ [ ]322 ,,)(,),,,( ox∞+−∞

اســـــت، پـــــس تـــــابع فقـــــط روي x=3تنهـــــا نقطـــــه ناپیوســـــتگی ) ب[ [ ] ),[],(,,,),),( ∞+−∞− 222222 oo.

هـــاي پـــس بـــازه . نقـــاط ناپیوســـتگی تـــابع اســـت x=±2نقـــاط )حل[ ),(,),),( 2222 −−∞− o اند هاي پیوستگی بازه .

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٢

225) ج2

xxxf

−+

),(روي بــازه هــاي )(= ]و ∞−−5 ] [ ]525 −∞−−− و ,,,

],(),,(),,[,),( 525255 −−∞+∞

.را به دست می آوریم ابتدا دامنه تابع )حل),[),( 525 −∪−−∞=fD

5 2- 5-

- + + - 225 x− + + - - x+2

),,(],,(),,[],[تابع روي : طبق دامنه 255255 .ناپیوسته است ∞+∞+−−−

),(,],(,),(تابع روي 55252 .پیوسته است −−∞−−

.بع داده شده روي آنها پیوسته باشدفواصلی را تعیین کنید که تا )2(1( 122 −−= xxxf )(

),(],(دامنه تابع برابر )حل +∞∪−−∞= 43fDها فواصـل این بازه. است .پیوستگی اند

2( 97

2 −=

xxf )(.

} )حل } ),(),(),( +∞∪−∪−−∞=±−= 33333RD f این فواصـل .فواصل پیوستگی اند

3( 123 −+= xxxf )(.

www.fanavari-it.ir

٣٣ حد و پیوستگی: دومفصل

فاصـله . زیر رادیکال همه جـا پیوسـته اسـت چون فرجه رادیکال فرد و )حل .است Rپیوستگی

4( 4232

−+−

=x

xxxf )(

[ ] ),(, +∞∪= 421fD

۴ ١ ٢

+ - - - x-4

+ + - + 232 +− xx

.نقاط ناپیوستگی توابع زیر را تعیین کنید )3(

1( 242

−−

=xxxf .نقطه ناپیوستگی است x=2) حل. )(

2( 11

−−

=xx

xf .نقطه ناپیوستگی است x=1) حل. )(

3( xxxf .نقطه ناپیوستگی است x=1) حل. )(=

4( 23651

2

2

+−+−−

=xx

xxxxf ))(()( .

.نقاط ناپیوستگی اند x=,21 )حل

5(

<+<<−−

−≤+−

=xx

xx

xx

xf112

111112

2)(

تعریف نشده x=1چون تابع در . ناپیوستگی دارد x=1و x=-1تابع در )حل .حد ندارد x=-1و در

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٤

6( [ ][ ]

<≤−<<−

= 22

xxxxx

xfo

o)(

.از دامنه اش ناپیوسته است x=1و x=-1تابع در نقاط )حل

oاین تابع در x= پیوسته است چونoooo

===→→ +

)()(lim)(lim fxfxfxx

.پیوستگی تابع داده شده را در نقطه یا فاصله داده شده بررسی کنید )41( [ ] 21 ==−= oo xxxxxf ,)(

.تابع در هر دو عدد صحیح داده شده ناپیوسته است )حل

2(

=

=≠−

−+=

1

1111

x

xxxx

xxfo

o)(

lim)()(ناپیوسته است چون ox=1این تابع در 1121

fxfx

=≠=+→

3(

=

=≠+=

o

oo o

x

xxxxx

xf2

22 ,)(

ooاین تابع در =x ناپیوسته است چون)()(lim oo

fxfx

=≠−=−→

22

) فاصله) 4 )64 و ,22

5x

xf−

=)( .

),(دامنه تابع برابر 22 ) روي fاست پس تابع −+ )64 .ناپیوسته است ,

](در فاصله )5 ∞+−= ,,)( 112xxf.

www.fanavari-it.ir

٣٥ حد و پیوستگی: دومفصل

[دامنه تابع برابر )[ ∞+∪−−∞ ,,( 11o است پس تـابع روي)[ پیوسـته 1,+∞ .است

),[در فاصله )6 2−∞ ,xxf −= 2)( . ),[چون 2−∞=fD است پس تابع روي],( .پیوسته است ∞−2

],[در فاصله )7 55− ,225 xxf −=)(. ]دامنه تابع برابر .است که تابع روي آن پیوسته است −,55[

8( [ ]

11122

14=

<+

>= ox

xx

xxxf )(

.تعریف نشده است پس در این نقطه ناپیوسته است ox=1تابع در

2با ضابطه fاگر تابع )5(123 2

−−

=xxxf .را حساب کنید 2f)(. پیوسته باشد )(

122 )حل2232

22=

−+−

==→→ x

xxxffxx

))((lim)(lim)(

ــابع )6( ــابطه fت ــا ض ب

=

≠−

=o

o

x

xx

xxxf

,

,)(2

ــه ــوع x=0در نقط ــه ن چ

ناپیوستگی دارد؟

: ناپیوستگی اساسی چون حد وجود ندارد زیرا )حل

22==

=

−

+

→

→

xxxf

xf

x

x

lim)(lim

)(lim

o

o

o

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٦

با ضـابطه fتابع aبه ازاء چه مقدار )7(

=

≠=

o

o

xa

xx

xxf

,

,cos)(

در 12

x=0 پیوسته است است.

oo )حلoo

=⇒==→→

ax

xxfxx

12 coslim)(lim

)8(

≤≤

<<−+

−≤≤−−

=

ππ

ππ

ππ

xx

xbxa

x

xf

2

22

22

cos

sin

sin

.را بیابید bو aمقدار )(

11

222

2

2

2

−==⇒

=+−⇒=−=+−=

=+⇒==+=

+

−

−→

→

ab

bafbaxf

bafbaxf

x

x

,

)()(lim

)()(lim

π

π

π

πoo

تابع با ضابطه ) 99(

−

+

+

= 21

21 xxxf چه نوع بستگی دارد؟ x=1در )(

11: داریــــم )حل =)(f ناپیوســــتگی اساســــی .تعریــــف شــــده اســــت

.است1

1

1

1

−=⇒

=

−

+

→

→

)(lim

)(lim

xf

xf

x

x

www.fanavari-it.ir

٣٧ حد و پیوستگی: دومفصل

اگر )10(

≤+

>+= 21

222 xax

xaxxxf

,,

را حسـاب aپیوسته باشد مقـدار Rدر )(

.کنید .بررسی شود x=2پیوسته اند کافی است پیوستگی در Rچون ضابطه ها روي )حل

23321424

14224222

=⇒=⇒+=+⇒

+==+=+=++ →→

aaaa

afaaxxxfxx

)()(lim)(lim

]با ضابطه fتابع aبه ازاء چه مقدار )11 ][ ]

∈∉−

=zxazxxx

xf,,

همـواره )(

پیوسته است؟]بــا توجــه بــه خــواص جــزء صــحیح همــواره ) حــل ] 1<−≤ xxo پــس

[ ] o≤−<− xx1 بنابراین برايzx∉ همـواره داریـم[ ][ ] 1−=− xx پـس بایـد1−=a باشد.

اگر تابع )12

<−=>+

=111312

xbxxxax

xf,,,

x=1 در )(

.را حساب کنید bو aپیوسته باشد

) حل42

31311

31321

11

11

==⇒

=−⇒=−⇒=

=+⇒=+⇒=

−−

++

→→

→→

ba

bbxfxf

aaxfxf

xx

xx

,

)(lim)()(lim

)(lim)()(lim

تـابع aبه ازاء چه مقدار )13

<−≥+=

−

o

o

xxaxeexf

xx

,,)(

2پیوسـته x=0در نقطـه

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٨

.است

1) حل

21122

=⇒

=+===−=−− →→

a

faxaxfxx

)()(lim)(lim ooo

14( a وb 4را چنان تعیین کنید که تابع زیر در نقطه=ox پیوسته باشد.

[ ]

>−−

=+

<+−

=

4416

43

42

2x

xx

xbxxbxa

xf

,

,

,

)(

]) حل ]

5115781

1452

148416

44

2

44

=⇒==⇒=+

+==+=+−=

+===−−

=

−−

++

→→

→→

aabb

bfbabxaxf

bfx

xxf

xx

xx

)()(lim)(lim

)(lim)(lim

]اگر تابع با ضابطه )15 ] [ ]xxaaxf 342 +−= 12پیوسته باشـد Rدر ٍ )()( ++

xx

.را پیدا کنید aمقدارهاي ooنقطه ) حل =x را در نظر بگیرید داریم :oo =)(f و

3134

34

2

2

==⇒=+−⇒

==−−−=−→

aaaa

faaxfx

o

ooo

)()()(lim

]پیوستگی تابع )16 ][ ] [ ][ ]xxxxxf +−+= .بررسی کنید X=0را در )(.1ooواضح است که ) حل =)(f است.

www.fanavari-it.ir

٣٩ حد و پیوستگی: دومفصل

و . از راســــــت نزدیــــــک صــــــفر باشــــــد x=/10فــــــرض کنیــــــد [ ][ ] ooo =+−+= 1011010 /./)/(f 10اگر/−=x را از چپ نزدیک صـفر در نظـر

.بگیریم

[ ][ ] oooo =++−−=− 111111 //)/(f

→→+: بنابراین

===⇒

oo

oo

xx

fxfxf )()()(lim

ooپس تابع در =x پیوسته است.

تابع با ضابطه )17

∉∈++−=

zxzxxxxxf

,,)(

11594 23

این . مفروض است

4آیا ایـن تـابع در . تابع در چند نقطه صحیح پیوسته است5

=ox 2و=ox و

37

=ox پیوسته است.

عددي صـحیح باشـد آن گـاه ox، اگر xf)(=1، داریم ∌zxچون براي ) حل

oxxxf

→= 1)(lim . 1پس باید اعداد صحیحی را بیابیم که=)( oxf باشد.

451

59459411594 22323

===⇒

=+−⇒=+−⇒=++−

ooo o

oo

xxx

xxxxxxxxx x

,,

)(

ooاین تابع در اعداد صحیح =x 1و=ox پیوسته است.

4این تابع در نقاط 523

7=== ooo xxx پیوسـته اسـت زیـرا ایـن اعـداد ,,

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤٠

صحیح نیستند و براي همه آنها o

o

xxxfxf

→== 1)()(lim است.

.پیوسته باشد ox=−2را طوري تعیین کنید که تابع زیر در bو aمقادیر )18

[ ]

−>+

−=

−<++

−

=

22

244

4

2

2

2

xxbxa

xxx

x

xf,,

,

)(

) حل+−→

=−=+=

224

xafbxf )()(lim

o==⇒

==+

+−−=

+−

=−−− −→−→−→

ba

ax

xxx

xxfxxx

,)(

))((limlim)(lim

4

4222

24

2

2

22

19( a وb را طوري پیدا کنید که تابع زیر همواره پیوسته باشد.

≥−<≤+−

<−+

=225

214132

3

2

xbxxaxx

xbxaxxf

,,,

)(

چون ضابطه ها چند جمله اي اند هر کدام همواره پیوسته اند باید پیوستگی در ) حل1=ox 2و=ox برقرار باشد.

www.fanavari-it.ir

٤١ حد و پیوستگی: دومفصل

45

2124

42432

21046432

210244111

4284

3232

322

211

=−=⇒−=⇒

=+−=+−

⇒

==+=++

⇒

−==+−=

+−=+−=

++=++=

−−

−−

→→

→→

abb

baba

baaba

bfaaf

aaxxxf

babxaxxf

xx

xx

,

)(,)(

)(lim)(lim

)(lim)(lim

.170تمرین صفحه 2-6-32

ooپیوسته باشد oدر نقطه gفرض کنید تابع )1 =)(, gf تابعی باشد که در یک)()(همسایگی نقطه صفر در نامساوي xgxf در fثابـت کنیـد . صـدق کنـد ≥

oنقطه .پیوسته است ) حــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

ooooo

ooooo

=⇒≤≤⇒≤≤−

=⇒=≤⇒≤

)()()()(

)()()()()(

ffxxfxf

fgfxgxf

پیوسته است پس gحال چون o

o

→=

xxg )(lim از طرفی داریم:

)()()( xgxfxg ≤≤− =−=oچون )(lim)(lim xgxg oo == )(lim)( xff در نتیجه پـسf در

.صفر پیوسته است

.پیوسته است aدر نقطه fفرض کنید تابع )2

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤٢

.پیوسته است aدر نقطه fفرض کنید تابع ) الف

.مثبت است aدر یک همسایگی fثابت کنید af)(<oاگر ) الف

)حل

2است اگر o>)(afچون )(af

=ε را در نظر بگیریم :δ<o موجود است بـه

طوري که

)()()(

)()()()(

)()()(

afxfaf

afafxfaf

afafxfax

23

2

22

24

<<⇒

<−<−⇒

<−⇒<−

.، مثبت است aاز δدر همسایگی fپس o>)(afچون

.منفی است aدر یک همسایگی fثابت کنید af)(>oاگر ) ب

)حل

−<oپس o<)(afچون )(af 2اگر قرار دهـیم)(af

−=ε چـونf درa پیوسـته

موجــــــــود اســــــــت بــــــــه طــــــــوري کــــــــه o>4. اســــــــت

22

24)()()()()(

)()()(

afafxfafaf

afafxfax

−<<+⇒

−<−⇒<−

22پس 3 )()()( afxfaf <<

www.fanavari-it.ir

٤٣ حد و پیوستگی: دومفصل

.منفی است a ،fاز δپس در همسایگی o<)(afحال چون

12نقـاطی ماننـد xایگی پیوسته باشد و در هر همس oxدر fفرض کنید تابع )3 xx , ooوجود داشته باشد که >< )(,)( 21 xfxf . ثابت کنیدoo =)(xf .

ooاگر )حل ≠)(xf طبق مسأله)همسایگی هایی حول ) 2ox وجـود دارد کـه روي12بنابراین نقاط . xf)(>oیا xf)(<oآنها xx با شرایط فوق وجود ندارد ,ooپس =)(xf است.

.پیوسته باشد o=x را طوري تعیین کنید که تابع زیر در نقطه aمقدار )4

=

≠−+

−+=

o

o

xa

xx

xxf

,

,)( 11

113

)حل

23

23

131

121

1111

3

=⇒

=−+

−+=

−+

−+=

→→→

a

x

x

xxxf

xxxlimlim)(lim

ooo

ــر )5 ــاط دیگـــــــــــ ــد در نقـــــــــــ ــرض کنیـــــــــــ فـــــــــــ

[ ]

=

∪−∈+=

oo

oo

x

xx

xxf

,

),(),(,sin)(

1111

.بررسی کنید o,1 در نقطه هاي fپیوستگی

] )حل ] oooo

o =×=+=−→

kx

xx 11 sinlim,

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤٤

.حد راست این تابع وجود ندارد پس تابع در صفر پیوسته نیست

:است زیرا 0حد راست برابر ox=1براي

o

oo

≠=×=

=⇒=⇒>⇒→

−

+

→

→

+

111

11

1

1sinsin)(lim

)(lim)(

xf

xfxfxx

x

x

.پیوسته نیست 1پس تابع در نقطه

6(

<−=>

=o

oo

o

xxx

xf,,,

)(1

1

.را تعیین کنید gofو fogناپیوستگی تابع هاي

ــل ــون همـــواره : حـ ]چـ ] 1<−≤ xxo ــس ــت لـــذا o>)(xgپـ اسـ1== ))(()( xgfxfog بع همواره پیوسته استاین تا.

: داریم gofبراي

<=>

=o

o

o

xxx

xgof111

)(

.همواره پیوسته است xgof)(=1پس

این مثال نشان می دهد ممکن است دو تابع ناپیوسته باشند ولی ترکیب آنها پیوسته : توجه .باشد

ــد )7 ــابعی مانن ــد ت ــت کنی ــه fثاب ــط ا aدر نقط ــر و فق ــت اگ ــته اس ــر پیوس گ)()(lim afaxf

x=+

→o

www.fanavari-it.ir

٤٥ حد و پیوستگی: دومفصل

موجـود o>δداده شـده o>εبـه ازاي . پیوسـته باشـد aدر fاگر )حل است که

εδ <−⇒<− )()( afxfax :قرار دهیم داریم +x ,axاگر به جاي

εδ <−+⇒<−+=− )()()( afaxfaaxx o lim)()(و این یعنی afaxf

x=+

→o

lim)()(: حال فرض کنید afaxfx

=+→o

atآن گاه o→xهرگاه t-aقرار دهیم xاگر به جاي → .

پس at

aftf→

= )()(lim پسf درa پیوسته است.

.نقاط ناپیوستگی هر یک از توابع زیر را تعیین کنید )8

1(

>

≤=

111

x

xxxf )(

111: داریم )حل =−= )()( ff .پیوسته است 1تابع در

⇒==

==

++

−−

→→

→→

11

1

11

11

lim)(lim

lim)(lim

xx

xx

xf

xxf

.ناپیوسته است x=−1تابع در

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤٦

⇒==

−==

−

++

−→

−→−→

11

1

1

11lim)(lim

lim)(lim

xf

xxf

x

xx

2(

>−

≤=

11

12xx

xxxf

,

,cos)(

π

−==oداریم ) حل )()( 11 ff.

.ناپیوسته است -1تابع در 21

2

11

11

=−=

⇒

==

−−

++

−→−→

−→−→

xxf

xxf

xx

xx

lim)(lim

coslim)(lim oπ

3( [ ]xxxf =)( :در صفر. تابع در اعداد صحیح به غیر از صفر ناپیوسته است) حل

[ ] )(lim oooo

fQxxx

==×=→

4( [ ]xxxf −=)( .تابع در تمام اعداد صحیح ناپیوسته است) حل

5( { }

=−∈

xxfRx 1)(,o

این تابع در نقاط به صورتn .است ناپیوسته است Ζ∈nکه 1

6( [ ]xxxf nxاین تابع در تمام نقاطی کـه )(=− عـددي طبیعـی یـا nو = .صفر است ناپیوسته است

www.fanavari-it.ir

٤٧ حد و پیوستگی: دومفصل

7(

∉−

∈=

QxxQxx

xf,,

)( 2

2

}دنباله این تابع فقط در صفر پیوسته است چون هر ) حل }na گویا یـا اسـم کـه بـه22صفر میل کند

nn aa .نیز به صفر میل می کند −,

Qxاگر : براي سایر نقاط ∈o باشدn

xan1

+= o ً درQ قرار دارد و

)()()( ooo xfxn

xaf n =→+= 221

و n

xbn1

+= o درQ ار ندارد و قر

)()()( oo xfxn

xbf n ≠−→+−= 21

.مشابه این تابع در اعداد اصم نیز ناپیوسته است

8( [ ]

∈+∈

=),(

,)( 311

14

xxxx

xfo

ناپیوسته است چون ox=1این تابع در )حل

تابع پیوسته نیست11

2111

=

⇒=+=++ →→

)(

)(lim)(lim

f

xxfxx

]توجه کنید دامنه تابع برابر ]3,o 1است که در=ox پیوسته نیست.

9( [ ] [ ] [ ]xxxxfx 212122

1211 −−+−=∈ )(,,o

داریم ) حل

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤٨

[ ] [ ]

[ ] [ ])(

)(

)(,)(,)(

xxx

xxxxf

fff

2221

221

2122

121

1121

21

−−+−=

−−−+−=

== o

. تابع در صفر ناپیوسته است

251322

11

21

21

21

21

1+−=−−+−=

=+=

=−

−=

+

−

+

→

→

→

))(()(lim

)(lim

)()(lim

xf

xf

xf

x

x

x

o

o

o

o

پیوسته نیست 1تابع در ⇒

121

23212

121

21

=−=−−+−=+

→

))(()(lim xfx

2تابع در ⇒ پیوسته نیست 1

=−4فرض کنید )9 xxf ]روي بازه fثابت کنید )( .پیوسته است ,104[]چــون بــراي هــر )حل ]104,, ∈≥− xx oε 4اســت و تــابع−x

.ته استروي این بازه پیوس fپیوسته است پس ]فرض کنید )10 ] Rf →+∞,: o تـابعی دلخـواه باشـد و)()( xfxg ثابـت , =

.پیوسته باشد oدر نقطه gاز راست پیوسته است اگر و فقط اگر oدر نقطه fکنید )حل ــد ــرض کنی fف در o ــد ــته باش ــت پیوس ــون . از راس چ o≥x ــس ــت پ اس

)()()(lim)(lim oooo

gfxfxgxx

===→→

www.fanavari-it.ir

٤٩ حد و پیوستگی: دومفصل

.در صفر پیوسته است gپس

آن گاه. در صفر پیوسته باشد gاگر

)()()(lim)(lim)(lim ooooo

fgxgxfxfxxx

====→→→ +

.پیوسته است oاز راست در fپس

−+=oآیا معادله )11 2185 xx ریشه اي در بازه[ ]11 دارد؟ −,2185بله اگر ) حل +−= xxxf :در نظر بگیریم )(

151 تابع داراي ریشه است12

−=⇒<⇒=

)()()()(

ffff ooo

−−+=oثابت کنید معادله )12 13 25 xxx حداقل یک ریشه درباره),( 2o دارد. 13 )حل 25 +−−= xxxxf .را در نظر بگیرید )(

.حـــــــــــــــــــــداقل یـــــــــــــــــــــک ریشـــــــــــــــــــــه دارد

⇒<⇒−=+−−==

oo

o

)()()()(

1213111

ffff

]فـرض کنیـد تـابع )13 ] [ ]321 ,,: o→f 32پیوسـته باشـد و =)(f وo=)(1f ),(در بازه oxثابت کنید عددي مانند ooموجود است که 21 xxf =)( .

xxfxhاگر تابع )حل −= :داریم. را در نظر بگیرید )()(

12322211111

=−=−=−=−=−=

)()()()(

fhfh o

)()(>oچــون 21 hh پــس . اســتx ــه ) 1و2(در ــود اســت ک ooموج =)(xh ــس پ oo xxf =)(

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٥٠

34فرض کنید )143

+−= )sin()( xxxf π . آیا عددي مانندox 2و 2(در بازه- (

3وجود دارد که 7

=)( oxf؟

53221322چــون )حل =+==+−=− )(,)( ff و تــابعf 2و 2(روي- (

53پیوسته است و 71 .وجود دارد oxپس >>

]فــــــرض کنیــــــد تــــــابع )15 ] Rf →− , پیوســــــته باشــــــد :,11[ ] oo =−∈≠ )(,,,)( fxxf 112 .

ooاگر به ازاي )حل xxf ,)( طبق قضیه مقدار میانی تـابع هـر مقـدار , شود <2oooبین =)(,)( fxf را می گیرد یعنی 2را خصوصا مقدارx دارد ي وجـود .است xf)(>2پس همواره . و این تناقض است. xf)(=2که

]فـــــــرض کنیـــــــد تـــــــابع )16 ] Rf . پیوســـــــته باشـــــــد :,53→[ ] 303534 =∈≠ )(,,,)( fxxf 45ثابت کنید <)(f.

45اگر )حل >)(f 33است مقادیر بین چون تابع پیوسته, باشد =)(f و)(5f راکـه تنـاقض بـا xf)(=4وجود دارد کـه xیعنی , را می گیرد 4خصوصا مقدار 45پس . فرض است <)(f است.

]فرض کنید تابع )17( ] Rf →3,: o ،1پیوسته باشد=)(of و معادلـهo=)(xf

]هیچ ریشه اي دربازه ]3,o نداشـته باشـد ثابـت کنیـد بـراي هـر[ ]3,o∈x داریـم ،o>)(xf ]براي )حل ]3,o∈x [ ]x,o را در نظر بگیرید ,f چـون . روي این بازه پیوسته اسـت

10 =)(f , اگرo<)(xf حتماً , باشدf ،روي این بازه ریشه داردکه تناقض است

www.fanavari-it.ir

٥١ حد و پیوستگی: دومفصل

.o>)(xfپس همواره RRffفرض کنید )18( →= :,)( oo

Ryxyfxfyxf ∈+≤+ ,,)()()( پیوسته باشد در هر نقطه دیگر هم پیوسته است oدر نقطه fثابت کنید اگر

→oرا در نظر بگیرید نشان می دهیم aنقطه دلخواه )حل=+

xafaxf )()(lim

وجود دارد که δ<0, داده شده ε<0براي

εδ <⇒< )(xfx )()()( xfxfaxf +≤+ )()()( xfafaxf ≤−+⇒

εδ <≤−+⇒<⇒ )()()( afafaxfx lim)()(و این یعنی afaxf . پیوسته است aدر fپس +=

o→x RIgfهاي بازه اي باز باشد، تابع Iفرض کنید )19( : و. پیوسته باشد ,:→

{ }

{ } IxxgafMaxxt

IxxgxfMinxs

∈=

∈=

)(),()(

)(),()(

: پیوسته اند tو sید ثابت کن

: را می توان به صورت زیر نوشت tو sتوابع ) حل

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٥٢

22

22

)()()()()(

)()()()()(

xgxfxgxfxt

xgxfxgxfxs

−−

+=

−−

+=

. همه توابع سمت راست پیوسته اند gو fبا توجه به فرض پیوستگی

آیا ممکن است؟ . در نظر بگیرید gو fدو تابع مانند )20( aدر نقطـه fogپیوسـته نباشـد امـا aدر نقطـه gاشـد و پیوسـته ب aدر نقطه f )الف

.پیوسته باشد

2xxfتابع )حل =)( و

<−>

=o

o

xx

xg 11

)( گیریم را در نظر می

f درo=a پیوسته است ولیg درo=a پیوسته نیست اما :

1xfog =)( . همه جا پیوسته است

.پیوسته باشد aدر fogپیوسته نباشد اما aدر gو پیوسته باشد aدر f) ب

. xgof)(=1مثال قسمت الف را در نظر بگیرید اینبار )حل . پیوسته باشد aدر fogاما gپیوسته باشد ونه aدر fنه ) ج

مثال مورد نظر است) 6(تمرین )حل . ثابت کنید هر چند جمله اي از درجه فرد حد اقل یک ریشه حقیقی دارد) الف( 21(

چند جمله اي درجه فرد باشد آنگاه f(x)اگر )حل . حداقل یک ریشه دارد

www.fanavari-it.ir

٥٣ حد و پیوستگی: دومفصل

ــد ) ب ــرض کنی dcxbxaxxxpف ++++= ــه o<dو )(234 ــد معادل ــت کنی ثاب0=)(xpحد اقل دو ریشه متمایز دارد.

∞−=

⇒

∞+=

∞−→

∞+→

)(

)(

lim

lim

xf

xf

x

x

ــون )حل ooچــــــــــــــــــــــــ <= df و )(o>+∞=

∞−→)(lim xf

x وo>∞=

∞+→)(lim xf

x و. ),(پس حد اقل ریشه در بازه o−∞ و یک ریشه در بازه),( ∞+o دارد .

ــد )22 ــرض کنیــــــــــ ــد nفــــــــــ ــددي زوج باشــــــــــ عــــــــــ

oaxaxaxaxf nn

nn ++++= −

− 11

1 ooو )(..... ≠aan . ثابــت کنیــد معادلــهo=)(xf حداقل دو ریشع حقیقی دارد .

ــون )حل ooچ <aan ــد ــرض کنی ooف <a وo>na . ــون ــت و nچ زوج اسo>na پس

+∞==∞+→∞+→

nn

xxxaxf lim)(lim

+∞==

∞+→∞+→

nn

xxxaaf lim)(lim

ooاز طرفی <= :)( af پس حد اقـل یـک ریشـه حقیقـی در),( o−∞ و یـک ریشـه

),(حقیقی در ∞+o وجود دارد .

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٥٤

www.fanavari-it.ir

سومفصل

مشتق

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢

192حه فتمرین ص 3-1-17 . با استفاده از تعریف مشتق هر یک را حساب کنید) 1(

113 ()( += xxf

331313==

−−++=

hh

hxhxxf lim)(lim)('

243 ()( += xxf

3443

43434343=

+++++−++

=+−++

=→ xhxh

xhxh

xhxxf

h )()()(lim

)()(' lim

o

4323

4433

+=

++++=

xxhxhh

)(lim

31

32 ()(

+=

xxxf

)()()(limlim 22

2222

122221

21

2

oo

ooo

o

o

o

o

xxxxxxxxxx

xxx

xx

x

x +−

−−+=

−+

−+

→

)()()(lim

112222

22

22

++−

−−+=

oo

ooo

xxxxxxxxxx

)(')(

)(lim o

o

o xfx

x=

+

−22

2

112

41

()(+

=xxxf

www.fanavari-it.ir

٣ حد و پیوستگی: دومفصل

111111++−

+−+=

−+

−+

oo

oo

o

o

o

xxxxxxxx

xxxx

xx

)(lim

1121

1111 ++=

+++++−−

=oooooo

o

xxxxxxxxxxxx

)(()(lim

. با استفاده از تعریب مشتق هر یک را در نقطه داده شده حساب کنید) 2(

15 2 ()( xxxf +=

111165

1651

2=

−−+

=−

−+=

xxx

xxxf )()(limlim)('

251 2 ()(, +== xxfx

32

64

3514

2352

2

2

2

2

2==

++−

−=

−−+

=→→ )()(

`)(' limlimxx

xx

xfxx

31221 ()(,

++

==xxxfx

31

1211

1112

21

22−=

+−−

=−

−++

=→→ )()(

)(' limlimxx

xx

xx

fxx

41

1 2 ()(,+

==x

xxfx

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤

o=++

+=

+

++=

→→ )()()(

)()(' limlim 121

11

21

112

22

2 xxx

xx

x

fxx

)(در توابع زیر اوالً، پیوستگی تـابع را در نقطـه داده شـده بررسـی کنیـد ) 3( ax ثانیـاً =)(' af ')(و + af . را در صورت وجود تعیین کنید −

146424 (

,,

)(

−>−−−≤+

===xxxx

xfax،

4== ax

14ثانیاً . پیوسته است a=−4اوالً تابع در ) حل −=−+ )('f 14و =−− )('f

)(,

,)(, 2

22242

2

≥−

<−==

xx

xxxfa

+=∞+ثانیاً . پیوسته است a=2اوالً تابع در )حل )(' 2f 42و =− )('f

)(,

,)(, 312

14322

≥−<−

==xx

xxxfa 11پیوسته است و =+ )('f 61و =− )('f

xxfاوالً ثابت کنید ) 4( .پیوسته است ولی مشتق پذیر نیست o=xدر )(=

oo) حل === xxff lim)(lim)( پسf پیوسته است .

xx

xx

xxlimlim 22 →→

=−−

o

o

www.fanavari-it.ir

٥ حد و پیوستگی: دومفصل

+=1پس )(' of 1و−=− )(' of لذا تابع صفر مشتق ندارد. است

: داریم o≠xثانیاً همچنین براي هرxx

xf =)('

)5 (a وb را طوري تعیین کنید که هر یک از توابع زیر در نقطه داده شـده مشـتق پـذیر . باشد

)()(, 11141

2

≥−<−==

xbaxxxxfx

lim)()( بنابراین. پیوسته باشد x=1باید تابع در ) حل 11

fxfx

=−→

1=+⇒ ba

:از طرفی داریم

≥<

= 112

xaxx

xf )('

12121−=

=⇒=+==−⇒baaff )(')('

)()( 236333

2

≥−<−==

xbxxaxxfدرx

lim)()( :شرط پیوستگی را نداریم) حل 3

3fxf

x=

−→

6339 +=+⇒ ba

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٦

: از طرفی داریم

≤<

= 332

xbxax

xf پس داریم )(

23139

31896363

−=

−=⇒

=−⇒+=⇒=⇒

=+=−

b

a

aaaab

bfaf

)(')('

: تحقیق کنید اگر x=2را در fپیوستگی و مشتق پذیري تابع ) 6(

>−≤−=

2118232 2

xxxxxf )(

)حل

53825118 تابع پیوسته است22

=−=⇒=−=++ →→

)()(lim)(lim fxxfxx

از طرفی

>≤

= 2824

xxx

xf 822پس ')( =−=+ )(')(' ff

. مشتق پذیر است 2پس تابع در

533در چه نقطه اي از مخفی ) 7( +−= xxy 9، خط مماس عمود برxy . است =−

')(=9باید ) حل xy باشد پس:

3113233 22 ±=⇒=⇒−=− xxx

www.fanavari-it.ir

٧ حد و پیوستگی: دومفصل

yاي از منحنی در چه نقطه) 8( x x= − +3 3 xy، خط مماس عمود بر 5 = −9

. است

')(=9باید ) حل xy باشد پس :

24123933 222 ±=⇒=⇒=⇒+− xxxx 3معادله خط مماس بر منحنی ) 9( 2−= xy را در نقطه),( o2A بیابید.

=∞+ ) حل−

== )()(

)(' 223

123 2x

ym

. معادله خط مماس است x=2پس

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٨

193تمرین صفحه 3-1-18 . مشتق پذیري هر یک از توابع داده شده را بررسی کنید) 1(

1112 (,)( =−= oxxxf

) حل

≥

<−=

− 111

12

2

xx

xxxf در نتیجــــــــــــــه )(

21 =+ )('f

21و −=− )('f یستپس تابع مشتق پذیر ن.

, ( ) ( )x f x x x= = + + −2 4 1 2 2o o چون مشق پذیر نیست ) حل

3252

=−=+⇒

)(')('

ff

≥−<+

= 215233

xxxx

xf )(

)()(, 323 xxxfx +== oo ) حل

<+

≥+=+=

o

o

xxx

xxxxxxf

111)(

1 ⇒ تابع مشتق پذیر نیست1−=−

=+)(')('

o

o

ff

)()()()( 4111 2 =+−= oxxxxf

www.fanavari-it.ir

٩ حد و پیوستگی: دومفصل

) حل

.تابع مشتق پذیر نیست( ) ( )

( )( ) ( ) ⇒−==⇒

<+−

≥+−=+−=

−+ 11111211212111

',' ffxxx

xxxxxxf

5 (( ) 1114112

=

≥−<+

= oxxxxx

xf

) حل

)تابع مشتق پذیر نیست چون ) ( ) 4121 == +− ',' ff است.

6 (( ) 113 =−= xxxf.

). پذیر نیست تابع مشتق )( )

( ) ⇒∞+=′⇒−

= 113

13 2

fx

xf

)فرض کنید)2( )

≤−+

>+=

o

o

xxx

xxxf

111

1مشتق o=xدر نقطه fد ثابت کنی .

. پذیر نیست

)حل

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٠

.نیستپذیر تابع مشتق

( )( )

( )

( )( )

( ) 2212

1211

−=′⇒−

−=′⇒<

⇒

−=+′⇒

+

−=′⇒>

− oo

oo

fx

xfx

fx

xfx

) فرض کنید ) 3( )

<+

≥=

1112

2 xx

xxxf. ثابت کنیـدf در نقطـه

1=x مشتق پذیر است و( )1f .را حساب کنید ′

) حل

)پس تابع مشتق پذیر است و ) 21 =′f است.

)، o≠xفرض کنید ) 4( ) ( )x

xxf x 11 −−= مشـتق o=xدر نقطـه ي fآیـا .][

پذیر است؟

.تابع پیوسته نیست، پس مشتق پذیر نیست. تابع قرار ندارد زیرا این نقطه در دامنه ي) حل

)و ∋Rxدرباره ي مشتق پذیري تابع ) 5( ) ][xxxf .بحث کنید =

.این تابع در اعداد صحیح مشتق پذیر نیست، چون در این نقاط پیوسته نیست) حل

:در نقطه ي صفر پیوسته است ولی داریم][][

limlim xxxx

xx oo o

o

=→=

−−

.که حد اخیر وجود ندارد

anxدر سایر نقاط اگر +=o 1باشد که<< ao است.

( ) ( )

( ) ( )

x f x f

x f x x f

+

−

′′> ⇒ = =

′ ′< ⇒ = =

2 1 2

2 1 2

o

o

www.fanavari-it.ir

١١ حد و پیوستگی: دومفصل

)داریم oxدر همسایگی ) nxxf )پس = ) nxf .که مشتق پذیر است ′=

)پیوســته باشــد و aي در نقطــه fفــرض کنیــد تــابع ) 6( ) o≠af. ثابــت کنیــد .( ) ( )nfxxg ][ . مشتق پذیر نیست aي در نقطه =−1

)حل

)بنابراین ) ( )afaf )و ′+= ) ( )afaf .مشتق پذیر نیستپس تابع ′−=−

.را طوري تعیین کنید که تابع زیر هر نقطه مشتق پذیر باشد bو aمقادیر ) 7(

( )

<+

≥=

1

11

2 xbax

xxxf

.ابتدا شرط پیوستگی را بررسی می کنیم) حل

( )( ) ( ) aff xbax

xx

xx

xf

fbaxfx

2111 11

11

1111

2

1

=−′=−=+′

<<−+

−≤−

≥

=

==+=′→

)()(lim

23

21

=⇒−=⇒ ba

)د فرض کنی) 8( ) ( ) ( ) 111+

−+=′x

xxxxff arcsin. را حساب کنید.

)حل

( ) ( ) ( )

( )afaxalx

axxalfx

axafxf

ax

axax

−−

=

−−−

=−−

→

→→

1

1

lim

limlimo

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٢

( )( )arcsin

lim

lim arcsin arcsin

x

x

xx xxf

xx

x

π

→

→

+ − −+′ =

−

= + = + +

= +

1

1

1 111

111 1

1 2

14

)فرض کنید ) 9( ) ( ) ( )( ) ( )10021 −−−=′ xxxxxff ....,o راحساب کنید.

)چون ) حل ) oo =f داریم.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

!

.........lim

100

100211001

=

−−−=−−

=′→ x

xxxfx o

o

)اگر ) 10( ) xxxf sin][= مقدار ،

′

2πf ساب کنیدرا ح.

داریم ) حل

( ) oo

o

o

=

′=

−

+

=

−

+

+

=

−

+

=

′

→

→→

2

12

222222

ππ

πππππ

xh

h

h

hh

h

fhff

h

hh

sinsin

lim

sinlim

)اگر براي ) 11( ) 12 <=≤≤ xxxxfx )، مقدار , )of .را حساب کنید ′

)واضح است که ) حل ) ooo ≤≤ f پس( ) oo =f است.

www.fanavari-it.ir

١٣ حد و پیوستگی: دومفصل

( )

( )( )

( ) 1

11

1

11

=−′⇒

≤≤+⇒<

=′⇒>

+≤≤⇒

+

o

o

oo

fxxfxx

fx

xxxf

) پس ) 1=′ of است.

)مقدار مشتق تابع ) 12( ) xxxf .را در صفر بدست آورید =

): داریم) حل ) oo =f و

( ) oooo

o=′⇒==

−

−fx

xxx

limlim

247تمرین صفحه ي 3-4-11 . مشتق توابع زیر را حساب کنید) 1

xxyxy 45 51 sincossin) =′→=

( ) ( )( )xtyxxxyxtgxy cossinseccos) +−=′→+= 23 32( ) ( )xxyxtgy sinsec.cossin) 23 =′→=

( ) ( )xxyxy sincos.cossinsin) =′→=4 ( ) ( ) ( )xxxyxy 3023635 2 sincossinsin.sinsincos) −′→=

( )xxyxy 4420456 coscossin)sin(cos) −=′→=

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٤

( ) ( )( )

( )2

2

37

31232

3127

+

−=

+

−++−=′→

+−

=

xx

xxxxxy

xxy

cossin

coscossincossin

coscos)

( ) ( )( )

( )2

2

1

8

xx

xxxxxxxxy

xxxy

sincos

sincoscossinsinsincoscos

sincossin)

−=

−

++−=′⇒

−=

( ) ( )( )

( )2

2

12

111

119

xx

xxxxxy

xxy

sincos

sinsincossincos

sinsin)

−=

−

++−=′⇒

−+

=

( ) ( )( )

( )22

222

12

111

1110

xx

xxxxxy

xxy

tansec

tantansectansec

tantan)

+=

+

−−+=′→

+−

=

در هر مورد ) 2

dxdyy .را بیابید ′=

xxyxyxyyyxyxyyx

−+−+

−=′=+sincoscossinsinsin)1

www.fanavari-it.ir

١٥ حد و پیوستگی: دومفصل

3

323

323

3 163 23 22xy

y

xyyxy −=−=′=+=)

xxy

x

xx

y

yxxxy 432

3253 −

=−

−=′=−)

1222224

−+==+

yx

xyyyyyxsin

sin)

.مشتق هر یک از توابع زیر را بیابید) 3(

4491142711

xxyxy

−−=′

−= cos)

( )2

221

223212

+−

+−=′−=

xx

xyxy cossin)

( ) 2221

22213 −=−

−=′−=

x

xyxycos

sincossin)

01

455141+

=′

−=

x

xyxy tan)

( )x

xyxy 2115

cos

sincostan)+

−=′−=

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٦

21251

215

156

−−

−−

=′

−=

x

xyxy

cos

coscos)

( )( ) ( )212

1211

121

117++

=++

+=′+−=xxx

xyxtgy)

o=′⇒=−+−= yyxxy 211 πcossin)8

( ) 121

1 =−

=′−=x

xyxysin

cossincos)9

121

211

21

11+

−=+

−=′

−=

xx

xyx

y tan)10

211

212

yyx

xyyyxyx

++

+−=′−=+

cos

sintansin)11

( ) ( )

( )( )

2111

221

211

221

21112

)(sin

cossin)

yxxy

yx

xyyxyx

y

y

yxxyy

+++−+

−

+++

−−=′

+−=−

)هرگاه ) 4( ) xxxf += )، مطلوب است محاسبه 3 ) ( )21 ′−f .

www.fanavari-it.ir

١٧ حد و پیوستگی: دومفصل

)حل

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) 41

11213

121

222

12

2

33

=′

=′

⇒+=′

=⇒=++−⇒

=−+⇒=+⇒=

−

ffxxf

xxxx

xxxxy

o

o

طـی مـی کنـد،مطلوب اسـت محاسـبه tمسافتی باشدکه متحرك درزمـان fاگر) 5(

2تاب ش

2

dtsda 2168050، اگر = tts .باشد =++

a=32) حل

2ttxاگر) 6( 3ttyو =+ ، مقدار =+dxdy 2و

2

dxyd 1را در=b محاسبه کنید.

)حل

( ) ( )

( ) ( ) ttgttgtgtty

tfttftfttx

62313

2212

=+=′=+=

⇒=+=′=+=

)('',

)('',

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 9

109

81831

1111122

43

111

=−

=′

′′′−′′′=

=′′

=⇒

f

gffg

dx

yd

fg

dxdy

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٨

ــر ) 7( 143اگـ 2 ++= xxy ــاه ــه ازاي dyو ∆yآنگـ o=∆x/1و x=3را بـ .محاسبه کنید

( ) ( ) ( ) ( )313 ffxfxxfy −+=−∆+=∆ /o

)حل

( ) ( )( )

232394128328394126193

112271134133 2

/////

//

=−+=−+=

−−−++=

( )

( ) ( ) 22346221022

=′⇒+=′=×=⇒∆′=

fxxfdyxxfdy //

233020اگر معادله ي حرکت یک ذره ) 8( tts شـتاب ذره را در باشد، سـرعت و =++

2=t محاسبه کنید.

66

422630

2

2=⇒==

=⇒+==

adtda

vtdtdsv

s

)(

xxxfاگر) 9( += y، آنگاه )(2dxdy را در هر مورد بیابید =′

www.fanavari-it.ir

١٩ حد و پیوستگی: دومفصل

( ) ( )

( )( ) ( )xxxx

xxx

y

xx

xxfxxfy

+++

++

+=′

+

+=′+=

2

2

212

211

2121)

( )

( )( ) ( )( ) ( )xxxx

xxxxy

xxfy

cotcoscotcos

cotcoscotsin

cotcos)

+++

+++−−=′

+=

22

2121

2

( )

+−+

+−

+−

+=′

+−=⇒

+−

=

1211

21

1212

14

1211

13

2

2

2

2

22

22

2

xx

xx

xy

xfy

xxfy)

24224

12422

1222

22224

xxxx

xx

xfx

xxy

xffxfxyxffy

++

+

++

+

+=′⇒

′

′=′⇒

=

..

)

معادله هاي خطهاي مماس و قائم بر منحنی هر یک از تابع هـاي بـه معادلـه ي ) 10(

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٠

.زیر در نقطه اي به طول یک واقع بر منحنی را بنویسید

( )

( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) 91811891832314423

941

3421

2

3

−=⇒−=−=−−=′⇒−−=′

=−=

−=

xyxyyxxxy

y

xxxf)

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 27

23

1232

23

461

16

114122

21211

1212

2222

22

2

2

+−=⇒−

−=−

−=−

=′⇒+

−=

+

+−−=′

=−+

=

−+

=

xyx

y

yx

xx

xxxxy

y

xxxf)

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( ) 37

3413

41341

22322

12123

31

232

2

3 2

3 22

+−=⇒−−=−

−=′⇒

−×=′⇒−=

=−=

−=

−

xyxy

y

xxyxy

y

xxf)

www.fanavari-it.ir

٢١ حد و پیوستگی: دومفصل

( )

( )

( ) ( ) 212

12

12111

14

=⇒=′⇒−=′

=+==

+=

yyxxx

xy

fyx

xxf

o

)

در تابع به معادله ) 111

12 +

=x

y اگرy′ وy مشقات مرتبه اول و دوم ال باشـند، ′′

422ثابت کنید رابطه yyyy .برقرار است ′−′′=

) حل

( ) ( )

( ) 423

423162233

34

212

2212

1212

1

yyyy

yyyyy

yyyy

xy

yxyyy

x

xyyx

yx

y

=′′−′⇒

−=′−′′⇒−=′−

⇒

−=′

⇒−=′⇒

+

=′⇒+

=⇒+

=

در تابع به معادله ) 12(x

xy 12 +22ثابت کنید = =′+′′ yyx

)حل

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٢

( ) 2212122

1111

11

23

22

2

=′+′′⇒′−=

=′′⇒=′′

′−=⇒−=′

+=+

=

yyxyx

yxx

y

yxx

y

xx

xxy

ــد ) 13( RRgfفــرض کنی ــذیر باشــند و ,:→ ــابع هــاي مشــتق پ )ت ) oo ≠′g و( ) ( ) ooo == gf ثابت کنید.

( )( )

( )( )oo

o gf

xgxf

x ′′

=→

lim

)حل

( )( )

( )

( ) )(')('

limlimo

o

o

oo

o

oo gf

xxg

xxf

xgxf

xx=

−−

−−

=→→

)فرض کنید ) 14( )

>−

≤=

o

o

xxx

xx

xf42

2533

.تابع مشتق تابع را پیدا کنید

)حل

( )

>−

≤=′

o

o

xx

xxxf

45

2

www.fanavari-it.ir

٢٣ حد و پیوستگی: دومفصل

). فرض کنید) 15( ) ( )( )( )

>−−≤≤−−

<−=

222121

11

xxxxx

xxxf تابع مشتق تابع را

.بیابید

)حل

( ) ( )

>+≤≤−−−

<−=′

212112

11

xxxx

xxf

.مشتق هر یک را تعیین کنید) 16

xxxxy

xxyx

xy

tan..sec

.tantan)

35

32

2

32

3 2

32

1

−−

−

−=′⇒

=⇒=

( )( ) ( )

x

xx

xxxxy

xxy

sin

sinsin

sincossinsin

sincos)

+−

=

+−−

=+

−+−=′⇒

+=

11

11

11

12 22

2

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٤

( ) 24

12

4121

23

2

2

2

xArcxy

xArc

x

yxArcy

cot

cotcot)

+

−=′⇒

+

−

′⇒=

( )

( )( )

( )

+−++

−+=

+−+

+−

=′

+−=

222

2

22

2

2

1111

111

1

14

xxx

xx

xx

xx

y

xxArcy tan)

<−

=−

>−

−=

−

−

=′

<−

>=⇒=

o

o

o

o

xxx

x

x

xxx

x

x

y

xx

Arc

xx

Arcy

xArcy

11

11

1

11

11

1

1

115

22

2

22

2

sin

sin'sin)

www.fanavari-it.ir

٢٥ حد و پیوستگی: دومفصل

xy

xyxxyxxyyxyyyxyxy −=

−−

−=′⇒=+sincossincoscossin o)6

( )

( )( ) ( )xyxyxy

xyyy

xxyyyxArctgyx

2

22 1

7

sectansec

tan)

+−

−=′⇒

=−⇒= o

11

1

11

1

8

2

2

+−

−−−=′

=+−−−=−

y

xy

yxyArcxArcyArcxArcyxocossin

cossin)

)فرض کنید ) 17( ) ( )xArcnxf sinsin. .ثابت کنید =

( ) ( ) ( ) ( ) o=+′−′′− xfnxfxxfx 221 :و طرف اثر می دهیمرا د sinArc)حل

( )( )( ) 22 11 x

n

xf

xf−

=−

′)مشتق ⇒ ) xArcnxfArc sinsin =

( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )xfnxfxx

nxf

xf 22222

2

2

21111−=′−⇒

−=

−

′⇒

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xfxfnxfxxfxfx ′−=′−′′′−⇒ 222 مشتق2212

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٦

( ) ( ) ( )( ) ( ) o=+′−′′−⇒ xfnxfxxfx 221 )فرض کنید ) 18( ) [ ] Rxxxxf ∈= π2sin. تابع مشتقf رابیابید.

=oچون ) حل→

xnx

π2sinlim براي هرn صحیح در تمام نقاط پیوسته است.

)فرض کنید ) 19( ) ( )31212 +

−= xxxf تابع مشتقfرابیابید.

)حل

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( ) 1111

1111122

12

1212

12

1212

12

2

22

++

+−+

++−−++=′⇒

+

++

−=

++

−=

xxxx

xxxxxxxf

xxxx

xxxxf

||||

|

RRfفرض کنید) 20( →: ،n ثابت کنید. مشتق پذیر باشدمرتبه.

( )[ ]( ) ( )( )baxfabaxf nnn +=+

:این مطلب را نشان می دهیمnبا استقرا روي) حل

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )baxnfnanbaxfnk

baxfabaxfn

+=+⇒=

+′=′+⇒= 1

www.fanavari-it.ir

٢٧ حد و پیوستگی: دومفصل

:با مشتق گیري از دو طرف فرض داریم

( )[ ]( ) ( )( )baxfabaxf nnn +=+ +++ 111 .پس حکم برقرار است

.ام تابع داده شده را به دست آوریدnدر هر مورد مشتق مرتبه ) 20(

( )

+=⇒= 2

πnxyxy n sinsin)1

( )

+=⇒= 2

πnxyxy n coscos)2

( ) ( )

+=⇒

+=⇒= −

22222 12 ππ nxynxxyxy nnn sinsinsin)3

+=

+×=⇒

+=⇒=

−

222

22221

221

214

1

2

π

π

nx

nxy

xyxy

n

n

cos

cos

coscos)

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

( ) 1

54

4

32

121

148

112

14

12

115

+−−=

−=

−−

=′′′

−=′′

−−

=′−+

=

nnn

xny

xy

xy

xy

xy

xxy

!........

,

,)

cbxxyرا طوري تعیین کنید که نمودار ,bcمقادیر)22( ++= )در نقطه 2 )11,A بـرxyخط .مماس باشد =

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٨

),( )حل cbروي نمودار قرار داردپس 11 ++= 11 =+bاست پس داریم 1 از طرفی شیب برابر 21

−==→

=+⇒

11

bc

cb o

23در چه نقـاطی از منحنـی ) 23 −+= xxy خـط ممـاس بـر منحنـی مـوازي حـط14 −= xy است؟

)باید ) حل ) 4=′ xy باشد پس

1133413 222 ±=⇒=⇒=⇒=+ xxxx

ــی ) 24 ــر منحن ــاس ب ــه ي مم 53معادل 23 −+= xxy ــه ــید ک ــط را بنویس ــر خ بo=+− 162 yx عمود باشد.

6 )حل1

31126 +=⇒+= xyxy

3پس شیب خط داده شد برابر است پس −3است لذا شیب خط مماس برابر 1

( )( ) 631333631

31112363

2

22

−−=⇒+−=+⇒−=−=−′−=⇒−=⇒=+

=++⇒−=+

xyxyyyxx

xxxx

)(o

o

RRfدر مورد تابع ) 25( )میدانیم :→ ) Rxxxf ∈≤ ,|| o=xدر fثابت کنید 2

)مشتق پذیر است )of .رابیابید ′

www.fanavari-it.ir

٢٩ حد و پیوستگی: دومفصل

)حل

( ) ( ) ( )

( ) |||

||||

xxxf

xxxfxxxfxxf

≤⇒

≤≤−⇒≤⇒≤ 22

): از طرفی داریم ) o==− 1111 xx limlim پس

( ) ( ) ( ) ooo

o

oo=′=

−−−

=→→

fx

xfxxf

xxlimlim

RRfدر مورد تابع) 26 )می دانیم :→ ) xxxfxx

xxf

≤≤−⇒≤ آیـا )(11

مشتق پذیر است؟ o=xدر نقطه fمی توانیم نتیجه بگیریم که

)خیر؛ مثالً ) حل ) xxf .مشتق ندارد o=xرا در نظر بگیرید این تابع در =

)اگر )27 ) [ ] xxxf sin= مقدار

′

4πf را حساب کنید.

14چون ) حل <<π

o است پسo=

4πf

( ) [ ]o=

−=

−

−

=

′

→→44

44

44ππ

ππ

ππ x

xx

x

fxff

xx

sinlimlim

ــر )28( RRfاگـــ ــابع و :→ )یـــــک تـــ )af ــل ′ ــد، حاصـــ ــود باشـــ موجـــ

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٠

( ) ( )h

hafhafh

−−+

→

2limo

.را حساب کنید

)حل

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )afafafhhh

hhafaf

hafhaf

hhafhaf

′=′+′=→→→

−−+

−+=

−−+

32

2222

ooo

limlimlim

)اگر به ازاي ) 29 ) 12 <+≤≤ xxxxfx )مقدار , )of .را حساب کنید ′

ooo: با توجه به نا مساوي داریم) حل ≤< )(f پسoo =)(f .

( ) ( ) ( ) ( ) 1==−−

=′→→ x

xfx

fxffxxlimlim

oo o

oo

)زیرا ) xxxf

+≤≤ 11

) اگر) 30( ) ( ) ( ) ( ) oo

==′−+→

afafh

afhafh

,,lim 45را 2

.حساب کنید

)حل

( ) ( )

( ) ( ) 10452

52

52

52

=′⇒=′=

−+=

−+→→

afaf

hafhaf

hafhaf

hh

)()(limlim

oo

)دو مرتبـه مشـتق پـذیر باشـد و Rبـر fاگر) 31( ) ( )( )xxffxg )آنگـاه = )og را ′′

www.fanavari-it.ir

٣١ حد و پیوستگی: دومفصل

.حساب کنید

:یدقرار ده)حل

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )oooo

ooooo

oo

oo

fffg

ffffg

ufuufuxg

ufuxgufxgfuxfxxfxu

uxxfxu

′′+′=′′⇒

′′+′′=′′⇒

′′′+′′′=′′

′′=′⇒==′⇒′+=′

=⇒=

22

2

2

22

مشتق پذیر باشند وRبرgوfاگر توابع)٣٢

( ) ( ) ( ) 222 −=′==−′ afafg )مقدار ) ( )afg ′

oرا حساب کنید.

)حل

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 22122 =−−=−−′=

′′=′

..

gafafgafg o

اگر ) 33(

=

+=3

22ty

tx مقدار )(dxdy 3را به ازاي=t حساب کنید.

)حل

www.fanavari-it.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٢

522542

212

=×

=⇒

==+

)(dxdy

t

dddd

dxdy

tt

t

x

t

y

o1

2752

273223 2

=×

=⇒+

== )()( dx

dytt

dxdy

dtdxdtdy

211 اگر) 34( −== )()(' ff 32و =− )('g حاصل ،)()'( 1fg o را حساب کنید.

)حل

62322111

−=−×=−⋅−=⋅=

)()()(')('))((')()'(

gffgfg o

مقدار . باشد aتابعی مشتق پذیر در fاگر ) 35(ax ax

xafaxf→ −

− )()(lim را حساب کنید.

:را به صورت اضافه و کم کنید xxf)(مقدار ) حل

)(')(

)()()(lim

)()()()(lim

aafafax

axafxfx

axaxaxxf

axax

xafxxfxxfaxf

−=→−−

−

→−−

=

→−

−+−

منحنی پـارامتري بـه معادلـه ضریب زاویه خط مماس بر نمودار) 36(

+=

−=

11

2

2

ty

tx در

2=t را حساب کنید.

)حل

www.fanavari-it.ir

فصل چهارم

كاربرد مشتق

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢ 290تمرین صفحه 4-2-14ابتدا نشان دهید که هریک از توابع زیر دربازه داده شده در شرایط قضیه رل صدق مـی ) 1(

.مربوطه را بدست آورید cپس مقدار . کند

1 ([ ]2122 23 xxxxxfوو −∈+−−=)( چون مشتق پذیرند و مشـتق . ه رل را دارندچند جمله اي ها روي هر بازه شرایط قضی) حل

. آنها نیز چند جمله اي است

372

6284

14312

2

±=

±=

=−−⇒=

=−=

c

cccf

ff

oo

o

)('

)()(

2 ([ ] xxxوfوx 164 3 −=−∈ )(o

:حل

34163

646442 ±=⇒=−=

==+−=−

cccf

ff

o

oo

)('

)()(

3 (

[ ]

32

31

31

34

34

34−

−=

−=∈

xxxf

xxxfx

)('

)(,,o

]پس تابع روي )پیوسته و روي oو3[ .مشتق پذیر است oو3(

www.fanavari-IT.ir

٣ کاربرد مشتق: چهارمفصل

43

32334

32

134

33333

31

33

=⇒

=−

=−⇒

=−===

c

c

c

cc

ff

o

ooo )()(

4 ([ ]42 41

43

,,)( o∈−= xxxxf :حل

43

41

21

43 −−

−= xxxf )('

]روي fپس تابع )پیوسته و روي oو4[ .مشتق پذیر است oو4(

94

4

23

2

1

4

3

21

43

43

21

43

41

43

41

=⇒

=−

=−

=−−−

c

c

c

cc

cc

o

o

5 ([ ]

>→−≤→+

=−∈ 272373

xxxx

xfx )(,,

پیوسته است، پس همه جا پیوسـته اسـت و 2این تابع در ) حل

>→−≤→

= 2121

xx

xf )('

.لذا شرایط را ندارد. مشتق پذیر نیست 2پس در

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤

6 ([ ] 3

12432

−−−

=−∈x

xxxfx )(,,

]تابع در ) حل ]433 .ه را نداردپیوسته نیست، پس شرایط قضی ∋−,

7 ([ ]326116 23 ,,)( ∈−+−= xxxxxf )حل

123

21

241212

1112363354273

6222482

2

±=±

=

=+−=

=−+−==−+−=

c

cccf

ff

o

o

o

)('

)()(

8 ([ ]ππ ,,sin)()( o∈−= xxxf

.همه جا پیوسته و مشتق پذیرند xsinچند جمله اي و ) حل

( )

πππ

ππ

=+⇒−=⇒−=⇒

=−+===

cccc

cccccccf

ff

tantan

cossincos)(sin)('

)()(o

oo

.جواب دراین بازه است π=cواضح است که

9 ([ ]43

245292

,)( −∈→

≥→−<→−= x

xxxxxf

]ایـــــــن تـــــــابع در ) حـــــــل ]432 پیوســـــــته نیســـــــت چـــــــون ∋−و

www.fanavari-IT.ir

٥ کاربرد مشتق: چهارمفصل

−→

=≠−=−=

262592

x

fxxf )()lim()(lim

.پس شرایط قضیه برقرار نیست

10 ([ ]421

522,,)( −∈

−+−

= xx

xxxf .

]این تابع در ) حل ]421 .پیوسته نیست، پس شرایط قضیه برقرار نیست ∋−و

xxxxxfاگر ) 2( −+−= 234 باشد، به کمک قضیه رل ثابت کنید کـه معادلـه )(22o=−+− 1464 23 xxx در بازه( .حداقل یک ریشه دارد oو1(

o) حل

oo

=−+−==

12211)()(

ff

)تابع چند جمله اي در قضیه رل صدق می کند، پس در وجـود دارد cحداقل یـک oو1( که o=−+−= 1464 23 ccccf )(' ++=oبه کمک قضیه رل ثابت کنید که معادله ) 3( cxx یک ثابـت c، که در آن 23

.دلخواه است، نمی تواند بیش از یک ریشه حقیقی داشته باشد

cxxxfاگر ) حل ++= 23باشـد بـیش از یـک ریشـه داشـته )(23 2 += xxf )(' .حداقل یک ریشه دارد که تناقض است

=++−=oبا استفاده از قضیه رل ثابـت کنیـد معادلـه ) 4 )()( xوfxxxxf 3235

)دقیقا یک ریشه در بازه .دارد oو1(

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٦

oo) حل <)()( 1ff 311پس −== )()( oوff حـداقل یـک طبق قضیه مقدار میانی

)ریشه در =++<oاز طرفی . دارد oو1( 235 24 xxxf )(' .

')(چون xf هیچ ریشه اي ندارد پس)(xf دقیقا یک ریشه دارد. سـپس . ین صدق می کننـد ابتدا نشان دهید توابع داده شده در شرایط قضیه مقدار میانگ) 5

.مربوطه را بدست آورید cمقدار

1 ([ ]132

,,)( o∈= xxxf .

) حل31

32 −

= xxf )('

]روي fپس ]1,o پیوسته و روي( )1,o مشتق پذیر است.

278

1111

32

3

=⇒

=−−

=⋅

c

ffc o

o)()(

2 (

∈

−+−= 32

31

11 ,,)( xx

xxf

تابع داده شده روي ) حل

32

3 ,پیوسته روي

32

3 , مشتق پذیر است،

www.fanavari-IT.ir

٧ کاربرد مشتق: چهارمفصل

233

233

111

11

2

2

−

−=

−−⇒

−−=

)()(

)(

)()('

ff

c

ccf

o

o

=⇒

=−⇒==−

−−

c

cc

111

11 2

232

25

25

)()(

3 (

[ ]

≥−<+

−∈

3215332

51

xxxxو

,,

23تق پذیر نیست، چـون مش 3تابع در ) حل =− )('f 23و −=+ )('f پـس شـرایط ،

.قضیه را ندارد

4 ([ ] 32

4354 )()(,, −=−∈ xxfx .

3) حل1

42−

−= )()(' xxf ،f در[ ]544 مشـتق پـذیر نیسـت، پـس شـرایط ∋−و .برقرار نیست

5 ([ ] 3

352

+−

=−∈xxxfx )(,, o

.

]تابع در ]o,53 .پیوسته نیست پس شرایط قضیه برقرار نیست −∋−

6 ([ ] 1751 2 −+=−∈ xxxfx )(,, .

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٨

پس . چند جمله اي است، شرایط برقرار است fچون ) حل

o=⇒

=−

=−−

=+

c

ffc 76749

61572 )()(

.ریشه حقیقی دارد 3حداکثر 3نشان دهید هر چند جمله اي از درجه ) 6(

ریشـه دارد 2است و حداکثر 2، چندجمله اي درجه 3چون مشتق چندجمله اي درجه ) حل .ریشه دارد 3حداکثر 3پس چندجمله اي درجه

+++=oنشان دهید معادله ) 7( 133 35 xxx داراي بیش از یک ریشه حقیقی نیست. .ریشه حقیقی داردچون درجه چند جمله اي فرد است، حداقل یک ) حل

195از طرفی 24 ++= xxxf هیچ ریشه اي ندارد، پس چنـد جملـه اي داده شـده، ')( .دقیقا یک ریشه دارد

+++=oنشان دهید معادله ) 8( baxx n ∋<oبراي 12 aNn .دقیقا یک ریشه دارد , .دارد چون چندجمله اي از درجه فرد است، حداقل یک ریشه) حل

axnxfاز طرفی n ++= 212 ')(، پس o>aو ')()( xf هیچ ریشه اي ندارد، پـس .معادله دقیقا یک ریشه دارد

+++=oنشان دهید ) 9( 135 xxx دقیقا یک ریشه دارد.

135از طرفی 24 ++= xxxf .ادله دقیقا یک ریشه داردهیچ ریشه اي ندارد پس مع ')( نشان دهید ) 10(

xxLnx

xوx <+<+

> )()( 11o .

)()(تابع ) حل nLntf += ]را روي بازه 1 در نظر بگیرید این تابع شرایط قضـیه xoو[

www.fanavari-IT.ir

٩ کاربرد مشتق: چهارمفصل

:پس. مقدار میانگین را دارد

xxLnx

xx

xLnc

c

xLnxx

xLncx

xc

xxLn

c

xcx

fxfcf

<+<+

⇒

+=

+>=

+⇒<

+<+

⇒+

=+

<+

⇒<

+=

+⇒

<<−−

=

)(

)(

)()(

)(

)()()('

11

11

1111

1111

11

11

11

1

oo

o

o

o

. نشان دهید) 11(

xxLn

xx 1111

1<+<

+> )(),( o

xقرار دهیم xکافی است در تمرین قبل به جاي ) حل1

:داریم

xxLn

x

xLn

x

x

11111

1111

1

<+<+

⇒

+<+

)(

)(

]بر بازه بسته fاگر ) 12( ooپیوسته و oو1[ =)(f و اگر)(' xf بـر بـازه بسـته بـاز

( xموجود و صعودي باشد، نشـان دهیـد کـه oو1(xfxg )()( =

)نیـز بـر بـازه oو1( .صعودي است

>>1براي ) حل xo قضیه مقدار میانگین داریم طبق:

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٠

2121 1 cxcxxx

cxfx

fxfxg

≤⇒<<<

=−−

=

o

o

o )(')()()(

'f صعودي است )(')('' 21 cxfcxff ≤⇒

g صعودي است gxgxg ⇒≤⇒ )()( 21

21فرض کنید ) 13( xxxf

+=)('

:متمایز داریم bو aثابت کنید به ازاي هر .

abafbf −≤− 21)()(

) حل

22

2

22

2

22

22

11

11

121

)()()()('

xx

xx

xxxxf

+−≤

+

−=

+

−+=

222از طرفی 12 )( xx 2پس ≥+1

1 22

2≥

+ )( xx

لذا.

21

211 =−≤)(' xf

.متمایز و دلخواه باشد bو aحال اگر

abafbf

cfab

afbf

−≤−⇒

≤=−−

21

21

)()(

)(')()(

2اگر ) 14(π

αβ <≤<o :باشد، نشان دهید که

www.fanavari-IT.ir

١١ کاربرد مشتق: چهارمفصل

α

βαβα

β

βα22 cos

tantancos

−≤−≤

−

xxfتابع ) حل tan)( ]را روي بازه = ]αβدر نظر بگیرید و.

:پس. این تابع شرایط قضیه مقدار میانگین را داراست

c21

costantan

=−−

βαβα

αβچون << c وx21

cos پس. تابعی صعودي است

αβ 222111

coscoscos≤≤

c

لذا

αβαβα

β 2211

costantan

cos≤

−−

≤

]درستی قضیه مقدار میانگین را براي تابع زیر در فاصله ) 15( . بررسی کنید oو2[

>

≤≤−

=11

123 2

xx

xx

xf,

,)(

o

1) حل11

→==

xfxf )()(lim

]پس تابع همه جا خصوصـا روي ]2,o از . پیوسـته اسـت :طرفی

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٢

>−

≤≤−=== +− 11

1111

2 xx

xxxfff

,

,)(',)(')('

o

)همه جا خصوصا روي fپس مشتق )2,o لـذا شـرایط قضـیه مقـدار . موجـود اسـت

.میانگین برقرار است

xxمعادله ثابت کنید که ) 16( −= )یک و تنها ریشه در بازه 2 )1,o دارد.

xxاز ) حل −= xxLogنتیجه می گیریم 2 −=2

xLogxfحال تابع x += )را روي فاصله )(2 )1,o در نظر بگیرید.

f ریشه اي در

12

1 ,. دارد

⇒<−=+−=

>=

o

o

21

2112

111

)(

)(

f

f

از طرفی 11

21

+⋅=xLn

xf )('xLogپس . هیچ ریشه اي ندارد x =2

xxدقیقا یک ریشه دارد، لذا −= )دقیقا یک ریشه در 2 )1,o دارد.

+−=oرل را بیان کرده با استفاده از آن نشان دهید که معادله قضیه) 17( 13 xx یـک .و فقط یک ریشه حقیقی دارد

]روي fاگـر ) حل ]ba )پیوسـته و روي , )ba )()(مشـتق پـذیر باشـد و , bfaf = ),(آنگاه bac ')(=oموجود است که ∋ cf .

. چون معادله داده شده از درجه فرد است پس حداقل یک ریشه دارد

13از طرفی 2 += xxf نمی توانـد xf)(هیچ ریشه اي ندارد، پس طبق قضیه رل ')( .بیش از یک ریشه داشته باشد

www.fanavari-IT.ir

١٣ کاربرد مشتق: چهارمفصل

xe=1فاده از قضیه رل ثابت کنید بـین هـر دو ریشـه حقیقـی معادلـه با است) 18( x sin

xe=−1حداقل یک ریشه x cos قرار دارد.

xe=1) حل x sin معادل است بـاxex −=sin . 1و−=xe x cos معـادل اسـت بـاxex −−=cos .

xexxfحال تابع −−= sin)( این تابع شرایط قضیه رل را داراست و . را در نظر بگیریدxexxf −+= cos)(' .

')(بنابراین بین هر دو ریشه xf وجود دارد.

xexیعنی بین هر دو ریشه −=sin یک ریشه ازxex −−=cos ود داردوج.

1. با استفاده از قضیه مقدار میانگین ثابت کنید) 19(111+

≥+

≤<ax

xLnx )(o .

1داریم o>xبراي ) 11(طبق تمرین ) حل1

+>

+x

xx

xLn )( .است

>≥1حال اگر xo آنگاهxxx

+≤

+ 11

:بنابراین 1

)(x

xLnx

x 11

+≤

+ α≤1با استفاده از قضیه مقدار میانگین نشان دهید که بـه ازاي هـر عـدد حقیقـی ) 20(

)به شرط آنکه . (رابطه زیر برقرار است ) o>+ 1z باشد.(

o≥z اگر ( ) zz αα +≥+ 11

xxxfتابع ) حل αα −+= )()( ]را روي فاصله 1 در نظر بگیرید zoو[

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٤zcپــس . ایــن تــابع شــرایط قضــیه مقــدار میــانگین را داراســت <<o موجــودات کــه

oo

o≥−+=

−−+⇒=

−− − αα

α αα 1111 )()()(')()( c

zzzcf

zfzf

zzاست پس o>cچون αα +≥+ 11 )(

xxxfتابع o<zاگر αα −+= )()( ]را روي 1 ]ozدر نظر می گیریم و

α

αα

α

αα

)(

)()(

)(')()(

zz

cz

zz

cfz

zff

+≤+⇒

≤−+=−

++−

=−−

11

111o

o

o

o

xxxxfبا استفاده از قضیه رل نشان دهید که مشتق تابع ) 21( 128 24 فقـط )(=−−

]یک ریشه در .دارد −و11[ ) حل

22

2

3

34

1216

161212164

±=⇒=⇒=

−=

−−=

xxxf

xxf

xxxf

o)(''

)(''

)('

'')(ریشه هاي xf خارج[ ')(قرار دارند پس −و11[ xf حداکثر یک ریشـه در[ −و11[

.دارد−=−+−=oاز طرفی 121641)('f و این تنها ریشه تابع مشتق است.

2334ثابت کنید که تـابع ) 22( 35 −++= xxxxf ]در فاصـله )( ]1,o تنهـا یـک .ریشه دارد

www.fanavari-IT.ir

١٥ کاربرد مشتق: چهارمفصل

ooo) حــل <−=>= 281 )(,)( ff ــداقل یــک ریشــه در ]پــس ح ]1,o از . دارد :طرفی

oo >++= 392 24 xxxf )(' )(' xf هیچ ریشه اي ندارد پس)(xf دارددقیقا یک ریشه.

]روي xf)(فــرض کنیــد ) 23( ]1,o ثابــت کنیــد عــددي ماننــد . مشــتق پــذیر باشــدcc ,1<<o وجود دارد به طوري که)()()(' 122 fccfcfc =+

)()(تابع ) حل xfxxh ]را روي فاصله =2 گیرید این تابع شـرایط قضـیه در نظر ب oو1[ :مقدار میانگین را داراست پس

)()()('

)()(')(,

)(')()(,

12

21111

11

2

2

fccfcfc

ccfcfcfc

chhhc

=+⇒

+=−

<<

=−−

<<

oo

o

oo

. 300تمرین صفحه 4-3-8 .تعیین کنید توابع زیر روي چه بازه هایی صعودي یا نزولی هستند) 1(

o<+−=−=

+−−=

)()('

)()

4545241

44

5

xxxf

xxxf

f همواره نزولی است.

)()('

)()

144422

23

24

−=−=

−=

xxxxxf

xxxf

](تابع روي ]تابع صعودي روي 1+∞ ]1,o نزولی

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٦

]روي ]o,1− تابع صعودي و روي]( 1−∞− .نزولی است ,

3442

2

13

14211

12121

123

)()(

)())((

)())(()()('

)()()

−−

=−

−++−−=

−+−−−−−

=

−+−

=

xx

xxxx

xxxxxf

xxxf

)تابع روي )31 )نزولی و روي , )و 3,+∞( .صعودي است −∞,1(

24

244

4

44

2

2

2

22

2

±=⇒=−

−=

−−−=

−=

xx

x

x

xxxf

xxxf

o)('

)()

)تابع روي )22 )صعودي و روي −, )22 −− )و , )22 .نزولی است ,

[ ]xxf =)()5 .تابع جزء صحیح همه جا صعودي است

≤→−<≤−→−−

−<→=

+−=

xxx

xxf

xxxf

o

o

1112

1116

)(

)()

o≥−=+=

xxfxxxf

sin)('cos)()

17

.همواره صعودي است

22

22

11

18

)()('

)()

x

xxf

xxxf

+

−=

+=

www.fanavari-IT.ir

١٧ کاربرد مشتق: چهارمفصل

)تابع روي )11 )صعودي و روي −, )1−∞− )و , .صعودي است 1,+∞(

o<−+

=−+

=

−+=

)()('

)()

xxxxxf

xxxf1

11

21

21

121

19

xxچون . تابع همواره نزولی است1

11

≤+ .

2

2

2 214

212

21210

xx

xxf

xxxf

−=−=

+=

)('

)()

تابع روي

− 2

121 ,

نزولی و روي

∞+,2

1و

−∞− 2

1, .صعودي است

2

2

2

22

2

525

55

511

x

x

x

xxxf

xxxf

−

−=

−−−=

−=

)('

)()

ــابع روي تـ

− 2

525 ,

ــعودي و روي صـ

−− 2

55 ,و

525 ,

.نزولی است

31

1212 )()() −−= xxf

=−−>⇒همواره نزولی است −

o32

1)()(' xxf

))(())(()()()('

)()()

65226322223213

22322

23

−−=+−−=−+−=

−=

xxxxxxxxxxxxf

xxxf

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٨

تابع روي

∞− 5

و6)و صعودي و روي 2و+∞(

25

6 و .نزولی است

14 ()(sincos

)sin(coscossin)('coscos)(

212

12222

+−=

+−=−−=−+=

xx

xxxxxfxxxf

تابع نزولی ⇒<⇒<< oo )(' xfx 2

π

ابع صعودي ت⇒>⇒<< o)(' xfx π

π2

تابع نزولی ⇒<⇒<< o)(' xfx 6

7ππ

تابع صعودي ⇒>⇒<< o)(' xfx 2

36

7 ππ

تابع نزولی ⇒<⇒<< o)(' xfx 6

112

3 ππ

تابع صعودي ⇒>⇒<< o)(' mfx π

π 2611

2با فرض ) 2(π

<< xo .، نامساوي هاي زیر را ثابت کنید

xx) الف <sin .

ttfتابع ) حل sin)( ]را روي = ]x,o در نظر بگیرید .شرایط قضیه مقدار میانگین را دارد پس

www.fanavari-IT.ir

١٩ کاربرد مشتق: چهارمفصل

xxcx

xcfx

fxf<⇒<=⇒=

−− sincossin)(')()( 1

o

o

) بxxx sin<− 6

3

6تابع ) حل3tttf += sin)(

]را روي فاصله ]x,o در نظر بگیرید پس داریم. شرایط قضیه مقدار میانگین را دارد

6136 32

3

xxxccx

xxcf

xfxf

−>⇒>+=+

⇒=−− sincos

sin)(')()(

o

o

. نشان دهید) 3(

xtrcx

xx

<Α<+

>

tan

)(

21

o

trctfتابع ) حل tan)( Α= را روي بازه[ ]x,o در نظر بگیرید

:پس داریم. داردشرایط قضیه مقدار میانگین را

211cx

xrccfx

fxf+

=−Α

⇒=−− o

o

o tan)(')()(

xcچون <<o پس1

11

11

22 <+

<+ cx لذا داریم:

xxrcx

xx

xrcx

<Α<+

⇒<Α

<+

tantan22 1

11

1

)()(با فرض ) 4( xLnxxf +−= >>1و 1 xo نشان دهید.

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٠

21422 xxLnxx

<+−< )(

ــابع ) حــل )()(ت tLnttf +−= 2ttgو 1 ]روي )(= ــدار xoو[ ــرایط قضــیه مق ش :میانگین را دارند، پس داریم

)()(

/)()()(')('

)()()()(

cxxLnx

cc

cx

xLnxc

cx

xLnxcgcf

gxgfxf

+=

+−+

=+−

⇒+−

=+−

⇒=−−

1211

211

21

111

2

22o

o

>>>1از طرفی چون xco لذا داریم:

21

121

41

<+

<)( c

: پس داریم

214211

41 22

2xxLnxx

xxLnx

<+−<⇒<+−

< )()(

: نشان دهید) 5(xxLn

xxx <+<+

> )()( 11o

.مراجعه کنید 292به تمرین صفحه ) حل

2 : نامساوي زیر را ثابت کنید) 6(2 ππ

<<<< xxxx o,sin

xxنامساوي ) حل <sin قسمت الف نشان داده شد 2در تمرین.

تابع o>xبراي tttf

π2

−= sin)(را روي فاصله

2π,x

در نظر بگیرید، این تـابع

www.fanavari-IT.ir

٢١ کاربرد مشتق: چهارمفصل

.شرایط قضیه مقدار میانگین را دارد

cx

xxc

x

xxcf

x

xffcos

sincos

)(sin)('

)()(−=

−

−⇒−=

−

−−⇒

−

−

πππ

πππ

π

π2

2

22

2

2

2

2 o

2اگر ) 7(π

<< xoxxx : باشد نشان دهید 2>+ sintan .

]در بازه fفرض کنید تابع ) 8( ]ba )در فاصله f''و پیوسته , )ba همـواره موجـود و , .نشان دهید. مثبت باشد

[ ] ))()(()(:,, yfxfyxfbayx +≤+

∈∀ 21

2 ]در بازه fاگر ) 9( ooپیوسـته و oو1[ =)(f و اگـر)(' xf بـر بـازه( )1,o موجـود و

xنشان دهید که . صعودي باشدxfxg )()( =

)نیز بر بازه )1,o صعودي است. .مراجعه کنید 292صفحه 12به تمرین ) حل

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٢ .نقاط بحرانی هر یک از توابع زیر را تعیین کنید

o=+=+=

+=

)()('

)()

3441216441

223

34

xxxxxf

xxxf

⇒

−= 4

3,o نقاط بحرانی

o=+−

=+

+−−=

+−

=

222

2222

2

44

424

42

)()()('

)()

xx

xxxxf

xxxf

{ }⇒−= نقاط بحرانی ,22

21

32

2

=

=⇒=−=

−=

x

xxxxf

xxxf

sin

coscossin)('

sinsin)()

o

o

⇒

+++= 6

52622π

ππ

ππ

π kkk ,, نقاط بحرانی

≤≤−

<≤−−=

≤≤+−

<≤−−=

52122

332

52322

3342

x

xxxf

xx

xxxf

)('

)()

.ه بحرانی استنقط x=2پس . پیوسته است ولی مشتق پذیر نیست x=2تابع در

www.fanavari-IT.ir

٢٣ کاربرد مشتق: چهارمفصل

oo =−+→=−+

=

−+=

−+=

−

3473

34734

37

35

2

32

2

32

31

34

31

34

37

xx

x

xx

xxxxf

xxxxf

)('

)()

⇒

− 7

31,,o پس نقاط بحرانی

xxxx

xxx

xx

xxxf

xxxf

121243263433

63436

223

2

3 223

2

3 23

−=⇒=+−⇒=+−

=⇒=−

+−

−=

+−=

,)()(

,

)()('

)()()

oo

oo

مشتق موجود است پس x=2به ازاي

{ }⇒−1,o نقاط بحرانی

)()()()

4517 2 +−

+=

xxxxf

) حل

{ }

oo =−+⇒=+−−⇒

+−

++−−+−=

−=

929245

55224541

22

22

22

xxx

xxxxxxxxf

RD f

)()('

,

نقاط بحرانی ⇒±−=

±−= o

o 11242x

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٤

248 21

23

+−= xxxf )() [ ]

⇒=⇒−

=−=

+∞=

−

34

2

43223

21

21

21

x

xxxxf

D f

)('

,o

نقطه بحرانی 313تمرین صفحه 4-3-21

با استفاده از آزمون مشتق دوم نقاط ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی هر یک از توابع زیـر را .تعیین کنید

1 (26343

2

23

==⇒=−=

+−=

xxxxxf

xxxf

,)('

)(

oo =⇒=−⇒ماکزیمم نسبی 6)('' oo fx =⇒=⇒مینیمم نسبی 622 )(''fx

2 (xxf

xxxxf

xxxf

cos)(''

,sinsin)('

cos)(

−=

=⇒=⇒=−=

+=

43

422

22

22

ππo

ماکزیمم نسبی ⇒−=−⇒= 2

2444 )cos()('' πππ fx

مینیمم نسبی ⇒=⇒= 2

24

34

3 )('' ππ fx

www.fanavari-IT.ir

٢٥ کاربرد مشتق: چهارمفصل

3 (2324

7162618612

183422

23

−==⇒±

=⇒

=−−−=++−=

++−=

xxx

xxxxxf

xxxxf

,

)()('

)(

o

=⇒>⇒ماکزیمم نسبی +−=

o)('')(''

22624

fxxxf

مینیمم نسبی ⇒>−⇒−= o)('' 2

323 fx

4 (1812336186

27922

23

−===⇒−=−=

+−=

xxfxxxxxxxf

xxxf

)('',)()('

)(

o

=⇒=−>⇒ماکزیمم نسبی ooo 18)(''fx =⇒=<⇒مینیمم نسبی oo 183 )(''fx

5 (25

23

23

21

21

21

3

11211222

44

−−

−−

−

+−=

=⇒=−

=−=−=

+=

xxxf

xxx

xxxx

xxxf

xxxf

)(''

)()()('

)(

o

=<⇒مینیمم نسبی o21)(''f

6 (f 3در=x مینیمم نسبی دارد .⇒−= 43)()( xxf 7 (

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٦[ ]

xxxxx

x

xxx

xxxf

xxxxx

xxxx

xxxxxf

Dxxxf f

24542412

2

45412412

544

2454

2444

21442

42

2

2

))(()())(()(

)(''

,))((

)()()()()('

,)()(

−−−−=

−−−−=

==⇒=−−

=

−+−=−+−=

+∞=⇒−=

oo

o

o

f مینیمم نسبی 4در⇒>=

×= o168

1684)(''f

f 5در4

ماکزیمم نسبی ⇒<

−×= o

58

458

54 )(

)(''f

8 (33

2

3

2

2

281

281

9281

929

99

=⇒=⇒=+−

=+−=

+=

xxx

xxx

xf

xx

xf

o)('

)(

مینیمم نسبی

⇒>⇒+= o)('')('' 33 2

819218 f

xxf

www.fanavari-IT.ir

٢٧ کاربرد مشتق: چهارمفصل

www.fanavari-IT.ir

پنجم فصل

ضد مشتق

www.fanavari-IT.ir

٢٩ ضد مشتق: پنجمفصل

350تمرین صفحه 5-2-9 :هر یک از انتگرال هاي زیر را حل کنید) 1(

)الفcxdxxdxx +

−⋅=−=− ∫∫ 5

23313233

123544 )()()(

) بcxxdxxdx

xx

+++×=+=+

+∫∫ 113

22112

112

1 )(

dxxx )ج +∫ 12

xuقرار دهید += dxuduپس 12 =2

cxxx

cuuu

duuuuduuu

++

++

−+

=

++−=

+−=− ∫∫

))()()((

)(

)()(

31

512

712

352

72

2221

23

25

27

357

246222

) دcxxcuuuduu

xdxuduxdxuduxu

dxxx

+−

+−

=++=+

=⇒=⇒−=

−

∫

∫

21

41

241

221

1

222242

22

23

)()(

)ه∫

− dxx

x 21)(

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٠

cx

cuduux

dxduxu

+−=

+−=−⇒=⇒= ∫3

32

132

132122

)(

)()(

) وcx

cxdxx

x

x

dxx

+−−=

+−×−=−

−−=

−∫ ∫

6

66

5

6

5

131

1261

16

61

1

) ز∫ ∫

∫ ∫

+−=

−+

=⇒+=

+++=

++

5332

22

222322

111

111111

uu

udu

uu

uduxdxuduxu

xxx

xdx

xx

xdx

)(

)()(

) حc

xc

uuduxu

xdxx

xxdxx

+++

−=+×−×=⇒++=

++

+=

++

+∫ ∫

22232

3232

11411

21

2111

111

221

))(()(

))(()(

)()(

∫ ) ط ∫

∫

+−=⋅=

=⇒=−

cxxdxxdxxx

xdxduxudxx

x

32242

42

121

41

41

224

cotcsccotsincos

cossin;

www.fanavari-IT.ir

٣١ ضد مشتق: پنجمفصل

∫ )ي

∫

+++=+×=

+=⇒++=

++

+

cxxcuu

du

dxxduxxu

dxxx

x

32

332

3

23

3 3

2

1321

23

31

31

131313

1

)(

)(

)كcxxx

cuuu

duuuuduuu

dxduuxu

dxxx

+−

+−

−−

−=

++−−=

+−−=−−

=−⇒−=

−

∫ ∫

∫

))()()((

)(

)()(

o

oo

o

11

712

413

172

43

231331

1

31

37

34

174

963323

23

32

) ل∫ ∫ ++×=

+=

+cxdx

x

xdxx

x 32

33 3

2

3 3

212

331

13

31

1)(

) مcx

dxxxdxxx

+−×−=

−−−=−∫ ∫56

2

5 25 2

565

21

25215

)(

)(

xxfفرض کنید ) 2( :به صورت زیر تعریف شده باشد F و تابع )(=

≥

<−=

o

o

xx

xxxF

,

,)(

2

2

21

21

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٢

)روي fیک ضد مشتق Fنشان دهید )+∞∞− .است ,

) حل)(

,,

)(' xfxxxx

xF =

≥<−

=o

o

. 355تمرین صفحه 5-3-13

∫انتگرال xxdx

42 cossin را حل کنید.

) حلcxxx

xdxxxx

dxxdx

xxdx

xdxdx

xxxx

xxdx

+−+=

++=+=

+=⋅

+=

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

223

2412

4

3

2222

4

244222

42

cottantan

csc)tan(sec)(sin

sec

)cos(sincoscossincossin

cossin

. 357تمرین صفحه 5-3-20 .کنید هر یک از انتگرال هاي زیر را حساب) 1(

1 (cxxx

dxdxxxdxx

dxxxxdx

++−=

++−=

−=

∫ ∫ ∫∫∫

tantan

)(tansectan

)(sectantan

3

1

1

3

222

224

2(cxxxx

xdxxdxx

xdxxxdxxxdx

+−+−=

−⋅=

−=⋅=

∫ ∫∫ ∫ ∫

tantantan

tansectan

tan)(sectantantan

35

1

35

424

42426

www.fanavari-IT.ir

٣٣ ضد مشتق: پنجمفصل

3 (c

xx

dxxxdx

xxdx

xxx

dxxx

++−=

−=−

= ∫ ∫ ∫

∫

68

799

2

9

3

61

81

1

sinsin

sincos

sincos

sin)sin(cos

sincos

4 (∫ ∫

∫ ∫ ∫

+−−=+=

+==⋅

cxx

dxxxdx

xx

dxx

xxdxxxxdxx

354

2

6

2

6

22

6

464

31

51

1

tantantansec

tansec

tan)tan(sec

tanseccotsec

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٤

cxx

dxx

xdxx

xdxx

xxxx

+−=

−=−

= ∫∫∫∫

68

9992

93

61

81

15

coscos

cossin

cossin

cos)cos(sin

cossin)

cxx

xxdcsexxdxcsex

xxxdxx

++−=

−=

−−

∫ ∫

810

16

810

2729

72274

cotcot

.cot.cot

cot)(cotcsccot.csc)

( )

∫

∫∫+−==

=

cx

dxx

xx

dxx

xxdxxx

coscoscossin

coscotsinsinseccos)

212

21

7

2

22

cxx

dxxxdxxx

dxxxxdxxx

++−=

−=

−=

∫ ∫∫ ∫

2161212

12222

2212228

86

75

5253

coscos

sin.cossin.cos

cos)cos(sincos.sin)

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )∫

∫

+−

+=+−+=

=⇒=

+=+

111

12111

119

11121011

2

102

10

xxduuu

xdxduxu

duuudxx

xx

tantan

costan

costantan)

www.fanavari-IT.ir

٣٥ ضد مشتق: پنجمفصل

( )( )

∫

∫ ∫

++

=−=

=−⇒+=+

=++

cxu

dudxxduxu

xdxx

xdxx

11

1112

10

2

22

cos

sincoscossin

coscossin)

dxxInفرض کنید ) 2( ntan= . یک فرمول بازگشتی براي محاسـبهIn 4,بیابیـدI و6I را محاسبه کنید .

) حل

( )( )

cn

IIn

cIn

dxxxdxxx

xdxxxdxxxIn

n

n

n

n

nnn

nn

+−

=+⇒

+−−

=

−−=

=−==

−

−

−

−

−−−

−

∫ ∫∫ ∫

1

61

1

1

12

21

2221

222

tan

tan

sectantan.tan

tansectantan.tan

( )

cxxxxI

cxxxI

xxdxxdxxI

+−+−=

++−=

−=−== ∫ ∫

tantantan

tantan

tansectan

35

3

1

356

34

232

)یی رابیابید که ضریب زاویهخطوط مماس در هر نقطـه معادله دسته منحنی ها) 3( )yx,

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٦

yاز آن برابرx

− .باشد

)حل

cxdxydy

xdxydyyx

dxdy

+−=⇒

−=⇒−=

cyxcxy 222

2222=+⇒=−=

. ها، دوایر بر مرکز مبدأ مختصات است معادله دسته مخفی

),(معادله مخفی را بیابید که از نقطه ) 4( گذشته و معادله ضریب زاویه مماس برخی 9223x باشد.

)حل1

189

33

3

3

22

+=

=⇒+=+=

+=⇒= ∫

xy

cccxy

cdxxyxy

−=oمعادله ) 5( xy . را حل کنید '2

cx )حل

cxyxy

+=⇒

+=⇒= ∫2

22'

تـابع را , باشـد 1برابـر x=1به ازاي هرگاه مقدار . است x+3مشتق تابعی برابر ) 6( . بیابید

www.fanavari-IT.ir

٣٧ ضد مشتق: پنجمفصل

) حل

( )

( )

( ) 313333

23

132432111

3332

33

−++=

−=⇒×××=⇒

+++=⇒

++=⇒+= ∫

xxy

cc

cxxy

cxyxy

,

'

.هر یک از انترالهاي زیر را حل کنید) 7(

( )

( )∫ ∫

∫

+=

++

−=+

dxxdxx

cxx

dxx

36

2

2181

11

11

coscos

coscossin)

( )( ) ( )

cxxxxxx

dxxxdxxdxxdx

dxxxx

+

−++++=

−++++=

+++=

∫ ∫ ∫ ∫

∫

6222

1483

2322

381

2124123238

1

223231812

3

2

32

sinsinsinsin

sincoscoscos

coscoscos)

( )

cxxx

dxxxdxxxdxxx

xdxxxdxxx

+−+−=

+−=

−=

∫ ∫ ∫∫ ∫

752

3

42

13

75

3

62

22225

coscoscos

cos.sincos.sincos.sin

coscossincossin)

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٨

( )

cxx

dxxxdxxx

dxxxxdxxx

++=

−=

−=

∫ ∫

∫ ∫−

−

38132

1

333

3313334

38

32

35

31

31

23

3

sinsin

cos.sincos.sin

sinsincossin

cos)

∫ += cydyyy 361335 2sincossin)

( )

ctt

dtttdttt

++=

+=∫ ∫sinsin

coscoscos.cos)

2124

122

136

( )∫ ∫ −= dxxxxxxx 522

1537 sincoscossin.sin.sin)

( )

cxxxx

dxxxdxxx

dxxxdxxx

+++−−

=

+−

+=

−=

∫ ∫

∫ ∫

24136

123

31

27

71

2321

23

27

21

521252

1

coscoscoscos

sinsinsinsin

cos.sincos.sin

www.fanavari-IT.ir

٣٩ ضد مشتق: پنجمفصل

( )

( )

( )cxxxx

dxxx

xdxx

dxxxdxxx

+

++−=

+−=

−==

=

∫

∫∫

∫∫

8161

2142

1321

4421321

41321216

1

21618

2

24

444

sinsin

coscos

cossin

cossincossin)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) cxcuuduuI

dxxxduxu

dxxxx

x ++−+=+==

−−=⇒−+=

−−−+

−∫

∫

122

2

2

11131

31

21

11211

11119

sinsin

cossinsin

cossin.sin)

( )∫ ∫ ∫ +−=== cxx

dxxx

dxxx

dx 222

42

410 2222 cotsincossinsin.cos

)

( ) ( ) ( )

cxxxI

dxxxxx

dxxxx

+

+++=

+++=

−−−+−

∫

∫

49

94

411

114

47

74

413

134

21

49

411

47

413

21

21

11111 2

sinsinsinsin

coscoscoscos

cossin.sin)

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤٠

cx

x

dxxxdx

xdx

xx

+−=

+=+

∫ ∫ ∫

31

3133

1

33

133112 222

cos.tan

cossin

coscossin)

( )( )

( )

( )∫ ∫

∫

+−=+===

+=⇒−=−

+

−cxxcuduu

udy

xxduxxuxx

xxdx

32

32

31

3

3

32

32

13

cossin

sincoscossincossin

cossin)

∫

∫+−==

=⇒= −−

cxn

duun

dxxn

duxudxxx

n

nnnn

cossin

sin)

11

14 11

cxx

dxxxdxxx

dxx

xxxx

x n

++−=

−=

−=

∫ ∫

∫ ∫−

518

52

513

53

5 35 3

3

185

25

115

coscos

sin.cossin.cos

cos

cossincos

sin)

( )∫ ∫ ++

=+=−=+

cx

cuu

dudxx

xcoscos

sin) 111

2116 2

( )∫

∫+−==

=⇒=

cxu

duI

xdxduxu

xxdx

cotsin

,sin

)

22

217

2

2

www.fanavari-IT.ir

٤١ ضد مشتق: پنجمفصل

∫

∫+==

=⇒=

cxu

duI

dxxduxux

dxx

22

222

21

21

218

tancos

,cos

)

( ) ( ) cxduudxxx +

+−=−=+ ∫∫ 6

11196

55 coscossin)

( )∫∫ +++==+ cxxduudxxx 222 11322220 sinsinsinsin)

www.fanavari-IT.ir

فصل ششم

انتگرال معني

www.fanavari-IT.ir

٤٣ انتگرال معین: ششمفصل

364نکریم صفحه 6-1-7

)انتگرال تابع , با استفاده تعریف حد ) 2xxf ]را در فاله = ]10 . بیایید,

) حل( )( )

31

62

6121

11

3

1

1

2

13

22

==++

=

=

=∫ ∑∑

==

nnnn

inn

dxxn

i

n

i

lim

limlimo

.366تمرین صفحه 6-2-2

.هاي زیر ثالث کنید در شی تساوي

) )الف ) ( )∫∫ −=a

b

b

adxxfdxxf

ــر ) حــل }اگ }81 xxx ,...,,o ــرازي از ]اف ]ba iiباشــدآنگاه , xy ــازه ∆=∆ ــراي ب ب[ ]ab رود پس به کار می ,

( ) ( ) ( )

( )∫

∫ ∑∑

=

∆−=∆===

a

b

b

a

n

iii

n

iii

dxxf

yfxfdxxf11

DD limlim

) ) ب )∫ =a

bdxxf o

) طبق خاصیت الف) حل

( ) ( )

( ) ( ) oo =⇒=⇒

−=

∫∫∫ ∫

a

b

a

b

a

a

a

a

dxxfdxxf

dxxfdxxf

2 368تمرین صفحه 6-2-5

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤٤

624قضیه abcط اي شامل نقا در بازه fفرض کنید. −− پیوسـته باشـد در ایـن ,, : صورت

( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf

bcaاگر ) اثبات 623، اثبات تساوي از قفضیه >> . شود حاصل می −−bcaبدون از دست رفتن کلیت فرض کنید <<.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )∫ ∫∫∫∫

∫ ∫∫

+=

−=⇒

+=⇒

c

a

b

c

c

b

c

a

b

a

b

a

c

b

c

a

dxxfdxxf

dxxfdxxfdxxf

dxxfdxxfdxxf

369تمرین صفحه . 6-2-7

ــیه ــر . 6-2-4قض ــر gو fاگ ]ب ]ba ــراي ره , ــد و ب ــته باش ]پیوس ]bax ,∈ ،

( ) ( )xgxf )آنگاه ≤ ) ( )∫ ∫≥b

a

b

afxxgfxxf

.اثبات( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )∫ ∫

∑∑

∑∑

≥⇒

∆ℑ≥∆ℑ⇒

∆ℑ≥∆ℑ⇒

∆⇒≥

==

==

∆≥

b

a

b

a

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

xgiiii

dxxgdxxf

xgxf

xgxf

xfgfii

11

11

lim

DDDD

] بـر fاگـر ) 2( ]ba ]در فاصــله xانتگــرال پـذیر باشـد و بــراي هـر , ]ba , ،

www.fanavari-IT.ir

٤٥ انتگرال معین: ششمفصل

( ) o≥xf انگاه( )∫ ≥b

abxxf o

426طبق قضیه : اثبات ) داریم −− )∫ ∫ =≥b

a

b

adxdxxf oo

]روي fاگر ) 3( ]ba ]پیوسته باشـد و بـراي هـر , ]bax ,∈ ،( ) o<xf انگـاه :

( )∫ ≥b

adxxf o

)حل

( )∫ ∫ =≤b

a

b

adxdxxf oo

.371تمرین صفحه 6-2-12

→∞+حد ) 1(

+++

nnn

nn 3

2

3

2

3

2 218 ....lim

. را به صورت یک انتگرال معین بنویسید )حل

∫∑ =

=

=

1 22

818o

dxxni

n

n

nilim

حد

→∞+حد ) 2(∑

=ninn

i 12lim

.را به صورت انتگرال معین بنویسید )حل

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤٦

∫

∑ ∑ ∑

=

==•== = =

12

1 1 122

22

1

11

odx

x

nin

nin

in

ninn

i

n

i

n

i )(.limlimlimlim

. هاي زیر را حساب کنید با استفاده از تعریف انتگرال) 3(

)الف

dxx∫−

11

) حل

( ) 12

12

12122

2

11

1

1 12

=+

=

=

==∫ ∫ ∑ ∑−

= =

nnn

inn

in

dxdxxn

i

n

i

lim

limlimo

) ب

[ ]∫=53

dxxJ

)دانیم می) حل )∫ −=b

aabkkdx پس

[ ] [ ]( ) ( ) 7043454343

4343

54

43

54=+=−+−=

+=+= ∫ ∫ ∫ ∫ dxdxdxxdxxJ

]روي fاگر تابع ) 4( ]ba : ثابت کنید که. انتگرال پذیر باشد ,

( ) ( )∫∫ ≤b

a

b

adxxfdxxf

ــر ) حــل ــراي ه ]چــون ب ]bax ــم ∋, ): داری ) ( ) ( )xfxfxf ــق قضــیه −≥≥ طب

www.fanavari-IT.ir

٤٧ انتگرال معین: ششمفصل

626 : داریم −−

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫≤≤−b

a

b

a

b

adxxfxfdxxf

پس( ) ( )∫∫ ≤

b

a

a

adxxfdxxf

.هاي داده شده در آن فاصله قرار گیرد هایی را معین کنید که مقدار انتگرال فاصله) 5(

)الف

( )∫−+

12 2

31 dxx

)تابع )حل ) ( )23

1+= xxf روي[ ]11 صعودي است پس −,( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )∫−−−≤≤⇒

=−===

12

1222

1221

dxxf

fxffxf

o

omaxmax

( )∫−≤+≤⇒

12 2

3261 dxxo

) ب

dxx∫ +2 2211

"

sino

تابع ) حل( ) xxf 2

211 sin+=

روي

2",o

ترکیـب دو تـابع صـعودي است، چون است پس

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤٨( )

( ) ( ) 2223

23

1

2 "min

max"

∫ ≤≤×⇒=

=

odxxfxf

xf

π

) ج

∫ −4

12 dxx .

∫ ≤−≤⇒

=−=−

=−=−

41

62

2222242

dxx

x

x

o

omin

max

) د

∫− −+2

5 35 dx

xx

) حل( ) 3

5−+

=xxxf

نزولی است پس ( ) ( )( ) ( )

( )∫−≤≤−⇒

−===−=

25

49

725

o

o

dxxf

fxffxf

minmax

∫بدونه محاسبه انتگرال نشان دهید ) 6( ∫≥1 1 2o o

dxxdxx و∫ ∫≤1 2

12

odxxdxx

)تابع ) حل ) 2xxxf : را در نظر بگیرید داریم =−

www.fanavari-IT.ir

٤٩ انتگرال معین: ششمفصل

( )

( ) ∫∫∫∫

≤⇒≤⇒≤⇒≥

≥⇒≥⇒≥⇒≤≤

2 222

1 212

1

1

oo

oo

oo

oo

dxxdxxxxxf

dxxdxxxxxfx

]روي fاگر ) 7( ]21 :پیوسته باشد نشان دهید −,

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫ −

−

−=+++

o

oo

11 1

121

dxxfdxxfdxxfdxxf : داریم) حل

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

=+++⇒

=−−−⇒

++=

+=

∫∫∫∫∫ ∫∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

−

−

− −

−

− −

11

12

21

21

111

2

11 1

2

21 1

2

dxxfdxxfdxxfdxxf

dxxfdxxfdxxfdxxf

dxxfdxxfdxxf

dxxfxfdxxf

]بر fاگر ) 8( ]ba )پیوسته و , )∫ =b

adxxf o نشان دهید حـداقل عـددي نظیـر ،

α در فاصله[ ]ba )قرار دارد به طوري که , ) o=xf. : نتگرال داریمطبق قضیه مقدار میانگین براي ا) حل

پس

( )( )

( )

( ) ( )xfxf

xfab

dxxfxf

b

a

maxmin

maxmin

←≤•≤→

≤−

≤∫

)وجود دارد که αحال طبق قضیه مقدار میانی ) o=αf باشد . مثالی از یک تابع چنان ارائه دهید که ناپیوسته و قضیه مقدار میانگین براي انتگرال ما ) 9(

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٥٠ . باشدبرقرار ) ب . برقرار نباشد) الف

تابع ) حل ب( )

≥<−

=o

o

xx

xf 11

: داریم. را در نظر بگیرید

( )( )

( )∫∫

−− ==⇒=

11

11

2 ooo fdxxf

dxxf

]روي fاگر ) 10( ]41 ]روي fپذیر باشد و مقدار متوسط تـابع انتگرال −, ]41 ,−

)باشد، مقدار 3برابر )∫−

41

dxxf را بدست آورید . ) حل

( )( )∫

∫−

− =⇒=41

41 1535 dxxf

dxxf

6313 378تمرین صفحه −−

]بر fفرض کنید ) 1 ]aa ).: پیوسته و فرد باشدو ثابت کنید −, )∫−=

a

adxxf o

) حل

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ooo

o o

o

o

o

o

=+−=

+−=

+−−=

+=

∫∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫− −

aa

a aa

a

a

a a

a

dxxfdxxf

dxxfdxxf

dxxfdxxf

dxxfdxxfdxxf

: ثابت کنید که, زوج باشد fاگر 1در تمرین ) 2

www.fanavari-IT.ir

٥١ انتگرال معین: ششمفصل

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫

=+=

+−=

+=

=

− −

−

a a aa

a

a

a a

a

a

a

a

dxxfdxxfdxxf

dxxfdxxf

dxxfdxxfdxxf

dxxfdxxf

o o o

o

o

o

o

o

2

2

: انتگرالهاي زیر را حل کنید) 3

) الفdx

xxxI ∫ +

= 2"

sincoscos

o

اگر قرا دهیم xu −= 2

π

dxduپس یم و دار =−

( )

22

2

2

2 2

22

πππ

π π

π

π

=⇒==

++

+==+

+=−

+=

∫

∫ ∫

∫ ∫

Idu

duuu

uduuu

uIII

duuu

uduuu

I

o

o o

o

o

sincoscos

sincoscos

sincossin

cossinsin

∫ ) ب += 2

π

odx

xxxI mm

m

cossinsin

اگر قرار دهیم ) حلxu −= 2

π

dxduپس :و داریم =−

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٥٢

4

22 222

22

π

ππππ

π

π

=⇒

==+

++

==+

+=

+−=

∫∫∫

∫ ∫

I

duduuu

uduuu

uIII

duuu

udxuu

uI

mm

m

mm

m

mm

m

mm

m

ooo

o

o

sincoscos

cossinsin

sincoscos

sincoscos

.مشتق توابع زیر را محاسبه کنید) 4(

( )

( )t

tt

tF

dxx

xtFt

++=

++= ∫−

1121

112 2

sin.'

sin

الف(

( ) ( )( ) ( ) ( )( )tgftgtF

dxxftFg

a

'' =

= ∫ ب(

( )

( ) ( )∫

∫=⇒=

=−

x

x

x

xxFtdtxF

dtttF

o22 ج( '

د(

( )

( ) ( ) 44

4

32

32

3

txF

tdtxF

tdtxF

x

x

x

+=⇒

+=

+=

∫

∫−

'o

. حد زیر را محاسبه کنید) 5(

ooo

→→

===∫

xx x

xx

xxx

tx

32

32

32

23

2

sinlimsinlimsin

lim

www.fanavari-IT.ir

٥٣ انتگرال معین: ششمفصل

dxدر توابع ضمنی زیر ) 6(dy

. را حساب کنید

∫ )الف ∫ =+y x

tdttdto o

o22 sincos

)حلyxx

tdtdxd

tdtdxd

dxdy

y

x

222

2

22

2

cossin

cos

sin−=−=

∫∫

o

o

) ب∫ ∫ =+−

x ytdtdzz

2

223πo

ocossin

)حل

y

x

tdtdyd

dzzdxd

dxdy

y

x

cossin

cos

sin 22

223

23−

−=

−

−=

∫

∫

o

π

: انتگرال زیر را محاسبه کنید) 7(

∫ +=

π

odx

xxxI 21 cos

sin

2: دهیم قرار می) حلπ

−= xudxduپس و =

∫− +

+

= 2

221

2π

π

π

duu

uuI

sin

cos

∫ ∫− − ++

+= 2

2

2

222 121

π

π

π

ππ du

uudu

uuu

sincos

sincos

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٥٤

4

212

22

π

πππ

π

=

=+

= ∫oo

)tan(sinsin

cos uArcduu

u

www.fanavari-IT.ir

٥٥ انتگرال معین: ششمفصل

∫: عددي صحیح باشد ثابت کنید Kفرض کنید ) 8( ===π

oodx

xkxI

sinsin 2

2 قرار می دهیم ) حلπ

−= xu و du=dx پس

∫

∫∫

−

−−

=−=

+=

+

+=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

π

π

π

π

π

ππ

π

π

oduku

duu

kuduu

ukI

cossin

cos)sin(

)sin(

)(sin

.چون تابع زیر انتگرال فرد است

∫اگر در انتگرال ) 9( −=

π2

25o cosdxI

یم داریم را به کار ببر t2=xتغییر متغیر

∫∫ =

−+

−+=

−=

o

ooo

))((cos2

22

2

1151

225

ttt

dtdxIπ

واضح است که نتیجه درست نیست زیرا o>

− cos251

.، مورد اشتباه را بیابید

]بازة t2=xبا تغییر ) حل ]π2,o به

2π,o

برده می شود که در حل مورد اسـتفاده قـرار .نگرفته است

]: ثابت کنید دلخواه باشد، f(x)فرض کیند ) 10( ]∫ ∫−−+=

a

a

adxxfxfdxxf

o)()()(

22را می تـوان بـه صـورت f(x)تابع ) حل)()()()()( xfxfxfxfxf −−

=−−

=

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٥٦

ــه ــت کــ 2نوشــ)()( xfxf −+

2زوج و )()( xfxf −−

ــت ــرد اســ ــس . فــ پــ

∫∫∫ −−−

−−+

−+=

a

a

a

a

a

adxxfxfdxxfxfdxxf 22

)()()()()(

∫∫ −+=+−+

=aa

dxxfxfdxxfxfoo

o ))()(()()(22

=∫انتگرال )11(π2

oxdxxfI cos)( را با تغییر متغیرt=sinx تغییر دهید.

2

2

11

tx

t

dtdxtArcxxt

−=

−=⇒=⇒=

cos

sinsin

∫∫∫∫ −

−+++=

o

o

o

o 11

11

dttArcfdttArcfdttArcfdttArcfI )sin()sin()sin()sin(

.درستی اتحادهاي زیر را ثابت کنید) 12(

∫∫) الف −+=b

a

b

adxxbafdxxf )()(

:داریمپس است، u(b)=a , u(a)=bو du=-dxآنگاه u=a+b-xاگر قرار دهیم ) حل

∫∫∫ ∫ ==−=−+b

a

b

a

b

a

a

bdxxfduufduufdxxbaf )()()()(

∫∫) ب −=−tt

dxxtfxgdxxtgxfoo

)()()()( :پس داریم u(t)=0 , u(0)=tو du=-dx پس u=t-xقرار دهید ) حل

∫∫∫∫

−=−=

−−=−tt

t

t

dxxtfxgduutfug

duugutfdxxtgxf

oo

o

o

)()()()(

)()()()(

www.fanavari-IT.ir

٥٧ انتگرال معین: ششمفصل

∫∫) ج = 22ππ

ooxdxxdx mm cossin

اگـر قـرار دهـیم ) حـل xu −= 2

π

پـس dxduuu −=== ,)(,)( 22

ππoo

لـذا :داریم

∫∫∫∫ ==−−= 22

2

22

ππ

π

π πoo

o

oxdxududuuxdx mmmm coscos)(sinsin

∫انتگرال هـاي ) ج( 12با توجه به مسأله ) 13( 2 2π

oxdxcos و∫ 2 2

π

oxdxsin را محاسـبه

.کنید :طبق مسأله قبل داریم) حل

2

22

2 22 2

2 2 2 22 2222 22 2

πππ

π π ππππ

∫∫

∫ ∫ ∫∫∫∫==⇒

===+=+

oo

o o oooo

xdxxdx

xdxxdxdxdxxxdxxdx

cossin

cossin)cos(sincossin

.درستی هاي زیر را ثابت کنید) 14(

∫∫) الف = 22π

π

oodxxfdxxf )(sin)(sin

)حل

م اگر قرار دهی xu −= 2

π

آنگاه dxduuu −==−= ,)(,)( 22

πππ o

پس

∫∫∫∫ ==−=−

− 22

2

2

22

ππ

π

π

π

π

oodxxfduufduufdxxf )(cos)(cos)(cos)(sin

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٥٨ .تابعی زوج است f(cosu)علت آخري این است که

∫) ب ∫=π ππo o

dxxfdxxxf )(sin)(sin 2 )حل

اگــر قــرار دهــیم xu −= 2

π

داریــم dxduuu −==−= ,)(,)( 22

πππ o

ــذا ، ل :داریم

∫ ∫

∫ ∫ ∫

−

−

−

==

=−−−=

2

2

2

2

2

2

2 222π

π

π

ππ

π

π

π

π

πππ

o

o

dxxfduuuf

duufufudxxxf

)(cos)(cos

))(cos)(sin()()(sin

)چون تابع )af cos فرد و تابع( )uf cos زوج است.

: انتگرال زیر را محاسبه کنید) 15(

∫+

=π

odxxI 2

21 cos

)حل

2

2

=−=

== ∫∫

o

oo

π

ππ

cos

sinsin dxxdxxI

.هر یک از انتگرال هاي زیر را حساب کنید) 16(

o

oo=== ∫∫−

LL

L

Lx

Lm

mLdxx

Lmxdx

Lm π

πππ sincoscos 22

الف(

www.fanavari-IT.ir

٥٩ انتگرال معین: ششمفصل

فرد است تابعo=∫−

L

Lxdx

Lmπsin

ب(

. چون تابع فرد استo==∫−

xdxL

mxL

mL

L

ππ sincos ج(

∫∫اگر ) 17( ==xxuduxFtdtxG

o)(,)(

2ثابت کنید 11

=− )()( xGxF

) حل

∫=xuduxF

o)(

211

21 2

===−⇒ ∫ oo

uuduxGxF )()(

∫=(xuduxG

1)

.درستی هاي زیر را ثابت کنید) 18(

2) الف1121

222 =−

++++∞→ )...(limn

nnnn

) حل

211

21

1211

1 1 2====

−+++=

∑ ∫−

=+∞→

+∞→

ooo

n

in

n

xxdxni

n

nn

nnnحد

)(lim

)...(lim

22) ب1

22222 211 nnn

nn

nn

xdx

n ++

++

+=

+∫ +∞→ ...(limo

) حل

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٦٠

∑ ∫=

∞→

=+

=+

=

+++

++

+=

n

i

n

xdx

nin

nn

nnn

حد

1

122

222

41111

11

211

1111

o

π

)(lim

))(

...)()(

(lim

→∞) ج

−+++=

nn

nnnn

))(sin...sin(sinlim ππππ

1212

)حل

ππ

πππ

ππ

π 21111

=−=== ∫∑= oo

xxdxni

nحد

n

icossin)(sinlim

dxxxnmBفرض کنید ) 19( nm )(),( −= ∫ 11

o . ًتساوي اوالB(m,n)=Bn,m) را ثابـت ثانیاً ثابت کنید که کنید،

∫ ++= 2 12122π

oxdxxnmB nm cos.sin),(. dxduuuپس x-1=uاوالً اگر قرار دهیم ) حل −=== ,)(,)( 11 oo پس داریم:

∫∫ =−=−−=11 11oo

),()()(),( mndxxxduuunmB mnnm

txاگر قرار دهیم : ثانیاً 2sin= آنگاهtxdttdx 212 cos)(,cossin به و کرانها =−=

2π,o

:پس داریم. تبدیل می شود

tdttdttttdxxxnmB nmnmnm 122 122 221 221 ++∫∫∫ ==−= cos.sincossin.cos.sin)(),(ππ

ooo

www.fanavari-IT.ir

٦١ انتگرال معین: ششمفصل

θθبا فرض ) 20( cos,sin 62 == xyمطلوب است، محاسبۀ ، ∫=6

3dxxyI

) حلθθ

πθ ddx،اگرxآنگاه sin636 −===

آنگاهxاگر 6== oθ

∫ ∫ ==−===−=⇒ 3824

624637272626 332 )(sinsincos.sin)sin.(sin.cos o

o

ππ

θθθθθθθθ ddI

www.fanavari-IT.ir

صل هفتمف

توابع غري

جربی

www.fanavari-IT.ir

٦٣ توابع غیر جربی : هفتمفصل

387 تمرین صفحۀ 7ـ 27 را تعریف و سپس ثابت کنید cos−1بیان شد، تابع sin−1مشابه آنچه در تعریف

21

11x

xdxd

−

−=−cos

]روي y=cosxتابع ) حل ]π,oنزولی است پس وارونه پذیر است

[ ] [ ]11,,: −→πoCosx [ ] [ ]π,,: o→−− 111xCos

yxxy: براي محاسبه مشتق داریم coscos =⇔= −1

221

11

1111

xyydydxx

dxd

dxdy

−−=

−−=

−=== −

cossincos

.394 تمرین صفحۀ. 25ـ2ـ7

ــاه 1 ــد هرگ ــت کنی ــ ثاب ـ12

11 ≤≤=+ −− xxx o,cossin π

ــورد −≥≥oدر م x1 تساوي باال چگونه بیان می شود؟

) حل

22

22111

11

ππ

ππ

=+⇒=+⇒

−=⇒−==⇒=

−−−

−−

cossincos

cos)cos(sinsin

xxy

yxyyxxy

11این تساوي براي هر ≤≤− x برقرار است .

2ـ 211−= siny

:مفروض است، مطلوب است Cscy , secy , coty , tany , cosy

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٦٤

6توجه کنید ) حلπ

=y

213

2136

33

623

6

==

====

====

yy

yyy

yy

sincsc

cossec,cotcot

tantan,coscos

π

ππ

.کمیت داده شده را پیدا کنید در تمرین هاي زیر مقدار دقیق) 3( الف(

6548

6515

16960

2512

1312

54

135

53

1312

135

53

54

1312

53

1312

53

1312

1312

53

53

1312

53

1312

53

1312

53

1213

35

1111

1111

11

111111

−

−=

×−×

×−×=

−+−

−−=

−−

−−=−−=−+

−−−−

−−−−

−−

−−

−−−−

))(sin(sin))(sin(cos))(cos(sin))(cos(cos

))(sin(sin))(cos(sin))(cos(cos)(sin(cos

))(sin)(cos(cos

))(sin)(sin(cos))(sin)((cos))(csc)((sec tgtg

ب(

322

9419

1635

9113

123219

112941

3123

23123

23123

23123

23123

2

2

1111

111111

×++×=−×××++−×−=

+=

+=−−=−+−

−−−−

−−−−−−

)())((

))(sinsin())(cos(cos))(sincos())(sin(cos

))(sin)(sin(cos))(sin)(cossin())(sin)(sin(cos π

www.fanavari-IT.ir

٦٥ توابع غیر جربی : هفتمفصل

ج (

8153

81

415

23

41

21

16112

341

641

641

21 1111

−=−×=×−−×=

=−−=−

+− −−−− ))(cos(sincos))(sincos())(sin)(cos(sin ππ

.مشتق توابع زیر را محاسبه کنید) 4( الف(

4

221

212

122

xxxxxf

xxxf

−+=′

=

−

−

)(sin)(

)(sin)(

ب(

11 2

1

−=−

−=′

= −

xxxf

xxf

cossin)(

)(cossin)(

د(

2421

121

11

21

12

21

xxxxxx

xxf

xxxxf

−+

−

−+=′

+=

−

−−

.cos)(

sincos)(

ج(

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٦٦

22

11

11

411

21

41

123

21

23

223

xxxf

xxxf

xx

xf

−+

−

−=′

+=

+=

−−

−−

.)(

sincos)(

cscsec)(

هـ(

142

21

411

12

1221

212

221

2

221

2121

−+=

−

−−=′

=⇒=

−−

−−

xxx

xx

xxf

xxxfxxxf

))((cos)())((cos)(

)(cos)()(sec)(

و(

111

1111

111

22

2

2

22

121

++−=

+−

+

−

=′

+=⇒+= −−

xxx

xx

xf

xxfxxf

)()(

)sin)(csc)(

.تساوي هاي زیر را تحقیق کنید) 5()(sinsinsin 22111 11 xyyxyxA −+−=+= −−−

2که در آن 11 π

≤+ −− yx sinsin

) حل

www.fanavari-IT.ir

٦٧ توابع غیر جربی : هفتمفصل

)(sin

)cos(sin)sin(sin)cos(sin)sin(sin)sin(sinsin22122

11111

1111 xyyxAxyyx

xyyxyA

−+−=⇒−+−=

+==−

−−−−−

xy) بyxtgytgxtg

−+

=+ −−−

1111

) حل

.)().()()()(

xyyxtgytgxtg

xyyx

ytgtgxtgtgytgtgxtgtgytgxtgtg

−+

+=⇒−+

=−

+=+ −−−

−−

−−−−

111111

1111

11

.تعیین کنید 5مقادیر زیر را با توجه به تمرین ) 6(

5الف 3

54 11 −− − sinsin

)حل

)(sin)(sin(sin)(sinsin 257

259

2516

251615

325915

453

54 11111 −−−−− =−=−−−=−+

9) ب2

41

31 111 −−− ++= tgtgtgA

)حل

48585

99141

92

117

92

117

92

121141

31

111111 π==

−

+=+=+

−

+= −−−−−− tgtgtgtgtgtgA

: نشان دهید) 7(

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٦٨

−<−

−>=

−+ −−

143

14111

x

x

xxtgxtg

π

π

طبق؟؟؟) حل

عبارت ) 8()

cossincossin(cot

xxxxA

−+

= −1

.اده کنیدرا س ) حل

444242

42

42

11 πππ

ππ

π

−=−=−

−=⇒−=−

−=+

−− xxx

xAxxx

xxx

))(cot(cot))sin(

)cos((cot)sin(cossin

)cos(cossin

ــابع ) (9( xxfت (sinsin)( ــاوب آن =−1 ــد دورة تن ــان دهی ــم و نش را رسπ2است.

22به ازاي ) حلππ

≤≤− x11: داریم ≤≤− xsin وxx =− )(sinsin 1

س

.منحنی تکرار می شودπ2طول طبق شکل دو فاصله هاي به .انتگرال هاي زیر را حل کنید) 10(

23 π

2π

2π

−

23 π−

www.fanavari-IT.ir

٦٩ توابع غیر جربی : هفتمفصل

671

21

71

736

771

49361 11

73 2

π×=

−−=

−=

−−−

−∫ )(sin)(sin)o

o xx

dx

3612922

31

21

3123

1231

325

310

53

31

2592

1111

310

325

12

πππ=−=−=−=

=−

−−−−

−∫

)(cos)(cos)(sec)(sec

)(sec) x

xx

dx

∫ ∫−++

=+++ 122

3342

3322 )()()(

)xxdx

xxxdx

cxس ++= − )(sec 23 1

∫ +=+

− ctgxtgxtg

dx )(sec) 331

94 12

2

46

22

23

23

2

15 1113

2

2 2

ππ−=

−==−

−−−∫ )(cos)(cos)(sec) xxxdx

:ثابت کنیدx<−1فرض کنید ) 11(

411 11 π

−=+− −− xtg

xxtg )(

:داریم 6طبق فرمول تمرین ) حل

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٧٠

41

1111

11111

11

12

2

11

11

π==

++++

=

+−

−

+−

+=

+−

−

−−−

−−

tg

xxxx

tg

xxx

xxx

tg

xxtgxtg )(

: آنگاه x>1نشان دهید که هر گاه ) 12(

)(sin

1211

−= −−

xxtgx

) حل)(sin

)cos(sin)sin(sin)(sin

211

21

11

1

1

xxtgx

xx

xxtg

−=⇒

−==

−−

−

−−

که نشان دهید ) 13()(sin

211

1 xxxtg+

= −−

)(sin

)(cos(sin

)(sin(sin)((sin

211

2

2

2

2

2

21

21

21

1

11

1

11

1

1

11

xxxtg

x

x

xx

xxx

xx

xx

x

xxtg

+=⇒

=

+

+=

+−

+=

+

+=+

−−

−

−

−

404تمرین صفحۀ

:ـ انتگرال زیر را محاسبه کنید1

www.fanavari-IT.ir

٧١ توابع غیر جربی : هفتمفصل

o=++∫−

2

221 dxxx )ln(

:چون تابع زیر انتگرال فرد است

( )xfxxxx

xxxf −=+=−=++

=++−− )ln(ln)ln()( 11

11 22

2

xxxfمشتق چهارم . 2 ln)( .را محاسبه کنید=2

24 22

322

xxf

xxf

xxfxxxxf

−==′′′

+=′′+=′

)(,)(

ln)(ln)(

)(

xمشتق پنجم . 3xxf ln)( =

.را محاسبه کنید

x) حلx

xxxxxf

xx

xxxxf

xx

xxxxf

xx

xxxf

xx

xxxxxf

ln

)ln(

ln)(

)ln()(

lnln)(

)(

)(

−++++=

−−−−−

=

−++=′′′

−−−=′′

−=−

=′

234565

23454

234

23

22

1262412

12624

126

12

11

o

baبا به کار گیري قضیه مقدار میانگین در مشتق نشان دهیـد کـه اگـر . 4 <<o آنگـاه

bab

ab

bab −

<<− ln

]روي بازة f(x)=lnxتابع ) حل ]ba :پس داریم. شرایط قضیه مقدار میانگین را داراست ,

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٧٢

bcacab

abcfab

afbf<<=

−−

⇒′=−− ,lnln)()()( 1

bcaچون << acbپس 111

<< :در نتیجه

aab

ab

bab

aabab

b−

<<−

⇒<−

< lnln 11

:قرار استنامساوي زیر بر o>xنشان دهید به ازاي هر . 5

xxxx <+<− )ln(121 2

tttfتابع ) حل −+= )ln()( ]روي فاصلۀ 1 ]x,o شرایط قضیه مقدار میانگین را داراست :پس

cc

cxxx

xfxfcfxc

+−

=−+

=−+

⇒

−=′<<

11111 )ln(

)()()(, oo

xcچون <<o پسo<

+−

<+

−cc

xx

11

x آنگاه x>1 اگر xx

+−

<− 121

xآنگاه x<1 اگر xx

+−

<− 121

پس o<

−+<−

xxxx )ln(1

21

: لذاxxxx <+<− )ln(12

1 2

www.fanavari-IT.ir

٧٣ توابع غیر جربی : هفتمفصل

.انتگرال هاي معین زیر را محاسبه کنید. 6

)ln(ln)ln(ln(lnlnln

ln

ln)ln(ln

))(ln(lnln)

ln

ln242

4

1

4

2

4

2

−===⇒

=⇒=

=

∫

∫

uuduI

xxdxduxu

xxxdxI

e

e

o

oo

=+=

+++=+∫

32

23

222222

lnln

)sinln()sinln(sin

cos) πππ

πxxdx

xx

3523

522

211

3

5

3

9

4

lnln

)))

===

=⇒+=+

∫

∫

uudu

xdxduxu

xxdx

161

51

441

51

341

51

41

11

51

14434333 2

ln

)ln(lnln

)())((

)

=

−=−+

−=

+−

−=

−+=

−+ ∫∫∫ −−−

o

ooo

yy

duyyyy

dyyy

dy

34

2321

23

21

31

32655 1112

lnlnlnln

)())((

)

=−=−−

=

−−

−=

−−=

+− ∫∫∫

o

ooo

xx

dxxxxx

dxxx

dx

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٧٤ .انتگرال هاي نامعین داده شده را محاسبه کنید. 7

∫

∫

++==⇒

+=⇒+=++

cxxuduI

dxxduxxudxxx

x

)lnln(

)ln(lnln

ln)

5

15511

∫

∫

++==⇒

+=⇒+=

++

=

cxxuduJ

dxxx

duxxu

dxxxx

xJ

)lnln(ln

)ln(lnln

)ln(lnln)

3

3413

3342

4

34

4

3

cxx

cuuduu

duu

uI

uxxdxduxu

dxx

x

+−+−

++=+=+

=

+==⇒−=−

∫∫

∫

)ln()(

ln)()(,

)

444

4414424

423

22

22

2

3

≠<oثابت کنید به ازاي هر . 8 xx :داریم 1,

oo <−−>−−x

xxx 111 ln,ln

xxfxxgاگر قرار دهیم ) حل ln)(,)( =−= :آنگاه 1

xxدرنتیجھ

xgxfxfx

xgx

xgxfxf

xxg

fgx

1

111

11

111

−<

<⇒′=<=′<

<⇒

′=>=′

==>

ln

)()()()(

)()()()(

)()( o

www.fanavari-IT.ir

٧٥ توابع غیر جربی : هفتمفصل

حال اگر به جاي x

x,1

:قرار دهیم، داریم

o<−−⇒

−<−⇒−<

xx

xx

xx11

11111

ln

lnln

که : و از آنجا نتیجه بگیرید

111 −<<− xx

xln

>−1نامساوي اول داریم xxln از نامساوي دوم داریم و :x

xln<−

11

: پس 111 −<<− xx

xln

ثابت کنید. 911

=+

→ xx

x)ln(lim o )بدون استفاده از قاعده هوپیتال (

:، داریم+1x، قرار دهیم xطبق مسأله قبل اگر به جاي ) حل

xxx<+<

+)ln(11

پس11

11

<+

<+ x

xx

)ln(

: چون داریم111

1==

+limlim

x طبق قضیه فشردگی ،

11=

+→ x

xx

)ln(lim o

www.fanavari-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٧٦

ثابت کنید . 10o=+∞→ x

xx

lnlim )بدون استفاده از هوپیتال(

: داریم 8طبق تمرین ) حل11

−<<− xxx

x ln

x. تقسیم می کنیم xدو طرف را بر x

xx

xx 11

2−

<<− ln

: ، از طرفی داریم

o=−

=−

+∞→+∞→ 211

xx

xx

xx limlim

: طبق قضیه فشردگی داریم o=+∞→ x

xx

lnlim

www.fanavari-IT.ir

هشتمفصل

هـــــــــــاى روش

گیری انتگرال

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢

. 436تمرین صفحه ∫انتگرال dxLnxxn را حل کنید.

Lnxudxxdv .اگر فرض کنیم) حل n == :داریم ,

, nx dxv du

n x

+

= =+

1

1

پس( )

n n n n

nx x x xLnx dx Lnx cn n n n

+ + +

Ι = − = − ++ + + +∫

1 1 1

21 1 1 1

. 436تمرین صفحه <Ι=∫یک فرمـول بازگشـتی بـرای xdxnn ncos,)( پیـدا 1

∫کنید و به کمک آن dxx4cos را حماسبه کنید.

∫را به صورت nΙ) حل −=Ι xdxxn n cos.cos . می نویسیم 1

xudxxdvاگر فرض کنیم n 1−== cos,cos داریم

xdxxndu n sin.cos)( 21 xVو =−−− sin= در نتیجه :

sin .cos ( ) cos .sin

sin .cos ( ) ( )

sin .cos ( )

sin .cos

sin .cos

(sin .cos (sin .cos ))

n n

nn n n

nn n

n x x n x xdx

x x n n

n x x n

n x x x

n x x

x x x x x

I

− −

−−

−−

Ι = + −

⇒ Ι = + − − −

⇒ = + −

= → = +

= → = +

⇒ = + +

∫Ι

Ι ΙΙΙ Ι

Ι

1 2 2

12

12

2

34 2

34

1

1 1

1

2 2

4 4 3

1 34 2

. ۴٣٩مترین صفحه

www.FANAVARI-IT.ir

٣ توابع غیر جربی : هفتمفصل

.هر یک از انتگرال های زیر را حماسبه کنید) ١(

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤) ( ( ) '( )) ( ).

)( )

) ( ) ( )

( ) ( )

) ( )

) ( )

) sin( )

x x

x x

x u x

x x

e f x f x dx f x e c

x e edx cxx

xLn a x dx x Ln a x dxa x

xLn a x Ln a x c

x e dx u e du x e c

x e dx x x x x x e

Lnx

− −

+ = +

= +++

+ = + −+

⇒ + − + +

= − = − − − +

= − + − + −

Ι =

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

2 2

2

2 2 2 22 2

2 2 2 2

3 2

5 5 4 3 2

1

211

3

12

1 14 12 2

5 5 2 6 12 12

6

o o o o

sin( ) , cos( ) ,

sin( ) cos( )

cos( ) , sin( ) ,

sin( ) cos( )

(sin( ) cos( ))

)

, ,

dx

u Lnx dv dx du Lnx v xx

x Lnx Lnx dx

u Lnx dv dx du Lnx v xx

x Lnx x Lnxx Lnx Lnx c

x tg x dx

xu tg x dv x dx dv dx vx

x tg

−

−

−

= = ⇒ = =

Ι = −

= = ⇒ = − =

Ι = − − Ι

Ι = − +

Ι =

= = ⇒ = =+

Ι =

∫

∫

∫ 1

21

2

21

1

1

27

121

2) sin

sin sin

sin

sin sin

cos cos

sin sin cos cos (

x xx dx tg x x tg x cx

x dx t x tdt dx

tt tdt t t dtt

tt t dtt

t t t t dt

t dt d t

x x x x

θ θ θ

− −

−

− −

−

− −

− − −

− = − + ++

= ⇒ =

Ι = = −−

− += +

−

= + + −

− = = +

⇒ Ι = + + +

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

2 21 1

2

1 2

21 2 1

2

22 1

2

2 1 1 2

2 2

1 1 1

1 1 12 2 2 21

8 2

21

1 11

1

1 11 22 4

1 1 22 4

cos )x−1

www.FANAVARI-IT.ir

٥ توابع غیر جربی : هفتمفصل

cetgeLneLne

etg

uudu

eetg

edx

eetg

evdx

eedu

edxdvetgu

dxe

etg

cexceudueu

dxuduxu

dxe

cxLnxxxLxx

dxx

xxxxLxx

dxxxxxLnx

dxxvdxx

dudxxdvxxLnu

dxxxLnx

cxLnxxLnxdx

xx

xxLnx

xvdxx

dudxdvxxLnu

dxxxLnx

cxxxLnxx

xxxLnx

xvx

dudxdvxxLnu

dxxxLn

chxshxxchxxshxxx

dxchxxx

xxxx

x

x

x

xx

x

xx

x

xx

x

x

xuu

x

+−+++−=

++=

++−=Ι

−=+

=⇒==

=Ι

+−=+−==Ι

=⇒=

=Ι

+−−−+−

=

−+−

+−

=

−++−

=Ι

=−

−=⇒=+−

=

−+

=Ι

+−+−+

=−

−−+

=Ι

=−

=⇒=−+

=

−+

=Ι

++−++=+

−++=Ι

=+

=⇒=++=

++=Ι

−++−+=Ι

+=Ι

−−

−−

−

−

∫∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

121

2

1

2

1

21

1

2

223

2

3

233

3

22

2

22

2

222

2

22

2

23

3

2121

11

11

14

121222

13

161

31

11

3

131

11

3

131

11

3

312

11

1112

111

12

11

12

11

1111

111

11

11

1106613

9

)(

)(

,,

)

)()(

)

)()(

)()(

)(

,,)(

)()

)()()(

,,)(

)()

)()(

,,)(

)()

)()(

)()

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٦

www.FANAVARI-IT.ir

٧ توابع غیر جربی : هفتمفصل

11

11

111

122

2

19

222

218

141

21

12117

12

12

112

22

2

12

16

2121

21

215

22

21

21

21

11

41

1

2

2

2

22

22

22

2

22

2

22

2

1221

12

21

12

21

21

2

duuu

du

uu

dtu

t

duu

uduuu

dxduu

xudxx

cuuuduuu

dxuduxu

dxx

cxLn

duudxxxLn

cxx

Lnxx

Lnxx

cdxx

dxx

Lnxx

Lnxx

dxxLnxx

Lnxx

dxx

Lnxdxx

Lnxx

Lnxx

dxxLnxLnxx

Lnxx

xvdxx

LnxxLnxdudxdv

xLnxu

dxx

Lnxcxxxxx

dxxx

xx

xvdxxx

dudxdvxu

dxx

−=

−

−−=⇒=

==Ι

=

==Ι

++==Ι

=⇒=

=Ι

++=

=++

=Ι

++−−=

+−−−=Ι

−−+=Ι−

+−=

−−=Ι

=−

=⇒==

=Ι

+−−+=

−−=Ι

=−

=⇒==

=Ι

−

−−

−

−−

−−

−−

−

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫∫

∫

∫∫

∫

∫

∫

∫

.)(cos

)(cossec

,sec)

cossincos

cos)

))((

)()()

)()(

))'(()(

)(

)()(

)()(

,)()(,)(

)()

sin)()(sin

sin)(sin

,sin,)(sin

)(sin)

π

π

o

o

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٨

∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

∫∫

∫

+−==Ι

=⇒==Ι

+−

−−+

−×−×=Ι

+−

=−

==

−=Ι

==⇒==

−==Ι

−×=−−=

−−=Ι

−

−

2

24

2

43

4

43

4

43

4

212

21

2

222

221

1212

1212

212424

311

21

1

4

43

20

3341211

11

22

2

π

π

π

π

π

π

π

π

π

ππ

π

π

π

o

o

o

)sincos(sin

sin)

)()(

coscos

cossin

sincsc

csccsc

csc,)'(csc,

)'(csccsc.cot.)

)(cos

))(cos(

uuuduuu

dxduuxudxx

LnLn

xxLndx

xx

xdxdxx

dxxxx

xvdxdudxxdvxu

dxxxdxxxx

uu

u

duu

uu

u

. ۴۴۴مترین صفحه .هر یک از انتگرال های زیر را حل کنید

www.FANAVARI-IT.ir

٩ توابع غیر جربی : هفتمفصل

BCCABA

xxxxx

FExxDCxxxBAx

xFEx

xDCx

xxxf

dxx

xxxxx

224211

4844112

111

248441

2345

224

22222

32

2345

=⇒=+−==⇒−+−+−=

++++++++⇒

+

++

+

++

+

Β+Α=

+

−+−+−∫

,,

)()()()(

)()()(

)()

ctgxxtgtgxI

cuuuduuu

uduu

I

CABACCBA

BAuCAuCBAuBA

uucBu

uA

uu

uduuI

xuxdxdutgxu

xtgxx

+++−+=

+++−+=++

+−

+=⇒

=+−==−=⇒=++

=++=++++++⇒

++

++

+=

+

+

+

+=

−==⇒=

+

+

∫ ∫

∫

∫

)ln()ln(

)ln()ln(

,,

)()(

)(

sec,sec

sec).(sec)

113

1131

121

32

2311

2111

21

21

112

2

22

2223

2

3

2

222

2

22

o

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٠

∫

∫

∫

++

−+−−=

++

−=

++

−

−−=−

−⇒

=−=−

=

=⇒=⇒

=−=+

⇒

=+−−=+−−=

−=−=+−=+⇒−+=++−++⇒

++

++

−=

++−

−+−

−+=

dxxx

xxI

xxx

xx

x

xxdx

BA

CCBCBC

CBCBCCA

CACABAxxAxCBAxBA

xxCBx

xA

xxxxx

dxx

xxI

1392590

2711381

2139

2590271

1392725

310

13812

13272

310

945

975

272

2725252756

10392333

139911233139

1233391391313913

12127

123

2

22

22

22

2

3

2

)ln(

.

)ln(

,

,,,

)()(

))((

)

))(

()ln(ln

,,)(

)()

23

21

3212

11

1

11111

11

4

122

22

223

++++−=

++

+−=

−=−==++

++=

++

++=

++=

−∫ ∫

∫∫

xtgxxx

xxx

xdxI

CBAxxCBx

xA

xxx

xxxdx

xxxdxI

www.FANAVARI-IT.ir

١١ توابع غیر جربی : هفتمفصل

CI

udu

udu

uduI

ABC

uC

uB

uA

uu

uudu

uuduI

dduu

d

+−−+

−+=

−−

++

+=

===

−+

++

+=

−+

−+=

+−=

=⇒=

+

∫ ∫∫

∫∫

∫

)ln(sin)sin(

)sinln(

)(

,,

)()()(

)()()()(

cossin

)sin(cos)

141

12114

114

112

114

141

21

41

111111

1111

15

2

22

22

θθ

θ

θθ

θ

θθθ

Ctg

d

ddd

+=−+−

=

−−

+−

=

+−=

+

∫

∫ ∫ ∫

θθ

θθ

θθ

θθθ

θθ

θθ

θθ

cossinsinln

cossin

sinsinln

sinsin)sinsin()

111

21

111

21

116

2

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٢

431

41

41

11111111

111

7

222

22222

22

=+⇒=++

−==

=++++++

+

++

+

++

+=

++

++∫

ECECA

BA

EdttCBttA

tEDt

tCBt

tA

tt

ttdt

,

))(()(

)())((

))(()

)())ln(()(

)(

)()ln()ln(

)()ln(

,,

)()(

))((

)

31

32312

131

142

141424

1241

42122

4124

142

1341

241

124

41

431

1124222422422

181

818

122

22

2

2

22

222

2

3

2

3

2

+−++=

++

−++

−+++++=

++

−++++=

++

++

+=

=+=++

==−=⇒

=++=++++++⇒

++

++

+=

+++

+=

+

+

+

+

−∫

∫

∫

∫∫

∫

xtgxdxx

xxx

xxxx

dxxx

xxx

dxxx

xxdxI

CACBA

BAC

BAxCAxCBAxBA

xxCBx

xA

xxxx

xx

dxxx

o

www.FANAVARI-IT.ir

١٣ توابع غیر جربی : هفتمفصل

Cxxx

xI

BADC

xD

xC

xB

xA

xxdx

xxdx

xxdx

+−+−−−=

=−==−=

−+++=

−

−=

−∫ ∫

)ln(..ln

,,,

)(

)()

31611

34

34113

133

339

2

323

334

...,,)()(

)()

42121212

212

244

210

22222

2

22

2

35

2

−==+

++

+

++=

+

+

+

+=

++

+∫∫

BAx

EDxx

CBxxA

xxx

xxx

xxxx

11231

111

111

22222

22

−==⇒=+==+=

+−

+=

+−

+=

+−

+−∫

DBDBCDBA

xxDCx

xxBAx

xxx

xxxdx

,,,

)()(

)()

oo

) dxx x x+ + +∫

1

3 2122 2o

∫ +++

423

2

4129213

o xxxdxx)

∫− ++

o

1 22

2

12214

)()

xxdxx

.449تمرین صفحۀ .هر یک از انتگرال هاي زیر را حل کنید

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٤

∫ +=−

− Cxx

dx )(sin) 221

411 1

2

θθθ

θθθ

θθθ

249

29

339

339

2

2

2

2

sincos

cos.sin

cossin

)

−==

=⇒=−

∫

∫

dI

ddxxx

dxx

c

dx

dxx

++−=

−==−

∫ ∫ ∫θθ

θθθθθ

3

232

3

927

27279

3

coscos

sincossinsin)

211

61

31

94

2+

−+

−==−

∫ ∫ θθ

θθ

sinsinln

sin) d

xx

dx

∫∫

∫

+−==

=⇒=

−

CdI

dIx

dxxx

θθθθ

θθθθ

43281

88124

81813

95

2

22

22

sinsin

cos.sinsin

)

∫∫ +−=+=−

+θθθθ cos)(sin) ddx

x

x 19

162

Ctg

dtgdtgI

ddxtgxdxx

x

++=

−==

=⇒=+

∫ ∫

∫

)ln(cos

)(sec

sec)

θθ

θθθθθ

θθθ

27227

12727

339

7

2

23

22

3

www.FANAVARI-IT.ir

١٥ توابع غیر جربی : هفتمفصل

Cddxx

xI +−−==−

= ∫∫ θθθθ

θ cotsincos) 2

2

2

218

)()sin(

cos

)ln

83

1246

2241

21

1

19

2

6

21

21

2

22

+−=+=

=−=⇒=

−=

∫∫

∫−

πππ

π

θθ

θθπ

π dduuIeu

dxeeI

x

xxo

∫ ∫

∫∫ ∫

++==

+=

++=

++

Cdd

udu

xdx

xxdx

θθθθθθ

θ 241

21

1112210

24

2

222222

sincossecsec

)())(()()

∫

∫∫

∫

+−=−=

==

=

+

Cd

ddI

tgx

x

dx

2321

21

21

21

221

11

32

35

2

25

2

θθθθθθ

θθθθ

θ

θ

sinsin)cossin(cos

cossecsec

,

)(

)

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٦

Ct

tg

ttdtdt

tt

tdt

d

++

=

++=

++

+=+

−

∫ ∫∫

)(

sin)

2321

32

11

221

2

212

1

22

2

θθ

211

222

11

1211

2

113 1 1

2

2

2

22

ln)ln(

cossin)

=+=

+=

+

−+

++

+=++ ∫ ∫∫

o

o oo

t

tdt

tt

tt

tdt

dπ

θθθ

∫

∫∫

+=+

=

+

−++

+=+

− Cttgt

dt

dt

tt

tdt

d

)(

cos)

552

52

1123

12

2314

12

2

22

θθ

www.FANAVARI-IT.ir

١٧ توابع غیر جربی : هفتمفصل

11

4114

11

12114

141

41

21

41

41

1111111

115

2222

2223

−−−+

+−+−=

=−=

−=−=+==

−+

−+

++

+=

+−

=⇒=

−==∫ ∫ ∫

xx

xxI

CA

CACABD

uD

uC

uB

uA

uu

xdudxxu

udu

xdxxdx

sin.sinln

sin.sinln

,

,,,

)()()()(

cossin

)(cossec)

o

Cxtgtdt

xdxxdx +===∫ ∫ ∫ 216 ln

sincsc)

Cxxxx

dxx

dxx

xxxxdxxI

++−=

−=

−−==

−−−

−

−−

∫

∫ ∫

)(sinsin)(sinsin

sinsin

sinsin)

1112

212

2

21

21

281

41

2

21

2

121

217

θθ

Cxtg

tdt

tt

tt

tdt

xxdx

+−−=

−=

+

−+

+−

+=+− ∫∫∫

12

111

1211

2

1182

2

2

2

ln

cossin)

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٨

∫∫− − =×=

−=

+−=

+

11

122 422

11

121

4419 πππ

utgu

dudxx

xo cos

sin)

∫

∫∫∫

+−=−=

==−

Cd

ddtg

tg

xx

dx

31

20

32

34124

θθθθθ

θθθθθ

θθ

sinsincos)sin(

cos.sec

.sec)

∫ ∫ +−=−−

=−

− Cxx

dx

xx

dx )(sin)(

) 1112

21 122

∫ ∫+

=++

=++

− )()(

) 232

41

4321312422 1

22xtg

xdx

xxdx

www.FANAVARI-IT.ir

نهمفصل

خمتصات قطىب و هاى قطىب منحىن

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢

456 تمرین صفحه مـان براي هـر یـک از نقـاط زیـر، دو مجموعـه دیگـر از مختصـات قطبـی ه . 1

.باشد o>rو دیگري o>rنقطه را پیدا کنید که در یکی

الف( ( , ) : ( , ) , ( , )π π π− −

3 72 24 4 4

ب( ( , ) : ( , ) , ( , πـ( π π−

4 7 102 2 23 3 3

ج( ( , ) : ( , ) , ( , πـ( π− −3 3 3o

ــرایط -2 ــا ش ــر را ب ــاط زی ــی نق ــات قطب πθو o>rمختص 2≤≤o ــین تع

کنید

الف( ),(:),( 472222 π

ب( ),(:),( 34231 π

ـ−

ج( ),(:),( 3231 π

.ر را بنویسیدمعادله قطبی معادالت زی -3

θθ

θθ 32223323 444

cossinsincos: =⇒== rrryx )الف

ب( 11 2 == θθ cossin: rxy

www.FANAVARI-IT.ir

٣ حد و پیوستگی: دومفصل

ج( θ

θcos

cos44

442

2222

=⇒=⇒

=+⇒=+−

rrr

xyxyxx o

.معادالت دکارتی معادالت زیر را بنویسید -4

2) sin ( sin cos sin )sin ( cos ) ( sin )

( )

) coscos

( ) ( )

) ( )

( )

ـ

rال فr r r rx y yx y

rب r r

x y x x y x

x y x x

yجr x y tgx

y xtg x y

θ θ θ θ

θ θ θ

θθ

θ

= = −

= −

+ = −

= ⇒ − =−

+ − = ⇒ + = +

+ = + +

= ⇒ + =

⇒ = +

3

4 2 3

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 1

2 2

2 3 2 36 2

6 2

4 3 2 43 2

3 2 4 3 2 4

3 3 4 16 16

462 تمرین صفحه

.نمودار هر یک از توابع زیر را رسم کنید. 1

θ291 2 sin) =r θ2162 2 cos) =r

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤

θ244 sin) =r

θ335 sin) =r )sin(

sin)

θ

θ

+=

+=

212

216

r

r

) cosr θ=3 3 3

www.FANAVARI-IT.ir

٥ حد و پیوستگی: دومفصل

)sin() θ−= 138 r

)cos() θ−= 147 r

θkaer =)9

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٦

+−=oفــرض کنیــد خطــی از مبــدأ بــر خــط . 2 cbydx عمــود باشــد .

.مختصات تقاطع آنها را در مختصات قطبی تعین کنید

bcx

bdxy +−=

ــه صــورت ــورد نظــر ب xخــط مbdy ــه . اســت = ــی ب ــه در مختصــات قطب ک

)(صورت bdtg 1−=θ مطرح می شود.

22

22

2

22

2

11

dbcr

dbd

dbb

cr

dbtgd

dbtgb

cdb

cr

bcr

bdـr

ــ

+=

++

+

=

+=

+=

+=

)(cos())(sin(cossin

cossin

θθ

θθ

63را در مورد خط 2مسأله . 3 =+ yx حل کنید.

34

663

11

==

==

r

tg ـ πθ )(

www.FANAVARI-IT.ir

٧ حد و پیوستگی: دومفصل

.نمودار توابع زیر را رسم کنید. 4

θsin2=r)الف

11222

22

222

=+⇒

=+⇒=⇒=

)(

sinsin

yـx

yyxrrr θθ

)sin() ب °+= 452 θr

.در جهت ساعت دوران دهیم 45ْ را به اندازه فی است نمودار قبلی کا

.ناحیه هاي زیر را در مختصات قطبی نمایش دهید. 5

},),{() rrDالف 221 πθθ ≤≤≤≤= o

≤≤≥= 2

πθθ oo ,),{() rrRب

1 2

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٨

θθ

πθ

πθθ

coscos

},cos),{()

rrr

جrrPـ

22

2222

≤≤⇒≤≤

≤≤≤≤=

oo

o

112

22

22

≤+−

≤+≤

yx

xyx

)(

o

},),{() rـrTد 423 πθθ =≤≤=

},),{() rrKه 4π

θθ =≤= o

www.FANAVARI-IT.ir

٩ حد و پیوستگی: دومفصل

446 تمرین صفحه

.نقاط تقاطع نمودارهاي داده شده را پیدا کنید. 1

cos(,sin() الف θθ 21 =−= rr

) حلo

o

=−=⇒=

=×=⇒=

212

424ππ

θ

ππθ

sin

)cos(

r

r

.دو منحنی از قطب می گذرند

6

56

21211222

ππθπθ

θθθθθθ

⇒==و

=⇒−=−⇒−=

,,

sinsinsinsinsin)cos(

o

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٠

θθ) ب sin,cos 22 == rr

"است قطب روي دو منحنی o

ooo

==→=

==→=

224

2ππ

θ

θ

cos

sin

r

r

232

2232

23

22222222

πππθ

ππθ

ππθ

ππθ

πθπθ

πθθθ

+⇒+=

−=⇒−=⇒

−±=⇒−==

,

,

)()cos(sincos

k

K

K

,θcos) ج 212

== rr

1=r از قطب نمی گذرد.

34

32

2121

32121

ππθθθ

πθθθ

,coscos

coscos

=⇒−⇒=

±=⇒=⇒=

ـ

)sin(,)sin() د θθ +==− 1431 rr

o=−+=⇒= )sin(( 2142ππ

θ rـ

.منحنی دوم از قطب نمی گذرد

www.FANAVARI-IT.ir

١١ حد و پیوستگی: دومفصل

67

65

6

23

43141

3 2

πππθ

θθθθ

,,

coscos)sin(sin

±=

±=⇒=⇒+=

−

ــودار . 2 θ2نم3sin=r ــد ــی کن ــع م ــودش را قط ــین . ، خ ــاطع را تع ــاط تق نق

.کنید

469 تمرین صفحه

ــی . 1 ــر منحنـ ــاس بـ ــط ممـ ــه خـ ــریب زاویـ =+θsinضـ 1r ــه را در نقطـ

)( 3231 πبدست آورید +و.

) حل

2332

323

25

32312

32312

33

33

−−

+=

+−

++==

==

m

tgdm

tgddr

)(

.

,cos πθ

θ

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٢

زاویــه بــین شــعاع حامــل و خــط ممــاس بــر منحنــی هــاي زیــر را در نقــاط . 2

.مفروض بدست آورید

θ) الفπ 2462 2 cos,)( =rوp

) حل3

4

223

2

242

2−=

−=

−==

θθ

θ

β

cossin

jdrrtg

),(,)sin() ب θπ −= 133 rp

413 πβ

θθ

β =⇒===cosـ

ddrrtg

چکترین خطهــاي ممــاس بــر نقطــه تقــاطع مطلــوب اســت انــدازه زاویــه کــو. 3

داده شده در منحنی

θθπ cos,cos,),( 4343

222

=−=− rrp

o=−×+×−

−=

−×+×−

−×−−==

)()(

).(

2322

34

22

3322

34

22343

311 tgdm

www.FANAVARI-IT.ir

١٣ حد و پیوستگی: دومفصل

=−×

−−××=

−+−

−−×−==

332

234

233

234

3323

23

28

233

32

328

22

)(

)(cossin

)(cossin

ππ

ππ

tgdm

)cos( دلنماي. 4 θ−= 12r 2ثابت کنید . مفروض استθ

β tgtg =

)حل

22

2

22222

12

2θ

θ

θ

θθ

θ

β

θθ

θ

βθθ

tgtg

ddrrtg

ddr

===⇒

−==⇒=

cos

sin

sincos

sin

sincossin

baبـه ازاي هـر . ثابت کنید. 5 ممـاس در هـر یـک از نقـاط تقـاطع ، خطـوط ,

. اي زیر متعامدنددلنم

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٤

)sin(,)sin( θθ −=+= 11 brar

www.FANAVARI-IT.ir

دهمفصل

کاربردهاى انتگرال

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٦

476 تمرین صفحه 10-1-5

ــع .1 ــودار تواب ــه نم ــور ب ــطح محص 22س 22 yxyyx =−−= ــبه , را محاس

.کنید

)حل

21222222

=−=⇒=−−⇒−−= yyyyyyy ,o

29

627

67

3122

131423

8

2232232

1

2

==

−−

=+−−

−−−=

−−=−−= ∫−

o)()(

)()( yyydyyyS

vyxxyyســـطح محصـــور بـــه نمـــودار توابـــع . 2 =−=−+− ,o322

را

محاسبه کنید

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

١٧ حد و پیوستگی: دومفصل

151264132123

16

432422

2124223232

232

12

222

2

=+−=−−−

−−=

−−=−−=

=−==−−⇒=−−⇒+−=+

+−=+=

∫−

)()(

)()(

,

,

yyydyyys

yyyyyyyyyv

yyxyvx

oo

xyxyســطح محصــور بــه نمــودار توابــع . 3 cos,sin را در فاصــله ==

π2≤≤ xo محاسبه کنید.

3

2

43

43

4

4

=

−+

−+−=

∫

∫∫

s

dxxx

dxxxdxxxs

ππ

π

π

π

)cos(sin

)cos(sin)sin(coso

ــع . 4 ــودار تواب ــه نم ــور ب ــطح محص xxyxyس 2422

−=−= ــبه , را محاس

.کنید

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٨

329

3161513

2443168

324224

212

42242

2311

2

2

222

=−=−−++−=

+−=+−=

=−=⇒=−−⇒

=−−⇒−=−

∫−)()(

,

xxxdxxxs

xxxx

xxxxx

o

o

==oمطلوب است محاسبه مساحت ناحیه محدود به خطوط . 5 xx و 2,

منحنی هاي 2

22 xxyxy −== ,

38

3223

2 2=−=−−= ∫

xdxxxxso

)(

حصـــور بـــه نمـــودار توابـــع ســـطح م. 622

312 yxyx −== را محاســـبه ,

.کنید

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

١٩ حد و پیوستگی: دومفصل

( ) ( )

( ) ( )

y y y y

s y y dy y y dy

y y y

−

= − ⇒ = ⇒ = ±

= − − = − −

= − − = − −

∫ ∫

2 2 2

1 12 2 2 25 5

15

3 3

1 12 1 35 5

1 3 2 2 1 3 2

12 1 1 22 253 5 5 5 15 5

o

o

yxمطلوب است محاسبه مساحت ناحیه محدود به سهمی . 7x

y 44

8 22 =

+= ,

)حل

( )( )

( )

( )

x x xx

x x xx xs dx dx dx

x x

x xtg π

−

−

= ⇒ + − =+

⇒ + − = ⇒ = ±

= − + = −+ +

= − = −

∫ ∫ ∫

24 2

2

2 2

2 22 2 2

2 22

22 31

8 4 324 4

8 4 28 82 2

4 44 4

48 22 6 3

o o

o o

o

o

322مساحت قسمتی از ربـع اول را کـه داخـل دایـره . 8 =+ yx و محـدود بـه

xyyxسهمی هاي 2222

== .می باشد، حساب کنید ,

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٠

.حل می شود 2این مساحت با انتگرال دوگانه در ریاضی ) حل

xyxyمساحت ناحیه اي را حسـاب کنیـد کـه بـه خطـوط . 9 cos, =+= و 1

.ها محدود است xمحور

.صورت سؤال اشتباه است) حل

مطلوب است محاسبه مساحت بین منحنی . 10232

2 xxyx −== ,

)حل

( ) ( )

( )

x y y

s x x dx x x

x u dx udu

u us u u du

= ⇒ = − = ⇒ = ±

= − = −

− = ⇒ = −

= − − = − −

= − =

∫ ∫

∫

2

2 23 2

2

13 52 2

2 8 4 4 2

2 2 1

1 2

4 1 43 5

1 1 1683 5 15

o o

o

مساحت بـین منحنـی هـاي . 1122

164 xyxy −=−= هـا را xو محـور )(,

.تعین کنید

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

٢١ حد و پیوستگی: دومفصل

( ),

( )( ( ) )

( )

x xx x x x x x

x xs x x dx x

− = −

− = − + ⇒ − = ⇒ =

−= − − − = − −

= − + =

∫

2 2

2 2 2

43 34 2 2

16 416 8 16 2 8 4

416 4 163 3

64 6464 643 3

oo

o o

32ت محدود به منحنی مطلوب است مساح. 12 24 +−= xxy و محورx ها که

.واقع است xy)(بین عرض هاي نقاط می نیمم

)حل

164933

211

24126423

===

===⇒

−−=+−=′

yyy

xxx

xxxxxxy

,,

,,

))((

o

مساحت محدود به نمودار تابع . 1322

1211 )(,)( −=−=− yxxy را محاسـبه

.کنید

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٢

( )( ) ,

( ( ) ( ) ) ( ( )

( )( ) ( )

x x Xy y y

s y y dy y dy

yy

= − ⇒ =

− = ⇒ = =

= + − − − = − −

−= − = − − =

∫ ∫

2

2 22 2 2

23

2 1 21 1 2

1 1 2 1 1 1

1 1 1 423 3 3 3

o o

o

o

chxyسطح محصور به نمودار . 14 هـا را حسـاب xو محـور x=1و خط =

کنید

.مساحتی وجود ندارد) حل

2مساحت هاي دو ناحیه اي را که سهمی . 15

21 xy 822درون دایـره = =+ yx

.م می کند محاسبه کنیدتقسی

) حل

248

32484222

244

22

±=⇒=−+⇒

=−+⇒=+⇒=

xxx

xxxxxy

o

o

))((

2228مساحت نیم دایره باالیی برابر نصف )(ππ .است π4است یعنی =

از هـم قـرار دارنـد a2مراکز دو قرص مستدیر بـه شـعاع واحـد در فاصـله . 16

www.FANAVARI-IT.ir

٢٣ حد و پیوستگی: دومفصل

)( 1<< ao مساحت ناحیه اي را بیابیدکه محدود به دو قرص است.

1111دایره هاي ) حل2222

=+−=++ yxyx را در نظر مـی گیـریم خـط )(,)(

ax −= ــت 1 ــره اس ــترك دودای ــر مش ــین . وت ــاحت ب ــارن مس ــت تق ــه عل ب

11 22 =+− yx و خط را محاسبه و دو برابر می کنیم )(

sin

( )

( ( )

( ) ( cos )

( sin ( ) sin (sin ) )

a

a

a a a

x a a y y a

a y dys

y a dy d adv

a a a a

θ θ−

−

− −

− − −

− −

= − ⇒ − − + = ⇒ = ± −

− − − −=

= − − = −

= − + − − −

∫

∫ ∫ ∫

2

2

2 1 2 2

2 2 2

21

1

1 1 12 2

1 2 1 2 2

1 1 1 1 1

1 1 12

4 1 4

1 14 1 2 1 12 4

o o o

xxfxxgاگر ) 18 αα ==> )(,)()3

o انگاه مساحت محصـور بـه دو ) ثابت

.منحنی را حساب کنید

) حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٤

, ,

( ) ( )

( ) ( )

(

x x x x x

s x x dx x x

x xx x dx

α

α

αα

α α α

α α

α α

α α α

−

= ⇒ = = = −

= − + −

= − = −

= − =

∫ ∫

∫

3

3 3

4 23

2 2 2

2 24 2

24 2 2

o

o

oo

o

ــودار ) 19 ــه نم +−=oمســاحت محصــور ب 1242

yyx و محــور مختصــات و

.را محاسبه کنید x=2خط

2وابــع مســاحت محصــور بــه نمــودار ت . 2033

=+== yxxyyx را ,,

.محاسبه کنید

( )

( )

( )

s y y dy

s y y dx

ys s y y

= − −

= − −

= = − − = − − =

∫∫

13

1 01

32 0

1423

1 2

2

2

3 1 3 32 22 4 4 4 4

o

( )

( )

y x yx

xs dx tgx

π π−

+ = ⇒ =+

= = = =+∫

22

22 1

124 124

12 36 64 2 4 2o

o

www.FANAVARI-IT.ir

٢٥ حد و پیوستگی: دومفصل

480تمرین صفحه

.مساحت سطح محصور را بیابید

1.

, :

( ) ( ) , ( )

( ) ( )

( )( )

cos, :

sin cos

x tt c

y t t

g t t t g g

f t t f t t

s t t t dt t t

x tt c

y t t

−−

= −− ≤ ≤

= −= − ⇒ − = − =

′= − ⇒ =

= − = −

−= − = =

=≤ ≤ =

∫

2

3

3

2

3 5 3

22

2

11 1

1 2 1

1 2

2 225 3

64 16 192 18 1125 3 15 15

2

oo

o

o

o

224 ". شکل کامالً متقارن است xyx =+

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٦

cos (cos sin cos )

cos sin cos

cos ( cos cos )

( sin sin )

( )

s t t t t dt

tdt t tdt

tdt t t dt

t t t t

π

π π

π π

π

π π π

= −

= −

= + +

= + + +

= + =

∫

∫ ∫

∫ ∫

3 24

4 2 22 2

4 22 2

2

4 2

4 8

1 1 2 2 24

1 1 12 44 2 81 34 2 4 16

o

o o

o o

o

12حت بیضی مسا) 3

2

2

2=+

by

ax را محاسبه کنید.

≥≥π2: بیضی را به صورت زیر پارامتري می کنیم) حل=

=t

tby

taxo

sin

cos

abab

dttabdttatbs

ππ

ππ

=×=

−−=−= ∫∫

22

2124 22oo

)cos()sin(sin

3مساحت محدود به ) 42

32

32

ayx .را محاسبه کنید +=

.مساحت محدود به یک قوس سیکلوئید زیر را بدست آورید. 5

)cos()sin(

:tayttax

c−=−=

1

www.FANAVARI-IT.ir

٢٧ حد و پیوستگی: دومفصل

( cos ) ( cos cos )

( sin sin )

s a t dt a t dt

t t t t

π π

π

π

= − = − +

= − + + = −

∫ ∫2 22 2

2

1 1 2

1 1 32 2 22 4 4

o o

o

483تمرین صفحه

مساحت ناحیه اي از صفحه را که بین اولین و دومـین دور از پـیچ ارشـمیدس . 1

θar )(. واقع است = o>a پیدا کنید.

( ) as a d aπ

πθ θ θ π= = =∫

44 2 3 31 1 16 4

2 2 3 2 3oo

θ2sin=rمطلوب است سطح محدود به . 2

:به علت تقارن کامل داریم) حل

∫ ∫ =−=×= 2 22

2412421 π π

πθθθθ

o odds )cos()(sin

=+θcosو خارج دلنماي θcos3=rمساحت داخل دایره . 3 1r را بیابید

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٨

cos cos cos

(( cos ) ( cos) )

( cos cos ) ( sin sin )

s d

d

s

π

π

ππ

πθ θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

−

= + ⇒ = ⇒ = ±

= − +

= − − = + − −

= − ⇒ =

∫

∫

2 23

3

323

3

13 12 3

1 3 12

12 2 1 2 22

3 334 4

oo

θ2erمساحت محصور به . 4 ==oو خطوط = θπθ ,2 .

( )s e d e eπ

π θ π πθ= = = −∫2

2 4 2 41 1 1 12 8 8o

o

=−θcosو خارج دلنماي r=1مطلوب است مساحت داخل دایره. 5 1r .

22دو نمودار همدیگر را در ) حل3 π

θπ

θ == .قطع می کنند ,

2به علت تقارن، مساحت در فاصله π

θ ≤≤o کرده، دو برابر می کنیم را حساب.

∫ ∫

∫

−=−−=−=

−−×=

2 22

22

42241

2122

11212

π π

π

πθθθθθθ

θθ

o o

o

)sinsin()coscos(

))cos((

d

ds

θθمطلوب است مساحت ناحیه مشترك به دو منحنی . 6 22 cos,sin == rr .

.به علت تقارن، مساحت را در ربع اول حساب کرده، چهار برابر می کنیم) حل

www.FANAVARI-IT.ir

٢٩ حد و پیوستگی: دومفصل

θθمساحت ناحیه بین . 7 cos,sin 66 == rr را حساب کنید.

)(

)sin(

)cos(

)sin(

246

226

216

62

4

4

42

−=

−=

−=

=

∫

∫

∫

π

θθ

θθ

θ

π

π

π

o

o

o

d

S

θ222مساحت ناحیه داخل . 8 cosar .را بدست آورید =

) حل

cos s inS a a aπ π

θ θ= = =∫ 2 2 24 44 2 4 2 4oo

=+θsinمساحت ناحیه . 9 1r را محاسبه کنید.

π2برابر 3-3-10حل طبق مثال .است 3

θ22ون مســاحت محــدود بــه در. 10 sin=r و دایــرهθsin2=r را محاســبه

.کنید

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٠

sin sin )

( sin cos )

( ) ( )

s dπ

π

θ θ θ

θ θ θ

π π

= −

= − +

= − − = −

∫ 22

2

1 2 22

1 1 1 12 22 2 4 21 1 1 1 12 4 2 2 2 4

o

o

. 489تمرین صفحه

3طول منحنی . 13 θsinar πθرا در فاصله = ≤≤o محاسبه کنید.

)حل

)()sin(

)cos(sin

sincossin)()(

433

232

23

2

3123

23322

6224222

−=−=

−==

+=+=

∫∫

∫ ∫

ππθ

θ

θθ

θθ

θθθθ

ππ

π π

aa

dada

aadrdrs

o

oo

o o

θ22مطلوب است طول قوس . 2 cosar 4را در فاصله =π

θ ≤≤o بیابید.

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

٣١ حد و پیوستگی: دومفصل

∫∫

∫ ∫

∫∫

=+==

+=+=

+=+=

−=

θθ

θθθ

θθθθθθθ

θθ

π

ππ

dduutgtu

duuada

dadaas

add

32

4 21 22

422

44222

31313

312132

42424

22

sec

sincos

cossincoscossin

sin

o o

oo

)cos(طول دلوار . 3 θ−= 1ar را بیابید.

) حل∫ ==

++=+⇒=

ππθ

θθθ

θθ

oadas

aaarddra

ddr

22222

2222222cossin)(sin

.طول منحنی هاي زیر را در بازه داده شده محاسبه کنید. 4

txtyt) الف 222 cos,sin, ==≤≤ πo

)حل

∫ =+= 222

2224π

πo

dttts cossin

θθπθ) ب33

2 cos,sin, axay ==≤≤o

) حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٢

cos sin , sin cos

sinsin cos

dx dya ad dt

s a d a a

ππ

θ θ θ θθ

θθ θ θ

= − =

= = =∫

2 2

2 22

3 3

4 3 12 62o

o

32طول قسمتی از منحنی . 5 xy ),(را که بین نقاط = oo و),( واقع است، 84

.ه کنیدمحاسب

( )

( )

( )

( )

x xy x yy x y yy y

y x

s xdx x x

′ ′ ′= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

′⇒ + = +

= + = × + +

= −

∫

2 42 3 2 2

2

2

44

3 92 32 4

91 14

9 2 4 9 91 1 14 3 9 4 4

8 1 1 127

oo

o o

xyطول منحنی . 6 cosln= 4را در فاصلهπ

≤≤ xo محاسبه کنید.

) حل

sec

ln sec ln

y tgx s xdx

s x tgx

π

π

′ = − ⇒ =

⇒ = + = +

∫ 4

4 2 1

o

o

2طول قوس منحنی . 7

21 xy ),(از نقطه = ooA تا نقطه),( 2

11B را محاسـبه

www.FANAVARI-IT.ir

٣٣ حد و پیوستگی: دومفصل

.کنید

)حل

sec

sec sec .sec .sec .sec

. sec sec sec

sec . sec ln sec

( sec ln sec )

( ln )

y x s x dx d

d d tg tg d

tg d d

d tg tg

s tg tg

π

π

θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

−′ = ⇒ = + =

= = −

= − +

= + +

= + +

= +

∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

1 2 34

3 2 2

3

3

4

1

1 12 2

1 12 2

2 1 24 2

o o

o

23طول قوس منحنی . 8 8xy ),(از نقطه = ),(تا نقطـه 21 را بـه دسـت 1827

.آورید

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٤

( )( ) ( )

( )

(

(( ( ) )

xy y x yy

dx y dx y ydy x dy x

dx ydy

s ydy y

′ ′= ⇒ =

×= ⇒ = =

+ = +

= + = × +

= + × − + +

∫

22

2 42

2 2 2

2

1818

22

163 163

3 9 9 816 16 16

91 132

9 2 32 91 132 3 9 32

64 9 9 91 18 1 127 32 16 16

36طول قوس منحنی . 9 4 += yxy 21را در فاصله ≤≤ y به دست آورید.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

y dx yxy dy y

dx ydy y

y ys dyyy

= + ⇒ = −

+ = +

= + = + = − − − = +∫

3 2

2

22 2

2

22 32

211

1 16 2 2 2

112 2

1 1 8 1 1 1 7 12 6 2 6 4 6 2 6 42

322طول قوس قسمتی از منحنی . 10 149 )( xy تـا o=xکـه در ربـع اول از =+

22=x واقع است تعین کنید.

www.FANAVARI-IT.ir

٣٥ حد و پیوستگی: دومفصل

∫ ++=

+=+

=′

+=′⇒+=′

22 22

222

4222

2222

141

149

116

31412418

odxxxs

xxy

xxy

yxxyxxyy

)(

)()()(

)()(

طول قوس منحنی مقابـل را . 11

.: بیابیــــــــــــــــــــــــــد

4≤≤=

= ttey

tex C t

t

o,sin

cos:

)حل

:را به دست آورید cطول قوس منحنی . 12

111

2≤≤

=

+=−

tttgy

txC o,ln:

)حل

(cos sin ), (sin cos )

( )

t t

t t

dx dye t t e t tdt dt

s e dt e e

= − = +

= = = −∫44 42 2 2 1

o o

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٦

,

ln ( )( ) ( )

ln ( ) ln ln ( )

dx t dydt dtt t

t dtS dt t tt t t

= =+ +

= + = = + ++ + +

+= + − =

∫ ∫

2 2

121 1 2

2 2 2 2

11 1

1 11 1 1

1 21 2 22

o o

o

2طول قوس . 133

2 231 )( += xy 3را در فاصله≤≤ xo محاسبه کنید.

)حل

∫ ∫∫ =+=+=+=++=

++=′+⇒+=′

3 33

2223 22

22221

2

12331121

2112

o oo oxxdxxdxxxxs

xxyxxy

)()()(

)()()(

1طول قوس . 141

+−

= x

x

eey ln 32را در فاصله ≤≤ x تعین کنید.

) حل

ln ( ) ln ( )

( )( )( ) ( )

ln( )

ln

x x

x x x

x x x

x x

x x

x x xx x

x x x

y e ee e ey

e e ee ey

e e

e e es dx dx e ee e e

e ee e

−−

−

−

−

= − +

′ = − =− + −

+′+ = + =− −

+ += = = −

− −

−=

−

∫ ∫

2

2 2 22

2 2 2 2

323 3

22 22

3 3

2 2

1 12

1 1 14 11 1

1 1

11

www.FANAVARI-IT.ir

٣٧ حد و پیوستگی: دومفصل

2طـول قـوس منحنـی . 153

2323

131 )(, +=+= txtty 3را در فاصـله≤≤ to

.محاسبه کنید

)حل

∫ ∫ −+=++=

=+=

3 3 22

21

789231

9432

3232

o odtttts

tdtdyt

dtdx

)(

,)(

2طول منحنی . 164

321x

xy o11را در فاصله =+ ≤≤ x حساب کنید.

( ) ( )

( )

( ) ( )

xy xx x

y xx

s x dx xx x

−′ = − =

′+ = +

= + = −

= − − −

∫

63

3 3

2 3 23

101 3 4

3 211

4

1 64 1416 16

11 416

1 1416 32

1 11 132 32

o

oo o

. 495تمرین صفحه

.را پیدا کنید BCحول خط OBCحجم حادث از دوران ناحیه .1

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٣٨

( ) ( )

( ) ( )

V y dx x dx

xx x dx x x

π π

π

= − = −

= − + = − +

∫ ∫

∫

34 42 22

43 544 3 2 2

8 8

3216 64 644 5

o o

oo

xyحجم جسم حاصل از دوران ناحیه بین سهمی .2 42 xyو خط = =

.را بیابید x=4حول خط

.را تعین کنید hو ارتفاع aحجم مخروط مستدیري به شعاع قاعده . 3

)حل

∫ ==

=

hhadxx

h

aV

xhay

o

222

2

31

ππ

xyمطلوب است حجم حاصل از دوران ناحیه بین سـهمی . 5 و محـور 2=

y . y=2، حول خط y=1ها و خط

)حل

(( ) ( ) )

( ) ( ) ( )

V x dx

xx x dx x x xπ π π

= − − −

= − + = − + = − +

∫

∫

1 2 2

121

2 2 1

8 8 13 4 3 33 2 3 2

o

oo

www.FANAVARI-IT.ir

٣٩ حد و پیوستگی: دومفصل

22حجم حادث از دوران ناحیه محدود به yyx هـا را yحـول محـور =−

.تعین کنید

( ) ( )

( ) ( )

V y y dy y y y dy

yy y

π π

π π

= − = − +

= − + = − +

∫ ∫2 22 2 2 3 4

253 4

2 4 4

4 32 32163 5 3 5

o o

o

محصور به منحنی Aناحیه . 72

xy 14و = === yyx ,,o حول محور

x حجم جسم حادث چقدر است؟. ها دورانه می کند

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

V x dx x dx

V x dx x dx

x xx x

V

π π

π π

π π

π π

− −

−

= − − −

= − − −

= − − −

⇒ = − − −

∫ ∫∫ ∫

2 12 4 4

2 1

2 14 4

12 25 5

2 4 1

2 16 2 1

2 16 25 5

32 12 32 2 15 5

o

o o

12منحنی . 8

2

2

2=+

by

ax را حول محورx ها دوران می دهیم، حجم حاصـل

.چقدر است

) حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤٠

abaab

dxa

xbdxa

xbV

a

xby

aa

a

22

2

22

2

22

2

222

34

32

121

1

ππ

ππ

=−=

−=−=

−=

∫∫−

)(

)()(

)(

o

حجم حاصل از دوران سطح محصور بین منحنی هاي 22

8 xyxy == ,

x حول محور .ها را حساب کنید

,

( ) ( )

( )

x x x x

xV x x dx xπ π

π

= ⇒ = =

= − = −

= −

∫

4

252 4 2

8 2

8 45

3285

oo

o

ayxناحیه واقع بین محورهاي مختصات و سهمی . 10 را حول +=

.حجم جسم حاصل را محاسبه کنید. ها دوران می دهیم xمحور

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

٤١ حد و پیوستگی: دومفصل

( ) ( )

(( ) ( ) )

( )( ( )

( )

a

a

y a x y a x ax

y a x a x ax ax

V a x a x ax ax dx

a xV ax ax ax axa

a a a a a

π

π π

= − ⇒ = + −

= + − + +

= + − + +

+⇒ = − − × +

= − − + =

∫

2 2

2

5322

2

33 3 3 3

2

4 4

4 4

8 4 2 23 3 5

8 8 8 823 3 5 15

o

o

xyحنـی ناحیه بین یک قوس از من. 11 sin= و محـور عـرض هـا و خـط

1=y را حول محورy ها دوران می دهیم حجم حاصل را محاسبه کنید.

( sin ) ( cos sin sin ) ( )xV x x dx x x x x

ππ π

π π π= − = + − − = −∫22 2

22 1 2 2 12 8o

o

ــه ســهمی . 12 ــه محــدود ب 24حجــم حاصــل از دوران ناحی1 2 += xy و خــط

o=+− 1485 yx حول محورx ها را به دست آورید.

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤٢

,

( ) ( )

y x x x

x x

x x

xV x dxπ+

−

= + ⇒ + = +

⇒ − − =

+ −= =

+= + −∫

2 2

2

5 1 52 2 22

5 1 52

8 2 4 5 14 2 4

2 5 1

5 1 5 5 1 54 2

1 5 1424 8

o

o

o o

o o

. 498تمرین صفحه

سـانتی 2سانتی متر، حفره اي به شـعاع 5در یک جسم کروي شکل به شعاع . 1

حجم قسمت باقیمانده جسم . متر ایجاد می کنیم محور حفره یک قطر کرده است

.ریدرا بدست آو

( ) ( )

( )

V π π π

π

= − = −

=

4 4 4125 125 83 3 3

4 1173

محصور به OBCمطلوب است حجم جسم حادث از دوران ناحیه . 232

xy =

==oها و خطوط xمحور yy .ها x، حول محور 8,

www.FANAVARI-IT.ir

٤٣ حد و پیوستگی: دومفصل

( ) ( )

( )

xV x dx x

V

π π

π π

= − = −

= − =

∫444 364 64

4256 64 192

oo

32محصور به منحنـی OACاز دوران ناحیه مطلوب است حجم حادث . 3 xy =

. acها حول خط xو محور x=4و خط

(( ) )

(( )

( )( ) ( )

V x dx

V x x dx

xV x

π

π

π π

= − −

= − +

= − = −

∫

∫

34 22

34 32

454 22

8 64

16

32 32644 5 5

o

o

o

ــاي . 4 ــی ه ــه منحن ــه محصــور ب ــوب اســت حجــم حــادث از دوران ناحی مطل

xyxy ==22

. x=−2حول خط ,

) حل

,

( ) ( )

( ) ( )

( )

) ( )

y x

V y y dy

V y y y y dy

y y yV y y

V

π

π

π

π π

≤ ≤ ≤ ≤

= + − +

= + + − + −

= + − +

+ −= + − + = =

∫∫

1 2 2 2

1 4 2

12 5 3

1 1

2 2

2 4 4 4

4 42 3 5 3

1 4 1 4 15 8 6 892 3 5 3 3 3

o

o

o

o o

o

o o

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤٤

2xyناحیه اي که به سـهمی . 5 xyو خـط = حـول . محـدود و در ربـع اول اسـت =2 .ها دوران می کند حجم جسم حاصل را تعین کنید yمحور

( ) ( )

( )

xV x x x dx x

V

π π

π π

= − = −

= − =

∫242 2 322 2 2

3 416 82 43 3

oo

2xyجسمی را بیابید که از دوران ناحیه بـین سـهمی حجم . 6 xyو خـط = حـول =2 .ایجاد می شود x=2خط

)حل

(( ) ( ) )

( )

( ) ( )

( )

yV y dy

yV y y y dy

yV y y y

V

π

π

π π

π π

= − − −

= − + + −

= + − = + −

= − =

∫

∫

4 2 2

24

432

2 22

2 24

4 3 64 32 2412 3 2 12 348 72 83 3

o

o

o

),(یک دیسک به شعاع و به مرکز . 7 ob کهo≤≤ ab ر حول محوy ها دوران مـی

.کند و یک چنبره تولید می کند حجم جسم آن را تعین کنید

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

٤٥ حد و پیوستگی: دومفصل

( ) ( )

( ) ( )

.

b a a

b a a

a a

a a

a

x b y a y a x b

V x a x b dx x b a x dx

x a x dx b a x dx

ab a x dx a b

π π

π π

ππ π π

+

− −

− −

− + = ⇒ = ± − −

= − − = + −

= − + −

= − = × =

∫ ∫

∫ ∫

∫

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

22 2 2 2

4 4

4 4

8 8 24o

xyyaxناحیه مثلثی . 8 ==>= ,, oo حـول خـطabx دوران مـی کنـد و =<

.حجم جسم به دست آمده را حساب کنید. جسمی پدید می آورد

)حل

(( ) ( )

( ) ( )( ( ) ) ( ( ) )

a

a

V b y b a dy

y b a bV b a y a b a

π

π π

= − − −

− −= − − = − −

∫ 2 2

0

3 32 2

3 3o

www.FANAVARI-IT.ir

1صفحه / هاي مبهم انتگرال فصل یازدهم صورت

فصل یازدهمصــورهتای مبــهم و انتگــرال

های ناسره . ۵١٩مترین صفحه

.حدهای زیر را حماسبه کنید. ١

sin) lim lim

sin sin) lim lim

sincos) lim lim

sin sin cos) lim lim limsec sec .

) lim ( ) lim

x

x x x

x x

x xtg x

x

t tt

t txx

x

x x

x x xtgx x x x tgx

tgx tg x

ππ π

ππ π

π

+ + +

−

−→

→ → →

−

→∞ →∞

−= =

+

= =−

→ →−

= = −− −

→ →

= = = + ∞− −

− =

1 2

1

2

2

2

2 2

1

111 1

11

221

3 33 332 2 2

2 22 2 24

1 2

25 2

o

o o o

o

sin sin

lim

) lim( ) lim lim

) lim (csc ) lim

sin sin cos cos) lim limsec sec

sinlim

x

atat

at at at att t t

x x Lnx

x x

x x

x

x x

x xa ee a

t t e t e e a t e

x e e

t t t ttg t tg t t t

t

π

+ +

−

→∞

→ → →

−

→ →

→ →

→

− += = −−

−− = = =

+

= = =

− −=

− −− +

=

2 2

1 2

2

2 2

21 2

1 1

1 1 16

7 1

3 3 3 3 383 3 3 3 3

3

o o o

o

o o

o o

o

sinsec . sec .

tt tg t t tg t

= −−2 2

3 8162 6 3 3

www.FANAVARI-IT.ir

2صفحه / هاي مبهم انتگرال فصل یازدهم صورت

) lim lim

( )) lim lim limsin sin cossin cot) lim lim

cos sin

) lim lim lim lim

)

x x

x x x

r r

Lnx x

x x Lnx x x x

xx

x x

Ln e x Lne Ln x xx x x

Ln r rr r

x e e ex x x x

π π

π π π π π

−

→ → −

→ → →

→ →

−

+ + + +

−= =

−

− + − −= = =

= =−

= = = =

→ → → →

21 33

2 11 13 3

1 1 1

2 21

1 1

11 139

2213

11 1 110

11

12 1

13

o

o o o o

cos

lim ( ) lim( )

lim lim

) lim(cos ) lim

limtg t

t

x x

x

Ln tt t

Lnx xx Lnx x Lnx

x xxLnx

x x x

t et t

e et

+ +

+

−

→ →

→

−

+ −− =

− −

−−= = = −

−+ +

=→ →

= =→

2 2

2 22

1 1

2

1

2

1 2

2

1 1 11 1

11 1 11 1 1 2

14 2o o

o

١۵. ( ) ( ) ( )lim f x h f x f x h

hh

+ − + −

→

2

2

o

دو بار مشتق fمشروط بر اینکه

.پذیر باشد )حل

حد o=−+−+

=−−−+

= 22

22 )('')('')(''lim)(')(')('lim hxfxfhxf

hhxfxfhxf

www.FANAVARI-IT.ir

3صفحه / هاي مبهم انتگرال فصل یازدهم صورت

) lim lim

( ) ( ) ( )lim

( )( )

( ) ( )lim

) lim lim

( )lim.

sin) lim

n nk

k

n n

n

x x Lnx

x Lnx

xx n x nx

x xx x

x x n x n x nxx

xn n x n n

x x e xx L gx x L gx

x xLnx e

Ln x

x

=

−

+ +

−

−− −−=

− −→ →

− − − + − −= =

−−→

+ += =

− −=

− + − −

→ →

+ −= =

− +

−

∑1

2

1

1

1116

1 11 1

1 1 1 12 11

11 12 2

171 11 1

1 11 111

218

o o

o

o

sin lim

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )lim

) lim ( )

( )lim lim

( )

x x xx x

x x

x x

xx

xx

x xa tg b tga bx x

x

x xx x x

a b b ax

x

x x

b a

−

− −

+

+ +

−− −=

→ →

× − − × − −−

−−

→−

= =

−

→

−+ + −

= =

→ →

= −

1 2 2

3 2

3 2 32 2

1 1

2 2 2 2

12

2 2

2 22 1 4 1

3

1 12 8 2 22 2

1 21 4

6

8 2 16

119

1 12 2

1 11 1

332

1 1 13

o o

o

o

o o

www.FANAVARI-IT.ir

4صفحه / هاي مبهم انتگرال فصل یازدهم صورت

ax

aa

aax

xx

xax

axaxax

xaxx

ax

axax

→

==

+

+−

=

→→−

−+

=−

−+−

21

2

21

2

21

21

2022

22

lim

limlim)

:را طوری تعیین کنید که bو aثابت های . ٢

o

o

→

=+− ∫

x

dtta

txbx

x 11 2

sinlim

حد lim , cos

xa x b a

b xx

+= = ⇒ = =−

→

2

1 1 4

o

. ۵٢٨مترین صفحه ] در بازه fتابع . ١ :به صورت زیر تعریف می کنیم −,11[

≠

==

o

o

xx

xxf 2

1)(

−∫ نوع و مقدار انتگرال

11

dxxf .را تعیین کنید )(

انتگرال ناسره نوع دوم است و مقدار آن برابر زیر است) حل

∫ ∫−==

11

1 22322

odxxdxx

∫ نشان دهید انتگرال ناسره. ٢∞+

1 pxdx 1 مهگراست، اگر>p

باشد

∞+→∞+→−

−−

==−

−∞+

∫∫tt

pptdxx

xdx pt p

p 11

11

11limlim

در صورت منفی است پس در این حالت x، توان p<1 اگر

pxdx

p −−=∫

∞+

11

1

www.FANAVARI-IT.ir

5صفحه / هاي مبهم انتگرال فصل یازدهم صورت

ــرای . ٣ ــداری ب ــه nمق ــد ک ــدا کنی ــرالپی ــه ازای آن انتگ ب

)(∫∞+

+−

+1 223

1 nxx

xn مهگرا باشد.

.بدست آمده انتگرال را حساب کنید nبه ازای مقدار

43

27

88

123

432

2

1

2431

23

123

1

4

43

2

2

1 21 2

)(

)(

)(lim

))()(lim(

)(lim)(

LnLn

n

t

A

nt

tLn

t

AntLntLn

t

dxnx

xx

ndxnx

xx

n

n

n

−=Ι

=×=⇒

∞+→

−

+

+=

∞+→

−+−+=

∞+→+

−+

=+

−+ ∫∫

±∞+

∫ نوع انتگرال) ۴∞+

+o 321 )( xdx را تعیین کنید.

2322 این انتگرال مهگراست چون) حل 11

11

1 xxxdx

+≤

++∫∞+

)(,

o

.گراست، طبق آزمون مقایسه انتگرال داده شده مهگراستمه

∫ نوع انتگرال) ۵ 2

4

π

π dxxsec را تعیین کنید.

∞+=

→→

−+==

−−

∫∫

22

42

4

ππ

π

π

π

tt

AttgtLndxxdxxt

seclimseclimsec

.انتگرال واگراستنوع انتگـرال هـای زیـر را بررسـی nبه ازای مقادیر خمتلف . ۶

:کنید

Ι=∫ )الف1o

dxxn 1 برای−>n 1 مهگرا و برای−≤n واگراست.

www.FANAVARI-IT.ir

6صفحه / هاي مبهم انتگرال فصل یازدهم صورت

Ι=∫ )ب1 2o

dxxLnxn

.نوع انتگرال های زیر را تعیین کنید. ٧

∫ )الف∞+

+1 2 xx

dx واگراست چون xxxxx +

≤+

=22211

2ــی 1 و مـ

∫ دانیم∞+

1 xdx واگراست.

∫ )ب1o xx

dxcos

واگراست چون

+→

=

oxx

xx 11

1coslim و ∫

1o x

dx

.واگراست، طبق آزمون مقایسه حدی انتگرال داده شده واگراست

∫ )ج∞+

+1 2 Lnxxdx 22 :، مهگراست، زیرا داریم

11xLnxx

≤+

و

∫ انتگرال∞+

1 2xdx پس طبق آزمون مقایسـه انتگـرال داده مهگراست

.شده مهگراست

∫ )د−

131o x

dx .

>>1 برای xo 23 داریم xx پس >23 1

11

1xx −

≤−

∫ اما انتگرال −

121o x

dx مهگراست، طبـق آزمـون مقایسـه

.انتگرال داده شده مهگراست

∫ )ه 2

32

π

o

x

xsin مهگراست، چون

+→

=

oxx

xxx

11

sin

lim امـــا انتگـــرال

∫ 2π

o xdx مهگراست، پس انتگرال داده شده مهگراست.

www.FANAVARI-IT.ir

7صفحه / هاي مبهم انتگرال فصل یازدهم صورت

∫ )و 2π

odx

xxcos چون. واگراست

+→

=

oxx

xx

11

cos

lim امـــا انتگـــرال

∫ 2π

o xdx قایسـه حـدی انتگـرال واگراسـت، پـس طبـق آزمـون م

.واگراست

∫ فرض کنید. ٨∞+ − =

o 22 πdxe x در این صورت ثابت کنید ،.

∫=π )الف∞+ −

dxx

e x

o∫ )ب

∞+ − =o 4

22 πdxex x

) حل

)الفπ

π=×==

=⇒=⇒=

∫∫∞+ −∞+ −

222

22

2

ooduedx

xe

duudxuxxu

ux

.از روش جز به جز استفاده می کنیم) ب

∫

∫ ∫∞+ −

∞+ ∞+ −−−

=×=+

∞+−==

o

o o o

4221

21

22

2222

ππdxe

exdxexxdxex

x

xxx .

∫ طوری مثال بزنید که fتابعی نظیر . ٩∞+

∞−dxxf واگـــرا ولـــی )(

∫−=

t

tdxxf o)(lim .

تابع) حل3

1x

xf .را در نظر بگیرید )(=

dxxe ثابت کنید انتگرال. ١٠ tx∫∞+ −

1ــر ــه ازای ه ــی tب حقیق

.مهگراست

چون) حل∞+→

=−

−

xe

exx

xto2lim و انتگرال ∫

∞+ −1

2 dxe x پــس . مهگراســت

.انتگرال داده شده مهگراست

www.FANAVARI-IT.ir

8صفحه / هاي مبهم انتگرال فصل یازدهم صورت

dttes .تابع گاما. ١١ st 1−∞+ −∫=Γ .)(o

.تابع گاما است

.ثابت کنید .مهگراست o>s به ازای هر sΓ)( تابع) الف .مهگراست sاین تابع برای هر ١٠مترین با توجه به ) حل)()( نشان دهید) ب xxx Γ=+Γ 1 .

)(.)( xdtetxetdttex txtxxt Γ+=+∞+

−==+Γ −∞+ −−∞+ − ∫∫ oo oo

11

)(! )ج nn =+Γ 1 . :طبق قسمت ب داریم) حل

!...)()()()()()()( nnnnnnnnnnnn =−−=−Γ−=+−Γ=Γ=+Γ 12111111

∫ )د∞+ − =

o 22 πdxe x نشان دهید ،

ππ

=Γ=Γ )(,)( 21

232

22 )حل1 2

1π

===Γ ∫∫∞+ −∞+ −−

dtt

edtett

too

.)(

.بدست می آید ٨تساوی اخیر از مترین

π21

21

2112

132

=Γ=+Γ=Γ )()()(

.نوع انتگرال های زیر را معلوم کنید. ١٢

dx )الفx

x∫

∞+ +1

2 cos این انتگرال واگراست چون x

xx

cos+≤

21

∫ طبق آزمون مقایسه چون انتگرال∞+

1 xdx واگراســت، انتگــرال

.بزرگرت واگراست

∫ )ب∞+

+

−1 33

241xxxsin 333 انتگرال مهگراست چون

1241xxx

x≤

+

− sin

∫ انتگرالو ∞+

1 3xdx طبق آزمون مقایسـه انتگـرال داده . مهگراست

.شده مهگراست

www.FANAVARI-IT.ir

دوازدهمفصل اعداد خمتلط

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢

فصل دوازدهم اعداد خمتلط

. ۵٣۵مترین صفحه .جواهبای حقیقی معادله زیر را بیابید .١ )حل

iyixi +=−++ 133524 )()(

211321354

133254

==⇒

=−=+

+=−++

xyyxyx

iiyxyx

,

)()(

:حاصل عبارات زیر را بدست آورید. ٢

الف(

ii

iii

iiiii

iiiZ

7244565

72486355

34434323455

342

4355

−−

=−

−++=

+−−+++

=+

+−+

=

oo

oo

))()()()(

ب( iii

ii

iiii

iii 222

141

41

1311

211+−=

+=

−=

−+++−

=+−

++ )(()()(

ج( ii

ii

iiii

ii51

53

123

123

123 92152193

−−

=−+−

=−−

=−− )()(o

.جواب دستگاه زیر را بدست آورید. ٣

=−+++=−+

iZiZiiZiZi

22221

2121

)()()(

.از روش کرامر استفاده می کنیم) حل

www.FANAVARI-IT.ir

٣ اعداد خمتلف: دوازدهمفصل

2325

234322

232221

233

21325

221

222

2

1

−−−

=−

−−−=

−

+++

=

−=

+−+−

=

−+−+

−−+

=

ii

iii

iii

ii

Z

iiiii

iiii

ii

Z

. ۵٣٧مترین صفحه

o فرض کنیدo

=++++−

−aZaZaZa

n

n

n

n...

1ــه در آن 1 کــ

niRa برای i ≤≤∈ o, ثابت کنید ، Z ــه ــه معادل ریش .فوق است

)حل

...

...

...

n nn n

n nn n

n nn n

a Z a Z a Z a

a Z a Z a Z a

a Z a Z a Z a

−−

−−

−−

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

11 1

11 1

11 1

o

o

o

o

o

o

.ریشه معادله است Zپس . ۵٣٨مترین صفحه

RZZZ فرض کنید. ١ ∈≠ 212 ,,o ثابـــت کنیـــد

21

21

ZZ

ZZ

=)(

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٤

211

21

121

121

21

ZZZZ

ZZZZZZ

==

==

−

−− )()(

.عبارات زیر را ساده کنید. ٢

الف(

ii

iii

iii

iii

5215

2151

21218

121232

2

2

+−=−+

=+−+−

=

−+−+

o)()()(

)()()(

ب( iii

iiii

iii+=

+−−++

=−+−

++ 21211

2 1515

1694

o

ج(

iii

ii

ii

ii

ii

ii

−−=+−

+−=

+−

−−

−=

+−

−−+

3113

11

2222

231121

13 32

)(

)()()()()(

.درستی های زیر را ثابت کنید. ٣Re(ZZZ( )الف 2=+ )Re())Im()(Re())Im()(Re( )حل ZiZZiZZ 2=−++ iZZZ )ب )Im(2=−

iZiZZiZZ )Im()Im(Re)Im)(Re( 2=−−+

=+≠o با فرض. ۴ yixZ 2 منودار11

=)Re(Z

ــم را رس

.کنید )حل

www.FANAVARI-IT.ir

٥ اعداد خمتلف: دوازدهمفصل

11

2211

11

22

2222

2222

=+−⇒

=+⇒=+

=

+−

+=

+=

yx

xyxyx

xZ

eR

iyx

y

yx

xyixZ

)(

)(

.را رسم کنید ZmI)(=1 منودار ۴در مترین . ۵+==1 )حل yiyxmI )( ١

iyxi فرض کنید. ۶k

k +=∑=

oo

o

1ــورت ــن صــ ، در ایــ

xy .یدرا حماسبه کن , :طبق تصاعد هندسی داریم) حل

, k

k

i ii x yi x yi i=

− −= = = = + ⇒ = =

− −∑1 11 1 1 1 1

1 1

ooo

o

o

yix اگر. ٧yixyix

−=−را yو xمقادیر حقیقـی +

.بیابید )حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٦

23

21

12

22

22

22

222

±=−=⇒≠

==⇒=

=−=−⇒

−−=

−−+=−=+

yxy

xxyyxy

xyx

yixyx

yixyixyixyix

,

,

)(

)()(

o

oo

باشـد؛ یک چند مجله ای با ضرایب حقیقی fاگر . ٨

) .نشان دهید ) ( )f Z f Z= ( ) ...

( ) ...

...

... ( )

n nn n

n nn n

n nn n

n nn n

f Z a Z a Z a Z a

f Z a Z a Z a Z a

a Z a Z a Z a

a Z a Z a Z a f Z

−−

−−

−−

−−

= + + + +

= + + + +

= + + + +

= + + + + =

11 1

11 1

11 1

11 1

o

o

o

o

. ۵۴٠مترین صفحه ibaZibaZ فرض کنید 111222 +=+= با در نظر گرفنت ,

21 منایش هندسی اعداد ZZ ، ثابت کنید , ibbaaZZ )()( 212121 +++=+

12 اگر) حل ZZ اررا بـــــه صـــــورت بـــــرد , ),(,),( 1122 baba ــاه ــریم، آنگـ ــر بگیـ در نظـ ),( 212121 bbaaZZ ++=+ .

.نتیجه می شود 2Rمجع بردارها در از و این خاصیت . ۵۴٣مترین صفحه

nZZZ فرض کنید. ١ ,...,, در . اعداد خمتلط باشـند 21 .این صورت خواص زیر برقرارند

www.FANAVARI-IT.ir

٧ اعداد خمتلف: دوازدهمفصل

nn )الف ZZZZZZ ...... 2121 = :با استفاده از استقراِء داریم) حل

nnnn ZZZZZZZZZZZZZZ ......)...(... 2132132121 ===

nn )ب ZZ =

ــل ــیم ) ح ــرار ده ــل ق ــمت قب ــت در قس ــافی اس :ک ZZZZ n ==== ...21

ZZ )ج ≤)Re( )حل

ZZZyxxxyixZ ≤⇒=+≤≤⇒+= )Re(22

ZZ )د = ــل ــر ) حــــــ ــیماگــــــ ــرار دهــــــ :قــــــ

( )

Z x yi

x yi x y x yi x y Z Z

= +

+ = + = − = + − ⇒ =2 2 2 2

2121 )ه ZZZZ +≤+

12 اگر) حل ZZ را به عنـوان دو بـردار در ,2R در نظر بگیریم داریم:

2121

22121

22

21

221

212

22

12

21

22

ZZZZ

ZZZZZZZZ

ZZZZZZ

+≤+⇒

+=++≤+⇒

++=+

)(

cosθ

nn )و ZZZZZ ++≤+++ ...... 121

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٨ مطلب ثابـت )ه(با استقراِء و استفاده از قسمت ) حل

.می شود

nn

nn

ZZZZZZ

ZZZZZZ

+++≤+++≤

+++=+++

......

)...(...

2121

2121

2121 )ز ZZZZ 2121 یا +≤− ZZZZ −≥− )حل

( ) ( )Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z

= + + − ≤ + + ≤ + +

⇒ − ≤ +1 1 2 2 1 2 2 1 2 2

1 2 1 2

:تبدیل کنیم داریم −2Zرا به 2Z اگر

2121 ZZZZ −≤−

iZ اگر. ٢ += iZ و 21 232 iZ و =− 23

21

3 اعداد =−+

:خمتلط باشند؛ هر یک از عبارات زیر را حساب کنید

21 )الف 43 ZZ −

Z )حل Z i Z Z− = − + ⇒ − =1 2 1 23 4 6 11 3 4 157

)ب3

21

223252

iZZ

iZZ

−+−

−−+=Α

)حل

12525

3443

34324352

3

3

3

321

12

==+

−=Α⇒

+=−+−

−=−−+

)(i

i

iiZZ

iiZZ

www.FANAVARI-IT.ir

٩ اعداد خمتلف: دوازدهمفصل

.صلی و طول اعداد زیر را تعیین کنیدآرگومان ا. ٣

الف( 41211 π−=−Α=−⇒− )(, irgii

ب( 431211 π

=+−=+−⇒+− )(, iArgii

ج( o==⇒ )(, 1111 Arg

د( 22222 π==⇒ )(, iArgii

iyxZ فرض کنید. ۴ 11 و =+ =+− iZ مکــان ،Z را .تعیین کنید

)حل

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Z i x y i

Z i x y

x y

− + = − + +

⇒ − + = − + + =

⇒ − + + =

2 2

2 2

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

),( مکان دایره ای به مرکز 11 −C 1 و شعاع=R .استiyxZ مکان هندسی نقاط. ۵ ــر =+ ــاالت زیـ را در حـ

.تعیین کنید11 )الف −=+ ZZ )حل

o=⇒

−=+⇒+−=++

+−=++

xxxyxyx

iyxiyx222222 1111

11

)()()()(

)()(

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٠+=−1 )ب ZiZ )حل

xyxyyxxyyx

yxyx

yxiyx

−=⇒−=⇒++−=+++⇒

+−=++⇒

+−=++

221212

11

11

2222

2222

22

)()(

)()(

نشان دهید که . ۶

)(2

22

12

212

21 2 ZZZZZZ +=−++

)حل

)(

coscos

22

21

212

22

1212

22

1

2

22

ZZ

ZZZZZZZZ

+=

−++++ θθ

123 فرض کنید. ٧ ZZZ سه عـدد خمـتلط نـا صـفر ,, :باشند به طوری که

321321 ZZZZZZ ===++ ,o

.ثابت کنید

++=o )الف321

111ZZZ

++=o )ب 23

22

21 ZZZ

2 رابطه) الف) حلiii ZZZ داریم را در نظر بگیرید =

i

ii Z

ZZ

2=

www.FANAVARI-IT.ir

١١ اعداد خمتلف: دوازدهمفصل

Z Z Z Z Z Z

Z Z ZZ Z Z

ZZ Z Z

Z Z Z

+ + = ⇒ + + =

⇒ + + =

⇒ + + =

⇒ + + =

1 2 3 1 2 32 2 2

1 2 3

1 2 3

21

1 2 3

1 2 3

1 1 1

1 1 1

o o

o

o

o

:داریم، با خمرج مشرتک گیری طبق قسمت الف ) ب

o=++321

21321

31321

32ZZZ

ZZZZZ

ZZZZZ

ZZ

( )

( )

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

⇒ + + =

+ + = ⇒ + + =

⇒ + + + + + = ⇒ + + =

1 2 1 3 2 3

21 2 3 1 2 3

2 2 3 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 32

o

o o

o o

.ابع مزدوج بیان کنیدمعادله زیر را بر حسب ت. ٨ 52 =+ yx

, ,

( )

Z x yi Z x yi Z Z x Z Z yiZ ZZ Z

i

= + = − ⇒ + = − =

−⇒ + + =

2 2

52

:هر عدد که ریشه معادله ای به فرم زیر باشد. ٩

oo

=++++−

−aZaZaZa

n

n

n

n 11

1 ...

Ra که در آن i .، یک عدد جربی نام دارد ∋

iZ ثابت کنید 243 .جربی است =− )حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٢

( ) ( ) ( )

Z i Z iZ Z i Z iZ Z Z iZ Z Z

Z Z Z Z Z Z

+ = ⇒ + =

⇒ + − − =

⇒ − − = −

⇒ − − = −

+ + − − + − + =

33

3 2

3 2

3 2 2

6 2 4 3 2

2 4 2 46 12 8 412 4 8 612 4 6 8

144 16 24 8 96 6 8 o

.عدد جربی است Zپس ، آنگاه بـرای هـر Z=1 نشان دهید که اگر. ١٠

abدو عدد خمتلط که حداقل یکی از آـا خمـالف صـفر , :است داریم

1=++

aZbbZa

)حل

1

2

=+

+=

+

+⇒

+=+=+=

+=+=+

ZbabZa

ZbabZa

ZbaZbaZba

ZZbaZ

ZbaZbZa )(

iyxZ گرا. ١١ :نشان دهید که =+

( ) Im( )Re Z Z Z+ ≤ 2

)حل

| | ( | Re( ) | | Im( ) | )

(| Re( ) | | Im( ) | ) (| Re( ) | | Im( ) | )

| Re( ) | | Im( ) | | |

Z Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z

= +

= + ≥ +

⇒ + ≤

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

www.FANAVARI-IT.ir

١٣ اعداد خمتلف: دوازدهمفصل

2121 نشان دهید. ١٢ 1 ZZZZ اگـر و تنــها اگــر −=−

11 12 == ZZ ,

121 فرض کنید) حل == ZZ باشد آنگاه

1221

121

12

121 111 ZZZ

ZZZ

ZZ

ZZZ −=−=−=− (

2121 حال فرض کنید 1 ZZZZ تساوی باال را .باشد −=− .به صورت برعکس ادامه دهید

ثابـت کنیـد . عدد خمتلط باشـد o≠Z فرض کنید. ١٣

1=Z اگر و تنها اگر Z

Z 1=

12 آنگاه Z=1 اگر) حل == ZZZ پس Z

Z 1= .

اگر Z

Z 112 آنگاه = == ZZZ 1 پس=Z .

نان پیدا کنید که اعداد را چ Zمکان عدد خمتلط . ١۴ZZii خمتلط .ندمهواره بر یک استقامت باش ,, )حل

1111

12

1

2

2222

2

−==−==⇒+=+

−===++−⇒

−−=−−⇒−−

=−

−

yyxZiZZZi

ZiZZiZZiz

iZZiZiZZZiiZi

iZZiz

,,)(

)()()(

o

iZiZZ پس −=== ,,o بر یک استقامتند.

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٤AC اگر. ١۵ اعداد حقیقی و ,oo <+=+==+++ CAiDiyxZCDZZDZZA ,,, βα

),( دایره ای به مرکز Zنشان دهید مکان AAβα

و −

.شعاع آن به صورت زیر است

CRAA A

α β= + −

2 2

2 2

)حل

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

AZ Z A x yD Z D Z Re D Z x y

Ax Ay x y C

A x A y CA A A A

Cx yA A AA A

α β

α β

α β α β

α β α β

= ++ = = −

⇒ + + − + =

⇒ + + − − − + =

⇒ + + − = + −

2 2

2 2

2 22 2

2 2

2 22 2

3 3

2 22 2 o

o

مرکز دایره

),(,AAA

CAA

R βαβα−−+= 3

2

3

2 .

++=o معادله خط. ١۶ CyBxA ــتلط ــکل خم ــه ش را ب .بنویسید

+=o )حل−

++ C

iZZBZZA 22

+++=o معادله دایره. ١٧ yxyx ــه 2222 را ب .یدفرم خمتلط بنویس

+++−=o )حل )( ZZiZZZZ

www.FANAVARI-IT.ir

١٥ اعداد خمتلف: دوازدهمفصل

12 اگر. ١٨ ZZ دو عدد خمتلط باشند، به طوری کـه ,

2121 ZZZZ ثابت کنید اختالف آرماگون های −=+

12 ZZ 2 برابر ,π است.

)حل

cos

cos

cos

Z Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z

Z Z

θ

α

πθ θ

− = + ⇒ + +

= + −

⇒ = ⇒ =

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2

1 2

2

2

42

o

CZab فرض کنید. ١٩ دو عــدد حقیقــی نــابرابر ,∋ .باشند

ibZiaZ نشان دهید اگر ــاه +=+ آنگـــــــــــــ ibaZZ )( +−=−

)حل

( ) ( )

( )

( )

Z x yi x y a x y b

a a y b y ba ba b y b a y

Z Z yi a b i

= + ⇒ + + = + +

⇒ + = ++

− = − ⇒ = −

− = = − +

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 22

2

. ٥٤٦مترین صفحه :اعداد زیر را به صورت مثلثاتی منایش دهید

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٦

الف( )sin(cos 65

6532331

ππ iiZ +=+−=

ب( )sin(cos)(ππ i

ii

iiZ +=−=

−=

−= 2221 2

2

ج( ))(sin)((cos 332313ππ

−+−=−−= iiZ

. ۵۴٧مترین صفحه ــز o<n ثابت کنید دستور دمو آور برای ــحیح نیـ صـ

.برقرار است

θθθ اگر قرار دهیم) حل sincos, iemn i ــد =−=+ باشـ آنگاه

)(sin)(cos)sin(cos

)(sin)(cos

θθθθ

θθθθ

ninin

mimeZeZn

mimi

+=+⇒<⇒

−+−==⇒= −−

o

. ۵۴٧مترین صفحه

12 اگر ZZ ، ثابت o≠2Z د خمتلط باشند ودو عد , کنید

2

1

2

1Z

Z

Z

Z=

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

١٧ اعداد خمتلف: دوازدهمفصل

2

12121

2

1

2

1

21212

1

21212

1

2

1

22212

1

222

111

2

1

22221111

Z

Zi

Z

Z

Z

Z

ZArgZArgZ

ZArg

iZ

Z

Z

Z

iiZ

Z

iZ

iZ

Z

Z

iZZiZZ

=−+−=

−=−=⇒

−+−=

++=+

+=

+=+=

)(sin)(cos

)(

))(sin)((cos

)sin(cos)sin(cos)sin(cos

)sin(cos

)sin(cos,)sin(cos

θθθθ

θθθθ

θθθθθθ

θθ

θθθθ

. ۵۴٩مترین صفحه :ثابت کنید. ١

αα

αα

tgnitgni

tgitgi n

−+

=−+

11

11

)(

)حل

αα

αααα

αααα

αααα

αα

tgnitgni

ninni

ii

i

i

tgitgi nnn

−+

=−

+=

−+

=−

+=

−+

11

1

111

)sincos

sincos(

))sincossincos

()

cossincossin

()(

حاصـل عـدد صـحیح و مثبـت باشـد، nفرض کنیـد . ٢

211

−−

+= n

n

ii

I)( .را حماسبه کنید )(

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ١٨

)sin(cos

))(sin)((cos)sin(cos

)sin(cos)sin(cos)()(

2224

24

24222

44244211

212

22

ππ

ππππ

ππππ

nin

ninnin

iiiiI

nn

nnnn

+=

−−

−+×=

−+=−+=

−

−−

)(ni عدد خمتلط. ٣ ــبه و 1+ ــق حماس ــه دو طری را ب .نتیجه را مقایسه کنید

)حل

)()()(

)()()(

iiikn

iikniikn

kn

+=+⇒+=

=+⇒=⇒=+

1211221221 2

.ثابت کنید. ۵

46324−+= θθ

θθ coscos

sinsin

)حل

=+

+=+−

+=⇒+=

2

222

4

22442

44

)sin(cos

sincos)cossin)sin((cos

sincossincos

i

ii

iZiZ

θθ

θθθθθθ

θθθ

. ۵۵۶مترین صفحه

+−+−=o معادله -١ iZiZ 5322

.را حل کنید )( )حل

www.FANAVARI-IT.ir

١٩ اعداد خمتلف: دوازدهمفصل

( )( )

( )

i iZ i

i i i iZ

iZ i

− −+ = − −

− − + + − −+ = =

−= ± −

22

2

2 3 2 352 4

2 3 4 2 4 6 9 1 252 4 4

3 2 1 252

o o

o

)( فرض کنید -٢ 1≠Z . در این صورت معادلـه زیـر :را حل کنید

o=+++++5432

1 ZZZZZ

)( دو طرف را در) حل Z−1 ضرب می کنیم.

iWiW

WiW

iWW

kikW

ZZ

i

23

21

23

21

123

21

23

211

33

11

54

32

1

66

−=−−

=

−=+−=

+==

+=

=⇒=−

,

,

,

)sin()cos(

o

o

ππ

Z−1 چون با ضرب. قابل قبول نیست Z=1 ریشه .تولید شده است

ام واحـد nیکی از ریشه هـای موهـومی، Wاگر . ٣ :نشان دهید. باشد

o=++++ −121 nWWW ...

)حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٠

,

( ) ( ... )...

n n

n n

n

W W WW W W W

W W W W

− −

−

≠ = ⇒ − =

⇒ − + + + + =

≠ ⇒ + + + + =

1 2

2 1

1 1 11 1

1 1

o

o

o

:معادله زیر را حل کنید. ۴

o=+ 83

Zi . )حل

iW

iiW

iiW

ki

kW

r

iZiZ

k

232

1232

321

232

322

322

8

28

88

3

1

3

33

−=

+−=+−=

+=+=

++

+=

==

=⇒=+−

)(

)(

sin(cos

,

o

o

ππ

ππ

πθ

.ریشه های هر یک از اعداد زیر را بدست آورید. ۵

الف( 4321

31

πθ ==+− ,,)( ri

www.FANAVARI-IT.ir

٢١ اعداد خمتلف: دوازدهمفصل

)cos

)sin(cos

)(

)sin(cos

1219

12192

1211

12112

22

222

34

323

432

2

62

61

6

6

ππ

ππ

ππ

ππ

siiniW

iW

iW

ki

kW

k

+=

+=

+=

++

+=

o

ب( 674232

31

πθ ==−− ,,)( ri

)sin(cos

)sin(cos

)sin(cos

)sin(cos

)sin(cos

2443

24434

2431

24314

2419

24194

247

2474

36

723

672

4

43

42

41

4

4

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

iW

iW

iW

iW

ki

kW

k

+=

+=

+=

+=

++

+=

o

Z معادله. ٧ Z Z Z− + + − =4 3 26 25 32 3 1o o را حل کنید. و ±2و ±1برابـر −o1مقسوم علیه های )حل

.است 5±و ±2و ±1برابـر 6مقسوم علیـه هـای

.است 3±

معادله. ١٠55

11 )()( ZZ .را حل کنید +=−

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٢ )حل

4

44

3

33

2

22

1

11

55

11

58

58

11

56

56

11

54

54

11

52

52

1111

11111

1

Z

ZiW

Z

ZiW

Z

ZiW

Z

ZiW

ZZZW

ZZWW

ZZ

−

+=+=

−

+=+=

−

+=+=

−

+=+=

=⇒=−+

⇒=

−+

===−+

ππ

ππ

ππ

ππ

sincos

sincos

sincos

sincos

,,)(

ooo

.هر یک از عبارات زیر را ساده کنید. ١١ )الف

)sin(cos

)(

61272

61272

22

22

2

231

1

311

311

6

127

3

4

61

6

ππ

ππ

π

π

π

−+

−=

==+

−

=+

−=

+

−

−

−

−

ki

kZ

e

e

ei

i

ii

ii

k

i

i

www.FANAVARI-IT.ir

٢٣ اعداد خمتلف: دوازدهمفصل

ب(

))sin()(cos( 61252

61252

22

22

2

23

1

31

6

125

6

4

6

ππ

ππ

π

π

π

−+

−=

==+

−

+

−

−−

ki

kZ

e

e

ei

i

ii

k

i

i

i

+−−=o معادله. ١٢ nn ixix را حل کنیـد کـه )()( .عدد حقیقی است x در آن

)حل

12111

11

12182

82

1

1

−=−+

=

+=−

+=−⇒−+

=

−=+=

=⇒−+

=

=−+

⇒

−−+⇒=−−+

nkZZ

ix

ZiZx

ixZiZxixixZ

nkkikZ

ZixixZ

ixix

ixixixix

k

k

kk

kkk

k

n

n

nnnn

,...,,,

)()(

,...,,,,sincos

)(

)()()()(

o

o

o

ππ

ــه اش ) ١٣ ــه معادلــ ــد کــ ــی ای بیابیــ منحنــ

acZcZ ca باشد که در آن ++−=2 ــداد , اعca حقیقی مثبت اند به طوری که > .

.معادله فوق، معادله یک بیضی است ، طبق تعریف) حل

www.FANAVARI-IT.ir

)١(حل املسائل ریاضی عمومی ٢٤

, x yb a ca b

= − + =2 2

2 2 22 2 1

++=o معادله خط مستقیم. ١۴ CyBxA ــه را بــ .شکل خمتلط بنویسید

+=o )حل−

++ C

iZZBZZA )()( 22

معادله دایره ای را بنویسید کـه از سـه نقطـه . ١۵ iii −+ 121 .گذردمی ,,

iyxZ فرض کنید) حل ooo :مرکز دایره باشد پس =+

4224111111

211

2222

2222

+=+−⇒+=+−⇒

=⇒++−=++−⇒

−=+−=−−

ooooo

ooooo

ooo

o

xxxxx

yyxyx

iZiZiZ

)(

)()()()(

)()(

),( مرکز دایره o1−C است.

5211 =+−=−−+−= iiR )()( o

.است R=5 شعاع دایره برابر .در هر حالت تعیین کنید Zمکان ) ١۶−=1 )الف iZ :دایره به مرکز ),( 1+o و

. R=1شعاع 11 )ب =−− iZ :دایره به مرکز ),( و شعاع 11

1=R .

2 )ج12 =− iZ :دایره به مرکز ),( 2o و شعاع

21

=R .

www.FANAVARI-IT.ir