Embed Size (px)
Citation preview
Β'ΜΕΡΟΣ
ΑΝΑΑ ΥΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
1.1 και 1.2 Α' ΟΜΑΔΑΣ
1. ί) Η συνάρτηση /ορ ί ζ ε τα ι , όταν χ 2 - 3 χ + 2 * 0 Το τριώνυμο χ 2 - 3 χ + 2 έχει ρίζες: χ = 1 ή χ = 2. Επομένο^ς το πεδίο ορισμού τ η ς / ε ί ν α ι το σύνολο A = R - { 1 , 2 } .
ii) Η συνάρτηση / ορίζεται, όταν x - l £ 0 και 2 - χ δ 0 , δηλαδή όταν χ > 1 και χ<2. Επομένως το πεδίο ορισμού τ η ς / ε ί ν α ι το σύ-νολο Α =[1,2] .
iii) Η συνάρτηση /ορ ί ζ ε τα ι , όταν 1 - χ 2 > 0 και χ * 0 .
Η ανίσωση 1 - χ 2 > 0 αληθεύει, όταν χ 2 < 1 , δηλαδή όταν - Ι ^ χ ^ Ι . Επομένως το πεδίο ορισμού της / είναι το σύνολο A = [-1,0) u (0,1].
ίν) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ορίζεται, όταν l-ex > 0 » e * <1<=>χ<0 . Άρα το πεδίο ορισμού τ η ς / ε ί ν α ι το σύνολο Α = (-οο,Ο).
2. ί )Η γραφική παράσταση της συνάρτησης / βρίσκεται πάνω από τον άξονα των χ για εκείνα τα χ e IR για τα οποία ισχύει
/ ( x ) > 0 < = > x 2 - 4 χ + 3 > 0
ο χ e (-σο, 1) ή χ e (3,+αο)
ϋ )Ομοίως έχουμε:
1 + χ —- > 0 ο · (1 + χ)(1 - χ) > 0 <=> - 1 < χ < 1.
1-χ
i i i )Ομοίως είναι e* -1>0 <=>e* > 1 » e * >e° ·» χ > 0 .
3. i) Η γραφική παράσταση της / βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g για εκεί ινα τα x e IR για τα οποία ισχύει
1,1 και L2 f(x) >g (x ) <=> χ 3 + 2χ + 1 > * + 1 <=> χ 3 + χ > 0<=> χ(χ7 +1) > Ο <ξ> Χ > Ο.
ii) Ομοίως:
/ ( χ ) > g(x) < = > χ 3 + χ - 2 > χ 2 + χ - 2 < = > χ 3 - χ 2 > 0 < = > χ 2 ( χ - 1 ) > 0 < = > χ > 1 .
4. α) ,4(45) = 2,89-45+ 70,64 = 200,69 cm
β) Γ(45) = 2,75-45+71,48 = 195,23cm.
5. Το τετράγωνο έχει περίμετρο χ, οπότε η πλευρά του είναι — και το 4
χ1
εμβαδό του — . 16
Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει περίμετρο 2 0 - χ , οπότε η πλευρά του
Λ/3 ( 2 0 - : 2 0 ~ χ α *• είναι και το εμβαδο του 3 Ρ 4 1 , 3 .
χΐ / j Επομένως Ε = Ετετρ + Ετριγ = — + ( 2 0 - * ) 2 με χ e (0,20).
16 36
6. ί) Είναι
„ , | * | , (0, χ < 0 / ( * ) = — + 1 = ·̂ χ [2, * > 0
Η γραφική παράσταση της / φαί-νεται στο διπλανό σχήμα.
Το σύνολο των τιμών της / είναι το f(A) = {0,2}
y
2>
y=0, χ<0
ι
y=2, χ>0
y
2>
y=0, χ<0 Ο χ
ii) Είναι
, - x , * < 0 / ( * ) = * Ι * Η 2 _ η ·
χ , χ > 0
Η γραφική παράσταση της / φαί-νεται στο διπλανό σχήμα Το σύνολο των τιμών της f είναι το / 0 4 ) = R
y ' /
/γ=χί, * > Ο
Ο\.
Ν I II Ο χ
116
1 , 1 κ ο , ί 1 . 2
i i i )H γραφική παράσταση της / δ ίνεται στο διπλανό σχήμα Το σύνολο των τ ιμών τ η ς / ε ί -ν α ι τ ο / ( Α ) = [2 ,+οο)
y
y=-x+3, * < l \ /y=JC+1, JC>1
2 Ι Ι I I
Ο 1 χ
ΐ ν )Ε ί να ι
/ ( * ) = lnx, 0 < χ < 1
In χ. 1 < x
Η γραφ ική παράσταση της / ~~q δίνεται στο διπλανό σχήμα Το σύνολο των τ ιμών τ η ς / ε ί -ναι το / ( / 4 ) = [Ο,+ ο ο ) .
In*, 0<jt<l
y= lnx, \<χ
7. ί ) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / έ χ ε ι πεδίο ορ ισμού το σύνολο A =IR , ενώ η g το Β = [Ο, + οο). Είναι Αφ Β και επομένως οι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς / και g δεν ε ίναι ίσες. Γ ια κάθε χ > 0 έχουμε
/ ( χ ) = y[7 = χ = (Vx)2 = g(x).
Ά ρ α οι συναρτήσε ις / , g είναι ίσες στο δ ιάστημα [0,+ 00).
ii) Οι συναρτήσε ις / , g έχουν πεδίο ορισμού το R*. Για κάθε
x e R * έχουμε :
r t , * . Μ 2 - 1 , ( l x j - i ) ( l x | + D 1 * 1 - 1 , .
|χ|2 + |χ | | χ | ( | χ | + 1) | χ | g * Ε π ο μ έ ν ω ς / = g .
i i i) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / έ χ ε ι πεδίο ορισμού το Α = [0,1)^(1, + οο). Γ ια κά-θε xeA, έχουμε
/ν_Λ_ χ - ] ( x - l ) ( V x + l ) (χ -1)(λ /χ +1) Γ , JW-—j=— = —7= τ= = ; = VX + 1. •Jx-l ( λ / χ - 1)(Vx+1) χ _ 1
117
i i l i i i l i
Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το 5 = [0,+οο). Επομένως οι συ-
ν α ρ τ ή σ ε ι ς / και g έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού, οπότε δεν είναι ίσες. Είναι όμως f ( x ) = g(x) γ ια κάθε x e [ 0 , l ) u ( l , + o o ) . Αρα οι / , g είναι ίσες στο [0,1)u (1,+0°).
8. Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ο ρ ί ζ ε τ α ι στο Λ = Κ" , ενώ η g στο 5 = R - { 1 } . Επομέ-
νως, για κάθε x e R - { 0 , l } έχουμε:
/1 . \t \ f , \ . / \ *+ι * ι-*2 +χ2 ι if+g)W = /(*)+g(x) = +
(f-g)(x)=f(x)-g(x) =
(f-g)(x) = f(x)g(x) =
χ 1 - x x(l — x) x ( l - x )
Χ + 1 χ _ 1 - χ 2 - χ 2 _ ί-2χ1
Χ 1-χ χ(1 - χ) x(l-x)
χ + 1 χ 1 + χ χ 1 - χ 1 - χ
χ + 1
' Λ * ) = - / ( χ > - * ι ~ χ 1
U J g(*) _ j * l ** 1 - χ
αφού για κάθε x e R - { 0 , l } είναι g ( x ) * 0 .
9. Οι δύο συναρτήσεις έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Λ = (0, + οο), οπό-τε γ ια κάθε χ & Α έχουμε:
if + g) (χ) = /(χ) +g{x) = 2-Jx
if - g)(*) = fix) ~ gix) = -j= Vx
if · g)ix) = fix)gix) = χ - — = x 1, X X
ενώ, για κάθε x e Α μβ gix) φ 0 , δηλαδή με x ^ l ισχύει :
, X Λ / Χ + - ) = ^ _Χ + 1
g j g ix ) ^ L χ - 1
Vx
10. i) Η / έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Df~ R , ενώ η g το
118
Dg =[0,+oo). Για να ορίζεται η παράσταση g(f(x)) πρέπει
(χ e Df και / ( χ ) e Dg) <=> (χ e IR και χ2 > 0) ο χ e IR .
Επομένως, η go f ορίζεται για κάθε x e IR και έχει τύπο:
(g » / ) ( * ) = g ( / ( * ) ) = gix1) = V x 7 =\x\-•
ii) Η / έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Df = IR, ενώ η g το
Dt =[-1,1].
Για να ορίζεται η παράσταση g(/(x)) πρέπει:
( x e D f και / ( x ) e Dg) ο ( x e IR και / ( x ) e [ - l , l ] )
< = > η μ χ ε [ - 1 . 1 ] » χ ε Κ .
Επομένως, η g°f ορίζεται για κάθε x e R και έχει τύπο
(g °/)00 = £ ( / 0 0 ) = £(ημχ) = χ / ϊ^ημ^χ = V o w 2 * = I συνχ |
iii) Ομοίως η / έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Df = R και η g το
π Τ
Για να ορίζεται η παράσταση g ( / ( x ) ) πρέπει:
= R-{x |x = /or + —, κεΖ}.
(xeDf και / ( x ) e Z ) g ) < = > ( χ e R και - j * m r + y , ( c e Z ) o x e l
Επομένως, η g°f ορίζεται για κάθε x e R και έχει τύπο
(g ° / ) 0 0 = # ( / 0 0 ) = gf πλ π - =εφ— = 1. 4 J 4
11. Η / έ χ ε ι πεδίο ορισμού το Df = R και η g το Dg = [2,+οο). Για να
ορίζεται η παράσταση g ( / (x ) ) πρέπει:
( x e D y και (x2 +1) e Dg) <=> ( x e R και x 2 + l > 2 )
<=>x2 - 1 > 0
<=>χ>1 ή χ < - 1
<=> x e (-00, — l ]u [ Ι , + οο) = At.
Επομένως, η go f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α,, και τύπο:
119
1 Μ κ α * 1 . 2
ig ° /)(*) = gifix)) = g(x2 +1) = V*1-1 ·
Για να ορίζεται η παράσταση / ( g (x ) ) πρέπει
(xeDg και g ( x ) e D f ) · » ( χ £ 2 και V x - 2 eIR) ο xe[2,+oo) = β , .
Επομένως, η / ° g έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 5, και τύπο
if ° g m = /<*<*)) = / * £ - 2 ) = ( V ^ ) 2 + l = x - 2 + l = x - l .
12. i) Η συνάρτηση / ( χ ) = ημ(χ 2 +1) είναι σύνθεση της A(jc) = χ 2 +1 με τη £(*) = ημχ
ίϊ) Η συνάρτηση / ( χ ) = 2ημ 2 3χ+1 είναι σύνθεση των συναρτήσεων
Λ(χ) = 3χ, gix) = ημχ και φ{χ) = 2 χ 2 +1 ,
iii) Η συνάρτηση / ( χ ) = ln(e2* - Ί ) είναι σύνθεση των συναρτήσεων
Λ(χ) = 2 χ , gix) = ex-l και ^>(χ) = 1ιιχ.
iv) Η συνάρτηση / ( χ ) = ημ2 3χ είναι σύνθεση των συναρτήσεων
hix) = 3x, gix) = ημχ και <®(χ)=χ2
1.1 και 1.2 Β' ΟΜΑΑΑΣ
1. i) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία /4(1,0) και 5(0,1) έχει
συντελεστή κατεύθυνσης λ = - ^ = - 1 , οπότε η εξίσωσή της είναι:
y - 0 = (—l)(x—1) <=> y~ - χ + 1 .
Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Γ(2,0) και /J(l, 1) έχει συντε-
λεστή κατεύθυνσης λ = = -i- = - 1 , οπότε η εξίσωσή της είναι:
, ν -0 = ( - 1 ) ( χ - 2 ) « · > ' = - χ + 2 .
Επομένως το σχήμα μας είναι η γραφική παράσταση της συνάρτη-σης
Γ-χ + 1, 0 < x < 1 fix) = • [ - χ + 2, 1 < x < 2
ii)H ευθεία που διέρχεται από τα σημεία 0(0,0) και Ai 1,2) έχει λ = 2 και εξίσωση y = 2x.
120
:r 1.,1
Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία ^4(1,2) και Β(2,0) έχει
- 2 ' λ = — = - 2 και εξίσωση y - 0 = - 2 ( χ - 2 ) <=>>> = - 2 x + 4 .
Επομένως το σχήμα μας είναι η γραφική παράσταση της συνάρτη-σης
2χ, 0 < jc < 1 / (*) = - 2 Χ + 4 , L E X < 2
iii) Ομοίως έχουμε
/ (*) = 1, χ e [ 0 , 1 ) ^ ( 2 , 3 )
0 , χ e [ L , 2 ) u [ 3 , 4 )
2. Το εμβαδόν των δύο βάσεων είναι 2ηχ', ενώ το εμβαδόν της παρά-πλευρης επιφάνειας είναι 2nxh , όπου h το ύψος του κυλίνδρου. Έχου-
628 200 με ν = wx'h = 628, οπότε Α = —7 = Τ κ α ι τ ο εμβαδόν της παράπλευ-
πχ , χ
200 400* , , ρης επιφάνειας γίνεται: 2πχ — = . Επομένως, το κόστος Κ(χ) εί-
ναι:
Κ (χ) = 2πχ - 4 · 400π •1,25 = 8jdc + 500π με χ> 0.
Το εμβαδόν των βάσεων του κουτιού είναι π · 5 2 · 2 = 50π, ενώ το κόστος τους είναι 50·ττ·4 = 200π (δραχμ.) Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι 2^·5·8 = 80π, ενώ το κόστος της είναι 80π·1.25 = 1007Γ. Επομένως το συνολικό κόστος είναι 300τγ ξ 942 λεπτά =9,42 ευρώ.
3. · Αν 0 < χ < 1 , τότε:
Τα τρίγωνα ΑΜΝ και ABE είναι όμοια, οπότε
χ (ΜΝ) χ (ΜΝ) • < = > — = -
(ΑΒ) (BE) 1 2
<=> (ΜΝ) = 2.r Α "-γ^ΜΒ
Επομένως, το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου, δίνεται από τον τύπο
121
1 , 1 κ α ι 1 , 2
Ε(χ) = — χ·(ΜΝ) = — χ·2χ = χ2, με 0 < χ < 1 . 2 2
• Αν Ι 2 χ < 3 , τότε το εμβα-δόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου είναι ίσο με
Ε(χ) = - 1 - 2 + (χ —1)2
= l + 2 x - 2 = 2 x - l ,
με 1 < χ < 3 .
Αρα
Ε Ν
β Ά/
Ε(χ)-- χ , 0 < χ S1 2χ-ί, l e t < 3
4. Από τα όμοια τρίγωνα ΛΒΓ και ΑΝΜ, έχουμε:
ΒΓ ΑΔ 10 5 ΤΤ7 = 77^777=< ^2(5-χ)=ΜΝ. ΜΝ ΑΕ ΜΝ 5-χ
Επομένως,
Ε = Ε(χ) = ΜΝ ·ΚΝ = 2(5- χ)χ=-2χ2 + 10*, 0 < χ < 5 και
Ρ = Ρ(χ)=2ΜΝ + 2ΚΝ = 2·2(5-χ) + 2·χ = 20-2χ, 0<χ<5.
5. i) ® Αν λγ<-1, τότε
f t , - x - 1 - x + l /(*) = = —χ
Αν - 1 < χ < 1 , τότε
/ ω = £ ± 1 ^ 1 ί = Ι
• Αν 1 5 χ , τότε , , . x+1 + x - l / ( * ) = = * .
Αρα
/ (*) = -χ, χ<-1
1» -15 χ < 1 . χ, χ>\
122
Ι Λ κ α ι 1 . 2
Η γραφική παράσταση της / δίνεται στο διπλανό σχήμα.
Από τη γραφική παράσταση τ1ΐς / φαίνεται ότι το σύνολο τιμών της / είναι το σύνολο [1,+ 00)
y y=χ, χ>\
ii) Έχουμε
- 1 < j c < 1
/(*) = ημ*·, xe[0 ,jr]
Ο, χ ε (π,2π]
Η γραφική παράσταση της / δίνεται στο παρακάτω σχήμα. ι
Το σύνολο τιμών της / είναι το [0,1], Ο
>»=ημχ, 0<χ<π
y=Ο, π<χ<2π 2π χ
6. ί) Έχουμε: f(g(x)) = x2 +2χ+2 , δηλαδή f(x+l) = x2+2x+2. Αν θέσουμε ω = * + 1 ή, ισοδύναμα, χ = ω-1, τότε
/ (ω) = (ω-1)2 +2(ω-1) + 2 = ω2 -2ω + 1 + 2ω-2 + 2 = ω2 +1.
Επομένως f ( x ) = x1 +1.
ii) / (£ (*) ) = Vl + *2 , δηλαδή f(-x2) = -\ll + x2 . Θέτουμε ω = ~χ2,
οπότε / ( ω ) = -Jl-co , ω<0. Επομένως f ( x ) = -Jl-x, * < 0
iii) g ( / ( x ) ) = | o u v x | o φ - f 2 ( x ) =| σ « ν χ | < = > \ - f 2 { x ) = m>v2x
^ / 2 (*) = 1 - σ υ ν 2 χ
<=>/2(̂ )=ημ2* <=> I /(*) I=I ημ*-1 -
Μια τέτοια συνάρτηση είναι π.χ. η συνάρτηση / ( jc ) = | ηιιν-1, ή η συνάρτηση f ( x ) = ημχ ή η συνάρτηση / ( χ ) = -ημχ κ.τ.λ.
123
1 . 1 κ α ι 1 . 2
7. Οι συναρτήσεις/ και g ορίζονται στο Κ.
— Για να ορίζεται η παράσταση f(g(x)) πρέπει:
(χ e IR και g(x) e IR) <=> χ e IR .
— Επομένως ορίζεται η ( f ° g ) ( x ) και είναι
( / ° g ) ( * ) = / (£(* ) ) = / ( α * + 2) = ax + 2 + l = ax + 3 .
— Για να ορίζεται η παράσταση g(/(x)) πρέπει: ( x e R και f(x) e IR) <=> χ e R . Επομένως ορίζεται η (g ° f)(x) και είναι
(g ο /)(*) = g(f(x)) = g(x + l) = a(x + l) + 2 = ax + (a + 2).
Θέλουμε να είναι / ° g = g ° / , που ισχύει μόνο όταν
(αχ+3 = αχ + α + 2, για κάθε x e R ) O f l + 2 = 3 t > a = l .
8. Η συνάρτηση/ορ ίζετα ι στο Df = R \ { a } , ενώ η g στο Dg = [0, + <χ>).
α) Για να ορίζεται η / ( / ( χ ) ) θα πρέπει:
(xeDf και f(x)eD,)o(x*a και α χ + ^ * α ) ' χ-α
<=>(χ*α) και ^ - c i J ) o x e D / .
Επομένως, η f of έχει πεδίο ορισμού το R\{a} και τύπο
αχ + β -f(f( w-- χ ~ α + + + _χ(°·2+β)-χ
η η ) ) αχ + β αχ + β-αχ + α2 α2 + β a r
χ-α
β) Για να ορίζεται η g(g(x)) θα πρέπει:
( x e f l j και x-2-Jx + le Dg) ο (χ>0 και x-2-Jx +12.0)
» ( χ > 0 και (y[x-l)2>0)
<=> x > 0 o x e D g .
Επομένως η g°g έχει πεδίο ορισμού το [0,+οο) και τύπο
g(g(x)) = (yig(x)-l)2 =(VCV^-1)2 - Ι ) 2 = ( |>/ ΐ-1 |-1)2 =
= (1-4χ-ΐ)2 =(~Jx)2-χ, αφού O S x S l .
124
1*1 κ(κι 1·2
9. i) Έχουμε :
N(t) = 1 0 ^ 2 ( ( 7 / + 4 ^ + ^ / + 4 ] = 10^2( /+8-^ + yft+20) = 10^2(/ + 9 - ^ + 20)
ί ί )Έχουμε :
10^2(/ + 9Λ/7 + 20) = 120 » ^2(/ + 9>// + 20) = 12
2(/+ 9-χ//+20) = 144
<=> / + 9>// + 20 = 72
<=> / + 9λ/7 - 5 2 = 0
<=> Λ// = 4 ή (V/ = -13 , απορ.) <=> / = 16.
Επομένιος μετά από 16 χρόνια τα αυτοκίνητα θα είναι 120.000.
JL3 Α' ΟΜΑΑΑΣ
1. ί) Η συνάρτηση / ( x ) = V l - x έχει πεδίο ορισμού το ζί = (—οο, 1].
Έστω x,.x2 e *ι <χ2 • Τότε έχουμε διαδοχικά:
1 - χ , > 1 - χ 2
-y/l-X, > tJ\~X2
/(Χ, ) > / ( χ 2 ) .
Αρα η / είναι γνησίως φθίνουσα στο ( -« .1 ] .
ii) Η συνάρτηση / ( χ ) = 2 1 η ( χ - 2 ) - 1 έχει πεδίο ορισμού το J = (2. + οο).
Έστω x, .x2 ε J με χ, < ν , . Τότε έχουμε διαδοχικά:
χ , - 2 < χ , - 2
ln(x, - 2 ) < ln(x, - 2 )
ln(x, - 2) - 1 < ln(x2 - 2 ) - 1
/ ( x , ) < f(x2). Αρα η / είναι γνησίως αύξουσα στο (2,+ οο).
125
iii) Η συνάρτηση / ( x ) = 3el χ +1 έχει πεδίο ορισμού το Κ .
Έ σ τ ω x,, jc2 eIR με χ, < χ 2 . Τότε έχουμε διαδοχικά:
-χ, > -χ2
1 - χ , > 1 - χ 2
e' "· >e'-*2
3χ'-χ> > 3e'~"2
3e'-*> +1 > 3e1'"2 +1
/ (^1 ) > / (^2 ) ·
Άρα η / είναι γνησίως φθίνουσα στο IR .
iv )H συνάρτηση / ( χ ) = ( χ - 1 ) 2 - 1 έχει πεδίο ορισμού το J = (-oo,l],
Έ σ τ ω x, ,x 2 ez l με χ, < χ 2 . Τότε έχουμε διαδοχικά:
x, - 1 < x2 - 1 < 0.
( χ , - 1 ) 2 > ( χ 2 - 1 ) 2
(χ, - I ) 2 - 1 > ( χ 2 - I ) 2 - 1
/ ( χ , ) > / ( χ 2 ) .
Άρα η / είναι γνησίως φθίνουσα στο στο (—οο, 1].
2. i) Η / έ χ ε ι πεδίο ορισμού το IR Έ σ τ ω x, ,x 2 e R με / ( χ , ) = / ( χ - ) Τότε έχουμε διαδοχικά:
3χ, - 2 = 3χ2 - 2
3χ, =3χ 2
χ, = χ 2 .
Άρα η / είναι 1 - 1 στο IR .
Για να βρούμε την αντίστροφη τ η ς / θέτουμε y = / ( χ ) και λύνουμε ως προς χ. Έχουμε, λοιπόν:
-V + 2 / ( χ ) =y<=> 3 x - 2 - y ο 3χ = y + 2 <=>χ = -3
-ί y ^ Επομένως / (y) = —-—. οπότε η αντίστροφη της / είναι η συνάρ-
. χ + 2 τηση / (χ) = —
126
IBlllll ii) Η συνάρτηση / ( x ) = x2 +1, δεν έχει αντίστροφη, γιατί δεν είναι
1 - 1 , αφού / (1) = / ( - 1 ) , με 1 * - 1 .
iii) Έχουμε /(1) = / ( 2 ) = 1 με 1 * 2 . Άρα η / δεν είναι 1 - 1 στο R .
Συνεπώς δεν έχει αντίστροφη.
iv) Η συνάρτηση / ( x ) = \ll-x έχει πεδίο ορισμού το Δ = (-οο, 1].
Έ σ τ ω x, ,x 2 εΔ, με / ( x , ) = / ( * 2 ) · Τότε,έχουμε διαδοχικά:
V 1 "*! = 0 - ^ 2
1 — jr, = 1 - χ 2
Άρα η / είναι 1 - 1 στο R . Για να βρούμε την αντίστροφη θέτουμε ν = / ( χ ) και λύνουμε ως
προς χ. Έτσ ι έχουμε:
/ ( x ) = y o V l - x = ν
<=> 1 - x = y 3 , y S 0
<=>x = l - y 3 , y > 0 .
Επομένως / ~ ' ( y ) = l - y 3 , y S 0 , οπότε η αντίστροφη της / είναι η
/ " ' ( Χ ) = 1 - Χ 3 , χ > 0 .
ν) Η συνάρτηση / ( x ) = l n ( l - x ) έχει πεδίο ορισμού το (-oo,l) = zl. Έ σ τ ω x, ,x 2 ezl με / ( χ , ) = / ( χ 2 ) . Τότε έχουμε διαδοχικά
ΙΠ(Ι-Χ,) = 1π(1-χ2)
1 - χ , = 1 - χ2
- χ , = - χ 2
χ, = χ 2 .
Άρα η / είναι 1 - 1 στο/1. Για να βρούμε την αντίστροφη της / θέτουμε y = / ( χ ) και λύνουμε ως προς χ. Έτσι έχουμε:
127
/(χ) - y <=> ln(l- x) = y <=> 1—χ = ey <^x = l-ey
Επομένως f~l(y) = l-ey, y e R , οπότε η αντίστροφη τ η ς / ε ί ν α ι η
/ " ' ( x ) = l-e", x e R .
vi) Η συνάρτηση f ( x ) = e " +1 έχει πεδίο ορισμού το R .
Έ σ τ ω χι,χϊ e R με / ( x , ) = / ( x 2 ) . Τότε έχουμε διαδοχικά:
«Γ*1 + \ = e~x2 +1
Αρα η / ε ί ν α ι 1 - 1 στο R .
Για να βρούμε την αντίστροφη τ η ς / θ έ τ ο υ μ ε y = f ( x ) και λύνουμε ως προς χ. Έχουμε λοιπόν:
f(x)=y<=>ex +l = y
ο y-\ = e'x
<=>ln(y-l) = - x , y > l
0 ^ = -111(^-1), y > l
Επομένως / ^ ( ^ ) = -111(^-1), y> 1, οπότε η αντίστροφη τ η ς / ε ί ν α ι
η / ' ( * ) = - l n ( x - l ) , χ > 1 .
e" -1 νι ι ) Η συνάρτηση / ( χ ) = έχει πεδίο ορισμού το R . e χ +1
Έ σ τ ω x, ,x 2 e R με / ( x , ) = / ( x 2 ) · Τότε έχουμε διαδοχικά:
e'i - ι _ eX l - 1
ex> +1 e"2 +1
_e*2 +e*l _e'l +e*2 _!
2ex' =2e"2
X, — x 2 . Αρα η / είναι 1 - 1 στο R . Για να βρούμε την αντίστροφη τ η ς / θ έ τ ο υ μ ε y = / ( x ) , οπότε έχου-με:
128
ι"ι ι » ι • ι i • i i '•*•"]
,V Λ Β ' ~ 1 f(x)=y<*-—=y e" +1
<=>e* -1 = ye* +y
<=> ex -yex = _y + l
¢ 3 . ^ ( 1 - ^ ) = ^ + 1
l + y o e =-1 - y
με i+y l - y
> 0 .
. l + y ι ι <=>x = l n — — , με - l < y < l . l - y
l+y Επομένως / 1 Cv) = I n — — , ye (-1,1), οπότε η αντίστροφη τ η ς /
l - y
είναι η / " ' (χ) = 1 η ί ^ - , χ ε (-1,1). 1 - χ
vi i i )Η / δ ε ν είναι 1 - 1 , γιατί / ( 0 ) = / ( 2 ) = 0 με 2 * 0 . Άρα η / δεν
αντιστρέφεται.
3. Οι συναρτήσεις /,φ και ψ αντιστρέ-φονται, αφού οι παράλληλες προς τον άξονα των χ τέμνουν τις γραφικές τους παραστάσεις το πολύ σ ' ένα σημείο. Αντίθετα η g δεν αντιστρέφεται. Οι γραφικές παραστάσεις των αντί-στροφων των παραπάνω συναρτήσεων φαίνονται στα σχήματα.
ν=φ(χ)
}'=φ·(χ)
y\ y=f(x)i
y=f\x)
ν=ψ(χ)
y=ψ~ (χ)
4. ί) Η / είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, οπότε για κάθε xt,x2eA με χ, < χ 2 έχουμε διαδοχικά:
129
/(*,)< /(*2 )
- / ( * ι ) > - / ( * 2 )
("/)(*, )>(-/)(*,)·
Επομένως η - / είναι γνησίως φθίνουσα στο
ii) Έ σ τ ω χ , , χ 2 ε Λ με χ, < χ 2 . Επειδή οι f , g είναι γνησίως αύ-ξουσες στο Δ θα ισχύει
/ ( * ι ) < / ( * 2 ) K c« g ( * i ) < g ( * 2 ) >
οπότε θα έχουμε
/ ( * , ) + g ( * , ) < / (*2 ) + g(*2 ) . ή, ισοδύναμα,
(/+£)(*, )<(/+g)(* 2) ·
Άρα, η / + g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
ί ϋ ) Έ σ τ ω χι,χ2βΔ με x, < χ 2 Επειδή οι / , g είναι γνησίως αύ-ξουσες στο Δ, θα ισχύει
/ ( x , ) < / ( x 2 ) και g ( x , ) < g ( * 2 )
και επειδή, επιπλέον, είναι / ( χ , ) > 0 και g ( x , ) > 0 , θα έχουμε
/(*ι )£(*,)</(*2 )g(x2), οπότε
(./?)(*, ) < 0 & ) ( x 2 ) .
Άρα η fg είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
ΙΑ Α' ΟΜΑΔΑΣ
1. Από τα σχήματα βρίσκουμε ότι:
i) lim / ( x ) = 0 και / ( 3 ) = 2 χ—>3
ii) l i m / ( x ) = 2 και / ( 2 ) = 4 χ->2
i i i ) · l i m / ( x ) = 2 και lim / ( x ) = l , οπότε η / δεν έχει όριο στο 1, *->1 *-»1+
ενώ είναι / (1) = 1.
130
• i • lim / ( x ) = Ο και lim / ( * ) = 1, οπότε η / δεν έχει όριο στο 2.
*->2 ι->2* Επιπλέον, η / δεν ορίζεται στο 2
i v ) · lim / ( x ) = 0 χ—>1
ενώ είναι / (1) = 1.
i v ) · lim / 0 ) = 0 και lim / ( x ) = l , οπότε η / δεν έχει όριο στο 1, *->1 *-»1+
• lim / ( x ) = 1 και lim / ( x ) = 2 , οπότε η / δεν έχει όριο στο 2, *->2~ *_>2+
ενώ είναι / ( 2 ) = 2.
• lim / ( x ) = lim / ( x ) = 2 , ενώ η / δ ε ν ορίζεται στο 3. χ->3
2. i) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / έ χ ε ι πεδίο ορισμού το IR—{2} και γράφεται
< * - 2 ^ - 3 , ^ 3 . χ - 2
Από τη γραφική παράσταση της / (δι-πλανό σχήμα) βρίσκουμε: l i m / ( x ) = - l . χ->2
ϊ ϊ )Ομοίως από τη γραφική παρά-σταση της / (διπλανό σχήμα) βρί-σκουμε: lim / ( x ) = 1. χ->1
y
1 —
ι 1 |
1 y = -χ
Ο 1 χ
/y=x
iii) Ομοίως από τη γραφική παρά-σταση τ η ς / ( δ ι π λ α ν ό σχήμα) βρί-σκουμε
lim / ( x ) = l και lim / ( χ ) = 0 , *->ι *->ι+
οπότε, η / δεν έχει όριο στο x0 = 1 .
\ y i
II
\ 1
./ . Ο lS. χ
y=-x< l \ .
131
iv )H συνάρτηση / στο πεδίο ορισμού της IR—{0} γράφεται
/ ( χ ) = χ + -χ +1, χ > 0
χ -1, χ < 0
οπότε από τη γραφική παράσταση της f Cf (διπλανό σχήμα) βρίσκουμε:
lim f (x) = - 1 και lim f(x) = 1 . .τ—>0" ' jr->0+
Επομένως, η / δ ε ν έχει όριο στο χ0 = 0 .
3. i ) H / σ τ ο πεδίο ορισμού της IR —{—1.1} γράφεται:
/ ( χ ) = χ ( χ 2 - 1 ) + . ν - 1 ) = ( ^ - 1 ) ( χ + 3 ) = χ + 3
* — 1 χ '
Από τη γραφική παράσταση της / που φαίνεται στο διπλανό σχήμα βρίσκουμε:
l i m / ( x ) = 2 και l i m / ( x ) = 4. χ-»-1 jt—>1 "
ι
y=x+ 3
ii) Η / στο πεδίο ορισμού της
γραφεται:
/ ( * ) =
οπότε
/(*) =
(x + l )^/(3x-l) 2 (χ + 1 ) | 3χ -1 |
3 χ - 1
- ( χ + 1), αν χ <
χ +1, αν χ >
3 χ - 1
Από τη γραφική παράσταση της / που φαίνεται στο διπλανό σχήμα βρίσκουμε:
y·
4 3 Τ 1
- ι \ Ο 1 Χ 3
- Γ 4 3
132
Ι Α
4 4 lim / ( χ ) = — και lim / ( x ) = — r 3 ι* 3 3 3
Επομένως, η / δ ε ν έχει όριο στο χ0 =-^-.
4. i) Είναι αληθής, αφού lim f(x)= lim / ( x ) = 2 *-*-2 *->-2+
ii) Δεν είναι αληθής, αφού lim / ( x ) = 2 *-»ι+
iii) Δεν είναι αληθής, αφού lim / 0 ) = 1 και lim / 0 ) = 2 , που ση-χ—νΓ ' Λ->1+
μαίνει ότι η / δεν έχει όριο στο χ0 = 1.
iv) Αληθής, αφού lim / 0 ) = lim / 0 ) = 3-x->2~ ι->2+
ν) Δεν είναι αληθής, αφού lim / (x ) = 3 x->3
vi) Αληθής, αφού lim / 0 ) = lim / 0 ) = 3 . x->4 *-*4+
5. To lim / 0 ) υπάρχει, αν και μόνο αν
lim / ( x ) = lim / ( x ) <=> Λ2 - 6 = Λ » λ = 3 ή ^ = - 2 .
1.5 Α ΟΜΑΔΑΣ
1. i) Έχουμε l i m ( x 5 - 4 x 3 - 2 x + 5) = 05 - 4 - 0 3 - 2 - 0 + 5 = 5 * - > 0
ii) limO10 -2x3 + x - l ) = 110 - 2 -1 3 + 1 - 1 = - 1 x ->1
iii) l imO8 + 2x + 3)20 = [ l im(x8+2x + 3)| = 2 20. *->-1 —>—1 J
iv) lim[(x-5)31 x2 -2x-31] = l im(x-5) 3 lim| x2 -2x-31= (-2)3 -0 = 0. x-*3 x->3 x—>3
v) lim X 4 + 2 * - 5 _ ! ™ ( * + 2 X - 5 ) _ _ 2 _ l
* - x + 3 lim(x + 3) 4 2
,. | x 2 — 3x| + | x — 21 l i m ( | x 2 - 3 x | + | x - 2 | ) 2 vi) lim·1 —1—! i = = - = 2 *-»° x + x + l l im(x 2 +x + l) 1
x—>0
133
Vii) \imll(x + 2)2 = 3/lim(x+2)2 = \ΙΪ* =\j9 . *->1 V x-+\
.... <Jx2 +X + 2-2 lim(Vx2 + X + 2 - 2 0 v m ) lim = — = — = o .
*->' χ + 4x + 3 l im(x 2 +4x + 3) 8 *->1
2. Έχουμε:
i) l img(x) = lim(3(/(x))2 - 5] = 3-42 - 5 = 43 x->2 * - > 2
l i m | 2 / ( x ) - l l | , , ii) 1 ώ ^ ( ι ) = " - 1
l i m ( / ( x ) ) 2 + l 16 + 1 17 x->2
iii) lim g(x) = l im(/(x) + 2) l im(/(x) - 3) = (4 + 2)(4 - 3 ) = 6 x->2 x->2 x - > 2
3. i) Για x = 2 μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Για χ * 2 έχουμε:
/ ( x ) _ x 4 - 1 6 ( χ 2 - 4 ) ( χ 2 + 4 ) (Χ + 2)(Χ2 +4) χ 3 - 8 ( χ - 2 ) ( χ 2 + 2 χ + 4) χ 2 + 2 χ + 4
Επομένως,
.. , . . ,. ( χ+ 2)(χ2 +4) 4-8 8 lim / ( x ) = lim- - - = = - . *->2 + 2 χ + 4 12 3
ii) Ομοίως για χ * 1 έχουμε:
. 2 χ 2 - 3 χ + 1 ( 2 χ - 1 ) ( χ - 1 ) 2 χ - 1 χ 2 - 1 (χ -1) (χ + 1) χ + 1
οπότε
lim f{x) = lim———- = —. *-»> »-•> χ + 1 2
iii) Ομοίως για χ * 1 έχουμε:
ι-- ι-Ι /(*) = * Χ 1
ΗΗ ' ι + Ι Χ
Επομένως,
lim / (x) = l i m ^ — = — *-»' *-»> χ + 1 2
134
M i l
iv) Ομο ίως γ ια x * 0 έχουμε:
(x + 3)3 - 2 7 (x + 3 -3 ) [ (x + 3)2 + (x + 3 ) -3+9] f i x )
χ
\ 2 = (x + 3) + 3(x + 3) + 9 .
Επομένως ,
lim fix) = lim[(x + 3) + 3(x+3) + 9] = 27 . x->0 x->0
4. Έ χ ο υ μ ε :
,. 3 - λ / χ ,. 3 - y [ x ,. 3—fx 1 1 I) lim = lim = — = lim -= — = Inn — = —
9 - x ^ 9 3 J _ ( V x ) 2 (3 + λ / χ ) ( 3 - λ / χ ) x _ > 93 + V* 6
.., .. l-yll-x2 .. ( 1 - V l - * 2 ) ( 1 + V * - * 2 ) ,. l - ( l - x 2 ) II) lim - = l im- - η = = lim
*2 x\l + yll-x2) I->0 x*H + Jl-x2)
1 1 = lim- , I ->0 l + \ / l - x 2 2
..., ,. Jx + 2-2 ,. iyix + 2 -2)(λ/χ + 2 +2)(Vx2 + 5 + 3 ) 111) lim = — = l i m — — = = — = - = ~2 ylx2 + 5 - 3 ^ 2 (V*2 + 5 + 3 )(λ/χ2 + 5 -3)(λ/χ + 2 + 2)
,. ( x - 2 ) ( V x 2 + 5 + 3 ) = 11m
*- 2 (JC2 - 4 ) ( V x + 2 + 2 )
λ/χ2 + 5 + 3 6 3 = lim - > 2 ( x + 2 ) ( V x + 2 + 2 ) 16 8
. , ,. λ/χ - 2 ,. ( λ / χ - 2 ) ,. v i - 2 iv) l im— = lim = lim
* ^ " x 2 - 5 x + 4 ( x - l ) ( x - 4 ) ^ 4 ( x - l ) [ ( V x ) 2 - 2 2 ]
λ / χ - 2 1 ™ ( x - l ) ( V i + 2 ) ( V i - 2 )
1 1 1 = lim = = — (χ-1)(λ/χ + 2) 12
135
5. ΐ ) Γ ι α χ < 1 είναι / ( χ ) = χ , οπότε lim / ( χ ) = 1. χ->Γ
Για χ > 1 είναι / ( χ ) = 5χ, οπότε lim / ( χ ) = 5. χ - > 1 +
Επομένως δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο 1.
ii) Για χ < - 1 είναι / ( x ) = - 2 χ , οπότε lim / ( χ ) = 2 . *->-Γ
Για χ > - 1 είναι / ( χ ) = χ2 +1, οπότε lim / ( χ ) = 2 . *->-ι+
Επομένως l i m / ( x ) = 2 . *-•-1
6. Έχουμε:
•Λ ι * ημ 3 * ο,· ΠΜ3* , , , ι) l i m — — = 3 lim—11—— = 3 -1 = 3 *->° χ 3χ
ii) = χ χ συνχ,
= l i m ^ ^ · l i m — — = 1 ·1 = 1 *->° χ *-»<> συνχ
' ημ4χ
iii) lim ε ^ Χ = lim w 0 ημ2χ ημ4χ 1
νημ2χ συν4χ
i v ) l i m f — = limf 1 χ J x^oy
= 2 lim x-*0
4x 1 ημ2χ συν4χ " ^ Γ
, , = 2 = 2 1 1
ημ* χ
: 1 _ l i m W = 1 _ 1 = 0 * - > 0 χ
ν , = l i m B H i = 11 = 1 *-»° χ + χ χ *-»°χ +1
vi) lim ημ5χ = lim
ημ5χ(·\/5χ + 4 + 2) χ~*° V5χ + 4 - 2 χ_>0 5Χ + 4 - 4
= lim *1^* -lim(V5x + 4 +2) = 1-4 = 4 . χ-»ο 5jc
7. i) Έχουμε,
lim-ημ2χ
lim 1 - συν χ
^-«Ι + συνχ *->* l + συνχ
ii) Έχουμε,
,. (1 - συνχ)(1 + συνχ) ,. ,, „ = lim- = lim(l - συνχ) = 2 .
(1 + συνχ)
,. 1 - σ υ ν 2 χ ημ 2χ ,. ημτ lim = l im—— = lim ' = 0 ημ2χ *->° 2ημχσυνχ *> 0 2συνχ
136
iii) Έχουμε ,
l . m - S t ^ l i m g = l i m — - — = —. *-*° ημ2χ »->0 2ημχσυνχ 2συνχ 2
8. i) Είναι , l i m ( l - x 2 ) = l και lim(l + x 2 ) = l , οπότε από το θ ε ώ ρ η μ α χ->0 χ >0
της παρεμβολής είναι lim / ( χ ) = 1. *->0 *
χ->0* ' *->0 (jyV 2 χ χ->0 '
i i )Ομοίως , l i m ( l - x 4 ) = l και lim — = 1, οπότε l i m / ( x ) = l .
9. Είναι :
l i m / ( x ) = 10 <=> lim f(x)= lim / ( χ ) =10 *->3 v->3~ x->}*
<=> lim (2αχ + /?) = lim (αχ + 3β) = 10 *->3 *->3+
<=> 6a + β = 3a + 3/2 = 10
' 6α + β = 10
^ [3α+3^ =10
4 „ „ <=>« = — και β = 2 . 3
1.5 Β' ΟΜΑΔΑΣ
1. i) Γ ια χ = 2 μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος . Με το
σχήμα του Horner βρίσκουμε x 3 - x 2 - x - 2 = ( x - 2 ) ( x 2 + χ + 1 ) , οπότε
,. χ 3 - χ 2 - χ - 2 ,. ( x - 2 ) ( x 2 + χ + 1) ,. χ 2 + χ + 1 7 lim = lim = l im— = — *- 2 χ 3 - 8 ~ 2 ( χ - 2 ) ( χ 2 + 2 χ + 4) *->2 χ + 2 χ + 4 12
. χν + 1 — (ν + 1)χ + ν χν+1 - w r - x + v χ ( χ ν — 1) — ν(χ — 1) ιι) lim = lim = hm— - - =
*->ι JC — 1 x - 1 *-*Ι x - 1
(x - l)[x(xv~' + xv~2 + · · • + χ +1) - v]
*->' x - 1
= limlx(xv l +xv~2 η hx + l ) - v ] = v - v = 0 x - » l
iii) Θέτουμε -Jx = t, οπότε
137
l i m — * * — = l i m - ^ — — = l i m — ^ + 1 ^— (Σχήμα Horner) + 2 ,_>l / + / - 2 ( / - 1 ) ( / 2 + / + 2)
/ + 1 2 1 = lim— = — = —. '-»· /2 + / + 2 4 2
2. i) Έχουμε:
. , ^ ylx2 +10x + 25 V(*+ 5 ) 2 ί - 1 ' αν x < - 5
/ 0 0 = -x + 5 x + 5 [ 1, αν x > - 5 '
οπότε
lim / ( x ) = - l και lim / 0 0 = 1. x->-5 x-»-5+
Επομένως δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο 5.
ί ΐ )Γ ια χ < 5 είναι:
x l x - 5 1 + x 2 - 4 χ - 5 - ( χ - 5 ) + χ 2 - 4 χ - 5 χ 2 - 5 χ / (Χ) = ^ = 7 = Γ" = Χ · χ-5 χ-5 χ-5
Επομένως lim f(x) = lim χ = 5 . χ-»5~ .χ->5~
i i i )Για χ > 5 είναι:
| χ - 5 | + χ 2 - 4 χ - 5 χ—5 + χ 2 —4χ —5 χ 2 - 3 χ - 1 0 . / ( χ ) = ί ! = = = χ + 2 χ - 5 χ - 5 χ - 5
Επομένως lim / ( χ ) = lim ( χ + 2 ) = 7 . χ->5+ χ->5*
iv) Θέτουμε Vx = / , οπότε έχουμε
x->l Jx - \ '->1 / - 1 »"•' / - 1
= lim/(/2 + / + 1) = 3 . /-»1
3. i) Είναι α = —-— και β = ζφθ = -ΠΗ^- οπότε συν# σννθ
lim (α - β) = lim ί — - j j m 1
e->ir/2 °->*<\σ\)νθ συχθ β->χΐ 2 συνΟ
,. 1 - η μ 2 0 συν0 = lim — = lim = 0 . β^πΐι συν6>(1+ημ0) 0->*/21 + ημ0
138
ii) lim (α2 - β 1 ) - lim (1) = 1 θ->χΙ2 θ->πΙ 2
ο iii) lim — = lim (ημ#) = 1.
β-»*/2 a
4. i) Θέτουμε g(x) = 4 / ( x ) + 2 - 4 x , οπότε f i x ) =—g(x) + x~— 4 2
Επειδή l img(x) = - 1 0 , έχουμε *->1
lim f(x) X - > 1 =5s(7«M«-|)= i (-1 0 > + 1- l=-2·
fix) ii) Θέτουμε g(x) = - , οπότε / ( x ) = ( x - l ) g ( x ) , x * l . x - 1
Επειδή l img(x) = 1, έχουμε *-•1
l i m / ( x ) = l im(x- l ) - l img(x) = 0-1 = 0 . χ—•! x—>1 x—>1
1.6 Α ΟΜΑΔΑΣ
1. i) Επειδή lim(x4 + 3x2) = 0 και x 4 + 3 x 2 > 0 για x * 0 , είναι
lim = +oo. Επειδή, επιπλέον, l im(x+5) = 5 , έχουμε *-»° x + 3x *->°
x + 5 lim— >-*° x4 +3x
= lim] x-+0|
(x + 5). x4 +3x2
= +00
ii) Επειδή l i m 4 ( x - l ) = 0 και 4 ( x - l ) > 0 κοντά στο 1, είναι * - • 1
lim-*-»1 ίγ -( x - 1 ) • = +οο. Επειδή, επιπλέον, lim(2x - 3) = - 1 < 0 , έχουμε
.. 2 χ - 3 ,. lim = lim ( 2 χ - 3 ) · 1
4(χ — 1) *-»> 4(χ -1)
iii) Η / στο πεδίο ορισμού της 1R — {0} γράφεται
' 2
/(*) = -, αν χ < 0
0, αν χ > 0
οπότε έχουμε
139
_ _ _
lim / ( χ ) = lim — = -oo, ενώ lim f(x) = 0 . *->0 x->0~ X x-+0*
Επομένως δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο χ0 = 0 .
2. i) Η / σ τ ο πεδίο ορισμού της R — {— 1,1} γράφεται :
3 4 3(x + 1 ) - 4 3 χ - 1 f(x) = l - χ 1 - χ 1 - χ 1 - χ 2
Επειδή χ0 = 1 περιοριζόμαστε στο υποσύνολο (0,1)«^>(1,+οο) του πε-δίου ορισμού τ η ς /
• Αν x e ( 0 , l ) έχουμε 1 - χ 2 > 0 και l i m ( l - x 2 ) = 0 , οπότε ι->Γ
• = +οο. Επιπλέον είναι lim (3χ -1 ) = 2 > Ο, οπότε έχουμε lim : *->r 1 - χ '
lim ^Χ } = lim *-»r 1 - χ *-»Γ
(3χ-1)-1 - χ
= +00 .
• Αν χ e (1, + οο) έχουμε 1 - χ 2 < 0 και l i m ( l - x 2 ) = 0 , οπότε * - » 1 +
1 lim -*-»ι+ 1 - χ 2 : -οο. Επιπλέον είναι lim (3χ -1 ) = 2 > Ο, οπότε
,. 3 χ - 1 lim = lim
χ *-»ι* (3χ — 1) 1
1 - χ 2 - - 0 0 .
Επομένως, δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο x0 = 1.
ii) Η / στο πεδίο ορισμού της [R — {()} γράφεται :
/(*) = χ + 3 χ - 2
2 > Χ < 0
χ 2 + 3 χ - 2 χ > Ο
• Αν χ < 0 έχουμε - χ 2 < 0 , l i m ( - x 2 ) = 0 * - > 0 "
lim (χ2 + 3 χ - 2 ) = - 2 < 0 , οπότε lim
lim / ( χ ) = lim χ->0" *->0
*-*0 - χ
(χ2 + 3 χ - 2 ) — ί — - χ
και αρα
= +οο .
και
140
Αν χ > 0 έχουμε x 2 > 0 , l i m x 2 = 0 και l i m ( x 2 + 3 x - 2 ) = - 2 < 0 ,
οπότε lim —— = +00 και άρα *->ο* χ 1
lim / ( χ ) = lim x-*0+ ι->0*
* - > < ) •
(χ2 +3Χ-2 ) · -^ -
*->0+
= —00 .
Επομένως, δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο χ0 = 0 .
iii) Η / σ τ ο πεδίο ορισμού της R - { 0 } γράφεται:
1 / ( x ) = x 2 | 1 + - γ | = x2 ' * + 1 .3 . Λ χ + 1
• Αν χ < 0 έχουμε χ < 0 , lim χ - 0 και lim (χ +1) = 1 > 0 , οπότε *->0~ *->0~
lim — = -οο και άρα *-><Γ Χ
lim / ( x ) = lim ( χ 3 +1 ) ·— = -ΟΟ .
• Αν χ > 0 έχουμε x > 0 , lim χ = 0 και lim(x3 +1) = 1 > 0 , οπότε jr-»0+ jc-»0+
lim — = +οο και άρα *->ο+ χ
lim f (χ) = lim χ_>0+ (χ3 +1).1 = +00.
Επομένως, δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο χ0 = 0 .
1.6 Β' ΟΜΑΔΑΣ
1. Έχουμε:
/(*) = - 9 - 9
xVx — 2χ - 4-Jx + 8 χ ( λ / χ - 2 ) - ( 4 λ / χ - 2 )
- 9 1 - 9
( χ -4 ) (λ /Χ-2) (Λ/Χ-2)2 -Jx+ 2
Το πεδίο ορισμού τ η ς / ε ί ν α ι το σύνολο Α = [0,4)<^(4, + οο).
Για xeA είναι (·>/χ-2)2 > 0 και l im(Vx-2)2 = 0 , οπότε
ι . ι
"Γ ...
1 - 9 9 , lim—•= = +00. Επιπλέον είναι l i m - 7 = — = — , οποτε χ_>4 (V* - 2 ) χ ^ * λ / χ + 2 4
lim / ( χ ) = lim χ->4 χ-»4
ι - 9
( V x - 2 ) 2 V i + 2
2. ί) Έχουμε 1ΐηισυνχ = 0 και συνχ > Ο για x e χ~
χ—> 2
lim —ί— = -κ» . Επιπλέον είναι lim (ημχ) = 1, οπότε συν*: , »"
Λ ΐ οποτε
lim (εφχ) = lim ημχ· συντ
= +00 .
Ομοίως, lim (συνχ) = Ο και συνχ: < Ο γ ια χ e —, π , οποτε 2 1
lim = -00 . Επιπλέον είναι lim (ημχ) = 1, οπότε ι* συνχ **
lim (εφχ) = lim ημχ·· συνχ
Επομένως, η / ( χ ) = εφχ δεν έχει όριο στο
ii) Έχουμε lim (ημχ) = Ο και η μ χ > 0 για x e 0,— χ->ο* I 2
οπότε
lim = +00. Επιπλέον είναι lim (συνχ) = 1, οπότε *-»ο+ ημχ χ-*ο+
lim σφχ = lim χ->0+ χ-*0*
συνχ· ημχ
= +00 .
Ομοίως, lim (ημχ) = Ο και η μ χ < 0 για x e l - — , 0 , *-><γ \ 2 )
lim —ί— = -οο. Επιπλέον είναι lim (συνχ) = 1, οπότε *-><>- ημχ *->ο~
οποτε
lim (σφχ) = lim χ-*0~ χ-*0~
συνχ-ημχ.
= -οο.
Επομένως, η / ( χ ) = σφχ δεν έχει όριο στο 0.
142
illllll 3. Έχουμε
l im(x2-1) = 0 και lim[(A-l)x2 +x-2] = λ-2 . x->\ x->l
— Αν λ-2>0 δηλαδή αν λ>2, τότε lim / ( x ) = +oo και *->1*
lim / 0 : ) = -οο, οπότε δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο 1. χ—>1-
— Αν λ - 2 < Ο δηλαδή αν λ <2, τότε lim f (x) = -οο και *->ι+'
lim / ( x ) = +οο , οπότε δεν υπάρχει όριο τ η ς / σ τ ο 1. o r — > 1 —
α , -, γ, \ χ 2 + χ - 2 (χ-1)(χ + 2) χ + 2 — Αν λ = 2, τοτε / ( χ ) = — - = - — - = με χ * 1 , χ - 1 (χ-1)(χ + 1) χ + 1
3 οπότε l i m / ( χ ) = — e IR. *->ι 2
Επομένως το l im/ (x) υπάρχει στο IR μόνο αν λ = 2. χ—>1
Ομοίως, έχουμε:
limx = 0 και lim(x2 +2χ + μ) = μ . Λ->0 χ->0
— Αν μ > Ο, τότε lim g(x) = +οο και lim g(x) = - w , οπότε δεν υ-*->0+ χ—yO_
πάρχει όριο της g στο 0.
— Αν μ < Ο τότε lim
πάρχει όριο της g στο 0.
— Αν μ < Ο τότε lim g(x) = -οο και lim g(x) = +αο, οπότε δεν υ-χ->0+ λ->0~
χ^ + 2 * — Αν μ = 0 , τότε g(x) = = x + 2 με χ*0, οπότε
χ l img(x) = 2 e IR . χ->0
Επομένως, το limg(x) υπάρχει στο IR μόνο αν μ = 0 .
χ — 4 4. i) Θέτουμε g(x) = — — . Επειδή limg(x) =+οο, είναι g ( x ) ^ 0 κο-
/ ( χ ) *-ι ντά στο 1. Επομένως
/ ( χ ) = ———, κ ο ν τ ά σ τ ο ΐ . g(x)
Επειδή l im(x-4) = - 3 < 0 και limg(x) = +oo έχουμε Λ->1 χ—>1
143
l i m / ( χ ) = lim——-or-l g ( X )
/ ( x )
= linJ ( χ - 4 ) — ϊ — Ά g(x)
= 0 .
ii) Θέτουμε g(x) = - , οπότε / ( χ ) = (x+2)g(x ) κοντά στο 1. χ + 2
Επειδή l im(x+2) = 3 > 0 και l i m g ( x ) = -οο, έχουμε: χ-+1 χ-*\
l im / (Χ ) = lim|(x + 2)g(x)] = -οο χ->\ χ-+1
i i i )Θέτουμε g(x) = / ( x ) ( 3 x 2 - 2 ) , οπότε / ( χ ) = τ ^ γ ~ Τ κοντά στο 1.
1 Επε ιδή l img(x) = +<χ> και lim *-»' 3χ - 2
3χ - 2
1 > 0 , έχουμε:
l i m / ( Χ ) χ - > 1
1
3x2 - 2 = +οο.
1.7 Α'ΟΜΑΔΑΣ
1. i) l im( -10x 3 + 2 χ - 5 ) = l i m ( - 1 0 χ 3 ) = - 1 0 lim χ 3 = -οο Χ->-<*> χ—>+co x-y+ao
ii) lim (5x3 - 2x+1) = lim (5x3 ) = 5 lim x 3 = -oo
iii) lim — ρ — = lim 4 r = 0 . *-+-<» x + 8 *-»-«> x
i
. X 4 - 5 X 3 + 2 X - 1 .. x4 ,. iv) lim ; — : — = lim — = lim χ = +oo
v) lim
Χ-»·Η» χ 3 - 3 X + 2
2x3 + x - l
JT-->+oO X-->+oO
= lim * - > + o o 4^3 — + 2 *->+°°
^ 2 x 3 ^ 2
.. ,. χ + 2 χ ,. 1 vi) lim —- = lim — - = lim — = 0
X_>+0O X - + + 0 O χ—>+0O j £ 9
vii) lim * - » + 0 0
5 - 4 , ' + 2 * - 5 x 2 +1 X+2J *-*+- (x2 + l ) ( x + 2 ) " « x 3 + 2 x 2 + x + 2
- 4χ2
= l i m — jr++«
= lim — = 0 .
144
•Ii viii) lim
f x2 +5 χ 2 +3 . 2x2 + 2x + 10 ,. 2x2
lim = lim —— = 2 . *-»+«> x2+2x x2 χ x + 2 V
2. i) Επειδή Λ = 4 - 4 · 4 · 3 < 0 το πεδίο ορισμού της
/ ( x ) = V4x2 - 2 χ + 3 είναι το R . Περιοριζόμαστε στο διάστημα (0, + οο) όπου η / γ ρ ά φ ε τ α ι :
/ ( x ) = V4χ2 - 2 χ + 3
Επομένως
' Α 2 3 ^ 4 — + v x x /
, [ γ ~ 2 3 - γ 2 γ = | x | J 4 — + ~ T = X J 4 — + — ·
V χ χ V χ χ
lim / ( χ ) = lim Γ Ί Γ ί 4 — + ~ τ ν χ χ
= +00.
ii) Οι ρίζες του τριωνύμου χ 2 + 1 0 χ + 9 είναι - 9 και - 1 , οπότε το
πεδίο ορισμού της / ( χ ) = Vx2 +10χ+9 είναι Α = (-οο,-9]ν^[-1,+οο).
Περιοριζόμαστε στο διάστημα (-οο,-9] όπου η / γ ρ ά φ ε τ α ι :
/ ( x ) = Vx2 +10x + 9^jx2 , 10 9 1 + — + — χ χ
Επομένως
lim / ( χ ) = lim Ι ίο "'V Τ"
, 10 9 1 + — + —
χ χ
= +00 .
iii) Το πεδίο ορισμού της / ( χ ) = ·\/χ2 +1 +Vx2 - 3 χ + 2 είναι
Λ = (-οο,1]u[2,+οο). Περιοριζόμαστε στο διάστημα [2,+οο) όπου η / γράφεται:
Επομένως
lim / ( χ ) = lim 3 2 x + 7 "
: +00 .
145
iv) To πεδίο ορισμού είναι το σύνολο A = (-°ο,ρ,]U[p 2 ,+°°) , όπου
ρ,, ρ2 οι ρίζες της εξίσωσης (χ + α)(χ + β) = 0 , που είναι οι αριθμοί -α,- β. Άρα, η / ορίζεται σε διάστημα της μορφής (-<χ>,γ) με γ < 0 . Περιοριζόμαστε στο διάστημα αυτό, οπότε έχουμε:
/(χ)=^χ1+(α + β)χ + αβ-χ=\χ\Ιΐ+Ξ±£+3ξ.-χ V χ χ
Γ α + β ~αβ = - χ , 1 + - + - ^ - + 1 -V χ χ 2 .
Επομένως
lim / ( * ) = lim -χ Ί ι + £ ± £ + Μ Μ χ χ
+1 / _
= +00
ν) Το πεδίο ορισμού της / ( x ) = 2χ-1-^4χ2 - 4 χ + 3 είναι το R . Περιοριζόμαστε στο διάστημα (0,+οο), οπότε η / ( χ ) γράφεται:
\2 /-λ „2 / ( χ ) = (2Χ-1) 2 ~(4Χ 2 -4Χ+3) = - 2
2Χ-1+λ/4Χ2-4Χ + 3 2Χ-1 + Λ/4Χ2-4Χ+3
- 2 - 2
" - i - ' f r ? f - r f -4 3 " + _ γ χ χ
Επομένως
) = lim Γ— lim / ( χ ) = lim | — Ι lim j r - > + o o Jt—>+<ol j J χ ->+<30
- 2
.i-jn χ v χ
= 0 - - 2
2 - 0 - ^ 4 - 0 + 0 = 0 .
vx 2 + ι 3. i) · Το πεδίο ορισμού της / ( χ ) = χ
μαστέ στο διάστημα (0,+αο), οπότε
είναι το R*. Περιοριζό-
f(x) = χ χ
Επομένως lim / ( χ ) = 1.
1 +
- f ?
146
ii) · To πεδίο ορισμού της f(x) = y/x2 +1 - χ είναι το R . Περιορι-ζόμαστε στο διάστημα (0,+οο), οπότε
, (V*2 + 1 - x X V x 2 +1 + χ) _ χ 2 + 1 - χ 2
ί . χ +1 + χ
ί" ν χ J + χ
XJ1 + — + χ χ| ' i F ?
Επομένως lim / ( χ ) = 0.
f*•? + 1
iii) · Το πεδίο ορισμού της / ( χ ) =
μαστέ στο διάστημα (-<»,0), οπότε
+ 1 είναι το R*. Περιοριζό-
/(*) =
Επομένως lim / ( χ ) = - 1 .
ιΗ'*?) ~ί ι + λ
iv) · Το πεδίο ορισμού της / ( x ) = Vx2 + 1 + χ είναι το R . Περιορι-ζόμαστε στο διάστημα (-<»,0), οπότε
/ ( Χ ) = (Vx2 + l + x)(Vx2 +1 - χ)
Λ χ +1 - χ *2 | 1 + - 4 - 1 - Χ
-χΛ1 + -τ-χ -Χ ( Β + 1
Επομένως lim / ( χ ) = 0 .
r~i— ν) Το πεδίο ορισμού της / ( x ) = £ l l f = ± i ε ί ν α ι
x - V x 2 - 1 = ( - ^ , -1 )^ (1 ,+0° ) . Περιοριζόμαστε στο διάστημα (1, + οο), οπότε
147
/(*) = ( x - V x 2 + l)(x + Vx2 + l ) (x+Vx 2 - 1 ) (- l )(x + VxJ - 1 )
( x - V x - l ) ( x + V x 2 - l ) ( x + V x +1) l-(x + Vx2 +1)
1+f? l ' + v : f £
{1+/+J) '+f~r Επομένως,
lim / ( x ) = lim 1 + 1 -
. i+iF?, 1 + 1 1 + 1
= - 1 .
vi )To πεδίο ορισμού της / ( χ ) = xVx2 + 2 χ + 2 - χ 2 είναι το IR . Πε-
ριοριζόμαστε στο διάστημα (Ο, + οο), οπότε
ρ τ τ γ τ τ ... . . ( ^ + 2 , + 2 - ^ + 2 ^ 2 + , )
Vx2 +2χ + 2 + χ)
= χ- 2 χ + 2 2 + 1
λ*
Λ / Χ 2 + 2 χ + 2 +
Επομένως, lim / ( χ ) = +οο.
= χ-2 + 1
( f i ^ n ι, 2 2 , H + - + — + ι χ χ
1.7 Β' ΟΜΑΔΑΣ
1. ί) Περιοριζόμαστε στο διάστημα (-οο,Ο), οπότε
Επειδή
lim ( - χ ) - +00 και lim = 1 - / « ,
148
έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
— Αν 1 - μ > 0 δηλαδή μ <1, τότε l i m / ( x ) = +oo Χ—>—<Λ
— Αν 1 - μ < 0 δηλαδή μ > 1, τότε lim / ( * ) = -οο Χ - > - ο θ
— Αν μ = \, τότε / ( Χ ) = Λ]Χ2 + 1 + * , οπότε
ι· , , ν .. , / 2 · , ν ,. (ν* 2 +1 +χ)(\χ2 +1 - χ ) lim / ( x ) = lim ( \ χ +1 + χ) = lim ι χ +1 — χ
lim / ί
=====—= lim + χ2 —χ
= lim
( - * )
• I ν = l i m
>ν+' F? + 1
= 0 - = 0 2
ϋ ) Έ σ τ ω / ( * )
— Αν μ = 1, τότε f(x) =
(μ-1)χ3 +2χ2 +3 μχ2 - 5 χ + 6
2χ2 +3 χ2 - 5 * + 6
οποτε
*-»+»> *-»+«> χ2 __ 5χ + 6 *->+» χ2 lim /( . r ) = lim
*->+« X—i
Αν // = 0 , τότε / ( x ) =
2x +3 = lim 2χ2
-χ3 +2χ2 +3 - 5 r + 6
οποτε
lim - x3 + 2x2 + 3 ,. -χ" ,. χ . 3 2
lim — = lim — = +οο. x->+oo _5χ4·6 *-»+*> — 5χ *->+οο 5
— Αν μ Φ 0, 1, τότε
lim f{x) = lim ( / ' "~ ' ) r ?
Χ—>+00 x—>+CO //Χ
_ (/<-!) | + °°, αν // ε (—οο,Ο) (1, + οο)
μ | -οο, αν με (0,1)
2. Περιοριζόμαστε στο (0, + οο), οπότε:
/ ( x ) = v* 2 + 5χ + 1 0 - λ χ = ^ χ 2 ^ 1 + ^ + ^ - λ χ = χ ^ 1 + 1 + 1 2 - - ^ )
149
1,7 Επειδή
lim χ = + 0 0 και lim * - > + o o * - > + ο ο
/ ι \ f I 5 10 .1 j l + _ + . λ \ x x .
= 1 - a .
Έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
— Αν 1 — Α > Ο δηλαδή Α < 1, τότε lim f(x) = +«
— Αν 1—Α<Ο δηλαδή Α > 1 , τ ό τ ε lim / ( * ) = -οο. * - > + α ο
— Αν τέλος Α = 1, τότε:
/ ( x ) = Vx2 + 5 x + 1 0 - x = 5χ + 10
5 + 10
V*2 + 5x+10 + λ"
. 10 5 + —
I , 5 1 0 , 1 + - + - Τ + 1
χ χ FI 1 0 . + 7 + ι
οποτε
lim / ( x ) = Λ=—- = — e R . *->«> v t + 1 2
Ώστε το lim / ( χ ) υπάρχει στο R μόνο αν λ = 1.
3. Είναι
/ ( χ ) χ2 +1 χ + 1
-αχ Λ- β = χ2 + 1 - α χ 2 +βχ-αχ+β
χ + 1
(1-α)χ2 +(β-α)χ + \ + β ~~~ χ + 1
+ οο, αν α < 1
— Αν α ^ 1, τότε
lim / ( χ ) = lim ^ α^Χ = l i m ( l - a ) x = -%->+« χ χ->+π [-οο, αν α > 1
— Αν α = 1 και α * β , τότε
lim / ( χ ) = lim — — — = / ? - α * 0 . *—>+οο * - > + 0 0
150
fill — Αν α = β = \, τότε lim f(x)^ lim -1^1 = 0 .
Ώ σ τ ε
•* •+<*> jr—>+oo j^· _j_ |
lim f(x) = 0 <=> a = β = 1.
4. i) To πεδίο ορισμού της f(x) = I x2 - 5 x | + x x2 -3x+2
είναι το IR —{1,2>. Πε-
ριοριζόμαστε στο διάστημα (-οο,Ο), οπότε
χ 2 - 5 χ + χ Χ1-ΑΧ /(*) = χ -3χ+2 χ2 -3χ + 2
Επομένως
lim f(x) = lim = 1
Ι 2 ii) To πεδίο ορισμού της / ( * ) = ε ί ν α ι τ ο R Περιορι-
ζόμαστε στο (-οο,Ο), οπότε
"Ί
χ+λ[Α + 3Χ2
/(*) = • 1 1 + — + 5 - X - χ .
χ 1 + - 7 + 5 - χ jc
"xi
[\ χ χ
+3
, 1 5 , 1 + — + 1 Χ Χ
JP1) I + 3 - 1
Επομένως lim / ( * ) = lim V . + 4 - ί + , χ χ
+ 3 - 1 ϊ χ
1+1 2
Λ/3-1 ~ Λ/3-1 2(Λ/3+1)
= λ/3+1.
151
iii) Περιοριζόμαστε στο διάστημα (!, + <»), οπότε
Επομένως
/ ω = £ ΐ ζ £ = £ ί ϊ ^ ) = , . χ - 1 χ - 1
lim / ( χ ) = lim χ = +<». Χ—••Η® Χ->+00
1.8 Α' ΟΜΑΔΑΣ
1. i) Η / δεν είναι συνεχής στο χ0 = 1, αφού
2 = lim / (χ) Φ lim / ( χ ) = - 1 χ-»Γ χ->1+
Στα υπόλοιπα σημεία του πεδίου ορισμού της, όπως φαίνεται από το σχήμα, η / ε ί ν α ι συνεχής.
ii) Η / δεν είναι συνεχής στο 1, αφού l im/ (x ) = 2 * /(1) = 3 . Στα
υπόλοιπα σημεία του πεδίου ορισμού της, όπως φαίνεται από το σχήμα, η / ε ί ν α ι συνεχής.
2. i) Είναι:
lim / ( x ) = lim(x2 +4) = 8, lim / ( x ) = l i m x 3 = 8 και / ( 2 ) = 8 , x—>2~ x->2~ x->2+ x->2+
οπότε l i m / 0 ) = / ( 2 ) . x->2
Επομένως η / ε ί ν α ι συνεχής στο χ0 = 2.
ii) Είναι:
l i m / ( x ) = lim(x2 +1) = 2 , lim / ( x ) = lim -Jl + χ = 2 και / (1) = 2, jr->r χ-»Γ Χ- >]' x->l +
οπότε lim f{x) = / ( 1 ) . x->l
Επομένως η / ε ί ν α ι συνεχής στοι .
. . . . Γ - , . . χ 2 + x - 2 (x - l ) (x + 2) ι ι ι )Για χ φ-2 ισχύει / ( x ) = = — = ( χ - 1 ) , χ+2 χ+2
οποτε lim fix) = l im(x - l ) = - 3 = / ( - 2 ) . χ->-2 χ-»-2
Επομένως η / ε ί ν α ι συνεχής στο x0 = - 2 .
152
Ill:
3. i) Η / ( χ ) γράφεται / ( χ ) =
2 χ
2 x \
2 9
X
X< - ι
- l < x ; 1.
x> 1
Στο διάστημα (-1,1) η / ε ί ν α ι συνεχής ως πολυωνυμική συνάρτηση ενώ στα διαστήματα (—οο, — 1) και (1, + οο) η / ε ί ν α ι συνεχής ως ρητή συνάρτηση. Στο χ0 = - 1 έχουμε:
lim f ( χ ) = lim — = - 2 , lim / ( x ) = lim 2x = 2 και / ( - 1 ) = 2 . χ—»—1~ χ—>—1 Χ χ—•-1+ χ —1+
Επομένως η / δ ε ν είναι συνεχής στο - 1 . Στο χ = 1 έχουμε:
lim / ( x ) = lim 2x = 2 , χ —>1 — χ—>1"
lim / (χ) = lim — = 2 και ϊ-»1+ ί->1+ χ
/(1) = 2.
Επομένως η / είναι συνεχής στο 1. Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα.
ίί)Για χ φ 2 έχουμε
y 2
Κ 2 | \ / = τ <ν ii
|
/ 1 χ / 1
/ ι / i
0
ι χ
χ - 2 χ - 2
• οπότε η / είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (-οο,2) και (2,+οο), ως πολυωνυμική συνάρτηση. Για χ = 2 ισχύει
lim / ( x ) = l im(x-3) = - 1 * / ( 2 ) = 5 , χ->2 χ—>2
οπότε η / δεν είναι συνεχής στο x = 2 . Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα.
)"
5 )"
5
j v=j^-3/ /
Ο 2i 3 / -1
— j—^ • y x
-3,
153
1111
y
1 y=\x\x^-
1 "7? —
0 / \/ 1 χ
y=y
iii) Στο διάστημα (-οο,Ι) η / ε ί ν α ι συνεχής ως πολυωνυμική. Στο διάστημα (Ι, + οο) η / ε ί ν α ι συνεχής ως λογαριθμική. Στο χ0 = 1 έχουμε:
lim f(x) = lim χ = 1, . r - » l ~ χ —>1—
lim f(x) = lim (In χ) = 0 και *->ι+ *->γ
/ (1) = 0 .
Επομένως η / δεν είναι συνεχής στο χ0 = 1.
Η γραφική παράσταση της / φαί-νεται στο διπλανό σχήμα.
ϊν )Στο διάστημα (-<»,0) η / έ χ ε ι τύπο f(x)=ex και είναι συνεχής.
Στο διάστημα (0,+αο) η / έ χ ε ι τύπο / ( x ) = - x 2 +1 και είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Στο χ0 = 0 έχουμε:
lim / ( x ) = lim e" = 1, x—>0" χ->0~ lim / ( * ) = l im(-x 2 +1) = 1 χ->0* χ +0* και / ( 0 ) = 1.
Επομένως η / είναι συνεχής στο * ο = 0 . Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα.
y
ι. ii i +
ο \ ^ Α χ
4. i) Στο διάστημα (-«>,1) η / ε ί ν α ι συνεχής ως πολυωνυμική. Στο διάστημα (1, + °°) η / ε ί ν α ι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρ-τήσεων. Στο χ0 =1 έχουμε:
lim f ( x ) = lim(2x2 - 3 ) = - 1 , *-»1_ χ-»γ
lim / ( χ ) = lim * - = lim ——Μ—Ξ.+ ̂ = lim(Vx +1) = 2 και " v * - l x->r χ->\
/ (1) = - 1 . χ—I
Επομένως η / δ ε ν είναι συνεχής στο χ0 = 1.
154
ii) Στο διάστημα (-<»,0) η / ε ί ν α ι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συ-ναρτήσεων. Στο διάστημα (0, + αο) η / ε ί ν α ι συνεχής. Στο χ0 = 0 έχουμε:
lim f(x) = lim = 1, lim / ( * ) = lim συνχ = 1 και / ( 0 ) = 1. ι-»0~ *-»0~ χ *->0+ μο*
Επομένως η / ε ί ν α ι συνεχής και στο χ0 = 0 .
5. i )H / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y = ημ« και u = συν*.
ii)H / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y = \nu και u=x2+x +1.
iii)H / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων 1 y = ημ« και u = — .
χ +1
iv)H / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y = e" και w = ημχ .
ν) Η / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y = \nu και u = lnx .
6. Η συνάρτηση f(x) = ημχ:-χ + 1 είναι συνεχής στο [Ο,π] και ισχύει /(1)/(7Γ) = 1(1 — ΤΓ) < 0 , δηλαδή πληρεί τις συνθήκες του θεωρήματος του Bolzano. Επομένως, η εξίσωση / ( * ) = 0 , δηλαδή η εξίσωση η μ χ - χ + 1 = 0 , έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (Ο,π).
7. ί) Παρατηρούμε ότι:
/ ( 0 ) = - ] και /(1) = 1,
οπότε η / ( x ) = x 3 + x - l στο [0,1] πληρεί τις συνθήκες του θεωρή-ματος του Bolzano. Επομένως, η εξίσωση / ( * ) = 0 , δηλαδή η εξί-
σωση χ 1 + * - 1 = 0 , έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (0,1). Άρα, ένας από τους ζητούμενους ακεραίους είναι ο α = 0 .
ii) Ομοίως, ένας από τους ζητούμενους ακέραιους είναι ο α = - 1
iii) Ομοίως, ο α = - 1
iv) Ομοίως, ο α = 1.
155
Ml·
8. Θεωρούμε τη συνάρτηση
/ ( χ ) = α(χ - μ)(χ -ν) + β(χ~ Λ)(χ - ν) + γ(χ - λ)(χ - μ).
Η / ε ί ν α ι συνεχής στο [λ,μ\ και ισχύει / ( Λ ) / ( μ ) < 0 , αφού
/(Λ) = α(Λ-/ / ) (Λ-ν)> 0 και f ( μ ) = β ( μ - λ ) ( μ - v ) < 0 .
Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ένα, του-λάχιστον, ϊ , e(A,/i) τέτοιο, ώστε /(jc, ) = 0 . Ανάλογα βρίσκουμε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, χ2 ε (μ , ν ) τέτοιο ώστε f(x2) = 0 . Επειδή η / ε ί ν α ι δευτεροβάθμιο τριώνυμο, δεν έχει άλλες ρίζες.
9. ί) Έχουμε:
/ ( χ ) = χ 3 +2χ2 -χ-2 = χ1 (χ + 2)-(χ + 2) = (x + 2)(x2 -1)
= (* + 2ΧΧ + 1Χ*-1),
οπότε f(x) = 0 <=> χ = -2 ή χ = -1 ή χ = 1.
Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το πρόσημο τ η ς / σ ε κάθε διάστημα.
Διάστημα (-<*>-2) ( -2 , -1) (-1,1) (!, + <»)
Επιλεγμένος αριθμός χ0
- 3 3 2
0 2
/(*) - 8 5 8
- 2 12
Πρόσημο τ η ς / - + - +
i i )Έχουμε / ( x ) = x 2 (x 2 - 9 ) = χ 2 ( χ - 3 ) ( χ + 3), οπότε
/ ( χ ) = 0<=>χ = 0 (διπλή) ή χ = 3 ή χ = - 3 .
Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το πρόσημο τ η ς / σ ε κάθε διάστημα.
Διάστημα (~°°-3) ( -3 ,0 ) (0.3) (3, + οο)
Επιλεγμένος Αριθμός χ0
- 4 - 1 1 4
/ ( * ο) 112 - 8 - 8 112 Πρόσημο τ η ς /
+ - - +
156
1.8 iii) Έχουμε:
εφ* = ^ θ ϊ = - γ ή χ~~^> αφού χ e (-π, π).
Ο παρακάτω πίνακας δίνει το πρόσημο της σε κάθε διάστημα
Διάστημα Kf) ί 2π πΛ (~Τ~2) (-!·!) (Η) (f·*)
Επιλεγμένος αριθμός χ0
3π 4
Ίπ 12
0 5π Ϊ2
3τγ 4
/(*„) -1-S 2 - £ 2 - ι - f i Πρόσημο της /
- + - + -
ίν) Υπολογίζουμε τις ρίζες της / ( * ) = 0 στο [0,2π] έχουμε ημ* + συνχ = 0 ο ημχ = -συν*
<ϊ> εφ* = -1
3π , Ίπ <=> χ = — η χ — —. 4 4
Ο παρακάτω πίνακας δίνει το πρόσημο της f(x) = ημχ+συνχ σε κά-θε διάστημα:
Διάστημα ο' ι
ι
ί3π Ίπλ U ' 4 J ( Η
Επιλεγμένος αριθμός 0 π 2π
/ ( * ο ) 1 - 1 1
Πρόσημο τ η ς / + - +
10. i) Η συνάρτηση / ( x ) = l n x - l είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [1,e]. Επομένως το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [ / ( 1 ) . / ( 0 1 = [ - ι ο ] .
ii) Η συνάρτηση f(x) = -x+2 είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (0,2) . Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0,2) , αφού lim f(x) = 0 και lim f(x) = 2.
χ->2 χ—>0
157
iii) Η συνάρτηση f(x) = 2ημχ+1 είναι γνησίως αύξουσα και συνε-
χης στο 0, 6)
. (Αφού η συνάρτηση του #(*) = ημχ είναι γνησίως
αύξουσα στο πρώτο τεταρτημόριο). Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [1,2), αφού / ( 0 ) = 1 και l i m / ( * ) = 2 .
iv )H συνάρτηση f(x) = e' +1 είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (-οο,0], Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (1,2], αφού lim f(x) = \ και / ( 0 ) = 2 .
1.8 Β 'ΟΜΑΔΑΣ
1. Η / ε ί ν α ι συνεχής στο χ0 = 2, αν και μόνο αν
lim f(x) = lim / ( * ) = / ( 2 ) ο l i m ( x 2 - κ 2 ) = lim(jct + 5) = 4-x: 2
x-+2 x->2+ x-+2~ x->2+
» 4 - j t 2 = 2*: + 5 = 4 - κ 2
ο κ2 + 2jc + 1 = 0
<=> AC = —1 .
2. Η / ε ί ν α ι συνεχής στο x0 =1, αν και μόνο αν
lim / (x) = l i m / ( χ ) = / ( 1 ) ο lim (α2*2 +βχ-12)~ \ϊτη(σχ + β) = 5 *-»γ *->1+ λγ-»1~ *-»1*
ο α2 + β-12 = α + β = 5.
Από την επίλυση του τελευταίου συστήματος βρίσκουμε
(« = 4, β = 1) ή (α = -3, β = 8).
3. i) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ε ί ν α ι συνεχής στο χ0 = 0 . Συνεπώς,
f/rw ι* f , \ ,· συνχ-1 σ υ ν 2 * - 1 ,. - η μ 2 χ / ( 0 ) = lim f(x) = lim = lim = lim — Λ->ο χ-*ο χ αγ-»ο *(συν+1) χ(1 + συνχ)
= lim j r—»0
(-ημ*) ' η μ * ν 1 1 + συνν
= 0 1 - = 0 . 2
ϋ)Επειδή η g είναι συνεχής στο 0 θα ισχύει
g(0) = lim g(x) = lim g(x) . *->0+ *->0"
158
Επομένως, αρκεί να υπολογίσουμε το lim g(x). *->ο+
Για χ > 0 έχουμε διαδοχικά:
| χ # ( χ ) - η μ χ | < χ 2
- x 2 ^ χ # ( χ ) - η μ χ < χ2
- χ 2 + η μ χ < χ £ ( χ ) < χ 2 + ημχ.
ημχ „ . . ημχ — Χ + -!ϊ—- <, g(x) < Χ +-IS— χ χ
Αλλά
lim x-»0+
' χ + ^ | = 1 και l i J x + ^ | = l ,
οπότε, από το θεώρημα παρεμβολής, είναι lim g(x) = 1. Επομένως χ-, 0*
g(0) = 1.
4. Θεωρούμε τη συνάρτηση
φ(χ) = f (χ)-g(x).
Η ψ είναι συνεχής στο [0,1] και ισχύει φ(ϋ)φ(\) < 0 , αφού
9>(0)==/(0)-g(0)<0 και fKl) = / ( l ) - g ( l ) > 0
Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, θα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, £ e ( 0 , l ) τέτοιο, ώστε ψ(ξ) = 0 , οπότε / ( £ ) = # ( £ ) .
5. α) Στο ανοικτό διάστημα (1,2) η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα
(Χ4 +1)(Χ-2) + (ΑΓ6 + l)(x -1) = 0 .
Επομένως, έχουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση
f(x) = (χ4 + l ) ( x - 2 ) + ( x 6 +1)(χ-1)
έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2). Πράγματι
• Η / είναι συνεχής στο [1,2] και
• Ισχύει / (1 ) / (2 ) = (-2)(65) < 0 .
Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα του Bolzano, η / έ χ ε ι μία, του-λάχιστον, ρίζα στο (1,2).
159
β) Στο ανοιχτό διάστημα (1,2) η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα
(x-2)e* + ( x - l ) l n x = 0
Επομένως, έχουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση
f(x) = (x-2)ex + ( x - l ) l n x
έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2). Πράγματι
• Η / είναι συνεχής στο [1,2] και
• Ισχύει / ( 1 ) / (2 ) = ( -e) In 2 < 0
Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα του Bolzano, η / έ χ ε ι μία, του-λάχιστον, ρίζα στο (1,2).
6. ΐ) Αναζητούμε λύση της εξίσωσης f(x) = g(x) στο σύνολο
(—οο,0)kj(Ο,+οο). Επειδή όμως f(x) = e*>0 για κάθε χ ε Κ ' κ α ι
#(*) = — > 0 με χ > 0 , ενώ #(*) = — < 0 με χ < 0 , η εξίσωση, χ χ
f(x) = g(x), αν έχει κάποια λύση, αυτή θα ανήκει στο (0,+οο). Συνεπώς, αναζητούμε λύση της f(x) = g(x) στο (0,+οο) ή, ισοδύνα-μα, της εξίσωσης / ( x ) - g(x) = 0 στο (0,-κ»).
Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(χ) - f(x)-g(x) = e*—-, xe(0,+oo). Η χ
συνάρτηση αυτή είναι:
• συνεχής στο (0,+οο).
• γνησίως αύξουσα στο (0,+οο). Πράγματι, έστω x1 ;x2 e(0,+oo) με χ, < x 2 . Τότε:
e'1 <eXl
1 1 > — Χ \ x2
οποτε
e'· <e•' ^ 1 „ 1
j j , και αρα e ' < e 2
< χ, χ2 χ, χ2
δηλαδή φ(χ,)<φ(χ2). Επομένως, το σύνολο τιμών της φ είναι το διάστημα (-oo, + oo) = R , αφού lim φ(χ) = -οο και lim ^>(χ) = -κ» . Αρα η φ έχει μια, τουλάχι-χ->0+ *->+<» στον, ρίζα στο (0,+οο). Επειδή, όμως, η ψ γνησίως αύξουσα στο (0,+αο), η ρίζα αυτή είναι μοναδική.
160
Ι Λ
Άρα, η εξίσωση / ( * ) = £(*) στο (0,+αο) έχει ακριβώς μια ρίζα.
ii)Αναζητούμε λύση της εξίσωσης f(x) = g(x) στο (Ο.+οο) ή, ισο-
δύναμα, της εξίσωσης lnx = — στο (0,+αο). *
Θεωρούμε τη συνάρτηση 9>(x) = l n x - — , xe(0,+oo) . Η συνάρτηση χ
αυτή:
• Είναι συνεχής στο (0,+οο).
•Είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+οο).
Πράγματι Έστω x,,x2 e(0,+oo) με x, < χ 2 . Τότε:
In χ, < In χ 1 1 , οποτε
*1 * 2
lnx, < l n x , 1 . 1
1 1 , και άρα lnx, < lnx2 — < x. *2
δηλαδή φ(χι)<φ(χ1).
Επομένως, το σύνολο τιμών της φ είναι το διάστημα (-oo,+oo) = IR , αφού lim <ρ(χ) = -οο και lim φ(χ) = +οο. Άρα η φ έχει μια, τουλάχι-
,-»0+ *-»«> στον, ρίζα στο (0,+οο). Επειδή, επιπλέον, η ψ είναι γνησίως αύξου-σα, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Άρα η εξίσωση f(x) = g(x) στο (0,+οο) έχει ακριβώς μια ρίζα.
7. i) Για κάθε x e [ - l , l ] έχουμε
/ 2 ( * ) = 1 - χ 2 (1)
α) Η εξίσωση / ( x ) = 0 στο [-1,1] γράφεται ισοδύναιια:
(1) / ( x ) = 0 o / (χ) = 0 ο 1 - ϊ = 0 ο χ = - 1 ή χ = 1.
Επομένως, λύσεις της / ( χ ) = 0 στο [ - U ] είναι μόνο οι - 1 και 1.
β) Η / σ τ ο (-1,1) είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται σ ' αυτό. Επομέ-νως, στο (-1,1) η / δ ι α τ η ρ ε ί πρόσημο.
• Αν / ( χ ) > 0 στο (-1,1), τότε από τη σχέση (1) προκύπτει ότι
/ ( x ) = V l - x 2 και επειδή / ( - 1 ) = / ( 1 ) = 0 , έχουμε
161
nil / ( χ ) = ν Γ ν , x e [ - l , l ]
• Αν / ( x ) < Ο στο (-1,1), τότε από τη σχέση (1) προκύπτει ότι
/ ( x ) = —\/l-x2 και επειδή / ( - 1 ) = /(1) = 0 , έχουμε
/ ( χ ) = - > / ΐ - χ 2 , χ e [-1,1]
Η γραφική παράσταση της / σε κά-θε περίπτωση φαίνεται στο διπλανό σχήμα.
y r Τ ' " ' . - 1 \ 0 ) ι
ν / J χ
-'y=f{x>-4 i-χ1
ii) α) Έχουμε
/ ( χ ) = 0 » / 2 ( χ ) = 0 <=>χ2 = 0 <=> χ = 0 .
Επομένως, η εξίσωση / ( χ ) = 0 έχει στο R μοναδική ρίζα την x = 0 .
β) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / σ τ ο (-οο,Ο) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται σ ' αυτό. Επομένως η / δ ι α τ η ρ ε ί σταθερό πρόσημο στο (-<»,0). Έτσι:
— αν / ( χ ) < 0 στο (-<»,0), τότε στο διάστημα αυτό είναι
/ 2 (x) = χ2 ο / ( x ) = χ , αφού x < 0 , ενώ
— αν / ( χ ) > 0 στο (-οο,Ο), τότε στο διάστημα αυτό είναι
/ 2 ( χ ) = χ 2 <=>/(χ) = - χ , αφού χ < 0 .
Επειδή, επιπλέον / ( 0 ) = 0 , έχουμε
/ ( χ ) = χ , για κάθε x e (-οο, 0] ή
/ ( χ ) = - χ , γ ια κάθε χ e (-οο, 0].
Ομοίως, έχουμε
/ ( χ ) = χ , για κάθε x e [ 0,+οο) ή
/ ( χ ) = - χ , γ ια κάθε χ e [ 0,+οο).
Συνδυάζοντας τα παραπάνω, η / έχει έναν από τους παρακάτω τύ-πους:
α) / ( x ) = x , xe IR , β) / ( χ ) = - χ , x e R
162
1.8
γ) / ( * ) =
δ) / ( * ) =
- Χ , χ <0
χ, χ > 0
χ, χ < 0
-χ, χ > 0
ή, πιο απλά, / ( χ ) = | χ |
ή, πιο απλά, / ( χ ) = - | χ | .
Η γραφική παράσταση της / φαίνεται σε κάθε περίπτωση στα παρα-κάτω σχήματα (α), (β), (γ), (δ) αντιστοίχως.
Ο
(α)
(γ)
fy=x
Ο
(β)
(δ)
8. ί)Η εξίσωση της διαγωνίου Ο Β είναι η
^ - 0 = -—— ( x - 0 ) <=> ν = χ . 1 - 0
Ομοίως η εξίσωση της διαγωνίου ΑΓ είναι η
y-0 = -—— (χ-1) <=> y =-χ+]. 0 - 1
ϋ)Η σ υ ν ά ρ τ η σ η / ε ί ν α ι συνεχής στο [0,1] και η γραφική της παρά-σταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο. Επομένως, το σύ-νολο τιμών της είναι υποσύνολο του [0,1]. Είναι δηλαδή 0 < / ( χ ) <, 1 για κάθε χ e [0,1].
163
• Θα αποδείξουμε, πρώτα, ότι η Cf τέμνει την διαγώνιο y = x. Αρ-
κεί ν α δείξουμε ότι η εξίσωση f(x) = x έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα
στον [0,1].
Θεωρούμε την συνάρτηση φ(χ) = f(x) - x η οποία είναι συνεχής στο [-1,1] και ισχύει φ(0) = / ( 0 ) > 0 και φ(1) = / (1) - 1 < 0 .
— Αν 9(0) = 0 , τότε / ( 0 ) = 0 , οπότε η εξίσωση / ( x ) = x έχει ως
ρίζα τον χ = 0 και η C f τέμνει την ΟΒ στο 0(0,0).
— Αν ^(1) = 0 , τότε / (1) = 1, οπότε η εξίσωση / ( χ ) = x έχει ως
ρίζα τον χ = 1 και η C { τέμνει την Ο Β στο >1(1,1).
— Αν 9(0)·9(1) < 0 , τότε, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano,
υπάρχε ι ένα, τουλάχιστον, x0 e (0,1) τέτοιο, ώστε φ(χ0) = 0 , οπότε / ( χ 0 ) = χ0 και η Cf τέμνει την ΟΒ στο σημείο Ρ ( χ 0 , χ 0 ) .
Επομένως σε κάθε περίπτωση η C f τέμνει την ΟΒ.
• Για την άλλη διαγώνιο εργαζόμαστε ομοίως.
9. ί ) Έ σ τ ω Μ (χ, / ( χ ) ) τυχαίο σημείο της C f . Τότε
d = d(x) = J(x-x0)2 + ( / 0 0 - ¼ ) 2 με χ&[α,β\.
ii) Η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [α, β] ως ρίζα αθροίσματος συνεχών συναρτήσεων. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέγι-στης και ελάχιστης τιμής, θα υπάρχει κάποιο x, e [α, β] γ ια το οποίο
η d θα πάρει τη μέγιστη τιμή της και κάποιο χ2 e [α, β] για το οποίο η d θα πάρει την ελάχιστη τιμή της.
164
