Η εξίσωση του Laplace

Η εξίσωση του Laplace

Συμβολίζουμε με Δu τη Λαπλασιανή (Laplacian)

Η εξίσωση του Laplace

Συμβολίζουμε με Δu τη Λαπλασιανή (Laplacian)

1

, 2

, 3

,i i

xx yy

xx yy zz

n

x x

i

u u D

u u u u D

u n D=

+ −

= + + − −

Η εξίσωση του Laplace

Συμβολίζουμε με Δu τη Λαπλασιανή (Laplacian)

1

, 2

, 3

,i i

xx yy

xx yy zz

n

x x

i

u u D

u u u u D

u n D=

+ −

= + + − −

0u =

Eξίσωση του Laplace

Η εξίσωση του Laplace

Συμβολίζουμε με Δu τη Λαπλασιανή (Laplacian)

1

, 2

, 3

,i i

xx yy

xx yy zz

n

x x

i

u u D

u u u u D

u n D=

+ −

= + + − −

0u = u f =

Eξίσωση του Laplace Eξίσωση του Poisson

Η εξίσωση του Laplace

Συμβολίζουμε με Δu τη Λαπλασιανή (Laplacian)

1

, 2

, 3

,i i

xx yy

xx yy zz

n

x x

i

u u D

u u u u D

u n D=

+ −

= + + − −

0u = u f =

Eξίσωση του Laplace Eξίσωση του Poisson

Αν ισχύει Δu = 0, τότε η u καλείται αρμονική (harmonic)

Θεωρούμε το πρόβλημα

στο

στο

u f D

u h D

=

= (§)

Θεωρούμε το πρόβλημα

στο

στο

u f D

u h D

=

= (§)

Θεωρούμε το πρόβλημα

στο

στο

u f D

u h D

=

=

του οποίου η λύση u γράφεται ως το άθροισμα u = v + w, όπου

(§)

Θεωρούμε το πρόβλημα

στο

στο

u f D

u h D

=

=

του οποίου η λύση u γράφεται ως το άθροισμα u = v + w, όπου

0 στο

στο

v D

v h D

=

=

στο

0 στο

w f D

w D

=

=

(§)

Θεωρούμε το πρόβλημα

στο

στο

u f D

u h D

=

=

του οποίου η λύση u γράφεται ως το άθροισμα u = v + w, όπου

0 στο

στο

v D

v h D

=

=

στο

0 στο

w f D

w D

=

=

Επίσης, αν V = 0 στο D , ΔV = f στο D και η W ικανοποιεί

τότε η u = V + W, λύνει το πρόβλημα (§).

0 στο

στο

W D

W h V D

=

= −

(§)

Αντίστοιχα, αν η v είναι μια ομαλή συνάρτηση που συμπίπτει με την h στο D

και η w ικανοποιεί

Αντίστοιχα, αν η v είναι μια ομαλή συνάρτηση που συμπίπτει με την h στο D

και η w ικανοποιεί στο

0 στο

w v f D

w D

= − +

=

Αντίστοιχα, αν η v είναι μια ομαλή συνάρτηση που συμπίπτει με την h στο D

και η w ικανοποιεί στο

0 στο

w v f D

w D

= − +

=

τότε η u = v + w, λύνει το πρόβλημα (§).

Αντίστοιχα, αν η v είναι μια ομαλή συνάρτηση που συμπίπτει με την h στο D

και η w ικανοποιεί στο

0 στο

w v f D

w D

= − +

=

τότε η u = v + w, λύνει το πρόβλημα (§).

Θεώρημα: Η Αρχή του Μεγίστου (ασθενής μορφή)

Αντίστοιχα, αν η v είναι μια ομαλή συνάρτηση που συμπίπτει με την h στο D

και η w ικανοποιεί στο

0 στο

w v f D

w D

= − +

=

τότε η u = v + w, λύνει το πρόβλημα (§).

Θεώρημα: Η Αρχή του Μεγίστου (ασθενής μορφή)

Έστω D ένα φραγμένο, συνεκτικό χωρίο στις δύο ή τρεις διαστάσεις. Έστω

μια συνάρτηση, αρμονική στο D και συνεχής στο . Τότε, τόσο το

μέγιστο όσο και το ελάχιστο της u στο λαμβάνονται στο D.

:u D → D

D

Παρατηρήσεις:

Παρατηρήσεις:

1. Για την αρχή του μεγίστου αρκεί η συνθήκη Δu ≥ 0 (και για του ελαχίστου

Δu ≤ 0), όπως φαίνεται στην απόδειξη.

Παρατηρήσεις:

1. Για την αρχή του μεγίστου αρκεί η συνθήκη Δu ≥ 0 (και για του ελαχίστου

Δu ≤ 0), όπως φαίνεται στην απόδειξη.

2. Από το θεώρημα, έπεται η μοναδικότητα της λύσης του αρχικού προβλήματος.

Παρατηρήσεις:

1. Για την αρχή του μεγίστου αρκεί η συνθήκη Δu ≥ 0 (και για του ελαχίστου

Δu ≤ 0), όπως φαίνεται στην απόδειξη.

2. Από το θεώρημα, έπεται η μοναδικότητα της λύσης του αρχικού προβλήματος.

3. Μπορούμε να δείξουμε συνεχή εξάρτηση της λύσης από τα δεδομένα f και h:

2

( , )( , ) ( , )max ( , ) max ( , ) max ( , )

4s t Dx y D x y Du x y h s t f x y

+

Παρατηρήσεις:

1. Για την αρχή του μεγίστου αρκεί η συνθήκη Δu ≥ 0 (και για του ελαχίστου

Δu ≤ 0), όπως φαίνεται στην απόδειξη.

2. Από το θεώρημα, έπεται η μοναδικότητα της λύσης του αρχικού προβλήματος.

3. Μπορούμε να δείξουμε συνεχή εξάρτηση της λύσης από τα δεδομένα f και h:

2

( , )( , ) ( , )max ( , ) max ( , ) max ( , )

4s t Dx y D x y Du x y h s t f x y

+

όπου τέτοιο ώστε 02 2 ( , )x y x y D+

Το πρόβλημα συνοριακών τιμών (ΠΣΤ) για την εξίσωση του Laplace σε

ένα ορθογώνιο

Το πρόβλημα συνοριακών τιμών (ΠΣΤ) για την εξίσωση του Laplace σε

ένα ορθογώνιο

( ) ( )

0 στο 0, 0,

( ,0) ( ) στο 0,

( , ) 0 στο 0,

(0, ) 0 στο 0,

( , ) 0 στο 0,

xx yyu u a b

u x f x a

u x b a

u y b

u a y b

+ =

=

=

= =

Το πρόβλημα συνοριακών τιμών (ΠΣΤ) για την εξίσωση του Laplace σε

ένα ορθογώνιο

( ) ( )

0 στο 0, 0,

( ,0) ( ) στο 0,

( , ) 0 στο 0,

(0, ) 0 στο 0,

( , ) 0 στο 0,

xx yyu u a b

u x f x a

u x b a

u y b

u a y b

+ =

=

=

= =

Το πρόβλημα συνοριακών τιμών (ΠΣΤ) για την εξίσωση του Laplace σε

ένα ορθογώνιο

( ) ( )

0 στο 0, 0,

( ,0) ( ) στο 0,

( , ) 0 στο 0,

(0, ) 0 στο 0,

( , ) 0 στο 0,

xx yyu u a b

u x f x a

u x b a

u y b

u a y b

+ =

=

=

= =

Συνθήκη συμβατότητας: f(0) = f(a) = 0

Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y).

Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y). Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ,

έχουμε

Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y). Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ,

έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y X x Y y + =

Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y). Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ,

έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y X x Y y + =( ) ( )

( ) ( )

X x Y y

X x Y y

= − = −

Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y). Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ,

έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y X x Y y + =( ) ( )

( ) ( )

X x Y y

X x Y y

= − = −

( ) ( )

(0) ( ) 0

X x X x

X X a

= −

= =

( ) ( )

( ) 0

Y y Y y

Y b

=

=

Έτσι έχουμε δύο προβλήματα ιδιοτιμών:

Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y). Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ,

έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y X x Y y + =( ) ( )

( ) ( )

X x Y y

X x Y y

= − = −

( ) ( )

(0) ( ) 0

X x X x

X X a

= −

= =

( ) ( )

( ) 0

Y y Y y

Y b

=

=

Έτσι έχουμε δύο προβλήματα ιδιοτιμών:

2

, ( ) sin , 1n

n n xX x n

a a

= =

Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, y) = X(x)Y(y). Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ,

έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y X x Y y + =( ) ( )

( ) ( )

X x Y y

X x Y y

= − = −

( ) ( )

(0) ( ) 0

X x X x

X X a

= −

= =

( ) ( )

( ) 0

Y y Y y

Y b

=

=

Έτσι έχουμε δύο προβλήματα ιδιοτιμών:

2

, ( ) sin , 1n

n n xX x n

a a

= =

2

( ) ( )

( ) 0

nY y Y y

a

Y b

=

=

Τα Y(y) δίδονται από

( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n

n b y n b yY y C D n C D

a a

− − = +

Τα Y(y) δίδονται από

( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n

n b y n b yY y C D n C D

a a

− − = +

Y(b) = 0 δίνει D = 0.

Τα Y(y) δίδονται από

( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n

n b y n b yY y C D n C D

a a

− − = +

Y(b) = 0 δίνει D = 0. Συνεπώς, για

2n

a

=

Τα Y(y) δίδονται από

( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n

n b y n b yY y C D n C D

a a

− − = +

Y(b) = 0 δίνει D = 0. Συνεπώς, για

( )( ) sinh , 1n

n b yY y n

a

− =

2n

a

=

Τα Y(y) δίδονται από

( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n

n b y n b yY y C D n C D

a a

− − = +

Y(b) = 0 δίνει D = 0. Συνεπώς, για

( )( ) sinh , 1n

n b yY y n

a

− =

και

1

( )( , ) sinh sinn

n

n b y n xu x y A

a a

=

− =

2n

a

=

Τα Y(y) δίδονται από

( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n

n b y n b yY y C D n C D

a a

− − = +

Y(b) = 0 δίνει D = 0. Συνεπώς, για

( )( ) sinh , 1n

n b yY y n

a

− =

και

1

( )( , ) sinh sinn

n

n b y n xu x y A

a a

=

− =

2n

a

=

Τα Αn επιλέγονται έτσι ώστε να ισχύει ( ,0) ( ) στο 0,u x f x a=

Τα Y(y) δίδονται από

( ) ( )( ) sinh cosh , 1, ,n

n b y n b yY y C D n C D

a a

− − = +

Y(b) = 0 δίνει D = 0. Συνεπώς, για

( )( ) sinh , 1n

n b yY y n

a

− =

και

1

( )( , ) sinh sinn

n

n b y n xu x y A

a a

=

− =

2n

a

=

Τα Αn επιλέγονται έτσι ώστε να ισχύει ( ,0) ( ) στο 0,u x f x a=

Αναπτύσσουμε σειρά Fourier για την f :

1

( ) sin , [ , ]n

n

n xf x f x a b

a

=

=

με

0

2( )sin , 1

a

n

n xf f x dx n

a a

=

1

( ) sin , [ , ]n

n

n xf x f x a b

a

=

=

με

0

2( )sin , 1

a

n

n xf f x dx n

a a

=

1

( ,0) sinh sinn

n

n b n xu x A

a a

=

=

Μια και

1

( ) sin , [ , ]n

n

n xf x f x a b

a

=

=

με

0

2( )sin , 1

a

n

n xf f x dx n

a a

=

1

( ,0) sinh sinn

n

n b n xu x A

a a

=

=

Μια και

έχουμεsinhn n

n bA f

a

=

1

( ) sin , [ , ]n

n

n xf x f x a b

a

=

=

με

0

2( )sin , 1

a

n

n xf f x dx n

a a

=

1

( ,0) sinh sinn

n

n b n xu x A

a a

=

=

Μια και

έχουμεsinhn n

n bA f

a

=

sinh

nn

fA

n b

a

=

1

( ) sin , [ , ]n

n

n xf x f x a b

a

=

=

με

0

2( )sin , 1

a

n

n xf f x dx n

a a

=

1

( ,0) sinh sinn

n

n b n xu x A

a a

=

=

Μια και

έχουμεsinhn n

n bA f

a

=

sinh

nn

fA

n b

a

=

και έτσι

1

( )( , ) sinh sin , [0, ], [0, ]

sinh

n

n

f n b y n xu x y x a y b

n b a a

a

=

− =

( ) ( )

0 στο 0,1 0,1

( ,0) sin( ) στο 0,1

( ,1) 0 στο 0,1

(0, ) 0 στο 0,1

(1, ) 0 στο 0,1

xx yyu u

u x x

u x

u y

u y

+ =

=

=

= =

Παράδειγμα:

( ) ( )

0 στο 0,1 0,1

( ,0) sin( ) στο 0,1

( ,1) 0 στο 0,1

(0, ) 0 στο 0,1

(1, ) 0 στο 0,1

xx yyu u

u x x

u x

u y

u y

+ =

=

=

= =

Παράδειγμα:

1

( )( , ) sinh sin , [0, ], [0, ]

sinh

n

n

f n b y n xu x y x a y b

n b a a

a

=

− =

( ) ( )

0 στο 0,1 0,1

( ,0) sin( ) στο 0,1

( ,1) 0 στο 0,1

(0, ) 0 στο 0,1

(1, ) 0 στο 0,1

xx yyu u

u x x

u x

u y

u y

+ =

=

=

= =

Παράδειγμα:

1

( )( , ) sinh sin , [0, ], [0, ]

sinh

n

n

f n b y n xu x y x a y b

n b a a

a

=

− =

( )( ) ( )

1

sinh (1 ) sin , [0,1], [0,1]sinh

n

n

fn y n x x y

n

=

= −

με1

0

1 , 12 sin( )sin( )

0 , 1n

nf x n x dx

n

== =

με1

0

1 , 12 sin( )sin( )

0 , 1n

nf x n x dx

n

== =

( )( ) ( )

1( , ) sinh (1 ) sin , [0,1], [0,1]

sinhu x y y x x y

= −

Επομένως

με1

0

1 , 12 sin( )sin( )

0 , 1n

nf x n x dx

n

== =

( )( ) ( )

1( , ) sinh (1 ) sin , [0,1], [0,1]

sinhu x y y x x y

= −

Επομένως

( ) ( )

0 στο 0, 0,

( ,0) 2sin( ) sin(4 ) στο 0,

( , ) 0 στο 0,

(0, ) 0 στο 0,

( , ) 0 στο 0,

xx yyu u

u x x x

u x

u y

u y

+ =

= −

=

= =

Παράδειγμα:

( ) ( )

0 στο 0, 0,

( ,0) 2sin( ) sin(4 ) στο 0,

( , ) 0 στο 0,

(0, ) 0 στο 0,

( , ) 0 στο 0,

xx yyu u

u x x x

u x

u y

u y

+ =

= −

=

= =

Παράδειγμα:

( )( )

1

( , ) sinh ( ) sin , [0, ], [0, ]sinh

n

n

fu x y n y nx x y

n

=

= −

( ) ( )

0 στο 0, 0,

( ,0) 2sin( ) sin(4 ) στο 0,

( , ) 0 στο 0,

(0, ) 0 στο 0,

( , ) 0 στο 0,

xx yyu u

u x x x

u x

u y

u y

+ =

= −

=

= =

Παράδειγμα:

( )( )

1

( , ) sinh ( ) sin , [0, ], [0, ]sinh

n

n

fu x y n y nx x y

n

=

= −

με 0

2 , 12

2sin( ) sin(4 ) sin( ) 1 , 4

0 ,

n

n

f x x nx dx n

ά

=

= − = − =

( )( )

( )( ) ( )

2( , ) sinh( )sin

sinh

1sinh 4( ) sin 4 , [0, ], [0, ]

sinh 4

u x y y x

y x x y

= − −

− −

Επομένως

( )( )

( )( ) ( )

2( , ) sinh( )sin

sinh

1sinh 4( ) sin 4 , [0, ], [0, ]

sinh 4

u x y y x

y x x y

= − −

− −

Επομένως