半導体電子工学II

神戸大学工学部 電気電子工学科

小川 真人

11/2/'11 1

1. 復習:基本方程式 キャリア密度の式

フェルミレベルの位置の計算

ポアソン方程式

電流密度の式

連続の式（再結合）

2. pn接合 a. 接合の形成

b. pn接合中のキャリア密度分布

c. 拡散電位

d. 空乏層幅

e. 電流-電圧特性

本日の内容

11/2/'11 2

ポアソン方程式

電子 正孔

キャリア密度の式

電流密度の式

連続の式

基本方程式

x

dx

xd

2

2

Tk

EEnn

B

iF

i exp

Tk

EEnp

B

Fii exp

nqDEqnJ eee pqDEqpJ hhh

txUtxJ

xqt

txnee ,,

1,

txUtxJ

xqt

txphh ,,

1,

11/2/'11 3

（復習） pn接合

11/2/'11 4

拡散電位 の計算 bi

5 11/2/'11

拡散電位

拡散電位

2ln

i

ADBbi

n

NN

q

TkV

iFn EE

Fpi EE

biV

11/2/'11 6

空乏層幅

Si

D

K

qN

dx

xd

2

2

xwxK

qNx n

Si

D 22 0

xwxK

qNx p

Si

A 22 0

pAnD wNwN pnbi wwV

AD

AD

bisipn NN

NqN

VKwww 02

ポアソン方程式

11/2/'11 7

電荷分布・電界分布・電位分布

• 電荷密度分布が既知→ 電位分布を求めたい

p.37~

Poisson方程式を使う

0

2

2

SiK

x

dx

xd

11/2/'11 8

pn接合の内部の電位の計算

x

dx

xd

2

2

Tk

EEnn

B

iF

i exp

Tk

EEnp

B

Fii exp

nqDEqnJ nnn pqDEqpJ ppp

txRtxGtxJ

qt

txnnnn ,,,

1,

txRtxGtxJ

qt

txpppp ,,,

1,

（３D）

ポアソン方程式

電子 正孔

キャリア密度の式

電流密度の式

連続の式

p.65~

11/2/'11 9

空乏層長の計算→ポアソン方程式

0

2

2

SiK

x

dx

xd （1）

pn

pa

nd

WxWx

WxeN

xWeN

x

,0

0

0

（2）

電荷密度分布が右図の 場合を考えよう

eN d

-eN a

-W n W p 0

x

(x)

この形の微分方程式は2年生でやったぞ

11/2/'11 10

境界条件と解法

・ Ｘ＝－Wnで 電界 E=0 ①, 電位 φ ＝０ ②

・ Ｘ＝ Wｐで 電界 E=0 ③, 電位 φ ＝-Vbi+V ④

0

2

2

Si

d

K

eN

dx

xd （3） 0 xWn で

１回積分して①を用いる

n

Si

d WxK

eN

dx

dxE

0

更に積分して②を用いる

（4）

2

02n

Si

d WxK

eNx

（5）

eN d

-eN a

-W n W p 0

x

(x)

11/2/'11 11

境界条件と解（続き）

・ Ｘ＝ Wｐで 電界 E=0 ③, 電位 φ ＝-Vbi+V ④

0

2

2

Si

a

K

eN

dx

xd （6） pWx 0 で

１回積分して③を用いる

更に積分して④を用いる

p

Si

a WxK

eN

dx

dxE

0

（7）

VVWxK

eNx bin

Si

a 2

02 （8）

eN d

-eN a

-W n W p 0

x

(x)

11/2/'11 12

解のまとめ

電界分布(位置ｘの1次式)

電位分布（位置ｘの2次式）

n

Si

d WxK

eN

dx

dxE

0

（4）

p

Si

a WxK

eN

dx

dxE

0

（7）

2

02n

Si

d WxK

eNx

（5）

VVWxK

eNx bip

Si

a 2

02

（8）

電位

-Vbi+V

11/2/'11 13

x=0で電位と電束連続

x=0で電位と電束密度は連続でなければならない

00 xx （9）

dx

xd

dx

xd

00

（5）,(8)と(9)より

pand WNWN

（10） VVWK

eNW

K

eNbi

Si

a

Si

d

pn 2

0

2

0 22

（4）,(7)と(9)より

（11）

11/2/'11 14

空乏層幅

ad

a

d

bisi

nNN

N

eN

VVKw

02

ad

ad

bisi

pn NNNeN

VVKwww

)(2 0

ad

d

a

bisi

pNN

N

eN

VVKw

02

（n側）

（p側）

（教2.23）

（教2.24）

Vが変化したらwはどうなる? Nd, Naが変化したら?

11/2/'11 15

出てきた用語

• ドリフト電流

• 拡散電流

• 連続の式

• 発生・再結合(SRH型)

• pn接合

• ビルト-インポテンシャル

（拡散電位, 内部電位）

• 空乏層幅

• 固定電荷

• キャリア(可動電荷)

イオン化したドナ，アクセプタは動けない

正孔，電子は動ける

ドリフト ・拡散

どうやって求める?

どんな役割?

どうやって求める?

どんな役割?

空乏って何が無いの

11/2/'11 16

2.2 pn接合の電流電圧特性

pp.71~79

11/2/'11 17

ポアソン方程式

電子 正孔

キャリア密度の式

電流密度の式

連続の式

電流-電圧特性の計算

x

dx

xd

2

2

Tknn

B

iFi

exp

Tknp

B

Fii

exp

nqDEqnJ eee pqDEqpJ hhh

txRtxGtxJ

qt

txneee ,,,

1,

txRtxGtxJ

qt

txphhh ,,,

1,

（３D）

11/2/'11 18

電流-電圧特性(1)

(a)熱平衡

(b)順方向

バイアス印加

Tk

eVn

Tk

VVenwn

B

p

B

binp

exp

exp

0

0

ad

da

biSi NNNeN

VVKVw

02

11/2/'11 19

電流-電圧特性(2)

11/2/'11 20

電流-電圧特性(3)

pwx

nndx

xdnqDJ

n

p

n

nxnU

0

n

p

n

ntxn

x

txnD

t

txn

0

2

2 ),(,,

連続の式より

定常状態:

0

t

xn

n

p

n

nxn

dx

xndD

0

2

2 )(0

(拡散電流のみ) (再結合率)

(解くべき微分方程式)

11/2/'11 21

電流-電圧特性(4)

Tk

qVnwn

B

pp exp0 0pnn

00 exp1exp p

n

p

B

p nL

wx

Tk

eVnxn

nnn DL

1exp0

Tk

eVn

L

DeJ

B

p

n

nn

境界条件

解

電子による拡散電流 ①

1exp0

Tk

eVp

L

DeJ

B

n

p

p

p②

11/2/'11 22

1exp0

Tk

eVn

L

DeJ

B

p

n

nn電子による拡散電流 ①

1exp0

Tk

eVp

L

DeJ

B

n

p

p

p

正孔による拡散電流②

1exp1exp

00

Tk

eVJ

Tk

eV

L

pD

L

nDeJJJ

B

s

Bp

np

n

pn

pn

電流-電圧特性(5)

11/2/'11 23

2.8 空乏層の容量とC-V特性

p.46～

11/2/'11 24

電荷と容量

VVNN

NNeKw

NN

NNewNwNQ bi

ad

daSi

ad

dapand

02

2/1

2/1

00

10

12

1

2

bi

biad

da

bi

Si

bida

daSi

V

VC

V

V

NN

NNeK

VVNN

NNeK

dV

dQC

(2.32a)

印加バイアス

11/2/'11 25

空乏層幅、接合容量

空乏層幅 Depletion Width

VVNNe

KW bi

da

Si

112 0

接合容量

junction Capacitance

dV

VdQVC

C-V特性から

ドーピング密度の計算

片側階段接合

dV

CdeKN

Si

d 2

0 /1

12

da NN ただし

11/2/'11 26

電圧を印加した時のバンド図

熱平衡

逆バイアス -1.0 [V]

順バイアス 0.38 [V]

11/2/'11 27

付録

11/2/'11 28

中性半導体のフェルミ準位の計算法

• 中性半導体

–電荷中性条件

（負電荷と正電荷が同じ量）

N,ND≫p,NAのとき （n型半導体）

p,NA≫ N,NDのとき （p型半導体）

それ以外

0 DA NpNn

（電子密度 [m-3]）

（アクセプタ密度 [m-3]） （ドナ密度 [m-3]）

（正孔密度 [m-3]）

11/2/'11 29

pn積一定の法則

（質量作用の法則）

• 熱平衡状態(バイアスなし,光照射なし）

• 非平衡状態（バイアス印加時など） p, nそれぞれのフェルミレベルが異なるので

constn

Tkn

Tknpn

i

B

iFi

B

Fii

2

expexp

22 exp

expexp

i

B

FpFn

i

B

iFni

B

Fpi

i

nTk

n

Tkn

Tknpn

11/2/'11 30

接合前

31

中性 中性

11/2/'11

n型半導体とp型半導体接合直後

11/2/'11 32

途中

11/2/'11 33

接合形成後

空乏層 =電子，正孔がいない

11/2/'11 34

np接合形成終了

11/2/'11 35

pn接合でのキャリア密度分布

11/2/'11 36

pn接合内のキャリア密度 37 11/2/'11

Pn接合内のキャリア分布(2)

11/2/'11 38

出てきた用語

• 半導体

• 伝導帯

• 価電子帯

• バンドギャップ

• 真性半導体

• 外因性半導体

• 中性半導体

• 電荷中性条件

• キャリア密度の式

• フェルミレベル（フェルミ準位）

• pn積

• ポアソン方程式

• ドリフト電流

• 拡散電流

• 電流密度の式

• 移動度

• アインシュタインの式

• フォノン散乱

• イオン化不純物散乱

• 連続の式

11/2/'11 39

自己チェック（1）

フェルミ準位とキャリア密度との関係は?

電荷中性条件とは?

外因性半導体の中性領域（中性半導体)でのフェルミレベルは計算できる?

キャリア密度の式（Boltzmann近似）の導出は?

Boltzmann近似ってなんだっけ?

pn積一定の法則

11/2/'11 40

フェルミ準位とキャリア密度との関係

キャリア密度の式 教（１．６，７）

ni=1.5×1016 [m－3]

(Siの場合)

・大きさを覚えよう。・単位にも注意しよう

相馬p.84,p.95

土屋 FD分布関

数 11/2/'11 41

（付） キャリア密度の厳密な計算

半導体電子工学 II

2/1

2/3

2

*

2

exp1

12

2

1

FN

dE

Tk

EEE

m

dEEfEgn

C

E

B

F

Cn

EFDC

c

c

Boltzmann近似が

成立する領域

Boltzmann近似が

成立しない領域

T=300K

状態密度＝座席の数

分布関数＝席の占有割合

~3kBT

相馬p.84

11/2/'11 42

ポアソン方程式

ポアソン方程式

ガウスの法則 （忘れたら復習しよう）

電磁気I （喜多）

量子物理I（小川）

AD NNnp

K

e

K

x

dx

xd

00

2

2

11/2/'11 43

電流密度の式

電流密度の式（１．６４，６５）

小島6/7

ノート

Eendx

dneDJ nnn Eep

dx

dpeDJ ppp

マイナスに注意

11/2/'11 44

連続の式(粒子数保存)

連続の式 （忘れたら復習しよう） 電磁気I （喜多）

量子物理I（小川）

11/2/'11 45

値を覚えて量の感覚を身につけよう!

記号 意味 値 単位

Boltzmann定数 1.38×10-23 J/K

電子の電荷（絶対値) 1.60×10-19 C

真空の誘電率 8.85×10-12 F/m

0.026

(T=300K)

V

Bk

e

0

eTk /B

他にも必要なものがあったら自分のノートに表を作ってみよう*)

（期末試験対策や他の科目の受講の時に役に立つ）

・ Planck定数は？

・ 光速は？

・ SiやGeやGaAsの物性定数は？

*)表を書くのが面倒だって? それなら適当な文献からコピーして貼り付けておいたら？

11/2/'11 46

トラップを介した再結合

Tk

EEnpn

npnNAU

B

iti

it

cosh2

2

0

11/2/'11 47

0AAA pn が成り立たない場合はどうなる？ （考察課題）

キャリアの発生と再結合

再結合 発生

光による発生 α線による 発生

直接再結合 トラップを 介した再結合 （SRH再結合）

電磁気学の連続の式と違う所だ

11/2/'11 48

その他の発生・再結合メカニズム

■バンド間再結合（band to band recombination）

sthst

B

tii

iS vN

Tk

EEnnp

npnU

cosh2

2

2

innpBU 発光再結合など（バンド内のキャリア密度の積に比例）

■表面再結合（surface recombination）

stN :surface trap density ［m-2］

■Auger再結合（Auger recombination） …3つのキャリアが関係する再結合

：2個の電子が衝突して1個は正孔と再結合して消滅し、エネルギーを他の1個に与える。

22

ipinA nnppCnnpnCU

11/2/'11 49

光によるキャリア発生

ph

ph

heE

IGG

■入射光強度 Iph [Wm-2]，吸収係数 α [m-1]， フォトンエネルギー Eph [J]（＞EG)によるキャリア発生率。

VE

he GG

CE

)( gph EE

11/2/'11 50

連続の式

xdxx

xJe dxxJe CE

VEeG

eR

電流連続の式より

txRtxGtxJ

xet

txnnnn ,,,

1,

txRtxGtxJ

xet

txpppp ,,,

1,

マイナスに注意 11/2/'11 51