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並木 SSH 数学セミナー.茨城県立並木中等教育学校.2013年2月23日. Presented in "Namiki Super Science High School Seminar in Mathematics", Namiki Secondary School, Tsukuba, Japan. February 23, 2013.
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あみだくじを作ろう照井 章
(筑波大学 数理物質系)
2013年2月23日並木SSH数学入門セミナー於 並木中等教育学校
あみだくじの例1 2 3 4 5
15 32 4
橋をかける
橋のかけ方のルール
[1] となりあう2本の縦棒の間にかける
1 2 3 4 5
[2] 異なる橋どうしが交わらないようにかける
1 2 3 4 5
このようなあみだくじをどうやって作ろうか?
1 2 3 4 5
12 34 5
ついでに、橋の本数を最小にしよう!
1 2 3 4 5
12 34 5
まず基礎知識を学ぼう
あみだくじに必要な橋の最小本数
=あみだくじが表す「置換」の「転倒数」
置換って何?
「置換」=「関数」
あみだくじの場合:スタートの位置にゴールの位置を
対応づける「関数」
あみだくじは関数だ!1 2 3 4 5
12 34 5
1は左から4番目に移る
�(1) = 4
�
あみだくじは関数だ!1 2 3 4 5
12 34 5
�
2は左から3番目に移る
�(2) = 3
あみだくじは関数だ!1 2 3 4 5
12 34 5
�
3は左から5番目に移る
�(3) = 5
あみだくじは関数だ!1 2 3 4 5
12 34 5
�
4は左から1番目に移る
�(4) = 1
あみだくじは関数だ!1 2 3 4 5
12 34 5
�5は左から2番目に移る
�(5) = 2
あみだくじは関数だ!�
�(1) = 4�(2) = 3�(3) = 5�(4) = 1�(5) = 2
� =✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
1 2 3 4 5
12 34 5
転倒数って何?
転倒数あみだくじの縦線の本数:n 本
1 2 3 4 n
転倒数あみだくじの縦線の本数:n 本 をみたす整数の組み合わせ で を
みたすものの個数
1 5 i < j 5 n
(i, j)
�(i) > �(j)転倒する組み合わせ
(1, 2): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5 �(1) = 4�(2) = 3
(1, 3): 転倒しない1 2 3 4 5
12 34 5�(1) = 4
�(3) = 5
(1, 4): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5 �(1) = 4�(4) = 1
(1, 5): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5 �(1) = 4�(5) = 2
(2, 3): 転倒しない1 2 3 4 5
12 34 5�(2) = 3
�(3) = 5
(2, 4): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5 �(2) = 3
�(4) = 1
(2, 5): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5 �(2) = 3�(5) = 2
(3, 4): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5
�(3) = 5�(4) = 1
(3, 5): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5
�(3) = 5
�(5) = 2
(4, 5): 転倒しない1 2 3 4 5
12 34 5 �(5) = 2
�(4) = 1
これまでの結果をまとめると
1 2 4 31 3 4 51 4 4 11 5 4 22 3 3 52 4 3 12 5 3 23 4 5 13 5 5 24 5 1 2
i j �(i) �(j) �(i) > �(j)
の個数は7個☞ の転倒数は7
1 2 4 31 3 4 51 4 4 11 5 4 22 3 3 52 4 3 12 5 3 23 4 5 13 5 5 24 5 1 2
i j �(i) �(j) �(i) > �(j)
�
あみだくじに必要な橋の本数は7本
1 2 4 31 3 4 51 4 4 11 5 4 22 3 3 52 4 3 12 5 3 23 4 5 13 5 5 24 5 1 2
i j �(i) �(j) �(i) > �(j)
ではどのような順序で橋をかければいいの?
逆置換(逆関数)を考えよう!
逆置換って何?
恒等置換=どの数字も動かさない置換(あみだくじ)
e =✓
1 2 3 4 51 2 3 4 5
◆= (1)
橋が1本もないあみだくじは恒等置換
しかし、恒等置換はこれだけとは限らない点に注意!
1 2 3 4 5
43 51 2
逆置換
与えられた置換と組み合わせると恒等置換になるような置換
もとのあみだくじの下に別のあみだくじをつなげる
1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
� =✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
��1 =✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
もとのあみだくじの下に別のあみだくじをつなげる
1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1� =✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
⇥✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
1は元に戻る1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1�(1)
=✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
⇥✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆(1)
=1
2も元に戻る1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1�(2)
=✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
⇥✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆(2)
=2
3も元に戻る1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1�(3)
=✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
⇥✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆(3)
=3
4も元に戻る1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1�(4)
=✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
⇥✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆(4)
=4
5も元に戻る1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1�(5)
=✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
⇥✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆(5)
=5
は恒等置換1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1� =✓
1 2 3 4 51 2 3 4 5
◆
= e
��1�
は の逆置換1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1 �
� =✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
��1 =✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
あみだくじを作る上で
逆置換が何の役に立つの?
逆置換が表すあみだくじの上に橋をかけていって...
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1 =✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
全体が恒等置換になったら...
4 5 2 1 3
43 51 2
��1 =✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
1 2 3 4 5
12 34 5
これが求めるあみだくじ!
� =✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
逆置換の上にどんな順番で橋をかけていけばよいか?
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1 =✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
? ? ? ?
実際に橋をかける前に...
橋のかけ方と置換の関係を確かめよう
1本の橋は「隣り合う2つの数字の互換」
1 2 3 4 5
43 52 1
� =✓
1 2 3 4 52 1 3 4 5
◆
=�1 2
�
1本の橋は「隣り合う2つの数字の互換」
1 2 3 4 5
42 51 3
� =✓
1 2 3 4 51 3 2 4 5
◆
=�2 3
�
1本の橋は「隣り合う2つの数字の互換」
1 2 3 4 5
42 51 3
� =✓
1 2 3 4 51 2 4 3 5
◆
=�3 4
�
1本の橋は「隣り合う2つの数字の互換」
1 2 3 4 5
42 51 3
� =✓
1 2 3 4 51 2 3 5 4
◆
=�4 5
�
これら4種類の橋(置換)を組み合わせてあみだくじを作る
1 2 3 4 5
42 51 3
� =✓
1 2 3 4 51 2 3 5 4
◆
=�4 5
�
1 2 3 4 5
43 52 1
� =✓
1 2 3 4 52 1 3 4 5
◆
=�1 2
�
1 2 3 4 5
42 51 3
� =✓
1 2 3 4 51 3 2 4 5
◆
=�2 3
�
1 2 3 4 5
42 51 3
� =✓
1 2 3 4 51 2 4 3 5
◆
=�3 4
�
では実際にあみだくじを作ってみましょう
逆置換の上にどんな順番で橋をかけていけばよいか?
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1 =✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
? ? ? ?
逆置換の転倒数を打ち消すように橋をかける!
逆置換でとなり合う数字が転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
? ? ? ?
(1, 2): 転倒しない
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
? ? ? ?
(2, 3): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
? ? ? ?
��1(2) > ��1(3)
(3, 4): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
? ? ? ?
��1(2) > ��1(3)
��1(3) > ��1(4)
(4, 5): 転倒しない
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
? ? ? ?
��1(2) > ��1(3)
��1(3) > ��1(4)
(2, 3)に橋をかける
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1(2) > ��1(3)
��1(3) > ��1(4)
新しいあみだくじ で転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
4 2 5 1 3
�1 = ��1�2 3
�
�1
(1, 2): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
4 2 5 1 3
�1(1) > �1(2)
(2, 3): 転倒しない
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
4 2 5 1 3
�1(1) > �1(2)
(3, 4): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
4 2 5 1 3
�1(1) > �1(2)
�1(3) > �1(4)
(4, 5): 転倒しない
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
4 2 5 1 3
�1(1) > �1(2)
�1(3) > �1(4)
(1, 2)に橋をかける
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
4 2 5 1 3
�1(1) > �1(2)
�1(3) > �1(4)
新しいあみだくじ で転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 5 1 3
�2 = ��1�2 3
� �1 2
�
�2
(1, 2): 転倒しない
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 5 1 3
(2, 3): 転倒しない
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 5 1 3
(3, 4): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 5 1 3
�2(3) > �2(4)
新しいあみだくじ で転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 1 5 3
�3 =��1�2 3
� �1 2
�
⇥�3 4
�
�3
(4, 5): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 1 5 3
�3(4) > �3(5)
新しいあみだくじ で転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 1 3 5
�4 =��1�2 3
� �1 2
�
⇥�3 4
� �4 5
�
�4
(2, 3): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 1 3 5
�4(2) > �4(3)
新しいあみだくじ で転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 1 4 3 5
�5 =��1�2 3
� �1 2
�
⇥�3 4
� �4 5
�
⇥�2 3
�
�5
(1, 2): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 1 4 3 5
�5(1) > �5(2)
新しいあみだくじ で転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
1 2 4 3 5
�6 =��1�2 3
� �1 2
�
⇥�3 4
� �4 5
�
⇥�2 3
� �1 2
�
�6
(3, 4): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
1 2 4 3 5
�6(3) > �6(4)
新しいあみだくじ は恒等置換
�7
4 5 2 1 3
43 51 2
�7 =��1�2 3
� �1 2
�
⇥�3 4
� �4 5
�
⇥�2 3
� �1 2
�
⇥�3 4
�
=e
12 34 5
1 2 3 4 5
求めるあみだくじが完成!
12 34 5
1 2 3 4 5
異なる橋のかけ方が何通りかある場合が
あります
今回は (2, 3) から橋をかけましたが...
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1(2) > ��1(3)
��1(3) > ��1(4)
(3, 4) から橋をかける作り方もあります
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1(2) > ��1(3)
��1(3) > ��1(4)
皆さんもチャレンジしてみてください
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1(2) > ��1(3)
��1(3) > ��1(4)
あみだくじに必要な橋の最小本数
=あみだくじが表す「置換」の「転倒数」
大学の数学(科)ではこれらの背景となるような
理論も学びます
あみだくじ=数字の並べ替え
12 34 5
1 2 3 4 5
並べ替え(ソート)=計算機の基本的なアルゴリズムの一つ
本日はありがとうございました
私の仕事場からの筑波山とキャンパスの眺望(2013年1月撮影)