= M M A b f j Z D Zmibo.nmu.org.ua/ua/vechirnia_osvita/met3.pdfпериодом функции. Например, функции =sin y x, =cosy x имеют период 2, π но

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"

matem.or

g.ua

Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Библиотека иностранного студента

Е.А. Сдвижкова

Д.В. Бабец С.Е. Тимченко З.И. Бондаренко С.Н. Подольская

МАТЕМАТИКА

Часть 6

ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛ. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

(в примерах и задачах)

Учебное пособие

Днепропетровск НГУ 2008


matem.or

g.ua

УДК 514.742.2(075.8) ББК 22.151.5 М 34

Затверджено до видання навчально-методичним управлінням НГУ як навчальний посібник для студентів технічних спеціальностей різних форм навчання (протокол № 10 від 9.10.07).

М 34

Математика: Навч. посібник: У 14 ч. Ч. 6. Функції. Границя. Похідна та її застосування / О.О. Сдвижкова, Д.В. Бабець, С.Є. Тимченко та ін. – Д.: Національний гірничий університет, 2008. – с. – Рос. мовою. – (Бібліотека іноземного студента).

Кожна тема розділу містить у найбільш доступній формі відомості з

теорії, вказівки до розв’язання задач відповідного типу і розв’язання прикладів, а також контрольні питання та завдання для самостійної роботи. Посібник відповідає програмі дисципліни «Вища математика» розділам «Вступ до математичного аналізу» і «Похідна та її застосування». Призначений для студентів, які навчаються на усіх спеціальностях очно, заочно, дистанційно, за вечірньою формою та екстерном, а також студентів -іноземців.

Каждая тема раздела содержит в наиболее доступной форме сведения из

теории, указания к решению задач соответствующего типа и решения примеров, а также контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы. Пособие соответствует программе дисциплины «Высшая математика» разделам «Введение в математический анализ» и «Производная и ее применение». Предназначено для студентов всех специальностей, обучающихся очно, заочно, дистанционно, по вечерней форме и экстерном, а также студентов-иностранцев.

УДК 514.742.2(075.8) ББК 22.151.5

© О.О. Сдвижкова, Д.В. Бабець, С.Є. Тимченко, З.І. Бондаренко, С.М. Подольська, 2008. © Національний гірничий університет, 2008.


matem.or

g.ua

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие…………………………………………………………………….. 5 І. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ………………………………………………………

6

1. Определение функции……………………………………………………….. 6 2. Способы задания функции………………………………………………….. 6 3. Специальные классы функций……………………………………………… 6 4. Основные элементарные функции………………………………………….. 7 5. Обратные тригонометрические функции ………………………………….. 9 ІI. ПРЕДЕЛЫ……………………………………………………………………

9

1. Определение предела………………………………………………………... 9 2. Вычисление пределов……………………………………………………….. 11 3. Предел частного……………………………………………………………… 12 4. Предел произведения и суммы……………………………………………... 18 5. Предел степени………………………………………………………………. 20 6. Индивидуальные задания…………………………………………………… 22 ІІІ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ…………………………………………..

23

1. Понятие непрерывности функции………………………………………….. 23 2. Классификация точек разрыва……………………………………………… 23 3. Индивидуальные задания…………………………………………………… 28 IV. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ……………………………………………...

31

1. Определение производной…………………………………………………... 31 2. Основные правила дифференцирования…………………………………… 31 3. Формулы дифференцирования основных элементарных функций (таблица производных) ……………………………………………………...

32

4. Производная сложной функции…………………………………………….. 36 5. Производная обратной функции……………………………………………. 41 6. Дифференцирование неявной функции……………………………………. 41 7. Дифференцирование функций заданных параметрически ………………….. 43 8. Логарифмическое дифференцирование. Производная

показательно-степенной функции………………………………………….

45 9. Геометрический, физический и механический смысл производной……... 48 V. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ…………………………………………….

54

1. Определение и геометрический смысл дифференциала………………….. 54 2. Основные свойства дифференциала ……………………………………….. 54 3. Применение дифференциала dxxfdy )(′= в приближенных

вычислениях и в теории ошибок …………………………………………..

55


matem.or

g.ua

VI. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ……

58

1. Производные высших порядков …………………………………………… 58 2. Вычисление производных второго порядка функций, заданных

параметрически……………………………………………………………...

58 3. Производные высших порядков неявно заданных функций ……………. 59 4. Дифференциалы высших порядков………………………………………… 60 VII. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ…………………………………………………..

62

VIII. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ…………………………………….

65 1. Возрастание и убывание функции. Локальный экстремум функции…….. 65 2. Правило исследования функции на экстремум……………………………. 67 3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке……………….. 70 4. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба……………………….. 72 5. Асимптоты кривой…………………………………………………………... 75 6. Схема исследования функции. Построение графиков функции…………. 77 IХ. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ …………………………………………………

83

Х. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ…………………………………………

87

Список литературы………………………………………………………….

103


matem.or

g.ua

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие подготовлено с целью повышения качества и прогнозирования результатов обучения иностранных студентов в областях знаний: разработка полезных ископаемых, информатика и вычислительная техника, машиностроение и металлообработка.

Соответствует проекту НГУ об издании серии «Библиотека иностранного студента», авторами которого являются профессора кафедры высшей математики Новикова Л.В. и Мильцын А.М., а также начальник управления международных связей профессор Рогоза М.В., декан горного факультета профессор Бузило В.И. и директор ИЗДО профессор Рыбалко А.Я. Серия содержит четырнадцать практических руководств к решению задач по математике.

Объем и содержание шестой части «Функции. Предел. Производная и ее применение» отвечают общему курсу высшей математики. Включает элементы теории, задачи, методические указания, собственно, решения задач, предметный указатель и задачи для самостоятельного решения.

Работая с учебным пособием, студенты, прослушавшие курс лекций, практически ознакомятся с основными понятиями, определениями, получат опыт решения задач. Пособие позволяет оперативно формировать общие и индивидуальные контрольные и тестовые задания, диагностировать усвоение учебного материала, вести контроль самоподготовки и прогнозировать результаты.

Учебное пособие издано на русском языке. Что обусловлено договором между университетом и иностранными студентами о языке образования.

5


matem.or

g.ua

І. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

1. Определение функции Определение. Пусть Х – некоторое множество значений переменной x и

задано правило, которое каждому числу x из множества Х ставит в соответствие определенное число у. Это соответствие называют функцией у от х и записывают ( )xfy = . Переменную х называют аргументом или независимой переменной. Множество Х – область определения функции. Множество Y всех значений

( )xfy = есть область изменения функции. Функция ( )xfy = задана, если:

1) определено множество X , из которого берутся числа x; 2) указан закон f, по которому происходит отображение множества X на

множество Y.

2. Способы задания функции

Соответствие между x и y, которое определяет функциональную зависимость ( )xfy = , устанавливается различными способами. Табличный способ предполагает наличие некоторой таблицы, в которой помещены частные значения x и соответствующие им значения y. Например, тригонометрические, логарифмические и прочие таблицы. Графический – задает график функции

( )xfy = , то есть определяет на плоскости xOy линию, для которой равенство ( )xfy = служит ее уравнением. Аналитический – выражает соответствие ( )xfy = посредством некоторого аналитического выражения, то есть при

помощи одной или нескольких формул, уравнения. Также существуют неявные способы задания функции, например, параметрический, когда величины x и y выступают функциями вспомогательной переменной, называемой параметром: ( ) ( ) [ ]21,,, ttttyytxx ∈== . Например, соотношения ,cos tax =

tby sin= при π≤≤ t0 определяют часть эллипса, расположенную выше оси Ox. Исключив параметр t, вместо двух уравнений получим одно:

,cos tax= 1sin 2

2

2

2=+⇒=

by

axt

by .

3. Специальные классы функций

1. Четные и нечетные функции. Функцию ( )xfy = , заданную на

симметричном промежутке ( )ll,− , называют четной, если )()( xfxf =− ( )llx ,−∈∀ . Здесь и в дальнейшем символ ∀ – означает «для любого». График

6


matem.or

g.ua

четной функции симметричен относительно оси Oy. К четным функциям, заданным на всей числовой оси, относятся: 2xy = , xy cos= и многие другие.

Функцию , ( )xfy = заданную на промежутке ( )ll,− , называют нечетной, если ( )llxxfxf ,)()( −∈∀−=− . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Примером нечетных функций, заданных на всей числовой оси, служат: 3xy = , xy sin= и др.

2. Периодические функции. Функцию ( )xfy = заданную на всей числовой оси, называют периодической, если существует такое число 0≠T , что ( )∞∞−∈∀=+ ,)()( xxfTxf . Величина T называется периодом функции. Если T – период, то для любого целого числа k произведение kT также служит периодом функции. Например, функции xy sin= , xy cos= имеют период π2 , но также и πkT 2= , где Nk∈ .

3. Монотонные функции. Функцию ( )xfy = , заданную на промежутке, называют возрастающей, если для любой пары 1x и 2x из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть при )()( 2112 xfxfxx >> . Обратное неравенство )()( 21 xfxf < при том же условии 12 xx > соответствует убывающей функции. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными.

4. Основные элементарные функции 1. Степенная: αxy = , где α – любое действительное число.

2. Показательная: xay = , где 0,0 ≠> aa (рис. 1) );0(),;( ∞∈∞−∞∈ YX

Y

X 0

1

Рис. 1. Показательная функция

xay =xay = ( )1>a( )1<a

7


matem.or

g.ua

3. Логарифмическая: ,log xy a= где 0,0 ≠> aa (рис. 2) );(),;0( ∞−∞∈∞∈ YX . Y

X 0 1

Рис. 2. Логарифмическая функция

4. Тригонометрические: xy sin= , xy cos= , ( ) ( )1,1,, −∈∞∞−∈ YX ;

tgxy = , ( )∞∞−∈∈+

−∈ ,,,

2,

2YZkkX πππ ;

ctgxy = , ( ) ( )∞∞−∈∈+∈ ,,,,0 YZkkX ππ . Графики тригонометрических функций представлены на рис. 3.

Y

X

-1

1

0

Y

X 0

1

-1

0

Y

X

0

Y

X

Рис. 3. Графики тригонометрических функций:

а) xy sin= , б) xy cos= , в) tgxy = , г) ctgxy =

xy alog= ( )1>a

xy alog= ( )1<a

2π

2π

− ππ− π2π

2π

−

)а )б

2π

−2π π

2π

−2π ππ−

)г)в


matem.or

g.ua

5. Обратные тригонометрические функции:

xy arcsin= , X ϵ [-1;1], Y ϵ (-π/2; π/2); xy arccos= , X ϵ [-1;1], Y ϵ (0; π);

arctgxy = , ( )

−∈∞∞−∈

2,

2,, ππYX ;

arcctgxy = , ( ) ( )π,0,, ∈∞∞−∈ YX . Графики обратных тригонометрических функций представлены на рис. 4.

0

Y

X

0

Y

X

0

Y

X

y=arctgx

0

Y

X

y=arcctg

Рис. 4. Графики обратных тригонометрических функций: а) xy arcsin= , б) xy arccos= , в) arctgxy = , г) arcctgxy =

ІI. ПРЕДЕЛЫ

1. Определение предела Определение 1. Число a называется пределом функции )(xfy = при +∞→x , если каково бы не было положительное число 0>ε , можно найти

такое число N , что для всех x, больших N , выполняется неравенство .)( ε<− axf

Иными словами: когда x стремится в бесконечность ( ∞→x ) график функции приближается к прямой ay = (см. рис. 5).

2π

−

π

1−1

)а

xy arcsin=

2π

2π

2π

−

11−

)б

xy arccos=

)в )г

2π

−

2π π

2π


matem.or

g.ua

x0

y a

Рис. 5. К определению предела функции при +∞→x

Определение 2. Число a называется пределом функции )(xfy = при −∞→x , если каково бы не было положительное число 0>ε , можно найти

такое число N, что для всех x, меньших N, выполняется неравенство .)( ε<− axf

Определение 3. Функция )(xf называется бесконечно малой при +∞→x , если ее предел при +∞→x равен нулю ( 0)(lim =

+∞→xf

x).

Аналогично определяются бесконечно малые функции при −∞→x , 0xx → . Бесконечно малую функцию будем обозначать « 0 ». Определение 4. Функция )(xf называется бесконечно большой при

+∞→x , если имеет место одно из равенств: +∞=

+∞→)(lim xf

x, −∞=

+∞→)(lim xf

x.

Аналогично определяются бесконечно большие функции при −∞→x , 0xx → . Бесконечно большую функцию будем обозначать « ∞ ». Определение 5. Пусть функция )(xf определена в некоторой

окрестности точки 0x . Число a называется пределом функции )(xfy = в точке 0x , если для любого 0>ε существуют такие числа N и M )( 0 MxN << , что для всех x из промежутка ),( MN (за исключением возможно самой точки

0x ) справедливо неравенство ε<− axf )( . Используется обозначение:

=

→)(lim

0xfa

xx.

Определение 6. Число a называется пределом функции )(xfy = в точке

0x справа (слева)

==

−→+→)(lim,)(lim

00 00xfaxfa

xxxx, если )(xf

определена в некоторой окрестности точки 0x и для любого 0>ε существует

10


matem.or

g.ua

такое ( )00 , xNxM <> , что для всех x ))(,( 00 xxNMxx <<<< следует не-равенство ε<− axf )( (см. рис. 6).

Рис. 6. К определению предела функции в точке

Пример 1. Доказать, что .1)23(lim

1=−

→x

x

Решение. Возьмём произвольное число 0>ε и покажем, что существуют такие числа M и N ( Mx0 <<N ), что для всех точек из промежутка x выполняется неравенство ε<−− 1)23( x . Решая это неравенство, получим:

)3

13

1()33()33( εεεεε +<<−⇒<−<−⇒<− xxx .

Разность между функцией 23 −= xy и числом 1 будет по абсолютной величине меньше чем любое 0>ε для всех значений x, которые находятся между числами 31 ε−=N и 1 3M ε= + . Поэтому при 1→x пределом данной

функции будет число 1=a .

2. Вычисление пределов

Если )(xf элементарная функция и предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к подстановке граничного значения аргумента, то есть

)()(lim 00

xfxfxx

=→

.

Пример 2. Вычислить предел: ).12(lim 2

1−+

→xx

x

Решение .2)112()12(lim 2

1=−+=−+

→xx

x

11


matem.or

g.ua

Пример 3. Вычислить предел: 3 2

3lim ( 4 2 1).

xx x x

→−− + +

Решение 68)1)3(2)3(4)3(()124(lim 2323

3−=+−+−−−=++−

−→xxx

x.

Пример 4. Вычислить предел: .134lim

2

2 +−

→ xx

x

Решение

.012342

134lim

22

2=

+⋅−=

+−

→ xx

x

3. Предел частного

При вычислении предела частного используется следующая теорема: если предел числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя

не равен нулю, то предел частного равен частному пределов:

.)(lim

)(lim

)()(lim

0

0

0 xg

xf

xgxf

xx

xx

xx→

→

→=

Используя обозначения, введенные в предыдущей главе («∞ » – бесконечно большая величина, « 0 » – бесконечно малая величина), отметим следующие обобщенные правила для вычисления предела частного:

; 0; ; ( 0);0 0

0; ( 0); ( 0),

b b b b boa a a

a a

= ∞ = = +∞ = −∞ >∞ + −∞ ∞

= = ∞ > = −∞ <∞

где а и b – заданные числа.

Случаи « ∞∞ » и «

00 » называются «неопределенностями», которые

требуют дополнительных исследований (раскрытия неопределенностей).

Пример 5. Вычислить предел: .15

25lim 2 ++∞→ xxx

Решение

.02515

252lim =

∞

=++∞→ xxx

12


matem.or

g.ua


2 −+

→ xx

x

Решение

.03

21lim

2∞=

=

−+

→ xx

x


1lim3

02 −−+

+→ xxx

x

Решение

.0

92

1lim3

02−∞=

−

=−−+

−→ xxx

x

Примечание. Обозначение 2 – 0 означает, что x приближается к точке

2 «слева», то есть остается меньше чем 2. Тогда в знаменателе получим бесконечно малую отрицательную величину.

3.1. Раскрытие неопределенности

∞∞ . Если в числителе и знаменателе

дроби находятся алгебраические функции, то неопределенность вида

∞∞

раскрывается делением числителя и знаменателя на старшую степень переменной.

Пример 8. Вычислить предел: .32lim 3 ttt

t ++

∞→

Решение

.20102

11

32lim32lim

32

3 =++=

+

+=

++

∞→∞→

t

ttt

ttt


52lim 42

24

xxxxx

x −

+−

∞→

Решение

.21

41

152

lim4

52lim

2

272

42

24−=

−

+−

=−

+−

∞→∞→x

xx

xxxxx

xx

13


matem.or

g.ua


71lim2

xx

x −+ +

+∞→

Решение

49

173

771

lim1

73

77

71

lim73

71lim

22

2−=

−

+=

−

+=

−

+

+∞→

+

+∞→

+

+∞→x

x

xx

x

x

x

xx

x

x.


23lim3 6

3

+

+∞→ x

xx

Решение

.23

/118

/23lim118

23lim3 9

3

3 9

3=

+

+=

+

+∞→∞→ x

x

x

xxx


5lim3

5

−+

+−∞→ xx

xxx

Решение

5 4 5

37 4 52

1 515 1lim lim .1 3 1 03 1x x

x x x xx x

x xx

→∞ →∞

− +− + = = = ∞ + − + −

Пример 13. Вычислить предел: 3

42 6lim

2x

x xx→∞

+ −−

.

Решение

.010

21

621

lim2

62lim

4

434

3=

=

−

−+=

−

−+∞→∞→

x

xxxx

xxxx

Иногда при раскрытии неопределенности

∞∞ бывает удобно

воспользоваться так называемым «упрощенным правилом». Пусть дана дробь:

)()(

lim xRmxQn

x ∞→, где )(xQn , )(xRm – многочлены с наивысшими степенями « n » и

« m », тогда:

=>∞>

=∞→ nmеслиA

mnеслиnmесли

xRmxQn

x ,,,0

)()(

lim ,

где А – отношение коэффициентов при старших степенях в числителе и знаменателе.

14


matem.or

g.ua

Пример 14. Вычислить предел: 1225

2312lim25

2

+−+

+++∞→ xx

xxxx

.

Решение

52

1225

2312lim25

2=

+−+

+++∞→ xx

xxxx

.

Наивысшая степень в числителе и знаменателе 2/5 , при этом коэффициент при старшей степени в числителе равен 2, а в знаменателе – 5 ,

поэтому предел равен отношению этих коэффициентов 5

2 .

Пример 15. Вычислить предел: .)3)(2)(1()2)(1(

lim −−−++

∞→ xxxxxx

x

Решение

.1)3)(2)(1()2)(1(

lim =−−−

++

∞→ xxxxxx

x В числителе и знаменателе дроби – произведение

из 3-х сомножителей. Для раскрытия данного предела достаточно узнать наивысшую степень и коэффициенты x в числителе и знаменателе. Старшая степень числителя и знаменателя 3, коэффициенты одинаковые и равны 1.

Пример 16. Вычислить предел: .)4(175lim

45

+−+

∞→ xxxx

x

Решение

∞=+

−+∞→ )4(

175lim45

xxxx

x. Наивысшая степень в числителе равна 5, а в

знаменателе – 2, поэтому предел равен ∞ .

3.2. Раскрытие неопределенности

00 . Пусть заданный предел имеет вид:

=

→ 00

)()(

lim0

xRmxPn

xx, то есть 0)( 0 →xPn и 0)( 0 →xRm при 0xx → . В этом

случае в числителе и знаменателе необходимо выделить множитель вида

)( 0xx − и сократить дробь, чтобы устранить неопределенность вида

00 .

Замечание. Необходимо знать формулы:

).)((

);)((2

002

03

03

002

02

xxxxxxxx

xxxxxx

++−=−

+−=−

15


matem.or

g.ua


23lim 3

2

1 −

+−→ x

xxx

Решение ( ) ( )

( ) .31

11121

12lim

)1)(1(1)2(lim

123lim 21213

2

1

−=

++−

=++

−=

−++

−−=

−

+−→→→ xx

xxxx

xxx

xxxxx


65lim2

2 −+−

→ xxx

x

Решение ( )( )( )

.22)32)(22()3)(2(lim

)2(322lim

2)3)(2(lim

265lim

2

22

2

2

−=−+=−+=

=−

−+−=

−−−

=−

+−

→

→→→

xx

xxxx

xxx

xxx

x

xxx

Для того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, необходимо перенести иррациональность из знаменателя в числитель путем умножения числителя и знаменателя на выражение 2+x , а затем сократить дробь.


1032lim 234245

2 −+++−−++

−→ xxxxxxxx

x

Решение

=

−+++−−++

−→ 00

25321032lim 234

245

2 xxxxxxxx

x.

Для вычисления данного предела необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на выражение ( )0xx − , то есть в данном случае на ( )2+x .

1032 245 −−++ xxxx 2+x 45 2xx + 54 −+ xx

1032 −− xx xx 22 +

105105

−−−−

xx

0

2532 234 −+++ xxxx 2+x 34 2xx + 133 −+ xx

253 2 −+ xx xx 63 2 +

22

−−−−

xx

0 После сокращения получим:

53

135lim

225321032lim 3

4234

245

2−=

−+−+

−→=

−+++−−++

−→ xxxx

xxxxxxxxx

x.

3.3. Первый замечательный предел. Для нахождения пределов с

неопределенностью вида

00 и пределов, содержащих тригонометрические

функции, удобно использовать первый замечательный предел

16


matem.or

g.ua

1sinlim0

=→ x

xx

.

Заметим, что если 0)(lim =→

xfax

, то и 1sinlim )(

)( =→ xf

xf

ax.

Пример 20. Вычислить предел: .15sinlim0

=→ x

xx

Решение 5155

5sinlim555sin5lim5sinlim

000=⋅===

→→→ xx

xx

xx

xxx.

Для решения данного предела мы умножили числитель и знаменатель дроби на 5, тем самым привели выражение к первому замечательному пределу.

Пример 21. Вычислить предел: .2sin5sinlim

0 xx

x→

Решение

25

25

55sin

2sin2

2sin525sin52

2sin5sin limlimlim

000=⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

→→→ xx

xx

xxxx

xx

xxx.

В данном случае умножаем числитель и знаменатель на x⋅⋅52 . Пример 22. Вычислить предел: .sinsinlim ax

axax −

−→

Решение

.cos122cos

2

2sin

2cos

2

2cos

2sin

2cos

2sin2sinsin

lim

limlimlim

aaax

axax

ax

axax

ax

axax

axax

ax

axaxax

=⋅=−

−+=

=−

+−=

−

+−=

−−

→

→→→

В этом примере мы разложили числитель на множители, а затем разделили числитель и знаменатель на 2.


sin2coslim0 x

xxx

⋅→

Решение

.31sin2coslim

31

3sin2coslim

00=⋅=

⋅→→ x

xxx

xxxx

Решение следующей группы примеров основано на первом

замечательном пределе и понятии эквивалентных бесконечно малых величин, то есть под знаком предела можно одну бесконечно малую величину заменить эквивалентной.

17


matem.or

g.ua

Примеры эквивалентных бесконечно малых величин:

xx αα ~sin , xx αα ~arcsin , xx αα ~tg , 2

~cos122xx αα− ,

так как 2

sin2cos1 2 xx αα =− .

Пример 24. Вычислить предел: .3sin2

lim0 x

xarctgx→

Решение

.32

32

lim3sin2

lim00

==→→ x

xxxarctg

xx

Пример 25. Вычислить предел: .sin2

3cos1lim0 xxtg

xx

−→

Решение

49

2232

0lim

sin223sin2

0lim

sin23cos1lim

22

0=

⋅

→=

→=

−→ xx

x

xxxtg

x

xxxtgx

x.

4. Предел произведения и суммы

Рассмотрим основные правила вычисления пределов произведения и

суммы: 1. если bau

ax=

→)(lim , а cxv

ax=

→)(lim ,

тогда cbxvxuax

+=+→

))()((lim , lim ( ( ) ( ))x

u x v x bc→∞

⋅ = ;

2. если bxu

ax=

→)(lim , а ∞=

→)(lim xv

ax,

тогда ∞=+→

))()((lim xvxuax

, ∞=⋅→

))()((lim xvxuax

; если 0≠b .

3. если ∞=

→)(lim xu

ax, а ∞=

→)(lim xv

ax,

тогда ∞=+→

))()((lim xvxuax

, ∞=⋅→

))()((lim xvxuax

.

При решении подобных примеров могут возникать две неопределенности: { }∞⋅0 и { }∞−∞ . Для раскрытия этих неопределенностей необходимо привести выражения к правилам 1 – 3 либо к рассмотренным выше

неопределенностям

00 или

∞∞ .

18


matem.or

g.ua

Пример 26. Вычислить предел: 35 4lim .x

x x→∞

−

Решение 35 4 4 /3 11/ 4lim lim ( 1)

x xx x x x

→∞ →∞− = − = ∞ .

В данном примере мы выносим x в младшей степени за скобки и тем

самым избавляемся от неопределенности. Пример 27. Вычислить предел: 2lim ( 5 ).

xx x x

→∞− +

Решение.

{ }

.25

115

lim511

5lim

5

5lim

5

)5)(5(lim)5(lim

22

222

−=+

−=++

−=

∞∞

=

=++

−=

++

+++−=∞−∞=+−

∞→∞→

∞→∞→∞→

xx

xxx

x

xxx

x

xxx

xxxxxxxxx

В данном примере мы искусственно создаем знаменатель и умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение, для того чтобы перенести иррациональность в знаменатель и получить легко раскрываемую

неопределенность

∞∞ .

Пример 28. Вычислить предел: ).4

42

1(lim 22 −−

−→ xxx

Решение

{ } .41

21

lim00

42

lim)4

42

1(lim22222

=+

=

=

−

−=∞−∞=

−−

− →→→ xxx

xx xxx

В этом примере приведем выражение к общему знаменателю и получим

неопределенность

00 .

Пример 29. Вычислить предел: .4sin)1(lim xx

x+

∞→

Решение

{ } .44

4sin)11(4lim0

01

4sin1lim04sin)1(lim =

+

∞→=

=

+

∞→=∞⋅=+

∞→x

xxxx

xxx

xxx

x

Для решения данного предела искусственно создадим знаменатель и

разделим числитель и знаменатель на x, тем самым прийдем к первому замечательному пределу.

19


matem.or

g.ua

5. Предел степени Основные правила вычисления предела степенно-показательной

функции )())((lim0

xv

xxxu

→:

1) если bxuxx

=→

)(lim0

и cxvxx

=→

)(lim0

, тогда cxv

xxbxu =

→

)())((lim0

;

2) если bxuxx

=→

)(lim0

, а +∞=→

)(lim0

xvxx

, то 0

( ) 1,lim ( ( ))

0 0 1;v x

x x

bu x

b→

∞ >= < <

3) если bxuxx

=→

)(lim0

, а −∞=→

)(lim0

xvxx

, то 0

( ) 0 1,lim ( ( ))

0 1;v x

x x

bu x

b→

>= ∞ < <

4) если ∞=→

)(lim0

xuxx

, а cxvxx

=→

)(lim0

, то 0

( ) 0,lim ( ( ))

0 0;v x

x x

cu x

c→

∞ >= <

5) если ,)(limа,1)(lim00

∞==→→

xvxuxxxx

то при решении возникает

неопределенность }1{ ∞ . Для ее раскрытия необходимо использовать второй

замечательный предел: ,)1(lim11lim1

0ex

xx

x

x

x=+=

+

→∞→ где е = 2,71…

Пример 30. Вычислить предел: .2sinlim

1

0

x

x xx +

→

Решение. Рассмотрим отдельно: 22

2sin2lim

2sinlim

00==

→→ xx

xx

xx и

1)1(lim0

=+→

xx

, следовательно, 22sinlim

2sinlim

)1(

0

1

0

lim0 =

=

+

→

+

→

→x

x

x

x

x

xx

xx .


lim

2

2

2 x

x xxxx

+−

+−

∞→

Решение. Рассмотрим отдельно: 2581

312lim

5832

lim

2

22

2=

+−

+−=

+−

+−

∞→∞→xx

xxxxxx

xx и

∞=∞→

2lim xx

, следовательно, ∞==

+−

+− ∞

∞→2

5832

lim

2

2

2 x

x xxxx .

Для решения следующих примеров воспользуемся вторым замечательным пределом.

20


matem.or

g.ua

Пример 32. Вычислить предел: .3lim5x

x xx

+

∞→

Решение

1515

53

355lim

3

11lim31lim}1{3lim eexxxx x

x

x

xxx

x

x

x

x

x==

+=

+==

+

∞→∞→∞→∞

∞→.

Примечание. В показателе степени добавлен множитель 3x для того, чтобы

получить 3

3

11lim

x

x x

+∞→

, равный e . Множитель x3 за фигурными скобками

компенсирует множитель 3x . В следующем примере будет использован

аналогичный приём.


4+

∞→

++ x

x xx

Решение

=

+−=

+−+

=

++ +

∞→

+

∞→

+

∞→

444

311lim

31)3(lim

32lim

x

x

x

x

x

x xxx

xx

1)3(

4)3(

)3(11lim −

+−+

+−

∞→=

+−

+= ex

xx

x

x.

Пример 34. Вычислить предел: ( ) .sin1lim

0ctgx

xx+

→

Решение

( ) ( ) ( ) 0cos 1 limcoscossin sin

0 0 0lim 1 sin {1 } lim 1 sin lim 1 sin .x

x xctgx xx x

x x xx x x e e→∞

→ → →+ = = + = + = =

21


matem.or

g.ua

6. Индивидуальные задания Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1. .1

lim);3cos1lim);

1lim);

25

13lim)3

20

4

13

3 x

xxxx xxг

xxв

xxxб

x

xxxа

+−

−−

+

−+⋅∞→→→∞→

2. ( ) .11lim);

5sin3arcsinlim);23lim);

1243lim)

2

0

2

12

5 x

xxxx xxг

xxв

xxxxб

xxxxа

−+

−+−

+

+−∞→→→∞→

3. ( ) .4313lim);

3sin2cos1lim);

56lim);

15432lim)

2

02

3

13

3 +

∞→→→∞→

++−

+−

−

+

−+ x

xxxx xxг

xxв

xxxxб

xxxxxа

4. ( ) .2

52lim);3cos1

5sinlim);67lim);2

125lim)12

0

2

12

2 −

∞→→→∞→

+

−−+−

+

+− x

xxxx xxг

xxв

xxxxб

xxxxxа

5. ( ) .4323lim);

2cos13sinlim);

45lim);

3223lim)

22

02

3

12

5 −

∞→→→∞→

++

−+−

−

+

++ x

xxxx xxг

xxв

xxxxб

xxxxа

6. ( ) .14lim);

23cos1lim);

1lim);

35

21lim)12

0

4

13

−

∞→→→∞→

++

⋅−

−−

+

+ x

xxxx xxг

xtgxxв

xxxб

x

xxxа

7. ( ) .5545lim);

3cos15sinlim);67lim);

64

13lim)142

04

2

15

+

∞→→→∞→

++

−−

+−

+

++ x

xxxx xxг

xxв

xxxxб

x

xxxxа

8. ( )2 2 12 4

5 3 1 0

3 1 cos7 4) lim ; )lim ; ) lim ; ) lim .sin2 sin3 111

x

x x x x

x x x x x xа б в гx x xxx x x

−

→∞ → → →∞

+ − − + ⋅ +− + + +

9. ( ) .1575lim);

5cos13sinsinlim);

1lim);

2543lim)

13

031

+

∞→→→∞→

+−

−⋅

−

−+++ x

xxxx xxг

xxxв

xxxб

xxxxа

10. ( ) .33lim);

6cos13sin2lim)

2334lim);

3

15lim)3

023

2

13

x

xxxx xxг

xxxtgв

xxxxxб

xx

xxxа

+−

−⋅

+−

+−

++

+−∞→→→∞→

22


matem.or

g.ua

ІІІ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

1. Понятие непрерывности функции

Пусть функция )(xfy = определена в точке 0x и некоторой ее окрестно-сти. Значение функции в этой точке )( 0xf . Дадим x приращение x∆ . Новому значению аргумента соответствует новое «наращенное» значение функции

)( 0 xxf ∆+ . Приращение функции будет: )()( 00 xfxxfy −∆+=∆ . Определение 1. Функция )(xfy = непрерывна в точке 0x , если она опре-

делена в этой точке, и бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть 0lim

0=∆

→∆y

x (рис. 7).

Рис. 7. К определению непрерывности

Это определение можно расширить. Функция )(xfy = непрерывна в

точке 0x , если: 1) функция определена в точке 0x и в некоторой ее окрестности; 2) функция имеет предел при 0xx → ; 3) предел функции при 0xx → равен значению функции в точке 0x ; 4) односторонние пределы равны и совпадают со значением функции в точ-

ке: )()(lim)(lim 000 00

xfxfxfxxxx

==+→−→

.

2. Классификация точек разрыва 1. Точки разрыва 1-го рода (конечный разрыв). Если односторонние пре-

делы )(lim00

xfxx +→

и )(lim00

xfxx −→

(рис. 8) функции в точке 0x существуют, ко-

нечны, но не равны друг другу, то говорят, что функция терпит в точке 0x ко-нечный разрыв 1-го рода . Скачком функции )(xfy = в точке разрыва 0x на-зывается разность ее односторонних пределов )(lim

00

xfxx +→

и )(lim00

xfxx −→

, ес-

ли они различны. На рис. 8а скачок функции )(xfy = составляет ba − , здесь значение функции совпадает с правосторонним пределом функции и равно а, на рис. 8б соответственно скачек равен bc − .

Y

x0 х0 x0+∆х

∆х

∆y y=f(x)

f(x0)

23


matem.or

g.ua

Рис. 8. Точки разрыва 1-го рода

2. Точки разрыва 2-го рода (бесконечный разрыв). Разрыв функции в точке 0x называется бесконечным, если хотя бы один из односторонних пре-делов )(lim

00

xfxx +→

или )(lim00

xfxx −→

не существует, то есть равен ∞ (рис. 9).

а б

в

Рис. 9. Точки разрыва 2-го рода

Y

X0 x

Y

X0

• a

x

Y

X0

• a

x

Y

X 0 x

•

○ b

c

б) Y

X 0

a

x

•

○ b

а)

24


matem.or

g.ua

Пример 35. Найти точки разрыва функции

∞<<−=

<<∞−−=

xxx

xxxf

0,10,2

0,)( ,

исследовать их характер и построить график. Решение. Функция не является элементарной, она состоит из нескольких

аналитических выражений для различных интервалов х. На каждом интервале х она задается непрерывными функциями, следовательно, подозрительной на разрыв является только точка 0=x . Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в точке 0=x .

;0)(lim)(lim0000

=−=−→−→

xxfxx

1)1(lim)(lim0000

−=−=+→+→

xxfxx

.

Левосторонний и правосторонний пределы существуют и они различны, следовательно, в точке 0=x существует разрыв 1-го рода. Построим график этой функции (рис. 10).

Рис. 10. График функции к примеру 35


≤<

≤≤−=

ππ

ππ

xx

xxxf

2,cos

22,sin

)( ,

исследовать их характер и построить график. Решение. Как и в предыдущем примере, функция состоит из двух непре-

рывных частей, следовательно, подозрительной на разрыв является только точ-

ка 2π

=x . Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в точке

2π

=x : ;1)(sinlim)(lim0

20

2

==−→−→

xxfxx ππ

.0)(coslim)(lim0

20

2

==+→+→

xxfxx ππ

Левосторонний и правосторонний пределы существуют и они различны, следо-

вательно, в точке 2π

=x существует разрыв 1-го рода. Построим график этой

функции (рис.11).

2

○

Y

X0

•

25


matem.or

g.ua



∞<<=

<<∞−=

xxx

xxxf

0,0,0

0,)(

2

,

исследовать их характер и построить график. Решение. Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в

точке 0=x : ;0)(lim)(lim 2

0000==

−→−→xxf

xx ;0)(lim)(lim

0000==

+→+→xxf

xx.0)0( =f

Левосторонний и правосторонний пределы существуют, равны между со-бой и совпадают со значением функции в точке 0=x , следовательно, функция

)(xf непрерывна. Построим график этой функции (рис. 12).


Пример 38. Найти точки разрыва функции 1

1)(−

=x

xf , исследовать их

характер и построить график. Решение. Данная функция непрерывна во всех точках из ее области опре-

деления. Область определения функции ( ) ( )∪ ∞∞−∈ ;11;x .

;)1

1(lim)(lim0101

−∞=−

=−→−→ x

xfxx

.)1

1(lim)(lim0101

∞=−

=+→+→ x

xfxx

Левосторонний и правосторонний пределы не существуют, следователь-но, в точке 1=x разрыв 2-го рода. Построим график этой функции.

Y

X 0 •

Y

X0

-1

-π/2 ○

•

π/2 π

- -1

26


matem.or

g.ua



∞<≤

<<∞−=

xx

xxxf

0,

0,1)( , ис-

следовать их характер и построить график.

Решение. Функция x1 непрерывна во всех точках из области определения.

Область определения функции ( ) ( );0 1;x∈ −∞ ∞∪ . Следовательно, подозри-тельной на разрыв является только точка 0=x . Найдем левосторонний и право-сторонний пределы функции в точке 0=x .

;1lim)(lim

0000−∞==

−→−→ xxf

xx .0)(lim)(lim

0000==

+→+→xxf

xx

Левосторонний предел не существует, следовательно, в точке 0=x раз-рыв 2-го рода. Построим график этой функции (рис.14).


Y

X 0 •

Y

X 0 1

27


matem.or

g.ua

3. Индивидуальные задания 1. Найти точки разрыва и построить графики функций:

Вариант 1

1.

=≤−≤≤−

=;1,1;41,1;11,2

xxxx

yx

≺ 2. 1

1+

=x

y .

Вариант 2

1.

+≤≤+

=;1,32;10,;0,22

≺xxxxxx

y 2. 211x

y−

= .

Вариант 3

1.

+

≤=;0,32

;0,2

xx

xxy 2. 1

1ln−

+=x

xy .

Вариант 4

1.

+

≤≤+

=

;4;0,sin;0,32

2 π

π≺xxxxxx

y 2. 232

+−

=xxy .

Вариант 5

1.

≤≤

=;2;1,cos;1,2

ππ≺

xxxxxx

y 2. 31

+−

=xxy .

Вариант 6

1.

≤≤−−

≤≤=

;45,272;5,21,24;10,2

xxxx

xxy ≺≺ 2. 243 x

x

y −= .

Вариант 7

1.

≤−

=

≤−

=

;416

;4

,1

;42

,cos

22 π

ππ

π

ππ

xx

x

xx

y

≺

≺

2. )1(2

23

−−

=x

xxy .

28


matem.or

g.ua

Вариант 8

1.

+≤

≤≤−

=;213;2,

;02

,sin

xxxx

xx

y

π

2. 2

1+

+=x

xy .

Вариант 9

1.

−

±==

=;24;20,4;2,0,2

2 ≺≺xxx

xxy 2.

xxxy 152 ++= .

Вариант 10

1.

+≤≤

=;12;0,sin;0,2

ππ≺

xxxxxx

y 2. x

y 12 −= .

Вариант 11

1. ≤=

;0,1;0,2

xxy

x 2. 2

1

2 −= xy .

Вариант 12

1.

+≤= ;0,2

;0,xxxarctgxy 2. xy

1

21−= .

Вариант 13

1. ≤−+

=;0,;03),3ln(

2≺

xxxx

y 2. xy

1

211

+= .

Вариант 14

1.

+

≤−=

;0,1;01,arcsin

2≺

xxxx

y 2. x

xxy2

3 += .

Вариант 15

1.

≤≤

−

=;2,2;20,

;02

,2

≺≺

xxxx

xtgx

y

π

2. 5

4 2

−−

=x

xy .

29


matem.or

g.ua

Вариант 16

1.

≥+≤

≤−

=;25

;20,;04/,2

2

xxxxxxtg

y ≺≺π

2.

x

y1

31

1

+

= .

Вариант 17

1.

≥

≤+=

;2;20,1;0,

2 xxxxxe

yx

≺≺

2. 12

11 /1 ++= xy .

Вариант 18

1.

+

≤=

;1,1;10,ln

2≺

xxxx

y 2. 2/1211−+

=y .

Вариант 19

1.

+

≤+≤+

=

;15;10,2;0,23

2

2

≺xxxxxx

yl

2. 4

21++

=x

xy .

Вариант 20

1.

≥+

≤

=;232;20,;0,sin

2

xxxxxx

y ≺≺ 2. 42

2

−=

xxy .

Вариант 21

1.

≥+

≤=

;31;31,2;10,ln

2 xxxxxx

y ≺≺≺

2. 1

21++

=x

xy .

Вариант 22

1.

+≤+

≤

=;21;20,1;0,3

2 ≺xxxxx

y

x

2. x

xy 13 += .

Вариант 23

1.

≥+

≤−=

;0,2;01,arccos

2 xxxx

y≺

2. 4

12 −

=x

y .

30


matem.or

g.ua

Вариант 24

1.

−

≤=

;0,2;0,

2 xxxarctgx

y 2. 3

1+

=x

y .

Вариант 25

1.

+

=

;0,2

;0,21

2

≺

xx

xy

x

2. 27

−−

=xxy .

IV. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

1. Определение производной Пусть на промежутке (а; b) определена некоторая функция y = f(x). Возь-

мем любое значение x из этого промежутка и предоставим ему приращение ∆x. Разность ∆y= f(x +∆ x) – f(x) называется приращением функции в точке x.

Производной функции y = f(x) в точке x называется предел, если он существует, отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента

∆x, когда последний стремится к нулю, то есть x

xfxxfyx ∆

−∆+=′

→∆

)()(lim

0.

Функция, которая имеет конечную производную в точке x, называется дифференцируемой в этой точке. Вычисление производной называют диффе-

ренцированием. Производную обозначают: dxdf

dxdyxfy ;);(; ′′′ .

2. Основные правила дифференцирования Предположим, что )();( xvvxuu == и )(xww = – дифференцируемые

функции, зависящие от x, с – постоянная. Тогда: 0)( =′с ; (1)

vuvu ′±′=′± )( ; (2) uvvuvu ′+′=′⋅ )( ; (3)

2)(v

vuvuvu ′−′

=′ ; (4а)

2)(vvc

vc ′

−=′ ; (4б)

cu

cu ′

=′)( ; (4в)

uvwuwvvwuwvu ′+′+′=′⋅⋅ )( ; (5) uccu ′=′)( . (6)

31


matem.or

g.ua

3. Формулы дифференцирования основных элементарных функций (таблица производных)

nxy = , 1−=′ nnxy ; (7)

xy = , x

y2

1=′ ; (8)

xy alog= , ax

yln1

=′ ; (9)

xy ln= x

y 1=′ (10)

xay = aay x ln=′ (11) xey = xey =′ (12)

xy sin= xy cos=′ (13) xy cos= xy sin−=′ (14)

tgxy =

xy 2cos

1=′ (15)

ctgxy =

xy 2sin

1−=′ (16)

xy arcsin= 21

1

xy

−=′ (17)

xy arccos= 21

1

xy

−−=′ (18)

arctgxy = 21

1x

y+

=′ (19)

arcctgxy = 21

1x

y+

−=′ (20)

shxy = chxy =′ (21) chxy = shxy =′ (22) thxy =

xchy 2

1=′ (23)

cthxy =

xshy 2

1−=′ (24)

Рассмотрим примеры нахождения производных, используя формулы (1) –

(24).

32


matem.or

g.ua

Пример 40. Найти производную выражения 3510 45 −+= xxy . Решение. С помощью формул (2), (1), (6), (7) получим:

)3510( 45 ′−+=′ xxy = =−′+′ )3)5()10( 45 xx =′−′+′ 3)(5)(10 45 xx

=−⋅+⋅= 045510 34 xx 34 2050 xx + .

Пример 41. Найти производную выражения 3 23

34

xxy −= .

Решение. Помня, что nn a

a−=

1 и nm

n m aa = , получим:

132

1332

33 23 )

32(3)3(4)34()34(

−−−−−− −⋅−−⋅=′−=′−=′ xxxxxx

y =

54 3

4 3 5

12 212 2x xx x

−−= − + = − + .

Данную производную можно также посчитать по формуле (4а). Предлагаем это сделать самостоятельно.

Пример 42. Найти производную выражения arctgxxy ⋅= ln . Решение. Используя формулы (3), (10), (19), получим:

211ln1)(ln)(ln)(lnx

xarctgxx

arctgxxarctgxxarctgxxy+

+=′⋅+⋅′=′⋅=′ .

Пример 43. Найти производную выражения xxy

3sin

= .

Решение. По формулам (4), (13), (11):

x

xx

x

xx

xxxxxxy 22 3

sin3ln33cos)3(

sin)3(3)(sin3

sin ⋅−⋅=

⋅′−⋅′=′

=′ .

Пример 44. Найти )0(y′ , если tgxey x= . Решение. По формулам (3), (12), (15): =′+′=′=′ )()()( tgxetgxetgxey xxx

.11101

0cos10)0(;

cos1

200

2 =+⋅=+=′+= etgeyx

etgxe xx

33


matem.or

g.ua

Задания

Найти производные функций:

1. 523 xxy −+= ;

2. 5 415 xx

xy −+= ;

3. 5

sincos

2 xx

y −= ;

4. xy x arccos10= ;

5. 3 2sin

x

xy = ;

6. xxy x lncos3 ⋅−= ;

7. 2

24

5

−

+=

xxy ;

8. xxxy36 +

= ;

9. arcctgxarctgxy = ;

10. xey x arcsin= .

Вычислить:

11. )21(y′ , если

xxy

4logarccos

= ;

12. )0(y′ , если xexy ⋅= sin

13. )1(y′ , если xxey

x+=

1 ;

14. )1(y′ , если x

xxy 223 +−= ;

15. )1(y′ , если x

xxy 2ln3 −= ;

16. )1(−′y , если x

xx

xy 1315++

+= ;

17. )0(y′ , если 21

xyx

=−

;

18. (3)y′ , если 1694

2 +

+=

xxy ;

19. )(πy′ , если )2(sin xxey x += ;

20. )1(y′ , если 52ln xxy x −+= ;

21. )(πy′ , если xxxy sin)ln(3 += ;

22. )(ey′ , если xxy

x

ln6 6+

= ;

23. )(πy′ , если x

xyx

cosln2 +

= ;

24. )21(y′ , если

xxy

arcsinarccos

= ;

25. )4

(πy′ , если xctgxy ln⋅= .

Ответы

1. 452 xxy −=′ ;

2. 554

215

xxxy −−=′ ;

3. 5

coscos2 x

xtgxy −=′ ;

4. 21

10arccos10ln10x

xyx

x

−−⋅=′ ;

34


matem.or

g.ua

5. 3 23

33 2

3

sin2cos33sin2cos

xx

xxxxx

xxxx

y −=

−⋅=′ ;

6. x

xxxy x coslnsin3ln3 −⋅+=′ ;

7. 24

53

)2()810(

−

−−=′

xxxxy ;

8. 26

56

)3(2)3ln36(2)3(

x

xx

xxxxxy+

+−+=′ ;

9. xarcctgx

arctgxarcctgxy 22)1( +

+=′ ;

10. 2

2

1

)1arcsin1(

x

xxeyx

−

+−=′ ;

11. 2ln3

2ln3)21(,

log4ln1

arccos1log4ln24

2

24 π−

=′⋅−

−+⋅−=′ y

xxx

xxxxy ;

12. ;1)0(),sin(cos =′+=′ yxxey x

13. 2

13)1(,2

12 2 −=′−+

=′ey

xxxeexy

xx;

14. 0)1(,2

)1(22

3=′−

=′ yx

xy ;

15. ;3)1(,2)1ln3( 22 =′++=′ y

xxxy

16. 3)1(;3)12(22

5−=−′+

−=′ y

xxy ;

17. 2)0(,)1(

22 =′

−=′ y

xy ;

18. 722)3(;

)16()3292(2

22

2−=′

−

++−=′ y

xxxy ;

19. );11()(),1sin(cos −+

=′+++=′

ππ

π πeyx

xxxey x

20. ;2ln254)1(,

5

12ln215 4

+=′−+=′ yxx

y x

35


matem.or

g.ua

21. ;2ln254)1(,sin)1

3

1(3 2

+=′+=′ yxxx

y

22. ;5)16ln(6)(,ln

6ln)66ln6( 6

2

65

eeeey

xxxxxxy

exx +−=′−−+

=′

23. );12ln2()(,cos

sin)ln2(cos)12ln2(

2 ππ π +−=′

+++=′ y

x

xxxxy

xx

24. ;312)21(,

arcsin1

arccosarcsin22 π

−=′−

+−=′ y

xx

xxy

25. .4

ln24)4

(,sinln

2π

ππ

−−=′−−=′ yx

xx

ctgxy

4. Производная сложной функции Если функция y = f(u) имеет производную в точке u, а функция u = g(x) –

в точке x, то сложная функция y = f(g(x)) дифференцируема в точке x, причем

)()( xgufy ′′=′ или dxdu

dudy

dxdy

⋅= . (25)

Другими словами, производная сложной функции y = f(g(x)) равняется про-изведению производной от внешней функции f, взятой по внутреннему аргументу u, и производной от внутренней функции g, взятой по независимой переменной x.

Далее, используя правило дифференцирования сложной функции, найти

производные функций.

Пример 45. 85 )43( += xy .

Решение. Внешняя функция – степенная, то есть сначала используем

формулу (7), а потом формулу (2) и получим:

7544755185 )43(12015)43(8)43()43(8 +=⋅+=′+⋅+=′ − xxxxxxy .

Пример 46. xy 4cos= .

Решение. Внешняя функция – степенная, внутренняя – тригонометриче-

ская, то есть используем формулы (7) и (14) и получим:

xxxxxxxy sincos4)sin(cos4)(coscos4)(cos 3334 −=−=′⋅=′=′ .

36


matem.or

g.ua

Пример 47. 3arcsin5 ++= xxy .

Решение. Используем формулы (8), (2), (7), (17), (1) и получим:

)3arcsin(3arcsin2

1)3arcsin( 55

5 ′++⋅++

=′++=′ xxxx

xxy =

= )1

15(3arcsin2

12

45 x

xxx −

+⋅++

.

Пример 48. xtgx ey sin5 ⋅= .

Решение. Используем формулы (3), (11), (15), (12), (13) и получим:

).coscos

15(ln5

cos5cos

15ln5)(sin5

)(5ln5)(5)5()5(

2sin

sinsin2

sin

sinsinsinsin

xx

e

xeex

xe

etgxeeey

xtgx

xtgxxtgxxtgx

xtgxxtgxxtgxxtgx

+⋅=

=+⋅=′+

+′⋅=′+′=′=

Пример 49. x

ctgxy 43log

= .

Решение. Используем формулы (4), (8), 16), (7), (9):

=⋅−−

=

=′−′

=′=′

243

33

432

243

43

43

43

)(log

)3ln

1log4(log)sin

1(2

1)(log

)(loglog)()

log(

x

xxctgxx

xctgx

x

xctgxxctgx

x

ctgxy

x

xctgx

xctgx

x

x

xctgx

xctgx

xx

53

23

83

233

3

log

3ln4

sin2

log

log

)3ln

4

sin2

log(log ⋅+

−=

⋅+−

= .

Пример 50. )15(ln 324 −+= xexarcctgy .

Решение. Используем формулы (7), (10), (20), (8), (2), (7), (12), (1) и полу-

чим: ))15((ln 324 ′−+=′ xexarcctgy = 3 2 34 ln ( 5 1)xarcctg x e+ − ×

32 3 2 3 2 2 3

1 1 1( ) (10 3).5 1 1 ( 5 1) 2 5 1

xx x x

x earcctg x e x e x e

× − ++ − + + − + −

37


matem.or

g.ua

Пример 51. )4(

3sin2

25

tgxchxy = .

Решение. Используем формулы (4), (7), (13), (6), (7), (7), (22), (11), (15) и

получим: =′−′

=′=′ 22

252225

2

25

))4((3sin))4(()4()3(sin)

)4(3sin( tgx

tgxtgx

tgx chxchchx

chxy

=⋅−⋅⋅⋅

=)4(

cos3sin4ln4)4()4(2)4(233cos3sin5

42

252224

tgx

tgxtgxtgxtgx

chxxshchchxxx

)4(

)cos

3sin4ln4)4()4(3cos3sin15(2

32

25224

tgx

tgxtgxtgx

chxxshchxxx ⋅−⋅⋅

= .

Задания Найти производные функций:

26. xexxy 4sin324 3)1( ++−= ;

27. 3

sin2

10lg 6 xx

xy −+−

= ;

28. xxtgxxxy 3cos67 63 23 72174 +⋅++−= ;

29. xtgxtgxy 35 4)(sin3cos +⋅= ;

30. x

xy 2sin3

6log 72 ⋅

−= ;

31. 254 2ln12 xx exy −+⋅= ;

32. 46

3

)53(4+

=x

xctgy ;

33. )(sin)3( 264 xex

xy −⋅−= ;

34. xx xctgey 545 2 54 π+⋅+= ;

35. xexxy 633

28

4cos −⋅+= ;

36. 2

102cos)34( 43 2 xx

xy +⋅+= ;

37. xxtgey x ++⋅= 224sin ;

38. xxy 2)3

1(sin3 ⋅−

= ;

39. )23(sin2 45 74ln xxy x +⋅+= ;

40. 3

1ln2 6/ xy x −⋅= π ;

41. )123(sin 322 +−+= − xxxey x ;

42. 3252 sin)33

(ln xxxy x −+= ;

43. 32ln )6(4 xx ey −= ;

44. x

xyx

2

2/

cos3ln2 +

= ;

45. )2

3(ln 3 222 xxtgy += ;

46. 22

3 )1)(sin(lnx

xxy ++= ;

47. )3

52(ln2

233 xxtgxey x ++= − ;

48. 232 )sin( xxtgy += ;

49. )2ln( 5323 xxxey x −+= ;

50. 331

)sincos2( xxy xtg

++= .

38


matem.or

g.ua

Ответы

26. xxexxxxy x 4cos4sin12)12()1(6 24sin2224 3+−+−=′ ;

27. 3

cos3

sin210ln)2)(10(

12 5 xxxx

y −+−

−=′ ;

28. xx

xtgxx

xtg

xx

xxy x 3sin7ln732cos

2127

26

)174(3

)76(2 3cos2

57 6

7

6

3 223⋅−++

+−

−=′ ;

29. xx

xxxxtgxyxtg

3cos4ln43

)(sincoscos3cos)3(sin3cos3sin15 2

2

2

54 ⋅

++−=′ ;

30. 2

62

7 2cos2sin3

6log14

2ln)6(

2sin

xxx

x

xxy

−

−−

=′ ;

31. 25

34102ln124

22ln12ln12 x

xxxe

xx

xxy −−

⋅+=′ ;

32. xx

xxctgxxxctgy4sin)53(

)4sin418159(44256

2562

+

++−=′ ;

33. )cos()(sin)3(12)(sin)34( 22542262

3 xxxx eex

xeex

xy −−−− −−+=′ ;

34. ππ ln55sin

5420

)4(5

52 52

35 2

5 42

42x

x

x

x

xxctge

e

xctgey ++

−+

=′ ;

35. xx

exx

exxy 633 2

62 26

43

24sin4cos23 −

−⋅−+−=′ ;

36. 10ln102)2sin()2(cos)34(8

343

)2(cos2 2

2

33 2

3

4

xx

xxx

xxy x⋅+

++

+=′ ;

37. xxx

xtgextgxeyx

x

+++=′

241

2cos282cos 2

3sin4sin ;

38. ))3

1cos(2

2ln)3

1)(sin(3

1(sin2 2 xx

xxy x −−

−−=′ ;

39


matem.or

g.ua

39. ))23cos(8)23sin(57)(23(sin2ln2 5 75 23

4lnxxxxx

xy

x+++++=′ ;

40. )1

33

1ln2ln(3

1ln2 25/

xx

xxy x

−+

−−−=′

ππ ;

41. 1223sin2122

236sin3( 323

22 +−−−

+−

−+=′ − xxx

xx

xxey x ;

42. )33

(ln2sin3sin)5

13ln33

ln2( 5232325 4

xxxxxx

xx

y xx −++−+=′ ;

43. )6ln26()6(6 2ln

22ln4

4 xx

xx ex

ey −−=′ ;

44. x

xxxy

xx

3

2/2/

cos

)3ln2(2sin2cos)12

2ln2( +++=′ ;

45.

++

+=′ 323 22

3 22

32

23cos2

33

23

)2

3ln(2

xx

xtg

xxtg

xxtgy ;

46. )2ln)cos(ln3()1)(sin(ln2 3

23

23

xx

xxx

xxxy +

−⋅+

+=′ ;

47. )3

102cos

2ln6()3

52(ln3 2223

2233 x

xx

xexxtgxey xx +++++−=′ −− ;

48. )cos3cos

()sin(2 322

32 xxxx

xtgxxtgy +⋅+=′ ;

49. )2ln5

3

122ln333(4

3 25323

xx

xxxxxey x −++−+=′ ;

50.

+−−⋅

++=′

xxxx

xx

xxyx

tgx

tg

sin2coscossin31cos

2ln2sincos23 222

12

31

.

40


matem.or

g.ua

5. Производная обратной функции Пусть )(xfy = и )(ygx = – пара взаимнообратных функций. Если функ-

ция )(xfy = строго монотонна на интервале (a,b) и имеет отличную от нуля производную )(xf ′ в произвольной точке этого интервала, то существует об-ратная функция )(ygx = , которая также имеет производную )(yg′ , причем

)1(,)(

1)(y

x xy

xfyg

′=′

′=′ . (26)

Пример 52. Найти производную xy′ , если 25 3yyx −= . Решение

yyxy 65 4 −=′ . Согласно формуле (26) yy

yx65

14 −

=′ .

Пример 53. Найти производную xy′ , если yyyx sinln += . Решение

yyyyyyyx yyy cos1lncos)(lnln ++=+′+′=′ . yy

yx cos1ln1++

=′ .

Задания

51. 145 −−= yyx ;

52. yex sin= ; 53. yyx 33 cossin += ;

54. yyarctgx arcsin)3( +−= ;

55. yyx y 5105 3cos ++= .

Ответы

51.

1

25

1

4

34

−−

=′

y

yyyx ; 54.

22 1

1)3(1

11

yy

yx

−+

−−

=′ ;

52. ye

y yxcos

1sin=′ ;

53. )cos(sin2sin3

2yyy

yx −=′ ;

55.

yy

yyy

yx

5102

5305ln)sin(5

1

3

2cos

+

++−

=′ .

6. Дифференцирование неявной функции Пусть функция )(xy задана уравнением 0),( =yxF , не разрешимым от-

носительно зависимой переменной y . Чтобы найти производную y′ , нужно продифференцировать обе части уравнения 0),( =yxF по х, не забывая при этом, что у является функцией переменной х. Полученное уравнение решить

41


matem.or

g.ua

относительно y′ . Таким образом, производную находим из условия

0),( =yxFdxd . Производная неявной функции выражается через независимую

переменную х и саму функцию у. Пример 54. Найти производную xy′ , если 2552 =+ yx .

Решение. Продифференцируем по x обе части уравнения 2552 =+ yx и

получим: 44

52052yxyyyx −=′⇒=′+ .

Пример 55. Найти производную xy′ , если 23323 1010 xyyxx =++ . Решение. Продифференцируем по х обе части приведенного уравнения,

помня, что у является функцией от х: xyyyyxxyx 2103)32(103 22232 ⋅=′+′++ ;

xyyyyxxyx 20330203 22232 =′+′++ ; 3222 20320)110(3 xyxxxyy −−=+′ ;

)110(3)20320(

)110(320320

22

3

22

32

+

−−=

+

−−=′

xyyxx

xyxyxxy .

Пример 56. Найти производную xy′ , если )()cos()sin( yxtgyxxy +=+ .

Решение. Продифференцируем по x обе части приведенного уравнения:

)()(cos

1)()sin()()cos( 2′+

+=′⋅−′⋅ yx

yxyx

yxxyxy ;

)1()(cos

1)sin()()cos( 22 yyxy

yxyyxyxyxy ′+

+=′−

⋅−′+⋅ ;

;)(cos)(cos

1)sin()sin(1)cos()cos( 222 yxy

yxyx

yyx

yx

yxyyxxyy

+

′+

+=

′+−′+

);sin(1)cos()(cos

1)(cos

1)sin()cos( 222 yx

yxyy

yxyxyx

yxxyxy +−

+=

+−+′

+−+

+−+=′

)(cos1)sin()cos(

)sin(1)cos()(cos

1

22

2

yxyx

yxxyx

yx

yxyy

yxy .

42


matem.or

g.ua

Задания Найти производную y′ от неявно заданных функций:

56. 12

2

2

2=+

by

ax ;

58. xaxy 3sincos 22 = ; 60. xyy =ln2 ; 62. )cos( xyy += ; 64. arctgyxy += ;

57. 0333 =−+ axyyx ;

59. 032 3223 =+++ yxyyxx ; 61. yxyx arcsinarcsin −=− ; 63. )cos(yxx = ; 65. 02coscossin =+− yyyx .

Ответы

56. yaxby 2

2−=′ ;

58. xy

xyxaycos2

sin3cos3 22 +=′ ;

60. )1(ln2

1+

=′y

y ;

62. )sin(1

)sin(yx

yxy++

+−=′ ;

64. 11122

2+=

+=′

yyyy ;

57. axyxayy

−

−=′ 2

2;

59. 22

22

962343

yxyxyxyxy

++

++−=′ ;

61. 2

2

2

22

11)11)(11(

xy

y

yxy

−

−−+−−=′ ;

63. )sin(

1)sin(xyx

xyyy +−=′ ;

65. yxyy

yycossin2sin2

sin−−

−=′ .

7. Дифференцирование функций заданных параметрически

Производная функции )(xy , заданной параметрическими уравнениями )(),( tytx φϕ == , где )(),( tt φϕ – дифференцируемые в точке t функции, причем

0)( ≠tϕ , вычисляются по формулам

)()(

tt

dtdxdtdy

dxdy

ϕφ′′

==

или tt

x xyy′′

=′ . (27)

Пример 57. Найти xy′ , если

=

=

.cos2

;sin33

3

tx

ty

Решение. Поскольку ttttty tt cossin9cossin33)sin3( 223 =⋅=′=′ ;

,cossin6)sin(cos32)cos2( 223 tttttx tt −=−⋅=′=′ согласно (27)

tgttt

ttttyx 2

3cossin

23

cossin6cossin9

2

2−=−=

−=′ .

43


matem.or

g.ua


+=

=

.1

,3

2

tx

ty

Решение. Найдем производные: tyt 2=′ ; 23txt =′ . Согласно (27)

tttyx 3

232

2 ==′ .


=

=

.cos

,sin22

22

tex

teyt

t

Решение. Найдем производные: ;cossin2sin2)(sinsin)()}3(согласно{)sin( 222222222 ttetetetetey tttt

tt

t +=′+′==′=′

.cossin2cos2)(coscos)()cos( 222222222 ttetetetetex ttttt

tt −=′+′=′=′

Тогда соответственно формуле (26)

tttt

ttetettetey tt

ttx

2sincos22sinsin2

cossin2cos2cossin2sin2

2

2

222

222

−

+=

−

+=′ .

Задания

Найти производную xy′ параметрически заданной функции:

66.

=

=

;cos3

,sin4

ty

tx 72.

−=

−=

);cos1(2

),sin(2

ty

ttx

67.

+=

−=

;2

,22

2

tty

ttx

68.

+=

=

;sin2

,cos

tty

tx

73.

+=

+=

;13

,13

3

2

3

tty

ttx

69.

+=

=

;2cos22sin

,

tty

tgtx 74.

=

=

;

,3 ty

tx

70.

=

=

;sin

,cos

tty

ttx

71.

=

=

;2

,2

tchy

tshx

75.

=

=

.3

,3

2

tty

tx

Ответы

66. tgtyx 43

−=′ ; 71. ttnyx 2=′ ;

72. t

tyx cos1sin−

=′ ;

44


matem.or

g.ua

67. 11

−+

=′ttyx ;

68. t

tyx sincos21+

−=′ ;

69. )2sin22(coscos2 2 tttyx −=′ ;

70. ttttttyx sincos

cossin−+

=′ ;

73. 3

3

21)2(

tttyx

−

−=′ ;

74. 632

tyx =′ ;

75. t

tyx 212 −

=′ .

8. Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции

В некоторых случаях при нахождении производной удобнее функцию

сначала прологарифмировать, а потом найти производную неявной функции. Данная операция называется логарифмическим дифференцированием. Этот способ целесообразно использовать в двух случаях:

1) если надо продифференцировать произведение трех и больше функций или дробь, числитель и знаменатель которой содержат произведения функций;

2) если надо продифференцировать показательно-степенную функцию )()( xUxVy = .

Функцию )()( xUxVy = можно продифференцировать, используя формулу:

VUVUVVxVy UUxU ′+′⋅=′=′ −1)( ln))(( , (28) то есть производная показательно-степенной функции равняется произ-

ведению показательной функции при условии constV = и степенной при усло-вии, что constU = .

Уместно отметить, что довольно часто ошибаются, считая функцию )()( xUxVy = или только степенной, или только показательной.

Пример 60. Найти производную функции tgxxxxy

x

⋅−⋅⋅+

=15

3cos)1( 222.

Решение. Производную данной функции можно найти по правилу произ-водной частного. Однако этот способ в данном случае громоздкий. Пролога-рифмируем данное выражение. Напомним, что

baba ccc logloglog +=⋅ ; (29)

baba

ccc logloglog −= ; 30)

ana c

nc loglog = . (31)

45


matem.or

g.ua

Получим:

);15ln()3cos)1ln((15

3cos)1(lnln 222222

tgxxxxtgxxxxy x

x⋅−−⋅⋅+=

⋅−⋅⋅+

=

)ln15(ln3lncosln)1ln(ln 222 tgxxxxy x +−−+++= ;

tgxxxxxy ln)15ln(213ln2cosln)1ln(2ln 2 −−−+++= .

Продифференцируем обе части:

xtgxxxx

xxy

y 22

2 cos11

155

213ln22)sin(

cos1

121

−−

−+−++

=′ ;

−

−−+−+

+=′

xtgxxxx

xxyy 2

22 cos

1115

5213ln22)sin(

cos1

12 ;

−

−−+−

+⋅−⋅+

=′xtgxx

xxx

xtgxxxxy

x

22

2222

cos1

)15(253ln22

cossin

12

153cos)1( .

Пример 61. Найти производную функции ( ) xtgxy sin= . Решение. Применим логарифмическое дифференцирование и получим:

( ) == xtgxy sinlnln (см. 29) )ln(sin tgxx= ;

( )

;cos

1sincossin)ln(cos

cos11sin)ln(cos

))(ln(sin)ln(sin))ln((sin1

22 xxxxtgxx

xtgxxtgxx

tgxxtgxxtgxxyy

+=+=

=′+′=′=′

( ) )cos

1)ln((cos)cos

1)ln((cos sinx

tgxxtgxx

tgxxyy x +=+=′ .

Пример 62. Найти производную функции ( ) xxxy 32 25arcsin += .

Решение. Применим формулу (28). Тогда xxV 5arcsin)( = ;

xxxU 32)( 2 += .

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) .)5(1

55arcsin32

322

345arcsinln5arcsin

5arcsin5arcsin32

325arcsinln5arcsin

21322

232

1322

232

2

2

2

2

xxxx

xx

xxx

xxxx

xxxxy

xx

xx

xx

xx

−⋅⋅++

++

+⋅⋅=

=′⋅++

+′

+⋅=′

−+

+

−+

+

46


matem.or

g.ua

Задания Найти производные функций:

76. ( ) xtgxy 2cos= ;

77. ( )3 23 4cosx

xy = ;

78. tgxx

xxey

x

ln)12(

)1(2

ln

3 2

23

−

+⋅= ;

81. )2cos1)(23(1sin)1(

2

33 2324

xxexxxy

x

−−

⋅++−= ;

82. ( ) xxtgy 3cos2sin= ;

83. ;)1()22(1cos 3 22 xxxctgxtgx

xy −−=

79. 3 2

322

13

sin2cos4

+

⋅⋅+=

xx

xxxy ;

80. tgx

xy

−=

3ln10

sin π ;

84. 4ln3

72

6)1(

5x

x

x

exxy−

⋅−= ;

85. 232

5

)sin(2

cos23

xxtg

xey

xx

+=

− π

.

Ответы

76. ( )

−⋅=′

xtgxx

xxtgxy x

2cos)ln(2sin

2sin2cos22cos ;

77. ( )

−=′

xxxx

x

xxyx

4cos4sin4cos312

43

)4ln(cos24cos 3

23

3 2

3233

;

78. ;ln2sin

2)12(3

41

6)2ln(ln

1

ln)12(

)1(2

ln

3

2

3 2

23

−

−−

++

−+

−

+=′

tgxxxxx

xxx

tgxx

xxey

x

79. ;13

21622413

sin2cos42

3223 2

322

+−−+−

++

⋅+=′

xx

xctgxxxtg

xx

xx

xxxy

80. ;)3ln

10(sincos

)3ln10

ln(sin3ln10

sin 2

−+

−

−=′

xx

tgxx

xx

ytgx

π

ππ

81. );223

43)1(sin3

2sin1)12(6(

)2cos1)(23(1sin)1(

2224

2

2

3 23243ctgx

xx

xx

xxxx

xxxxxey

x−

−++

++

+−

−

−−

++−=′

82. ( ) ;))(sinln(6sin3)(sincos)(sin

cos3cos)(sin 2

23cos2

−=′ xtgx

xxtgxxxtgy x

47


matem.or

g.ua

83. ;)1(3

138sin

81

2)1()22(1cos 23 22

−−

+−+−−=′xxx

xxx

tg

xxxxctgxtg

xxy

84. ;6ln41

371

)5(252

6)1(

52ln3

72

4

−

−−+

−

−

−

⋅−=′

xxxx

x

exxyx

x

85.

+

+−−−=′

xxxxtgxxxxxtgxtgxxy 232

3222

cos)sin()coscos3(2

22103 ππ .

)sin(2

cos

232

5 23

xxtg

xe xx

+⋅

− π

9. Геометрический, физический и механический смысл производной

1. Производная функции )(xfy = для каждого значения x равняется угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в соответствующей точке, то есть αtgxf =′ )( 0 , где α – угол, который образовывает касательная к графику функции в точке 0x с положительным направлением оси Ox (рис. 15).

y

xO

α

x0

f x( )0

y=f x( )

Рис. 15. Геометрический смысл производной

Приведем уравнение касательной к графику функции )(xfy = в точке

);( 00 yxM : ))(( 000 xxxfyy −′=− , (32)

а также уравнение нормали, которая проходит через ту же самую точку перпендикулярно к касательной:

)()(

10

00 xx

xfyy −

′−=− . (33)

48


matem.or

g.ua

2. Если функция )(xfy = описывает некоторый физический процесс, то производная y′ является скоростью изменения этого процесса, то есть

какую бы зависимость не отображала функция )(xfy = , отношение xy

∆∆

можно

рассматривать как среднюю скорость изменения функции y относительно ар-гумента x , а производную )(xf ′ – как мгновенную скорость изменения этой функции. В этом заключается физическое содержание производной.

3. Если )(tSS = – закон движения материальной точки, то производ-ная )(tS ′ – это скорость v точки в момент времени t , вторая производная

)(tS ′′ – мгновенное ускорение a точки в момент времени t , то есть )()();( tvtSatSv ′=′′=′= . (34)

Это механический смысл производной. Рассмотрим примеры относительно использования производной. Пример 63. Составить уравнение касательной и нормали к кривой

11

2 +

−=

xxy в точке 00 =x .

Решение. Определим ординату точки касания: 11010)0(0 −=

+−

== yy , то

есть точка касания имеет координаты )1;0( −M . Найдем производную:

=′

+

−=′

11

2xxy =

+

−′+−+′−22

22

)1()1()1()1()1(

xxxxx

=+

−−+22

2

)1()1(2)1(

xxxx

=+

+−+= 22

22

)1(221

xxxx

22

2

)1(12

+

++−

xxx .

Тогда 1)10(

1020)0( 2 =+

+⋅+=′y . Найдем значение производной в точке

)1;0( −M . Подставив )0(,, 00 yyx ′ в выражения (32) и (33), получим: 11)0(1)1( −=⇒=+⇒−=−− xyxyxy – уравнение касательной;

11)0(11)1( −−=⇒−=+⇒−−=−− xyxyxy – уравнение нормали.

Пример 64. Составить уравнение касательной и нормали к кривой

44 2xxy −

= в точке 20 =x .

Решение. Определим вторую координату точки касания, подставив в

уравнение кривой значения 20 =x : 14

484

224 20 =

−=

−⋅=y . Точка касания

имеет координаты )1;2( . Тогда производная заданной функции =′−

=′4

)4( 2xxy

49


matem.or

g.ua

21)24(

41 xx −=−= . Значение производной в точке касания

0221)2()( 0 =−=′=′ yxy . Таким образом, ⇒−=− )2(01 xy ⇒=− 01y

1=⇒ y – уравнение касательной, а 2=x – уравнение нормали. Пример 65. Составить уравнение касательной и нормали к кривой

064 44 =−+ yxyx в точке )2;1(M . Решение. Подставим координаты точки M в уравнение кривой:

000221614 44 =⇒=−⋅⋅+⋅ . Точка M принадлежит данной кривой, то есть 2;1 00 == yx . Найдем производную заданной функции (функция задана в неяв-

ном виде!): ⇒=′−′++⋅⇒=′−+ 04)(6440)64( 3344 yyyxyxyxyx

⇒=−′++⇒=′−′++⇒ 0)46(616046616 3333 yxyyxyyyxyx

.1314

2628

6321216

162426116)(

64616

3

3

3

3==

−+

=⋅−⋅

⋅+⋅=′⇒

−

+=′⇒ My

xyyxy

Тогда согласно (32) и (33) ⇒−=−⇒−=− 14142613)1(13142 xyxy

121314 −=−⇒ yx – уравнение касательной, а ⇒−−=− )1(13/14

12 xy

⇒+−=−⇒−−=−⇒ 13132814)1(14132 xyxy 411413 =+ yx – уравнение норма-

ли. Пример 66. Составить уравнение касательной и нормали к кривой, за-

данной уравнениями tytx 33 sin;cos == в точке 4/π=t . Решение. Уравнение кривой задано в параметрическом виде. Найдем

42)

4(sin;

42

822)

22()

4(cos 3

033

0 ======ππ yx . Тогда производная

функции заданной параметрически (27):

tgttt

tttty −=

−=′

′=′

)sin(cos3cossin3

)(cos)(sin

2

2

3

3. .1

4)

4( −=−=′ ππ tgy

Уравнение касательной имеет вид: ;)42(1

42

−−=− xy

;42

42

+−=− xy .22 xy −=

Уравнение нормали согласно (33): ;)42(

11

42

−−

−=− xy

42

42

−=− xy ; xy = .

50


matem.or

g.ua

Пример 67. Под каким углом пересекаются линии 822 =+ yx и xy 22 = ? Решение. Под углом между двумя кривыми понимают угол между их ка-

сательными, которые проведены к линиям в точке пересечения М0. Этот угол

можно определить по формуле )()(1)()(

0201

0102xyxyxyxytg

′′+′−′

=ϕ . Чтобы найти точку пере-

сечения заданных линий (обращаем внимание: линии, которые заданы в усло-вии, это окружность и парабола), решаем систему уравнений:

=

=−+⇒

=

=+⇒

=

=+

.2

,082

2

82

2

82

2

2

2

2

22

xy

xx

xy

xx

xy

yx

Первое уравнение имеет корни: 41 −=x (не имеет смысла, так как xy 2±= , то есть 0≥x ) и 22 =x . Отсюда 2222,1 ±=⋅±=y . Мы получили

две точки сечения линий: )2;2(1M и )2;2(2 −M . Найдем угол между кривыми в

точке 1M . Производная функции 822 =+ yx имеет вид:

;22022

yx

yxyyyx −=−=′⇒=′+ 1

22)( 1 −=−=′ My ; 1

22)( 11 −=−=′ My .

Производная функции xy 22 = такая: yy

yyy 12222 ==′⇒=′ ;

21)( 1 =′ My .

Тогда 3

2123

21_1

121

)1(211

)1(21

==+

=−+

−−=ϕtg ; 3arctg=ϕ .

Угол между кривыми в точке 2M предлагаем найти самостоятельно.

Пример 68. Закон движения материальной точки по прямой определяется

формулой 234

1844

tttx +−= . В какие моменты времени ее ускорение равняется

нулю?

Решение. Найдем скорость точки: =′+−=′= )1844

( 234

tttxv

.3612218344

4 2323

tttttt+−=⋅+⋅−=

Тогда ускорение точки: 36243362123)3612( 2223 +−=+⋅−=′+−=′= tttttttva .

По условию ускорение в некоторое время равняется нулю, то есть ⇒=+− 036243 2 tt ⇒±=−±=⇒=+− 24121640128 2,1

2 ttt 2;6 21 ==⇒ tt . Следовательно, ускорение равняется нулю при

с2иc6 == tt .

51


matem.or

g.ua

Пример 69. Тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону tttS 3)( 2= . Найти кинетическую энергию тела через 3 с после начала движе-

ния.

Решение. Кинетическая энергия тела определяется формулой 2

2mvE = .

Найдем скорость 3ln332)3()( 22 ttt ttttSv +=′=′= .

Тогда )3ln32(813ln33332)3( 323 +=⋅+⋅⋅=v ;

222

)3ln32(5,164022

)3ln32(815+=

+⋅=E (Дж).

Задания

86. На графике функции 3)4( −= xxy найти точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

87. В каких точках касательные к кривой 13

23

+−−= xxxy параллельны

прямой 12 −= xy ?

88. В каких точках касательная к графику функции 22

−+

=xxy образовыва-

ет с осью Ох угол 135○? 89. В какой точке нормаль к параболе 2xy = перпендикулярна прямой

14 += xy ? Составить уравнения касательной и нормали к кривой )(xfy = в точке 0x :

90. x

y 1arcsin= , 20 =x ;

91. 92 −= xy , 50 =x ;

92. 1

12 +

−=

xxy , 00 =x .

Составить уравнения касательной и нормали к кривой, заданной парамет-

рически в точке 0t : 93. ttyttx cos,sin −=−= , 2/0 π=t ; 94. ttyttx 2sinsin2,2coscos2 −=−= , 2/0 π=t ;

95. 32,1 ttytx −=−= , 20 =t . Составить уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неяв-

ном виде в точке М (х;у):

52


matem.or

g.ua

96. 023 22 =++− yyxx , М (3;0);

97. 0282 22 =+++ yxx . М (–3;2);

98. 123 32 =−+ yxyx , М (1;0). 99. Закон движения материальной точки выражается формулой

434

++

=ttS . Найти скорость в момент времени 9=t с.

100. Закон движения двух материальных точек вдоль одной прямой опре-деляются уравнениями 143,24 2

22

1 −+=+= ttStS . Найти скорость движе-ния точек в тот момент времени, когда расстояния, пройденные ими, равны ме-жду собой.

101. Найти количество движения материальной точки массой 5=m кг, которая движется прямолинейно по закону tttS 3sin)( 2= в момент времени

6/π=t с (количество движения находим по формуле mvp = ). 102. Под действием силы F материальная точка массой 1=m кг движет-

ся прямолинейно по закону t

ttS 3)(2 +

= . Найти значение силы F в момент

времени 1=t с.

Ответы 86. (4;0) и (1;–27); 87. (3; –2) и (–1;2/3); 88. (0; –1) и (4;3); 89. (–1/8;1/64);

90. ;346

32,03263 −+==−−+π

π xyyx

91. 4045,945 =+=− xyyx ; 92. ;1,1 −−=−= xyxy 93. ;2/,2/2 ππ +−=−+= xyxy 94. ;1,3 +==+ xyxy 95. ;78411,9114 −=+=− xyxy 96. ;33,93 =+−= xyxy 97. ;1,5 −−=+= xyxy

98. ;21

21,22 −=+−= xyxy

99.1/13 (м/с); 100. 10,8 21 == vv и м/с22,24 21 == vv ; 101. 5=p ( м/скг ⋅ ); 102. 3=F Н.

53


matem.or

g.ua

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

1. Определение и геометрический смысл дифференциала Пусть функция )(xfy = дифференцирована в точке х, то есть в этой точ-

ке имеет производную xyxf

x ∆∆

=′→∆ 0

lim)( . Тогда α+′=∆∆ )(xf

xy , где 0→α при

0→∆x . Отсюда приращение функции xxxfy ∆+∆′=∆ α)( . Первое из слагае-

мых линейно относительно x∆ , второе слагаемое – бесконечно малая ве-личина более высокого порядка, чем x∆ . Первое слагаемое составляет главную часть приращения функции, которая и носит название диффе-ренциала функции. Так как дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением, то

dxxfdy )(′= . (35)

Геометрически дифференциал функции )(xf при заданных значени-ях х и x∆ равняется приращению QN ординаты касательной MQ, которая проведена к кривой )(xfy = в точке M, когда аргумент получает прирост

x∆ (рис. 16). y

x

M

α

f x( )y=f x( )

O

N

Q

P

Рис. 16. Геометрический смысл дифференциала функции

2. Основные свойства дифференциала Пусть )(),( xvxu – дифференцированные функции. Тогда выполняются

равенства: 1. )(0 constcdc −= ; 2. dvduvud ±=± )( ; 3. udvvduuvd +=)( ; 4. )( constccdudcu −= ;

54


matem.or

g.ua

5. 0,)( 2 ≠−

= vv

udvvduvud ;

6. )(,)( xuudufudf =′= . Последнее уравнение называют свойством инвариантности формы диф-

ференциала первого порядка. Инвариантность заключается в том, что форма дифференциала первого порядка не изменяется от того, чем является х: незави-симой переменной или некоторой дифференцируемой функцией.

3. Применение дифференциала dxxfdy )(′= в приближенных вычис-лениях и в теории ошибок

При малых x∆ справедливо, что dyy ≈∆ , то есть

xxfxfxxf ∆′+≈∆+ )()()( . (36) Относительная ошибка при вычислении значения функции у может быть

приближенно определена с помощью дифференциала, то есть

ydy

yy≈

∆ . (37)

Пример 70. Найти дифференциал функции 22 cosln1 xxarctgy +−= . Решение. Согласно (35):

2 2 2 2( 1 ln cos ) ( 1 ln cos )dy d arctg x x arctg x x dx′= − + = − + =

.)21

1()21

(

)2)sin(cos

1212

1

1)1(

1(

22

222

22222

dxxtgxxx

dxxtgxxx

x

dxxxx

xxx

−−

=−−

=

=−+−

⋅+−

=

Пример 71. Найти дифференциал функции 015333 =−++ xyyx в точке M(1;2).

Решение. Найдем производную неявно заданной функции:

⇒=′++′+⇒=′++′+ 003333 2222 yxyyyxyxyyyx ⇒+−=+′ )()( 22 yxxyy

.2

2

xyyxy

+

+−=′⇒ Согласно (35): dx

xyyxdxxfdy

+

+−=′= 2

2)( или

.53

1221)( 2

2dxdxMdy −=

+

+−=

55


matem.or

g.ua

Пример 72. Вычислить приближенно значение 3 30 . Решение. Рассмотрим функцию 3)( xxf = . Тогда согласно (36):

xx

xxx ∆+≈∆+3 2

33

3

1 . В нашем случае 30=∆+ xx . Если положим, что

27=x , то 3=∆x и =+≈+ 3273

1273273 2

33928

913

9333 =+=⋅

+ .

Пример 73. Вычислить приближенно значение °155cos . Решение. Рассмотрим функцию xxf cos)( = . Тогда согласно (36):

xxxxxxxx ∆−=∆′+≈∆+ sincos)(coscos)cos( . Переведем градусы в радианы

(это надо делать обязательно!): 36

31155180

155 ππ==° . Пусть

65150 π

=°=x ;

3631π

=∆+ xx , то есть 36

316

5 ππ=∆+ x ;

3665

3631 πππ

=−=∆x .

Получим ≈=°36

31cos155cos π .366

5sin6

5cos πππ⋅−

Согласно формулам приведения 23

6cos)

6cos(

65cos −=−=−=

πππ

π ;

21

6sin)

6sin(

65sin ==−=

πππ

π . Тогда

908,0722

3362

123

3665sin

65cos

3631cos155cos −≈−−=−−=⋅−≈=°

ππππππ .

Пример 74. Найти относительную погрешность при расчете объема ша-ра, если погрешность при определении ее радиуса была r∆ .

Решение. Согласно (37):

rr

r

rr

r

rr

rVrrV

VdV

VV ∆

=∆

=∆′

=∆′

=≈∆ 3

34

4

34

34

)()(

3

2

3

3

π

π

π

π.

Итак, относительная погрешность при определении объема шара при-ближенно равняется утроенной относительной погрешности, которая была сде-лана при расчете радиуса шара.

Задания

103. Найти приращение и дифференциал функции xxy −= 23 при пере-

ходе независимой переменной от значения 1=x к значению 02,1=x .

104. Найти дифференциал функции 5

52

xarctgx

y += в точке 1=x .

56


matem.or

g.ua

Найти дифференциал функций:

105. 2.0

3 xy = ;

106. 11

3

3

−

+=

xxy ;

107. xy cos/12−= ;

108. )42

(ln xtgy −=π ;

109. 21cos

xxy

−= ;

110. xtgy 2= ; 111. tgxy ln5= ; 112. 2)(arcsin arctgxxy += ;

113. xxy x 433 2/1 2−+= − .

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значения выражений: 114. 3 131; 115. °9sin ; 116. °02,0arccos ; 117. 2,1ln .

Ответы

103. 1,0,1012,0 ==∆ dyy ;

104. 26219=dy ;

105. dxx

dy3 26.0

1= ;

106. dxx

xdxx

xxxxdy 23

2

23

3232

)1(6

)1()1(3)1(3

−

−=

−

+−−= ;

107. dxxxdy x )

cossin(2ln2 2

cos1

−=

−;

108. dxxxtgdy )

41(

)42

(cos

1

)42

(

12

−−−

=ππ

;

109. dxx

xxxxdy 22

2

)1()2(cos)1(sin

−

−−−−= ;

110. dxx

tgxdy 2cos12= ;

111. dxxtgx

dy tgx2

ln

cos115ln5= ;

112. dxx

arctgxxx

dy

++

−= 22 1

121

1arcsin2

1 ;

113. dxx

xx

dy x

−+⋅=

− 2623ln3 3

12 ;

114. 5,08; 115. 0,257; 116. 1,55; 117. 0,2.

57


matem.or

g.ua

VI. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

1. Производные высших порядков Пусть на интервале (a, b) задана дифференцируемая функция

)(xfy = , тогда ее производная первого порядка )(xfy ′=′ также является функцией от х. Если функция )(xf ′ также имеет производную на интерва-ле (a, b), то последняя называется второй производной и обозначается од-

ним из символов: 2

2

2

2;);(;

dxfd

dxydxfy ′′′′ .

Производную от второй производной, если она существует, называют

производной третьего порядка, то есть )( 2

2

dxyd

dxdy =′′′ .

Производной n -го порядка функции )(xfy = , называют первую про-изводную, если она существует, от производной )1( −n -го порядка:

)( )1()( ′= −nn yy . Производные порядка выше первого называют производными высших

порядков. Производные выше третьего порядка обозначаются цифрами, кото-рые берутся в скобки.

Пример 75. Найти производную третьего порядка функции 323 345 −+−= xxxy .

Решение. Последовательно находим: 234 6125 xxxy +−=′ ;

xxxy 123620 23 +−=′′ ; 127260 2 +−=′′′ xxy .

Пример 76. Найти производную n -го порядка функции xay = . Решение.

aay x ln=′ ; aaaaay xx 2lnlnln =⋅=′′ ; aaaaaay xx 3lnlnlnln =⋅⋅=′′′ ;

…; .ln)( aay nxn = 2. Вычисление производных второго порядка функций, заданных пара-

метрически Если функция задана параметрическими уравнениями )(),( tyytxx == ,

тогда вторая производная ( 2

2

dxyd или xxy ′′ ) имеет вид:

tt

xdxdy

dxyd

′

′

=2

2 (38)

58


matem.or

g.ua

или

( )32

2

t

ttttx

xyxydx

yd′

′′′−′′′= . (39)

Пример 77. Найти 2

2

dxyd , если 1,ln 2 −== tytx .

Решение. Имеем 22

212

)(ln)1(

t

t

tt

tdxdy

t

t ==′′−

= . Дальше согласно (38)

( ) 22

2

24

14

)(ln2

t

t

tt

t

dx

yd

t

t ==′

′= .

Пример 78. Найти 2

2

dxyd , если tytx sin3,cos2 == .

Решение. Вторую производную вычислим по формуле (39). Для этого найдем tytytxtx tttttt sin3,cos3,cos2,sin2 −=′′=′−=′′−=′ и подставим их в (39).

.sin4

3sin8

cos6sin6)sin2(

cos3)cos2()sin2(sin333

22

32

2

tttt

ttttt

dxyd

−=−

+=

−

−−−−=

3. Производные высших порядков неявно заданных функций Пусть функция задана неявно 0),( =yxF . Чтобы найти первую производ-

ную, продифференцируем это равенство по х и решим полученное уравнение относительно y′ . Для нахождения второй производной продифференцируем первую производную по х и в полученное соотношение подставим ее значение. Если продолжить дифференцирование, то можно найти одну за другой произ-водные любого порядка. Все они будут выражены через независимую перемен-ную х и саму функцию у.

Пример 79. Найти y ′′ , если )sin( yxy += . Решение. Продифференцируем заданную функцию по х:

)1()cos( yyxy ′+⋅+=′ . Решим это равенство относительно y′ :

.)cos(1

)cos()cos())cos(1()cos()cos(

yxyxy

yxyxyyxyyxy

+−+

=′⇒

⇒+=+−′⇒+′++=′

Дифференцируем полученное соотношение по х:

;))cos(1(

)1)(sin()cos())cos(1)(1)(sin(2yx

yyxyxyxyyxy+−

′+++−+−′++−=′′

59


matem.or

g.ua

.))cos(1(

)sin()(1())cos(1(

)cos()sin()cos()sin()sin()(1(

2

2

yxyxy

yxyxyxyxyxyxyy

+−

+−′+=

=+−

++−++++−′+=′′

Учитывая, что )cos(1

)cos(yx

yxy+−

+=′ , имеем

( )

.))cos(1(

)sin())cos(1(

)sin()cos()cos(1))cos(1(

)sin()cos(1

)cos(1

3

32

yxyx

yxyxyxyx

yx

yxyx

yx

y

+−

+−=

=+−

++++−−=

+−

+

+−

++

−=′′

4. Дифференциалы высших порядков Дифференциалом n -го порядка n раз дифференцированной функции

)(xfy = называется дифференциал от дифференциала (n – 1) –го порядка:

)( 1yddyd nn −= , то есть ....)(;)( 3322 dxxfyddxxfyd ′′′=′′=

Пример 80. Найти yd 2 , если 3 2xy = .

Решение. Найдем производные:

;32 3/13 2 −=

′

=′ xxy

3 43/4

9

2)31(

32

xxy −=−=′′ − .

Тогда 23

23 4

29

2

9

2 dxxx

dxx

yd −=−= .

Пример 81. Найти yd3 , если xy 2sin= . Решение. Найдем производные: xyxxxy 2cos2;2sincossin2 =′′==′′ ;

.2sin4 xy −=′′′ Имеем 33 2sin4 xdxyd −= .

Задания Найти производные второго порядка функций:

118. 2xxey = ; 122. )1ln( 2xxy ++= ;

119. 311x

y+

= ;

120. arctgxxy )1( 2+= ;

121. )4( 2xy −= ;

123. xey = ;

124. xxy cos3cos4 3 −= ;

125. xxy arcsin1 2−=

60


matem.or

g.ua

Найти производные второго порядка функций, которые заданы неявно: 126. xyyx 333 =+ ; 127. xyyx −=+ )ln( ;

128. xye yx =+ ;

129. exye y =+ . Найти y ′′ при х = 0. Найти производные второго порядка параметрически заданных функций:

130.

−=

=

);1ln(

,arcsin2ty

tx

131.

==

;sin,cos

tatytatx

132.

=

=

;cos

,sin

tey

text

t

133.

=

=

.2/

,2ty

arctgtx

134. Найти производную второго порядка функции

=

=t

t

ety

ex2,в точке М (1;0).

Найти дифференциалы второго порядка функций: 135. 23 )1()1( −+= xxy ;

136. 4ln2 −= xy ; 137.

24 xy −= ;

138. x

arctgy 1= .

Ответы

118. )23(2 32xxey x +=′′ ;

119. 33

3

)1()12(6

xxxy

+

−=′′ ;

120. arctgxxxy 2

12

2 ++

=′′ ;

121. 32 )4(

4

xy

−

−=′′ ;

122. 32)1( x

xy+

−=′′ ;

123. xx

xeyx

4)1( −

=′′ ;

124. xy 3cos9−=′′ ;

125. 32

2

)1(

1arcsin

x

xxxy−

−+−=′′ ;

126. 32

33

)()13(2

xyyxxyxyy

−

−−−=′′ ;

127. 3)1()(4

−+

+−=′′

yxxyy ;

128. 32

22

)1()1()1(

−

−+−−=′′

yxyxyy ;

129. 21

ey =′′ ;

130. 22

2

12tdx

yd−

−= ;

131. 3

2

2

2

)sin(cos2

tttat

dxyd

−

+= ;

133. 143 242

2++= tt

dxyd ;

134. 22

2=

dxyd ;

135. 222 )125)(1(4 dxxxxyd −−+= ;

136. 2322

32

)4(ln

ln4ln4 dxxx

xxyd−

−−= ;

61


matem.or

g.ua

132. 32

2

)sin(cos2

tte

dxyd t

−=

−;

137. 222 )14ln2(4ln242

dxxyd x −= − ;

138. 222

2

)1(2 dx

xxyd+

= ;

VII. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Правило Лопиталя является эффективным средством нахождения предела

функции при раскрытии неопределенности вида 00 или

∞∞ .

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции )(xf и )(xg : 1) определенные и дифференцированные в окрестности точки 0x , за

исключением, возможно, самой точки 0x , причем 0)( ≠′ xg в этой окрест-ности;

2) 0)(lim)(lim00

==→→

xgxfxxxx

или ∞==→→

)(lim)(lim00

xgxfxxxx

, то есть

)(xf и )(xg одновременно бесконечно малые или бесконечно большие при 0xx → ;

3) существует конечный предел )()(lim

0 xgxf

xx ′′

→, тогда существует предел

отношения функций )()(lim

0 xgxf

xx→ и

)()(lim

0 xgxf

xx→=

)()(lim

0 xgxf

xx ′′

→ . (40)

Надо заметить, что иногда допускается ошибка, ищут вместо предела

)()(lim

0 xgxf

xx ′′

→ предел

′

→ )(

)(lim0 xg

xfxx

. Правило Лопиталя применяется к раскрытию

неопределенностей вида 00 или

∞∞ , которые называются основными. Другие

неопределенности вида 00,0,1,,0 ∞∞−∞∞⋅ ∞ сводятся к основным. Приведем основные способы сведения этих неопределенностей к основным.

1. Неопределенность вида ∞⋅0 ( )()(lim0

xgxfxx→

при 0)(lim0

=→

xfxx

, а

∞=→

)(lim0

xgxx

) сводится к основным так:

==

00

)(1

)()()(

xg

xfxgxf или

∞∞

==

)(1

)()()(

xf

xgxgxf . (41)

62


matem.or

g.ua

2. Неопределенность вида ∞−∞ ( )()(lim0

xgxfxx

−→

при ∞=→

)(lim0

xfxx

и

∞=→

)(lim0

xgxx

) сводится к основным так:

=

−=−

00

)()(1

)(1

)(1

)()(

xgxf

xfxgxgxf . (42)

3. Неопределенности вида 00,0,1 ∞∞ сводятся к неопределенности ∞⋅0

с помощью предыдущего логарифмирования или представления функции как ( ) )(ln)()()( xfxgxg exf = . (43)

Пример 82. Вычислить предел x

ee xx

x

23

0lim −→

.

Решение

1231

23lim)(00lim

23

0

2323

0=−=

−=

′′−

=

=

−→→

xx

x

xxxx

x

eex

eex

ee .

Пример 83. Вычислить предел 2lnlimx

xx ∞→

.

Решение

( )( )

02

1lim2

1

limlnlimlnlim 222 ===′

′=

∞∞

=∞→∞→∞→∞→ xx

x

x

xx

xxxxx

.

Пример 84. Вычислить предел xx

xee xx

x sin2lim

0 −−− −

→.

Решение

=′−′−−

=

=

−−− −

→

−

→ )sin()2(lim

00

sin2lim

00 xxxee

xxxee xx

x

xx

x

=−

−+=

−

→ xee xx

x cos12lim

0

00 . По всей видимости неопределенность

00 осталась,

поэтому снова применим правило Лопиталя:

=−

=−

−+ −

→

−

→ xee

xee xx

x

xx

x sinlim

cos12lim

00

00 . Снова применим правило Лопиталя:

21

11cos

limsin

lim00

=+

=+

=− −

→

−

→ xee

xee xx

x

xx

x.

63


matem.or

g.ua

Пример 85. Вычислить предел )ln)2((lim xarctgxx

−∞→

π .

Решение { }∞⋅=−

∞→0)ln)2((lim xarctgx

xπ . Тогда согласно (41) получим:

=+

=+

=

∞∞

=+

=

=

−

+−

=

=

−=−

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→

xxx

xx

xxx

xxx

xx

x

x

arctgxxarctgx

xxx

xxx

ln2lnlim2

1ln2lnlim2

)1(ln2lim

ln

11

2

lim00

ln1

)2(lim)ln)2((lim

22

2

2

2

2ππ

.01lim21

1

lim22lnlim21

121ln2lim ===

∞∞

=+

=+

=

∞∞

=∞→∞→∞→∞→ x

xx

xxxx

xxxx

Пример 86. Вычислить предел )cos

1(lim

2x

tgxx

−→π

.

Решение

{ } =−=∞−∞=−→→

)cos

1cossin(lim)

cos1(lim

22xx

xx

tgxxx ππ

.01

0sin

coslim00

cos1sinlim

22

=−

=−

=

=

−=

→→ xx

xx

xx ππ

Пример 87. Вычислить предел .lim sin0

xx

x→

Решение }0{lim 0sin

0=

→x

xx . Рассмотрим функцию x

xxy sin

0lim→

= и прологарифми-

руем ее: xx

xy sin0

limlnln→

= . Помня, что )(lnlim)(limln00

xfxfxx →→

= , получим

{ } ==∞⋅===→→→

x

xxxxyxx

xx

sin1

lnlim0lnsinlimlnlimln00

sin0

{=−=−

=→→ xx

x

xx

xxx cos

sinlim

sincos

1

lim2

02

0так как } ===

→ xx

x

2

0

sinlim10cos

01

cossin2lim0

==→

xxx

, то есть 0ln =y , откуда 10 == ey .

64


matem.or

g.ua

Задания

Вычислить пределы функций по правилу Лопиталя:

139. 3423lim 23

23

1 +−

+−→ xx

xxx

;

140. 0coslnlim0

=→ x

xx

;

141. xctg

xx π

)1ln(lim1

−→

;

142. 20

1limx

xe x

x

−+−

→;

143.

−

−→ xxx ln1

11lim

1;

144. xtgxee xtgx

x −−

→0lim ;

145. xx

x sinln2sinlnlim

0→;

146. x

xtgx cos2

2

)(limπ

→;

147. tgxx x

)1(lim0→

;

148. xxx

xe1

0)(lim +

→.

Ответы

139. 5

3 ; 140. 0; 141. 0; 142. 2

1 ;

143. – 21 ;

144. 1; 145. 1; 146. 2e ; 147. 1; 148. 2e .

VIII. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

1. Возрастание и убывание функции. Локальный экстремум функции Функция )(xf называется возрастающей (убывающей) на интервале

);( ba , если для двух произвольных точек 1x и 2x из указанного интервала таких, что 21 xx < , выполняется неравенство )()( 21 xfxf < ( )()( 21 xfxf > ).

Признаки возрастания и убывания функции: 1) если 0)( >′ xf для всех );( bax∈ , функция )(xf возрастает на

интервале );( ba ;

65


matem.or

g.ua

2) если 0)( <′ xf для всех );( bax∈ , функция )(xf убывает на интервале );( ba . Точка 0x называется точкой локального максимума (минимума)

функции )(xf , если существует такая окрестность δ<−< 00 xx точки 0x , которая принадлежит области определения функции, и для всех х из этой окрестности выполняется неравенство )()( 0xfxf < ( )()( 0xfxf > ).

Геометрический смысл определения будет понятен из рис. 17 и 18.

y

x

f x( )0

y=f x( )

O x

f x( )

y

x

f x( )0

y=f x( )

O x

f x( )

0x – точка максимума 0x – точка минимума Рис. 17 Рис. 18

Выясним условия существования локального экстремума. Теорема 1 (необходимое условие локального экстремума). Если

функция )(xf имеет в точке 0x локальный экстремум и дифференцируема в ней, то 0)( 0 =′ xf .

Эта теорема имеет следующий геометрический смысл: если функция )(xf имеет в точке 0x локальный экстремум и дифференцируема в ней, то в

этой точке существует касательная к графику функции )(xfy = и эта касательная параллельна оси Ох. Условие 0)( 0 =′ xf является необходимым, но недостаточным, чтобы в точке 0x функция имела экстремум. Например,

производная функции 3xy = в точке 0=x равняется нулю, но функция не имеет в этой точке экстремума.

Точки, в которых первая производная равняется нулю, называются стационарными или критическими.

66


matem.or

g.ua

Теорема 2 (первое достаточное условие существования локального экстремума). Пусть 0x – критическая точка функции )(xf , которая в этой точке непрерывная, и пусть существует окрестность ( δδ +− 00 ; xx ) точки

0x , в которой функция имеет производную )(xf ′ кроме, возможно, самой точки 0x . Тогда:

1) если в интервале ( 00 ; xx δ− ) производная 0)( >′ xf , а в интервале ( δ+00; xx ) производная 0)( <′ xf , то точка 0x является точкой локального максимума функции )(xf ;

2) если в интервале ( 00 ; xx δ− ) производная 0)( <′ xf , а в интервале ( δ+00; xx ) производная 0)( >′ xf , то точка 0x является точкой локального минимума функции )(xf ;

3) если в обоих интервалах ( 00 ; xx δ− ) и ( δ+00; xx ) производная )(xf ′ имеет одинаковый знак, то точка 0x не является экстремальной

точкой функции )(xf . Другими словами, если при переходе через критическую точку 0x знак

производной )(xf ′ меняется с плюса на минус, то точка 0x является точкой локального максимума функции; если знак производной )(xf ′ меняется с минуса на плюс, то точка 0x является точкой локального минимума; если знак производной )(xf ′ не изменяется, то в точке 0x экстремум отсутствует.

Теорема 3 (второе достаточное условие существования локального экстремума). Пусть 0x – критическая точка функции )(xf , то есть

0)( 0 =′ xf , и в окрестности точки 0x существует вторая непрерывная производная, причем 0)( 0 ≠′′ xf . Если 0)( 0 >′′ xf , то точка 0x является точкой локального минимума функции )(xf ; если 0)( 0 <′′ xf , то точка 0x является точкой локального максимума функции )(xf .

2. Правило исследования функции на экстремум

Чтобы определить локальный экстремум функции )(xf , надо: 1) найти критические точки функции )(xf . Для этого следует найти

производную )(xf ′ и приравнять ее нулю. Найти корни полученного уравнения и среди них выбрать те, что являются внутренними точками области существования функции. Кроме того, найти точки, в которых производная не существует;

2) нанести на ось эти точки и исследовать знак производной в каждом из интервалов, на которые разбивается ось этими точками;

67


matem.or

g.ua

3) по изменению знака )(xf ′ при переходе через критические точки слева направо определить точки максимумов и минимумов. Вычислить значение функции в этих точках.

Пример 88. Найти интервалы монотонности, а также локальные экстре-

мумы функции 5

)(5xxxf −= .

Решение. Область определения функции );( +∞−∞ . Найдем критические точки:

0)1)(1)(1()1)(1(1551)( 22244 =++−=+−=−=−=′ xxxxxxxxf .

Итак, точки 1±=x – критические точки. Нанесем эти точки на ось и оп-ределим знаки производной на каждом из интервалов

-1 1 x

- + -

f x ( )

)(xf

Таким образом, функция убывает, если );1()1;( ∞−−∞∈ ∪x , и возрастает, если )1;1(−∈x . По теореме 2 видим, что 1−=x – точка локального минимума;

1=x – точка локального максимума. Вычислим 54

5)1(1)1(5

min −=−

−−=−= yy ;

54

5)1(1)1(5

max =−== yy .


мумы функции x

xxf 1)( 2 += .

Решение. Область определения функции );0()0;( ∞−∞ ∪ . Найдем произ-

водную 0)

41

2)(

21(2)

21(21212)( 2

332

32

3

2

3

2 =++−

=−

=−

=−=′x

xxx

x

x

xx

xxxf .

Производная )(xf ′ равняется нулю при 3 21

=x и не существует при 0=x .

Обозначим эти точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов

0 x

- - +

f x ( ) 3 21

)(xf

68


matem.or

g.ua

Таким образом, функция убывает, если )2

1;0()0;( 3∪−∞∈x , и возрастает,

если );2

1(3 ∞∈x . Кроме того, 3 21

=x – точка локального минимума;

4

234

3421

4812

41

211

41)

21(

3

333

33

33

33min ==+

=+

=+=+== yy .

Отметим, что точка 0=x не является критической точкой (в этой точке функция неопределенная).


мумы функции 31)(

+−

=xxxf .

Решение. Область определения функции );3()3;( ∞−−−∞ ∪ . Найдем про-изводную

=+

−−+=

+

′+−−+′−==′

22 )3()1(1)3(1

)3()3)(1()3()1()(

xxx

xxxxxxf 22 )3(

4)3(

13+

=+

+−+

xxxx .

Видим, что производная 0)( ≠′ xf при всех значениях х. Поэтому на ось нанесем только точку 3−=x , то есть функция будет возрастающей на всей чи-словой оси.

-3 x

+ +

f x ( )

)(xf

В точке 3−=x функция не определена. Пример 91. Исследовать функцию 132 23 −+= xxy . Решение. Область определения функции );( ∞−∞ . Производная

xxy 66 2 +=′ . Решим уравнение при 0=′y .

0,10)1(6066 2 =−=⇒=+⇒=+ xxxxxx – критические точки. Найдем вторую производную: 612 +=′′ xy .

Определим знак производной y ′′ в критических точках: 066012)0(;066)1(12)1( >=+⋅=′′<−=+−=−′′ yy . По теореме 3 делаем вы-

вод: 1−=x – точка максимума, а 0=x – точка минимума. Причем 01321)1(3)1(2)1( 23 =−+−=−−+−=−y ; 11)0(3)0(2)0( 23 −=−+=y .

69


matem.or

g.ua

Задания

Найти промежутки возрастания и убывания функций, а также их экстре-мумы:

149. 24 45,0 xxy −= ;

150. 12 +

=x

xy ;

153. xx eey 2−− −= .

152. )4)(1(

1−−

=xx

y ;

153. 44

32 ++

=xx

xy ;

Ответы

149. 2±=x – точки минимума, 0=x – точка максимума. Функция воз-

растает на интервале );2()0;2( ∞− ∪ , функция убывает на интервале )2;0()2;( ∪−−∞ ;

150. 1−=x – точка минимума, 1=x – точка максимума. Функция возрас-тает на интервале )1;1(− , функция убывает на интервале );1()1;( ∞−−∞ ∪ ;

151. 25,0max =y при 2ln=x . Функция возрастает на интервале )2ln;(−∞ , функция убывает на интервале );2(ln ∞ ;

152. 5,2=x – точка максимума. Функция возрастает на интервале )5,2;1()1;( ∪−∞ , функция убывает на интервале );4()4;5.2( ∞∪ ;

153. 2=x – точка максимума. Функция возрастает на интервале )2;2(− , функция убывает на интервале );2()2;( ∞−−∞ ∪ .

3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке Иногда путают локальный максимум (минимум) с наибольшим (наи-

меньшим) значением функции, которого она достигает на отрезке. Локальных максимумов и минимумов функция может иметь несколько, тогда как наи-большее (наименьшее) значение одно.

Чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции )(xfy = на отрезке [ ]ba; , нужно:

1) найти производную )(xf ′ и критические точки данной функции; 2) вычислить значение функции в тех критических точках, которые при-

надлежат интервалу [ ]ba; , а также в точках a и b ; 3) среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Пример 92. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

233)( 23 ++−= xxxxf на отрезке [ ]2;2− .

70


matem.or

g.ua

Решение. Найдем критические точки, для этого определим производную )(xf ′ и приравняем ее к нулю: 0363)( 2 =+−=′ xxxf ; 23 6 3 0;x x⇒ − + = ⇒

⇒=−⇒ 0)1( 2x 12,1 =x . Эта точка принадлежит интервалу [ ]2;2− . Тогда

24261282)2(3)2(3)2()2( 23 −=+−−−=+−+−−−=−f ;

32331213131)1( 23 =++−=+⋅+⋅−=f ;

426128223232)2( 23 =++−=+⋅+⋅−=f . Таким образом, 24)2( −=−= ffнаим , 4)2( == ffнаиб . Пример 93. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

xxxf ln)( 2= на отрезке [ ]e;1 .

Решение. Найдем производную =′+′=′=′ )(lnln)()ln()( 222 xxxxxxxf 2

2 ln xx xx

= + )1ln2(ln2 +=+= xxxxx . Из условия 0)( =′ xf найдем критические

точки: 0)1ln2( =+xx . Так как функция xln определена при 0>x , то 0≠x , по-

этому критическую точку находим из условия ⇒−=⇒=+21ln01ln2 xx

12 1x e

e

−= = = . Эта точка не принадлежит промежутку [ ]e;1 . Поэтому вычис-

лим лишь значение функции на концах отрезка, то есть в точках 1=x и ex = . ;01ln1)1( 2 ==f 22 ln)( eeeef == . Таким образом, 2)( eeffнаиб == ,

0)1( == ffнаим . Пример 94. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

xxxf 2cos)( += на отрезке

2;0 π .

Решение. Определим критические точки: 02sin1)sin(cos21)cos()( 2 =−=−+=′+=′ xxxxxxf ;

12sin =x ; Znnx ∈+= ,22

2 ππ ; Znnx ∈+= ,

4π

π .

Среди полученных точек выберем те, которые принадлежат промежутку

2;0 π . Это точка

4π

=x . Найдем значение функции на концах промежутка и в

этой точке.

10cos0)0( 2 =+=f ; 4

242

422

4)

4(cos

4)

4(

22 +

=+=

+=+=

ππππππf ;

2)

2(cos

2)

2( 2 ππππ

=+=f 1)0( ==⇒ ffнаим , 2

)2

( ππ== ffнаиб .

71


matem.or

g.ua

Задания

Определить наибольшее и наименьшее значение функции на указанном промежутке: 154. ]3;0[,210156 345 ∈++−= xxxxy ;

155. ]2

;0[,2cossin2 π∈+= xxxy ;

156. ]3

;6

[,2 ππ∈+= xxctgtgxy ;

157. ];1[,ln2 2 exxxy ∈−= ;

158. ]3;1[,84 ∈+= x

xxy .

Ответы

154. ,511)3( == yyнаиб 2)0( −== yyнаим ;

155. ,23)

6( ==πyyнаиб 1)

2()0( ===πyyyнаим ;

156. ,3

32=наибy 1=наимy ;

157. ,12)( 2 −== eeyyнаиб 2)1( == yyнаим ; 158. ,9)1( == yyнаиб 5,2)2( == yyнаим .

4. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба

Кривая )(xfy = называется выпуклой на интервале );( ba , если все ее точки, кроме точки соприкосновения, лежат ниже произвольной ее ка-сательной на этом интервале (рис. 19). Кривая )(xfy = называется вогну-той на интервале );( ba , если все ее точки, кроме точки соприкосновения, лежат выше произвольной ее касательной на этом интервале (рис. 20). Точкой перегиба называется такая точка кривой, которая отделяет ее вы-пуклую часть от вогнутой (рис. 21).

Рис. 19 Рис. 20 Рис. 21

72


matem.or

g.ua

Для исследования графика функции на выпуклость и вогнутость приме-няется вторая производная функции.

Теорема 4. Пусть функция )(xfy = является дважды дифференци-руемой на интервале );( ba . Тогда:

1) если );(,0)( baxxf ∈<′′ , то график функции )(xfy = выпуклый на интервале );( ba ;

2) если );(,0)( baxxf ∈>′′ , то график функции )(xfy = вогнутый на интервале );( ba .

Из теоремы вытекает необходимое условие существования точки переги-ба. Точки, в которых вторая производная )(xf ′′ равняется нулю или не существует, называют критическими точками второго рода функции

)(xfy = . Сформулируем достаточные условия существования точек перегиба. Теорема 5. Пусть 0x – критическая точка второго рода функции

)(xfy = . Если при переходе через точку 0x вторая производная )(xf ′′ из-меняет знак, то точка М ( 0x ; )( 0xf ) является точкой перегиба кривой

)(xfy = . Пример 95. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба

кривой 693 23 ++−= xxxy .

Решение. Находим производные: 963 2 +−=′ xxy ; 66 −=′′ xy . Решаем уравнение: 0)( =′′ xy ; 066 =−x ; 0)1(6 =−x ; 1=x , то есть 1=x – критиче-ская точка второго рода. Обозначим эту точку на числовой прямой и определим знак второй производной на каждом из интервалов.

1 x

- +

f x ( )

)(xf

Если 1<x , то 0)( <′′ xf и кривая выпуклая; если 1>x , то 0)( >′′ xf и кри-вая вогнутая. При переходе через точку 1=x вторая производная изменяет знак. Итак, точка )13;1( является точкой перегиба данной кривой.

Пример 96. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой 504812 234 −+−= xxxy .

Решение. Определим производные: xxxy 96364 23 +−=′ ; 967212 2 +−=′′ xxy .

Находим критические точки второго рода ( 0)( =′′ xy ): 0967212 2 =+− xx ;

0862 =+− xx ; 0)4)(2( =−− xx ; 4,2 21 == xx – критические точки второго ро-да. Нанесем их на числовую прямую и определим знак второй производной на полученных интервалах.

73


matem.or

g.ua

2 4 x

+ - +

f x ( )

)(xf

Для );4()2;( +∞−∞∈ ∪x 0)( >′′ xf и кривая вогнутая. Для )4;2(∈x 0)( <′′ xf и кривая выпуклая, то есть при переходе через точки 4и2 21 == xx

вторая производная изменяет знак. Вычислим )2(y и )4(y : 62)2( =y и 206)4( =y . Таким образом, точки (2; 62) и (4; 206) – точки перегиба данной кривой.

Пример 97. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой )7ln12(4 −= xxy .

Решение. Определим производные: )7ln12()7ln12()( 44 ′−+−′=′ xxxxy =

=+−=+−= 3343 12)7ln12(412)7ln12(4 xxxx

xxx );1ln3(16 3 −xx

.ln144ln348316)1ln3(48))1ln3(16( 22323 xxxxx

xxxxxy =⋅=⋅+−=′−=′′

Приравняем вторую производную к нулю: ⇒= 0ln144 2 xx

==

⇒

==

⇒.1,0

0ln0

2

11xx

xx

Так как заданная функция существует при );0( ∞∈x , то

получим одну критическую точку. Это 1=x . Прежде чем определить знак вто-рой производной на полученных интервалах, приведем график функции

xy ln= (рис. 22).

Рис. 22

Теперь обозначим на числовой прямой критическую точку второго рода

1=x и определим знак второй производной в окрестности этой точки.

0 1 x

- +

f x ( )

)(xf

74


matem.or

g.ua

Итак, при переходе через точку 1=x вторая производная изменяет знак. Если )1;0(∈x – кривая вогнутая, если );1( ∞∈x – кривая выпуклая; 7)1( −=y . Точка (1;7) – точка перегиба данной кривой.

Задания

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривых:

159. 535 23 +−−= xxxy ;

160. 432 236 xxxxy −−+= ; 161. xy sin= ;

162. xxy ln2= ;

163. xxey = .

Ответы

159. вогнутый);35(выпуклый,)

35;(,перегибаточка)

2725;

35( −∞−−∞−− ;

160. (–3; 294) и (2; 114) – точки перегиба, выпуклый,);2()3;( −∞−−∞ ∪ вогнутый)2;3( -- ;

161. }0;{ nπ – точки перегиба; }2;2( nn πππ + – выпуклый, −+− )2;2( nn πππ во-гнутый;

162. )23;( 3

2/3

ee −− – точка перегиба; );0( 2/3−е – выпуклый, );( 2/3 ∞−е – вогну-

тый;

163. вогнутый);2(выпуклый,)2;(перегиба,точка)2;2( 2 −∞−−−−∞−−−e

.

5. Асимптоты кривой

Асимптотой кривой )(xfy = называют прямую, к которой неограни-

ченно приближается точка кривой при неограниченном отдалении ее от начала координат. Существует три типа асимптот: вертикальные, наклонные и горизонтальные (рис. 23 – 25).

Прямая cx = – вертикальная асимптота (рис. 23), если ±∞=

+→)(lim

0xf

cx или ±∞=

−→)(lim

0xf

cx.

Горизонтальной асимптотой графика функции )(xfy = при ±∞→x называют прямую by = (рис. 24), если bxf

x=

±∞→)(lim .

Прямая bkxy += – наклонная асимптота (рис. 25), если существуют

конечные пределы )0()(lim ≠=±∞→

kkxxf

x и bkxxf

x=−

±∞→))((lim .

Внимание! Надо рассматривать случаи как +∞→x , так и −∞→x .

75


matem.or

g.ua

Пример 98. Найти асимптоты кривой 15

363

34

+

+=

xxxy .

Решение. Приравняем знаменатель дроби к нулю и найдем точку разрыва

функции: 015 3 =+x ; ;513 −=x 3

51

−=x , то есть заданная функция имеет разрыв

второго рода в точке .513−=x Тогда прямая 3

51

−=x – вертикальная асимптота

данной кривой. Уравнение наклонной асимптоты ищем в виде bkxy += . Имеем:

;56

15

36lim

5

36

lim5

36lim)15(

36lim)(lim

344

4

4

3

4

4

4

34

3

34=

+

+=

+

+=

+

+=

+

+==

∞→∞→∞→∞→∞→

x

x

xx

xx

xx

xx

xxxx

xxxx

xxfk

xxxxx

=+

−−+=−

+

+=−=

∞→∞→∞→ )15(56301530

lim)56

1536(lim))((lim 3

434

3

34

xxxxxx

xxxkxxfb

xxx

;53

525

615lim

525

615

lim)15(5

615lim

3

2

33

333

3

3

3=

+

−=

+

−=

+

−=

∞→∞→∞→x

x

xxx

xx

xx

xxx

xxx

;bkxy += ;53

56

+= xy ;365 += xy 0365 =−− xy – уравнение наклонной

асимптоты.

76


matem.or

g.ua

Для определения горизонтальной асимптоты найдем =∞→

)(lim xfx

1536lim

3

34

+

+=

∞→ xxx

x,15

36lim

15

36

lim

444

34

3

4

4

∞=+

+=

+

+=

∞→∞→

xx

x

xxx

xx

xx

xx то есть горизонтальных

асимптот нет.

Задания

Найти асимптоты кривых:

164. ;23

12 +−

=xx

y

165. ;12

23

xxxy ++

=

166. 12

2

2

2=−

by

ax ;

167. 33 1 xy −= ;

168. 1/2 += xxey .

Ответы

164. 2;1 == xx – вертикальные, 0=y – горизонтальная; 165. 1+= xy – наклонная, 0=x – вертикальная;

166. xaby ±= – наклонная;

167. 0=+ xy – наклонная; 168. 0=x – вертикальная, 3+= xy – наклонная. 6. Схема исследования функции. Построение графиков функции Чтобы исследовать функцию и построить ее график, надо: 1) найти область существования функции; 2) найти точки разрыва и установить их характер; 3) найти точки пересечения графика функции с осями координат; 4) исследовать функцию на периодичность, четность и нечетность; 5) найти точки локальных экстремумов, значение функции в этих точках,

а также интервалы монотонности функции; 6) найти точки перегиба, а также интервалы выпуклости и вогнутости

функции; 7) найти асимптоты кривой; 8) исследовать поведение функции в бесконечно отдаленных точках; 9) построить график функции с учетом результатов предыдущих иссле-

дований.

77


matem.or

g.ua

Пример 99. Исследовать функцию 3

4 13x

xy += и построить ее график.

Решение. Будем придерживаться приведенной выше схемы. 1. Область существования функции – вся числовая прямая, кроме точки

0=x , то есть );0()0;( ∞−∞∈ ∪x . 2. В точке 0=x функция имеет разрыв. Определим, какого он рода. Для

этого найдем пределы функции в окрестности точки разрыва:

;0

113lim 3

4

00−∞=

−

=+

−→ xx

x,

0113lim 3

4

00+∞=

+

=+

+→ xx

x то есть в точке 0=x

функция имеет разрыв второго рода. Во всех других точках функция непрерыв-ная.

3. График пересекает ось ординат в точке ))(;0( xf . Так как 0=x не вхо-дит в область существования, ось ординат график не пересекает. Чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс, решим уравнение 0=y , то есть

0133

4=

+

xx , 013 4 =+x . Это уравнение действительных корней не имеет. Функ-

ция не пересекает ось Ох. 4. Функция непериодическая. При исследовании функции на четность и нечетность напомним, что: – функция четная, если )()( xfxf =− . В этом случае она симметричная

относительно оси ординат; – функция нечетная, если )()( xfxf −=− . Тогда она симметричная отно-

сительно начала координат. Если не выполняются оба условия, функция является функцией общего ви-

да. Возвратимся к заданной функции: 3

4

3

4 13)(

1)(3)(x

xx

xxf−

+=

−

+−=− , то есть

)()( xfxf −=− – функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

5. Найдем производную: =+−⋅

=′

+=′ 23

2433

3

4

)(3)13(1213

xxxxx

xxy

=+−

=−

=−

=−−

= 4

22

6

42

6

26

6

266 )1)(1(3)1(3333912x

xxxxx

xxx

xxxx

4

2 )1)(1)(1(3x

xxx ++−= . Решим уравнение 0=′y , то есть 0)1)(1)(1(3 2 =++− xxx .

Откуда .1;1 21 −== xx Кроме того, производная неопределенна при 0=x . Итак, 0,1,1 321 =−== xxx – критические точки. Нанесем эти точки на число-вую прямую и исследуем знак производной на каждом из полученных интерва-лов.

78


matem.or

g.ua

-1 0 1 х

+ - - +

f x ( )

)(xf

Таким образом, на интервале (–1;0) U (0;1) первая производная отрица-тельная и функция убывает; на интервале );1(U)1;( ∞−−∞ первая производная положительна и функция возрастает. При переходе через точку 12 −=x произ-водная изменяет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке (т. А) су-

ществует локальный максимум, причем 4113

)1(1)1(3)1( 3

4max −=

−+

=−

+−=−= yy .

При переходе через точку 11 =x производная изменяет знак с минуса на плюс, то есть в этой точке (т. В) имеем локальный минимум,

41

13)1(

1)1(3)1( 3

4min =

+=

+== yy . В точке 03 =x функция неопределена.

6. Найдем вторую производную:

=−−

=′

−=′′ 24

3443

4

4

)()4)1(4(3)1(3

xxxxx

xxy 58

3

8

377 1212)444(3xx

xx

xxx==

+− .

Нанесем на числовую прямую точку х = 0, где вторая производная и сама функция не существуют.

0 х

- +

f x ( )

)(xf

На интервале )0;(−∞ вторая производная отрицательная, поэтому кривая на этом интервале выпуклая; на интервале );0( ∞ вторая производная положи-тельна – кривая вогнутая, но точка х = 0 не является точкой перегиба, так как в этой точке функция не существует.

7. Из пункта 2 вытекает, что прямая х = 0 является вертикальной асим-птотой. Найдем наклонные асимптоты, если они существуют: ;bkxy +=

313lim

13

lim)(

lim 4

43

4

=+

=

+

==±∞→±∞→±∞→ x

xx

xx

xxfk

xxx;

01lim

313lim)313(lim))((lim 33

44

3

4±==

−+=−

+=−=

±∞→±∞→±∞→±∞→ xxxxx

xxkxxfb

xxxx, то

есть xy 3= – наклонная асимптота. Других асимптот нет.

79


matem.or

g.ua

8. Учитывая проведенные исследования, строим график (рис. 26).

Рис. 26

Пример 100. Исследовать функцию 3 23 2xxy −= и построить ее гра-фик.

Решение. Будем придерживаться приведенной выше схемы. 1. Область существования функции – вся числовая прямая. 2. Точек разрыва нет. 3. Точки пересечения с осями координат: если х = 0, то y = 0; если y = 0,

то х = 0 или х = 2. Итак, кривая проходит через точки B(0;0) и А(2;0). 4. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть общего вида.

Таким образом, симметрии нет. 5. Найдем производную.

=−

−=−⋅−=

′

−=′

−

3 223

223

2233 23

)2(3

43)43()2(312

xx

xxxxxxxxy

=−

−=

3 22 ))2((3

)43(

xx

xx .)2(

)3/4(3 24 −

−

xx

xx

Критические точки: х = 0; х = 2; х = 34 (в этих точках первая производная

равняется нулю или не существует). Нанесем эти точки на числовую прямую и исследуем знак производной на каждом из полученных интервалов.

80


matem.or

g.ua

0 4/3 2 х

+ - + +

f x ( )

)(xf

Итак, на интервале );34()0;( ∞−∞ ∪ первая производная положительная –

функция возрастает; на интервале )34;0( первая производная отрицательная – функ-

ция убывает. При переходе через точку х = 0 производная изменяет знак с плюса на минус, значит, х = 0 – точка максимума, притом 0)0(max == yy . Поскольку при х = 0 первая производная не существует, то это точка острого максимума.

При переходе через точку х = 34 производная изменяет знак с минуса на

плюс, следовательно, в этой точке существует минимум.

1,13

4227322

34

34)

34(

333

2min −≈−=−=

−

== yy .

При переходе через точку х = 2 производная не изменяет знак, то есть эта точка не является точкой экстремума.

6. Найдем вторую производную.

( ) ( )

( )=

−

−

−+−−−−

=

=

−

−+−−−−−=

=

′

−

−=

′

−⋅

−=

′

−

−=′′

−

3 42

3 42

23 2

23 2

232

23 2

3 23 23 24

)2(

)2(3

)2(2)2()34()2(

)2(

)2(2)2()2(31)

34()2(

)2(34

)2(

)34(

)2(

)34(

xx

xx

xxxxxx

xx

xxxxxxxx

xx

x

xxx

xx

xx

xxy

( )

=−⋅

−−−−−=

=−⋅

+−−−−−

=

3 84

3 63

3 84

3 63

)2(9

)23)(2)(43()2(9

)2(33

)22)(2()43()2(3

xx

xxxxx

xx

xxxxxx

81


matem.or

g.ua

.)2(

)2(98

)2(9

)81269189)(2()2(9

))23)(43()2(9)(2(

3 843 84

22

3 84

−

−−=

−⋅

−++−−−=

=−⋅

−−−−−=

xx

x

xx

xxxxxxxx

xxxxx

Вторая производная не существует при х = 0 и х = 2. Итак, это критиче-ские точки второго рода. Нанесем эти точки на числовую ось.

0 х

+ + -

f x ( ) 2

)(xf

На интервалах )2;0()0;( ∪−∞ вторая производная положительная, то есть

на этих интервалах кривая вогнутая, на интервале );2( ∞ вторая производная от-рицательная – кривая выпуклая. Точка перегиба имеет координаты )0;2( .

7. Найдем асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Наклонная асимптота:

;bkxy += 12lim

)(lim

3 23=

−==

±∞→±∞→ xxx

xxfk

xx;

{ }

.32

)2)2((

2lim

)2)2((

)2)2()(2(lim

)2(lim))((lim

23 233 223

323

23 233 223

23 233 2233 23

3 23

−=+−+−

−−=

=+−+−

+−+−−−=

=∞−∞=−−=−=

±∞→

±∞→

±∞→±∞→

xxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxkxxfb

x

x

xx

Таким образом, 32

−= xy – наклонная асимптота.

8. Построим график функции (рис. 27).

Рис. 27

82


matem.or

g.ua

IХ. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ

В этом разделе покажем применение вышеприведенной теории для реше-ния прикладных задач.

Пример 101. В наличии есть доски, из которых можно построить забор длиной 200 м. Надо оградить прямоугольник двора наибольшей площади, ис-пользуя для одной стороны двора стенку близлежащего дома (рис. 28).

Решение. Обозначим через х длину тех сторон забора, которые перпенди-кулярные к стене дома. Тогда длина стороны, которая параллельная дому, бу-дет 200 – 2х, а площадь всего двора 22200)2200( xxxxFS −=−== .

Рис. 28

Это функция аргумента х. По смыслу задачи х изменяется на отрезке [0;100]. Задача сводится к определению наибольшего значения функции на от-резке. Согласно пункту 3 главы VII находим xF 4200 −=′ . Полагая 0=′F , на-ходим стационарную точку 04200 =− x или 50=x . Так как 04 <−=′′F , то здесь – максимум. Поскольку этот максимум – единственный экстремум, кото-рый лежит в интервале [0;100], то ему и отвечает Fнаиб. Итак, размеры двора 50 × 100 м, а площадь его 5000 м2. Если взять другие размеры, например 45×110 м, или 55 ×90 м, то получим двор с меньшей площадью.

Пример 102. Из круглого бревна диаметром d надо вырезать стояк, кото-рый имеет прямоугольное сечение и может воспринимать наибольшую нагруз-ку. Какими должны быть размеры стояка?

Решение. Поскольку стояк является элементом конструкции, которая работает на сжатие, то он будет воспринимать наибольшую нагрузку тогда, ко-гда площадь его поперечного сечения будет наибольшей. Таким образом, зада-ча сводится к определению прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в окружность диаметром d (рис. 24).

Рис. 29

х

y d

хх

200 2- х

83


matem.or

g.ua

Пусть x и y – стороны искомого прямоугольника. Тогда 22 xdy −= , а

площадь прямоугольника 22)( xdxxSS −== , dx <<0 , и

22

22

22

222

2222 2

2

2)(xd

xd

xd

xxd

xd

xxxdxS−

−=

−

−−=

−

−+−=′ .

=−−

−+−−=

−−

−−−−−

=′′2222

2222

22

222222

)(

)2()(42)2(4

)(xdxd

xdxxdxxd

xd

xxdxdxxS

.)(

)32(2/322

22

xddxx

−

−=

0)( =′ xS при 2

dx ±= и не существует при dx ±= . Поскольку функция

)(xS определена на интервале (0;d), то она имеет единственную критическую

точку 2

dx = . Найдем вторую производную и определим ее знак в этой точке.

.0

22

2

2

)2(2

)2

(

)32

2(2)

2()( 2/32

3

2/32

2

2/32

2

22

<

−=

−=

−

−=′′=′′

d

d

d

dd

dd

ddddSxS

Функция )(xS достигает максимума в этой точке. Тогда

22

22222 dddxdy =−=−= , а

2

2max

dS = . Итак, наибольшую нагрузку

воспринимает квадратный стояк со стороной сечения, равной 2

d .

Пример 103. Определить размеры консервной банки объемом V, при ко-торых на ее изготовление пойдет меньше всего материала.

Решение. Пусть банка имеет форму цилиндра с радиусом основания r и высотой h. Тогда полная поверхность банки rhrS ππ 22 2 += . Так как объем

банки известный: hrV 2π= , то 2rVh

π= , а )(222)( 2

22

rVr

rVrrrSS +=+== π

πππ .

Найдем наименьшее значение функции )(rS :

)2(2)2(2 2

3

2 rVr

rVr

drdS −

=−=ππ . 0=

drdS при 02 3 =−Vrπ , то есть точка экстре-

мума – 30 2πVrr == .

84


matem.or

g.ua

Определим вторую производную. )22(2 32

2

rV

drSd

+= π . При 0rr =

012)222(2)22(2 30

2

2

0

>=+=+==

ππππV

VrV

drSd

rr

. Итак, при значении 0rr =

функция )(rS имеет минимум. Это значение наименьшее на промежутке );0( ∞ ,

поскольку ∞=→

)(lim0

rSr

и ∞=∞→

)(lim rSr

. Вычислим высоту rrr

rVh 22

2

3

2 ===π

π

π.

Таким образом, для того чтобы при заданном объеме цилиндра банка имела наименьшую поверхность, ее высота должна равнять диаметру.

Пример 104. Сосуд с вертикальной стенкой высотой h стоит на горизон-тальный плоскости (рис. 30). На какой глубине надо проделать отверстие, что-бы дальность вылета воды из отверстия была наибольшей (скорость жидкости, которая выливается по закону Торричелли, равняется gx2 , где х – глубина размещения отверстия; g – ускорение свободного падения)?

Рис. 30

Решение. Обозначим через Н расстояние отверстия в сосуде от горизон-тальной плоскости, а через l – ее дальность вылета. Тогда tgxvtl 2== , где t – время вылета воды из отверстия на плоскость. Из курса физики известно, что

2

2gtH = , откуда g

xhgHt )(22 −

== , то есть ,)(2)(22)( xhxg

xhgxxll −=−

==

hx <<0 . Найдем наибольшее значение функции l(х): )(

2)(xhx

xhxl−

−=′ , 0)( =′ xl

при 2hx = . Поскольку функция l(х) имеет только одну критическую точку

2hx = , а по условию задачи существует такое положение отверстия, при кото-

ром дальность вылета воды из отверстия наибольшая, то эта критическая точка и есть искомой.

h

x

H

O A

85


matem.or

g.ua

Пример 105. Пусть электрическая лампочка движется вдоль вертикаль-ной прямой ОВ (рис. 31). На какой высоте от горизонтальной плоскости надо разместить лампочку, чтобы в данной точке А плоскости (ОА = а) освещен-ность была наибольшей.

Рис. 31

Решение. Из физики известно, что освещенность определяется как:

2sinr

kI ϕ= , где k – коэффициент пропорциональности, который зависит от силы

света лампочки; r – ВА – расстояние от лампочки до точки А.

Пусть искомая высота ОВ = х, тогда 22

sinax

xrx

+==ϕ ,

=++== 22

22)(

axax

x

kxII 2/322 )( axkx

+, причем по смыслу задачи );0( ∞∈x .

Имеем

=+

−++=

+

+−+=′

322

2222/122

322

2/1222/322

)()3()(

)(

2)(23)(

)(ax

xaxaxkax

xaxkxaxkxI

.)(

)2(2/522

22

axxak

+

−= 0)( =′ xI при

22,1ax ±= .

Других критических точек функция )(xI не имеет. Поскольку в интерва-

ле );0( ∞ лежит лишь одна критическая точка 2

ax = и по условию задачи су-

ществует положение лампочки, при котором освещенность в точке А наиболь-

шая, то искомая высота 2

aOB = .

Задания

169. Тело массой 25 кг движется прямолинейно по закону ).1(ln 2tS += Найти кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

170. Число 18 разбить на такие две составные части, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

O A

B

x

a

r

ϕ

86


matem.or

g.ua

171. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объе-мом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количест-во материала.

172. Окно имеет форму прямоугольника, который завершается полукру-гом. Периметр окна равняется Р. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

Ответы

169. 10 Дж; 170. 9,9 == ba ; 171. м2,643 == ha ;

172.

−−

−−=

−=

41)

41(222

1,)

41(2 ππ

ππ

PPPbPa .

Х. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант 1

Найти производные заданных функций:

;1

2.1 2

3

++

−=

xxxxy ;21.2 xtgy +=

;)3sin1(3

cos.3 12 −+= xxy ;)(cos.4 2sin xxy =

;2.5 22 xxyy +− ?,1

1.6

2

2−

=−=

dxdy

ty

tx

Написать уравнения касательной и нормали к данным кривым в указан-ных точках:

;2

,4

4.1

0

2

=

−=

x

xxy ;3

4,194

.2 022

==− xyx

==

=

.3

,cos

sin.3

03

3

πttay

tax

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:

[ ].4;1;44 2 ∈−−= xx

xy

Найти экстремумы функции: .11

2

2

+

−=

xxy

Исследовать функцию и построить график:

.4

82 −

=x

y

87


matem.or

g.ua

Решить задачу: тело массой 50 кг движется прямолинейно по закону ).1(ln 2tS += Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движе-

ния.

Вариант 2


1. ;)1(132

2

+

+=

xxy 2. ;

5)4ln( 92 xctgxxy +−=

3. ;)3(5

cos 653 xarcctgxy = 4. ;)( 2sin5 xxy =

5. ;)cos( xxy = 6. ?,

)1ln( 2 −

+=

=

dxdy

ty

arctgtx


;1,.1

0

3

−=−=

xxxy

;1,3.2

0

22

==−+

xxyyx

=−=

−=

.3

),cos1(

)sin(.3

0πttay

ttax


[ ].6;0;1)8()2(23 2 ∈−−−= xxxy

Найти экстремумы функции: .12 +

=x

xy

Исследовать функцию и построить график: .1

2

−=

xxy

Решить задачу: тело движется прямолинейно со скоростью .13 tV += Найти путь, который тело прошло за первые 7 мин.

Вариант 3


);11)(1(.1 −+=x

xy ;2

cos312sin.2 3 xxy −=

20sin10cos

201)cos(ln.3

22

xxxxy −+=

;)1(.4 xctgxy +=

;3.5 33 xaxyy +− ?,12

.6 3 −

=

−=dxdy

tytx

88


matem.or

g.ua


;4,328.1

0

2

=−+=

xxxy

;0,6.2

0

22

==++

xxyyx

==

=

.3

,sin

cos3.3

0πtty

tx

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: [ ].4;0;2 ∈−= xxxy

Найти экстремумы функции: .12x

xy +=


82x

y−

=

Решить задачу: число 28 разбить на такие две составные части, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Вариант 4


;)1ln()32(sin.1 323 tgxxxxy −++−+= );2(sinln.2 46arccos 2xey x ⋅=

;)3(sin

2.3 23

5 4

x

arctgy

x=

;)2(.4 8sin32 2 xxarctgy =

;0.5 3 =−+xye

xy x

y

?,

1

11ln.6

2

2

−

+=

++=

dxdy

t

tyt

tx


1,.1 03 =+= xxxy ;

8,.2 03

232

32

axayx ==+ ;

=−=

−=

.1,32.3

03

2

tttyttx

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: [ ].2;2;63 24 −∈+−= xxxy


3

−=

xxy


)3(22

2

++

+−=

xxxy

Решить задачу: тело движется прямолинейно по закону .3,02428 52 tttS −+−= В какой момент времени тело имеет наибольшую ско-

рость? Найти эту скорость.

89


matem.or

g.ua

Вариант 5


)52(2))(sin(cos.1 43232 +−+= xxtgy xtg

2. ;56arccos5

233 4 xetgxy ⋅=

;)(

)2(sinln.3 2

234

xearctgxy = 4. ;)(

5lnsin33 xxarcctgy =

;04ln.5 22=−+ xyx y 6. ?,

2cos2sin

2cos2cos−

=

=dxdy

ttay

ttax

Написать уравнения касательной и нормали к данным кривым в указан-

ных точках:

;3

,323.1

0

3

=

−=

x

xxy 2 2

0

2. 3 2 0,3;

x x y yx

− + + ==

−==

+=

.2,1.3

02

3

ttytx

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: [ ].2;1;38 24 −∈+−= xxxy


322

++−

=x

xxy


42 +

−=x

xy

Решить задачу: движение двух материальных точек вдоль одной прямой заданы уравнениями ;21.2 xtgy += Найти скорости движения точек в тот момент времени, когда пройденные ими расстояния равны между собою.

Вариант 6


1. ;lnarcsin3

ln 753 xxx eeexarctgy −−+= 2. ;)13( 322 −⋅= xey x

3. ;)3cos1

3sin(2

ln 25

5

xx

xxy

++

+= 4. ;

2xxy =

5. ;lnarcsin3

ln 753 xxx eeexarctgy −−+= 6. ?,sin

cos3

3−

=

=dxdy

tay

tax

90


matem.or

g.ua


2,23

1.1 0 =+

= xx

y ; ;1

,123.20

32

==−+

xyxyx

−=−

=

+=

.1,1

1

.30tt

tyt

tx


[ ].5;1;)7()1(21 3 2 −∈−−+= xxxy

Найти экстремумы функции: .3 xxy −+=


3

xxy +

=

Решить задачу: Движение двух материальных точек вдоль одной прямой заданы уравнениями .352та71132 23

223

1 tttStttS −−=+−−= Найти уско-рения точек в тот момент времени, когда скорости их равны между собой.

Вариант 7


;21

2cossin1ln

cos3sin.1 722

xetgxx

xxy −

++=

);5

(cos)4

sin(ln.22xctgxy ⋅=

;32

)12arccos(.33 2

2

xxarctg

eyx

+

−= ;)5(sin.4 32 xtgxy =

;012.52

=−−+ xyyx ee ?,2cossin3sincos

.6 −

−=+=

dxdy

tttytttx


;1,3

31.1 02

2=

+

+= x

xxy ;0

,02.20

3

==−+−

xyee xyx

===

.4/,sin4cos3.3

0 πttytx


[ ].3;0;110

2 ∈+

= xxxy

Найти экстремумы функции: .1 2xxy −=


12

2

+−

−=

xxxy

91


matem.or

g.ua

Решить задачу: тело движется прямолинейно по закону .323

23

tttX +−=

Найти скорость и ускорение движения. В какой момент времени тело изменяет направление движения?

Вариант 8


;1cosln22

2ln.12sin

3sin

2

xey x

x

x+

−= ;

32arcsin.2 4 4tgxxxy −−=

;3cos)(cos4.3 523 xxarctgy −= ;)3(ln.432xtgxy =

);(cossin.5 yxtgxyxy +=+ ?,

)1()1()1(.6 2

23−

−=

−+=dxdy

ttyttx


16,70.1 04 =−= xxy ;

;0,13.2

0

33

==−+

xxyyx

=+=−=

4),cos2sin(

)sin1cos(.3

0 πttttty

ttttx.


[ ].2;1;)2(

43 2 −∈+

−−= xx

xy


22x

xy+

=

Исследовать функцию и построить график: 24815 xxy ++−= . Решить задачу: определить размеры открытого бассейна с квадратным

дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Вариант 9


;211ln.1 5cos2

3 2 xexxy +

++= ;7ln3.2 4 53 ctgxxy xarctg −−=

;)2arccos)(sin4(.3 423 xxtgy = ;)2(.4 35sin −= xxy

;)3arccos1(2.5 23arcsin xy y −+= ?,3

.6 2

52−

−=

+=− dx

dyteytex

t

t

92


matem.or

g.ua


;3

,63.1

0

2

2

=

+−=

xx

xxy ;2

,362.20

22

==+

xyx

=+=

+=

.2,1313.3

02

2

ttatytatx


[ ].6;1;)3(23 2 −∈−= xxxy


xy +=

Исследовать функцию и построить график: .134 −= xxy Решить задачу: заданы точки А (0;3) и В (4;5). На оси ОХ найти точку М

такую, чтобы расстояние MBAMS += было наименьшим.

Вариант 10


;5)1(

3sin3cos.1 2sin

335 x

xxxy −

++−= ;)2lnsin14arccos(ln.2 2xxy ++=

13 2)2(cos.3 −= xarctgexy ;)(sin.4 2223 xarcctgxy =

;02coscossin6.5 2 =+− yyyx ?,2sin33cos3.6 2

2−

−=

+=dxdy

ttyttx


;2,22.1 03

3=

−

+= x

xxy ;0

,344.20

22

=−=−−+

yyxyx

=+=

−=

.0,)31()21(

)41()21(.3

0

32

42

tttyttx


[ ].4;1;22

)77(22

2∈

+−

−+−= x

xxxxy


xy −=

Исследовать функцию и построить график: ).1(10 2xxy += Решить задачу: при каких линейных размерах закрытая цилиндрическая

банка объемом V будет иметь наименьшую полную поверхность?

93


matem.or

g.ua

Вариант 11


;542

5.12cos

2

x

x

y++

−= ;))2sin(5ln42(.2 537 xxxxtgy ++−=

xarctgexy 3sin3 )2(arccos.3 = ; ;))2(ln(.4 4cos2 2 xxy +=

;sin62ln.5 2xyxarcctgy += ?,

1)1(

1.62

2−

+−=

+=dxdy

tty

tx


1. 1,16

04

29=

+

+= x

xxy ;

2. ;4,164 022 ==+ xyx 3.

==

=

.2

,sin

cos

0πttaty

tatx

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: [ ].7;1;824 −∈−+−= xxxy


xy +=

Исследовать функцию и построить график: ).1(2 2xxy += Решить задачу: окно имеет форму прямоугольника, который оканчивает-

ся полукругом. Периметр окна равен )5( +π м. При каких размерах сторон пря-моугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

Вариант 12


;)12(sin

3.1 4

3

−−=

xxarctgy ;ln5cos22.2 4 23arcsin xxy x −+=

xex

xy 3sin2 2

23ln.3 +

= ;)5(arccos.4 3cos2 xxy =

;112ln

31.5 2

2

++

+−=

xxxyy ?,2cos22sin.6 −

+==

dxdy

ttytgtx



1,12.1 0 =+= xx

xy ; ;1

,62.20

23

−==++

xxyx

==

=

.6

,cos

sin.3

02

2

πtty

tx

94


matem.or

g.ua

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: [ ].5;1;)5()2(23 2 ∈−−= xxxy

Найти экстремумы функции: .)1( 32xy −= Исследовать функцию и построить график: .)1( 2xxy −= Решить задачу: тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону

.12 ++= ttx Определить кинетическую энергию тела в момент времени t = 5 с.

Вариант 13


;8arcsinln)65(cos

4sin.1 64

3x

xxy −

−= ;)56(.2 64 2ln 4 xx exarctgy −+=

;3cos.362 3sin

4

2xe

xtgxxy −+

= ;)5(sin.4 42 xarcctgxy =

;)3arccos1(2.5 23arcsin xy y −+= ?,)1(4

2.6 3

1−

+=

= −

dxdy

tyx t


1,)1(3)2(2.1 04

8=

+

+−= x

xxy ; ;1

,42.20

22

==−+

xxyyx

=+

=

+=

.1,ln23

ln1

.30

2

tt

tyt

tx

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: [ ].2;4;)4(4 2 −∈+= xxxy

Найти экстремумы функции: .)3()2(3 +−= xxxy

Исследовать функцию и построить график: .2)6( 2 −−−= xxxy Решить задачу: найти ускорение точки, которая совершает простые гар-

монические колебания по закону ).(sin ϕω += tAS

Вариант 14 Найти производные заданных функций:

;11

arcsin.1 322

xxx

xy +−−+

= )6(.2 42cos2sin 5 −+= xx arctgey

5833ln2

23arccos81.3 ctgxxe

xxtgy −

−

+= ; ;)1(.4

5cos2 xxy −=

;32.5 3 xxyy =+ ?,)(

)1ln(.62

−

−=+=

dxdy

arctgttytx

95


matem.or

g.ua


1,11.1 04

5=

+

+= x

xxy ; ;0

,0.20 =

=+−x

xyee xy

=+=

+=

.2,223

1

.302

2

ttt

yt

tx


[ ].1;4;882

2−−∈++−= x

xxy

Найти экстремумы функции: .)2)(2( 22 −+++= xxxxy Исследовать функцию и построить график: .32 24 +−= xxy Решить задачу: необходимо сделать цилиндрический сосуд заданного

объема V, открытый сверху. Определить его радиус и высоту так, чтобы по-верхность его была наименьшей.

Вариант 15


1. ;242

1 3 322

xxexx

y +−+

= 2. ;)ln6( 352cos xarcctgy x +=

3. 42sin1arcsin xx

tgy = 4. ;)(sin 7cos2 xxy =

5. ;222 =+−−

xy

yexe 6. ?,2

22

2−

+=

−=dxdy

tty

ttx



1. 1,51

902

16=

−

+= x

xxy ; 2.

;1,1)ln(

0

2

==+

xxyy 3. ,

.2)cos(sin)cossin(

0

=−=+=

ttttaytttax


[ ].4;2;)6(23 2 −∈−= xxxy

Найти экстремумы функции: .)1()1( 22 −+= xxy Исследовать функцию и построить график: .)1(4 33 −= xxy Решить задачу: необходимо изготовить закрытый цилиндрический бак

объемом V. Какими должны быть его размеры, чтобы на его изготовление уш-ло наименьшее количество материала?

96


matem.or

g.ua

Вариант 16


1. ;1

5arcsin 32

82

+−⋅=

xxxxy 2. ;)ln2( 32sin55arccos xx ey +=

3. 22

cos1sin1ln

xxxy−−

+= 4. ;)2( )223(3sin += xxarctgy

5. ;cos2sinln yarctgxy += 6. ?,

2

)1ln(2 −

+=

+=

dxdy

tty

tx


1. 2,23

10 =

+= x

xy ; 2. ;3,1

94 022

==− yyx 3.

=−=

−=

.2,1

03

2

tttytx


[ ].1;2;54)32(2

2 −∈++

+−= x

xxxxy

Найти экстремумы функции: .)1(2 22 xxy −= Исследовать функцию и построить график: .)1( 23 −−= xxy Решить задачу: какой из равнобедренных треугольников с заданным пе-

риметром 2Р имеет наибольшую площадь?

Вариант 17


1. ;)1(1

122 xxx

y+++

= 2. );21(ln2cos254 xx ey ++=

3. 4

25

18sin35

18cos2

x

xxctgy

⋅= 4. ;)3(sin )28(2ln3 += xxy

5. ;lncosarcsinln 2 xarctgyxy +−=

6. ?,

13

13

3

2

3−

+=

+=

dxdy

taty

tatx


1. ;1

),2(30

3

=−=

xxxy 2.

;1,123

0

32

==−+

xyxyx 3.

=−=+=

.2,)1()1(

0tttyttx

97


matem.or

g.ua


[ ].1;5;52

)3(22

2−∈

++

+−= x

xxxy

Найти экстремумы функции: .)4( 32 −= xxy Исследовать функцию и построить график: .)1( 2 += xxy Решить задачу: какие размеры должен иметь цилиндр, поверхность кото-

рого равна S, чтобы его объем был наибольший?

Вариант 18

Найти производные заданных функций: 1. ;)2cos25( 10373 xxarctgy −= 2. ;4)2(sinln5

28arccos24 xxy −⋅=

3. ;73

21

14 23

3 2

++

−

++=

xxxxy 4. ;)3(ln

25arccos8 xxy =

5. ;3 yxxy −= 6. ?,)

1(

11

2−

+=

+=

dxdy

tty

tx


1. 2,1

02 −=+

= xx

xy ; 2. ;1

,02

0

22

==−+

xyxx 3.

=−=+=

.1,)1ln(

0

2

tarctgttytx


[ ].4;0;)4()1(23 2 ∈−−= xxxy

Найти экстремумы функции: .)2(2 −= xxy Исследовать функцию и построить график: .)16(8 2xy −= Решить задачу: определить размеры открытого бассейна с квадратним

дном так, чтобы при заданной общей площади 147 м2 его стен и дна объем бас-сейна был наибольшим.

Вариант 19


1. ;12

33

2

++

−=

xxxxy 2. ;21 xtgy +=

3. ;)3

sin1(cos 13 −+=xxy 4. ;)3(cos sin2 xxy =

98


matem.or

g.ua

5. ;3 23 xxyy −− 6. ?,

31

1

3

2

−

=

+=

dxdy

ty

tx


1. ;2

,4

4

0

2

=

+=

x

xxy 2. 3

4,1916 022

==− xyx ; 3.

==

=

.3

,2cos

2sin

03

3

πttay

tax


[ ].4;1;44 2 ∈++= xx

xy


2

2

−

+=

xxy


32 −

=x

y

Решить задачу: тело массой 15 кг движется прямолинейно по закону ).21(ln 3tS += Найти кинетическую энергию тела через 1 с после начала дви-

жения.

Вариант 20


1. ;)4(122

3

+

+=

xxy 2. ;

5)4ln( 92 xctgxxy +−=

3. ;)8(7

cos 462 xarcctgxy = 4. ;)( 2sin5 xxy =

5. ;5)cos( 32 xxy = 6. ?,)51ln( 3 −

+=

=dxdy

tyarctgtx


;1,92.1

0

3

−=−=

xxy

;1,32.2

0

22

==−−

xxyyx

=−=

+=

.3

),cos(

)sin(.3

0πtttay

ttax


[ ].13;0;1)8()2(2 33 ∈−−−= xxxy


32 −

=x

xy

99


matem.or

g.ua


5 2

+=

xxy

Решить задачу: тело движется со скоростью .51 tV += Найти путь, ко-торый тело прошло за первые 5 мин.

Вариант 21


1. );11)(1(3

3 −+=x

xy 2. ;2

cos413sin 32 xxy +=

3. ;20sin45cos)cos32(ln

23

xxxxy −+= 4. ;)1( 2 xtgxy +=

5. ;32 322 xyaxy +− 6. ?,

322

2

3−

−=

+=dxdy

ttytx


;2,322.1

0

2

=−−=

xxxy

;0,63.2

0

232

==++

xyxyx

==

=

.3

,2cos

sin3.3

0πtty

tx

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: [ ].4;0;32 2 ∈−= xxxy

Найти экстремумы функции: .13 2x

xy −=


33 −

=x

y

Решить задачу: число 25 разбить на две такие составные части, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

Вариант 22

Найти производные заданных функций: 1. );13(ln)53(sin 232 ++−+= xxxy 2. );3(sinln26arcsin 3

xey x ⋅=

3. ;)3(sin

344

5 6

xarctgy

x= 4. ;)2( 82sin32 xxarctgy =

5. ;02 33

2 =−+xye

xy x

y

6. ?,

21

3

211ln

2

2

−

+=

++=

dxdy

t

tyt

tx

100


matem.or

g.ua


;1,2.1

0

32

=+=

xxxy ;

21,4.2 03

232

32

==+ xyx

=−=

−=

.1,322.3

03

2

tttyttx

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: [ ].2;2;22 −∈+−= xxxy


43

2

xxy −

=

Исследовать функцию и построить график: .6)3(3

2

2

−+

−−=

xxxy

Решить задачу: тело движется прямолинейно по закону .5,0126 42 tttS −+−= В какой момент времени тело имеет наибольшую ско-

рость? Найти эту скорость.

Вариант 23

Найти производные заданных функций: 1. ;)23())2(cos(sin 4342 +−= xxtgy 2. ;52arccos5

2323 3 xetgxy ⋅=

3. ;)(

)4(sinln3

233

xearctgxy = 4. ;)3(

52 lnsin32 xxarcctgy =

5. ;042ln32 =−+ xyx y 6. ?,2cos2sin

cos23cos −

==

dxdy

ttayttax


;3

,5

32.1

0

32

=

−=

x

xxy ;3,0232.2

0

22

==−+−

xyyxx

−==

+=

.2,32.3

02

3

ttyttx


[ ].2;1;1082 23 −∈+−= xxxxy


154 2

−+−

=x

xxy


22 −

−=x

xy

Решить задачу: движение двух материальных точек вдоль одной прямой задано уравнениями .24и132 23

23

1 ttSttS +=−+= Найти скорости движе-ния точек в момент времени, когда пройденные ими расстояния равны между собой.

101


matem.or

g.ua

Вариант 24


1. ;lnarcsin2

ln 43 xx eexarctgy −+=

2. ;)13( 322 −⋅= xey x

3. ;)

4cos14sin(

2ln 3

6

6

xx

xxy

++

+=

4. ;2xxy =

5. ;03

32 223 =+−−yxtgyxxy

6. ?,5sin2cos

2

3−

=

=dxdy

taytax


;2

,32

1.1

0 =−

=

xx

y ;1,122.2

0

23

==−+

xxyyx

−=−

=

+=

.1,12

1

.3

02

tt

ty

ttx


[ ].5;1;)4()5(21 3 2 −∈+++= xxxy

Найти экстремумы функции: .23 xxy −+=


82

3

xxy −

=

Решить задачу: движение двух материальных точек вдоль одной прямой задано уравнениями .362та793 23

223

1 tttStttS −+=+−−= Найти ускоре-ния точек в момент времени, когда скорости их равны между собой.

102


matem.or

g.ua

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овчинников П. П. Высшая математика: Учебное пособие. Ч. 1. – К.:

Техника, 2003. – 552 с.

2. Гаврильченко Х. И. Высшая математика. Сборник задач. Ч. 1. – К.:

Техника, 2004. – 279 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т.

– М.: Наука, 1972. – Т. 1. – 576 с.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.:

Наука, 1985. – 384 с.

103


matem.or

g.ua

Навчальне видання

Бібліотека іноземного студента

Сдвижкова Олена Олександрівна Бабець Дмитро Володимирович Тимченко Світлана Євгенівна Бондаренко Зоя Іванівна

Подольська Світлана Миколаївна

МАТЕМАТИКА

Частина 6

Функції. Границя. Похідна та її застосування

(у прикладах та задачах)

(Російською мовою)

Редактор Ю.В. Рачковська

Підписано до друку 18.07.07. Формат 30х42/4. Папір офсет. Ризографія. Ум. друк. арк. 5,1.

Обл.-вид. арк. 5,1 . Тираж 250 прим. Зам. № .

Підготовлено до друку та видрукувано у Національному гірничому університеті

Свідоцтво про внесення до Державного реєстру ДК № 1842.

49005, м. Дніпропетровськ, просп. К.Маркса, 19.


matem.or

g.ua

Documents

= M M A b f j Z D Zmibo.nmu.org.ua/ua/vechirnia_osvita/met3.pdfпериодом функции. Например, функции =sin y x, =cosy x имеют период 2, π но