Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Página 1 de 29
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD / COMUNIDAD DE MADRID MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II BLOQUE: ANÁLISIS
1. Septiembre( 2010 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por:
>−
≤≤+
Página 2 de 29
3. Septiembre (2010 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por:
≥+
Página 3 de 29
5. (Junio 2010 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por:
>
≤+−−=
13
12
xsibx
xsiaxx)x(f
a) Calcúlense a y b, para que la función f sea continua y derivable en todos sus puntos. b) Para a=6 y b= ¾ determínese los puntos de corte de la gráfica de f con el eje OX.
Esbócese la gráfica. c) Para a=6 y b= ¾, calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f el
eje OX y la recta vertical x=2. SOL: a) a=5 y b= 1. b) Con OX: (-3,0) y con OY (0,6)
c) ( ) 21
3
2
1
2 243
5646 uLdx
xdxxx∫ ∫
−
+=
++−−
6. (Junio 2010 / OPCIÓN A/ EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos)
Se considera la función real de variable real definida por 1
2
−=x
x)x(f
a) Determínense sus asíntotas. b) Calcúlense sus máximos y sus mínimos locales. Esbócese la gráfica de f. c) Calcúlese el área del recinto plano limitado por f y la recta y=x+1.
Página 4 de 29
SOL: a) A:V: x=1: A.O: y=x+1 b) Máximo local (0,0); mínimo local (2,4), gráfica:
c) 23
2
3
2
2
21
11
1uLdx
xdxx
x
x∫ ∫ =
−=
−−
−
7. (Junio 2010 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por:
>+
≤≤−
Página 5 de 29
Se considera el rectángulo(R) de vértices BOAC, con B(0,b) , O(0,0), A(a,0) y C(a,b) dónde a>0 , b>0 y cuyo vértice C está situado en la parábola de ecuación 122 +−= xy a) Para a=3, determínense las coordenadas de los vértices de (R) y calcúlese el área de (R) . b) Determínense las coordenadas de los vértices de (R ) de manera que el área de (R ) sea
máxima. c) Calcúlese el valor de dicha área máxima SOL:
a) vértices; (0,0), (3,0), (3,3) y (0,3) área de 29u b) Área )a(aA 122 +−= su máximo será para a=2, por lo tanto sus vértices serán (0,0), (2,0), (2, 8) y (0,8 ) c) 216u
9. (modelo 2010 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos) Se considera la función ℜ∈++= c,b,asiendocbxax)x(f 23 a) ¿ Qué valores deben de tomar a,b y c para que la gráfica de “f” pase por el punto (0,0=) y
además tenga un máximo en P(1,2)? b) Para a=1, b= -2, c=0, determínese los puntos de corte dela gráfica de “f” con los ejes de
coordenadas. c) Para a=1, b= -2, c=0, calcúlese el área del recinto plano acotado por la gráfica de “f2 y el
eje OX.. SOL: a) a=-4 ; b=6 y c=0 b) Cortes con los ejes: (0,0) y (2,0)
c) ( ) 22
0
23
3
42 udxxx∫ =+−
10. (modelo 2010 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
(puntuación máxima 3 puntos)
Se considera la curva de la ecuación cartesiana 2xy = a) Calcúlese las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva propuesta es
paralela a la bisectriz del primer cuadrante. b) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de la curva
propuesta, la recta tangente a la curva en el punto (1,1) y el eje OX.
Página 6 de 29
SOL: a) (1/2,1/4) b) ( ) 250
0
1
50
22
12
112 udxxxdxx
.
.
∫ ∫ =+−+
11. (Septiembre 2009 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos) El beneficio semanal (en miles de Euros) que obtiene una central lechera por la producción de leche desnatada está determinado por la función: 1072 −+−= xx)x(B En la que “x” representa los hectolitros de leche desnatada producidos a la semana.
a) Represéntese gráficamente la función B(x) con 0≥x . b) Calcúlense los hectolitros de leche desnatada que debe producir cada semana la
central lechera para maximizar su beneficio. Calcúlense el beneficio máximo. c) Calcúlense las cantidades mínima y máxima de hectolitros de leche desnatada que
debe de producir la central lechera cada semana para no incurrir en pérdidas (es decir, beneficio negativo)
SOL: a) b) El número de hectolitros será de 3,5, para que el beneficio sea máximo. Este beneficio será de 2250€ . c) Por debajo de 2 hectolitros o por encima de 5 hectolitros se producirán pérdidas. 12. (Septiembre 2009 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos)
Se considera la función real de variable real definida por:
>+−
≤
Página 7 de 29
SOL:a)
b) recta tangente y-10=2(x-1)
c) ( ) ( ) ( )6
1333
2
169
3
17081159242
3
12
2
3
15
2
2 =++=+−++++∫ ∫ ∫−
− −dxxdxxdxx u2
13. (Junio 2009 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos)
Se considera la función real de variable real definida por: axx
x)x(f
−−
−=
2
12
(a) Determínese las asíntotas, especificando los valores del parámetro real “a” para los cuales f tiene una asíntota vertical, dos asíntotas verticales, o bien no tiene asíntotas verticales.
(b) Para a=-1, calcúlense los valores de “b” para los cuales se verifica que ∫ =b
dx)x(f0
0
SOL: a) AH: y=0; si a-1/4 hay dos asíntotas verticales. b) b=0 y b=1 14. (Junio 2009 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos)
Dada la función real de variable real definida por: ( )22 1−= x)x(f , se pide determinar: (c) Determínese los extremos relativos de f(x). (d) Hállese la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=3. (e) Calcúlese el área del recinto del plano acotado por f y el eje OX. SOL: a) Máximo relativo en (0,1); mínimo relativo en (1,0) y en (-1,0)
b) recta tangente y=96x-224 c) 16/15 u2
Página 8 de 29
15. (MODELO 2008 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos)
Dada la función real de variable real definida por: xxx)x(f 96 23 +−= , se pide determinar: (f) Los puntos en los que la gráfica f corta a los ejes de coordenadas. (g) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (h) El área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función de f y el eje OX. SOL: a) (0,0) y (3,0) b) ( ) ( )creciente,,x +∞∪∞−∈∀ 31 , ( ) edecrecient,x 31∈∀
c) 4 u2
16. (MODELO 2008 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) (puntuación máxima 3 puntos)
Dada la función real de variable real definida por:
4
32
2
−=x
x)x(f
a) Calcular sus asíntotas y esbozar la gráfica. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en x=0 SOL: a) AV.: x=-2; x= 2: AH: y=3
Página 9 de 29
b) y=0 recta tangente en x=0
17. (SEPTIEMBRE 2008 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) Se desea fabricar un acuario con base cuadrada y sin tapa, de capacidad 500 3dm . La base y las paredes del acuario han de estar realizadas en cristal. ¿Cuáles deben ser sus medidas para minimizar la superficie total del cristal empleado? SOL: 10 dm mide la arista de la base y 5 dm la altura de la caja.
18. (SEPTIEMBRE 2008 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) Se considera la función real de variable real definida por:
2,4
2)(
2
2
±≠−
+= xx
xxf
a) Determínense las asíntotas de f. b) Calcúlense los máximos y mínimos de f y determínense los intervalos de crecimiento.
c) Calcúlese la integral definida: ∫ −5
3
2 )()4( dxxfx
SOL: a) AV. : x = -2; x = 2 A.H. y = 1
b)
−2
1,0M ; f es creciente en ( )0,∞− y decreciente en ( )+∞,0
c) 110/3
19. (JUNIO 2008 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) Calcúlese el área de la región de plano acotada por las gráficas de las funciones reales de variable real:
22 1)(,)( xxgxxxf −=−=
SOL: Área = 224
19u
Página 10 de 29
20. (JUNIO 2008 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) Se considera la función real de variable real definida por:
0,2
)(2
≠++
= xx
xxxf
d) Determínense las asíntotas de f. e) Calcúlense los máximos y mínimos relativos y determínense sus intervalos de crecimiento.
f) Calcúlese la integral definida: ∫2
1)( dxxf
SOL: a) A.V. : x = 0; A.O. y = x+1
b) ( ) ( )122,2122,2 +−− mM ; creciente en ( ) ( )+∞∪−∞− ,22, y decreciente
en ( )2,2− c) Equivalente al área comprendida entre f(x), OX , x=1 y x=2 : Área =
2226
5uL
+
Página 11 de 29
21. (SEPTIEMBRE 2007 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2) Dada la función real de variable real definida por
23
)(2
2
+−
−=
xx
xxxf
a) Especificar su dominio de definición. b) Estudiar su continuidad. c) Calcular sus asíntotas si las hubiere. SOL a) }2,1{)( −ℜ=fD .
b) f es continua ( ) ( ) ( )+∞∪∪∞− ,22,11, y discontinua en x=1 y en x=2. c) A.V. : x = 2; A.H. y = 1
22. (SEPTIEMBRE 2007 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
La gráfica de la función f(x) = ax3 + b x2 + c satisface las siguientes propiedades: 1ª) Pasa por el punto (0, 0) 2ª) Tiene máximo local en el punto (1, 2). Se pide: a) Obtner el valor de los coeficientes a, b y c. b) Hallar el área de la región acotada del plano limitada por la gráfica de la función
xx)x(g 33 +−= , el eje OX y la recta x = 1 SOL: a) a = -4, b = 6, c = 0.
b) ( ) ( ) 20
3
1
0
33
2
7
4
5
4
933 udxxxdxxx∫ ∫
−
=+=+−+−
Página 12 de 29
23. (JUNIO 2007 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Dada la función real de variable real definida por:
( )3
3)(
2
+
−=x
xxf
Se pide: a) Determinar las asíntotas de la función b) Calcular sus máximos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento.
SOL: a) A.V. : x = -3; A.O. y = x – 9 b) ( ) ( )0,324,9 mM − c) f es creciente en ( ) ( )+∞∪−∞− ,39, y decreciente en ( )3,9−
Página 13 de 29
24. (JUNIO 2006 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Representar la región acotada y limitada por las gráficas de las funciones
)205(2
1)(),205(
2
1)(,
4
5)( 2 +−=+== xxhxxgxxf
y obtener su área.
SOL: Área = 23
70u
25. (SEPTIEMBRE 2006 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Dada la función real de variable real definida por
4
16)(
2
2
−
−=x
xxf
a) Encontrar las asíntotas de la función. b) Especificar el signo de la función en las distintas regiones en la que está definida SOL a) A.V. : x = -2, x = 2; A.H. y = 1 c) f es positiva en ( ) ( ) ( )+∞∪−∪−∞− ,42,24, y negativa en ( ) ( )4,22,4 ∪−−
Página 14 de 29
26. (SEPTIEMBRE 2006 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Representar gráficamente la región limitada por las gráficas de las funciones f(x) = 9 – x2 , g(x) = 3 + x y obtener su área.
SOL: Área = 26
95u
Página 15 de 29
27. (JUNIO 2006 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Se considera la función real de variable real definida por : F(x) = x3 – 9x. Se pide:
a) Calcular sus máximos y mínimos relativos, si existen. b) Calcular el área del recinto de plano acotado limitado por la gráfica de la función f y el
eje OX.
SOL: a) ( ) ( )36,336,3 −− mM b) Área = 22
81u
28. (JUNIO 2006 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2) Se considera la curva de ecuación cartesiana y = x2 + 8x. Se pide:
a) Calcular las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva es paralela a la recta y = 2x
b) Calcular el área del recinto plano acotado y limitado por las gráficas de la curva dada y de la recta de ecuación cartesiana y = x + 8.
SOL: a) P(-3, -15) b) Área = 22
243u
Página 16 de 29
29. (SEPTIEMBRE 2005 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Se considera la curva de ecuación 12
3
+=x
xy . Se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa 1=x . b) Hallar las asíntotas de la curva.
SOL: a) 2
1−= xy b) A.V.: No tiene A.H.: No tiene A.O.: xy =
30. (SEPTIEMBRE 2005 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Se considera la función real de variable real definida por 9
)(2
2
−=x
xxf .
a) Hallar sus asíntotas. b) Calcular sus máximos y sus mínimos relativos, si existen.
SOL: a) A.V.: 3−=x 3=x A.H.: 1=y A.O.: No tiene b) Máximo relativo en (0,0)
Página 17 de 29
31. (JUNIO 2005 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
La función x
xxxB
169)(
2 −+−= representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso
de venta, siendo x el número de artículos vendidos. Calcular el número de artículos que deben venderse para obtener el beneficio máximo y determinar dicho beneficio máximo.
SOL: Vendiendo 4 artículos se obtiene un beneficio máximo de 1000 €.
32. (JUNIO 2005 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de xexf −= 2)( en el punto donde ésta corta al eje de ordenadas.
b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función xxxf 4)( 2 −= , el eje OX y las rectas 1−=x , 4=x .
SOL: a) 22 exey +−=
b) 213uA =
Página 18 de 29
33. (SEPTIEMBRE 2004 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Se considera la función real de variable real definida por 105)( 23
++−= xaxa
xxf , 0≠a
a) Obtener los valores de a para los cuales la función )(xf tiene un máximo en 1=x . b) Calcular los extremos relativos de )(xf para 3=a y representar la función.
SOL: a) 2
1−=a , 3=a b) Máximo en )
3
37,1( y mínimo en )
3
5,5(
34. (SEPTIEMBRE 2004 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Sean las funciones 82)( 2 −−= xxxf y 42
)(2
++−= xx
xg
a) Calcular )(
)(lim
4 xg
xf
x→.
b) Calcular el área del recinto acotado limitado por las curvas )(xf y )(xg .
SOL: a) -2 b) 54 2u
Página 19 de 29
35. (JUNIO 2004 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Calcular la integral definida ∫− ++1
1)1|(| dxxx SOL: ( ) 312
1
0
0
1=++ ∫∫− dxxdx Gráficamente la
superficie sombreada.
Página 20 de 29
36. (JUNIO 2004 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Se considera la función real de variable real definida por 1
4)(
2
2
−
−=
x
xxf
a) Determinar su dominio de definición. b) Obtener sus asíntotas.
SOL: a) ( ] [ )+∞∪−∪−∞− ,2)1,1(2, b) A.V: 1−=x , 1=x A.H: 1=y
37. (SEPTIEMBRE 2003 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Se considera la función 2
)( xxexf = . a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de )(xf en el punto de abscisa 1=x . b) Calcular el área del recinto plano limitado por la gráfica de )(xf para 0≥x , el eje OX y la
recta 2=x .
SOL: a) )23·( −= xey b) )1(2
1 4 −e 2u
Página 21 de 29
38. (SEPTIEMBRE 2003 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Sea la función 1222
1)(
2
3
−+
+−=
xx
xxf . Se pide:
a) Especificar su dominio de definición. SOL: a) }2,3{)( −−ℜ=fD b) Estudiar su continuidad. b) Salto infinito en 3−=x y 2=x
c) Calcular las asíntotas si las hubiera. c) A.V: 3−=x , 2=x A.O: 2
1
2
1+−= xy
Página 22 de 29
39. (JUNIO 2003 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Sean las funciones 9)( 2 −= xxf y 6)( 2 −−= xxxg . Calcular:
a) )(
)(lim
3 xg
xf
x→
b) Los extremos relativos de ),(xg si existen. c) El área del recinto limitado por la gráfica de la función ),(xf el eje OX y las rectas
,3=x 6=x .
SOL: a) 6/5 b) Mínimo en
c) 36 2u
40. (JUNIO 2003 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Dada la función 21
)(x
xxf
−=
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcular sus asíntotas.
Página 23 de 29
c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de )(xf en 0=x .
SOL: a) Creciente en ),( +∞−∞ b) A.V: 1=x , 1−=x A.H: 0=y c) xy =
41. (SEPTIEMBRE 2002 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Para cada valor de a , se considera la función 2
3)(
2
+
−=
x
axxxf . Se pide:
a) Calcular el valor de a para que f(x) tenga un mínimo relativo en x = 2. b) Hallar las asíntotas de la curva )(xfy = para el valor 3=a
SOL: a) 18=a b) A.V: 2−=x A.O: 93 −= xy 42. (SEPTIEMBRE 2002 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Calcular el valor de 0>a en los siguientes casos:
a) ∫ =+3
0 1
1adx
x b) ∫ =+
a
dxx0
31
1 c) ∫ =+
3
05
1dxax
SOL: a) 4ln=a b) 13 −= ea c) 1
35 −
=e
a
43. (JUNIO 2002 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
a) Halla las coordenadas del mínimo de la curva 542 −−= xxy . b) Calcular el área del triángulo limitado por el eje OX y las tangentes a la curva dada en los
puntos de intersección de dicha curva con el eje OX.
SOL: a) (2,-9) b) 54 2u
Página 24 de 29
44. (JUNIO 2002 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Se considera la curva de ecuación .43 xxy −= a) Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección con los ejes coordenados y de sus
máximos y mínimos relativos, si existen. b) Representar gráficamente la curva. c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX. SOL: a) Corte con OX: (-2,0), (0,0), (2,0) Corte con OY: (0,0) Mínimo:
−
9
316,
3
32 Máximo:
−
9
316,
3
32 c)
8 2u
45. (SEPTIEMBRE 2001 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Página 25 de 29
San las funciones baxxxf ++= 2)( , cxxg +−= 2)( .
a) Determínense ba, y c, sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos (-2,-3) y (1,0).
b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de )(xg en el punto (-2,-3). c) Calcúlese el área de la región limitada por las gráficas de )(xf y )(xg .
SOL: a) 2=a , 3−=b , 1=c b) 54 += xy c) 9 2u
46. (SEPTIEMBRE 2001 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Sea la función 323
12)( xxxf −= . Calcúlense:
a) Los intervalos donde es creciente y decreciente. b) Las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. c) El valor de x para el que es máxima la pendiente de la recta tangente a la gráfica de )(xf .
SOL: a) Creciente en )4,0( y decreciente en ),4()0,( +∞∪−∞ b) Máximo en (4, 32/3) y mínimo en (0,0) c) 2=x
47. (JUNIO 2001 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Una empresa fabrica cajas de latón sin tapa de volumen 500 3cm , para almacenar un líquido colorante. Las cajas tienen la base cuadrada. Hállense la altura y el lado de la base de cada caja para que la cantidad de latón empleada en fabricarlas sea la mínima posible.
SOL: 5 cm de altura y 10 cm de lado de la base
48. (JUNIO 2001 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Dada la función 122
1
3
1)( 23 +−+= xxxxf
a) Determínense sus máximos y mínimos relativos. b) Calcúlense sus puntos de inflexión. c) Esbócese su gráfica.
SOL: a) Máximo en (-2, 13/3) y mínimo en (1,-1/6) b) Punto de inflexión en (-1/2, 25/12)
Página 26 de 29
49. (SEPTIEMBRE 2000 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Dada la función, definida en los reales salvo en 0=x , x
xxf2
3)( −−= , calcúlese:
a) Las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. b) El área de la región plana acotada limitada por la gráfica de )(xf y el semieje positivo OX.
SOL: a) Mínimo en ( )223,2 +− y máximo en ( )223,2 − b) 2ln22/3 − 2u
50. (SEPTIEMBRE 2000 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Dada la función 2
10330340)(
2
+
−+=
t
ttts definida en los reales, salvo ,2−=t hállese:
a) El valor positivo de t en el que se hace cero la función. b) El valor positivo de t en el que )(ts se hace máximo. c) Las asíntotas de )(ts .
SOL: a) 34=t b) 4=t c) A.V: 2−=t
Página 27 de 29
51. (JUNIO 2000 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Se considera la función
>+
−
≤−
+
=
22
23
21
2
)( 2xsi
x
xx
xsix
x
xf
a) Estúdiese si )(xf es continua en el punto .2=x b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a )(xf en el punto .3=x c) Calcúlense sus asíntotas oblicuas.
SOL: a) No continua en 2=x b) 25
72
25
59−= xy c) 83 −= xy es A.O. cuando
+∞→x
52. (JUNIO 2000 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Sea la función dependiente de los parámetros a y b
>−
≤
Página 28 de 29
53. (SEPTIEMBRE 1999 / OPCIÓN A / EJERCICIO 2)
Se sabe que los costes totales de fabricar x unidades de un determinado producto vienen dados por la expresión 108273)( 2 +−= xxxC . a) ¿Cuántas unidades hay que producir para minimizar el coste medio, xxCxM /)()( = ? b) Justifíquese que la función coste medio, ),(xM no tiene puntos de inflexión.
SOL: a) 6 unidades b) No tiene puntos de inflexión porque 0)( ≠′′ xM para todo x 54. (SEPTIEMBRE 1999 / OPCIÓN B / EJERCICIO 2)
Sea la función
≤≤−
Página 29 de 29