การตี�โจทย์ปั�ญหา N-Queens ในหลากมุ�มุโดย ศล

ปั�ญหา N-Queens เปั นตั�วอย�างปั�ญหาคลาสส�กและยอดฮิ�ตัส�าหรั�บ AI มี ว�ธี การัตั โจทย$ปั�ญหาได&หลายแนวทาง และมี ว�ธี การัหาค�าตัอบเยอะแยะมีากมีาย ปั�ญหาค'อบนกรัะดานหมีากรั(กขนาน N x N เรัาสามีารัถวางคว น N ตั�ว โดยคว นแตั�ละตั�วไมี�โจมีตั ก�นเองได&หรั'อไมี� ถ&าได& ได&ก +แบบ รั,ปัท + 1 แสดงตั�วอย�างค�าตัอบแบบหน-+งกรัณี N = 8

ร�ปัท�� 1 ผลเฉลยแบบหน-+งของปั�ญหา 8 คว น

บทความีตัอนน 1เรัาจะส�ารัวจแง�มี(มีตั�าง ๆ ของการัตั ความีโจทย$ปั�ญหา N-Queens

1. Algebraic Definition

ถ&าให& A เปั นเซตัของจ�านวนเตั5มี A = {0, 1, 2, … , N-1} และ B เปั นผลค,ณีคารั$ท เชี ยนของ A

B = A x A = {(0,0), (0,1), … , (1,0), … , (N-1,0), … , (N-1,N-1)}

เรัาเล'อกสมีาชี�ก N ตั�วใด ๆ จาก B เรั ยกชี'+อว�าเซตั C และ C จะเปั นค�าตัอบของปั�ญหา ถ&า ((im,jm), (in,jn))

ซ-+งเปั นสมีาชี�กของ C x C (ผลค,ณีคารั$ท�เชี ยนของ C) ผ�านเง'+อนไขท�1ง 4 ข&อตั�อไปัน 1 หรั'อตักท�1ง 4 ข&อ ส�าหรั�บท(กค�า m, n = 0, 1, 2, …, N-1

เง'+อนไข 1. im in2. jm jn3. im + jm in + jn4. im – jm in - jn

คงเห5นว�าการัน�ยามีปั�ญหาแนวทางน 1ตัรังไปัตัรังมีา เรั�+มีจากสรั&างตัารัางขนาด N x N หรั'อ เซตั B แล&วเล'อก N

ตั�าแหน�งใด ๆ จาก B เปั นตั�าแหน�งท +จะวางคว น แล&วท�าการัตัรัวจสอบว�าคว นท +ตั�าแหน�งเหล�าน 1โจมีตั ก�นเองหรั'อไมี� เรัาจ-งสรั&างเซตั C x C ข-1นมีาเพื่'+อด,เง'+อนไขรัะหว�างคว น 2 ตั�วใด ๆ โดยคว นค,�หน-+ง ๆ (ซ-+งก5ค'อสมีาชี�กหน-+งตั�วใน C x C) จะตั&องไมี�อย,�แถวและหล�กเด ยวก�น ด�งเง'+อนไขข&อ 1–2 และจะตั&องไมี�อย,�ในแนวเส&นทแยงมี(มีเด ยวก�น ถ&าเรัามี คว นตั�วแรักท +ตั�าแหน�ง (im,jm) ตั�วท +สองท +ตั�าแหน�ง (in,jn) ความีชี�นของเส&นตัรังท +เชี'+อมีรัะหว�างคว น 2 ตั�วเท�าก�บ (jn- jm)/( in- im) ถ&าคว น 2 ตั�วน�1นอย,�ในแนวโจมีตั ทางเส&นทแยงมี(มี ความีชี�นเส&นตัรังน 1จะมี ค�าเท�าก�บ +1 หรั'อ -1 (tan45 หรั'อ tan135) ซ-+งท�าให& im – jm = in - jn และ im + jm = in +

jn ตัามีล�าด�บ น +เปั นเหตั(ผลในการัตัรัวจสอบเง'+อนไขข&อ 3-4

การัตักเง'+อนไขท�1ง 4 ข&อ เก�ดข-1นเมี'+อ m = n หรั'อ คว นท�1ง 2 ตั�วน�1น แท&ท +จรั�งแล&วเปั นตั�วเด ยวก�น

2. Modular Arithmetic Definition

ให& A = {0, 1, 2, … , N2-1} เล'อกสมีาชี�ก N ตั�วใด ๆ จาก A ก�าหนดเรั ยกว�า B และ B จะเปั นค�าตัอบของปั�ญหา ถ&า (X,Y) ซ-+งเปั นสมีาชี�กของ B x B (ผลค,ณีคารั$ท�เชี ยนของ B) ท + X Y สอดคล&องก�บเง'+อนไขท�1ง 4 ข&อตั�อไปัน 1

เง'+อนไข 1. (X mod N) (Y mod N)2. X/N Y/N3. X/N + (X mod N) Y/N + (Y mod N)4. | X/N - (X mod N) | | Y/N - (Y mod N) |

X/N ค'อค�าจ�านวนเตั5มีท +เก�ดจาก X N โดยไมี�ตั&องสนใจเศษ ส�วน X mod N ค'อเศษท +ได&จาก X N เชี�น 3/2 = 1 และ 3 mod 2 = 1

ว�ธี การัน 1หากเรัาส�งเกตัด ๆ คงเห5นว�าการัก�าหนดเซตั A เท�าก�บก�าหนดตั�วเลขจ�านวนเตั5มีตั�1งแตั� 0 ถ-ง N2-1 ให&แตั�ละชี�องบนกรัะดานหมีากรั(ก N x N สมีมีตั�ว�าเรัาเรั�+มีจากใส� 0 จากตั�าแหน�งล�างซ&ายไล�ไปัขวา ตั�วขวาส(ดของแถวน�1นเท�าก�บ N-1 แล&วใส�ค�าแถวท + 2 จากซ&ายไปัขวาเชี�นน 1จนครับท(กชี�องบนกรัะดาน จะพื่บว�าตั�วเลขท +อย,�ในแถวเด ยวก�นจะมี X/N เท�าก�น ส�วนตั�วเลขท +อย,�ในหล�กเด ยวก�นจะมี X mod N เท�าก�น ด�งน�1นการัตัรัวจเง'+อนไขท + 1-2 ของน�ยามีน 1เปั นการัตัรัวจสอบว�าคว น 2 ตั�วท +ตั�าแหน�ง X และ ตั�าแหน�ง Y อย,�ในแถวและหล�กเด ยวก�นหรั'อไมี� ส�าหรั�บเง'+อนไขข&อ 3-4 ของน�ยามีน 1สามีารัถเท ยบได&ก�บเง'+อนไข 3-4 ของน�ยามี Algebra เพื่รัาะเมี'+อเรัารั, &ว�าแถวใด ๆ จะมี ค�า X/N เปั นค�าคงท +ปัรัะจ�าแถวน�1น และหล�กใด ๆ มี ค�า X mod N เปั นค�าคงท +ปัรัะจ�าหล�กน�1น ๆ เรัาสามีารัถอ&างอ�งชี�อง X ได&จากพื่�ก�ด (X/N, X mod N) ซ-+งเท ยบได&ก�บ (im,jm) ของน�ยามีท +แล&วน�+นเอง

3. Constraint Satisfaction Problem

เรัาลองมีาท�าความีเข&าใจแนวค�ดเก +ยวก�บ Constraint Satisfaction Problem ผ�านตั�วอย�างการัแก&ปั�ญหา 4-Queens ก�นก�อน เรั�+มีตั&นมี กรัะดานหมีากรั(ก 4 x 4 ด�งรั,ปั เรัาตั&องวางคว น 4 ตั�วบนกรัะดานน 1 สมีมีตั�ว�าผ,&เข ยนย-ดหล�กเปั นตั�วแปัรั เรัารั, &ว�าคว นท�1ง 4 ตั�วตั&องวางอย,�ก�นคนละหล�ก เรัาจ-งมี ตั�วแปัรั 4 ตั�ว ค'อ X0, X1, X2 และ X3 (แทนหล�กท + 0-3 ตัามีล�าด�บ) ในตั�วแปัรัแตั�ละตั�ว เรัาสามีารัถเล'อกวางคว นได& 4 ตั�าแหน�ง (แถวท + 0-3) เรั ยกเซตัของของตั�าแหน�งน 1ว�าโดเมีน

X0 มี โดเมีนค'อ {0, 1, 2, 3}

X1 มี โดเมีนค'อ {0, 1, 2, 3}

X2 มี โดเมีนค'อ {0, 1, 2, 3}

X3 มี โดเมีนค'อ {0, 1, 2, 3}

ส�าหรั�บตั�วแปัรั X0 ซ-+งเปั นตั�วเรั�+มีตั&น ย�งไมี�มี ข&อจ�าก�ดใด ๆ เรัาสามีารัถส(�มีเล'อกค�าอะไรัในโดเมีนก5ได& สมีมีตั�ว�าเล'อก 3 เมี'+อเรัาวางคว น ณี หล�กท + 0 แถวท + 3 จะเก�ดเง'+อนไขซ-+งไปัสรั&างข&อจ�าก�ดให&ก�บโดเมีนของตั�วแปัรัอ'+น ๆ

สี�แดงค'อข&อจ�าก�ดท +บอกว�าตั�วแปัรัอ'+น ๆ ไมี�สามีารัถเล'อกสมีาชี�กตั�วน�1นได&

X0 มี โดเมีนค'อ {0, 1, 2, 3}

X1 มี โดเมีนค'อ {0, 1, 2, 3}

X2 มี โดเมีนค'อ {0, 1, 2, 3}

X3 มี โดเมีนค'อ {0, 1, 2, 3}

ส�าหรั�บตั�วแปัรั X1 เหล'อโดเมีนให&เล'อกเพื่ ยง 2 ตั�วค'อ 0 ก�บ 1 เรัาส(�มีเล'อก 1 ตั�ว สมีมีตั�ว�าเล'อก 1

หมีายความีว�าเรัาวางคว นตั�วท + 2 ณี หล�กท + 1 แถวท + 1

X0 มี โดเมีนค'อ {0, 1, 2, 3}

X1 มี โดเมีนค'อ {0, 1, 2, 3}

X2 มี โดเมีนค'อ {0, 1, 2, 3}

X3 มี โดเมีนค'อ {0, 1, 2, 3}

ผลท +ตัามีมีาท�าให&ตั�วแปัรั X2 ไมี�เหล'อโดเมีน ด�งน�1นการัวางคว น 2 ตั�าแหน�งน 1ไมี�ใชี�ค�าตัอบ ตั&องย&อนกล�บไปัเรั�+มีตั&นตั�1งแตั�เล'อกโดเมีนของ X1 และ X0 ใหมี� ท�าซ�1าเชี�นน 1จนกว�าจะเล'อกค�าตัอบท +สอดคล&องก�บข&อจ�าก�ดได& ตั�วอย�างเส&นทางค�าตัอบแสดงด�งรั,ปัท + 2

ร�ปัท�� 2 เส&นทางผลเฉลยปั�ญหา 4-Queens

จากตั�วอย�าง คงพื่อได&แนวค�ดว�าปั�ญหา Constraint Satisfaction ปัรัะกอบไปัด&วย ตั�วแปัรั แตั�ละตั�วแปัรัมี โดเมีนซ-+งเปั นเซตัท +อาจเปั นค�าตัอบของปั�ญหา และข&อจ�าก�ด (Constraints) การัหาค�าตัอบค'อการัเล'อกสมีาชี�กจากโดเมีนของแตั�ละตั�วแปัรัท +อย,�ภายใตั&ข&อจ�าก�ด พื่,ดด&วยภาษาคณี�ตัศาสตัรั$ ปั�ญหาปัรัะกอบด&วย {N,

R0, R1, … , RN-1, P01, P02, … , PN-2,N-1} เมี'+อ

ก. N ค'อ จ�านวนของตั�วแปัรั ข. Ri ค'อ เซตัโดเมีนซ-+งสมีาชี�กแตั�ละตั�วค'อค�าตัอบท +อาจเปั นไปัได&ของตั�วแปัรัค. Pij ค'อ ข&อจ�าก�ด เปั นส�บเซตัของ Ri x Rj

ในปั�ญหา N-Queens เรัาก�าหนดให&แตั�ละหล�กเปั นตั�วแปัรั ด�งน�1นมี จ�านวนตั�วแปัรัเท�าก�บ N และ R0 = R1 =

R2 = … = RN-1 = R เพื่รัาะในแตั�ละหล�กสามีารัถวางคว นได& N ตั�าแหน�ง (มี N แถว เรั�+มีจากแถวท + 0 ถ-งแถวท + N-1) เซตัข&อจ�าก�ด Pij ค'อ สามีาชี�กของ Ri x Rj ท +ไมี�ท�าให&คว น 2 ตั�วในหล�ก i, j ใด ๆ โจมีตั ก�น กล�าวค'อ คว นท�1ง 2 ตั�วน�1นจะตั&องไมี�อย,�ในแถวเด ยวก�น และอย,�ในแนวเส&นทแยงมี(มีของก�นและก�น

Pij = {(Ri x Rj) – Pij*} เมี'+อ Pij* = {(x,y) Ri x Rj | x = y หรั'อ |x-y| = |i-j|}

ผ,&อ�านส�งเกตัเซตั Pij* จะพื่บเง'+อนไขท�1ง 2 ข&อ x = y (อย,�แถวเด ยวก�น) และ |x-y| = |i-j| (อย,�แนวเส&นทแยงมี(มีของก�นและก�น) เปั นข&อจ�าก�ดของ Pij ด�งน�1นค�าตัอบของเรัาค'อ

A = {a0, a1, a2, …, aN-1} เมี'+อ ก. ai R ส�าหรั�บท(ก iข. (ai, aj) Pij เมี'+อ i j และ 0 i < j N-1

มีาด,ตั�วอย�างกรัณี N = 4 ก�นครั�บ R = {0, 1, 2, 3}

P01 = {(0,2), (0,3), (1,3), (2,0), (3,0), (3,1)}

P02 = {(0,1), (0,3), (1,0), (1,2), (2,1), (2,3), (3,0), (3,2)}P03 = {(0,1), (0,2), (1,0), (1,2), (1,3), (2,0), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}P12 = {(0,2), (0,3), (1,3), (2,0), (3,0), (3,1)}P13 = {(0,1), (0,3), (1,0), (1,2), (2,1), (2,3), (3,0), (3,2)}P23 = {(0,2), (0,3), (1,3), (2,0), (3,0), (3,1)}

ได&ค�าตัอบเชี�น A = {2, 0, 3, 1} ตี�วหนาสี�ด�า หรั'อ A = {1, 3, 0, 2} ตี�วหนาสี�แดง

4. Maximum Stable Set Problem

มี(มีมีองน 1ใชี&ความีรั, &เรั'+องกรัาฟเข&ามีาชี�วย โดยแปัลงกรัะดานหมีากรั(กเปั นกรัาฟ แล&วท�าให&ปั�ญหา N-Queens

กลายเปั นปั�ญหาหน-+งในทฤษฎี กรัาฟ น�+นค'อ ปั�ญหา Maximum Stable Set หรั'อ Maximum

Independence Set Problem ถ&าเรัามี กรัาฟ G = (V,E) เมี'+อ V แทนเซตัของจ(ด และ E แทนเซตัของเส&นเชี'+อมีรัะหว�างจ(ด เซตัของจ(ดท + stable (หรั'อจ(ด Independence) V* ท +เปั นส�บเซตัของ V น�ยามีโดย เซตัของจ(ดท +ไมี�มี 2 จ(ดใด ๆ เชี'+อมีก�นด&วยเส&นเชี'+อมีในเซตั E

ตั�วอย�างกรัาฟด�งรั,ปัท + 3 จะพื่บ V* = {2, 3, 5, 6} หรั'อ {1, 4} และ Maximum Stable Set ค'อ stable เซตัท +มี จ�านวนสมีาชี�กมีากท +ส(ด เรัาเรั ยกจ�านวนสมีาชี�ก หรั'อจ�านวนจ(ดใน Maximum Stable Set ว�าจ�านวน stability, (G), หรั'อจ�านวน maximum independence

(G) = max (|V*| : V* V เปั น stable set)

เมี'+อ |V*| = จ�านวนจ(ดท +เปั นสมีาชี�กของ V*

Maximum Stable Set Problem ค'อปั�ญหาท +ให& G(V,E) ใด ๆ มีา แล&วเรัาตั&องการัค�าตัอบเปั น G(V*,E) หรั'อ V* ท +มี จ�านวนจ(ดเยอะท +ส(ด

ส�าหรั�บ N-Queens เรัาท�าได&โดยแปัลงกรัะดานหมีากรั(ก N x N ให&เปั นกรัาฟ G(V,E) ท + V แทนด&วยชี�องแตั�ละชี�องบนกรัะดานหมีากรั(ก โดยมี E เชี'+อมีรัะหว�าง 2 จ(ดใด ๆ ท +อย,�แถวเด ยวก�น อย,�หล�กเด ยวก�น และอย,�ในแนวเส&นทแยงมี(มีเด ยวก�น ค�าตัอบของ Maximum Stable Set Problem ก5เปั นค�าตัอบของ N-

Queens ไปัในตั�ว ตั�วอย�างกรัาฟ N = 4 แสดงด�งรั,ปัท + 4 จ(ดส ด�าค'อสมีาชี�กของ V*

ร�ปัท�� 3 G(V,E) มี (G) = 4

ร�ปัท�� 4 ปั�ญหา 4 คว น แสดงด&วยกรัาฟและปั�ญหา Maximum Stable Set

5. Maximum Clique Problem

การัมีองปั�ญหาด&วยว�ธี น 1เสมี'อนเปั นเงาสะท&อนของว�ธี ท +แล&วครั�บ เพื่รัาะปั�ญหาอะไรัก5ตัามีท +เรัาสรั&างให&มี�นเปั นปั�ญหา Maximum Stable Set ได& เรัาก5สามีารัถท�าให&มี�นเปั นปั�ญหา Maximum Clique ได&เชี�นก�น ถ&ามี กรัาฟ G(V,E) ท + V* V เรัาน�ยามี V* ว�า Clique ถ&ารัะหว�าง 2 จ(ดใด ๆ ใน V* เชี'+อมีก�นท�1งหมีด

ร�ปัท�� 5 กรัาฟ G(E,V) มี V* = {1, 2, 3, 4} เปั น Clique ขนาดเท�าก�บ 4จากรั,ปัท + 5 จ(ด 1, 2, 3 และ 4 ของกรัาฟเปั น Clique ท +มี ขนาดเท�าก�บ 4 (เรั ยก 4-Cliques) ส�าหรั�บ V* ท +เปั น K-Clique (มี K จ(ด) จะเปั นกรัาฟท +มี เส&นเชี'+อมี K(K-1)/2 เส&น ปั�ญหา Maximum Clique ค'อ ปั�ญหาท +โจทย$ให& G(V,E) มีา แล&วเรัาตั&องหา K-Clique ท + K มี ค�าส,งส(ด ในการัแปัลงกรัะดานหมีากรั(ก N x N เปั นกรัาฟน�1น เรัาท�าเหมี'อนว�ธี ท +แล&วครั�บ เพื่ ยงเปัล +ยนน�ยามีเซตัของเส&นเชี'+อมี (E) ให&กล�บตัรังก�นข&ามี ค'อ เส&นเชี'+อมี จะเชี'+อมี 2 จ(ดใด ๆ ท +ไมี�อย,�แถวเด ยวก�น ไมี�อย,�หล�กเด ยวก�น และไมี�อย,�ในแนวเส&นทแยงมี(มีเด ยวก�น ค�าตัอบของ Maximum Clique Problem ก5จะเปั นค�าตัอบของ N-Queens Problem ตั�วอย�างกรัาฟ N

= 4 แสดงด�งรั,ปัท + 6 จ(ดส ด�าค'อสมีาชี�กของ V*

ร�ปัท�� 6 ปั�ญหา 4 คว น แสดงด&วยกรัาฟและปั�ญหา Maximum Clique

6. Integer Programming Problem

หล�กการัค'อสรั&างโมีเดลตัารัางหมีากรั(ก N x N ท +แตั�ละชี�อง xij ของมี�น มี ค�าเท�าก�บ 0 (ไมี�มี คว น) หรั'อ 1 (มี

คว น) โดยมี จ(ดปัรัะสงค$เพื่'+อให&โมีเดลมี ค�า ส,งส(ด เมี'+อ i เปั น แถว และ j เปั น หล�ก และ i, j = {0,

1, 2, … , N-1} ด�งน�1นข&อจ�าก�ดของโมีเดลส�าหรั�บแก&ปั�ญหาโจทย$ข&อน 1ค'อ

ก. ห&ามีคว นอย,�แถวเด ยวก�น ท(กค�า i = 0, 1, 2, … , N-1

ข. ห&ามีคว นอย,�หล�กเด ยวก�น ท(กค�า j = 0, 1, 2, … , N-1

ค. ห&ามีคว นอย,�ในแนวเส&นทแยงมี(มีท +มี ความีชี�นตั�ดลบ ท(กค�า i,j ท + k = 1, 2, ... , 2N-3

ง. ห&ามีคว นอย,�ในแนวเส&นทแยงมี(มีท +มี ความีชี�นค�าบวก ท(กค�า i,j ท + k = -N+2, ... , N-2

โมีเดลท +ผ�านข&อจ�าก�ด ก. – ง. และให&ค�า ส,งส(ดเปั นค�าตัอบ

ย�งมี อ กหลายว�ธี ในการัตั โจทย$ปั�ญหา N-Queens ครั�บ และบางมี ว�ธี ก5มี หลายหนทางท +น�าไปัส,�ผลเฉลย ผ,&เข ยนเชี'+อว�า เท�าท +ยกตั�วอย�างมีา 6 แบบน 1คงพื่อแสดงให&เห5นถ-งเสน�ห$ของว�ธี การัค�ดในแตั�ละมี(มี บางท ค(ณีผ,&อ�านอาจค�ดตั�อในแบบของตั�วค(ณีเองอ กส�กมี(มี แล&วอย�าล'มีน�ามีาแบ�งปั�นก�นนะครั�บ