見かけ上の non-complier が存在する場合の

平均因果効果の統計的推測

成蹊大学大学院理工学研究科（博士前期課程 2 年）佐野文哉成蹊大学理工学部岩崎　学

内容 背景と目的 平均因果効果 平均因果効果の存在範囲 見かけ上の non-complier 推定方法 まとめと今後の課題

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背景と目的 背景

• 処置の効果を測るにあたって，様々な分野で実験研究が行われている

• 実験研究では，処置の割り付け（指示）を行うが，割り付け（指示）通りの処置を受けない人がいる

• 割り付け（指示）通りの処置を受けない人の中には，自分の意志以外の理由で割り付け（指示）通りの処置を受けない人がいるかもしれない

• 目的• 自分の意志以外の理由で割り付け（指示）通りの処置を受けな

い人が存在する場合の，処置の効果を推定

3

薬の効果 ある人が病気にかかったので薬を飲んだ

薬を飲まなかったとしたら．．．

同じ人が，「薬を飲んだ場合」と「薬を飲まなかった場合」で比較したい

しかし，同じ人の「飲んだ場合」と「飲まなかった場合」の両方の結果を知ることはできない

4

病気は治った！

実際には薬を飲んだので

飲んでない場合に

病気が治ったかどうかわからな

い

Potential outcome Z ：処置の割り付け変数 (Z = 0, 1) Y ：観測される結果変数 (Y = 0, 1)

Y(1), Y(0) ： potential outcome (Y(1), Y(0) = 0, 1)

Y(1) は処置を受けた場合の結果 Y(0) は処置を受けなかった場合の結果

Y(1) と Y(0) を両方同時に観測することはできない

観測される結果変数 Y は以下のように表わせるY = (1 – Z)Y(0)+ZY(1)

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平均因果効果

個体の因果効果： Yi(1) – Yi(0)

平均因果効果 (Average Causal Effect) をACE = E[Y(1) – Y(0)] = E[Y(1)] – E[Y(0)]

で定義する• E[Y(1)] ：母集団全体が処置を受けたときの結果の平均• E[Y(0)] ：母集団全体が処置を受けなかったときの結果の

平均

ランダム割り付けにより平均因果効果を推定

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Non-complier ランダム割り付けにより平均因果効果の推定

それぞれで効き目が違うと考えられる！

7タイプに分ける！

割り付けられた群

割り付けられない群比較

しかし，割り付け通りの処置を受けない人がいる！

• 割り付けられても処置を受けない人• 割り付けられなかったが処置を受ける人

Non-complier例

4 種類のタイプの人 Z ：処置の割り付け変数 (Z = 0, 1) D ：実際に受ける処置の変数 (D = 0, 1)

それぞれのタイプを以下のように定義する．

Complier (Z = D) Never-Taker (Z によらず常に D = 0) Always-Taker (Z によらず常に D = 1) Defier (D = 1 – Z)

本研究では Defier は存在しないと仮定

8

ここで処置の割り付けはランダ

ムに行う

平均因果効果の存在範囲 Balke and Pearl (1997) における平均因果効果の

存在範囲 (Bound) の結果は以下のようである

Bound における確率 p

⇒ この式では何を言っているのかわかりづらい！

9

0.101.010.001.11 11 ppACEpp

)0|0 1,( ),1|1 ,0()0|0 0,( ,)1|1 ,1(

0.101.01

0.001.11

ZDYPpZDYPpZDYPpZDYPp

変数の定義 Complier の割合： pC

Never-Taker の割合： pN

Always-Taker の割合： pA

Complier, Never-Taker, Always-Taker の有効率

10

)0|1()0()1|1()1()0|1()0(

)1|1()1()0|1()0(

)1|1()1(

D r,AlwaysTakeYPRD r,AlwaysTakeYPR

D ,NeverTakerYPRD ,NeverTakerYPR

D Complier,YPRD Complier,YPR

A

A

N

N

C

C

平均因果効果の存在範囲 割合： pC, pN, pA

有効率： RC(1), RC(0), RN(1), RN(0), RA(1), RA(0) 平均因果効果は以下のように表せる

11

)}0()1({)}0()1({)}0()1({

AAANNN

CCC

RRpRRpRRpACE

Never-Taker

Always-Taker

処置を受けなかった ○

？処置を受けた

○

？処置を受けなかった

処置を受けた

Bound の上限では RN(1) = 1, RA(0) = 0Bound の下限では RN(1) = 0, RA(0) = 1

例：成蹊大学における授業

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• 2 限はうるさいから嫌

• 1 限には起きられない

1 限の授業 2 限の授業

授業 1 ： 1 限と 2 限で同じ先生による同じ内容の授業

• 授業 2 が 1 限にあるので仕方なく

授業 2 ：授業 1 とは別の先生が 1 限だけに行う授業

本来であれば授業 1 を 1 限目に受けていたので， never-taker と処置の効果が同じであると考えるのは適当ではない

学籍番号奇数 学籍番号偶数

見かけ上の non-complier すべての対象は complier と

non-complier である never-taker ， always-taker の 3 タイプに分けられる

しかし， non-complier とされた対象のうち，偶然的な背景や何らかの理由により割り付けに従わない場合がある

このような対象を新しく見かけ上の non-complier 　(complier2) と呼ぶ

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見かけ上の non-complier 見かけ上の non-complier がいるにもかかわらず，

いないとして評価してしまうと・・・

モデル 1 では 　　　　　　　，モデル 2 では 　　　 　を過大評価してしまうことになる 　　　　 についても同様

14

4030

10

9

4

40 40 13

モデル 1 （真の構造）

モデル 2

0.3)0(ˆ NR 0.325)0(ˆ NR)0(ˆ

NR)1(ˆ

AR

見かけ上の non-complier 見かけ上の non-complier は complier の有効率

と同じとする 見かけ上の non-complier を complier2 と呼ぶ 平均因果効果は以下のように表わせる

15

)}0()1({)}0()1({)}0()1({

AAANNN

CCC

RRpRRpRRpACE

)}0()1({)}0()1({)}0()1(){( 21

AAANNN

CCCC

RRpRRpRRppACE

pC1 は通常の complierの割合

推定方法 ( モデル )

全体の半分の人数： NZ = 1, D = 1 の人数： N1

Z = 1, D = 0 の人数： N – N1

Z = 0, D = 0 の人数： N2

Z = 0, D = 1 の人数： N – N2

16

N1

N

N - N1 N2

N – N2

N

N3

N4

N5

N6

Complier2 の人数（未知）： xZ = 1, D = 1, Y = 1 の人数： N3

Z = 1, D = 0, Y = 1 の人数： N4

Z = 0, D = 1, Y = 1 の人数： N5

Z = 0, D = 1, Y = 1 の人数： N6

x

x

推定方法 　　　　　　　　　　　　　　　 　は以下のよう

になる

　　　 　と 　　　　 は推定可能 　　　　 と 　　　　 は実際の complier2 の人数

x が未知であるため推定不可

17

)()0(ˆ

12

46

NNNNNRC

)()1(ˆ

21

53

NNNNNRC

xRNxNN

R CN

)0(ˆ1)0(ˆ4

1

xRNxNN

R CA

)1(ˆ1)1(ˆ5

2

R ,R ,R ,R ANCC )1(ˆ)0(ˆ)0(ˆ)1(ˆ

)1(ˆCR )0(ˆ

CR)0(ˆ

NR RA )1(ˆ

推定方法 　　　　　　　　 　は以下のようになる

平均因果効果は以下のようになる

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NNxNNpC

21

1ˆNxpC 2ˆ

NxNNpN

1ˆ

NxNNpA

2ˆ

ANCC p p p p ˆ,ˆ,ˆ,ˆ 21

)0()1(ˆ1

)0(ˆ1)1(

)()(

52

2

41

1

12

46

21

5321

AC

CN

RxRNxNNN

xNN

xRNxNN

RN

xNN

NNNNN

NNNNN

Nx

NNxNNACE

• Bound の上限では RN(1) = 1, RA(0) = 0• Bound の下限では RN(1) = 0, RA(0) = 1

具体例 割合 pC1, pC2, pN, pA と有効率 RC(1), RC(0), RN(0),

RA(1) を設定する• pC1 = 0.5, pA = 0.1, RC(1) = 0.7, RC(0) = 0.4, RN(0) = 0.3,

RA(1) =0.6 として pC2 と pN を 0.1 ～ 0.3 の間で動かす• それぞれの場合で実際に施される処置の人数は固

定

• 予想されうる complier2 の値を増やしていき， Bound を評価する

19

40

60 20

80

推定値のバイアス Complier2 が存在するにもかかわらず，存在しな

いと仮定して推定を行うと・・・

20

• RC(1) と RC(0) の推定にバイアスは生じない

• RN(0) と RA(1) の推定にバイアスが生じる

• Complier2 の人数が多いと，バイアスが大きくなってしまう

0.25

0.27

0.29

0.31

0.33

0.35

0 5 10 15 20

RN(0

)

予測されるComplier2 の人数

RN(0)

RN(0)

RN(0) 真値

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 5 10 15 20

RA(1

)

予測されるComplier2 の人数

RA(1)

RA(1)

RA(1) 真値

平均因果効果の Bound

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縦軸：平均因果効果横軸： Complier2 の人数

■は Balke and Pearl (1997) の Bound

-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.40.50.6

0 5 10 15 20

ACE

予測されるComplier2 の人数

PC1=0.5 PC2=0.1 PN=0.3 PA=0.1

upper

lower

BP upper

BP lower

complier2の真値

-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.40.50.6

0 10 20 30

ACE

予測されるComplier2 の人数

PC1=0.5 PC2=0.2 PN=0.2 PA=0.1

upper

lower

BP upper

BP lower

complier2の真値

-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.40.50.6

0 10 20 30 40

ACE

予測されるComplier2 の人数

PC1=0.5 PC2=0.3 PN=0.1 PA=0.1

upper

lower

BP upper

BP lower

complier2の真値

まとめと今後の課題

見かけ上の non-complier を含んだ新しいモデルを提案し，平均因果効果の Bound を導出した

RC(1) と RC(0) は推定可能 見かけ上の non-complier を含んだモデルでは

RN(0) と RA(1) は推定不可 見かけ上の non-complier の比率に関する外部的

な情報があれば推定可能

中程度の標本における Bound のシミュレーションを用いた推定精度の評価は現在作成中

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参考文献 Balke, A. and Pearl, J. (1997) Bound on treatment

effects from studies with imperfect compliance. Journal of the American Statistical Association, 92, 1171-1176.

Yamashita, H., Sano, F. and Iwasaki, M. (2012) Influence of random non-compliance to performance of estimation for a causal effect under non-compliance. The 26th International Biometric Conference (Kobe), 2012. 8.

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