Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ФУНКЦІЇ
БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
Функція двох змінних
Частинні похідні.
Диференціал функції.
Дотична площина і нормаль до поверхні. Градієнт
Застосування диференціала для наближених обрахунків.
Дослідження функції двох змінних на умовний екстремум
Найбільше і найменше значення функції в замкненій області
Основні поняття
Впорядкований набір n дійсних чисел
називається n-вимірним вектором.),...,,( 21 nxxxx
Множина n-вимірних векторів, в якій введені
операції:
додавання векторів
множення вектора на число
називається n-вимірним векторним простором і
позначається
),...,,( 2211 nn yxyxyxyx
),...,,( 21 nxxxx
nR
Основні поняття
Множина X – область визначення функції n змінних.
називаються незалежними змінними;
u – залежна змінна
Розглянемо . Говорять, що на множині Х
задана функція n змінних, що позначається f, якщо
задано правило, яке кожному вектору
ставить у відповідність одне
число , що називається значенням функції
в точці x.При цьому записують
nRX
Xxxxx n ),...,,( 21
)(xfu ),...,,( 21 nxxxfu
nxxx ,...,, 21
Приклади функцій багатьох змінних
)( 21
2
1 xxtgxu
1. функція двох змінних
432 yzxu
2. функція трьох змінних
nnxxxxu ...32 321
3. функція n змінних
Функція двох змінних
),( yxfz
)(Mfz
(x;y;f(x;y)),
Графік функції двох змінних – це поверхня
Функція двох змінних
Приклад функції двох змінних
224 yxz
04 22 yx422 yx
Дана функція геометрично зображається
верхньою півсферою радіусом 2.
круг центр (0;0) і R=2
Лінія рівня. Множина рівня.
Линією рівня функції двох змінних
називається множина точок на площині таких, що
у всіх цих точках значення функції одне і теж
Число c називається рівнем.
),( yxfz
Для функції n змінних
множина точок, які задовольняють умову
де
називається множиною рівня.
,),( сyxf constс
),...,,( 21 nxxxfu
,),...,,( 21 сxxxf n constс
В попередньому прикладі лінія рівня – окружність.
Нехай - деяке додатне число.
-околом точки M0(x0;y0) називається
множина всіх точок, координати (x ; y)
яких задовольняють нерівності:
2
02
00 yyxx
Приклад
22
22 )1ln(
yx
yxz
000
110
0)1ln(lim 222
22
22
22
00
yx
yx
yx
yx
yx
yx
01
2lim
0
0)1ln(lim
20
2
0
Функція двох змінних
Частинні прирости і частинні
похідні
Частинні прирости і частинні
похідні
( , )( ,; ); ; .x x
z f x yz f x y
x x
( , )( ,; ); ; .y y
z f x yz f x y
y y
x
yxfyxxf
x
z
x
z
x
x
x
),(),(limlim
00
y
yxfyyxf
y
z
y
z
y
y
y
),(),(limlim
00
В загальному випадку частковою похідною першого
порядку функції u = f(x1, x2, …, xn) за змінною xk
називається границя
k
nknkk
x
k
x
xk
x
xxxfxxxxf
x
u
x
u
k
k
k
),,,,(),,,,(lim
lim
11
0
0
Частинні прирости і частинні
похідні
Частинні прирости і частинні
похідні
Геометричний зміст частинних похідних
Px (Py) – лінія перетину
поверхні P з площиною
y=y0 (x=x0)
Графіком функції z=f(x,y) є поверхня P
tgyxfx ),( 00
– кут нахилу дотичної до
лінії Px відносно осі OX
tgyxf y ),( 00
– кут нахилу дотичної до
лінії Py відносно осі OY
Частинна похідна функції по деякій змінній показує
швидкість зміни функції в напрямку відповідної осі
Повний приріст і повний
диференціал
2
2
2222
2
22 )()( dy
y
fdxdy
xy
f
yx
fdx
x
ffd
Частинними похідними n–го порядку називаються
частинні похідні від частинних похідних (n – 1)–го
порядку.
Їх позначають
і т. д.
221,,
yx
z
yx
z
x
zn
n
n
n
n
n
Повний приріст і повний
диференціал
Повний приріст і повний
диференціал
),(),( yxfyyxxfz
( , ) ( , )x ydz f x y dx f x y dy
z zdz dx dy
x y
u u udu dx dy dz
x y z
2
2
222
2
22 2 dy
y
zdxdy
yx
zdx
x
zzd
Необхідна умова диференційовності функції
Якщо функція z=f(x,y) диференційовна в деякій
точці M(x,y), то вона неперервна в цій точці і має
в ній частинні похідні.y
z
x
z
,
З неперервності функції в
точці або існування частинних
похідних не випливає
диференційованість функції в
точці
Навпаки
не правильно
Достатня умова диференційовності функції
Якщо функція z=f(x,y) має неперервні частинні
похідні в точці M(x,y), то вона
диференційована в цій точці
y
z
x
z
,
Дотична площина і нормаль до
поверхні
нормаль
дотична площина
М0
М
( , , ) 0F x y z ),,( 0000 zyxM
00 0
0 0 0( ) ( ) ( ) 0x y z MM MF x x F y y F z z
00 0
0 0 0
x zy MM M
x x y y z z
F FF
( , )z f x y
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y
0 0 0
0 0 0 0( ) ( , ) 1x y
x x y y z z
f x y f x y
(1)
(2)
(1*)
(2*)
1 ( 1) 2( 1) 2 0илиz x yy x z
yxyxyxz 22 22 М(1, 1, 1)
222;122
yx
y
zyx
x
z
;2;1
MM y
z
x
z
1 1 1
1 2 1
x y z
або
Приклад.
Похідна за напрямом
Нехай функція z=f(x,y) визначена в деякому околі точки M(x,y).
– напрямок, заданий одиничним вектором ,де
-напрямні косинуси – косинуси кутів, утворених
вектором з осями координат.
)cos,(cos e
cos,cos
e
l
Перемістимо точку M(x,y) в точку
в напрямі
В результаті переміщення
z=f(x,y) отримає приріст
- приріст функції z за
напрямом
Позначимо , тоді
),(1 yyxxM l
),(),( yxfyyxxfzl
zl
lhMM 1
),()cos,cos( yxfhyhxfzl
cos hx cos hy
h
zyx
l
fz l
hl
0lim),(
Похідна за напрямом
Якщо функція f(x,y) диференційовна в точці (x0,y0),то в цій точці
функція f(x,y) має похідну за довільним напрямом , заданим
напрямними косинусами , при чому
(про обчислення похідної за напрямом)
l cos,cos
coscos yxl zzz
)cos,cos( 00 hyhxf - функція зі змінними x і y, кожна з яких є функцією
Якщо h=0, то
cos)( 0 hxhx cos)( 0 hyhy однієї змінної h:
,)0( 0xx 0)0( yy
За правилом обчислення похідної складеної функції:
cos),()cos(),()cos(),()0( 00000000 yx
x
fhyyx
y
fhxyx
x
f
dh
dfhh
coscoscos),( 00
yx zzyxy
f
lh
zyxl
f
h
yxfhyhxf
dh
df
),(
),()cos,cos(lim)0( 00
0000
0
coscos yxl zzz
Градієнт
Вектор з координатами називається
градієнтом функції f(x,y) в точці M0.
Похідна за напрямом – це скалярний добуток градієнта
функції та одиничного вектора, який задає напрям .
))(),(( 00 My
fM
x
f
)( 0Mfабо
)(cos)(cos)()),(( 0000 Ml
fM
y
fM
x
feMfgrad
)( 0Mfgrad
l
31
Похідна функції z = f(x;y) за напрямом в точці M0(x0;y0)
досягає найбільшого значення, якщо цей напрям співпадає з
напрямом градієнта функції в заданій точці.
Градієнт функції в точці gradf(M0) характеризує напрямок
найшвидшого росту функції в цій точці
Градієнт
Нехай задана диференційована функція z=f(x,y) і
Нехай . Тоді градієнт перпендикулярний
до лінії рівня, яка проходить через задану точку
0)( 0 Mfgrad
Лінії рівня можна побудувати наступним чином:
1. будуємо ),( 00 yxz
2. задаємо напрям,
перпендикулярний до градієнта3. будуємо , причому
точка відкладається
достатньо близько до точки
),( 11 yxz),( 11 yx
),( 00 yx
33
Екстремум функції
двох змінних
Точки екстремуму функції лежать всередині
області визначення функції
Точки максимуму і мінімуму функції
Точка називається точкою локального максимуму
(мінімуму) функції z=f(x,y), якщо існує - окіл точки ,
такий що для довільної точки (x,y) з цього околу (за виключенням
точки ) виконується нерівність
),( 00 yxM
),( 00 yx
),( 00 yx),(),( 00 yxfyxf )),(),(( 00 yxfyxf
Максимум і мінімум функції мають локальний
характер
35
Необхідна умова екстремуму функції
Якщо в точці диференційована функція
z=f(x,y) має екстремум, то її частинні похідні в цій
точці рівні нулю, тобто і
),( 00 yxM
0),( 00 yxfx0),( 00 yxf y
Стаціонарні і критичні точки
Точка , в якій частинні похідні
першого порядку функції z=f(x,y)
дорівнюють нулю, тобто
називається стаціонарною
точкою функції z=f(x,y)
0),( 00 yxfx
0),( 00 yxf y
),( 00 yx
Стаціонарні точки і точки, в яких хоча б
одна частинна похідна не існує,
називаються критичними точками
Рівність нулю частинних похідних є
необхідною, але не достатньою умовою
існування екстремуму.
Достатня умова екстремуму функції
Нехай функція z=f(x,y) визначена в деякому околі
стаціонарної точки .
Нехай функція має в цій точці неперервні
частинні похідні другого порядку
Позначимо
Тоді:
1)якщо , то функція f(x,y) в точці має
екстремум: максимум, якщо A<0; мінімум, якщо A>0;
2) якщо , то функція f(x,y) в точці
екстремуму не має;
3) якщо , то в цій точці функція може мати
екстремум, а може й не мати
),( 00 yx
),,( 00 yxfA xx
),,( 00 yxfB xy ).,( 00 yxfС yy
2BAС
0 ),( 00 yx
0
0
),( 00 yx
Приклад
4323 yxyxz 236 xxyzx
Знайдемо стаціонарні точки, для цього розв'яжемо систему рівнянь:
32 43 yxzy
)0,0();3,6(043
0362132
2
MMyx
xxy
xyzxx 66 xzxy 6 212yzyy
В точці маємо А=-18, B=36, C=-108)3,6(1M 0648оскільки А<0 - точка максимуму;
1M 27)3,6(max zz
В точці маємо А=0, B=0, C=0)0,0(2M 0Додаткові дослідження: z(0,0)=0
При x=0,
При 0y 04 yz
0,0 yx 3xz в точці екстремуму немає.2M
Знайти екстремум
функції:
Приклад
)43
)(47(2
1 yxyxxyz
3
47
3
2
12
1 xyzx
Знайдемо стаціонарні точки, для цього розв'яжемо систему рівнянь:
)20,21(
04
47
12
1
2
1
03
47
3
2
12
1
M
xy
xy
,3
2 xxzA ,
12
1 xyzB
2
1 yyzC
282max z
0
4
47
12
1
2
1 xyz y
Оскільки А<0 - точка максимуму)20,21(M
Точка М називається внутрішньою точкою множини G, якщо існує δ - окіл точки М, що повністю міститься в множині G.
Точка М0 називається граничною точкою множини G, якщо в
будь-якому δ - околі точки М0 містяться точки, які належать і неналежать множині G. Сукупність всіх граничних точок множини
G називається її границею (межею) Г.
Множина G називається відкритою областю або областю, якщо
всі її точки – внутрішні і будь-які дві точки множини G можназ'єднати неперервною кривою, яка теж належить G.
Відкрита область зі своєю межею Г називається замкненою
областю.
Найбільше та найменше значення функції в замкненій області
Область називається обмеженою, якщо вона повністю
міститься всередині круга (або кулі) достатньо великого
радіусу.
Функція z = f(x;y) = f(М) називається неперервною увідкритій або замкненій області, якщо вона неперервна в
кожній точці цієї області.
Якщо функція z = f(М) неперервна в обмеженій замкненій
області, то вона в цій області:
- набуває найбільшого і найменшого значення;
- обмежена:│f(M)│≤ К (К - додатне число);
- набуває в цій області всі значення, що містяться між
найменшими і найбільшими її значеннями.
Зауваження: Крім екстремальних значень функції z = f(x;y)
(локальних екстремумів) можна шукати найбільше і найменшезначення функції в замкненій області (глобальний екстремум).
При цьому, наприклад, найбільше значення може не співпадати зжодним з максимумів і досягатися на границі області.
Нехай z = f(x;y) визначена і неперервна в обмеженій замкненійобласті D, тоді серед значень функції є найбільше і найменше.
Правило знаходження цих значень:
1) знайти всі стаціонарні точки функції всередині області D і на її
межі, обчислити значення функції в них.
2) порівняти знайдені значення функції і вибрати з них найбільше
M і найменше m.
Найбільше та найменше значення функції в замкненій
області
Приклад
Знайти найбільше і найменше значення функції z=xy в
трикутнику, обмеженому прямими x=0, y=0, 2x+y=2.
Розв'язок
x
y
A
B
1
2
0
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=xy в треугольнике, ограниченном
прямыми х=0, у=0, 2х+у=2.
Решение.
Найдем стационарные точки внутри треугольника
x
z
=y;
y
z
=x.
М0(0;0) – стационарная точка внутри треугольника.
Поведение функции на границе:
OA: y=0, 0x1, z=0.
OB: x=0, 0y2, z=0.
AB: y=2-2x, 0 x 1, z=xy=2x-2x2; xz =2-4x=0.
x
y
A
B
1
2
0
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=xy в треугольнике, ограниченном
прямыми х=0, у=0, 2х+у=2.
Решение.
Найдем стационарные точки внутри треугольника
x
z
=y;
y
z
=x.
М0(0;0) – стационарная точка внутри треугольника.
Поведение функции на границе:
OA: y=0, 0x1, z=0.
OB: x=0, 0 y 2, z=0.
AB: y=2-2x, 0 x 1, z=xy=2x-2x2; xz =2-4x=0.
Стаціонарні точки всередині трикутника:
x
y
A
B
1
2
0
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=xy в треугольнике, ограниченном
прямыми х=0, у=0, 2х+у=2.
Решение.
Найдем стационарные точки внутри треугольника
x
z
=y;
y
z
=x.
М0(0;0) – стационарная точка внутри треугольника.
Поведение функции на границе:
OA: y=0, 0x1, z=0.
OB: x=0, 0 y 2, z=0.
AB: y=2-2x, 0 x 1, z=xy=2x-2x2; xz =2-4x=0.
x
y
A
B
1
2
0
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=xy в треугольнике, ограниченном
прямыми х=0, у=0, 2х+у=2.
Решение.
Найдем стационарные точки внутри треугольника
x
z
=y;
y
z
=x.
М0(0;0) – стационарная точка внутри треугольника.
Поведение функции на границе:
OA: y=0, 0x1, z=0.
OB: x=0, 0 y 2, z=0.
AB: y=2-2x, 0 x 1, z=xy=2x-2x2; xz =2-4x=0.
Поведінка функції на межі області:
x=1/2; y=0; М1(1/2;1)- стационарная точка на границе.
Найдем значения функции в стационарных точках и сравним эти
значения
z(М0)=0;z(М1)=1/2.
Наибольшее значение функции z реализуется в точке отрезка АВ:
М=1/2 в точке (1/2;1)
Наименьшее значение функции z реализуется в точках внутри
области и на границах: m=0 в точке (0;0) и на ОА и ОВ.
Знайдемо значення функції у стаціонарних точках і
порівняємо їх.
x=1/2; y=0; М1(1/2;1)- стационарная точка на границе.
Найдем значения функции в стационарных точках и сравним эти
значения
z(М0)=0;z(М1)=1/2.
Наибольшее значение функции z реализуется в точке отрезка АВ:
М=1/2 в точке (1/2;1)
Наименьшее значение функции z реализуется в точках внутри
области и на границах: m=0 в точке (0;0) и на ОА и ОВ.
Найбільше значення функції z маємо в точці відрізка АВ:
М=1/2 в точці (1/2; 1).
Найменше значення функції z маємо в середині області і
на межі: m=0 в точці (0;0) і на ОА і ОВ.
Умовний екстремум
Озн. Якщо аргументи функції f (x1 , x2 ,…, xn) зв'язані додатковими
умовами у вигляді m рівнянь (m < n): φ1 (х1, х2 ,…, хn) = 0, φ2 (х1, х2 ,…, хn) =
0, …, φm (х1, х2 ,…, хn) = 0, (1), де функції φi мають неперервні частинні
похідні, то рівняння (1) називаються рівняннями зв'язку.
Озн. Екстремум функції f (x1 , x2 ,…, xn) за умови виконання умов (1)
називається умовним екстремумом.
Озн. Функція L (x1 , x2 ,…, xn) = f (x1 , x2 ,…, xn) + λ1φ1 (x1 , x2 ,…, xn) +
λ2φ2 (x1 , x2 ,…, xn) +…+λmφm (x1 , x2 ,…, xn), (2), де λi – деякі сталі,
називається функцією Лагранджа, а числа λi – невизначеними
множниками Лагранджа.
Теорема (необхідні умови умовного екстремуму). Умовний екстремум функції
z = f (x, y) з рівнянням звязку φ (х, у) = 0 може досягатися лише в стаціонарних
точках функції Лагранджа L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
Приклад. З усіх прямокутних трикутників з заданою площею S
знайти той, гіпотенуза якого має найменше значення.
Розвязок. Нехай x і y – катети трикутника, z – гіпотенуза.
Оскільки , то задача зводиться до знаходження
найменшого значення функції за умови, що х і у
зв'язані рівнянням xy/2=S, тобто xy-2S=0. Розглянемо функцію
і знайдемо її частинні похідні:
Оскільки x>0,y>0, то з системи рівнянь
.
Гіпотенуза має найменше значення, якщо катети трикутника
рівні між собою.
Приклад використання функції
багатьох змінних в економіці